Exercices - Suites - fonctions - topologie : enonce

Fonctions

Exercice 1 - Continuite uniforme en deux variables - L3/Math Spe - ?La fonction f : R2 → R, (x, y) 7→ xy est-elle uniformement continue ?

Exercice 2 - Une reciproque du theoreme des valeurs intermediaires - L3/Math Spe- ???

Soit I un intervalle de R non reduit a un point et f : I → R. On dit que f verifie la proprietedes valeurs intermediaires si pour tout (a, b) ∈ I2 avec a < b et pour tout reel λ compris entref(a) et f(b), il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ. Demontrer que f est continue sur I si etseulement si f verifie la propriete des valeurs intermediaires, et si pour tout x ∈ I, f−1({f(x)})est ferme dans I.

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