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rafael-coutinho
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Questão 1: Use a definição de derivada via limite para calcular a derivada f'(x), para:
a) 5
3
2
1)( xxf b) 735)( 2 xxxf c) 34)( xxf
d) x
xxf
2
1)( e) 3
2
)( xxf f) xxf 3cos)(
g) xx
xxf
3
1)(
2
h) xxxf 3)( i) xxxf 3)(
Questão 2: Calcule a derivada primeira de cada uma das funções abaixo simplificando o resultado
o máximo possível.
a) xx
xx
ee
eey
b) 12
8 xy c)
2
1
x
xy
d) xy 2cosln e) xxy lnln f) 16
44
2
x
x
e
ey
g) xy lnlog h) 2.34 xy i)
xtgxy
1.3 2
j) 2cosln xy
Questão 3: Calcule as seguintes derivadas usando a regra da cadeia:
a) )1(5 2 xsendx
d b) )493ln( 2 xx
dx
d c) )( xtg
dx
d
d) )3( xtgdx
d e) 49 2 x
dx
d f) )4( 2
3 xedx
d
g)
3
13
42
x
x
dx
d h) )9sec( 2x
dx
d i) ))4(cos( xsen
dx
d
j) )cos(2 x
dx
d
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I – A DERIVADA
Questão 4: Para cada uma das equações, encontre dy/dx por derivação implícita:
a) 735 22 yxyx b) 2
1
y
xsen c)
3
1)()cos( yxsenyx
d) 5)( 22
yxxe e) 932
22
yx
yx f) 833 yx
g) 1794 22 yx h) 4)(( yxtgy i) 2
122
22
yx
yx
j) 4
1cos senyx ee
Questão 5: Use diferenciação Logarítmica para achar dy/dx onde:
a) 7623 2 xxy
b) 35416 xxy
Questão 6: Considerando que y é uma função implícita de x. Encontre a derivada segunda da
função abaixo:
33
13
1 yx
Questão 7: Dada a equação 133 yx e admitindo que esta equação defina uma função f tal que
y = f(x), prove que yx
y' '
25
.
Questão 8: O raio r de um cone circular reto está aumentando à taxa de 2 cm/min. A altura h do
cone está relacionada ao raio pela equação rh 3 . Determine a taxa de variação do volume do
cone no instante em que cmr 6 . 3
2hrVcone
.
Questão 9: Um controlador de tráfego aéreo descobre que dois aviões estão na mesma altitude e se
dirigem para o mesmo ponto, seguindo trajetórias retilíneas mutuamente perpendiculares. Um dos
aviões se encontra a 240 km do ponto e viaja a uma velocidade de 720 km/h. O outro avião está a
320 km do ponto, viajando com uma velocidade de 960 km/h. A que taxa a distância entre os
aviões está diminuindo?
Questão 10: Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de comprimento, o 9 ft de profundidade no
lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a
piscina está sendo cheia a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está
subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?
Questão 11: Um cabo de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro é submergido em água do
mar. Em virtude da corrosão, a área da superfície do cabo decresce à razão de 4.500 anocm /2 .
Ignorando a corrosão nas extremidades do cabo, ache a taxa à qual o diâmetro está diminuindo.
Questão 12: Uma aeronave está voando horizontalmente a uma altura constante de 4000 pés
acima de um ponto de observação fixo. Num certo instante, o ângulo de elevação é de 30º e está
descendo, enquanto que a velocidade da aeronave é 300 pés/h.
a) Com que velocidade estará decrescendo naquele instante?
b) Com que rapidez estará variando a distância entre a aeronave e o ponto de observação naquele
instante?
Figure 1: Piscina
Questão 13: Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000
cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O
tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa
de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para
dentro.
Questão 14: Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade
constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista.
Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?
Questão 15: Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado
pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja eqüilátero.
Questão 16: Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde
uma mulher inicia sua caminhada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto
localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos
após a mulher ter iniciado a caminhada?
Questão 17: Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior
volume possível de tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que
circunscreve o cilindro.
Questão 18: Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h.
Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as
15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.
Questão 19: Em uma colméia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma
extremidade com um ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem
seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde
modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do
ângulo do ápice é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área
da superfície é dada por
Onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.
a) Calcule .
b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.
c) Determine a área superfície mínima escolhida.
Questão 20: Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola
y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 m norte da origem na direção leste. Há
uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no
qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.
Figure 2: Carro na estrada
Questão 21: Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas
será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte
de modo a minimizar a área total das figuras?
Questão 22: Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma
abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro
que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório
supondo que o volume é fixo?