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limites, continuidade, Teorema de Bolzano
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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Sejam f e g duas funções de domínio , tais que a função f g admite inversa.
Sabe-se que 3 4f e que 1
2 3f g
.
Qual é o valor de 3g ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2017
2. Nas figuras abaixo, estão representados os gráficos de uma função f, de domínio 1,6 , e
parte de uma função g, de domínio .
Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens
inteiras.
Quais são os zeros da função g f ?
(o símbolo designa a composição de funções)
(A) 0 e 4 (B) 1 e 5 (C) 1 e 3 (D) 2 e 6
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017
3. Para um certo número real k, é contínua em a função f definida por
sin 3 3
14 4
2 1
xse x
f x x
k se x
Qual é o valor de k?
(A) 5
3 (B)
5
4 (C)
5
4 (D)
5
3
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016
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4. Considere as sucessões convergentes na e nb de termos gerais
31
1
n
nan
e ln 1 2 n
nb e
Sejam a e b os números reais tais que lim na a e lim nb b
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 3a e e 0b (B) 3a e e 0b
(C) 3a e e 1b (D) 3a e e 1b
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016
5. Considere a função f, de domínio
, definida por lnf x x
Considere a sucessão de termo geral n n
nu
e
Qual é o valor de lim nf u ?
(A) (B) 0 (C) e (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
6. Para um certo número real k, é contínua em a função f definida por
2 0
2 ln 10
x ke se x
f x x xse x
x
Qual é o valor de k?
(A) 0 (B) 1 (C) ln 2 (D) ln 2
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
7. O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao
António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em
prestações mensais sujeitas a um certo juro.
Para encontrarem as condições de pagamento do empréstimo, os dois colegas adaptaram uma
fórmula que tinham estudado e estabeleceram um contrato.
Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada
por
600
01 nx
xp x
e
em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.
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Recorrendo a métodos analíticos, determine 0
600lim
1 nxx
x
e , em função de n, e interprete o
resultado no contexto da situação descrita.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
8. Seja g uma função contínua, de domínio , tal que:
• para todo o número real x, g g x x
• para um certo número real a, tem-se 1g a a
Mostre que a equação 1g x x é possível no intervalo ,ga a
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
9. Seja a um número real diferente de 0.
Qual é o valor de 2 2
limx a
x a
ae a
x a
?
(A) 1
4 (B)
1
2 (C) 1 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
10. Considere as sucessões nu e nv de termos gerais
3
2n
knu
n
( é um número real) e
1ln 1
n
nvn
Sabe-se que lim limn nu v
Qual é o valor de k?
(A) 1 (B) 2 (C) e (D) 2e
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
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11. Seja f a função, de domínio , definida por
1
2 1 2
11 ln
2
xe ese x
xf x
x x se x
Mostre que a equação 3f x é possível em 1,e e, utilizando a calculadora gráfica,
determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas.
Na sua resposta:
• recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equação 3f x tem, pelo menos,
uma solução no intervalo 1,e ;
• reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s);
• apresente a solução pedida.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
12. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por
ln
1x
f x xx
e g x x f x
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, mostre que a condição f x e tem,
pelo menos, uma solução em , 1e .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
13. Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio , definida por
xf x ke x . O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no
intervalo 0,1 .
A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k?
(A) 1
,ee
(B) 1
,0e
(C) 1
0,e
(D) 1
,1e
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
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14. Considere a função f, de domínio , definida por
4
4
3 114
4
ln 2 4
x
x
e xse x
xf x
e e se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a função f é contínua
em 4x .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
15. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio , definida por
2
30
1
ln 0
6ln 0
2 1
x
xse x
e
f x k se x
x xse x
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
0
lim 0x
f x f
.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
16. Seja f uma função de domínio ,1e . Sabe-se que:
• f é contínua no seu domínio;
• 1f e ;
• 1f e .
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeiramente?
(A) A equação 1 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e
(B) A equação f x e tem pelo menos uma solução em ,1e
(C) A equação 0f x tem pelo menos uma solução em ,1e
(D) A equação 2
ef x tem pelo menos uma solução em ,1e
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
17. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio , .a a
Sabe-se que f a f a e 0f a f .
Mostre que a condição f x f x a tem, pelo menos, uma solução em ,0a .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
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18. Considere a função f, de domínio , definida por
1 11
1
ln 1
xese x
f x x
x se x
Seja g uma outra função, de domínio .
Sabe-se que a função f g é contínua no ponto 1.
Em qual das seguintes quatro opções pode estar representada parte do gráfico da função g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013
19. Seja f a função, de domínio , definida por
2
3 34
9
ln 3 114
4
xse x
xf x
xse x
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se existe 4
limx
f x
.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 28-02-2013
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20. Considere a função f, de domínio , definida por
3
1
4
sin0
1 1
1 0
10
k
x
xse x
x
f x e se x
ese x
x
com k
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine k de modo que
0
lim 0x
f x f
.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
21. Seja f uma função de domínio , definida por 3xf x e .
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação
3
2f x x tem, pelo menos, uma solução?
(A) 10,
5
(B) 1 1,
5 4
(C) 1 1,
4 3
(D) 1,1
3
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
22. Na figura, está representada, num referencial o.n.
xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio
,a , com 1
3a .
Para esse valor de a, a função f, contínua em , é
definida por
3
1log
3x se x a
f x
g x se x a
Qual é o valor de a?
(A) 28
3 (B)
25
3 (C)
19
3 (D)
8
3
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
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23. Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:
• têm domínio 2,3
• são funções contínuas
• 2 2 0f g e 3 3 0f g
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.
(B) A função f g é crescente.
(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.
(D) A função f g é decrescente.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
24. Seja f a função de domínio , definida por
222
2
3 ln 1 2
x
x
xe ese x
f x x
e x se x
Averigue se a função f é contínua em 2x .
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
25. Para um certo valor de e para um certo valor de , é contínua no ponto 0 a função g,
definida por
2 10
0
ln 10
xese x
x
g x se x
xse x
x
Qual é esse valor de e qual é esse valor de ?
(A) 1 e 2 (B) 2 e 3
(C) 1 e 3 (D) 2 e 1
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 13-03-2012
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26. Seja f a função, de domínio
, definida por 32 logf x x .
Seja g a função, de domínio , definida por g x x f x .
Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1,3 :g 5c c
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 13-03-2012
27. Considere a função f, de domínio , definida por
1
11
1
2 1
x
xse x
f x e
a se x
(a é um número real)
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a sabendo que f é contínua em
1x .
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
28. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
2 10 2
2
12
ln 1
xese x
xf x
xse x
x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que
3f x tem, pelo menos, uma solução em 10,
2
.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011
29. Seja f uma função de domínio 0, , definida por
2 9 0 5
15
x
x
se x
f x ese x
x
Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo
menos, um zero da função f?
(A) 0,1 (B) 1,4 (C) 4,6 (D) 6,7
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
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30. Seja f uma função, de domínio , contínua no intervalo 1,4
Tem-se 1 3f e 4 9f .
Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio , para a qual o
teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 1,4 ?
(A) 2g x x f x (B) 2g x x f x
(C) 2g x x f x (D) 2g x x f x
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
31. Consider a função g, de domínio , definida por
0
ln 0
xe se xg x
x se x
Considere a sucessão de termo geral 1
nun
.
Qual é o valor de lim nn
g u
?
(A) (B) 1 (C) 0 (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
32. Consider a função f, de domínio , definida por 32 1xf x x e .
Mostre que 1,5f x tem, pelo menos, uma solução em 2, 1 .
Resolva este exercício recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, se utilizar a
calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use
três casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
33. Seja g uma função contínua, de domínio .
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio da função g?
(A) 0,2 (B) (C)
(D) \ 0
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
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34. Seja a um número real diferente de zero.
Qual é o valor de 2 20
1lim
ax
x
e
ax a x
?
(A) 1
a (B)
1
2a (C) 0 (D)
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
35. Seja f a função, de domínio , definida por
2
0 22
1 2x
xse x
f x x x
xe x se x
Usando exclusivamente métodos analíticos, averigue se a função f é contínua em 2x .
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2010
36. Consider a função h, de domínio , definida por
2
2
4 0
2 0
10
x
x x se x
h x se x
ese x
x
Estude a continuidade de h no domínio , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
37. Considere a função g, de domínio , definida por 2 lnxg x e x .
Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos,
um zero no intervalo 0,1;0,3 .
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
38. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento
cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado,
é dada por
0,32 tC t te 0t
Calcule limC t e interprete esse valor no contexto da situação apresentada. Resolva a
questão recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
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39. Considere a função g, de domínio 1,
2
, definida por
2 12 ln 1 1
2
2 1
11
1
x x x se x
g x se x
xse x
x
Verifique se a função g é continua em 1x , sem recorrer à calculadora.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009
40. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio e continua em
\ 2 . As retas de equações 2x e 1y são as únicas assíntotas do gráfico de g.
Seja nx uma sucessão tal que lim nx
g x
.
Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão nx ?
(A) 2
2a
(B) 1
2n
(C) 1
1n
(D) 1
1n
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
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41. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio , sendo 1y
a única assíntota do seu gráfico.
Qual é o valor do
3limx f x
?
(A) (B) 3 (C) 1 (D) 3
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
42. A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que,
para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de
observação, é dada pelo modelo matemático 0,0215 , 0tM t e t .
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as
2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra
da substância radioativa atingiu os 14 gramas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
43. Seja h a função de domínio 1, , definida por 4 ln 1h x x x .
(ln designa logaritmo de base e)
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.
Justifique, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no
intervalo 5,6 .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
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44. Seja f uma função de domínio , continua no intervalo 2,2
Tem-se 2 1f e 2 3f .
Indique qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio , para a qual o
Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 2,2 .
(A) g x x f x (B) g x x f x
(C) 2g x x f x (D) 2g x x f x
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008
45. Seja f uma função de domínio 3,3 , definida
por
13 0
2 ln 1 3 0 3
xe xse x
f x x
x x se x
Na figura está representado o gráfico da função
f.
Tal como a figura sugere:
• A é o ponto do gráfico de f de ordenada máxima
• a abcissa do ponto A é positiva
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é contínua
no ponto 0.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008
46. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma
função f, real de variável real.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 3
1lim 0x f x
(B) 3
1 1lim
2x f x
(C) 3
1 1lim
2x f x
(D) Não existe 3
1limx f x
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
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15 / 25
47. Na figura, está reresentada parte do gráfico de uma função g, real de variável real.
Tal como a figura sugere, a reta de equação 1x é assíntota do gráfico da função g.
Seja :h a função definida por 1h x x .
O valor do
1limx
h x
g x é:
(A) (B) (C) 0 (D) 1
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
48. Identifique o valor de 2
2
1lim
4x x
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
49. Considere a função f, de domínio , definida por
2
3
2
2
20
2 0
3 ln 10
x xse x
x x
f x se x
x x xse x
x
(ln designa logaritmo de base e)
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigue se a função f é contínua em 0x .
Justifique a sua resposta.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2007
matA12
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16 / 25
50. Considere, num referencial o.n. xOy, a curva C, que representa graficamente a função f, de
domínio 0,1 , definida por 3xf x e x e a reta r, de equação 5y .
Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r interseta a curva C em pelo menos um
ponto.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 15-03-2007
51. De duas funções, f e g, sabe-se que:
• o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2;
• o gráfico de g é uma hipérbole.
Nas figuras seguintes estão representadas parte dessa reta e parte dessa hipérbole.
A reta de equação 1x é assintota do gráfico de g.
Indique o valor de
1limx
f x
g x
(A) 0 (B) 2 (C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
52. Seja : 0,2f uma função contínua tal que 0 2 0f f e 1 0f .
Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo 0,1 tal que 1f c f c .
Sugestão: considere a função : 0,1f , definida por 1g x f x f x .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
matA12
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53. Na figura estão representadas, em
referencial o.n. xOy, partes dos
gráficos de duas funções, f e g,
contínuas em .
Tal como a figura sugere,
• nenhum dos gráficos interseta o
eixo Ox;
• os gráficos de g e de f
intersetam o eixo Oy nos pontos
de ordenadas 0,5 e 2,
respetivamente.
Apenas uma das equações seguintes é impossível. Qual delas?
(A) 0f x g x (B) 0f x g x
(C) 1f x g x (D)
1
f x
g x
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
54. Seja nx a sucessão de termo geral 1
1
n
nxn
Seja ny a sucessão de termo geral 1 lnn ny x (ln designa o logaritmo de base e)
Qual é o valor de lim ny ?
(A) 2 (B) 3 (C) 1 e (D) 2 e
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-03-2006
55. Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num
laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de
água, durante cinco minutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deixou-se a água a
arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida, ao longo do decorrer da experiência.
Admita que:
• neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;
• a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à
temperatura ambiente;
• depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo,
a igualar a temperatura ambiente.
Em resultado da experiência, concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo
t, contado em minutos, a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada
por uma, e uma só, das quatro funções, a, b, c e d, definidas por:
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0,04 5
24 2 0 5
24 10 5t
t se ta x
e se x
0,04 5
12 2 0 5
24 70 5t
t se tb t
e se x
0,04 5
14 1 0 5
24 60 5t
t se tc x
e se x
0,04 5
12 2 0 5
24 60 5t
t se td x
e se x
Qual das quatro funções é a correta?
Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das outras três,
indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, explicando a sua inadequação,
relativamente à situação descrita.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 17-03-2006
56. De uma função f, contínua em , sabe-se que 3 8f e 7 1f .
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) 1 6 8f (B) A função f não tem zeros em 3,7
(C) 4 5f f (D) 2 pertence ao contradomínio de f
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
57. Na figura, está representada parte do gráfico de
uma função f, contínua em .
A função f tem apenas dois zeros: 3 e 1.
Seja g a função definida por g x f x .
Qual dos seguintes conjuntos pode ser o
domínio da função g?
(A) ,1
(B) \ 3,1
(C) , 3
(D) 3,
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
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58. Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970,
é dado aproximadamente por
75,2 10 , 0N M t
P t e t
em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa
de mortalidade da população.
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, calcule
limt
P t
, sabendo que N M e interprete o resultado obtido, no contexto do problema.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
59. Considere a função f, de domínio , definida por 21 3 xf x x e .
Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), mostre que,
no intervalo 1,0 , existe pelo menos um objeto cuja imagem, por meio de f, é 4.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
60. De uma função f, de domínio 4,5 e contínua em todo o domínio, sabe-se que:
• 4 6f ; 2 1f ; 5 1f ;
• f é estritamente decrescente no intervalo 4,2 ;
• f é estritamente crescente no intervalo 2,5 .
Quantas soluções tem a equação 0f x ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
61. Indique o valor de 2
0
loglim
1xx
x
e .
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2003
62. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h,
de domínio 0,5 5, .
As retas de equações 5x e 3y são as únicas assíntotas do
gráfico de h.
Indique o valor de
lim3 xx
h x
e
(A) 0 (B) 1 (C) 5 (D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
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63. Seja f uma função contínua, de domínio 0,5 e contradomínio 3,4 .
Seja g a função, de domínio 0,5 , definida por g x f x x .
Prove que a função g tem, pelo menos, um zero.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
64. Seja h uma função contínua, de domínio .
Qual dos seguintes conjuntos não pode ser o contradomínio de h?
(A) (B) \ 0 (C)
(D) 0,1
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
65. Para um certo valor de k, é continua em a função f definida por
0 0
ln 0
se xf x
x k se x
(ln designa logaritmo de base e)
Qual é o valor de k?
(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
66. De uma função g, continua em , sabe-se que:
• 1 é zero de g;
• 0g x .
Prove que a equação 3
2
gg x tem, pelo menos, uma solução no intervalo 1,3 .
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
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67. Seja h a função, de domínio , definida por:
1 0
2 0
3 2 0
xe se x
h x se x
x se x
Relativamente à continuidade da função h, no ponto 0, qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) É contínua.
(B) É contínua à esquerda e descontínua à direita.
(C) É contínua à direita e descontínua à esquerda.
(D) É descontínua à esquerda e à direita.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
68. De uma função f, contínua no intervalo 1,3 , sabe-se que 1 7f e 3 4f .
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) A função f tem pelo menos um zero no intervalo 1,3 .
(B) A função f não tem zeros no intervalo 1,3 .
(C) A equação 5f x tem pelo menos uma solução no intervalo 1,3 .
(C) A equação 5f x não tem solução no intervalo 1,3 .
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001
69. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) 4
lim 4x
f x f
e 4
lim 4x
f x f
(B) 4
lim 4x
f x f
e 4
lim 4x
f x f
(C) 4
lim 4x
f x f
e 4
lim 4x
f x f
(D) 4
lim 4x
f x f
e 4
lim 4x
f x f
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2000
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70. Consiedere a função f, de domínio , assim definida:
3 1
2 * 1
x se xf x
x x
Seja nu a sucessão definida por 1
1nu fn
.
Indique qual das expressões seguintes define o termo geral de nu .
(A) 1
1n
(B) 2
2n
(C) 3
3n
(D) 1
5n
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1999
71. Na figura está desenhada parte da representação
gráfica de uma função, cujo domínio é \ 2 .
As retas de equações 2x , 1y e 0y são
assíntotas do gráfico de f.
Seja nx a sucessão de termo geral 22nx n .
Indique o valor de lim nf x .
(A) 0 (B) 1 (C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1999
72. Qual é o limite da sucessão de termo geral 1 n
nu e ?
(A) (B) (C) 0 (D) 1
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
73. Considere a função g definida por 2 5
1
xg x
x
.
Indique qual é o valor de 1
limx
g x
.
(A) 0 (B) 2 (C) (D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1998
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74. De uma função h sabe-se que:
o domínio de h é
lim 0x
h x
0
limx
h x
Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de h.
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1998
75. O valor de
21
lim 1
n
n n
é
(A) 1 (B) (C) e (D) 2e
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1998
76. 5lim 2 x
xx e
é
(A) (B) 0 (C) 2 (D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
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77. Seja g a função definida em por 5 1g x x x .
O Teorema de Bolzano permite-nos afirmar que a equação 8g x tem pelo menos uma
solução no intervalo
(A) 1,0 (B) 0,1 (C) 1,2 (D) 2,3
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1997
78. Uma nódoa circular de tinta é detetada sobre um tecido. O comprimento, em centímetros, do
raio dessa nódoa, t segundos após ter sido detetada, é dado por 1 4
02
tr t t
t
.
Calcule 0r e limt
r t
e diga qual é o significado físico destes valores.
matemática A – 12º ano, exame 135, prova modelo, 1997
Bom trabalho!!
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Principais soluções
1. (B)
2. (B)
3. (B)
4. (B)
5. (A)
6. (A)
7. 600
n, quando a taxa de juro tende para zero,
a mensalidade é dada pelo quociente entre o
dinheiro que pediu emprestado e o número de
prestações.
8.
9. (B)
10. (B)
11. 12. 13. (B)
14. Não é contínua
15. 3
2k e
16. (D)
17. 18. (A)
19. 4
lim 3x
f x
20. ln 5 1k
21. (B)
22. (A)
23. (A)
24. f é contínua em 2x
25. (B)
26.
27. 2a
28. 29. (B)
30. (D)
31. (D)
32. 33. (D)
34. (A)
35. Não é contínua
36. A função é continua em
37. 38. 0
39. É continua em 1x
40. (B)
41. (B)
42. 43.
44. (A)
45. 46. (D)
47. (C)
48. (D)
49. f é contínua em 0x
50. 51. (A)
52. 53. (A)
54. (A)
55. d x
56. (D)
57. (D)
58. lim 0t
P t
59. 60. (C)
61. (C)
62. (B)
63. 64. (B)
65. (C)
66. 67. (A)
68. (C)
69. (B)
70. (B)
71. (B)
72. (D)
73. (C)
74. (A)
75. (D)
76. (B)
77. (C)
78. 1
02
r
lim 4t
r t