EXERCCIOS DE MATEMTICA I - POTENCIAO Exerccio 1: (PUC-SP) O nmero de elementos distintos da sequncia 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Soluo: Para determinar o nmero de elementos distintos suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 42 = 4 x 4 = 16 4-2 = 1/ 42 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciao) (-4)2 = (-4) x (-4) = 16 (potncia par de base negativa tem como resultado um nmero positivo) (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem) (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciao)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta a b). Exerccio 2: (FEI-SP) O valor da expresso A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) : a) 1 b) -5/6 c) -5/3 d) -5/2 Soluo: Todos sabem, aps a leitura atenta do artigo sobre potenciao propriedade e) -, que (-2)-1 = -1/2. Logo: A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) - [3/(2 x 3)] Cancelando o 3 na expresso entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de nmeros relativos de mesmo sinal e a diviso de nmeros relativos com sinais diferentes - lembram-se!): A = (-2) - 1/2 = (-4 - 1)/2 = -5/2 Resposta d). Exerccio 3: (FEI-SP) O valor da expresso B = 5 . 108 . 4 . 10-3 : a) 206 b) 2 . 106

c) 2 . 109 d) 20 . 10-4 Soluo: Como em um produto a ordem dos fatores no altera o resultado, podemos reescrever B como: B = 5 . 4 . 108 . 10-3 = 20 . 108 . 10-3 = 20 . 108-3 Na ltima passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade: B = 2 . 10 . 105 = 2 . 101+5 = 2 . 106 Resposta b). Exerccio 4: (PUC-SP) O valor da expresso C = (10-3 x 105) / (10 x 104) : a) 10 b) 1000 c) 10-2 d) 10-3 Soluo: Novamente, pela propriedade b) vem que: C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105 E, pela propriedade c) temos: C = 102-5 = 10-3 Resposta d). Exerccio 5: Se 53a = 64, o valor de 5-a : a) 1/4 b) 1/40 c) -1/4 d) 1/20 Inicialmente, observe que pela propriedade d): 53a = (5a)3 e que 64 = (22)3 Como os expoentes das potncias so iguais, necessariamente tambm so suas bases. Ou se voc preferir, extraindo-se a raiz cbica dos termos, obtemos: 5a = 22 = 4 Invertendo os membros da igualdade vem: 1/5a = 1/4 E finalmente, pela propriedade e): 5-a = 1/4 Resposta a). II - POTENCIAO E RADICIAO

01) (UFRGS) O valor da expreso

:

(A) -4 (B) 1/9 (C) 1 (D) 5/4 (E) 9 Estes exerccios devemos somente substituir os valores dados e achar a resposta.

Agora efetuando os calculos:

Resposta certa letra "E".

02) (UFRGS) A expresso (A) (B) (C) (D) (E)

igual a:

Primeiro devemos fatorar todas as razes:

Vamos agora dividir as razes que tm mais de um fator:

As razes que podemos tirar vamos tirar e as outras vamos transformar em potncias:

Temos duas potncias e ambas podem ser simplificadas:

Resposta certa letra "E". 03) (UFRGS) O valor de (A) (B) (C) (D) (E) Vamos substituir os valores de "a" e "b" na frmula dada na questo: ab2-a3 = Resposta certa, letra "C" para e

04) (UFRGS) Sendo n > 1, a expreso (A) (B) (C)

equivalente a:

(D) (E) Tirando o MMC, e calculando a soma das fraes, temos:

= Agora devemos racionalizar:

Resposta certa letra "A"

05) (PUC-RS) A expresso (A) 164 (B) 83 (C) 82 (D) 45 (E) 41

igual a:

Utilizando as propriedades de potenciao, vamos substituir as potncias pelos seus valores:

Agora devemos efetuar as operaes. Lembrando que sempre primeiro as multiplicaes, depois as somas.

Resposta certa, letra "E".

06) (UFRGS) Simplificando

encontramos:

(A) (B) (C) (D) (E) O primeiro passo utilizando a proprieade de radiciao. Vamos eparar a raiz da frao:

Agora s racionalizar e marcar a certa:

Resposta certa letra "B".

07) (UFSM) O valor da expresso (A) 3.103 (B) 3 (C) 3.10 (D) 9.103 (E) 27.103

:

Para facilitar o clculo, vamos transformar estes nmeros em fraes:

Agora podemos cortar alguma coisa:

Fatorando:

Resposta certa letra "C".

08) (UFSM) O valor da expresso (A) (B) (C) (D) (E) Aplicando as propriedades, temos:

:

Racionalizando:

Racionalizando novamente:

Resposta certa, letra "A".

09) (UFRGS) Assinale a relao correta, das citadas abaixo. (A) (B) (C) (D) (E) se a > 1 se 0 < a < 1 se 0 < a < 1 se 0 < a < 1 se a > 0

10) O valor da expresso (A) (B) (C) (D) (E) Vamos aplicar as propriedades e fatorar os termos:

Resposta certa, letra "A" 11) Qual o valor da expresso:

para n pertencente aos naturais - {0, 1} (A) 5 (B) 1/5 (C) 1/25 (D) 5 (E) 5 Poemos rescrever a expresso como sendo:

Que ainda pode ser escrita como:

Colocamos

em evidncia:

Resposta: C) 12) (FUVEST) Dos nmeros abaixo, o que est mais prximo de

(A) 0,625 (B) 6,25 (C) 62,5 (D) 625 (E) 6250 GABARITO 01 - E 02 - E 03 - C III Reviso de potncias Para a R e n N, definem-se: an = a1 = a para n 2

04 - A 05 - E 06 - B

07 - C 08 - A 09 - C

10 - A 11 - C 12 - E

a0 = 1, para a 0 , para a 0 Potncia de expoente racional. Para a > 0, m e n inteiros e n 1 define-se =

Para a, b R e m, n Z, valem as seguintes propriedades: am an = am + n am : an = am n (a 0) m n n m (a ) = (a ) = am n (a b)n = an bn

1. Use a definio e as propriedades necessrias e calcule as potncias: a) 34 b) ( 2 3) c) d) 0 2 e) ( )2 2 f) (0,4) g) 31 8 h) 10 : 106 i)

j) 160,5 +

+ Reviso de raizes Se a R e n N*, chama-se raiz ensima de a o nmero x, tal que xn = a. = x xn = a n ndice de raiz radical a radicando Condio de existncia em R: R (n par e a R+ ou n mpar e a R) Propriedades das razes

(

)m = = =

= = =

2. Separe as sentenas verdadeiras das falsas. Justifique, com base na definio e nas propriedades, sua deciso.

a) b) c) d) =4

=2 =4 = 4

3. Escreva os radicais na forma de potncia.

a) b) c) d) Equao exponencial Uma equao chamada de equao exponencial quando a incgnita a ser determinada aparece como expoente. Para resolver essas equaes, devemos reduzir os dois membros da igualdade a uma mesma base. Depois, basta igualar os expoentes para recair numa equao do primeiro ou do segundo grau. No entanto, h equaes exponenciais em que no possvel reduzir, de imediato, os dois membros mesma base. Para resolv-las, conveniente utilizar uma varivel auxiliar.

4. Observe a resoluo das equaes e escreva o que foi realizado: a) 92x 1 = 275x + 1

____________________________________ ____________________________________

34x 2 = 315x+3 4x 2 = 15x +3 4x 15x = 3 + 2 x= S= b) 7x 2 = 275x + 1 7x 2 = 70 x 2 = 0 x=2 S= {2} c) 2x + 3 + 2x -1 = 17 2x 23 + 2x : 21 = 17

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

t 8 + t : 2 = 178t + t=2 2x = 2 x=1 S= {1} = 17

d) 3x 10

+9=0 +9=0

____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

y2 10y + 9 = 0 y = 1 ou y = 9

=y

=9

____________________________________ ____________________________________

=y

=1 x=0

____________________________________ ____________________________________

S = {0,4} 5. Utilizando as propriedades de potncias e razes, resolva as equaes.

a) 4x = b) 100x = 0,001 c) = 27 d) 32x 1 93x + 4 =27x + 1 e) 52x+ 5x +6 = 0 + f) 2x 1 + 2x + 2x 1 2x + 2 +2x + 3 =120 x+1 x g) 4 2 + 2 =0 9 h) 4x + 6x=2 9x Funo exponencial Chama-se funo exponencial toda funo definida de R em R por: f(x) = ax, com a ea 1 A funo exponencial f(x) = ax crescente em todo seu domnio se, e somente se, a > 1.

A funo exponencial f(x) = ax decrescente em todo seu domnio se, e somente se, 0 < a < 1. Graficamente, temos:

Observe que o grfico intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; 1). 6. Determine m R para que a funo: a) f(x) = (2m 1)x seja crescente em R. b) f(x) = ( + 1)x seja decrescente em R 3m 7. Desenhe no plano cartesiano o grfico da funo f de domnio R e determine seu conjunto-imagem. a) f(x) = b) f(x) = Inequao exponencial A partir do fato de que f(x) = ax crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a 1 ax > an x > n; se 0 < a < 1 ax > an x < n. 8. Complete a resoluo das inequaes: a) 27x < 33x < 3 4 3x < _______________________________________________

b)

________________________________________ 6x 15 2x + 2 ____________________________________

c)

Fazendo a mudana de varivel, = y, temos: 2y2 3y + 1 0. _______________________________________________________ Retornando varivel x:

___________________________________________ (I) ou 1______________________________________________ (II) A soluo S da inequao a unio das solues encontradas em (I) e (II). S = {x R | x 0 ou x 1} 9. Determine o conjunto-soluo das seguintes inequaes.

a) b) a2x + 1 > 1 (0 < a < 1) c) d) 9x 4 3x + 1 + 27 > 0

Respostas1 Temos os seguintes grficos:

a) 81 b) 9 c) -27 d) 1 e) f) g) h) 100 i) j) 8 2 a) (V), pois = =2

b) (F), pois o smbolo (com a > 0 e n par) indica exclusivamente a raiz positiva. (A radiciao em R uma operao e, como tal, funo; portanto, o resultado deve ser nico.)

c) (F), pois

= 4) = 4. (

d) (V), pois 3 a)

=

=

=

=4

b)

c)

d) 4 a) fatorou-se a base da potncia, multiplicaram-se os expoentes; igualaram-se os expoentes; isolou-se x no 1 membro; obteve-se x.

b) trocou-se 1 por 7; igualaram-se os expoentes; obteve-se x. c) transformou-se a soma dos expoentes num produto de mesma base e a diferena, numa diviso; mudou-se para a varivel t; isolou-se t no 1 membro; obteve-se t; retornou-se varivel x; obteve-se x. d) substituiu-se 3 por ; mudou-se para a varivel y; resolveu-se a equao do segundo grau; voltou-se varivel x; obteve-se x. 5 a) S =

b) S = c) S = {3; 1}

d) S = e) S = f) S = {4} g) S = { 1} 2; h) S = {0} 6 a) S = {m R | m > 1} b) S =

7 a) Im =

b) Im =

8 a) 3x < 4 x