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Exercícios de Revisão.determinantes e Sistemas Lineares
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========================================================================= 1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j. b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).
e) Determinante da matriz D = ��3 �45 3 � .
2) Se m = �2 41 5� e n = � 3 0�4 4�, calcule o valor da expressão m2 – n2.
3) Se p = �� 4� �� e q = � 3 4�3 3� , calcule x tal que p = q.
4) Se a = �2 11 0� , b = �2 41 5� e c = �2 71 5� , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.
5) Se p = �8 44 4� e q = �3 ��5 1� , calcule log q p.
6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:
a) � 3� – � � 52� � 5� � 9� c) � 5� � 2� � 7� � 5� � �17�
b) � � – 4� � 32� � 2� � �4� d) � 3� – 7 � � � � 5� � �6� 7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos? b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva? d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos? 8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA 2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j. b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).
e) Determinante da matriz �2 �1 20 5 14 4 1�.
9) Se m = �3 �3 21 0 11 4 1�. e n = �5 1 24 5 10 4 1�., calcule o valor da expressão m + n2.
10) Se p = � � �� 60 0 ��4 4 4�. e q = �2 �1 20 5 14 �2 4�. , calcule x tal que p = q.
11) Se a = �1 0 00 5 14 4 1� , b = �1 �1 00 1 14 1 2� e c = �1 �1 20 5 15 �2 9� , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.
12) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre? b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? 13) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se
��� �� 1�� �� 1�� �� 1� = 0
a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados. b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma mesma reta. c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um triângulo.
14) Se � ! "# $ %& ' ( � = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:
a) � 2! "# 2$ %& 2' ( � b) �" ! % $ #( ' &� c) �3& 3' 3(# $ %� �! �"� d) �� �# �&! $ '" % ( � e) �2! 2" 2 �$ �% �#3' 3( 3&�
15) Sabendo que m = � ! "# $ %& ' ( �, d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x tais que m =
=�� 11� � �. 16) Calcule o valor de cada determinante a seguir:
a) �1 1 12 3 54 9 25� b) 231
14210
715
c)
2213
0352
0241
0218
−
−−
17) Sabendo-se que det A significa “determinante da matriz A”, At significa “transposta da matriz
A”e A-1 significa “inversa da matriz A” , calcule o valor da expressão E a seguir, sendo A = �2 11 2�. E =
*+,- �./0*+,- �01+,- �2+,- �1� .
18) Se A = �4 �12 �3� , calcule o valor da expressão det(At) + 2. det(A-1) – det A.
19) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir :
a)
=−
−=+
523
242
yx
yx b)
=−
−=+−
457
435
yx
yx c)
=−
=−
1852
307
yx
yx d)
−=−
=+
115
232
yx
yx
e)
=+−
=+−
=++
12325
52
1
zyx
zyx
zyx
f)
=+−
=+−
=−+
2625
33
832
zyx
zyx
zyx
g)
−=−+
−=+−
−=+−
237
932
833
zyx
zyx
zyx
h)
=+−
=++−
=++
0323
72
825
zyx
zyx
zyx
20) Qual é o valor de m para que o sistema
=−
=+
104
123
yx
ymx tenha solução única ?
21) Classificar e resolver cada sistema a seguir:
a)
=+
=+
13y5x3
5y2x
b)
=+−
=+−
=++
1zy3x
10z4y2x3
9z3yx2
c)
=++
=++
=++
4z6y4x2
3z5y4x2
2z3y2x
d)
−=+−
=−
1246
623
yx
yx
22) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b:
a)
=+
=+
1353
52
yax
byx
b)
=+
=−
1332
55
byx
yax
c)
−=+−
=−+
=++
243
323
2
bzyx
zyx
zayx
23) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaixo é impossível.
24) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaixo a) possível determinado? b) possível indeterminado? c) impossível?
=++
=++
=++
453
545
22
nzyx
pzyx
zmyx
25) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir: a) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 blusa, 1 tênis e 1 calça, faltarão R$ 30,00. Se comprar 1 tênis e 1 calça, sobrarão R$ 10,00 e se comprar 1 blusa e 1 calça, sobrarão R$ 20,00. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais b) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem? c) Em três tipos de temperos verificou-se que , para cada tablete de 10 gramas , a) O tempero I tem 2 gramas de sal , 2 gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne. b) O tempero II tem 2 gramas de sal , 1 grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne. c) O tempero III tem 3 gramas de sal , não contém pimenta e tem 3 gramas de essência de carne. Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I , II e III que contenham , simultaneamente , 11 gramas de sal , 3 gramas de pimenta e 20 gramas de essência de carne. .
QUESTÕES DE VESTIBULARES :
1) (CEFET– MG) – Sendo = � "34� � 4$5 �64$5 � 6 � = = �4$5 � 0�1 2"34 ��, então, para todo x ≠ π7 � 8. π� ,
k∈Z, o valor de α é a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x
2) (CEFET– MG) – Considere a matriz A = �6 36 2� e o sistema linear � :� � 5� � 76� – 10 � � 14�. Se det A =
= m + 1 e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
3) (CEFET– MG) – O(s) valor(es) de x para que �1 2 �� 0 �1� �2 �3� = -8 é (são)
a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3
4) (CEFET– MG) – Para que o sistema ; � – � � 3< � 22� – � � 4< � 5�� � :� � 5< � 0�tenha infinitas soluções, o valor de
m + n é igual a a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8
5) (CEFET– MG) – Sendo x, y ∈ [0 , π�= e � 0 1 1"34 � 4$5 � 04$5 � "34 � �1� = 0, a relação entre x e y é
a) x + y = 0
b) x + y =
π�
c) x – y =
π�
d) 2x – y = π e) 2x + y = π 6) (CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
7) (CEFET– MG) – Seja A = (aij), a matriz quadrada de ordem 3 onde aij = ;21 – 3 4$ ( > ?( – ? 4$ ( � ?( � ? 4$ ( @ ? �. O
valor do determinante de A é igual a a) -57 b) -19 c) 0 d) 19 e) 57
8) (UF – PI) – Sejam M e N matrizes quadradas tais que M.N = ��1 �4 00 �1 0�4 �12 �1� e M = -N.. Se
det M < 0, o valor do det N é igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
9) (UE – CE) – Se o determinante da matriz A = A 3 √:�√:� √2 C é √�� , então o determinante da matriz
B = �1 �1 21 :� � 1 21 �1 :� � 2� é
a) D7
b) D�
c) �E7
d) �E�
10) (UFV – MG) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A) = det (A2), então o valor de det A é a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1 11) (U.F.MG) – Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha
a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução .
=−+
=++
=++
132
243
2
zyx
bzyx
azyx
12) (U.F.MG) - Determine todos os valores de x , y e z que satisfazem o sistema
=
=
=
−
4
1 4.16.4
42.2
2
1 3.3.3
zyx
zy
x
zyx
. 13) (U.F.MG) – Ache os valores de m para os quais o sistema
=−+
=+−
=−+
2626
2343
132
mzyx
mzyx
zyx
tenha soluções.
14) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que , para cada grama , a) O alimento I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitami- na C . b) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitami- na C .
c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A , não contém vitamina B e tem 3 unidades de vitamina C . Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I , II e III que forneçam , simultaneamente , 11 unidades de vitamina A , 3 de vitamina B e 20 de vitamina C .
15) (U.F.BA) – No sistema
=+
=+−
=++
0z2x
833
132
zyx
zyx
, determine o valor de z – xy .
16) (U.F.PA) – Qual é o valor de m para que o sistema
=−
=+
104
123
yx
ymx tenha solução única ?
17) (PUC-SP) – Determine a relação entre a e b para que o sistema
=+
=−
54
12
ybx
yax tenha solução
determinada .
18) (CESCEM) – Determine os valores de a e b que tornam o sistema
=+−
=−
byx
ayx
46
23 indetermi –
nado .
19) (PUC-RS) – Determine a relação entre a e b de modo que o sistema
=−
=−
24
12
ybx
yax seja inde-
terminado .
20) (PUC-SP) – Determine os valores de k de modo que o sistema
=++
=++
=−
13
03
1
zkyx
zykx
zx
tenha solução
única .
21) (U.F.PE) – Determine todos os valores de λ de modo que o sistema
=++
=++
=++
033
02
02
zyx
zyx
zyx
λ
λ tenha
solução única. 22) (PUC-SP) – Verifique quantas soluções tem o sistema abaixo .
=+−
=+−−
=−+
22
1
04
zyx
zyx
zyx
23) (U.F.BA) - Discutir o sistema
=+
=+
54
132
ayx
yx em função do parâmetro a .
24) (CESCEA) – Discutir o sistema
=++
=++
=++
333
2222
1
mzyx
zyx
zyx
em função do parâmetro m .
25) (F.G.V. –SP) – Discutir o sistema
=−+
=−−
=++
kzyx
kzyx
kzyx
em função do parâmetro k .
26) (MACK –SP) – Discutir o sistema
=−
=+
=+
myx
ymx
yx
1
2
em função do parâmetro m .
27) (PUC – SP) – Para que valores de b o sistema
=+
=+
=+
bbyx
yx
yx
0
534
tem solução ?
28) (ITA – SP) - Qual deve ser a relação que a , b e c devem satisfazer para que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução ?
=++
=−+
=−+
czyx
bzyx
azyx
72
1162
32
29) (CESGRANRIO) – Se o sistema
=+
=+−
=−+
byx
zayx
zyax
1
0
tem uma infinidade de soluções , determine
a e b .
30) (U.F.CE) – Se o sistema
=++
=++
=++
1
122
12
mzyx
zyx
zyx
não admite solução , calcule o valor de 32 log 2m .
31) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfazer os parâmetros α e β para que o sistema
=+
=++
=+
βα
αα
zx
zyx
zx
3
443
12
não tenha solução ?