1. L'roblululjlelluirg

Hinc ltcihc pliysikalisclier l'roblciiie frrhrt iLuf liiieare Iiypcrbolisehc R~ifangs- l~ ; r r idwci . t i~ i i f~ i~ t~~~i~ . I I I S I ) ~ ~ S ~ I I ~ ~ ~ ~ V ( ~ trifft das zu fiir die Wellenausbreitung stark rind schwach koinpressiblcr Fluide in Kohrcii, die Iiiici~re~i ' 1 ' i ' i l t i s t ~ c ~ ~ : ~ l -

rind Torsiorisscliwingurigen von Staben iind die Ausbrcitung elektromagrictischcr Wcllcn in lioiiiogcncn i i tc .ht lclt 1'11-

deli Mcdicn, uiii riur einige Beispielc zii nenncn. Ijic 1,iisung dcr reinen Arifangswertaufgabe, aueh C ~ u c i i ~ s c h ~ s l'ro~lcn1 gciianiit, is1 scit liiiiglhiii t,,'i,;111111,

Z. 1 ~ . 13] utid [IS]. Sic wiirdc fiir die von nur einer Ortskoordinate abhiiigigc (cindirricnsionale) St riiiiiung I I I g ~ ~ h ( - l i l ~ s - bciier Form volt n'ALwvnjEiiT angcgeben. Gemischte Aufgabcn, d. h. Anfangs-lii~ndwcrtprobleulc., w r i r d c ~ ~ a l ~ c r C T ~ I

in den letzten 30 Jaliren cingchender untcrsucht. In [9] wird die 1r:xistenz und Eindeutigkeit der eiridiiiic.iisioriaIcti klassischen ~~iifangs-~iandwertprob~efiic, zll dcnen liiail neben delii CAbclrYschen I'roblcni das J>nriijovabt~lic, l'icbiwsche und GOUll5ATSChe Problem zahlt, eingehcnd untersucht. Die gcnannten Probleiiic crgebcn si(*li ~ I I I ~ & ~ i t l

allgenieinen Yroblein von ZZOBIA SZMYUT (S-Problem) als Sonderfalle. Spczicllc Bnfangs-ltandwert:Lii~~~~})(~ii, t l i c , ~ 0 1 1

Iiiehr als ciner Ortskoordinate abhangen, werden vorwiegend in "31, [lo], [ l l ] und [14] behandelt. Die korrehte Problemstellung ist besonders bei hyperbolischen Anfangs-ltandwertaufgaben voii grollcr \\'ic.Ii-

tigkeit, weil hier die Randbedingungen nicht vollstandig beliebig vorgegeben werden diirfen. Zu deiii Ikgritf deb korrekt gcstclltcn Probleins wird man auf Grund physikalischer Bedingungen gefiihrt, denen eiric praktiscli w i ' ~ ci't - lmre J,iisriiig geriugen iiiuli. Wir wollen hier unter der korrckt gestcllten Anfitngs-l~anclwertaufga~,c C'III i'i'ot)l(,iii 1 crstehen, dcsscn Liisung existiert, zuineist in eincm metrischen norrnicrten Kanni, dort cindeutig ist uud I)ci ~ ~ ~ I I I

c'iticr hinrcichcnd klcirien Anderung der Vorgaben cine beliebig lileirie Andcrung der J,iisurig cntspricht. Fri1. d ; ~ h

Lorrekt gcstellte C l i u c ~ ~ s c h c l'roblcni ist die Vorgabc eines Anfangsstreifens 1. Ordnung notwendig. Bci dcin korrckt gestcllten gemischtcn l'robleni darf iiittri als ltandbedirtgungen keinen vollstimdigc~it k'lac11~11-

ht lwfcri crstci' oder hiilierer Ordnung vorgebcn. Physikalisch vcrbietcn sich derartigenicht init dcr Aiiidii~s))cdiiig~~ I I ~

vertragliclic kandbedingurigen von vornherein. s o kann z. 15. k i g s der ltander eines Ibohrcs, in dciii zi t i i i % C l ~ ~ J l l l l k t

t 0 ein bcstiniinter Anfangsznst:~iid hcrrscht, praktisch n u r eiri 1)ruck oder ein Durchsatz c rm iirigcii ~i crt1c.11, aber iiicht bciclcs unabhangig voncinander. Bci Vorgabe dcr cinen Griille stcllt sich die andcrc G~ti lJe in jcdciii l'iiii1,t tics 1::Ltidcs in Abhiingigkeit on der Storung, die sich lings cincr (>har i~kt~r i s t~k auf den bctrcffcncleri l ~ a i i t l ~ ~ i ~ i i l , t

zuI)~wcgt, z~angliiifig &I. I)ic auf der Charakteristik itri It aiidpunkt eintreffende 8tiirtirig staninit e i i t w d ( ~ r dirc.l,l voll dcr Anfangsvcrtcilung her oder von der ltcflexion der Wellen an dcm gegeniIberliegenderi Iti~iid.

Werdcri liirigegeri als Randbedingungen der gcrriischtcn hyperbolischen Aiifgabe Fliichenstreiicti (irstcr C)rtl- n i l tig beliebig vorgegebcn, d a m existiert iin L6sungsgebiet G, kcine beziiglich dcr llandwcrtvorgaben c.inrlcut igc Jisung. h r c h eine solohe willkiirlichc Vorgabe wiirde beispielsweise bei einer zeitabhbrigigcri hyperboli~cheri A 11-

f;mgs- Itand wcrtaiifgabc die Kausalitat zwischen Ursache und Wirkung verletzt. 1,iirigs jcder Charakteristik liirjt sich aus der E'orderung nsch einer eindeutig von rlcri I~andbcdiiigiiiigeti a1)hall-

gigen Liisung eine Gleichnng aufstellen, irn folgeiiden Vertragliolikeitsbediiigung genanrit, die die gcsnchte 1,i)snngs- funktion und ihre partielleri Ableitungen auf gegcnuberliegenderi Jtandern initeinander verkniipft. Die I'ertriglich- keitsbedingung legt zusainnien init der korrekt gestelltcn liandbedingnng erst den Plachcnstreiferi irii bet reffcndcii Jdaritlpunkt bis auf cine Konstaritc fest. Uei einer in G, cleiri Jiauin C2 cXer zwciiiid stetig tliffereiizicr~~iLi~c.ri J"ink- tioilen angehorendcn J , O S L I I ~ ~ bestiinnit i i i a i i die Konstaritc so, dall (lie Stctigkeitsbcdiri~ilrlg a i i f dciii gcsiLiiift'ii I{:tlldc crfrillt ifit. Die Rbhangigkeit der Flachenstreifert i L u f den Jianderii voii derii Anfangsstreifeii ist Fur d i e L~MIIII~ liyperloolisclier Anfangs-Kandwertprobleine typisch.

Bei den klassischen Kandwertproblenien (I)Amouxsches, P I C A R D ~ ~ C ~ ~ S und G O U I ~ S A T W ~ ~ S l'rohlcni), z. J 3 . [l], 131 und 191, werden lings der BLnder die Funktionswcrte der gesuchtcn Firnktion vorgegehen. Die in 141, I S ] , [ I 1 1 und [ 141 behandelten alIgenieincrcn gcruischtcri l'robluiiie lassen sich anf die ~ T U l ~ M - ~ ~ I u U V l L I , ~ : s : C h c ltaiidwci't- " I *

li.-li. 1 ~ s . ~ : Exibteiie und Eiiiclcutigkcit oirles 1lyl)~~~boliMc.llcll Aiif;Liiys-ltaild~ertyroLlcnlb. T C I ~ I . 344

tlufgabc zuruckfuhren. Diese iriinierhin noch speziellen Randwertvorgahen widersprechcn rluturlicli i ~ i c h t dell Ver- triiglichkeitsbedingungen, und nian erhiilt unmittelbar die gesuchtc eindeutigc Liisung. In der Techiiili treten sbcr hiirifig kompliziertere ltandbedingungen auf, die aus Differentialgleichungen (Dgln.) bis zllr zweiten u11ci hiiheren Ordnung bestehen k6nnen.

Im folgenden beschaftigen wir uns niit der axistcne urid Eindeutigkeit der L6sung des in2ioiiiogeiicIi l iypr - lrolischen Anfangs-ltandwertproblems

~- ~ _ _ _ _ _ - - __ -~ ____-__--- .

und dcri 1Laridhedingungen liings der in Bild 1 urgestellten liiinder Kl und fi,

(1.2)

(1.3)

Der L)efinitionsbcreichJcr~icli der E'unlitioii u(z, z) ist 2 Y P

G, = [Z,(t), Z2(t)] x [ O , 03) = G', + u Ic, = IJ G, + U k, , 0 5 N < m i . j = V n-V J ~ 0

In dcr Dgl. (1.1) sind x die Wegkoordinatc (ltohraohse) uridz = cot, wobci t die Zeit rind c,) die konstmtc \.Vcllcnailb- lrrcit ungsgeschwindigkcit ist.

])as Msungsgebiet G', besteht BUS oiiioiii uiiciidliclicu Halbstrcifon, Bild 1, dcr durcli fi,, fi, iuitl A, bcriuidot wird. k'iir die Kiinder

Ku : T = 0,

K, : x = B,(z) oder z = T,(z), z E LO, 00) urid j = 1, 2 (1.4)

2 € [ O , I ] ;

wird Z, E Cz(K,) iind lZj(z)] < 1 fur allez E [0, 03) rind j = 1, 2 (tinic like) voruusgesctzt. \l'citcrhin diirfcri sich hT1 wid I& im Endlichen weder beriihrcn noch schneiden.

IT.-K. JIIHN: Existenx nnd Eindeutigkeit Pines hyprrbolisrhen Anfanas-Randwrrtproblcms. Teil J. 345

u nct qlg, E C(K,) , j = 1, 2 . ( I .7)

I)ic lhinkt,ionrn r j ( z ) Rind nnsonstcn hclrchig vorgehhnr. JVir siirhcn die klnssisc~hc 1,iisiing tlcr gcniischtcn A 1ifg;il)r ( 1 . I ) , (1.2), ( I .3). Uarunter verstehen wir eine Funktion der Klassc C2(&), dic in am der Dgl. (l.l), nlif KO t h 1

Anfangshedinglingen (1.2) iind auf den Elandern K,, K , den Randbedingungen (1.3) geniigt. Fur die Existenz tier klassischen Lasung der gemisehten Aufgabe ( l . l ) , (1.2), (1.3) ist notwendig, dal3 die Glattheitsherlingungen

Y'" E C2(K0) , Yot E C W " ) ( 1 3) iind dic1 Stctigkeitshedingungen iiii Randpiinkt x =- 0, T =- 0

nu(0, 0) z 7&40), - - - - V 0 - ( 0 ) , a w , 0)

u(0, 0) = !P0(0) , _ _ _ ~ - a t ax (1 . ! I )

nnd entsprechend aiich im Punkt z = I, t = 0 erfhllt sind. Die Dgl. (1.1) beschreibt ungedampfte Schwingiingen eines homogenen Mediums linter dcr 1Gnwirkung cities

zeitlich und ortliche veriinderlichen Feldes. An der vorliegenden Problemstellung ist vom mathematischen Gesichtspunkt aus ungewohnlich, daB zu einer Dgl. zweiter

Ordnung, G1. (l.l), Randbedingungen, GI. (1.3), in Gestalt einer Linearkombination yon partiellen Ableitungen der gesuchten Funktion his zur zweiten Ordnung vorgegeben werden. Wegen dieser Randbedingungen mu0 die gesuchte Losung nicht nur in) Gebietsinneren G,, sondern eben auch auf den RLndern der Dgl. (1.1) geniigen. Zur Erlauterung des physikalischen Sachverhaltes, der zu dieser Aufgabenstellung fiihrt, weisen wir auf ein praktisches Beispiel aus der Hydraulik hin.

Ein hydraulischer Speicher besteht z. B. aus Kolben und Feder [2]. Vernachlassigen wit die Tragheitskraft des Kolbens, drr Feder und der Fluidsaule, den I)ruckverlust und die Gewichtskrsfte, dann gilt als Randbedingung fdr das GeRchwincligkeits- potential am Rohrende K , ( z = I ) , wo sich dcr Speicher befindet:

au(z t) a q l , t) a w , t) c, 2- irz + c"- + c"= 0 .

C,, C,, C, sind Konstante > 0. Es I d e n sich noch weitere Beispiele dieser Art aus der Hydraulik, der technischen Mechanik [S, S. 4633 und z. B. der Rege-

lungstechn~k [IS] angeben. Viele in der Technik auftretendm Randbedingiingen sind zudem noch nichtlinrar, iind in einigen Fallen sind die Rander K,, K, sogar zeitabhiingig.

2. Existenz und Eindeutigkeit der klns~isrhen Liisung

Die Existenz der Losung des vorliegenden Anfangs-ltandwertproblems (1.1)) (1.2), (1.3) beweisen wir direkt, indcni wir eine geschlossene analytische Losung in den charakteristischen Gebieten Go, GI, G,, ... des Losungsgebietes (2, konstruieren. Die gesuchte Losung und vor allem die noch einzufuhrenden Vertraglichlceitsbedingungen nehmen aber bei zeitlich veranderlichen Itandern Kl und K2 in den x,y-Charakteristiken eine ubersichtlichere Gestalt an, sls in den x,z-Koordinaten. Wir iiberfiihren daher zunachst das Anfangs-Randwcrtprohlem (l.l), (1.2), (1.3) nuf die I'hnrakteristiken

x : z + t 1 cnnst 14:s niitinit jetzt dic Gestalt an:

und y = z - -r = const.

(2.1)

(2.2)

fiir

Y'o(x) E C2(Ko) , Y'o,(z) E C 1 ( K o ) . Mit clm Ahkiirzungen fiir die Tiisungsfunktion 11 auf tlcn Rm5ndern K, , K ,

Y', = u(x, Y)IR, 9

H.-K. IBEN: Exiitenz iind Eindautigkcit eincs hypcibolischen Anfangfi-Rnndwrrt prohlcn~s. 1. ~ __ -. _ _ - - 316

1 :L i l t r . n d ic vorgesohriebmen Kandbedingungen

___ -- ~ - -

+ af:i~f. + a,3y/la, + + ~ , J J , ~ , , = e , , .i -- 1 , 2 . 1 )ic. (:l&liiingcn dcr Rander des IAsungsgebietes crgcbcn sich jctzt zii

ATo: 5 = y, 2 E [ O , 1 1 , K, : 5 = X,(y) oder y = Y,(x) t C2(K1)

tilit 5 c [0, m) f i i r j = 1 und x E [ l , co) fur j = 2 .

( 2 . 3 )

(2.4)

15ntsprc~hrnd i s t ilann

n,,(a.) - 'x&, r;(Z)) E q K , )

a&/) = (XZ'(X,(Y), y) E C(&) 3

I l l l d

Wiederiini sei mindestens eine der Punktionen Nil11 vcrschieden. Nach den Forderiingen (1 .6) Rind jetzt die Falle

i = 1, ..., 5 . auf IC, fiir alle r E 10, 00) nnd nuf K , f i i r allr g E [ I , a) w t r

nJ1, f 0 rind aft =3. 0 fur i = 1, ... 5 init Ausnahine von j 1 , aJ,- k 3 0 iind aI1 = 0 fiir i - 1, ... 5 init Aiisnnhrric von , j { 3

a3j+l 0, ajj I 3 # 0 iind qa = 0 f i ir i = 1, ... 5 mit Ausnahme v o n j 4 1 u n d j + 3 und ( 2 . 5 )

fiir alle x E [0, 03) mit j = 1 und alle y E [I, - 00) mit j = 2 aiiszuschliefien.

iintl cs ist Wegsn der eineindeiitigen charakteristischen 'I'ransformation geltcn niivh hicr rfic Strtifikcitst)cdinjirlrlfien

v I E c'(K,) , j = 1,2 rind f(x, y) E ~ l ( u , ) . Wir hctrachtcn niin die allgemeine Randwertaufgabe, bei der saintliche all. f 0 sind, i -- 1 ... 5 iind , j - 1, 2 .

fionderfdlle der Gln. ( 2 4 , allerdings mit Ausnahme der Forderiingen (2.5), sind analog z i i k)ehnndelti. T)ie in Bild 2 tliirch den Aufpunkt A fuhrendrn Charakteristiken 2 = const und y = const beranden znsani-

111ei i niit KO, R, und K, dns Uebiet Q, dersen Rand K sei. Wir wenden nun den lntegralsatz von GREEN J J [vL(u) - ~ i l f ( ? ~ ) ] (1% dy = $ [P dy - Q d ~ ] ( 2 . q c f IC

nuf den 1)dferentialausdruck L(u) = j' an. h b e i ist rlns Gcbietsintcgml iihcr (7 i i n d dns Iinirnint cgrnl iihcr den gcschlossenen doppelpiinktfreien Rand IC zii erst,reoken. M ( v ) kt der zu L(u) ndjungierte l~iffcrentinlnii~driicl~. 1 t u vorlirgendpn Fall gilt:

' t Die Koordinaten des Aufpunkfes A und der Randpunkte:

I B"

\ Uild 2. Llisungsgebict in den r,pl<nonlinntrii

-'3

c

I I

- H - " h

-

I I

+ -r=

4-

348 T-I.-T<. T H E N : Existenz und Eintleutiekeit eines hvnerbolischen Anf:~ngs-Rand~~crtprnl~lrms. Teil 1

( 3 . 2 )

Fiir dir writeren Betrachtnngen benotigen wir die Streifenbedingungen erster und zweiter Ordnung Lings KO, R,,

11 II d

(3.4)

(3.5)

d” @ YJ40 = Y d t ) I 2 Y d O y ; ( o 1 Y d 6 ) Y’;”(E) + !Pj&) ‘ Y;‘(E) (3.6)

d’ YJ,(q) ti r/

Y’flrl,($) 7 f ( a . a, ; 8 = t. 7 (3.7)

~Jm/( ‘9 = A 6 3 YjW) y f z ~ / ( ? / ) f(XJ(V), 7 1 ) ; j = 1 , 2 * (3.8)

YJjzzh) X ’ M t 2Y!Zf/(rl) x;(rl) I P jyy (r l ) t Y j z ( 7 / ) x;’(7); j - 1,2

iind t l i c b nu< drr Dgl. (2 .1) folgmden Beziehungen fur die gemischten partiellen Ahlritungcn zwritcr O r d n u n ~ I<b~jgs

iind

K,, K~

Def 1 nit I on : Die VPrtr~glichkeitsbedingungQn nullter, erster und hoherer Ordnung sind (;.‘leichungPn, (lie lu t tg s der z,y-CharakteristikPn gelten. Sie ergehen sich aus der Einhaltung der zwangsldufigen physikalischen Folge von TJrsachr und Wirkung, die rnit der mathematischen Forderung nach einer in jedem Punkt des Losungsgehietes eindeutig con detr ,4 nfungs-Randbedingunyen abhangigen Losungsfunktion u einschlieplich ihrer partiellen Ableitungen erster utrd hohe? Qr Oidnung identisch ist.

Danach erhalten wir nun die Vertriiglichkeitsbedingung nullter Ordnung langs der z-Cliaralrteristik drircli Uleichsetzen der G1. (2.8) mit der G1. (3.1). Entsprechend ergibt GI. (2.8) zusamnien mit G1. (3.2) die Vertraglich- keitshedingung nullter Ordnung langs der y-Charakteristik. Die Vertraglichkeitsbedingungen erster, zweiter und hoherer Ordniing folgen dann uninittelbar aus den Vertraglichkeitsbedingungen nullter Ordnung durch Differen- tiation nach dem die Charakteristik bestimmenden Parameter x bzw. y und unter Uenutzung der Streifenbedin- giingen (3.3) nnd (3.4). Da bei beliebiger Wahl von A E G , der Randpunkt C, auf Kl oder auf KO und cler Rand- punkt B, auf K2 oder KO liegen kann, haben wir zusiitzlich noch eine Fallunterscheidnng zu hcachten. \Vir stellcn letzt die Vertraglichkeitshedingungm his zitr zweiten Ordnung zusanimen.

VertrRRlirhkeitshcdingiing erstcr Ordniing :

Vertr~iglichkcits1)crlingiing zwcitcr Orrlnung :

(3.10)

(3.11) J Yd€)

Licgt B, mif KO, dann gilt fiir (lie Vertraglichkeitshedingiing niillter Ordnung:

(3.10’)

Vcrt raglichkoitsk~cdingurig zweiter Ordtiung :

( 3 . I 1‘)

Vertr~glic.likeitshcditigurig riulltcr Ordnurig :

(3.12)

(3.13)

(a. 14)

YI(’I)

L icg l C; auf KO, d a m gilt firr die Vcrtraglichkcitsbedirigurig riulltcr Ordnung:

Vcrtriglichkcitsbedingung erster Ordnung : Si(d

Vcrtrii~lictilteitsbcdiiiguiig xwcitcr Ordnii~ig:

Y’ON(7)) + J f(4 11) dn = Y z y ( q ) * ,, (3. I a‘)

1511t spreeherid lassen sich die Vertraglichkcitsbedirlgurlgen beliebig holier Ordnuiig aufst cllen, die aLcr fur ctic 1,cjsruig dcs vorliegendcn Anfangs-liandwertproblems nicht benijtigt werden.

1)ic Vertriiglichkeitsbcdingung erster, zweiter und hoherer Ordnung langs ciiicr dcr bcidcri ~ l i a r~ck tc r i s t i l , (~~ i gelit, wic gcxeigt wurde, aus dcr Vertraglichkeitsbedingung nulltcr Ordnung hervor. Die Vcrtriiglic.likeits~ct~i t i -

g~i~igci i laiigs einer Charaktcristik hilden daher insgesamt niir einc zusiitzliche imabh~ngigc G leichring. Mit i1irc.r IHilfe lasscii sich die Pliichenstreifen erster und hohcrcr Ordnring Iiiirigs tlcr Itiitider li,, K2 ohnc Kcnntnis tlcr 1,iisriug i i l i Ucbic:t.sirinorcii, ;uisgchciid voin ~nfarigsstreifari auf I<(,, s~hr i t t &cisc fiir die ciiizchcn ~ e h i e ~ c u, 1)crwhirc~ii.

NiicIi tlcii UIii. (3.1(1’), (3.11‘) h w . (3.10) 11ncl (3 .11 ) Iicingcri die pwtiollcli Al)lcitritrgcti (tor gv~uc~lit(~ti l ~ u t i I \ - f,iuii 14 1iac.11 .L‘ Iiirigts deb I i : d e s Kl nur votii Flkclicnsf reifcri clcs gc~gctiii~)erliogclltlcii 1i:uidcs ah. I h s glcicdlie gilt wcgcti clcr Glri. (3.13’), (3.14’) bzw. (5.1s) urid (3.14) a u r h f i i r die l):irtkdleii r~hleitiiiigcn der Fiiiilitioii lb i i i i (+ l i ,y

Hieraus ist nun unniittclbar crsichtlioh, dall 1iandbcdiugungen dcr Ucs;lalt (2.5) bxw. (1.0) tlcu \’urgill)t’i1 a u f dairi gegenuberliegenden Rand widersprechen und daher auszuschlieWeti sittd. Die Itaiidbediilgungeii (2.3) iiiiissen folglich so vorgegeben werden, da8 das Gleichungssystem, besteherid aus der Dgl. (2. l), dcri Gleicliurigeri fur die Anfangsbedingungen (2.2), den Gleichungen fur die Randbedingungen (2.3), den Streifeiibediagungcn unti clcri Vertr6glichlicitsbodingungcn, beziiglich der gesucliten Losung auf dcm ltancle und iiii Gebictsiruicrcri ciridcut tg ist.

1\ risgcliciitl voii den ltaiidbcdingungcn (2.3) stellerl wir jetzt niit Hilfe dcr VurtrigliolilceitsbediligrlllbrC11 Itiiigs dcr n,~-Cliaraktcristikcn und dcr Streifenbcdingutigeri fur die Funktioiiswerte U, und U2 einc gewiihnliclie Hgl. au f .

Zuniichst wendcn wir uns der Punktion U, zu, die einem beliebigen Teilrmd von Kl zugeordnet ist, z. U. dcil i zu 15‘(~+~) (Uild 2 ) gehorenden (n + 1)-ten Teilrand c I<,. Wir gehen davon &us, dali dann dcr Pliicllrri- streifen auf Kc,”-’) c K , bekmnt ist, also mit Hilfe der Vertraglichkeitsbedingung liings der y-Chsrakteristik bercits vervollstandigt wurde. In det G1. (2.3) setzen wir j = 1 und ersetzen Ylz und Ulzz durch die Vertraglichkeits- bedingungen (3.10) und (3.11). Thnn sind

liillgs K2.

deren Losurig den Bedingungcii !Pp+l)(z,L-l) = !Pi'"- 2 ) ( L n - 1)

u nd

(3.1 S)

17iitcr dcii i i r i Abscliriitt 2 genannten Voraussctzuiigcli cxisticrt cinc den Uedingungeii YJ? ' "'(ytc -1) = vp ' 2)(y,, - I)

I l l l t l

gcti llgt~litli~ I,osung. Mit den h s u n g e n dcr 1)gln. (3.16) rind (3.19) t3irid nun tibur die Vertraglichkcits- und ~trcifciiLccliir~iitig(~ti

tlic li'luclicii~treiferi nuf c'iner Folgt. vori 'l'eilintervallen langs K,, li, ,ausgehentl von A,, U,, bekarint. J )ic' Losring / / ( . I ) k:mri rii1ii ftir A E GTlm nach GI. (2.9) (hzw. nach den Qln. (2.10), (2.11), (2.12)) ausgewcrtet ucrdcn.

AbsclilieBend zeigcn wir 110011, clall, GI. (2.9) die Anfangs-l~andbedingungen erfullt. Dazu lasseii v 11' tlcii i\ii f - prinht A z. l3. gegen den Itand Kl lings c = const streben, was

H.-K. IBEX: Existenz und Eindeutigkeit eines hyperbolischen Anfangs-Randwertproblems. Teil I. 3.5 1

ergiht. Vertaiischt nian die Integrationsreihenfolge in den drei Doppelintegralen und integriert das Handintegral ldngs K, statt iiher f j nach x , dann geht

,e 1

1

r i r i t dw V w t rifilichkcitshedingiing (3.9) iininit,telhnr iihcr in

In gleiicher Weisc lalit sich zeigen, clan niit navh dcni Itnnde K, strehcnden Aiifpiinkt -4 dir Iiisnngsfnn1;tion ? ~ ( . 4 ) irnd ihre partiellen Ahleitnngen niit den1 Flaichenst'reifen langs K2 iihereinstimnit und damit die I<andhedingiiiig (2.:3) f i l r j = 2 erfiillt.

Da die Flachcnfitreifen langs der Itander K,, K, iiher die Vertraglichkeitsbedingungen eindciitig von dcn Anfnngsbedingtingen ahhangen, befriedigt somit iinsere 1,osung (2.9) auch die Anfangsbedingungen ( 2 . 2 ) .

SchIieMich folgt aus dcr allgerneinen Giiltigkeit des lntegrafsat,zes von GREEN, riber d e n u ( A ) erhaltpn wiirclc , dalll GI. (2.9) die einzig mogliche T,Bsung des eindeutig gestellten Anfangs-Randwertprohlenies (2.1), (2.2), (2.3) 1st.

Wir haben damit den Satz bewiesen: Bas Ldsungsgebiet cm der Anfangs-Randwertaufgabe ( 1 .l), (1.2), (1.3) wird durch einen unendl ichen N a l b s t r e ~ e n t+& gebildet, der von d m R a n d e r n K,,: t = 0 u n d K , : z 1 Z l ( t ) E C 2 ( K l ) , j = 1, 2 berandet w i d . D i e Randkurven K , sollen sich im Endlichen weder beriihren noch schneiden u n d es gelte stets < 1 f u r alle z t [ O , 00) u n d j = I , 2. In e, existiere d a n n eine F u n k t i o n F E Cl(Gm), au f d e m R a n d e KO sei der Anfangsstrci fen Y,, E G2(K,,) u n d Yor E @(KO) u d auf d e n Rundern K j seien die Randbedingungen (1.3) rnit de?? E u n k t i o n e n el E G(K,) , j = 1, 2 vorgqehen. In dPn Ratid- hedingungsgleichungen s ind die Koef f iz ientenfunkt ionen al, € C l ( K , ) , i = 1, ... , 5, j = I , 2 u n d mindestens eine dgt Koe f f i z im ten funk t ionen sei auf K, u n d Kz fi ir alle t E [0, 00) von N u l l verschieden.

Sind die Stetigkeitsbedingungen (1.9) in d e n R a n d p u n k t e n (0, 0) u n d (1, 0) erfiillt u n d w r d e n die Beziehungeii ( 1 .(i) ztvischen d e n Koef f iz ientenfunkt ionen ausgeschlossen, dann existiert in C2(&) die L6'sung der *4 n fangs- h'aiidzcert- aufyahe (1.1)) (1.2), (1.3) u n d sie ist in ct, eindeutig.

D i e Losung des der Anfangs-Randwertaufgabe (1.1)) (1.2), (1.3) aquivalenten Problems (2.1), (2.2), (2.3), das water d e n genannten Voraussetzungen ebenfalls in C2(8,) existiert u n d dort eindeutig is t , wird f u r d e n Fall, dafi nlle Koeff iz ientenfunkt ionen agi # 0 s i n d , durch G1. (2.9) durgestellt. Sind die Eandbedingungen (1.3) his (2.3) nichtlinear, so pflanzt sich die Nichtlinearitat lediglich in die zu losenden gewohnlichen Dgl. (3.16) und (3.19) fort. Die allgenieine Tijsnng des Problems, G1. (2.9) und die Vertraglichkeitsbr- dingiingen hleihen davon unberiihrt.

Literatur I RABITSCH, W. M., Lineare Differentialgleichungen der mathematischen Physik, Akademie-Verlag Berlin 1967. 2 BERCERON, L., Water hammer in hydraulics and wave surges in electricity, John Wiley and Sons, inc. New l'ork and London. 3 COLLATZ, I,., Punktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer-Verlag 1964. 4 HELLWIG, G., Differentialoperatoren der mathematischen Physik, Springer-Verlag 1964. 6 HORN, J., Partielle Differentialgleiohungen, Walter de Gruyter 11. Co, Berlin 1949. li KAMRE, E., Differentialgleichungen 11, 4. Aufl., Akademische Verlagsgesellschaft Geest 11. Portig K.-G., T,eipaig 1962. 7 KAMXE, E., Differentialgleichungen I, 6. Aufl., Akademische Verlagsgesellschaft Geest u. Portig K.-G., Leipzig 1969. 8 KNESCHKE, A., Differentialgleichungen und Randwertprobleme, Bd. TI, B. 6, Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1961. 9 KRZYZANSKI, &I., Partial Differential Equations of second Order Vol. 11, PWN-Polish Scientific Publishers 1971.

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Ringcreicht: mi 3. 5 . 1976

Iler Verfasser dankt an dieser Stelle seinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. phil. et rer. nat. habil. W. S r ~ u ~ ~ z - P r s z ~ r ~ ~ r c ~ , iur wertvolle Hinweiw und Hcrrn Prof. Dr. rer nat. habil. F:. LANOKATJ fur anregende Dkkussionen.

Anschift: Doz. Dr. sc. terhn. HANS-KARL IBEN, 301 Magdeburg, IZarl-Marx-StrsOe 25, DDR

,,Friedrich List" Dresden 1976.