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TRIGONOMETRIA ANALITICA E
HIPERNOMETRIA
IDENTIDADES BASICAS (sohcahtoa)
• sen (x) = opuesto/hipotenusa
• cos (x) = Adyacente/Hipotenusa
• tan (x) = Opuesto/Adyacente Hipotenusa
• csc (x) = Hipotenusa/Opuesto Opuesto
• sec (x) = Hipotenusa/Adyacente x• cot (x) = Adyacente/opuesto Adyacente
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
• IDENTIDADES BASICASIDENTIDAD FUNDAMENTAL sen²(x)+cos²(x)=1IDENTIDADES DE COCIENTE
IDENTIDADES RECIPROCAS recíprocamente
recíprocamente
recíprocamente
IDENTIDADES PITAGORICAS
IDENTIDADES PARES – IMPARESparesImpares
IDENTIDADES DE COFUNCION
IDENTIDADES INVERSAS
• Ejemplo 1 Verifica la siguiente identidad:
1seccos
1cos1
cosseccos
sec1
)sen1)(sen1(
2sen1)sen1)(sen1(
2
2
sec1
cos
Ejemplo 2Verifica la siguiente identidad
Solución
Solución
Usando las identidades reciprocas
Identidades trigonométricas
Identidades que relacionan con -
-
(x,y)
(x,-y)
seny)(sen
ysen
cosx)cos(
xcos
tan
cossen
)cos()(sen
)tan(
Identidades trigonométricas
Identidades de ángulos complementarios y suplementarios
90-
90+
(x,y)
xcos
ysen
cos)90(sen
cos)90(sen sen)90cos(
sen)90cos(
(x,y)(-x,y)
(-x,-y)
180-
180+
sen)180(sen
sen)180(sen cos)180cos(
cos)180cos(
(-y, x)
Identidades trigonométricasIdentidades para la suma de ángulos
Identidades para la mitad de un ángulo
sencoscossen)(sen
sensencoscos)cos(
tantan1tantan
)tan(
2cos1
2sen
2cos1
2cos
sencos1
cos1sen
cos1cos1
2tan
• Ejemplo 3 Verifica la siguiente identidad
cossen22sen
)(sen2sen
cossen2
sencoscossen
Ejemplo 4Verifica la siguiente identidad
2sen212cosSolución
)cos(2cos
2
22
22
sen21
sen)sen1(
sencos
sensencoscos
Solución
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
* Las ecuaciones trigonométricas, son identidades que satisfacen ángulos específicos, cuya solución se expresa en medidas de ángulos
* Es pertinente reducirlas en términos de una función, generalmente seno o coseno
*En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas
EJERCICIOS
1.
EJERCICIOS
2.
Factorizando
Proucto Nulo
)cos()cos(
)(1)cos(
)cos(
)(
)cos(
1x
x
xsenx
x
xsen
x
)cos()tan()sec( xxx
)cos()tan()sec( xxx
0)()()(1)(1)(cos)(1 222 xsenxsenxsenxsenxxsen
0]1)()[( xsenxsen
360180,0:)0()0())((0)( 111 ySolucionsenxsenxsensenxsen
)1()1())((1)(0]1)([ 111 senxsenxsensenxsenxsen
EJERCICIOS
3.
ANÁLISIS DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
El soporte del estudio está en los llamados teoremas de seno y coseno, los cuales permiten determinar los lados y ángulos de triángulos no rectángulos.
TEOREMA DEL SENO
Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B,C. respectivamente, se cumple:
c
CSen
b
BSen
a
ASen )()()(
Se utiliza cuando :*Se Conoce un lado y dos ángulos*Se conoce dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos*Se Conoce los tres lados.
EJERCICIOS
1. Para el triángulo que se presenta en la gráfica, hallar todos los lados y ángulos de la misma. A = 400
3
)40(2)(
2
)(
3
)40()()( senBsen
Bsensen
b
Bsen
a
Asen
4284.03
)6427.0(2)( Bsen
TEOREMA DEL COSENO
Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C. respectivamente, se cumple:
Cababc
Baccab
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
EJERCICIOS
Del triángulo expuesto a continuación, determinar sus lados y ángulos.
4
3
b
a
cos
670,072.24
57.16
)09.3)(4(2
)57,9(43)cos(
2)cos()cos(2
09,3574,9
574,9426,1525`)50cos(24169
`)50cos()4)(3(243
222
222222
2
2
222
bc
cbabccba
cc
c
c
EJERCICIOS
Un Golfista golpea la pelota desplazándola 220 metros en línea recta, la pelota queda a 250 metros del hoyo. El ángulo que se forma en el punto donde quedo la pelota, con la ubicación del Golfista y el hoyo es de 1500 ¿Cuál será la distancia del Golfista al hoyo?
p2 = (220)2 + (250)2 - 2(220)(250) cos(1500 )Desarrollando: p 2 = 48400 + 62500 -110000 (-0,8660) = 110900 + 95260 = 206160p2 = 206.160 ⇒⇒ p = 454,048El golfista esta a 454,048 metros del hoyo.
G = Ubicación del GolfistaH = Ubicación del hoyoP = Ubicación de la pelotap = Distancia del golfista al hoyo
GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICASSENO HIPERBÓLICO:COSENO HIPERBÓLICO
TANGENTE HIPERBÓLICA
COTANGENTE HIPERBÓLICA
SECANTE HIPERBÓLICA
COSECANTE HIPERBÓLICA
DOMINIOS Y RANGOSSENO HIPERBÓLICODOMINIO : RealesRANGO : RealesCOSENO HIPERBÓLICODOMINIO : RealesRANGO : ( 1, oo)TANGENTE HIPERBÓLICADOMINIO : RealesRANGO : ( -1, 1)COTANGENTE HIPERBÓLICADOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo)SECANTE HIPERBÓLICADOMINIO : RealesRANGO : ( 0, 1)COSECANTE HIPERBÓLICADOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)
IDENTIDADESsenh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh ycosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh yLas cuales, haciendo y = x,Senh 2x = 2 senh x cosh xCosh 2x = cosh² x + senh² xLa segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad1 = cosh² x - senh² x.Sumando resultacosh 2x + 1 = 2 cosh² xmientras que si restamos se tienecosh 2x - 1 = 2 senh² xSustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulasCosh u /2 =* cosh u + 1 / 2Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nunca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSASUsamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es y = senh ^ -1 xPara cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación esy = cosh ^ xpara cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación esy = sech ^ -1 x.Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación esy = tan^ -1 x, y = ctgh^ -1 x, y = csch ^ -1 x.