Universidad de OrienteNúcleo de Monagas

Programa de Ing. de SistemasMaturín- Edo. Monagas

Profesor:Cristian Ronceros

Bachilleres:Freites, Yoximar

Hurtado, RosannyMalavé, Jesús

Patiño, AnaRomero, Sosleidy

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos

Interpolación Cuadrática

Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo grado para interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática

Resolviendo la función anterior tenemos la siguiente:

Donde:

Interpolación Cuadrática

Para encontrar b0, en la ecuación original se evalúa con x = x0 para obtener

Por ultimo se sustituye las anteriores en la ecuación general, y se evalúa en x = x2 y se resuelve para:

Luego se sustituye b0 en la ecuación original, después se evalúa en x = x1 para tener

Interpolación Cuadrática

Las siguientes fórmulas se pueden resumir en una tabla de diferencias divididas.

Interpolación Cuadrática

𝑷 𝟐 (𝒙 )= 𝒇 𝟎+ 𝒇 [𝒙 𝟎 ,𝒙 𝟏] (𝒙− 𝒙𝟎 )+ 𝒇 [ 𝒙𝟎 , 𝒙𝟏 ,𝒙 𝟐] (𝒙− 𝒙𝟎 ) (𝒙 −𝒙𝟏)

Xi 1 3 4fi 2 4 8

Buscamos un polinomio de 2° grado que escribimos en la forma

Donde hay que hallar a0, a1 y a2. Sustituimos por los valores de la tabla

Ejemplos

1) Calcular el polinomio de 2° grado:

Interpolación Cuadrática

𝑷 𝟐 (𝒙 )=𝒂𝟎+𝒂𝟏 (𝒙−𝟏 )+𝒂𝟐(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑)

Se obtiene así un sistema triangular fácil de resolver

El polinomio nos queda

Interpolación Cuadrática

𝑷 𝟐 (𝒙 )=𝟐+ (𝒙−𝟏 )+ (𝒙 −𝟏 ) (𝒙−𝟑 )=𝒙𝟐−𝟑 𝒙+𝟒

2) Hallar el polinomio de 2° grado que pasa por los puntos dados por la tabla en diferencias divididas:

Se calculan los coeficientes del polinomio de interpolación

Interpolación Cuadrática

Gastos x 1 3 4Ingresos y 2 4 8

2

4

8

𝑷 𝟐 (𝒙 )=𝟐+ (𝒙−𝟏 )+ (𝒙 −𝟏 ) (𝒙−𝟑 )=𝒙𝟐−𝟑 𝒙+𝟒

3) En la siguiente tabla se indica el tiempo en días y el peso en gramos de tres embriones en una especie animal:

a) Obtener el polinomio de interpolación de los datos de la tabla.

b) Hallar, a partir de dicho polinomio, el peso correspondiente a un embrión de 6,5 días.

Interpolación Cuadrática

Tiempo x 3 5 8Peso y 8 22 73

Realizamos con la tabla de diferencias

Así, sustituyendo por x= 6,5 días.P2 (6,5) = 26,75 gramos.

Interpolación Cuadrática

8

22

73

𝑷 𝟐 (𝒙 )=𝟖+𝟕 (𝒙 −𝟑 )+𝟐 (𝒙−𝟑 ) (𝒙 −𝟓 )

4) El número de turistas entre 1975-1990 en millones se registra en la tabla

Estimar por interpolación cuadrática los millones de turistas de los años 1987 y 1993

Interpolación Cuadrática

Años

1975 0 24,1

1980 5 30,1

1985 10 38,1

1990 15 43,2

Para estimar los turistas en 1987 y 1993 con x = 12 y x = 18, usamos el polinomio cuadrático determinado por los puntos 5,10 y 15 que a partir de la tabla corresponde a

Sustituyendo por x=12 y x=18

Interpolación Cuadrática

𝑷 𝟐 (𝒙 )=𝟑𝟎 ,𝟏+𝟏 ,𝟔 (𝐱−𝟓 )−𝟎 ,𝟎𝟓𝟖 (𝐱−𝟓)(𝐱−𝟏𝟎)

𝑷𝟐 (𝟏𝟐 )=𝟒𝟎 ,𝟒𝟖𝒕𝒖𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝒔 𝑷 𝟐 (𝟏𝟖 )=𝟒𝟒 ,𝟖𝟕𝒕𝒖𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂𝒔