Upload
punnong-tutor
View
16.257
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lecture note of exponential and logarithmic functions (in Thai)
Citation preview
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 1
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
โดยทวไปแลวอตราการเตบโตของสงมชวตตางๆหรออตราการเพมของจ านวน
ประชากร ความแตกตางกนของความรนแรงของแผนดนไหวแตละรกเตอร ไมไดม
ความสมพนธ เปนแบบเสนตรง แตจะเปนแบบทวคณ ซงตองการความรทางดานเลขยกก าลง
ฟงกชนเอกโพเนนเชยลและลอการทมครบ อยากรวาสงเหลานคออะไรตดตามไดเลยครบ
1. ทบทวนเลขยกก าลง เลขยกก าลงสามารถมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมหรอเปนจ านวนตรรกยะ (ทไมใชจ านวนเตม) กได
ทดสอบ 1 (จงกระจายเลขยกก าลงดงตอไปนหรอท าใหอยในรปอยางงาย )
𝑎𝑏 3
2𝑎 4
𝑏𝑐 5
3𝑛 4
𝑚
𝑛
4
2𝑏4 3
3𝑎3
𝑏5 3
ทฤษฎบทเลขยกก าลง ให m, n เปนจ านวนตรรกยะ
am ∙ an = am+n
am
bn = am−n a ≠ 0 และ b ≠ 0
am n = amn
am
n = amn
ab n = anbn
a
b
n=
an
bn b ≠ 0
a0 = 1 a ≠ 0
a−m =1
am a ≠ 0
am = a × a × a × … × a × a กรณมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ให a เปนจ านวนจรงใดๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก
กรณมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ เมอ a เปนจ านวนจรง
n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 และ a มรากท n ∶ a1
n = a n
m ตว
an
จะมคาในระบบจ านวนจรงเมอ ≥ 0
ทฤษฎของรากท n
ให n เปนจ านวนจรง
an
n
= a
ann = a เมอ n เปนจ านวนเตมค a เมอ n เปนจ านวนเตมค
an
bn
= abn
a
n
bn =
a
b
n b ≠ 0
เมอ n เปนจ านวนเตมค
การหารากทสองของ A ± B
เราใชก าลงสองสมบรณ a ± b 2
= a + b ± 2 ab = a + b ± 4ab
มาชวยในการแกปญหา ดงนนถาเราให A=a+b และ B=4ab
รากทสองของ A + B = ±( a + b) และรากทสองของ A − B = ±( a − b)
ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
2 สถาบนปนนอง
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
−2𝑎𝑏4 4
−2𝑎2
𝑏2
3
𝑚5𝑛4
𝑚2𝑛3
18𝑚7𝑎3
4𝑚4𝑎3
23
× 22
1
73
ทดสอบ 2 จงหาค าตอบของสมการ 𝑥2 − 7 + 𝑥2 − 12 = 5
1
1+ 2+
1
2+ 3 +
1
3+ 4+
1
4+ 5+ ⋯ +
1
99+ 100= ?
ใหเรยงล าดบจ านวนจากนอยไปมาก 325 3 , 520 3 , 715 3 , 910 3
2. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอฟงกชนทก าหนดในรป
f x = ax โดยท a > 0 และ a ≠ 1
โดยมกราฟดงรป
จดสงเกต
- กราฟตดแกน y ทจด (0,1) เสมอ (เพราะวา 𝑎0 = 1 เสมอ) - โดเมนจะเปนคาจ านวนจรงใดๆกได แตคาเรนจจะตองเปนคาทมากกวา 0 เสมอ
ลองท าดซ จงเขยนกราฟดงตอไปน
(0,1)
O x
y
𝑦 = 𝑎𝑥 โดยท 𝑎 > 1
ฟงกชนเพม
(0,1)
x
y
O
𝑦 = 𝑎𝑥 โดยท 0 < 𝑎 < 1
ฟงกชนลด
y = a−𝑥 เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1 y = −a𝑥 เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 3
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
3. สมการเอกซโพเนนเชยล (Exponential Equation)
สมการเอกซโพเนนเชยลคอ สมการทมเลขชก าลงเปนตวไมทราบคา (Unknown) โดยอยในรป 𝑎𝑥 = 𝑎𝑘 เชน 2𝑥 = 8 = 23 ดงนน x = 3
แบบฝกหด 1 จงแกสมการดงตอไปน
2x = 64
3x = 81
5x
2 =1
5
2x+4 = 128
102x−5 = 103x
64
25 𝑥−1
=4
5
1
2 −𝑥
= 128
2x+4 = 42x
x x = x
4𝑥+1 + 64 = 2𝑥+5
22𝑥 +2 − 9 ⋅ 2𝑥 + 2 = 0
22𝑥+1 − 9 ⋅ 2𝑥 −1 + 1 = 0
6(25𝑥) + 11(23𝑥) − 3(2𝑥) = 2 5𝑥 + 1
31+ 𝑥2 +𝑥− 2 + 9(3− 𝑥2+𝑥−2) = 28
3 3𝑥 + 3−𝑥 = 10
3(32𝑥 + 3−2𝑥) = 10
y − k = a𝑥−ℎ เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1
y = a|x| เมอ a > 0 แ ละ a ≠ 1
ถา 𝒂𝒙 = 𝒂𝒌 แลว 𝐱 = 𝐤
(นนคอ ถาฐานเทากนแลว ตวเลขชก าลงกตองเทากนดวย)
ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
4 สถาบนปนนอง
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
𝑥
𝑥−1+
1−𝑥
𝑥= 2
1
6
แบบฝกหด 2 จงหาเซตค าตอบของอสมการดงตอไปน
2𝑥 > 16
1
3 𝑥+2
< 3−5
2𝑥2 −5 >1
16
0.5 𝑥2 −3𝑥 < 0.5 𝑥−3
𝑎𝑥2+ 7 < 𝑎8 𝑥−1
2 𝑥+2 <1
32
𝑥 + 1 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥2 เมอ x > −1
x 𝑥2
≤ 𝑥 2𝑥−1
เมอ x > 0
4. ฟงกชนลอการทม(Logarithm Function)
กอนหนานเรารจกฟงกชนเอกซโพเนนเชยลกนแลว ซงกคอ y = ax เมอเรามาพจารณาอนเวอรส (Inverse function) ของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลเราจะไดวา x = ay ซงสามารถเขยนไดอยในรปของฟงกชนลอการทม โดยใชนยามตว log เขามาแทนไดดงน
x = ay ↔ y = logax โดยเราอาน logax วา “ลอการทม x ฐาน a หรออานกนสนๆวา ลอก x ฐาน a” เราเรยก a วาเปนฐานหรอ Base (เชนเดยวกบเลขยกก าลง) ซงมคาอยในชวง (0, 1) หรอ (1,∞) นนกคอ a > 0 แต a ≠ 1 ซงจะท าให x > 0 ดวย
เพมเตม : ส าหรบอสมการเอกซโพเนนเชยล
𝒂𝒎 > 𝒂𝒏 ↔ 𝒎 > 𝒏 เมอ 𝒂 > 𝟏 (ฟงกชนเพม) 𝒂𝒎 > 𝒂𝒏 ↔ 𝒎 < 𝒏 เมอ 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 (ฟงกชนลด)
Logarithm function : If ay = x, then y = loga x , where a > 0; 𝑎 ≠ 1 and x > 0.
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 5
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
เราสามารถเขยนกราฟของ logarithm function ไดดงน
จดสงเกต
- กราฟตดแกน x ทจด (1,0) เสมอ (เพราะวา loga 1 = 0 เสมอส าหรบทกคา a ทเปนไปได) - เรนจหรอคา y จะเปนคาจ านวนจรงใดๆกได แตคาโดเมนจะตองเปนคาทมากกวา 0 เสมอ
ถามเลนๆ ท าไม a หามมคาเปน 1 ? กราฟแสดงการเปนอนเวอรสซงกนและกนของ exponential function และ logarithm function แบบฝกหด 3 จงเปลยนจ านวนตอไปนใหเปนฟงกชนเอกซโพเนนเชยลหรอฟงกชนลอการทม
10,000 = 104
7 = 4912
8 = 1
2 −3
3 = log5 125
3 = log 5 5 5
(1,0) x
y
O
𝑦 = log𝑎 𝑥 โดยท 0 < 𝑎 < 1
(1,0) O x
y
𝑦 = log𝑎 𝑥 โดยท 𝑎 > 1
(ฟงกชนเพม) (ฟงกชนลด)
ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
6 สถาบนปนนอง
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
กฎของ logarithm (Laws of Logarithms)
โดยท a ∈ R+, a > 0
ลองท าด
log25 × log2 3 = log2 15 .ใชหรอไม?
log25 + log2 3 =
log5 125 − log2 8 =
log35 + log3 12 − log3 20 =
loga xy 2 = ____ × (loga ____ + loga ____)
log4 12 × 12
36 =
log4(log2 16 ) =
Proof :
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 7
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
5. ลอการทมสามญ (Common Logarithms) คอ ลอการทมทมฐานเปน 10 คอ log10 𝑥 = log𝑥 ซงโดยปกตแลวถาไมมการเขยนหมายเลขฐานไว เราจะถอวา log ตวนนมฐานเปน 10
6. การประมาณคา log A
ส าหรบจ านวนเตมบวก A ใดๆ เราสามารถเขยน A ในรปมาตรฐานดงน
A = N0 × 10n โดย 1 ≤ N0 < 10 และ n ∈ I+ เมอใส log ทงสองขางและใชกฎของลอการทมเราจะได
log A = log N0 + n เราเรยก n วา แคแรกเทรสตก (Characteristic) ของ log A ซงเปนจ านวนเตมบวก และเรยก log N0 วาแมนทสซา (Mantissa) ของ log A ซงจะตองมคามากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ
ตวอยางเชน จงหาคา log 1,150 ถาเราทราบคาวา log (1.15) ≈ 0.0607 พจารณา 1,150 = 1.15 × 103 เราจะไดตามวา log 1,150 = log 1.15 + 3 = 0.0607 + 3 = 3.0607
7. ลอการทมธรรมชาต (Natural Logarithm) หมายถงลอการทมทมฐานเปน e โดย e เปนจ านวนอตรรกยะมคาประมาณ 2.71828 เราสามารถเขยนลอการทมธรรมชาตไดในรป loge 𝑥 = ln𝑥 (อานวา ลอน x)
8. แอนตลอการทม (Antilogarithm) คอ การด าเนนการทตรงกนขามกบการหาคาลอการทม โดย
log x = A กตอเมอ antilog A = x
ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
8 สถาบนปนนอง
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
1. ก าหนด log 275 = 2.4393 ถา log N = −4.5607 แลว N มคาเทาใด (จงหาคาของ a,b,c,d,e และ f)
วธท า log N = −4.5607 = −4 − 𝑎 = −4 − 1 − 𝑏 = −5 + 𝑐
จากทโจทยก าหนด log 275 = 2.4393 = 2 + 0.4393 หรอ 0.4393 = log 275 − 2 = log ( 𝑑 )
สรปไดวา log N = −5 + 𝑒 หรอ N = 2.75 × 10( 𝑓 )
2. ก าหนด 3 ≤ log6 𝑥 < 4 โดย x เปนจ านวนเตมบวก จะม x ไดทงหมดกคา
วธท า
ทดสอบเลกๆ จงแกสมการดงตอไปน
2𝑥 = 24
3𝑥 = 20
1.2𝑥 = 1000
1
2 𝑥
= 0.005
0.99 𝑥 = 0.00001
200 × 20.04𝑡 = 6
เชนก าหนดให log 32.4 = 1.5105 โดยนยามของลอการทมสามญ เราจะไดวา 32.4 = 101.5105 หรอถาใชแอนตลอการทมจะไดวา 32.4 = antilog 1.5105
การค านวณคาโดยประมาณโดยใชลอการทม
9. การแกสมการลอการทม จะมหลกเกณฑดงตอไปน - จะใชหลกเกณฑของการเปนฟงกชน 1 ตอ 1 ทวา - เมอหาคาตวแปรไดแลว ตองตรวจสอบวาใชไดหรอไม โดยการแทนคากลบลงไปในสมการ และ
ตรวจสอบด เชน คาภายใน log จะตองมากกวา 0 เสมอ ส าหรบการแกอสมการลอการทม จะใชสมบตของฟงกชนเพม/ฟงกชนลด ในการก าจดฐาน คอ
.
10. การแกสมการเอกซโพเนนเชยล โดยใชลอการทม สมการทอยในรป ax = b โดยท x เปนตวแปร ขณะท a
และ b เปนคาคงท จะสามารถแกไดโดยการน า log เขาทงสองขาง จะได x =log 𝑏
log 𝑎
loga x = loga y กตอเมอ x = y
log𝑎 𝑥 > log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦 เมอ 𝑎 > 1 (ฟงกชนเพม) log𝑎 𝑥 > log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦 เมอ 0 < 𝑎 < 1 (ฟงกชนลด)เพม)
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 9
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
ประชากรในเมองหนงเพม 5 % ทกๆ 2 ป ถามวาเมอใดทประชากรจะเพมขนเปนสามเทาของปจจบน
หม ามเงนลงทนทงหมด 12000 บาท แตหม าตองการใหเงนงอกเงยจนมคาอยางนอย 30000 บาท ถาหม าน าเงนไปลงทนแลวไดผลตอบแทนเทากบ 13% ตอป ถามวาหม าตองรออกนานเทาไหรถงจะไดเงนเทากบทตองการ
11. ตวอยางการประยกตใชลอการทม - อตราการเจรญเตบโตหรอการเพมขนของประชากร
- ดอกเบยทบตน
ม.5 เทอม 1 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS)
10 สถาบนปนนอง
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]
แบบฝกหดทายบท (จาก Text book)
ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและลอการทม (EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS) ม.5 เทอม 1
สถาบนปนนอง 11
390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]