Exponential Mathematics 4 - Late-Phase exponential?

8/14/2019 Exponential Mathematics 4 - Late-Phase exponential?

1/7

Dw{nadaybj`

Ljygdljybcs

@jyd{gjsd

dw{nadaybj`>

BX


2/7

Dw{nadaybj` Ljygdljybcs BX

Vgjy Jonty Nygdr [`jadys>

Ygdrd bs syb`` janygdr oj``nna yn od {n{{di, nad ygjy j`sn `trds ts bayn cnl{`jcdac vgda vddxj`tjyd ntr {nssbo`d idlnfrj{gbc htytrds! Cn`nabubaf nygdr {`jadys bs any j sjhdy xj`xd ygjy bs

fnbaf yn gjxd ja bl{jcy vgjysndxdr na nxdr{n{t`jybna gdrd jy gnld!

Vd jrd snldyblds ydl{ydi yn bljfbad ygjy nygdr {`jadys rd{rdsday j snry nh t`ybljyd sjhdy nty`dy

bh ntr {n{t`jybna {rno`dls vnrsda! By bs djs yn bljfbad ygjy ntr s{dcbds vb`` dxdaytj`` yrjxd` ynjai cn`nabud nygdr {`jadys! Snna, hnr dwjl{`d, ntr s{dcbds lj sdai jsyrnajtys yn Ljrs! Jai bhvd in, by bs ztbyd {nssbo`d ygjy gtljaby vb`` gjxd dsyjo`bsgdi ja bagjobydi rdsdjrcg syjybna na ygd

rdi {`jady o lbicdaytr, bh any snnadr! Snldij, stcg ja nty{nsy lbfgy cnld yn rdsdlo`d ygdrdsdjrcg syjybnas ygjy dwbsy ba Jayjrcybcj ynij! Ygdrd lj od j inuda nr sn scbdaybsys vgn s{dai jdjr nr yvn jy j ybld jy stcg j hjcb by! Ygdsd bidjs jrd rdj {nssbob`bybds!

Oty vb`` Ljrs jai nygdr {`jadys sjxd ts hrnl ntr ctrrday {jyydras nh {n{t`jybna frnvyg> Jrd ygd

ja t`ybljyd sjhdy xj`xd bh ntr {n{t`jybna {rno`dls fdy nty nh gjai>

J`ygntfg ygd ygntfgy bs ydl{ybaf, by ytras nty ygjy nygdr {`jadys jrd ja bl{nssbo`d sjhdy xj`xd!Hbrsy, ntr adjrdsy adbfgonrbaf {`jadys, Ljrs jai Xdats, jrd jylns{gdrbcj`` jai c`bljybcj`` ta

stbydi yn ja snry nh `jrfdscj`d gtlja gjobyjybna! Xdats, hnr basyjacd, gjs strhjcd ydl{drjytrds

nh 2;; nH, {tii`ds nh ld`ydi `dji na bys strhjcd, j crtsgbaf jylns{gdrd nh cjrona ibnwbid, jaic`ntis cnl{nsdi nh st`htrbc jcbi! Vd gjxd dy yn idxbsd taljaadi s{jcdcrjhy ygjy cja `naf strxbxd nr htacybna na bys strhjcd, ltcg `dss gtlja odbafs! Jai j`ygntfg ydrrjhnrlbaf, js ibsctssdi ba snld nh ntr nygdr rdsntrcds, bs j {nssbob`by, by vntì yjmd j xdr `naf ybld dxda bh by vnrm

di!

Ljrs Vna&y Vnrm Dbygdr

Jsbid hrnl {rngbobybxd` gnsyb`d cnaibybnas dwbsybaf na ygd nygdr {`jadys nh ntr sn`jr ssydl, ygd

{rno`dls baxn`xbaf cnsys jai `nfbsybcs jrd j`sn bastrlntayjo`d! Cnaydl{`jyd, hnr dwjl{`d, gnvltcg by vb`` dxdaytj`` cnsy yn h` j inuda jsyrnajtys yn Ljrs jonjri j slj`` h`ddy nh ygrdd nr hntr

s{jcdcrjhy!

St{{nsd, basydji, ygjy vd idcbid yn etsy yrjas{nry nad nr yvn ob``bna {dn{`d yn Ljrs yn d`blbajydnxdrcrnvibaf jy gnld, rdldlodrbaf, nh cntrsd, ygjy j ob` bna bs j yrt` danrlnts atlodr! Anv

bljfbad gnv ltcg by vntì cnsy yn htai ygd gtairdis nh ygntsjais nh lbssbnas ygjy vntì odadcdssjr yn jccnl{`bsg stcg j hdjy any yn ldaybna j`` ygd dw{daibytrds addidi yn otbì ygd

adcdssjr gnlds, hjcynrbds, hjrls, rnjis, vjydr jai sdvdr {`jays, scgnn`s, jai sblb`jr bahrjsyrtcytrd ygd adv gtlja cn`nabds vntì rdztbrd na j adv {`jadyjr gnld!

Lbfgy vd sdai j inuda nr sn jsyrnajtys yn Ljrs na j lbssbna nh dw{`nrjybna> Nh cntrsd! Otydxda bh ob``bnas nh {dn{`d xn`tayddrdi ygdlsd`xds jai ygdbr hjlb`bds hnr stcg j gjujrints yrb{ j``

ygd fnxdraldays jai yjwds ba ygd vnrì cntì any jhhnri yn sdai ygnsd ob``bnas yn Ljrs ! By vntì


3/7

od ja tyydr abfgyljrd nh dwxdr lbai sdaibaf ygnsd sjl

@dssnas nh ygd Ibanh`jfd``j

_dcj`` hnr j lnlday ygd ldsjv ygjy o into`baf ygdbr

{`dyd` ncct{bdi ygdbr cnayjb

St{{nsd ygjy ntr ibanh`jfd``tyds odhnrd ibsjsydr, ygjy ygd

j`sn ygjy ygd jrd dwyrjnrib

cnayjbadrs dwjcy` `bmd ygdbr

@dy ts htrygdr bljfbad ygjy

cnaibybnas ygjy jrd adjr` biybna cja snldgnv jccnl{`bhdcy` stbydi, o sgddr fnni

dxdays ncctr, gnv ltcg ln

Ygrdd Lnrd Gntrs>

Tahnrytajyd`, ntr baytbybnalnsy nh ntr M:? yrjbabaf f

onyy`ds ltsy ot ygd s{dcbd

ygdsd nrfjabsls jrd frnvba

jiibybnaj` onyy`ds inds anyo

Ba ja dw{nadaybj` sdyybaf, s

lbatyds! Js ygd ibanh`jfd`odrs cnaybatd yn into`d dxdr

j!l! vb`` into`d nxdr ygd cnygd ncct{jays nh ygnsd yvn e

hbai ntrsd`xds vbyg hntr onyyn cn``j{sd js ygd vdrd yv

HNT_ yblds js lja baibxb

dxda j ztjirt{`bafnh bys nrb

dasd jai `nfbsybcs yn h` ob``bnas nh {dn{`d yn Ybob``bnas yn ygd {`jady Ljrs!

yds BB

yj` dw{drblday baxn`xbaf ibanh`jfd``jyds ba ntratlodrs rd{djydi` dxdr sbwy sdcnais, ygd

adr ba ygd cntrsd nh ja gntr!

jyds jrd j ydcgan`nfbcj`` jixjacdi s{dcbds jai, dw{`nrd ibsyjay {jrys nh ygd `jonrjynr ba vgbc

jrb` `tcm ba ygdbr dw{`nrjybnas jai hnrytbynts`

nld ejr 'jhydr Ojry`dyy, :267= ?;;4" 'sdd b``tsyrjy

gdsd adv onyy`ds cnayjba sj`y vjydr, atyrbdays, yd

daybcj` yn ygnsd nh ygdbr gnld ejr! Ygts, bh ygd isg ygd adcdssjr yrjas{nryjybna, j`` ygrdd nh ygdbrhnrytad, hnr blldibjyd ibanh`jfd``jyd gjobyjybna!

d ybld in ygd ibanh`jfd``jyds ot hnr ygdlsd`xds

n ygd ot ygdlsd`xds ygrdd lnrd gntrs>

`dji ts nacd jfjba yn ja bacnrrdcy jasvdr! Ygnds `bmd ygbs5 By ynnm nad gntr yn hb` ygd hbrsys ygrdd lnrd gntrs! Js vd sjv ba ygd {rdxbn

ba ja dw{nadaybj` {jyydra, sn ygjy ygd hnrytajy

ygd nrfjabsls ygrdd lnrd gntrs!

cg dwyrdld` hnrytajyd ibscnxdrbds ot ygd nrfj

jyds j{{rnjcg ygd daxbrnaldayj` `blbys nh ygdbr sbwy sdcnais! Ygbs ldjas ygjy ygd ncct{jays n

rsd nh ygd adwy lbatyd, sn ygjy yvn onyy`ds jrd htjrs vb`` j`` into`d ba janygdrsbwy sdcnais! Ygt

`ds cnl{`dyd` hb``di vbyg ibanh`jfd``jyds jailbatyds jfn! Ba ygbs cjsd, gnvdxdr, ygdrd jrd

tj`s hjcdi vbyg idjyg js ygd {n{t`jybna hbaj``

fbaj` daxbrnalday!

rrj id` Htdfn ad

rdxbnts dwcdr{y! Vdbanh`jfd` jyds cnl

ba ygd `jsy hdv lbag ygd `bxd! St{{nsd

ibscnxdr ygrdd lnrd

bna jonxd"!

l{drjytrd, jai `bfgy

anh`jfd``jyd {n{t`jadv onyy`ds jrd {drBh j`` nh ygdsd `tcm

d `nfbc stffdsydi onyy`d, sn ygrdd lnrds dwcdr{y, gnvdxdr,

d ibscnxdr nh ygrdd

absls tsy yvn lnrd

nld ejr, ygdbr atlh j hb``di ejr jy ::5;;

`` jy ::5;: j!l! Jais, o ::5;? j!l!, vd

gd jrd etsy js c`nsdhntr obns{gdrds jai

wcddis ygd `blbys nh


4/7

Ba jiibybna, ygdrd bs j vbid`gdì lbs{drcd{ybna ygjy j cj`jlbynts nxdr{n{t jybna snldgnvcjaany dwbsy nr cjaany od xdr sdrbnts sn `naf js /xjsy jlntays nh n{da s{jcd/ jrd syb`` jxjb`jo`d

ba j {n{t`jybna&s daxbrnalday

'J yn{bc ygjy vd jiirdss jaj`ybcj`` ba nygdr [nvdr[nbays jai [IHs ba ygbs sdy=

Sdd [n{t`jybna cj`jlbybds ba xjsy n{das{jcd cnaibybnasjai Gtlja [n{t`jybna Frnvyg jai ygd N{das{jcd Id`tsbna!"

_dj`vnrì ibanh`jfd` jyds 'js vd``js c`jssbcj rdbaiddr gdri dw{drb

ldays ibsctssdi ba nygdr inctldaysba ntr cn``dcybna" onyg cnahbrl jai

idlnasyrjyd ygjy ygbs lbs{drcd{ybnabs sdrbnts` bacnrrdcy! Itrbaf jantyordjm nh idji` rdiybid ba ygd

ncdja, hnr dwjl{`d, bh vd cn``dcynad `bydr nh ygd sdj vjydr ba ygdntyordjm, ygd daybrd sjl{`d gjs ynw

bc `dxd`s nh /ordxdynwbas/ ygjy gjxdodda rd`djsdi bayn ygd vjydr o ygdibanh`jfd``jyd cd``s!

Rdy, ygd nad lb` bna ibanh`jfd``jyd

cd``s {dr `bydr vgnsd jcybxbybds gjxd{nbsnadi ygd vjydr ba ygbs sjld vj

ydr sjl{`d ljajfdi yn in sn o dwcddibaf ja tasdda {n{t`jybna ygrdsgnì hnr ygdbr s{dcbds5 Ygts, vgb`d

ncct{baf `dss ygja yvn nad,ygnt,sjai ygs nh nad {drcday nh ygd ynyj`

jxjb`jo`d /s{jcd/ ba ygdbr daxbrnalday 'sdd ygd yba vgbyd iny ba

bljfd, `dhy", rdj vnr i ibanh`jfd

`jyds 'stcg js Mjrdabj ordxbs" rntybad` baxbyd cj`jlby t{na ygdlsd`xds jai ygd jztdnts strrntaibafs ba vgbcg ygd rdsbid, sn ygjy

ygd cnasybytyd nad nh ajytrdsztbaydssdaybj` dwjl{`ds nh {n{t`jybna ibsjsydrs!%

%Ygdsd yn{bcs jrd yrdjydi ba Vgjy Dxdr Cbybuda Sgntì Manv Jonty Ntr [`jadyjai ba ntr {rdsdayjybna [n{t`jybna cj`jlbybds ba xjsy n{das{jcd cnaibybnas

Ba nygdr vnris, rdj`vnrì ibanh`jfd``jyds {rnitcd ygdbr rdiybid cjyjsyrn{gds @NAF ODHN_D ygd

ibanh`jfd``jyd cd``s ygdlsd xds ljajfd yn hb`` ygd daxbrnalday ba vgbcg ygd `bxd! By sgntì odibsztbdybaf, ba hjcy, ygjy ygd ljajfd yn bah`bcy j {n{t`jybna ibsjsydr t{na ygdlsd`xds jai ygd

jztdnts daxbrnalday ba vgbcg ygd rdsbid vgda ygd {gsbcj`` ncct{ na` j xn`tldyrbcj``basbfabhbcjay {nrybna nh ygd dl{y s{jcd ygjy xbstj`` j{{djrs yn od ygdnrdybcj``jxjb`jo`d ynygdl jai ba daxbrnaldayj` cnaibybnas ygjy j{{djr yn od J@LNSY DAYB_D@R DL[YR!


5/7

Fnni [`jadys Jrd Gjri Yn Hbai

Vd jrd, nh cntrsd, any rdj`` baydrdsydi ba ibanh`jfd `jyds jai ygdbr bljfbajr onyy`ds! Vd jrd,gnvdxdr, baydrdsydi ba ntrsd`xds jai ntr {`jady! Vd gjxd idxnydi j `ny nh jyydaybna yn ntr iban

h`jfd``jyds odcjtsd ygd jrd j tsdht` xdgbc`d yn odyydr taidrsyjai ntrsd`xds! Ygjamht`` nh cntrsd,ntr nva into`baf ybld, bs any nad lbatyd! Ntr nva into baf yblds gjxd odcnld sgnrydr jaisgnrydr ygrntfgnty gbsynr 'dy janygdr cgjrjcydrbsybc nh dw{nadaybj` {rnfrdssbnas"! Ntr lnsy

rdcday into`baf ybld gjs odda j{{rnwbljyd` hnry djrs js vd {rnfrdssdi hrnl ygrdd ob``bna ba:28; yn sbw ob``bna ba `jyd :222! Js hnrldr CBJ ibrdcynr Ebl Vnn`sd, cnlldaybaf na {drljhrnsyjai hddiojcms, rdcday anydi, ajytrd bs any j`vjs fnbaf yn odgjxd ba `badjr hjsgbna ]etsy\

odcjtsd ntr lbais ygbam ygjy vj 'js cbydi ba Hrbdilja, ?;;7"!

Ntr jsyntaibaf {`jady vbyg bys ajytrj` ssydls jai baydrjcybaf `bhdst{{nry ljcgbadr bs tyydr`

tabztd javgdrd ba ygd manva tabxdrsd! Vd manv nh an nygdr {`jady dxda rdlnyd` `bmd by! Jai

dy ntr dw{`nibaf atlodrs, baitsyrbj`bujybna, jai cn``dcybxd bl{jcys jrd idsyrnbaf bys anagtlja bagjobyjays, bys odjty, jai bys `bhdst{{nry bahrjsyrtcytrd vbyg sd`hbsg jojaina! Bh ntr ctrrdayyrjedcynrbds {drsbsy, ygdrd vb` od an {`jadyjr innxdrs jxjb`jo`d bh vd idsyrn dxdrygbafjrntai ts ygbs hbrsy ybld jrntai!

Ibanh`jfd``jyds jai Ordxdynwbas

By bs tsdht` yn bljfbad vgjy lbfgy mb`` ygd ibanh`jfd``jyds ba stcg ja dw{drblday! In ygd sthhdrhrnl gtafdr jai ljss syjrxjybna> An! In ygd sthhdr hrnl ja ntyordjm nh d{bidlbc ibsdjsd nrja bahdcybnts xbrts> An! In ygd taidrfn xbn`day {gdanldaj stcg js vjr jai jffrdssbna> An!Jlnaf ibanh`jfd``jyds, djcg nrfjabsl rd`djsds yba jlntays nh {nbsnants ordxdynwbas bayn bys

daxbrnalday, jai ba j xjsy ncdja vbyg hdv ibanh`jfd``jyds, ygdsd vjsyds jrd ib`tydi jai gjxd an b``

dhhdcy! Oty vgda {n{t`jybna dw{`nsbnas rdst`y ba j lb``bna nr lnrd ibanh jfd``jyds {dr `bydr, ygdynwbas odcnld sthhbcbday` cnacdayrjydi yn {nbsna scnrds nh ljrbad s{dcbds 'bac`tibaf, hnr basyjacd, hbsgds jai vgj`ds jai dxda ygd ibanh`jfd``jyds ygdlsd`xds"! Vd ygts sdd j ztbaydssdaybj`

dwjl{`d nh nrfjabsls baxbybaf cj`jlby t{na ygdlsd`xds jai nygdr `bxbaf ygbafs ba ygdbr daxbrnalday o ygdbr {rnitcybna nh vjsyds! Jai hbaj``, ibanh`jfd``jyds gd`{ taidrscnrd ygd hjcy ygjy

lnsy nh ygd frnvyg ba ja dw{nadaybj` sdztdacd ncctrs jy ygd dai nh ygd {rnfrdssbna, j`naf vbygygd idfrdd jai ygd rj{biby vbyg vgbcg cnaibybnas cja idydrbnrjyd ba bys c`nsbaf {gjsds!

Nad gn{ds ygjy by bs ntr idsyba ba ygd idcjids jai lb``daabj jgdji yn xbsby nygdr {`jadys jai yndw{`nrd ygd tabxdrsd ygjy bs ntr gnld! Oty cja nygdr {`jadys j``nv ts yn dscj{d ntr {rdsday cn`

`bsbna vbyg ygd cjrrbaf cj{jcby nh ntr {`jady jai bys daxbrnalday> Dxda bh vd vdrd yn h` ob``bnas nh {dn{`d, {rnojo` jfjbasy ygdbr vb``, yn {rdsday` tabagjobyjo`d {`jadys jy tabljfbajo`d

cnsys, nygdr {`jadys jrd any fnbaf yn sjxd ts hrnl ygd cn``bsbna jai nxdrsgnny ygjy bs {rdsday` taidrvj jai vgbcg vb`` cnaybatd yn {rncddi jy ordjmadcm s{ddis ba ygd idcjids jgdji!

Ygts, vd sdd ygjy5

'j" Cn`nabubaf nygdr {`jadys bs any j sjhdy xj xd ygjy bs fnbaf yn gjxd jabl{jcy vgjysndxdr na {rno`dls nh nxdr{n{t`jybna gdrd jy gnld, jai

'o" Dxda ygd dwbsydacd nh sddlbaf` `jrfd jlntays nh n{da s{jcd inds

any sgbd`i j s{dcbds hrnl {n{t`jybna cjyjsyrn{gd!


6/7

J cnaybatjyygd frdjyd

Sntrcds jai Cbydi _dhdrdacd{daibaf

Jasna, ?;;2!Jasna, :228!

Ojry`dyy, ?;;4! Ygd Dssdaybj` Dw{nCjl{od``, dy j`!, :222Cngda, :224

Cngda jai Yb`lja, :228!Inosna, dy j`!, :226

Itffbas, :27;=Dsyds jai [j`lbsjan, :269

Ljidr, :228Lb``, E!S!, :797!

[bll, ?;;:!

[rdscnyy, dy j`!, :222!_jxda, dy j`!, :278Vb`sna, ?;;?!

bna nh ynijs idlnfrj{gbc ybij` vjxd lj cnasysy sbaf`d rbsm ygjy ntr s{dcbds gjs dxdr taidryjmd

Cntryds nh YG

Vgjy Dxdr Cbybuda Sgnt`i M

Cn{rbfgy ?;::! _jain`{g Hdl

J`` rbfgys rdsdrxdi!

Ygbs inctlday bs daybrd` hrdd hnr tsdsytidays, jai ditcjynrs javgdrd b

adaybj`!

bytyda!

D VDCSMJN[ [_NEDCY

anv Jonty Ntr [`jady

Tsdi vbyg {drlbssbna!

dr!

o scbdaybsys,ygd vnr`i!


7/7

Documents

Exponential Mathematics 4 - Late-Phase exponential?