Extensiones de las funcionescontinuas

SIGLA/X Group1

Resumen

The geometrical semantics of (n + 1)-dimensional real space Rn+1, is ba-

sically defined by the continuous functions f : Rn −→ R, which denotate

the n-dimensional surfaces (x1, · · · , xn, z) ∈ Rn+1 | z = f(x1, · · · , xn). The

semantic interval functions F (f) : I∗(Rn) −→ I∗(R) consistently referringto the continuous functions f : R

n −→ R, are obtained by translating tomodal terms the set-theoretical definition of the poorest interval computa-tion of a real continuous function. When the continuous real function is areal rational function, it can also be extended to a rational interval functionfR : I∗(Rn) −→ (R), by using the computing program implicitly defined bythe syntax of the expression defining the function.

1. Introduccion

La semantica geometrica de Rn+1 la definen las funciones continuas f de R

n en R quedeterminan superficies (x1, · · · , xn, z) | x1 ∈ X1, · · · , xn ∈ Xn, z = f(x1, · · · , xn).En el contexto intervalar se trata de definir extensiones de f , es decir, funcionesF (f) de intervalos en intervalos que conserven, hasta donde sea posible, la semanticageometrica de f .

En la teorıa intervalar clasica dada una funcion real f de Rn en R continua, se define

la extension unida, Rf de f a los intervalos X ′

1, · · · , X ′

n como el rango de valores dela funcion

Rf (X′

1, · · · , X ′

n) = f(x1, · · · , xn) | x1 ∈ X ′

1, · · · , xn ∈ X ′

n

que sera el intervalo

[mınf(x1, .., xn) | x1 ∈ X ′

1, .., xn ∈ X ′

n, maxf(x1, .., xn) | x1 ∈ X ′

1, .., xn ∈ X ′

n]1SIGLA/X membership: Calm R., Estela M.R., Gardenes E., Jorba L., Mielgo H., Sainz M.A.,

Trepat A.

1

Por otra parte, si f es una funcion racional se define su extension racional comouna funcion fR de I(Rn) en I(R), obtenida reemplazando en el arbol sintactico de flas variables x1, · · · , xn por sus intervalos de variacion X ′

1, · · · , X ′

n y las operacionesracionales entre las variables por las correspondientes operaciones intervalares que,en el caso frecuente de calculos truncados en una aritmetica real deben ser dirigidashacia fuera, ya que X ′wY ′ ⊆ Out(X ′wY ′).

La relacion entre ambas extensiones es

Rf (X′

1, · · · , X ′

n) ⊆ fR(X ′

1, · · · , X ′

n)

con lo que fR(X ′

1, · · · , X ′

n), que es calculable a partir de los extremos de X1, · · · , Xn,representa una sobreestimacion de Rf (X

′

1, · · · , X ′

n) que, en general, no es calculable.Ambas extensiones exhiben la propiedad fundamental de ser inclusivas, es decir paraA′

1 ⊆ B′

1, · · · , A′

n ⊆ B′

n se verifica

fR(A′

1, · · · , A′

n) ⊆ fR(B′

1, · · · , B′

n)

Rf (A′

1, · · · , A′

n) ⊆ Rf (B′

1, · · · , B′

n)

La extension unida de f a los intervalos X ′

1, · · · , X ′

n tiene como unica semantica

U(x1, X′

1) · · ·U(xn, X′

n) E(z,Rf (X′

1, · · · , X ′

n)′) z = f(x1, · · · , xn)

y analogamente debido a la anterior inclusion

U(x1, X′

1) · · ·U(xn, X′

n) E(z, fR(X ′

1, · · · , X ′

n)′) z = f(x1, · · · , xn)

Sin embargo es de esperar que, del mismo modo que un predicado real P (.) de lugara un predicado intervalar Q(x,X)P (x), la relacion z = f(x1, · · · , xn) de lugar a unarelacion intervalar del tipo Z = F (f)(X1, · · · , Xn) compatible con alguna formuladel tipo

Q1(x1, X1) · · ·Qn(xn, Xn) Qz(z, Z) z = f(x1, · · · , xn)

donde obviamente, aparecera un problema de orden ya que los prefijos de cuantifi-cacion no son en general conmutativos.

2. Extensiones modales de una funcion continua

Las funciones reales continuas f de Rn en R, en general no son accesibles desde el

punto de vista computacional, y tampoco lo son sus extensiones unidas f de I(Rn)en I(R). El tipo mas elemental de funciones calculables que extienden a las funcionesreales continuas f de R

n en R son las funciones F de DIn en I(DI) (donde DI es unsubconjunto digital de R) por lo que, dada una funcion continua f de R

n en R, laextension intervalar mas simple serıa la funcion para la que dado un valor a retorne

2

dos valores, uno mayor y otro menor que f(a). Por ello definimos en primer lugar laextension intervalar pobre de f como una funcion

F : Rn −→ I(R)

a −→ F (a)′

tal que f(a) ∈ F (a)′. Esta condicion equivale a

U(X ′, I(Rn)) (a ∈ X ′ ⇒ F (a)′ ∩ f(X ′) 6= ∅)

En efecto:

1. Si f(a) ∈ F (a)′ es

U(X ′, I(Rn)) (a ∈ X ′ ⇒ f(a) ∈ f(X ′) ⇒ F (a)′ ∩ f(X ′) 6= ∅)

2. Recıprocamente si particularizamos a X ′ = [a, a]′ es

(a ∈ [a, a]′ ⇒ F (a)′ ∩ f([a, a]′) 6= ∅) ⇒ f(a) ∈ F (a)′

La condicion demostrada puede escribirse en la forma

U(X ′, I(Rn)) (a ∈ X ′ ⇒ E(z, F (a)′) (z ∈ f(X ′)))

o bien

U(X ′, I(Rn)) ((. ∈ X ′) ∈ Pred∗([a, a]) ⇒ (. ∈ f(X ′)) ∈ Pred∗(F (a)′))

La utilidad de esta propiedad conjuntista es inducir una mas general para extensionesdel tipo F : I∗(Rn) → I∗(R), substituyendo el elemento [a, a] por un intervalo modalgeneral A. Si f es una funcion continua de R

n en R, llamamos extension intervalarmodal de f sobre el intervalo A a cualquier funcion F de I∗(Rn) en I∗(R) queverifique la propiedad

U(X ′, I(Rn)) ((. ∈ X ′) ∈ Pred∗(A) ⇒ (. ∈ f(X ′)) ∈ Pred∗(F (A)))

(en esta definicion, y en lo sucesivo, el dominio de f puede ser, en vez de Rn, cualquier

intervalo compacto C ⊆ Rn, con lo que el dominio de F pasa a ser I∗(C)).

3. Funciones semanticas

Definiremos dos “funciones semanticas” que van a jugar un papel basico en la teorıadebido a su estrecha relacion con las extensiones intervalares y proveeran de signifi-cado a los calculos con intervalos.

3

Sea el vector intervalar X = (Xp, Xi) ∈ I∗(Rn) separado en sus componentes propiase impropias. Definimos dos extensiones intervalares de una funcion continua f deR

n en R mediante

f ∗(X) := ∨(xp, X′

p) ∧ (xi, X′

i)[f(x), f(x)] =

= [min(xp, X′

p)max(xi, X′

i)f(xp, xi), max(xp, X′

p)min(xi, X′

i)f(xp, xi)]

f ∗∗(X) := ∧(xi, X′

i) ∨ (xp, X′

p)[f(x), f(x)] =

= [max(xi, X′

i)min(xp, X′

p)f(xp, xi), min(xi, X′

i)max(xp, X′

p)f(xp, xi)]

que llamaremos, respectivamente, funciones *-semantica y **-semantica.

Si todos los intervalos componentes son propios, es decir, Xi = ∅ y X = Xp entonces

f ∗(X) = f ∗∗(X) = ∨(xp, X′

p)[f(xp), f(xp)] = [min(xp, X′

p)f(xp), max(xp, X′

p)f(xp)]

que coincide con la extension unida Rf , del analisis intervalar clasico.

Analogamente si Xp = ∅ y X = Xi es

f ∗(X) = f ∗∗(X) = ∧(xi, X′

i)[f(xi), f(xi)] = [max(xi, X′

i)f(xi), min(xi, X′

i)f(xi)]

Ejemplo 3.1

Para la funcion f de R2 en R definida por f(x1, x2) = x2

1 + x22 y el intervalo X =

([−1, 1], [1,−1]), tenemos

f ∗([−1, 1], [1,−1]) = ∨(x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [−1, 1]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∨(x1, [−1, 1]′)[x2

1 + 1, x2

1] = [1, 1]

f ∗∗([−1, 1], [1,−1]) = ∧(x2, [−1, 1]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∧(x2, [−1, 1]′)[x2

2, x2

2 + 1] = [1, 1]

Para la funcion g de R2 en R definida por g(x1, x2) = (x1 +x2)

2 y el mismo intervaloX = ([−1, 1], [1,−1]), tenemos

g∗([−1, 1], [1,−1]) = ∨(x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [−1, 1]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] =

= ∨(x1, [−1, 1]′)[if x1 < 0 then (x1 − 1)2 else (x1 + 1)2, 0] = [1, 0]

g∗∗([−1, 1], [1,−1]) = ∧(x2, [−1, 1]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] =

= ∧(x2, [−1, 1]′)[0, if x2 < 0 then (x2 − 1)2 else (x2 + 1)2] = [0, 1]

Sin embargo, en general, las extensiones *- y **-semanticas no seran siempre calcula-bles, excepto para funciones sencillas como las del ejemplo o los operadores aritmeti-cos, para los cuales las extensiones *- y **-semanticas son iguales [5] y obteniblesmediante operaciones aritmeticas con los extremos. Tal y como se demostrara en laSeccion 7, los resultados son los mismos que los definidos para los intervalos gene-ralizados de Kaucher y ası el algebra definida por las operaciones aritmeticas conestos intervalos es un algebra valida en el conjunto I∗(R) de los intervalos modales.

4

Ejemplo 3.2 Para la funcion f(x, y) = xy, las extensiones * y **-semanticas paralos intervalos X = [−1, 3] e Y = [−2,−6] resultan ser

f ∗([−1, 3], [−2, 6]) = ∨(x, [−1, 3]′) ∧ (y, [−6,−2]′)[xy, xy] =

= ∨(x, [−1, 3]′)[if x ≤ 0 then − 6x else − 2x,

if x ≤ 0 then − 2x else − 6x] = [−6, 2]

f ∗∗([−1, 3], [−2, 6]) = ∧(y, [−6,−2]′) ∨ (x, [−1, 3]′)[xy, xy] =

= ∧(y, [−6,−2]′)[3y,−y] = [−6, 2]

que coinciden y son iguales al resultado del producto aritmetico de intervalos deKaucher

X ∗ Y = [−1, 3] ∗ [−2,−6] = [−6, 2]

Ambas extensiones semanticas son en general diferentes, excepto casos particula-res como el ejemplo anterior. Existe entre ambas la siguiente relacion importanteutilizando el operador Dual:

Dual(f ∗(X)) = Dual(∨(xp, X′

p) ∧ (xi, X′

i)[f(x), f(x)]) =

= ∧(xp, X′

p) ∨ (xi, X′

i)[f(x), f(x)] = f ∗∗(Dual(X))

4. Propiedades de las extensiones semanticas

Veamos tres importantes propiedades de f ∗ y f ∗∗. La primera propiedad dice que sif definida de R

n en R es una funcion continua y X ∈ I∗(R), entonces

f ∗(X) ⊆ f ∗∗(X)

En efecto, basta recordar que si X ′ = (X ′

1, X′

2), al ser f continua tenemos

U(x1, X′

1) mın(x2, X′

2)f(x1, x2) ≤ f(x1, x2)U(x2, X

′

2) max(x1, X′

1)f(x1, x2) ≥ f(x1, x2)

⇒

⇒ U(x1, X′

1) U(x2, X′

2) mın(x2, X′

2)f(x1, x2) ≤ max(x1, X′

1)f(x1, x2)

luego

max(x1, X′

1)min(x2, X′

2)f(x1, x2) ≤ mın(x2, X′

2)max(x1, X′

1)f(x1, x2)

Como

f ∗(X) =[

min(xp, X′

p)max(xi, X′

i)f(xp, xi), max(xp, X′

p)min(xi, X′

i)f(xp, xi)]

f ∗∗(X) = [max(xi, X′

i)min(xp, X′

p)f(xp, xi), min(xi, X′

i)max(xp, X′

p)f(xp, xi)]

5

de acuerdo con la desigualdad anterior tenemos el resultado.

Utilizando el operador join-meet Ω, se verifica que si F1 y F2 son funciones de R enI∗(R), entonces,

F1(x) ⊆ F2(x) ⇒ Ω(x,X)F1(x) ⊆ Ω(x,X)F2(x)

En efecto, al ser

Inf(F1(x)) ≥ Inf(F2(x)) y Sup(F1(x)) ≤ Sup(F2(x))

i) si X es propio,

Ω(x,X)F1(x) = ∨(x,X ′)F1(x) = [min(x,X ′)(Inf(F1(x))), max(x,X ′)(Sup(F1(x)))] ⊆⊆ [min(x,X ′)(Inf(F2(x))), max(x,X ′)(Sup(F2(x)))] =

= ∨(x,X ′)F2(x) = Ω(x,X)F2(x)

ii) si X es impropio,

Ω(x,X)F1(x) = ∧(x,X ′)F1(x) = [max(x,X ′)(Inf(F1(x))), min(x,X ′)(Sup(F1(x)))] ⊆⊆ [max(x,X ′)(Inf(F2(x))), min(x,X ′)(Sup(F2(x)))] =

= ∧(x,X ′)F2(x) = Ω(x,X)F2(x)

Se verifica asımismo que si F es una funcion de R en I∗(R) y X1, X2 ∈ I∗(R),entonces

X1 ⊆ X2 ⇒ Ω(x,X1)F (x) ⊆ Ω(x,X)F (x)

En efecto,

i) si X1 es propio

Ω(x,X1)F (x) = ∨(x,X ′

1)F (x) = [min(x,X ′

1)(Inf(F (x))), max(x,X ′

1)(Sup(F (x)))]

i1) si X2 es propio entonces X ′

1 ⊆ X ′

2 y

[min(x,X ′

1)(Inf(F (x))), max(x,X ′

1)(Sup(F (x)))] ⊆⊆ [min(x,X ′

2)(Inf(F (x))), max(x,X ′

2)(Sup(F (x)))] = ∨(x,X ′

2)F (x) = Ω(x,X2)F (x)

i2) si X2 es impropio entonces X1 = X2 = a y

[min(x,X ′

1)(Inf(F (x))), max(x,X ′

1)(Sup(F (x)))] = [Inf(F (a)), Sup(F (a))] =

= [max(x,X ′

2)(Inf(F (x))), min(x,X ′

2)(Sup(F (x)))] = ∧(x,X ′

2)F (x) = Ω(x,X2)F (x)

ii) si X1 es impropio

Ω(x,X1)F (x) = ∧(x,X ′

1)F (x) = [max(x,X ′

1)(Inf(F (x))), min(x,X ′

1)(Sup(F (x)))]

6

ii1) Si X2 es propio entonces X ′

1 ∩ X ′

2 6= ∅ y

[max(x,X ′

1)(Inf(F (x))), min(x,X ′

1)(Sup(F (x)))] ⊆⊆ [min(x,X ′

2)(Inf(F (x))), max(x,X ′

2)(Sup(F (x)))] = ∨(x,X ′

2)F (x) = Ω(x,X2)F (x)

ii2) Si X2 es impropio entonces X ′

1 ⊇ X ′

2

[max(x,X ′

1)(Inf(F (x))), min(x,X ′

1)(Sup(F (x)))] ⊆⊆ [max(x,X ′

2)(Inf(F (x))), min(x,X ′

2)(Sup(F (x)))] = ∧(x,X ′

2)F (x) = Ω(x,X2)F (x)

Tambien es cierto que si F 1 y F 2 son funciones de R en I∗(R) , entonces

(X1 ⊆ X2, F1(x) ⊆ F2(x)) ⇒ Ω(x,X1)F1(x) ⊆ Ω(x,X2)F2(x)

puesΩ(x,X1)F1(x) ⊆ Ω(x,X2)F1(x) ⊆ Ω(x,X2)F2(x)

Resumiendo estos resultados anteriores obtenemos la segunda propiedad

X ⊆ Y ⇒ (f ∗(X) ⊆ f ∗(Y ), f ∗∗(X) ⊆ f ∗∗(Y ))

ya que

f ∗(X)f ∗∗(X)

= Ω(x1, X1) · · ·Ω(xn, Xn)[f(x1, · · · , xn), f(x1, · · · , xn)] ⊆

⊆ Ω(x1, Y1) · · ·Ω(xn, Yn)[f(x1, · · · , xn), f(x1, · · · , xn)] =

f ∗(Y )f ∗∗(Y )

La tercera propiedad va a caracterizar el caso f ∗(X) = f ∗∗(X), aparte del casotrivial en que Xp = ∅ o Xi = ∅, utilizando el concepto de punto de silla de unafuncion.

Dada una funcion continua f de Rn en R y X ′ = (X ′

1, X′

2) ∈ I(Rn) se define elconjunto de los puntos de silla de f en (X ′

1,X′

2) como

SDP(f ,X ′

1,X′

2) := (x1b,x2t) | U(x1, X′

1) U(x2, X′

2) (f(x1b, x2) ≤ f(x1b, x2t) ≤ f(x1, x2t))y de f en (X ′

2, X′

1) como

SDP(f ,X ′

2,X′

1) := (x1b,x2t) | U(x1, X′

1) U(x2, X′

2) (f(x1, x2t) ≤ f(x1b, x2t) ≤ f(x1b, x2))Tres propiedades de estos puntos de silla interesa destacar

1. Si (x1b, x2t) y (x′

1b, x′

2t) son dos puntos de silla de f en (X ′

1, X′

2) entonces lospuntos (x1b, x

′

2t) y (x′

1b, x2t) son tambien puntos de silla y

f(x1b, x2t) = f(x1b, x′

2t) = f(x′

1b, x2t) = f(x′

1b, x′

2t)

7

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0.51

y

-1

1

x

Figura 1: Punto de silla

En efecto, para cualesquiera x1 ∈ X ′

1 y x2 ∈ X ′

2 se verifican las desigualdades.

f(x1b, x2) ≤ f(x1b, x2t) ≤ f(x1, x2t)

f(x′

1b, x2) ≤ f(x′

1b, x′

2t) ≤ f(x1, x′

2t)

luego particularizando la primera para x′

1b y x′

2t y la segunda para x1b y x2t

f(x′

1b, x2t) ≤ f(x′

1b, x′

2t) ≤ f(x1b, x′

2t) ≤ f(x1b, x2t) ≤ f(x′

1b, x2t)

lo que significa la igualdad propuesta. Por otra parte

f(x′

1b, x2t) = f(x1b, x2t) ≤ f(x1, x2t)f(x′

1b, x2) ≤ f(x′

1b, x′

2t) = f(x′

1b, x2t)

⇒ f(x′

1b, x2) ≤ f(x′

1b, x2t) ≤ f(x1, x2t)

con lo que (x′

1b, x2t) es punto de silla y mediante un razonamiento analogo seprueba que (x1b, x

′

2t) es tambien punto de silla.

2. Si consideramos el conjunto de valores que toma la funcion en los puntos desilla del recinto X ′ = (X ′

1, X′

2), definido por

SDV(f,X ′

1, X′

2) := f(x1b, x2t) | (x1b, x2t) es punto de silla en (X ′

1, X′

2)

este conjunto, o es vacıo si no existen puntos de silla en X o, segun la propiedadanterior, es unitario.

3. Si existe un punto de silla, se verifica

SDV(f,X ′

1, X′

2) = f(x1b, x2t) = min(x1, X′

1)max(x2, X′

2)f(x1, x2) =

= max(x2, X′

2)min(x1, X′

1)f(x1, x2)

8

En efecto, si SDP no es vacıo tendremos de la definicion de punto de silla,

min(x1, X′

1) max(x2, X′

2)f(x1, x2) ≤ max(x2, X′

2)f(x1b, x2) ≤ f(x1b, x2t) ≤≤ min(x1, X

′

1)f(x1, x2t) ≤ max(x2, X′

2) min(x1, X′

1)f(x1, x2)

y teniendo en cuenta la desigualdad enunciada al principio de la seccion seobtiene el resultado.

Estos resultados permiten enunciar y probar el teorema que caracteriza el casof ∗(X) = f ∗∗(X):

Para todo X= (Xp ,Xi)∈ I∗(Rn) con Xp 6= ∅ y Xi 6= ∅, la igualdad f ∗(X) = f ∗∗(X)equivale a que SDP(f,X ′

p, X′

i) 6= ∅ y SDP(f,X ′

i, X′

p) 6= ∅ y, en este caso

f ∗(X) = f ∗∗(X) = [SDV(f,X ′

p, X′

i), SDV(f,X ′

i, X′

p)]

En efecto, como

SDV(f,X ′

p, X′

i) = min(xp, X′

p) max(xi, X′

i)f(xp, xi) =

= max(xi, X′

i) min(xp, X′

p)f(xp, xi)

SDV(f,X ′

i, X′

p) = min(xi, X′

i) max(xp, X′

p)f(xp, xi) =

= max(xp, X′

p) min(xi, X′

i)f(xp, xi)

se verifica

f ∗(X) = ∨(xp, X′

p) ∧ (xi, X′

i)[f(xp, xi), f(xp, xi)] =

= [min(xp, X′

p) max(xi, X′

i)f(xp, xi), max(xp, X′

p) min(xi, X′

i)f(xp, xi)] =

= [max(xi, X′

i) min(xp, X′

p)f(xp, xi), min(xi, X′

i) max(xp, X′

p)f(xp, xi)] =

= ∧(xi, X′

i) ∨ (xp, X′

p)[f(xp, xi), f(xp, xi)] = f ∗∗(X)

Cuando esto ocurre se dice que f es una funcion JM-conmutativa en X ∈ I∗(Rn) yel valor comun de f ∗(X) y f ∗∗(X) lo denotaremos por f(X).

Ejemplo 4.1

Para la funcion f de R2 en R definida por f(x1, x2) = x2

1 + x22 tenemos:

Para X = ([−1, 1], [1,−1])

f ∗(X) = ∨(x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [−1, 1]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∨(x1, [−1, 1]′)[x2

1 + 1, x2

1] = [1, 1]

f ∗∗(X) = ∧(x2, [−1, 1]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∧(x2, [−1, 1]′)[x2

2, x2

2 + 1] = [1, 1]

y efectivamente, en este caso

SDP(f,X ′

1, X′

2) = (0, 1), (0,−1) SDV(f,X ′

1, X′

2) = 1

SDP(f,X ′

2, X′

1) = (−1, 0), (1, 0) SDV(f,X ′

2, X′

1) = 19

0

0.5

1

1.5

2

-1-0.5

0.51

y

-1

-0.5

0.5

1

x

Para X = ([−1, 1], [2, 0])

f ∗(X) = ∨(x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [0, 2]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∨(x1, [−1, 1]′)[x2

1 + 4, x2

1] = [4, 1]

f ∗∗(X) = ∧(x2, [0, 2]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[x2

1 + x2

2, x2

1 + x2

2] =

= ∧(x2, [0, 2]′)[x2

2, x2

2 + 1] = [4, 1]

siendo en este caso

SDP(f, [−1, 1]′, [0, 2]′) = (0, 2), SDV(f, [−1, 1]′, [0, 2]′) = 4

SDP(f, [0, 2]′, [−1, 1]′) = (1, 0), (−1, 0), SDV(f, [0, 2]′, [−1, 1]′) = 1

y la funcion f es JM-conmutativa en X.

0

1

2

3

4

5

0.51

1.52

y

-1

1

x

5. Teoremas semanticos

Como hemos comentado, el calculo de f ∗ o f ∗∗ no siempre es posible, excepto parafunciones simples, como la del ejemplo 3.1, o los operadores racionales. Por otra

10

parte, aunque sea posible, por ejemplo, para la funcion f(x1, x2) = (x1 + x2)2 es

f ∗∗([−1, 1], [1,−1]) = [0, 1]

este resultado, por el momento, no tiene ningun significado respecto a los posiblesvalores que pueda tener f en el intervalo X = ([−1, 1], [1,−1]). Veremos ahorados importantes teoremas semanticos que dan pleno significado a f ∗ y a f ∗∗ y lascaracterizan como funciones semanticas.

Teorema semantico para la funcion f ∗:

Si F (A) ∈ I∗(R) existe, las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) f ∗(A) ⊆ F (A).

b) U(X ′, I(Rn)) ((. ∈ X ′) ∈ Pred∗(A) ⇒ (. ∈ f(X ′)) ∈ Pred∗(F (A)))

c) U(ap, A′

p) Q(z, F (A)) E(ai, A′

i) z = f(ap, ai)

La demostracion es como sigue:

b) ⇒ a): Si A1, .., Ap son las componentes propias de A y Ap+1, .., An las impropias

Impr(f(ap, A′

i)) = Dual(f ∗(ap, A′

i)) =

= Dual(∨(ap+1, A′

p+1).. ∨ (an, A′

n)[f(a1, .., ap, ap+1, .., an), f(a1, .., ap, ap+1, .., an)]) =

= ∧(ap+1, A′

p+1).. ∧ (an, A′

n)[f(a1, .., ap, ap+1, .., an), f(a1, .., ap, ap+1, .., an)] =

= f ∗(ap, Ai)

Si X ′ es el intervalo (ap, A′

i), entonces tendremos

U(ap, A′

p)(. ∈ (ap, A′

i) ∈ Pred∗(A)) ⇒⇒ U(ap, A

′

p) ((. ∈ f(ap, A′

i)) ∈ Pred∗(F (A))) ⇔⇔ U(ap, A

′

p) (Impr(f(ap, A′

i)) ⊆ F (A)) ⇔⇔ U(ap, A

′

p) (f ∗(ap, Ai) ⊆ F (A))) ⇔⇔ f ∗(A) = f ∗(Ap, Ai) ⊆ F (A)

11

a) ⇒ b):

U(X ′, I(Rn)) (. ∈ X ′) ∈ Pred∗(A) ⇔ Impr(X ′) ⊆ A ⇔⇔ ((X ′

1, U)..(X ′

p, U)(X ′

p+1, U)..(X ′

n, U)) ⊆ (A1, .., Ap, Ap+1, .., An) ⇔⇔ X ′

1 ∩ A′

1 6= ∅, .., X ′

p ∩ A′

p 6= ∅, A′

p+1 ⊆ X ′

p+1, .., A′

n ⊆ X ′

n ⇔//haciendo X1 = (X1, .., Xp) y X2 = (Xp+1, .., Xn)

⇔ E(ap, A′

p)(ap ∈ X ′

1, A′

i ⊆ X ′

2) ⇔⇔ E(ap, A

′

p)f(ap, A′

i) ⊆ f(X ′

1, X′

2) ⇔⇔ E(ap, A

′

p)(Impr(f(X ′)) ⊆ Impr(f(ap, A′

i)) = f ∗(ap, Ai)) ⇒⇒ Impr(f(X ′)) ⊆ f ∗(Ap, Ai) = f ∗(A) ⊆ F (A) ⇔

⇔

if F (A) es propio, then f(X ′) ∩ F (A) 6= ∅if F (A) es impropio, then ext(F (A)) ⊆ f(X ′)

⇔

⇔ (. ∈ f(X ′)) ∈ Pred∗(F (A)))

a) ⇔ c): Puesto que

f ∗(A) ⊆ F (A) ⇔⇔ U(ap, A

′

p)f∗(ap, Ai) ⊆ F (A) ⇔

⇔ U(ap, A′

p) Impr(f(ap, A′

i)) ⊆ F (A) ⇔

⇔ U(ap, A′

p)

if F (A) es propio, then f(ap, A′

i) ∩ F (A) 6= ∅if F (A) es impropio, then ext(F (A)) ⊆ f(ap, A

′

i)

⇔

⇔ U(ap, A′

p) Q(z, F (A)) z ∈ f(ap, A′

i) ⇔⇔ U(ap, A

′

p) Q(z, F (A)) E(ai, A′

i) z = f(ap, ai)

Este teorema muestra como f ∗(X) es optimal desde el punto de vista semantico,y cual es el verdadero sentido de la inclusion para el redondeo cuando se aplica susemantica-*.

Ejemplo 5.1 Para la funcion real f(x, y) = x + y resulta

[x1, x2] + [y1, y2] = [x1 + y1, x2 + y2]

Tenemos

Para X = [1, 2] e Y = [2, 3] es [1, 2] + [2, 3] = [3, 5], con el significadoU(x, [1, 2]′) U(y, [2, 3]′) E(z, [3, 5]′) x + y = z.

Para X = [1, 2] e Y = [4, 1] es [1, 2] + [4, 1] = [5, 3] que significaU(x, [1, 2]′) U(z, [3, 5]′) E(y, [1, 4]′) x + y = z.

Para X = [2, 1] e Y = [1, 4] es [2, 1] + [1, 4] = [3, 5] lo que significaU(y, [1, 4]′) E(x, [1, 2]′) E(z, [3, 5]′) x + y = z.

12

Para X = [2, 1] e Y = [3, 2] es [2, 1] + [3, 2] = [5, 3] con la interpretacionU(z, [3, 5]′) E(x, [1, 2]′) E(y, [2, 3]′) x + y = z.

Ademas, estas interpretaciones de la relacion modal funcional X + Y = Z sonrobustas frente al redondeo modal externo del resultado como demuestra, por ejem-plo la substitucion del valor [3, 5] para Z por [2,9, 5,1] ⊇ [3, 5] o de [5, 3] por[4,9, 3,1] ⊇ [5, 3].

El teorema semantico para f ∗ permite asociar los intervalos universales como “re-guladores o de control” y los intervalos existenciales como “rangos de fluctuacion otolerancia”.

Ejemplo 5.2

Apliquemos estos resultados acerca de la funcion f(x, y) = x + y a un contexto masexperimental. Supongamos que tenemos dos bobinas de cable de longitudes a = 10y b = 20 unidades; conectandolas se puede cubrir una longitud total de c = 30unidades, situacion elemental que puede expresarse computacionalmente mediantela igualdad algebraica a + b = c.

Consideremos una situacion intervalar paralela, mas realista, donde la primera bobi-na de cable tiene una longitud a de la que se sabe que esta acotada por el intervaloA′ = [10, 20]′ y que de la segunda bobina se sabe que la longitud de cable es bperteneciente a B′ = [10, 25]′. Consideremos la conexion entre ambas bobinas yapliquemos el teorema *-semantico a la funcion f(a, b) = a + b.

Caso 1: [10, 20] + [25, 10] = [35, 30] significa

U(a, [10, 20]′) U(c, [30, 35]′) E(b, [10, 25]′) c = a + b

es decir una determinada longitud del intervalo de regulacion [25, 10] puede seleccio-narse para conseguir alguna, en principio, desconocida pero determinable longitudc dentro del intervalo impropio C = [35, 30] cualquiera que sea la longitud a perte-neciente al intervalo A = [10, 20].

Caso 2: [10, 20] + [10, 10] = [20, 30];

[10, 20] + [17, 17] = [27, 37];

[10, 20] + [25, 25] = [35, 45];

donde la variable b toma los valores fijos 10, 17 o 25, del conjunto B′ = [10, 25]′,la indeterminacion de A = [10, 20] se translada al intervalo C mediante la relacionc = a+b de modo que el valor de c variara al azar, y de forma paralela con a, en unode los intervalos [20, 30], [27, 37] o [35, 45]. La expresion cuantificada, por ejemplopara la primera igualdad, es

U(a, [10, 20]′) E(c, [20, 30]′) c = a + 10

13

Caso 3: [10, 20] + [10, 25] = [20, 45] significa que

U(a, [10, 20]′) U(b, [10, 25]′) E(c, [20, 45]′) c = a + b

y ası c muestra toda la indeterminacion procedente de a y b.

Caso 4: [20, 10] + [25, 10] = [45, 20] se interpreta mediante

U(c, [20, 45]′) E(a, [10, 20]′) E(b, [10, 25]′) c = a + b

Caso 5: [10, 20] + [20, 15] = [30, 35] significa

U(a, [10, 20]′) E(c, [30, 35]′) E(b, [15, 20]′) c = a + b

es decir, con el mismo intervalo de fluctuacion A = [10, 20] y un intervalo de regu-lacion mas extrecho B = [20, 15], para conseguir una longitud c dentro del rangodeterminado por el intervalo propio C = [30, 35]′ debe seleccionarse (operacion deregulacion) una determinada longitud b perteneciente a B′ = [15, 20]′

Ejemplo 5.3

Supongamos un deposito de gas donde la masa de gas y la temperatura son conocidosdentro de unos intervalos de variacion. Se trata de determinar el volumen de formaque la presion se mantenga dentro de unos lımites determinados. Supongamos quela ecuacion

p = kt/v

es valida para dicha aplicacion, con los intervalos de variacion

k ∈ K = [0,00366, 0,00367], t ∈ T = [263, 283], p ∈ P = [0,99, 1,01]

La solucion para el volumen es

V = Dual(K ∗ T )/P = [1,0283..., 0,9723...] ⊇ [1,03, 0,97]

La semantica resultante es

U(k, [0,00366, 0,00367]′) U(t, [263, 283]′) E(v, [0,97, 1,03]′) E(p, [0,99, 1,01]′) p = kt/v

El resultado es un intervalo impropio, un intervalo de “regulacion”, ya que paracada valor de k y t existe un volumen v entre 0.97 y 1.03, que depende de los valoresde k y t, que mantiene la presion entre los lımites deseados. Esto significa que eldeposito necesita una valvula para ajustar el volumen entre los lımites calculadospara mantener la presion dentro de su rango permitido (primer grafico de la Figura2).

Consideremos ahora una segunda alternativa donde admitimos un intervalo de mayoramplitud para rango de valores de la presion, por ejemplo P = [0,9, 1,1]. En estecaso el resultado para el volumen es

V = Dual(K ∗ T )/P = [0,9441..., 1,0693...] ⊇ [0,95, 1,06]

14

Figura 2: Depositos de gas

y la semantica que se obtiene es

U(k, [0,00366, 0,00367]′) U(t, [263, 283]′) U(v, [0,95, 1,06]′) E(p, [0,9, 1,1]′) p = kt/v

El resultado es un intervalo propio, de “fluctuacion” para el volumen del depositofijado ya que para todo k y t y para cualquier volumen v entre 0.95 y 1.06, lapresion esta dentro de los lımites. Es decir, en este caso construimos un depositocon un volumen garantizado entre los lımites calculados, sin necesidad de ningunmecanismo de regulacion, para asegurar la presion dentro de sus lımites (segundografico de la Figura 2).

Ejemplo 5.4

Veamos como muchas veces, un problema ya nos impone un tipo de modalidad. Ası,imaginando un par de paredes separadas 1 m (100 cm) entre sı y dos “salientes” de 5cm cada uno sobre los que queremos sostener una estanterıa, su longitud debera ser,cualquier valor entre 90 y 100, es decir, estara representada por el intervalo universalo impropio [100, 90].

Otro caso podrıa ser el siguiente:

Para ir al trabajo, un individuo ha de recorrer, cada dıa 30 km. La hora de sali-da, que representaremos por tA, puede ser cualquiera entre las 7h y las 8h de lamanana, variable segun el dıa. Por el estado de la carretera, y las habituales situa-ciones de transito, se sabe que la velocidad media del vehıculo, supuesta constante,estara comprendida entre 60 km/h y 90 km/h. Nos preguntamos cual es el intervalode la hora de llegada y cual es su modalidad. Como

el intervalo de tiempo de salida tA es existencial [7,8],

el espacio que ha de recorrer, considerado como intervalo es [30,30],

la velocidad es un intervalo impropio v = [90, 60],

si representamos por tB el tiempo de llegada, sera

tB = tA +s

v

15

Calculando la *-extension,

t∗B([7, 8], [30, 30], [90, 60]) = [7,5, 8,34]

que es un intervalo existencial. Por lo tanto, aplicando el teorema semantico

U(tA, [7, 8]′) E(tB, [7,5, 8,34]′) E(v, [60, 90]′) tB = tA +s

v

Teorema semantico para la funcion f ∗∗:

Si F (A) ∈ I∗(R) existe, las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) F (A) ⊆ f ∗∗(A).

b) U(X ′, I(Rn) ((. /∈ X ′) ∈ Copred∗(A) ⇒ (. /∈ f(X ′) ∈ Copred∗(F (A)))

c) U(ai , A′

i) Q(z,Dual(F (A))) E(ap ,A′

p) z = f(ap, ai)

En efecto, dada la relacion entre f ∗ y f ∗∗ tenemos

F (A) ⊆ f ∗∗(A) ⇔ Dual(f ∗∗(A)) ⊆ Dual(F (A)) ⇔ f ∗(Dual(A)) ⊆ Dual(F (A))

con lo que basta aplicar el teorema semantico para la funcion f ∗ en el intervaloDual(A).

Ejemplo 5.5

Volviendo al caso de la suma f(x1, x2) = x1 + x2 para X = ([1, 2], [2, 3]) tenemos

[1, 2] + [2, 3] = [3, 5]

con lo que el teorema semantico para f ∗∗ dice que

U(z, [3, 5]′) E(x1, [1, 2]′) E(x2, [2, 3]′) z = x1 + x2

Si consideramos el caso X = ([1, 2], [4, 1]) tendremos

[1, 2] + [4, 1] = [5, 3]

con la semantica

U(x2, [1, 4]′) E(z, [3, 5]′) E(x1, [1, 2]′) z = x1 + x2

Los dos teoremas semanticos proporcionan un completo significado a las extensionesalgebraicas intervalares f ∗ y f ∗∗ de una funcion continua, demuestran que f ∗ yf ∗∗ son optimales desde un punto de vista semantico e indican el sentido correctode redondeo a utilizar en la computacion de funciones F de I∗(DIn) en I∗(DI), sise quieren resultados semanticamente interpretables, aunque no dicen como estasfunciones deben ser computadas. Queda pues pendiente la calculabilidad de f ∗ yf ∗∗ que se tratara mas adelante.

16

6. Funciones racionales modales

Las aplicaciones ordinarias de los dos operadores meet y join para una funcionreal continua f de R

n en R, proporcionan extensiones semanticas, f ∗ y f ∗∗ que,a excepcion de funciones muy simples, son bastante inaccesibles a los calculos, encomparacion con las mismas funciones reales continuas o a las funciones definidassobre intervalos.

Atendiendo a la sintaxis de una funcion continua f definida de Rn en R, existe

otra extension intervalar resultante de sustituir las operaciones racionales de suarbol sintactico por las correspondientes extensiones intervalares. Este nuevo tipode extension es calculable, a diferencia de f ∗ y f ∗∗, pero no tiene, en principio, unasemantica completa; sin embargo f ∗ y f ∗∗ si que poseen tal semantica. El problemade interpretacion de estas funciones racionales intervalares, que son realmente elcentro de los calculos numericos, consistira en relacionarlas con las correspondientesfunciones semanticas, para conocer que caracterısticas debe tener una funcion racio-nal modal para ser una buena aproximacion de las funciones semanticas y ademas,admitir para sus resultados intervalares la misma interpretacion. Los conceptos fun-damentales para esclarecer este problema seran los de uniincidencia y multiinciden-cia.

Dos extensiones racionales aparecen:

fR∗(X) es la funcion de I∗(Rn) en I∗(R) definida por el arbol sintactico de f cuandolos operadores reales se transforman en sus *-extensiones modales.

fR∗∗(X) es la funcion de I∗(Rn) en I∗(R) definida por el arbol sintactico de fcuando los operadores reales se transforman en sus **-extensiones modales.

que denominaremos, respectivamente, *-extension y **-extension modal racional.

Si todas las componentes de X son de la misma modalidad, fR∗(X) y fR∗∗(X)coinciden.

Ejemplo 6.1

Para la funcion racional de R2 en R definida por f(x1, x2) = x1x2 + g(x1, x2), con el

operador g(x1, x2) = (x1 + x2)2, consideremos como arbol sintactico el de la figura

3.

Las imagenes de X = ([−1, 1], [1,−1]) por fR∗ y fR∗∗ se calculan asi:

Para el operador x1 · x2:

∗ − extension: ∨ (x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [−1, 1]′)[x1x2, x1x2] = [0, 0]

∗ ∗ −extension: ∧ (x2, [−1, 1]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[x1x2, x1x2] = [0, 0]

17

f

+

.

x1 x2

x1 x2

g

fR*

(+)*

(.)*

g*

2X1X1X 2X

fR **

(+)**

(.)**

g**

1X

1X2X

2X

Figura 3: Arbol sintactico

Para el operador g(x1, x2):

∗ − extension: ∨ (x1, [−1, 1]′) ∧ (x2, [−1, 1]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] = [1, 0]

∗ ∗ −extension: ∧ (x2, [−1, 1]′) ∨ (x1, [−1, 1]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] = [0, 1]

Por tanto

fR∗([−1, 1], [1,−1]) = [0, 0] + [1, 0] = [1, 0]

fR∗∗([−1, 1], [1,−1]) = [0, 0] + [0, 1] = [0, 1]

Los redondeos se aplican sobre las extensiones racionales de una funcion f de acuerdocon las definiciones

ExfR∗(X): Intervalo obtenido mediante el arbol sintactico de f cuando cada com-ponente de x se substituye por su redondeo externo modal, es decir, Ex(Xi) ⊇Xi y los valores exactos de cada operador w del arbol de f se substituyen por losredondeos externos de los calculados, es decir, Ex(w∗(Xi, · · · )) ⊇ w∗(Xi, · · · ).

En una hipotetica aritmetica ideal Ex se reducirıa al operador identidad. Obviamentese tiene que fR∗(X) ⊆ ExfR∗(X).

Respecto de la extension fR∗∗(X) definimos

InfR∗∗(X): Intervalo obtenido mediante el arbol sintactico de f cuando cada com-ponente de X se substituye por su redondeo interno modal, es decir, In(Xi) ⊆Xi y los valores exactos de cada operador w del arbol de f se substituyen porlos redondeos internos de los calculados, es decir, In(w∗∗(Xi ..)) ⊆ w∗∗(Xi ...)

En una hipotetica aritmetica real ideal, In se reducirıa al operador identidad. Ob-viamente se tiene InfR∗∗(X) ⊆ fR∗∗(X)

Se verifica que si f es una funcion continua definida de Rn en R, entonces

1. Dual(fR∗(X)) = fR∗∗(Dual(X))

18

2. Dual(ExfR∗(X)) = InfR∗∗(Dual(X))

En efecto,

1. Si llamamos Ψ al arbol sintactico de f , como Dual(f ∗(X)) = f ∗∗(Dual(X)),entonces

Dual(fR∗(X)) = Dual(Ψ(w∗

i , X)) = Ψ(w∗∗

i , Dual(X)) = fR∗∗(Dual(X))

2. Dual(ExfR∗(X)) = In(Dual(fR∗(X))) = InfR∗∗(Dual(X))

Respecto de la isotonıa tenemos que

1. X ⊆ Y ⇒ fR∗(X) ⊆ fR∗(Y ), fR∗∗(X) ⊆ fR∗∗(Y )

pues si Ψ es el arbol sintactico de f tenemos

fR∗(X) = Ψ(w∗

i , X) ⊆ Ψ(w∗

i , Y ) = fR∗(Y )

ya que para cualquier operador wi del arbol de f se verifica

X ⊆ Y ⇒ w∗

i (X) ⊆ w∗

i (Y )

Analogo razonamiento prueba la isotonıa respecto de ⊆ para fR∗∗.

2. ExfR∗(X) y InfR∗∗(X) son asimismo isotonicos respecto de ⊆, si los redon-deos intervalares de los argumentos y de los operadores son tambien isotonicosrespecto de ⊆.

En efecto, basta una induccion finita sobre los vertices del arbol sintactico dela funcion f .

Estudiemos ahora cuando ambas extensiones racionales coinciden. Para ello, necesi-tamos el concepto de operador racional.

Operador racional sobre un intervalo X es cualquier funcion real continuacuya extension semantica sea JM-conmutativa.

Ejemplo 6.2

No es un operador racional la funcion f de R2 en R dada por

f(x1, x2) = (x1 + x2)2

para X = ([−1, 1], [1,−1]), pues

f ∗([−1, 1], [1,−1]) = [1, 0] 6= [0, 1] = f ∗∗([−1, 1], [1,−1])

19

aunque si en X = ([1, 2], [3, 1]) ya que

f ∗([1, 2], [3, 1]) = ∨(x1, [1, 2]′) ∧ (x2, [1, 3]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] =

= ∨(x1, [1, 2]′)[(x1 + 3)2, (x1 + 1)2] = [16, 9]

f ∗∗([1, 2], [3, 1]) = ∧(x2, [1, 3]′) ∨ (x1, [1, 2]′)[(x1 + x2)2, (x1 + x2)

2] =

= ∧(x2, [1, 3]′)[(x2 + 1)2, (x2 + 2)2] = [16, 9]

Los operadores definidos por las funciones

f1(x1, x2) = x1 · x2

f2(x1, x2) = |x1 · x2|f3(x1, x2) = x2

1 + x2

2

sobre X = (X1, X2) = ([−1, 1], [1,−1]) son operadores racionales, puesto que comofunciones son JM-conmutativas; sin embargo

f4(x1, x2) = |x1 + x2| , f5(x1, x2) = (x1 + x2)2

no lo son. Por ejemplo para la funcion f4 obtenemos f ∗

4 (X) = [1, 0] y f ∗∗

4 (X) = [0, 1].

La funcionf(x1, x2, x3, x4) = x1x2 + x3x4

puede comprobarse que es JM-conmutativa en cualquier recinto, por lo que puedeser considerada como un operador racional.

Sin embargo, la funcion g de R4 en R dada por

g(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2)(x3 + x4)

no es JM-conmutativa pues, por ejemplo

g∗([−2, 2], [1,−1], [−1, 1], [2,−2]) = [1,5,−1,5]

g∗∗([−2, 2], [1,−1], [−1, 1], [2,−2]) = [−1,5, 1,5]

a pesar de tener sus operadores racionales. Diremos ası que f es globalmente JM-conmutativa y g no lo es.

En el caso de JM-conmutatividad de todos los operadores que intervienen en elarbol sintactico de una funcion f racional continua, las dos extensiones sintacticascoinciden y asi definimos la funcion racional modal fR

fR es la funcion I∗(Rn) en I∗(R) definida por el arbol sintactico de f cuando losoperadores reales son JM-conmutativos y se sustituyen por, en este caso, suunica extension modal.

Para una funcion racional modal se cumple que

InfR(In(X)) = Dual(ExfR(Ex(Dual(X))))

Este resultado permite usar solo la implementacion del redondeo externo.

20

7. Operadores racionales

Averiguamos cuales son los principales operadores racionales.

a) Toda funcion continua de una variable es JM-conmutativa, y por lo tanto unoperador racional.

En efecto pues no hay problema de conmutacion entre ∧ y ∨.

Los casos mas interesantes son los operadores monotonos u otros facilmente progra-mables; para X = [x1, x2]

ln X = ln[x1, x2] = [ln x1, ln x2] si X > 0

exp(X) = eX = exp[x1, x2] = [exp x1, exp x2]

abs(X) = |X| = |[x1, x2]| =

[x1, x2] si X ≥ 0[−x2,−x1] si X ≤ 0[0, max(|x1|, |x2|)] si x1 < 0 y x2 ≥ 0[max(|x1|, |x2|), 0] si x1 ≥ 0 y x2 < 0

pow(X) = Xn = [x1, x2]n =

[xn1 , x

n2 ] si n es impar

[xn1 , x

n2 ] si x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0

[xn2 , x

n1 ] si x1 < 0 y x2 < 0

[0, (max(|x1|, |x2|))n] si x1 < 0 y x2 ≥ 0[(max(|x1|, |x2|))n, 0] si x1 ≥ 0 y x2 < 0

si n es par

root(X) =n

√X = n

√

[x1, x2] = [ n

√x1,

n

√x2] si x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0

Una funcion f(x, y) es uniformemente monotona respecto de x si es creciente (odecreciente) respecto de x, independientemente del valor de y. Diremos que es par-cialmente monotona respecto de x si es monotona respecto de x, independientementedel valor de y, pero para unos valores de y es creciente respecto de x y para otros esdecreciente.

b) Cualquier funcion continua de dos variables f(x, y) parcialmente monotona enun dominio (X ′, Y ′) es JM-conmutativa para los correspondientes argumentos inter-valares (X,Y )

En efecto, si X e Y tienen la misma modalidad, entonces f(x, y) esta acotada porsus valores en los vertices del dominio (X ′, Y ′). De otro modo, los casos posibles secaracterizan por el comportamiento de f(x, y) en la frontera de un dominio intervalarbidimensional. A partir de la continuidad de f se demuestra facilmente que en ellaexisten dos puntos de silla situados en el conjunto de vertices (X ′, Y ′) o en algunpunto del dominio.

En esta situacion estan los operadores x + y, x − y, x ∗ y, x/y, xy.

21

Ejemplo 7.1

Comprobemos como para la suma de X = [a,b] y Y = [c,d] es

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]

Consideremos los casos siguientes:

1. Supongamos que un intervalo es propio y el otro es impropio.

[1,2] + [2,−1] = [SDV(+,[1,2],[2,−1]), SDV(+,[2,−1],[1,2])] =[3,1]

2. Si los dos son propios

[1,2] + [−1,3] = [SDV(+,([1,2],[−1,3]),∅), SDV(+,∅,([1,2],[−1,3]))] =[0,5]

3. Si los dos son impropios

[1,−1] + [1,−2] = [SDV(+,∅,([1,−1],[1,−2])), SDV(+,([1,−1],[1,−2]),∅)] = [2,−3]

Para el producto, el problema aparece al calcular el producto de dos intervalos,cuando el dominio corta algunos de los ejes. Por ejemplo, calculemos el valor de[1, 2] ∗ [3,−1]; haciendo X = [1, 2], Y = [3,−1] tenemos

[1, 2] ∗ [3,−1] = [SDV(·, [1, 2], [3,−1]), SDV(·, [3,−1], [1, 2])] =

= [mın(x, [1, 2]′) max(y, [−1, 3]′)xy, mın(y, [−1, 3]′) max(x, [1, 2]′)xy] =

= [3,−1]

c) Toda funcion f(x, y) continua en (x, y) ∈ Rn que sea uniformemente monotona,

isotonica respecto de x y antitonica respecto de y en el dominio (X ′, Y ′), es JM-conmutativa para (X,Y ) y

fR(X,Y ) = f ∗∗(X,Y ) = f ∗(X,Y ) = [f(Inf(X), Sup(Y )), f(Sup(X), Inf(Y ))]

siendo Inf(X) := (Inf(X1),...,Inf(Xm)) y Sup(X) := (Sup(X1),...,Sup(Xm)).

En efecto, como f es uniformemente monotona, al ser

X − isotonica:

Xj propio ⇒ el mınimo de f esta en Inf(Xj)

Xj impropio ⇒ el maximo de f esta en Inf(Xj)

Y − antitonica:

Yj propio ⇒ el mınimo de f esta en Sup(Yj)

Yj impropio ⇒ el maximo de f esta en Sup(Yj)

con lo que

min((xp, yp), (Xp, Yp)′)max((xi, yi), (Xi, Yi)

′)f(xp, xi, yp, yi) = f(Inf(X), Sup(Y )) =

= max((xi, yi), (Xi, Yi)′)min((xp, yp), (Xp, Yp)

′)f(xp, xi, yp, yi)

22

y analogamente

min((xi, yi), (Xi, Yi)′)max((xp, yp), (Xp, Yp)

′)f(xp, xi, yp, yi) = f(Sup(X), Inf(Y )) =

= max((xp, yp), (Xp, Yp)′)min((xi, yi), (Xi, Yi)

′)f(xp, xi, yp, yi)

por lo que f ∗(X,Y ) = f ∗∗(X,Y ) y

f ∗(X,Y ) = [f(Inf(X), Sup(Y )), f(Sup(X), Inf(Y ))]

Ejemplo 7.2

Consideremos la funcion

g(x, y, z, t) =x − y

z − t

para X = [−1, 1], Y = [2, 1], Z = [−1, 1], T = [3, 2]. Como

∂g

∂x=

1

z − t< 0, es antitonica respecto de x

∂g

∂y=

−1

z − t> 0, es isotonica respecto de y

∂g

∂z=

y − x

(z − t)2> 0, es isotonica respecto de z

∂g

∂t=

x − y

(z − t)2< 0, es antitonica respecto de t

Tendremos pues

g∗(X,Y, Z, T ) = [g(x2, y1, z1, t2), g(x1, y2, z2, t1)] =

[

1 − 2

−1 − 2,−1 − 1

1 − 3

]

=

=

[−1

−3,−2

−2

]

=

[

1

3, 1

]

Para la funcion

g(x, y, z, t) =(x + y)z

t

en X = [−1, 1], Y = [2, 1], Z = [1, 3], T = [3, 2], los signos de la derivadas parcialesprueban que g es x-isotonica, y-isotonica, z-isotonica y t-antitonica. Por tanto

g∗(X,Y, Z, T ) = [g(x1, y1, z1, t2), g(x2, y2, z2, t1)] =

[

(−1 + 2)1

2,(1 + 1)3

3

]

=

[

1

2, 2

]

Un caso particular interesante es el operador identidad limitada definido por:

LID : R3 −→ R

(t, x, y) −→ LID(t, x, y) =

min(x, y) si t ≤ min(x, y)

t si min(x, y) ≤ t ≤ max(x, y)

max(x, y) si max(x, y) ≤ t

23

Este operador es JM-conmutativo por verificar las condiciones indicadas en el apar-tado c) anterior, con X = (T,X, Y ) por lo que

LID∗∗(T,X, Y ) = LID∗(T,X, Y ) =

= [LID(Inf(T ), Inf(X), Inf(Y )), LID(Sup(T ), Sup(X), Sup(Y ))]

Si T es el intervalo [−∞, +∞], es decir, si T = ∨(t, R)[t, t], entonces

LID∗∗(T,X, Y ) = LID∗(T,X, Y ) =

= [min(Inf(X), Inf(Y )), max(Sup(X), Sup(Y ))] = X ∨ Y

Si T es el intervalo [+∞,−∞], es decir, si T = ∧(t, R)[t, t], entonces

LID∗∗(T,X, Y ) = LID∗(T,X, Y ) =

= [max(Inf(X), Inf(Y )), min(Sup(X), Sup(Y ))] = X ∧ Y

luego los operadores ∧ y ∨ son por tanto operadores JM-conmutativos, es decir,operadores racionales. Es importante este resultado, pues si en la evaluacion de unafuncion intervalo queremos disminuir la posible perdida de informacion originadapor la multiincidencia es necesario utilizar los operadores ∧ y ∨.

d) Toda funcion continua f(x, y), con x ∈ R e y = (u, v) ∈ Rm, que sea unifor-

memente monotona para los argumentos y en un dominio (X ′, Y ′), u-isotonica yv-antitonica, es un operador racional para los correspondientes argumentos interva-lares (X,Y ).

En efecto, la continuidad de f(x, y0) en X ′ para cualquier y0 ∈ Rn−1, implica la

existencia en X ′ del mınimo y maximo de f(x, y0) respecto de x. Vamos a demostrarla existencia de puntos de silla, lo que significa la JM-conmutatividad.

Sea (x, um, vM) las coordenadas donde f(x, u, v) alcanza un mınimo respecto de uy un maximo respecto de v, independientemente del valor de x. Si f(xm, um, vM) =mınx∈X′

f(x, um, vM), entonces (xm, um, vM) ∈ SDP((X ′, U ′), V ′), ya que,

U(x,X ′) U(u, U ′) U(v, V ′) (f(xm, um, v) ≤ f(xm, um, vM) ≤ f(x, um, vM) ≤ f(x, u, vM))

Sea (x, uM , vm) las coordenadas donde f(x, u, v) alcanza un maximo respecto de uy un mınimo respecto de v, independientemente del valor de x. Si f(xM , uM , vm) =maxx∈X′

f(x, uM , vm), entonces (xM , uM , vm) ∈ SDP(V ′, (X ′, U ′)), ya que,

U(x,X ′) U(u, U ′) U(v, V ′) (f(x, u, vm) ≤ f(x, uM , vm) ≤ f(xM , uM , vm) ≤ f(xM , uM , v))

Por lo tanto en este caso, siguiendo la notacion de la demostracion del resultadoobtenido en c),

fR(X,Y ) = f ∗∗(X,Y ) = f ∗(X,Y ) =

[mınx∈X′

f(x, Inf(U), Sup(V )), maxx∈X′

f(x, Sup(U), Inf(V ))] si X es propio

[maxx∈X′

f(x, Inf(U), Sup(V )), mınx∈X′

f(x, Sup(U), Inf(V ))] si X es impropio

24

El teorema no se modifica esencialmente si x tiene mas de una componente siemprey cuando se imponga la condicion de unimodalidad para X.

Realmente, aquellas funciones del tipo f(x, y), que sean uniformemente monotonaspara y ∈ R

n y JM-conmutativas para x ∈ Rm en cualquier vertice del y-prisma

definido por los y-argumentos intervalares, puede ser admitida en el repertorio deoperadores racionales. De hecho si

f(xm, yM , um, vM) = mın(x,X ′) max(y, Y ′)f(x, y, um, vM)

es un punto de silla de la (x, y)-funcion f(x, y, um, vM), ya que

U(x,X ′) U(y, Y ′) U(u, U ′) U(v, V ′) (f(xm, y, um, v) ≤ f(xm, y, um, vM)

≤ f(xm, yM , um, vM) ≤ f(x, yM , um, vM) ≤ f(x, yM , u, vM))

Otros operadores JM-conmutativos utiles se estudiaran en el capıtulo siguiente cuan-do se trate de la optimalidad de calculos racionales.

No obstante, en la practica real, los operadores de los calculos racionales deberanser tan simples como sea posible, aunque constituyan una familia mas grande quelos operadores clasicos de las funciones reales racionales.

Referencias

[1] E. Gardenes, H. Mielgo and A. Trepat, Modal intervals: reason andground semantics in Interval Mathematics, Springer, Heidelberg 1985.

[2] E. Gardenes and H. Mielgo, Modal interval analysis: functions, PolishSymposium on Interval and Fuzzy Mathematics, Poznan 1986.

[3] E. Gardenes, H. Mielgo and M.A. Sainz, Presentation of the resear-ch group SIGLA/X, Report IMA 95-10, Dept. de Informatica y MatematicaAplicada, Universidad de Gerona (Spain), 1995.

[4] SIGLA/X group, Construccion de los intervalos modales, Report IMA 96-07-RR, Dept. de Informatica y Matematica Aplicada, Universidad de Girona(Spain), 1996.

[5] Trepat, A., Completacion reticular del espacio de intervalos, Tesina Facultadde matematicas, Universidad de Barcelona, 1982.

25

8. Problemas

1. Dada la funcion f(x, y) = x2 + y2, hallar la extension unida y la extensionracional a los intervalos X = [−1, 1] e Y = [−2, 2]. Escribir las semanticas delos resultados y compararlas por la relacion de inclusion.

2. Para la funcion f(x) = x2 + x + 1, definir la extension pobre y comprobar queverifica la condicion semantica para el intervalo X = [−3, 2].

3. Calcular f ∗(X) y f ∗∗(X) en los siguientes casos

a) f(x, y) = x + y para X = [3,−1], Y = [2, 3]

b) f(x, y) = xy para X = [−1, 2], Y = [3,−5]

c) f(x, y) = x/y para X = [3,−6], Y = [−1,−2]

d) f(x, y) = x2 + y2 para X = [−3, 4], Y = [−2, 6]

e) f(x, y) = x2 + y2 para X = [−1, 5], Y = [5,−1]

f ) f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) para X = ([−1, 3], [2, 3], [−4, 1])

g) f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) para X = ([−1, 3], [3, 2], [1,−4])

h) f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) para X = ([−1, 3], [4, 1], [−5, 1])

i) f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 para X = ([−1, 3], [2, 3], [−4, 1])

j ) f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 para X = ([−1, 3], [3, 2], [1,−4])

k) f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 para X = ([−1, 3], [4, 1], [−5, 1])

l) f(x1, x2, x3, x4) = x2x1+x3x1+x4x1 para X = ([1, 2], [1,−4], [−7, 3], [9, 8])

4. Demostrar que si X = [x1, x2] e Y = [y1, y2] entonces

a) Si f(x, y) = x − y, es f ∗(X,Y ) = [x1 − y2, x2 − y1] = f ∗∗(X,Y )

b) Si f(x, y) = xy, calcular f ∗(X,Y ) y f ∗∗(X,Y ) si x1 > 0, x2 < 0, y1 < 0e y2 > 0

c) Si f(x, y) = x/y, calcular f ∗(X,Y ) y f ∗∗(X,Y ) si x1 > 0, x2 < 0, y1 < 0e y2 < 0

5. Interpretaciones semanticas de los resultados del ejercicio 3.

6. Para la funcion f(x, y) = x2−3y2, comprobar que si (X1, Y1) = ([1, 2], [3, 1]) ⊆([−2, 3], [1, 6]) = (X2, Y2) es f ∗(X1, Y1) ⊆ f ∗(X2, Y2) y f ∗∗(X1, Y1) ⊆ f ∗∗(X2, Y2).

7. Hallar los puntos de silla de las siguientes funciones y decidir si son JM-conmutativas.

a) f(x, y) = x2 + y2 + 2xy − 20x − 20y en X = [1, 6], Y = [8, 2]

b) f(x, y) = y2 − x2 en X = [1,−1], Y = [−1, 1]

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c) f(x, y) = y2 − x2 en X = [1, 3], Y = [3, 1]

d) f(x, y) = (x + y)2 en X = [3,−3], Y = [−3, 3]

e) f(x, y) = (x + y)2 en X = [2, 0], Y = [1, 3]

f ) f(x, y) = |x + y| en X = [1,−1], Y = [−1, 1]

g) f(x, y) = |x + y| en X = [1,−1], Y = [0, 4]

h) f(x, y) = |x + y| en X = [1,−1], Y = [0, 3/2]

i) f(x, y) = x2 + y2 en X = [−1, 1], Y = [4, 0]

j ) f(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y + 2 en X = [0, 2], Y = [3, 1]

8. Construir un arbol sintactico y hallar los redondeos internos y externos defR∗(X), fR∗∗(X) y fR(X), si existe, en los casos siguientes

a) f(x, y) = (x − y)(x + y) con X = [−1, 1], Y = [2,−1]

b) f(x, y) = (x − y)/(x + y) con X = [−1, 1], Y = [10, 6]

c) f(x, y) = (x2 − y2)(x2 + y2) con X = [−1, 1], Y = [2,−1]

d) f(x, y) = (x2 + y2)/(x − y)2 con X = [−1, 1], Y = [10, 6]

e) f(x1, x2, x3) = x1x2x3/(x1 + x2/x3) con X = ([2, 1], [−4, 5], [8, 4])

f ) f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 − x3x4 con X = ([−1, 1], [1,−1], [2,−2], [3, 4])

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