Extensions Respectueuses de Chaines

Zaitrchr. f. math. Log& wid Orundlagm d . Math. Bd. 25, S . 423-444 ( 1 9 7 9 )

EXTENSIONS RESPECTUEUSES DE CHAINES

par JEAN GUILLAUME HAGENDORF in Orsay (France)

Introduction

Kous traiterons ici, L propos de chaines, d’un problhme de FRAISS~ [2], le problkme general d’extension respectueuse: si des (cobjets)) A , ne se ccplongento pas dans des (cobjets)) B, existe-t-il une textension)) des B, dam laquelle les A , ne se plongent toujours pas? MALITZ [7] donne un contre-exemple b un problhme de ce type sur les relations; LOPEZ [6] y apporte une am6lioration. Ce probkme peut 6tre rapproch6 des problhmes peu repandus de succession de cardinaux poses par T-4RSKI [Sj & propos du plongement entre ensembles. Nous apportons dans le cas des chaines une reformu- lation correcte du problhme g6n6ral d‘extension respectueuse car, pris au pied de la lettre, il se r6solvait nkgativement, mais chacun s’accordait L penser que les contre- exemples obtenus cachaient une realit6 plus profonde. L’approfondissement que nous donnons se traduit par une simplification conceptuelle : on Btudie une proprietk analogue ZL la moiti6 superieure du critkre de distributivitb de BIRKHOFF [l] dans un treillis. Nous appelons cette propribte ((ultra-distributivite )), et le problhme revient b savoir si la classe des chaines est ultra-distributive. Nous am6liorons ce point de vue en 6tendant le problhme it l’existence d’un ensemble minimum (de chaines) ayant un ensemble d’extensions donne. Les principaux theorhmes prouvent cette existence sous certaines liypothhses dont nous conjecturons l’inutilitb.

Les problhmes B l’origine de ce travail sont les suivants:

1” Le problkme de I’extension respectueuse simple pose en 1965 par FRAISSB: Une chaine infinie qui se plonge dans toute extension stricte d’une chaine A se plonge-t-elle dam A?

JULLIEN [4] donne L ce problhme une solution fragmentaire dans le cas des chaines dispersees, en utilisant le resultat de LAVEH. [5] stipulant que celles-ci sont finiment insecables. Mais sa m6thode n’est pas gknkralisable. Nous r6solvons positivement ce problkme.

2” Le problhme de l’inexistence d’un suprCmum (pour l’ordre du plongement) i. deux chaines incomparables (pose en 1972 par S a s s l c ~ ) .

Ce problkme nous a conduit iL la notion de surdistributivite qui am6liore leh idCes prbcedentes et permet d’enoncer correctement la g6n6ralisation du probkme lo au cas de plusieurs chaines A .

Nous disons qu’une chaine S est surdistribuable si pour toute chaine A et E , l’ensemble des extensions de E et A ne peut Btre le m&me (A l’isoniorphie p rk ) que celui cles extensions de E et S, que dans les cas triviaux: A et S se plongent dans E. ou A et S se plongent l’un dans l’autre.

la relation de plongement. d &ant un ensemble de chalnes, notons Maj(d) l’ensemble (a l’isomorphie pr&) des extensions de xi’ c’est-&-dire des chaines

Notons

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dans lesquelles se plongent tous les elements de d (autrement dit Maj(.d) = { X I (VA E d ) ( A 6 X ) } ) . La surdistributivitB se traduit alors par:

La notion de surdistributivite s’btend aux ensembles de chaines. Nous conjecturons que tout ensemble de chaines est surdistribuable, ce qui apporterait une r6ponse posi- tive au problbme de SABBAQH. Nous montrons qu’il en est ainsi pour les ensembles finis de chaines finiment insecables.

Grace L cela nous arrivons au resultat suivant: parmi tous les ensembles finis de chaines finiment insecables d qui ont m6me ensemble d’extensions Maj(d) , il en existe un qui est minimum au sens qu’il est Bquimorphe L une partie de chaque autre. Nous conjecturons ce resultat pour tout ensemble de chafnes d.

Cette propri6tB (existence d’un minimum) entraine la surdistributivitk, elle est un lBger affaiblissement de 1’6nonc6 (faux) qui dirait que d est determine de manibre unique (a 1’6quimorphie prbs) par la donnee de Maj(d). d n’est donc pas unique mais obtenu en adjoignant, L un unique ensemble minimum 4, des elements inutiles.

De manibre plus imagee on peut dire la chose suivante: dans un ordre quelconque quand on change un element A d’une partie d on peut changer plus ou moins l’ensemble Maj(d) des extensions de d. Dans le cas du plongement entre chaines la simplification serait radicale, certaines chaines A (celles qui ne sont pas dans A?) pourraient 6tre carrement supprimees (individuellement et en bloc) sans changer Maj (d), tout changement des autres (celles de 4) change Maj(d) .

On d6finit la sous-distributivitb notion duale de la surdistributivite, on Btudie les liens entre ces deux notions ; I’ultra-distributivite est la conjonction de la surdistributi- vit6, de la sous-distributivith et d’une correlation entre elles. On en tire enfin que si A , B, C sont trois chaines finiment insecables incomparables, parmi les Bnonces suivants cil existe une extension stricte de A dans laquelle ni B ni C ne se plonge)), (ti1 existe une extension de A et B dans laquelle C ne se plonge paso et les quatre autres deduits par permutations, cinq au moins sont vrais, c’est-&-dire que les contre-exemples (dis- perses) au problbme general de l’extension respectueuse, dans la classe des chaines, soiit (wares 1) et ccisol6s les uns des autres o.

Rappels . Une chatne est un ordre total. Une chaine A se plonge dans une chafne B (on dit aussi que A s’abrite dans B ou que B abrite A ) , ce qu’on note A s B, s’il existe un isomorphisme (pour l’ordre) entre A et une partie de B, cet isomorphisme est appel6 un pZongenaent ou un abritement de A dans B ; cette relation de plongement (1 s H est un pr6ordre. Quand on emploiera les mots : petit, minimal, minimum, incomparabiliti, etc. . . ., ce sera au sen8 de ce pdordre. Ainsi si R 5 8, R sera dit minorant de X et S majorant de R.

Si A et B se plongent l’une dans l’autre, on dit qu’elles sont Squimorphes, ce qu’on note A 5 B ; la relation 5 est une equivalence.

Si R se plonge dans S, sans que S se plonge dans R, c’est-A-dire sans que R et S soient Bquimorphes, on note R < S et on dit que R s’abrite strictement dans S ou que R se plonge strictement dans S, ou que R est strictement plus petit que S , ou encore que R est un minorant strict de S ou S un majorant strict de R.

EXTENSIONS RESPEOTUEUSES DE C E A ~ N E S 425

Le type d’une chaine A est la classe de toutes les chaines isomorphes & A c’est-&-dire en fait la chaine A prise b I’isomorphie pr&s. On identifiera souvent une chaine et son type d’ordre.

On appelle genre d’une chaine A la classe des chaines Bquimorphes b A , c’est-&-dire en fait la chaine A prise b I’Bquimorphie pr&s. On confondra souvent une chaine avec son genre.

Si A est une chaine, on note A* son oppske , c’est-&-dire la chaine de meme base avec pour ordre z

o dBsigne le type (et aussi le genre) de I’ensemble N des entiers naturels, ainsi que le plus petit ordinal infini; chaque ordinal est confondu avec son type d’ordre; w1 est le plus petit ordinal non denombrable; 0 dBsigne le type Q* + LO de I’ensemble ordonnt5 Z des entiers relatifs; 17 dBsigne le type de l’ensemble Q des rationnels.

y (mod A*) si z 2 y (mod A ) .

A . B dBsigne la chaine 2 Bi oh Bi z B. ;€A

$ 1. Thhorie ghnhrale

1.1. Nous allons Btudier des propriBt6s que peuvent possBder des classes (prB-) ordon- nBes, avec l’arrihre-pensBe que ces propri6t6s doivent &re satisfaites dans la classe des chaines ordonnee par abritement ou dans d’autres classes analogues.

Une classe !$ munie d’une relation d’ordre est dite une c h s e ordonnke si tout sous ensemble de ’$ est major6 et si toute sous-classe majorBe de ’$ est un ensemble. Une classe !$ munie d’un prkordre est dite une classe prdordonnke si la classe quotient associBe est une classe ordonn6e.

On se place dans ce paragraphe dans une classe prBordonnBe ‘p Les BlBments de ’$ sont appelBs objets mais nous conservons pour ’$ le vocabulaire

des chaines: l’ordre de ’$ sera appelB plongement, les classes d’6quivalence genres, etc. On appliquera ensuite les rksultats obtenus b la classe des chaines.

On Btudie dans ce paragraphe les relations entre les diffbrentes propriBtBs de ’$ et les exemples qui orientent le choix de ces propri6tBs. Nous montrerons dans le paragraphe suivant dans quelle mesure elles sont satisfaites dans la classe des chaines.

1.2. Nota t ions . Duns toute la suite les majuscules latines ( A , B , R, . . .) dBsigneront des objets, les majuscules rondes (d, 9?, 9, . . .) des ensembles d’objets. Soit d = { A , } , € [ et B = {B,}JEJ deux ensembles d’objets. Appelons mjoran t s ou (encore extemions) de d les objets majorant b la fois tous les A de d; de m6me pour majorant strict. Notons Maj(d) ou Maj(A,) la classe des majorants de d. Notons Majh(d) ou hIaj5(A,) la classe des majorants stricts de d. Notation analogue pour les minorants: Min(d), Min5(d). Pour allitger 1’Bcriture on notera par exemple M a j ( d , g , C , D, . . .) au lieu de Maj (d w g w {C} w { D } w . . .). De meme pour Min et les autres symboles qui suivront. Notons d 5 et disons que d se plonge dans 9? si tout A de d se plonge dans un B de a. Si d B et B 5 d, d et B sout dits Cquimorphes (ce qui est not6 d >( 99). Toute famille d’objets est donc Bquimorphe b sa cldture (infhrieure) par abritement. Ainsi d 5 Min(39) signifie que tout BlBment de d se plonge dans tout Clement de 37, donc est Bquivalent b 23 E Maj(d). De meme pour Mins et Majs. Rap- pelons qu’un suprimurn de d est un majorant minimum de s? (c’est-$-dire gui se plonge

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dans tous les majorants de d). Appelons supremum strict de d un supremum de d qui n’est pas dans d.

1.3. Propr i6 ths d’ex tens ion respectueuse. Appelons extension respectueuse la proprihth suivante: Si A se plonge strictement dans toute extension stricte de B alors A se plonge dans B, ce qui s’6crit aussi

(MajS(B) E Majb(A) * A 6 B ) ou encore

hfins(Majs(B)) 5 B. Cela veut dire que si A $ B il existe une extension stricte de B respectueuse de I’ctinterdiction B d’abriter A .

Propos i t ion . Extension respectueuse * ( V d , .?#) (Majs(d) E Majs(.@) 3 Maj(d) <= Maj(8)). (VB) (Maj5(A) MajS(B) 3 Maj(A) Maj(B)) =s- Mins(Maj5(A)) 5 A .

DBmoiistration 616mentaire. Propos i t ion .

( V g ) (Maj(d) 5 Maj(8) 3 Majs(d) Majs(a)) o d n’a pas de supCmum strict.

DBmonstration Blhmentaire

1.4, Appelons extension finiment respectueuse la proprikte suivante: Si A se plonge E et F alors A se plonge dans E ou dans F , ce qui

A <= {E, F } ) .

dans toute extension commune s’6crit

(Maj(E, F ) E Maj(A) I1 revient au m6me de remplacer ( E , F } par un ensemble fini { E , F , G . . .}, d’oh 1e nom donne L cette propriht6. Cette proprikth se traduit alghbriquement par le fait que tout filtre principal est premier.

Dam la classe des chaines cette proprihtb est fausse (ce qui est d’autant plus curieux que, comme l’a montr6 FRAISS~, elle est satisfaite dans le cas des relations d’arith 2 2). Donnons le contre-exemple suivant obtenu par JULLIEN: la chaine w + w* se plonge dans toute extension commune L (ow* et Q*W sans se plonger ni dans om* ni dans (U*OJ.

1.5. Appelons extension cmplbtement respectueuse la propri6t6 plus forte obtenue en remplaqant { E , F } par un ensemble quelconque (mkme infini): Xi A se plonge dans toute extension d’une famille (E,) alors A se plonge dans un E , . Cet Bnonc6 est Bqui- valent B

(Maj(.d) = Maj(B) * d 5 B) , ou encore B

(Maj(.d) E Maj(B) B 5 d). On sait que cette condition d’extension complAtement respectueuse est satisfaite dans la classe des relations d’arit6 2 2 et dans la classe des mots sur un alphabet.

On appellera propriktk d’extension totalement respectueuse la propriht6 suivante : Si un objet A se plonge dans toutes les extensions d’une famille totalement ordonnhe tp

EXTENSIONS RESPECTWEUSES DE C H A ~ N E ~ 427

d’objets, aloss A se plonge dans un objet de la famille d. S o u s ignorons si cet 6nonc6 est vrai ou faux dans la classe des chaines.

1.6. Burn1 odu la r i t B . La propriBtB d’extension finiment respectueuse peut s’affaiblir en supposant en plus que E 5 A : si A se plonge dans toute extension commune 8. E et F et si E 5 A , alors ,4 se plonge dans E ou dans F . Autrement dit: si A se plonge dans toute extension commune E et F , on a soit A 5 F , soit E < A (cette dernike inCgalit6 affaiblissant B A 5 E )) de l’extension finiment respectueuse).

La contmposee de cet BnoncB est : si une extension stricte A de E ne se plonge pas dam F , il existe une extension de E et F n’abritant pas A . Cet BnoncB revient encore ti dire que si E < A et si A et F sont incomparables, E et F ne peuvent pas avoir esactenient les memes dxtensions communes que A et F .

O n appelle surmodularit; cette propriet6 qui s’6crit :

( ( E 5 A et Maj(A, F ) = R aj(E, F ) ) * ( A 5 E ou ( A 5 F et E 5 F ) ) ) .

Cette d6noniination est prise pour la raison suivante: Un treillis est dit modulaire si on a toujours

. . y V ( Y A z ) = ( X V Y ) A z ,

ce qiii d’atprks DEDEKIND est Bquivalent B la condition: si E 5 A et E v F = A v F t a t F: A F = B A F alors IT = A . Cela peut s’bcrire de la faCon suivante de manibre B avoir uii sens dans n’importe quel ensemble ordonnB: si E 5 A et Maj(A, F ) = Maj(E, F ) et Min(A, F ) = Min(E, F ) , alors E 2 A . La surmodularite est donc une condition plus forte que la modularitk.

On conjPct?rre que la classe des chatnes ordonnde par abritement est surmodulaire. Un contre-exemple serait en tout cas trbs complexe. Une consequence serait que deux chaines ( E et F ) incomparables ne peuvent avoir de supremum (ce problbme nous a 6t6 posG par SABBAGH et c’est en fait pour le resoudre que nous avons introduit la notion de surmodularit6).

1.7. D@ f in i t ion. Disonsqu’un objet est siwnwdulabk si la propriBt6 de surmodularitk ci-dessus est vraie pour tout A et F , c’est-$-dire si pour tout objet A qui est extension stricte dc E et qui ne se plonge pas dans F , il existe une extension commune B E et F n’abritant pas A. La surmodularit6 de E s’Bcrit encore:

(VA, F) ( ( E 5 A et Maj(A, F ) = Maj(E, F ) ) + ( A 5 E ou A 5 F ) ) . La surmodularitk de Q revient au fait que tous les objets de !$ sont surmodulables.

1.8. Si 011 veut gBn6raliser la surmodularit6 ti une famille € de chaines L la place d’une \eule chaine E on a plusieurs solutions. D’abord: Si A se plonge dans toute ex- teiicion de E. F et G, et si E 5 A , est-ce que A se plonge dans F ou dans G1 La reponse est negative dans la classe des chaines: on prend A = w1 + COT, E = (0 + to*,

On est alors conduit ti oeci: On appelle propriBt6 de surmoduhritd cornpl2te la propri6tB suivante: Si un objet A se plonge dans toute extension commune L la famille 8 = [ E , ) , ct $ F et si chaque E , se plonge dans A , alors A se plonge dans F ou dans un E , . Propridt6 qu’on peut aussi Bcrire:

F = ~ O ~ W ; , G = ( 0 : ~ ~ .

((8 5 A et Maj(A, F ) = Maj(&, F ) ) 3 (A 5 F ou A 5 8)).

428 JEAN OUILLAUME HAOENDORF

On parlera de famille (B , ) surmodulabb si la condition prBc6dente est satisfaite pour tout A et F , et la surmodularitk complhte revient au fait que toute famille d’objets est surmodulable.

1.9. Propos i t ion . Tout suprdmum M d’un ensemble sumoddable 9’ en est un

I1 en va de m6me si 9’ devient surmodulable quand on lui enlhve un 616ment.

DB rnonstrat ion. En effet si S E 9’ on a Maj(Y, S) = iUaj(M, S) ce qui entraine M 5 9’. Si 9’ devient surmodulable quand on lui enlhve un objet, notons S cet objet, on a Maj(h”j’9 - {S} ) = Maj(M, S ) d’oh M Y - { S } ou M 5 S , dans chaque cas M €Y.

1.10. Surd i s t r i bu t iv i t6 . On appelle surdistribufivitC la propriete suivante: Xi l’ensemble Maj(A, C) des majorants de C et A est identique b I’ensemble Maj(B, C) des majorants de C et B, alors A 5 B sauf dans le cas trivial oh A et B se plongent dans C ; cela s’6crit :

maximum (c’est-d-dire appartient d 9’).

(Maj(A, C) = Maj(B, C) (A 5 B ou {A, B } 5 C)). On conjecture cette propri6t6 dans la classe des chaines. La dknomination de surdistributivit6 que nous avons donnee vient de la condition

de distributivit6 dans un treillis: Un treillis est dit distributif si on a toujours

( x A Y ) ~ Z = ( x V Z ) A ( Y V Z ) et ( x V Y ) ~ \ z = ( x A Z ) V ( Y A Z ) ;

condition kquivalente d’aprhs BIRKHOFF B la suivante

((A A C = B A C et A v C = B v C) s A = B),

qui pour avoir un sens dans tout ensemble ordonn6 peut s’6crire

((Maj(A, C) = Maj(B, C) et Min(A, C) = Min(B, C)) A = B).

La difference entre la distributivite (resp. la surdistributivitb) et la modularit6 (resp. la surrnodularit6) est que la condition A 5 B n’est plus impos6e.

Cette propriet6 revient B dire qu’un objet est caract6risB par les extensions qu’il a avec un objet fix6 (qui ne l’abrite pas).

1.11. Un objet B sera dit szcrdistribuable, si la condition de surdistributivitk ci- dessus est vraie pour tout A et C, c’est-b-dire si pour tout objet A non Bquimorphe B B, et C n’abritant pas B la fois A et B, il existe une extension de A et C n’abritant pas B ou une extension de C et B n’abritant pas A, autrernent dit si:

(VA, C) (MajfA, C) = Maj(B, C) ( A 5 B ou (A 5 C et B 2 C))). Xi ( (A 5 Bo est remplac6 par ctA B)), c’est-&-dire si

(VA, C) (Maj(A, C) = Maj(B, C) (A 5 B ou ( A 5 C et B 5 C))), on dira que B est Cquisurdistribuable (ce qui ne veut pas dire Bquimorphe B un objet surdistribuable mais & un ensemble surdistribuable en un sens qii’on precisera plus tard). Les objets Bquisurdistribuables sont surmodulables. On peut parler de genre Bquisurdistribuable.

La surdistributivite revient au fait que tout objet est surdistribuable, ou encore que tout objet est 6quisurdistribuable.

EXTENSIONS RESPECTUEUSES DE CHA~NES 429

1.12. La surdistributivite ne peut se gBnBraliser dans la classe des chaines en remplayant A et B par des ensembles d et 9: Maj(d, C) = Maj(37, C) n’entraine pas d 5 9 0 u d u g 5 C; par exemple si d = {mu*, w*w>, B = {w + w*, row*>, c = Ir>*w .

La surdistributivith ne peut se gBnBraliser non plus en remplapant C par un ensemble V ; par exemple si B = 0 et si ,4 = w + w* il n’existe pas d’extension de G = (row*, w*w> n’abritant pas A.

La question reste posBe si B seul est remplacB par un ensemble 9: 1.13. DBfinition. $3 sera dit complbtement surdistributif si Maj(9, C) = Maj(A, C)

On conjecture que la classe des chatnes est complbtement surdistributive.

D 6 f in i t ion . L’ensemble @sera dit surdistribuable si la propriBtB de surdistributivite complete ci-dessus est vraie pour tout A et tout G, c’est-it-dire si pour tout A et G, Maj(C, A ) = Maj(C, 37) entraine, soit A est Bquimorphe B un BlBment de 9, soit A C et 5 C. Une classe qui n’est pas un ensemble serait trivialement surdistribuable.

La notion de surdistribuabilit8 n’est pas compatible avec 1’6quimorphie entre ensembles d’61Bments de @. Si @ verifie la definition ci-dessus de la surdistribuabilitk oh on a remplacB ( (A est Bquimorphe it un BlBment de 9)) par ((A 5 9)), on dira que ~27 est Bquisurdistribuable. Cette definition se justifie par le fait que 37 est Bquimorphe L sa cl8ture par abritement qui est alors surdistribuable. RBciproquement si 9 est Bquimorphe it %? qui est surdistribuable, il est clair que 37 est Bquisurdistribuable. La notion associhe d’Bguisurdistributivit6 qu’on pourrait dBfinir s’avbre en fait identique L la simple surdistributivite grace A:

entraine que soit A est Bquimorphe it un BlBment de 9, soit 37 5 C et A 5 C.

1.14. Propos i t ion . Soit Maj(9, C) = Maj(A, C), si 9 est Bquisurdistribuable et s i

DBmonstrat ion. A se plonge dans un BlBment B de .% et A 6tant surmodulable,

La surdistributivite complhte revient au fait que tout ensemble d’objets est Bqui-

A est surmodulable alors A u 9 5 C ou A est Lquimorphe d un LlBment de 9.

B se plonge dans A , ou bien 9 et A se plongent dans C.

surdistribuable (donc surdistribuable).

1.15. Propos i t ion . La rkunion d’un nombre fini d’ensembles surdistribuables (resp. Cquisurdistribuables, surmodulables) est surdistribuable (resp. 6quisurdistribzcable, s w - modulable).

DBmonstrat ion. Faisons la dBmonstration pour deux ensembles surdistribuables. Soient et V deux ensembles surdistribuables, Y leur reunion et En et A des objets fixes incomparables tels que Maj(E, , 5”) = Maj(E, , A). I1 s’agit de montrer l’existence d’une extension de En et A n’abritant pas 5” ou une de E, et 9’ n’abritant pas A en supposant A, 6 9. @ &ant surdistribuable, il existe soit une extension de A et E, n’abritant pas % donc pas A et le problhme est rBsolu, soit une extension de E, de E, et % n’abritant pas A . I1 existe alors, soit une extension de E, et A (donc de A et En) n’abritant pas V et le problkme est rksolu, soit une E, de El et $‘- donc de 9 n’abritant pas A , cela sauf dans les cas triviaux 42 et A 5 El (ce gui est impossible) ou A E V‘- 9 aussi impossible.

4-30 JEAN OUILLAUME HAGENDORF

Remarque . La proposition prBc6dente s’6tend b une reunion infinie si ment respectueux.

Corollaire. U n ensemble f i i i i d’objets qui aotit tous szcrnioddables sauf un au plus, n’a pas de suprkmum strict.

1.16. Propos i t ion . Soit 9‘ un ensemble kquisurdistiibuabk, soit 9- un ensemble w,ns suprkmum strict, alors Y u F est sans suprkmum strict.

Demons t r a t ion . Raisonnons par l’nbsurde en supposant l’existence d’un supr8- mum strict 111 de Y v F. Soit T une pxtension de F, il est clair que dl se plonge dnns toute extension de 9’ et T donc &ant Bquisurdistribuable, soit M 5 .9’ inipos- sible, soit M 5 T et 9’ 5 T ; s’il est ainsi pour tout T 2 F, 1c1 est supreinuni strict de F.

1.17. N o t a t i o n s . Soit d et 39 deux ensembles d’objets. Min(Maj(d)) encorc. not6 Min Maj -d est I’ensemble dee objets qui se ploiigent dans toutes les extensions de d, c’est-&-dire { X 1 (VE) ( E 2 d X 5 E ) } . ((.d 5 Min Maj go est donc Bquivalent k ,Maj(g) E Maj(d)o. I1 est clair que .d 5 Min Maj -4 et que (d j 99 * Min Maj s9 s Min Maj g), en consequence (s9 5 Min Maj e. o Min Maj d 5 Min Maj g) car Min Maj Min Maj B = Min Maj &.

Soit B un objet, notons encore B 6 &‘ si B 5 Min Maj d et si en plus B n’est Bquimorphe k aucun A de d.

Cette dBfinition n’est pas compatible avec 1’Bquimorphie entre ensemble,, ainsi CI + (0, I} et O < 1 alors que (0, 11 5 1.

Exemples dans le cas des chaines:

est totale-

A = w o * , B = (I) + lo*, C = to*w alors B 6 (A, C};

A = 0) + r o r , B = w1 + ro*, V = ( c o p * , o : u > alors A 6 V et B 4 %?.

1.18. Propos i t ion . Soient El et E , deux objets Cquisurdistribuables, A un objet sur- modukble. S i on a A < { E l , E2} et { E l , E,} s Min Maj(A, B ) alors A 5 B.

DBmonstrat ion. En raisonnant par l’absurde on a A -@ ( E l , E,, B } et { E l , E2) s Min Maj(A, B ) donc { E l , E,} Btant Bquisurdistribuable, soit A B, soit A El par exemple, ce qui entraine (1.14) A &ant surmodulable, que El 6 A contrairement k I’hypothhse.

1.19. Lenirrie d’6limination. Soit A u n objet surmodulable, soient % et 8 c7eu.c ensembles d’objets tels que A Min Maj(%?, &) et soit 8‘ une partie de & = 8‘ w 8“ doiit leu objpts E‘ sont 6 (A} u V et telle que 8’ soit Pquisurdistribuable, alors A 5 I - MinMaj(V, €”). On dit qu‘on a klimink 6‘.

DBmonstrat ion. Si A f MinMaj(%‘, 8”) il existe un objet F 2 8” uY: tel quc A $ F . Soit G une extension de F et &‘, alors A s G d’oh Maj(A, F ) = Maj(€’, F ) . Par BquisurdistribuabilitB de &‘ on a soit A 6 ’ ; ,4 &ant surmodulable est donc Bquimorphe k un Blement de 8’ ce qui est absurde pour la m6me raison.

1.20. Lemme. Si Maj(A, %?) = Maj(g, V) o& A est surmodulable et o& l’ensemble & est kquisurdistribuabk et ne contient pas d’objet kquimorphe d A , alors A se plonge d a m toute extension de %‘ (et donc

F ce qui est faux, soit A

s’y plonge aussi).

EXTEXSIONS RESPECTUEUSES DE CHA~NES 43 1

DBmonstrat ion. I1 suffit d’Climiner griLce au lemme 1.19 l’ensemble A? tout entier (sauf Bventuellement des objets 5 9) et on obtient A 5 Min Maj Q.

On peut dans les resultats prBcBdents Bviter l’hypothhse de surmodulabilitB en exigeant la surdistribuabilitb au lieu de I’BquisurdistribuabilitB.

1.21. Lemme. Xoit Maj(B, V ) = Maj(A,, A , , Y ) 04 A , , A, et 39 = (BJ],EJ sont Cquisurdistribuables, alors A, o u A, est Cquimorphe c i un BJ o u bien A, , A,, et tous les B, se plongent dans toute extension de V.

DBmonstrat ion. Supposons A, $ A , et posons V’ = V w { A 2 } ; on a alors Maj(9,V’) = Maj(A,,Q’). Donc A , est Bquimorphe b un des B, ou bien on a Al 6 Min Maj V’. En interchangeant A, et A, on trouve soit que A , est Bquimorphe R un des B, soit que A, 5 Min Maj(A1, V ) ; dans ce cas Maj(A1, V) = Maj(A2, U) et done gr&ce b 1.20 A , et A, sont 5 Min Maj V puisqu’ils ne sont pas Bquimorphes.

Par rBcurrence on obtient :

1.22. Lemme. Soit Maj(d, V) = Maj(39, Q), si ral est fini, ses dlkments dquisurdistribuables et 93 Cquisurdistribuable, alors o u bien il existe un kldment de d kquimorphe ci un Cltment de B o u bien tous les tldments de et 39 se plongent dans toutes les extemions de l’ensemble %.

1.23. ThBorCme. Soient @ et V deux ensembles de genres vdrifiant Maj(G2) = Maj(Y’”), tels que Y - 42 soit fini et formd d’ClCnzents kquisurdistribuables, et tels que 42 - V” soit Cquisurdistribuable. alors les dldnients de & et de V se plongent dans toute extension de @ n V , ( e n particulier 42 n V + 0 et card($? n Y ) 2 2 sauf si % et V ont un maxi - mum wmmun).

DBmonstrat ion. Comme il n’y a pas d’B1Bment commun b (-& - V ) et (V - 4Y) on a d’aprhs 1.22: G2 w V s MirMaj(% n V ) .

1.24. ThBor6me. Si d et 9 sont deux ensembles f inis de genres kqiLisurdistribuables, Haj (d ) = Maj(9) entratne Maj(&‘) = Maj(g) = Maj(d n a).

Si ral et 9 ne sont pas finis ce resultat subsiste peut-6tre en remplapnt 22 n GY par l’c(Bqui-intersection)) de d et 9: {X I X -I d et X

On en tire en intersectant toutes les parties finies A? formBes d’61Bments surdistribuables de d, verifiant Maj(9) = Maj(&’).

1.26. Propos i t ion . Si &‘ est un ensemble fini de genres dquis7irdistribuables, parmi les parties .A’ de &’ telles que Maj(A) = Maj(ral) il e n existe u n e minimum (pour l’inclusion).

A?}.

On prend en effet pour A l’intersection prBcBdemment mentionnhe.

Cet Bnonc6 n’est plus vrai pour l’ensemble infini d’entiers d = N.

1.26. DBfinition. Soit d et 9 deux ensembles d’objets, disons que d est &pi- inclus dans 9l si &’ est Bquimorphe b un ensemble 37’ inclus dans .%?, ce qu’on peut Bcrire

(VA E&’) ( ~ B E A ? ) ( 3 A ’ ~ d ) (A s B 5 A ’ ) .

I1 est clair que si d est Bquimorphe A d‘ inclus dans 37, d est i n c h dans d u (a- d’) qui est Bquimorphe ii A?. Par contre la rbciproque est fausse.

432 JEAN OUILLAUME HAOENDORB

Remarquons que si a? 5 9 on a d g It, 9]@ 5 %3. Cette notion n’est donc pas

1.27. Dbfini t ion. Une partie @ de L2? est dite cofinie si 9 - V est finie.

1.28. Thborhme. Soit d u n ensemble fini d’objets dquisurdistribuables, parmi t o w Ees ensembles L2? dont toute partie cofinie est kquisurdistribuable, tels que Maj(g) = Maj(d) i l en existe un, A(&), minimum pour l’dqui-inclusion.

Remarquons aussi que 1.24 peut se dbduire de 1.25 1 puisque .M d on a Maj(.M) = Maj(d n a) = Maj(d) .

1.29. Pr inc ipe d u minimum. Disons que p vdrifie le principe d u minimum si pour tout ensemble d d’objets, il existe, parmi les ensembles %3 tels que Maj(g) = = Maj(d) , un ensemble minimum pour 1’6qui-inclusion. On note A(&) un tel ensemble minimum.

On conjecture cette propribM dans la classe des chaines ce qui revient B supprimer 1es hypothdses sur d et g dans le th6orkme 1.28. Peut-btre doit-on se contenter de I’existence d’un ensemble minimum pour le plongement et non pour I’bqui-inclusion.

Remarque . Le principe du minimum ne serait plus satisfait dans la classe des chaines si d et g n’btaient pas obligatoirement des ensembles mais seulement des classes. Ainsi si On est la classe des ordinaux et On* la classe des antiordinaux, Maj(0n) = Maj(On*) (= 0) or un .M infbrieur B On et 21 On* doit Btre aussi infbrieur A a) et B cc)* et Maj(.M) ne serait pas vide.

1.30. P r o pos i t ion. Le principe du minimum entrakne la surdistributivitd complbte.

DBmonstrat ion. Supposons Maj(B, E ) = Maj(d, E). Posons d‘ = d u {E} et 99 = (B , E ) . I1 existe donc d(99) = A(&‘) i n c h dans {B, E } , donc, - soit 4 est ( E } et d u { B } E , - soit A est B et donc .M &ant minimum B 5 d, - soit A est {B, E } donc A &ant minimum, B E entraine d 6 E. Finalement on a soit a? u B 5 E soit B 6 d, donc d est Bquisurdistribuable et !f3 complktement surdistributif.

1.31. Exemples . Donnons des exemples oh Min(A. E ) = Min(B, E ) sans que l’analogue de 1.25 soit vrai ; on remarquera cependant l’existence d’un ensemble &”(A, E) minimum pour le plongement entre ensembles tel que Min(N) = Min(A, E ) , nous ignorons s’il s’agit 1& d’une rkgle g6nbrale:

compatible avec 1’6quimorphie.

d n d?

E ou B d, mais B

A = W:O, B = O W : , E = W: + w ~ , -Y = {w: + G O } ;

A = e + cc)*, B = + 1 + E = w l , N = {20) ,0 + Q*).

1.32. Soit d un ensemble d’objets posons Maj*(d) = U Majs(A). On pourra noter

par exemple Maj*(d, 37, C, D, . . .) au lieu de Maj*(d v 99 w { C } v {D) u . . .). Ainsi Maj*(A, B, C, . . .) = MajsAu MajsB u MajSC u . . . Notons que si A est un objet Maj,(A) = Majs(A).

1.33. Appelons extension doublement co-respectueuse la propribtb suivante : Si soit A soit B se plonge strictement dans toute extension stricte de E, alors soit A soit B se plonge dans E , c’est-&-dire

A € &

(Maj,(E) 5 Maj,(A, B ) => (A 6 E ou B 5 E ) ) .

EXTENSIONS RESPBCTGEUSES DE CHA~NES 433

Cette propriktk est fausse dans la classe des chaines comme on le sait. Donnons l’exemple suivant (FRAISS~): bien que soit to + 1 soit 1 + o* se plonge strictement dans chaque extension stricte de 8, ni l’un ni I’autre ne se plonge dans 8. Autre exemple: (11 + 1 et 02* ne se plongent pas dans (ow* mais toutes les extensions de (,)to* abritent OJ + 1 ou oP*. On peut aussi se demander si L41, A , &ant des chaines quelconques, il peut exister plus d’une chaine E n’abritant aucune A, et dont chaque extension stricte en abrite une.

1.31. Exemples . Posons A = omU2* + 1, E‘ = 1 + (us*, E = o + 2, B = 6t02*. On a alors Maj,(A, E‘, E ) = Maj,(B, E’, E ) mais ( A , E’. E } et (B, E‘, E } sont minimaux pour cette propriktk et incomparables, il n’y a donc pas d’ensemble analogue 8. JH. On remarquera que toutes les extensions strictes de B‘ = co3* + om* + l comme celles de B abritent A , E ou E‘.

De m6me en posant Min,(A, B, C) = MinS(A) u Min’(B) u Min’(C) w . . . on a : Rlin,(B,ro + 1) = Min,(l + o * , w + 1) = Min,(8, 1 + to*) 5 ( U , O J * > .

1.35. SymBtrisat ion. L’opBration qui fait passer de I’extension finiment respectueuse 8. la surdistributivite est en quelque sorte une operation de symktriqation pu1- qu’on renforce l’hypothhe par une affirmation qui est 8. peu de choses pr&s sa spmetri- que :

Extelzsion finiment respectueuse : la condition ctL4 s Min Maj(B,C))) n’est realisable que dans un cas trivial.

Surdistrihutivite‘: la condition ttA 5 Min Maj(B, C) et C Min Maj(B, . 4 ) ~ n’est I@alisable dans un cas trivial.

De mihe , nous allons symktriser la proprikte d’extension doublement co-respectueuse pour obtenir la sous-distributivit6.

Extension doublenzent co-respectueuse : la condition cctoute extension stricte de A abrite strictement B ou CB n’est rblisable que dans un cas trivial.

Sous-distributivitt! : la condition atoute extension stricte de A abrite strictement B ou C rt toute extension stricte de C abrite strictement A ou BN n’est rkalisable que dans un cas trivial.

1%. Defini t ion. Disons qu’un ensemble d d’objets est sous-distribuable si pour tout E et B, Maj*(d, E ) = Maj,(B, E ) entraine que soit un dement de d est 6qui- niorphe h B, soit E B et E 5 Min(d). Si tout objet (resp. tout ensemble d’objets) est sous-distribuable, on dira que la classe ’!$? est sozrs-distributive (resp. completenzent SOU+

distributive). On conjecture que la classe des chaines est completement sous-distributice. 1.37. Remarque . Si vkrifie l’extension respectueuse il y a 6quivalQtzce entre les

cleux conditions E 5 B et E 5 Min(d) ci-dessus. dbs que Maj*(d, E ) = Maj,(B, E) . Preuve. Supposons E 5 B, soit A‘ un majorant strict d’un A de d. A’ est dans

M.zj,(&’, E ) = Maj,(B, E ) . A’ majore strictement B ou E , donc E. Cela est vrai pour tout A‘, on en tire par extension respectueuse E 6 A .

Supposons E 5 Min(d). Soit B’ une extension stricte de B, alors B’ E Maj,(B. E ) = = Maj*(d, E ) . Donc E < B’ et par extension respectueuse E 5 B.

Remarquons que ( E 2 B E 5 Min(d)) a lieu d8s que MinS(Maj,(d)) 5 Min(d) quand Naj,(d, E ) = Maj,(B, E) . 28 Ztschr. f. math. Logik

434 JEAN QUILLAUYE HAQENDORF

1.38. Disons que d est anti-~qui-sous-distrib~le si pour tous B et E on a cMaj,(d, E) = Maj,(B, E ) implique que soit un BlBment de d se plonge dam B soit E 5 B et E i Min(d))). I1 eat clair que d est sous-distribuable si et seulement si [d, +[@ est anti-Bqui-sous-distribuable, c’est A dire si et seulement si d est anti- Bquimorphe B un ensemble 9? qui est Bqui-sous-distribuable (anti-6quimorphe veut dire que d* 5 37, donc que tout A de d abrite un B de 2+Y et rBciproquement).

1.39. On dira que $ est sous-modulaire si la condition de sous-distributivit6 pour 8 est satisfaite en imposant l’hypothhse supplementaire B 5 A .

Proposit ion. La sous-modularitk est kquivalent d l’extension respectueuse.

Preuve. Soit E r MinSMajS A; on a Maj,(A, E) = Maj,(E, E) d’oh E 6 A . RBciproquement si B < A E Maj,(B, E) = Maj,(A, E) alors A > E et d’aprhs 1.37 E 5 B.

Proposition. Soit Maj,(d, E ) = Maj,(B, E), si d a t anti-kqui-sow-distribuable d si B est sow-modulable alors soit B est dquimorph d un 6lCment de d, soit E 5 B et E 5 Min* Maj(d).

B. Soit A‘ un majorant strict d’un A de d, on a A’ E Maj,(d, E) = Maj,(B, E ) , A’ abrite strictement E ou B donc E.

Cet Bnonce est I’analogue de 1.14, il dit que modulo l’entension respectueuse, sous-

1.40. Disons que 9 est artinien si toute suite dCcroissant de 9 est stationnaire.

Proposition. Si d est sous-distribuable alors d v6rifie la condition suivan,te:

Preuve. Si B abrite strictement un objet de d, B &ant sous-modulable on a E

distribuabilite et anti-Bqui-sous-distribuabitb sont Bquivalentes.

(VB, E) (Maj,(d, E) = Maj,(B, E) => (B 5 A ou (E 6 B et E 5 Mind)))) .

Rkiproquement: si 9 est artinien et si toutes ses parties d vkrifient la condition pr6ckdente dors 9 est sous-distribuable. Cette rdciproque s’applique en particulier aux singletons { 0).

Preuve de la rhciproque. Supposons que Maj,(9, E) = Maj,(B, E ) et que B n’est Bquimorphe & aucun objet de 9. Soit d = 9 - Maj(B) et soit B+ une extension minimale de B dans 9. B+ abrite soit E soit un BlBment de 9 qui est donc dans d ; on en tire que Maj,(d, E ) = Maj,(B, E). Comme d vBrifie la condition, on a soit B 6 .a? ce qui est absurde soit E 5 B et E

1.41. Remarque prbliminaire. Suppsons A, B, C sur- et sous-rnodulabbs et Majs(B, C) 5 Maj,A = Majs(A) E Maj,(B, C). Alors, soit A, B et C sont deux d deux inwmparables, soit B 6 A 5 C ou C 5 A 5 B, soit A 5 B ou A 5 C . Xi B 5 C o n a A 5 B 5 C .

Mind.

DBmonstration.

1) Supposons par exemple B C. Dans ce cas Majs(A) Maj,(B) donc A Btant sous-modulable, B 5 A. De plus Majs(C) 5 Maj,(A) d’oh, C &ant sous-modulable, A 5 C . Finalement B 5 A 5 C.

A . La condition MajS(B, C) E Maj,(A) entraine, B Btant surmodulable, que A 5 B ou A 6 C.

Maj,(B, G ) donc B > C. Alors Maj,(C) = = Maj,(B, C ) 2 Majs(A) d’oh, A &ant sous-modulable, C 5 A.

2) Supposons B

3) Supposons A < B. B E MajSfA)


1.42. Ult rad is t r ibu t iv i tB. Pour Btablir un lien entre surdistributivite et sous- distributivitB nous introduisons la notion suivante: Un ensemble a? d’objets de 8 est dit ultradistribuable si B la fois : d est surdistribuable, a? est sous-distribuable, pour tous objets B et C, on ne peut avoir simultanBment Majs(d) E Maj,(B, C) et Majs(B, C) 5 Maj*(d) que dans les cas triviaux Majs(d) E Maj,(B) ou Majs(B) E

Maj*(d) ou de meme en remplaqant B par C. (Cette propriBtB traduit la non- interaction entre sur- et sous-distributivith).

I1 est clair que cette definition est Bquivalente b celle qu’on obtiendrait en y remplaqant B et C par des ensembles 93 et V . Si p vBrifie l’extension respectueuse et si d = (A), la derniere condition signifie qu’on ne peut avoir Majs(A) Maj*(B, C) et Maj6(B, C)

est ultradistributif (resp. complBtement ultradistributif) si tout objet (resp. tout ensemble d‘objets) est ultradistribuable.

MajJA) que si A est comparable b B ou C (voir 1.41).

On dira que

On conjecture que la c h s e des chatnes est (compEdtement) ultradistributive.

1.43. Propos i t ion . Soit A , B, C trois objets ultradistribuables. Parmi les 6 knoncds d’extensions respectueuses suivants :

(i) il existe une extension stricte de A n’abritant strictement ni B ni C, (ii) il existe une extension stricte de B n’abritant strictement ni C ni A , (iii) i1 existe une extension stricte de C n’abritant strictement ni A ni B,

(iv) il existe une extension de C et B n’abritant pas A,

(v) il existe une extension de A et C n’abritant pas B, (vi) il existe une extension de B et A n’abritant pas C, un au plus est faux duns le cas 0% A, B et C sont tow incomparables, seuls sont faux ceux qui sont trivialement faux duns le cas contraire.

DBmonstrat ion. Supposons A, B, C incomparables. Si A 5 Min Maj(B, C) et si on avait par exemple Maj,(B) E Maj,(A, C), tout majorant strict de B abritant C abriterait, donc aussi A , on aurait alors Maj,(B) Maj*(A), d’oh B Btant sous-modulable, A 6 B. Comme B est surdistribuable on ne peut avoir non plus B 5 Min Maj(A, C), A Btant ultradistribuable on ne peut avoir Maj,(A) g Maj,(B, C). SFA, B et C ne sont pas incomparables on regarde cas b cas comme en 1.41.

Reciproque. Si pour tous objets A, B, C de p, l’dnoncd de la proposition prdcddente est satisfait, alors !@ est ultradistributif.

1.44. En conclusion on peut distinguer plusieurs series de propriBt6s qu’on conjecture pour la classe des chaines:

Extension respectueuse, Principe du minimum, UltradistributivitB complete, Extension totalement respectueuse.

Nous allons donner un debut de solutions b ces conjectures. Dans lc paragraphe 2 nous montrons la premiere conjecture pour, les chaines, le principe fini du minimum pour les chaines finiment incassables, la sous-distributivit6 complete pour les chaines 28*

436 JEAN OUILLAUNE HAQENUORF

dknombrablement dispersees et l’ultradistributivit6 pour les chaines finiment ins& cables.

2. Application a la elasse des chaines

2.1. Nota t ions . La base d’une chaine A est not6e IAl ou seulement A . Les chaines et leurs bases sont en general designees par des majuscules latines ( A , B, R, . . .), les Bkmeiits des bases des chaines par des minuscules latines (a, 6 , c, . . .), les ensembles de chaines par des majuscules rondes (d, 9, g, . . .), les classes de chaines par des lettres gothiques (YX, p, . . .). Si R E S on dit que R est une restriction de S ou que X est une extension de R . Si en plus R < S (resp. IRI += 15’1) on parlera d’extension ou de restriction slricte (reJp. propre). Un intervalle I d’une chaine E est par d6finition une partie stable pour la relation aentre)), c’est-&-dire qui contenant, x et z/ contient tout z entre x et y. Si A est une partie non vide de E , notons:

[ A , + [ k = {Z E E I (3a E A ) (a 5 x)> = U [a, - [ E : “ € A

] A , + = { X E E I (VU E A ) (a < x)> = n la, -+; aEA

on definit de mame [ A , B[e, [ A , B] , , etc. Notons plus simplement [AIE l’intervalle [ A , A ] , engendre par A . Ces definitions peuvent s’6tendre & tout ensemble prkordonn6.

2.2. Une coupure a d’une chaine E est un couple ( A , B ) form6 d’un intervalle initial A de E et de l’intervalle final complkmentaire B. On note C(E) l’ensemble de ces coupures. Les coupures seront en general notkes par des minuscules grecques (a, p , . . .). Les coupures (0, E ) et (E, 0 ) sont dites edrgrnes. (0. E ) est dite initiak. ( E , 0 ) est dite finale; les autres sout dites moyennes.

On dBfinit de rnanikre Bvidente un ordre sur C(E) . Si a E E et a E C(E) le sens de (*: < a ou a < a est clair. Si A est une partie non vide d’une chaine E on note la coupure ([c, A [ , , [ A , + [ E ) appelee Zirnite infkrieure de A . On definit de m6me ]AJcce,. On note ]a] pour]{a}], de m6me pour [a[. Soit a et p deux coupures d’une chaine E tefles que a < p, notons ]a, p[[; I’ensemble des 618rnents de E situes entre les coupures a et ,!?, c’est-bdire {u E E I a < a < p} . On definit de mdme ]a, + [ E ,

I+-, / ? [ E et de manibre Bvidente ] A , j3[E, [a, p [ E etc. Nous conviendrons que 3.. B[ sans indice, designera l’intervalle ]a, p [ E de E et non l’intervalle ]a, /?[C(E) des coupures de C(E) situees entre a et /?.

2.3. Une coupure a est dite fixe a gauche si aucun plongement de E dans E n’e.nvoie 14-, O I [ ~ dans un de ses intervalles initiaux propres, c’est-&-dire si I t , a[E + 1 > > ] c, a[ B . De m6me pour une coupure fixe ri droite. Un point a est fixe ri gauche si la. coupure ( I t , a[, [a, +[) est fixe B gauche. Un point ou une coupure sont dits fixes s’ils sont fixes st gauche et h droite. Un point a est donc fixe si pour tout plongement f de E dans E on a /(a) = a.

2.4. Une chaine est dite dispersde si la chaine Q des rationnels ne s’y plonge pas (c’est-&-dire si elle n’a aucune restriction dense). Une chaine est dite dknornbmblemeiit disperske si elle est reunion d6nombrable de chaines dispers6es.

2.5. On dira qu’une chaine C est insecable si pour toute coupure a de C, C se plonge dans la, +[(; ou dans I t , a[(;. On dira que C est insdca.ble ri droite (resp. d gauche) si

EXTENSIOSS RESPECTUEUSES DE CHA~NES 437

pour t,oute coupure a non extr6me de C, C se plonge dans ] lx , -+[(. (resp. I + , a[(.). Une cliaine est dite finim,ent insicable si elle est somme d’un nombre fini de chaines inskcables. Une chaine A est, dite incassable (resp. incassable d droite; resp. d gauche) si ses intervdles propres suffisamment grands sont insbcables, plus prBcisBment s’il existe un intervalle propre C i n c h dam A tel que tout intervalle propre incluaiit C soit inskcable (resp. insecable B droite; resp. inskcable B gauche). On montre qu’une chaine inskcable (resp. incassable) est Bquimorphe B une chaine inskcable (resp. incassable) 8 gauche 011 b droite. Une chaine est dite fininaent incassable si elle est somme d’un nombre fini d’incassables. Toutes les chaines qu’on peut construire uexplicitement D s’avbrent finiment insbcables.

2.6. Extens ion respectueuse.

Lemme d’extens ion respectueuse. Si deux ch,alnes A et C sont incomparables

DBmonstrat ion. Raisonnons par I’absurde en supposant que A se plonge dans

DBcomposons la chaine C en C, + C, et notons U un bon ordre minimal vBrifiant C, + U + C, > C . A se plonge dans C, + U + C,, par un plongement f et l’irnage de A par ce plongement est B, + V + D, avec D, s C,, V g U et D, C,. Si V < U on a A 6 D, + V + D, s C, + V + C, s C ce qui est absurde. V est donc isomorphe 8 U et A s’6crit A , + IJ, + -4, avec U , g U , / ( A , ) C , et / ( A 2 ) & C,.

Ofirons de mitme avec un anti-bon ordre U’ qui donne .a;, A;, U ; et f ’ . Envisageons toutes les positions relatives de U et U‘.

Si .1; w A, Btait Bgal 8 A , en dBfinissa.nt h par h I A , = f 19, et h I ( A ; - A , ) = = f’ I (A; - ‘4,), h sera,it un plongement de A daiis C . De meme si A , w A ; = A. U , n U ; devant &re fini puisque bien ordonne et antibienordond, les cas U ; U , ou U , U ; donneiit U , ou U; fini donc Bgaux et rBduits L un seul BIBment. I1 en va encore de meme si un intervalle final de U , est intervalle initial de U ; . Reste le cas 06 un intervalle final de U ; est intervalle inihial de U , . Alors U ; s’Bcrit (U; - U,) + I , I Btaiit cet intervalle commun fini. Si U ; est infini, ( U ; - U,) + I se plonge dans ( U i - U J , donc A; + U ; se plonge dans A, et A; + U ; + A; se plonge dans A , + A ; qui se plonge dans C.

Reste donc le seul cas oii U , et U; sont Bgaux et rBduits B un seul BlBment. Soit rz: E c, Bcrivons C = I t , x] + ]x -+[. Le o’, correspondant B la coupure 1x1 s’6crit { ~ ( r z : ) } . Montrons que u cst strictement croissante. A s’kcrit A, (x ) + { ~ ( x ) } + A2(z) avec {a(.)} + A,(%) 5 [x, +[. Soit y E C si u(y ) 5 u(z) (mod A ) on a {U(Z)> + A,(z) 6 S ( f~(y)} + A&) 5 [y, +[. Or A,(%) s I t , z[ et,, si on suppose z < y (mod C), ]+, 51 est strictement antBrieur B [y, +[ d’oh

il existe une extension stricte de C dans laquelle A n e se plonge p a .

toute extension stricte de C.

a4 = ,4,(.c) + u(x) + A2(Z) 5 ]+,.I + [y, -[ s c ce qui est absurde. On tire que u est strictement croissante et donc est un plongement de C dans A . Cela donne une contradiction.

Remarque . On remarquera que la preuve de aC s A D ne peut pas s’6tendre B priori 8, par exemple, la relation S 5‘ Y dBfinie par eX est isomorphe B une somme finie d’iiitervalles de Y D. Si on veut obtenir ce resultat on modifie la dkmonstration

438 JEAN QUILLAUME HAGENDORF

ainsi, une fois acquis que U , z 1. Soit f3; le plongement’ de A dans I t , $3 + 1 + Is, +[. I1 est clair que fZ 1 ]u(x), -[ se recolle avec f?, I +, u(x)] pour dormer un plongement’ de A dans C , sauf dans le Gas oh fy(u(x)) > x. Dans ce cas, f,([u(z), y[c 5 ]u(z), ylc ce qui n’est possible que si [u(x), y] est fini.

Thkorkme d e l ’extension respectueuse. Si A est une chatne qui ne se phnge pus dans une chutne C , il existe une extension stricte de G qui n’abrite pus strictemnt A.

Dans un prochain article on montrera que si A est infinie on peut trouver une telle

2.7. Surmodular i tb .

Lemme. Soit A une chaine qui ne se plonge pus dam une chatne B, pour tout a E A , il existe une coupure /? de B telle que [ A , a] g [B, b[ et [a, A ] g I /? , BJ.

DBmonstration. Soit y la borne infhrieure des coupures a de B telles que [A,al 5 [ B , d .

[B, y [ . Soit f un plongement de [ A , a] dans [B, y [ . On prend B immhdiatement antbrieur iL y c’est-&dire /? = [/ (a)[ . S’il existait un plongement g de [a, A ] dans I /? , B ] le recollement (f I [ A , a]) u ( g I ]a, A ] ) serait un plongement de A dans B.

extension n’abritant pas A (msme largement).

l e r cas: [A, a]

2e cas: [A, a] 9: [B, y[ . Supposons qu’il existe un plongement g de [a, A ] dans ] y , B], il en existe un f de [A, a] dans [B, g(a ) ] puisque g(a) > y. Alors (f I [A, a[) v u ( g 1 [a, A ] ) est un plongement de A dans B. On prend donc /? = y.

Remarque. Dans 1’6nonc6 on ne peut pas remplacer a par une coupure &: par exemple si A = w + 1 + w*, B = (0 + w* et si on prend pour a la coupure (w + 1, w*) on ne peut trouver de p.

2.8. Lemme. Soit A’ + A + A” une chatne ne se plongeant pas dans une chudne B. Supposons A incassable d droite s’dcrivant A, + A , , il existe urn eoupure y de B telle que I t , A,] $ I t , y [ et [A,, +[ $ ] y , -[. De m6me pour A,.

Demonst ra t ion .

1) Pour A , : Soit a E A , d’aprhs le Iemme precedent il existe y telle que I t , a] g J y , -[) d’oG A &ant incassable B g ] t , y [ (donc I t , A,] F ] + , y [ ) et [a, -[

droite, [A,, -t[ S Iy, -[.

coupures /? de B telles que [A, +[ 5 ]p , +[. 2) Pour A,: Supposons A non insecable B droite. Soit y la limite supkrieure des

[y , -+[. Soit f un plongement de [A, +[ dam ] y , -[. Soit 6 une coupure strictement posterieure B y et interieure B [f (A)] . [Al, -[ ne se plonge pas dans 18, +[; si It, A,] se plongeait dans I t , 6[ par g , en recollant g 1 I t , A,], un plongement de A , dans 18, f(A,)], et f I ] A , -[ obtiendrait un plongement de A‘ + A + A” dans B.

/?) Si [A, -[ g ] y , -[. Si [+, A,] se plonge dans I t , y [ par un plongement h, soit 6 une coupure strictement anterieure B y et interieure B [h(A)]. En recollant h I h - l l t , 6[ et un plongement de ](h-l]+-, a[), - [dans 16, +[ on obtiendrait un plongement de A’ + A + A“ dans B.

a ) Si [A , -[


2.9. Proposi t ion. Toute chazne finiment incassable est surmodulable.

DBm on s t r a t ion.

1) Raisonnons par l’absurde en supposant qu’une chaine A finiment incassable est incomparable 21 une chaine B et qu’une extension stricte E de A se plonge dans toute extension F de A et B.

k

Soit (An)Osnsk une partition de A = C A, , les A , &ant incassables a gauche ou Zt

2) Soit f i une coupure de B. Supposons que [B,B[ abrite C A , + A;, avec qo

maximum et A;, intervalle initial strict de A,, et de m6me ]B, B] abrite A;: + C A ,

avec q1 minimum et A; intervalle final strict de Aql . La chaine [B, f i r +A;: + Aq,+l + + . . . + Aql-l + Ail + 18, B] est une extension commune A B et Zt A ; elle abrite donc E par f. Si A , n’est pas insecable B gauche, dans cet abritement [E, A;:] ne peut se plonger dans [B, @[ QU [A i l , E ] dans 18, B]. Supposons par exemple A , et Aql incassables b droite. On en conclut que pour un intervalle final Aye’ de Ail on a j([AYe’lE) 5 A;:. On en conclut 6galement (si Aql n’est pas insBcable Zt droite) que pour un intervalle initial A:, de All on a f[Ail] . g Ai l . On en tire que dans tous les cas pour q compris dans ]go, qJ on a [A,]. 5 A , ; on en tire aussi que [Ax]E est de la forme H + A;:, et enfin [A& + A;: 5 Ail + A;:.

3) Pour tout p on peut d’aprhs le lemme 2.7 precedent trouver une coupure f i telle que [ B , /3[ n’abrite pas [A , A’,’] et ]B, B] n’abrite pas [A‘,‘, A ] , de m6me pour A; . On en conclut que si A , est incassable B droite [ A p ] . = [A& + H , + A; avec [A;] . + A’,’ 5 A, .

4) E est donc obtenu en intercallant un nombre fini d’intervalles dans A . Donc l’adjonction d’un de ces intervalles donne une extension stricte. On se r amhe alors au cas oh E est de la forme E’ = A‘ + B“ + A2 oh Al + A2 = A avec B” 6 B. Comme Al + 1 + A2 g B, il existe une coupure B de B telle que Al + 1 [B, f l ] et 1 + A2 g 18, B]. Dbfinissons C A , + A:, comme plus haut ainsi que ATl + C A ,

associ6s Zt 8. On d6duit que B“ s [A;, + . . . + A,;]., S [Aio + . . . + On conclut que A 5 E’ 5 E.

Donnons un exemple oh cette extension de E ne peut 6tre obtenue comme une simple somme de A et B : prenons A = 2 0 , B = 8, E = 2w + 1 ; alors il faut prendre F = w + w* + w . Donnons un cas oh il faut ((ouvrir)) B : A = 201, B = q + ml + q , E = w1 + q + w l ; alors F = q + 2w1 + 7.

0 droite, avec A - A , < A .

4 < Po

4’41

4’41 I ’ I ’

, < P o

2.10. Surd i s t ri bu t iv i t 6 .

T h 6or &me. Les chaines finiment incassables sont surdistribuables.

D 6 m on s t r a t i o n. Donnons la preuve dans le cas des chaines finiment ins6cables. La d6monstration g6n6rale s’en d6duisant facilement comme en 2.9 grace au lemme 2.8.

Soit A , B, C trois chaines telles que { A , C} et {B, C} aient m6mes extensions, supposons que B est finiment insgcable et pour ne pas retomber dans le cas de la sur- modulabilit6 de B, que B ne se plonge pas dans A ni dans C .

440 JEAN GUILLAUME HAGEWDORF

h,

l l t re Btape. Soit B = C B,, avec B - B,, < B, les B,, &ant insecables & gauche

ou & droite. Ecrivons C = C, + C, et appelons f un plongement de B dans C, + A + C, . I1 s'en suit que f ( pour certains p et p'. Prenons le p maximum et le p'

minimum pour lesquels cette inclusion est v6rifi6e. C, + f ( C BJ + C, abrite

alors A par un plongement g. Posons A' = g-l( C Bn), C, + g(A') + C, abrite

n = O

C p ( l 1 S p z

pdncp'

p 5 I1 5 p' alors B par un plongement f " . On a donc I"( C BJ 5 A' ce qui prouve que

2e Btape. A B, correspond par le leinme 2.7 une coupure (C1,,, C'2,0) de C telle que pour un b, E B,, [B, b,] g Cl,o et [b,, B ] g C2,0. A cette coupure (C,,,, C2,,) correspond par la construction au-dessus des entiers pa et p ; . Posons BO = C B!,, Posons

Cy = Cl,o et Ci = C2,0. Parmi les intervalles C B,, correspondant aux diverses

coupures de C (avec p maximum et p' minimum), prenons en un not6 B1 en partie A droite de Bo (c'est-&-dire tel que lB1] > ]Bo], si possible contigu L Bo (c'est-L-dire tel que [B1[ = ]Bo]) sinon le chevauchant. A ce B1 correspond comme plus haut par le lemme 2.7 une coupure (C:, Ci) e t cette coupure un intervalle A1 comme dans la premibre Btape. On poursuit par r6currence.

p o s n S p , '

p( I1 s p '

I1 est clair que Cf+l abritant [Bq, Bq+l[ inclut proprement C!.

3e Btape. On se rambne au cas oh les extremit6s des A4 et Rrl ne sont jamais in- terieurs aux intervalles insecables de B et de A qu'on considkre. Soient A9 et Aq+1 se chevauchant en A, posons Aq = d q + d et A9+l = d + d9+l. Posons e = Cf+l n Cg. Alors il est clair que A9 est le plus grand intcrvalle initial form6 de morceaux ins6cables de A9 qui se plonge dans 6. De mdme pour dq+l. Supposons que Be et Bq+l se chevau- client en 8. On peut considerer que Bq est isomorphe 2~ A9 et donc se termine par isomorphe It A ; de meme B9+l commence par A'' isomorphe L d. Si A' est inclus dans 8 ou A^" inclus dans l? il existe un plongement de Bq u Bq+l dans Aq u Aq+l. Dans le cas contraire si 3 6tait i n c h dans A', dq ne serait plus le plus grand intervalle initial de A9 se plongeant dans & et form6 de morceaux ins6cables car [Bq, Bq+l[ se plongerait dans d.

Enfin il est clair que quand q varie les plongements que I'on vient de d6finir dc B9 w Bq+l dam A'/ u Aq+l se recollent en un plongement de B dans A .

Remarque . On peut d6duire des r6sultats prec6dents que la classe des chaines finiment insecables est surdistributive car les operations effectuCes dans les proposi- tions pr6cBdentes ne font pas sortir de cette classe.

En r6sum6 nous disposons du resultat suivant :

2.11. Th6orAme. Tout ensemble fini de chatnes f iniment incmsables est surdistribuable.

Pr inc ipe d u minimum. Si on veut englober dans un mdine Bnonc6 le principe du minimum avec l'extension respectueuse et le fait que les chaines finiment incassables sont surdistribuables, on Bnonce le resultat suivant conjectur6 pour tout ensembles 9' et .F de chaines.

EXTENSIONS RESPECTUPUSES DE CHA~NES 441

2.12. Thkorhme fondamenta l . Soient 9 et 9- deux ensembles finis de chaknrs fininLent incassables, et & line fand le contenant une chake infinie. Si toute chakne majorant strict commun c i toutes les chakibes de 9’ et de & abrite une chakne de r et de m&ne e n p e m u h n t 9’ et F, alors toutes les chaknes de Y et de 9- se plongent duns tout majorad corizmu)h d t“ et aux chaknrs dquinzorphes a la fois a une chakne de Y et d une cha5ne de .F.

On a aussi:

3.13. ThBorhme. Si d et W sont deux ensenables finis de genres finiment incassables, Majs(d) = Majb(28) et Maj(d) = Maj(9Y) sont Cquiualents et entraknent Maj5(d) = = Maj5(28) = MaP(dn9Y) et Maj(d) = Maj(9Y) = M a j ( d ~ 9 Y ) .

D’oa on obtient le r8sultat suivant conjecturd pour tout ensemble de chaines ya/ et Y (m8rne infinis).

3.14. Theorhme final. Si a?‘ ~ s t un ensemble fini de chaknes finiment ineassables, p r r n i Ees ensembles finis 9Y de chakn,es finiment incassables teb que Maj(Af) = Maj(d) (ou ce gui revient au m2me tels que Maj5(@) = Maj\(d)), il e n existe un minimum pour l’kgui-inclusion.

Le th6orhme 2.14 est cons6quence du th8orhme 2.12 dont on peut dbduire 1’6nonc6 d’extension respectueuse que 2.14 ne permet pas d’obtenir. N6anmoins la g8n6ralisa- tion de 2.14 b tout d et &? tie pourrait pas Qtre d6duite de la g6n8ralisation de 2.12 b tout Y’ et 5.

2.15. Exemple. Donnons un exeniple oh A 5 Min Maj(E, F , G) sans que -4 5 Min Maj(E, F ) ni A 5 Min Maj(E, G) ni A

A = loo* + W * ~ O + (ol + o$,

Min Maj(F, G):

F = W*OJW* + w,o:,

E = <MO*LI) + w1 + CO:OJ,, G = W*WW* + U$W 1

En effet, A ne se plonge pas dans E + F , extension de { E , F ) ni dans ~c)cc)*o + wl + C, extension de (E, G) ni dans F + m:o, , extension de { F , G ) . Ensuite considerom les extensions de E et F :

a) il y it celles dans lesquelles CO*OQ* et olw: de F sont skparb par un inskable

b) il y a celles oil F pr6chde entihrement E, mais A et G se plongent d8jb dans F + E .

c) il y a E + F. Une extension de E , F , G peut &re obtenue b partir d’elle en inter- calent cc)*coo)* de G avant un des trois inskcables de E (on enlhve alors le o * o o * de &’), soit en intercalant w:wl apres un des deux ins6cables de F on enlhve alors le &>, ou le (ul + w:cul de E suivant le cas. Dans chacun des 5 cas on vkrifie que A se plonge dam l’extension obtenue.

de E. A s’y plonge.

2.16. Sou s - dis t r i b u t i v i t 8.

T h kori?m e. Tout ensemble &e chaknes ~ ~ n o ~ a b r a b ~ e ? n e ~ ~ t dispersdes est s o u s - d i s ~ r ~ ~ ~ ~ b l e . Toute c h i n e finiment insdcabte est sous-distribziable. Toute chakne dont une coupure ex- t r h e est non fixe est sous-distribuable.

DBmonstration. Soit A, une famille de chahes finiment ins8cables. Supposons que C $ B, B 9 { A ! } . Supposons encore que Maj,((A,), C) = Maj,(B, C).

l e r cas. B + 1 5 B.

442 JEAN QUILLUTME EAQENDORF

Soit U un bon ordre minimal tel que B + U > B. I) l e r sous-cas. C = B + U donc C = C, + U , oh C, 5 B et U , x U . 2e sous-cas. Un A E {Ai} (incomparable h B et C ) se plonge dans B + U et s’bcrit

A, + U,. A , + U , + 1 ne peut abriter B car A, + U , ne l’abritant pas, B aurait un dernier Blbment fixe contrairement ti l’hypoth8se B + 1 5 B. A + 1 abrite donc C qui s’bcrit C, + U , + 1 oh C, =< A et U , x U .

Donc dans les deux sous-cas on a C = C, + U , + E oh C, 5 B, U , x U et E = 0 ou 1.

Soit U’ un anti-bon ordre minimal tel que B + U’ > B. 11) 1 er sous - cas. C se plonge dans B + U’ ce qui contredit I) qui dit que C se

termine par un bon ordre infini.

2e sous-cas. Un A E {Ai} se plonge dans B + U‘, A s’bcrit donc A , + U; aFec U; x U‘. ConsidBrons A , + U; + w ; B ne s’y plonge pas car, ne se plongeant pas dans A , B se terminerait par un bon ordre K tel que B - K < B contrairement au fait que B + 1 5 B ; on en tire que C s A, + U; + o et C s’bcrit C, + Uk + o, avec C, 2 B, Ug x U . D’aprBs I) on en tire que U x o donc B se termine par un anti-bon ordre. Ecrivons B = B‘ + V’ oh V’ est le plus grand anti-bon ordre finissant B. Ecrivons de meme A = A‘ + W’. Supposons par exemple W’ 6 V’. Soit B’ + X ’ + v’ une extension stricte de B oh X’ est un anti-bon ordre. C ne peuts’y plonger car finissant par un bon ordre il se plongerait avant X ‘ et donc dans B. A s’y plonge donc et s’ecrit A; + Xi + V; oh A; B‘, X i 5 X ‘ et V; s V’, or X i + V i E - c W’ s V’ d’oh A s B‘ + V’ = B ce qui est absurde. (Ce raisonnement prouve en plus que si B + 1 >< B alors B est sous-distribuable.)

2e cas. B + 1 > B. I) l e r sous-cas. C se plonge dans B + 1 et s’bcrit C, + ( c } avec C , 5 B et c fixe. 2e sous-cas. Un A se plonge dans B + 1 et s’bcrit A , + {a} oh A , =< B et oh a

est fixe. Alors A + 1 > A . Si on avait B 5 A + 1 on aurait B 5 A + 1 5 B + 2, si on bcrit B = B, + n (n E N, n maximum) il est clair que cela entraine que, soit A + 1 5 B + 1 et donc A 5 B , soit une des deux inkgalit& est large donc respective- ment A 5 B ou B 5 A : si on avait C 5 A + 1 ( 5 B + 2), C s’bcrirait C, + { G } + E

avec C, 5 B et E = 0 ou 1. Si les A i sont dispersbes l’extension respectueuse implique que B l’est aussi car C ne

pouvant s’abriter dans toute extension stricte de chaque A , , B se plonge dans une extension stricte qui peut &re choisie dispersbe d’un tel A i .

11) B se termine par un incassable h droite maximum pour l’inclusion not6 B,; 6crivons B = B, + B,. Soit U‘ un anti-bon ordre minimum tel que B, + U‘ + B, > B.

l e r sous-cas. C 5 B, + U‘ + B,, C s’6crit alors C, + U ; + C, avec C, 5 B,, lJi x U’ et C, s B,. Or on sait que C, s’bcrit C; + {el} + e(c,} avec E = 0 ou 1 et el et c, fixes, C s’bcrit donc D + E oh D 5 B, et E 5 B, + 2. On a D C . Or C, se plonge dans B, donc E aussi et C = D + E 5 B, + B, = B : absurde.

2esous-cas.UnAc(Ai}seplongedansB1 + U ‘ + B , , A s’bcritalorsA, + U ; + A , avec A, 5 B , U ; x U’ , A , 5 B,.

a) Soit l’ordinal minimum V tel que A , + U; + V + A , > A, et supposons B 5 A , + U; + V + A, . I1 existe donc un intervalle B, image rbciproque de V de B

EXTENSIONS RESPECTUEUSES DE CHaiNES 443

qui est soit un intervalle final de B, soit B, tout entier; en effet si V , est un intervalle non final de B, , ] V,, B,] se plonge dans un intervalle initial propre de A , donc s’ab- sorbe dans B, contrairement B la definition de B, ; si V , Btait un intervalle initial propre de B,, B, &ant incassable b droite, B se plongerait dans A .

b) Soit W‘ l’anti-ordinal minimum tel que A , + U ; + W’ + A , > A, faisona la m6me hypothkse qu’en a) oh V , est un intervalle final de B,: alors si B 2 A, + U; + + W’ + A , on a d6jA B 5 A , U; et W’ &ant des anti-bon ordres. Si maintenant V , w B, et si B s A , + U ; + W’ + A , , comme B A il faut que B, 5 A, et que B, se termine par W ; x W‘, mais alors le fait que B = A, + U ; + V + A , entraine que B 5 A , + U ; + A , = A absurde.

On tire de a) et b) que B ne peut b la fois se plonger dans A , + Ui + V + A , et dans A , + U ; + W’ + A, , donc C se plonge dans l’un des deux et s’6crit C; + X + Ci avec C; 5 A , + U ; , Ci A, 5 B, et X isomorphe B V ou A W suivant le cas.

En comparant avec I) on a une contradiction.

2.17. U 1 t r a d i s t r i bu t i v i t 6.

Propos i t ion . Si A est finiment incassable et s i A , B et C sont trois c h i n e s kncom- parables, on ne peut avoir simuttaniment MajJA) 2 Majs(B, C ) et Maj”(A) E Maj,(B, C ) .

DBmonstrat ion par l’absurde. Soit U le plus petit ordinal tel que A + U > A, A + U abrite par exemple B qui s’6crit donc B, + Vl avec B, < B et V , w U . Re- gardons si A 5 Min Maj(B1, C). S’il n’en est pas ainsi soit D une extension de B, et C, alors D + V , abrite A qui s’6crit donc A , + U , avec U , 5 V , et A , < A . Dens ce cas on aurait U = 1. Voyons donc ce qui se passe alors: On a U = (u), V , = {vl), U , = (ul}. I1 est clair que B,, se plongeant dans A alors que B ne s’y plonge pas, se termine par un point fixe v, et s’6crit B, + {v2}. On en tire alors qae A, 5 Min Maj(B,, C ) sans quoi par le m&me raisonnement A , se termine par un point fixe et on poursuit par r6currence. Si A se termine isomorphiquement B o* alors U x 1 et on est ramen6 au debut de la preuve. Finalement on tire de cela que A , 5 Min Msj(B,+,, C ) pour un n E N or A,, 2 Blrtl. Puisque A,, est surdistribuable on aboutit h la conclusion A,, 5 B,,+l ou B,,+, 5 C, le premier cas entraine A s B et le second C s B.

On eonclut que les chatnes finiment inshables sont ultradistribuables. Elles vkrifient donc 1’6nonc6 1.40.

2.18. Donnons par contre un exemple o t ~ on a b la fois Maj5(d) E Maj,(B, C) et Majs(B, C ) g Maj*(,cP): B = run,* + w*w, C = o~o,d = ((0 + 02*, wI)w*w, u)*ww*) on reniarque que Majs(,cP) E Maj3(B). Rvec l’exemple suivant on a MajS(A) Maj*(iiY, C ) et Maj5(g’, C) Maj,(A) mais Maj7(A) Maj*(2?): A = 0 + a*, C = (ow*, = 2 = (ro*cl,, (o + 1 + w*, a + e, 1 + o + 11.

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(Eingegangen am 19. Dezember 1977)

Documents

Extensions Respectueuses de Chaines