Углублённая геометрия (стереометрия) 1.1. Многогранникиdeoma-cmd.ru/files/sets/Комплекты/Комплект «Углублённая... ·

1

Игорю Федоровичу Шарыгину,известному любителю геометрии

посвящаю

Углублённая геометрия (стереометрия)

1.1. Многогранники

Интерактивный тематический комплект создан для тех, кто заинтересовался чистой исветлой наукой геометрией, кому не хватает школьного материала, кто готовится колимпиадам и вступительным экзаменам в МГУ, МФТИ, СПбГУ или вузы близкого уровня.Учитель может использовать комплект на уроках в школе, в кабинете с интерактивной доскойлибо с мультимедиа проектором, в компьютерном классе. Ученик с его помощью можетсамостоятельно изучить тему, подготовиться к олимпиадам, экзаменам в Вуз.

В этом разделе рассмотрены многогранники и их свойства, а также конфигурации,содержащие плоскости, прямые, лучи и отрезки. В начале каждого раздела описаны бездоказательств многочисленные факты, часть из которых доказана в последующем материалеили в других книгах комплекта. Далее идут группы задач на доказательство, построение,вычисление.

Решения даны в текстовой форме и в виде интерактивных GInMA файлов с пошаговымрешением задачи, интерактивной трехмерной графикой. Особенность комплекта состоит втом, что щелкнув по рисунку из текста, Вы попадаете в живой чертеж. Изучайте геометриюнаглядно, образно, в движении, понимая суть происходящего, а не просто заучивая формулыи теоремы.

Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программуGInMA c сайта http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx

Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с возможностямипособия. Во всех файлах доступны первые шаги решений с условием и исходныминтерактивным чертежом, в отдельных файлах доступны все шаги решения вплоть до ответа.

Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплектаСмотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в G I nMA

Оглавление1. Правильные многогранники 22. Равногранный тетраэдр 213. Ортоцентрический тетраэдр 264. Пересечение многогранников 285. Литература 37

Решение сложных задач с тонкими моментами решения подробно записано в текстовомфайле и вкратце — в интерактивном. Решение простых задач приведено в интерактивномфайле, в тексте размещено только условие задачи и одна из картинок интерактивного файла.Если в задаче нет рисунка, предполагаем, что он настолько прост, что читатель его выполнитсам, пользуясь геометрическим конструктором GInMA.

© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/

http://www.deoma-cmd.ru/

http://www.youtube.com/watch?v=z9IDctiHR-M



https://www.youtube.com/user/vvsss51/videos

https://www.youtube.com/user/vvsss51/videos

http://www.youtube.com/watch?v=VrgWxzStUNE

http://www.deoma-cmd.ru/files/documents/GInMA/GInMA,%20%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B5%20%D1%80%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8F.pdf

http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx

2

Правильные многогранники



3

Равногранный тетраэдр



4

Ортоцентрический тетраэдра

Тела пересечения



5

1 Свойства правильных многогранников

1.1 Правильный многогранникМногогранник называют правильным, если все его грани – равные между собой

правильные многоугольники, из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер и вседвугранные углы равны.

Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани – равные междусобой правильные многоугольники, и из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер.

1.1.1 Поиск двугранного угла

Пусть некоторая фигура площади S расположена в плоскости П. Пусть известнаплощадь s проекции фигуры на плоскость π. Требуется найти угол ϕ между плоскостями. По

теореме о проекциях, находим: S

s=ϕcos .

1.1.2 Избыточность определения «правильный» многогранник

Многогранник называют правильным, если все его грани – равные между собойправильные многоугольники, из каждой вершины выходит одинаковое число рёбер и вседвугранные углы равны. Можно ли сократить данное определение, ограничившисьследующим:

1.1.2.a Попытка укоротить определение

Верно ли, что Многогранник называют правильным, если все его грани – равные междусобой правильные многоугольники.

Пусть все грани многогранника – единичные квадраты. Существует ли многогранник,объём которого больше, чем 3?

1.1.2.b Попытка укоротить определение [3, 6.5.6].

Верно ли, что многогранник называют правильным, если все его рёбра и всемногогранные углы равны между собой?



ginma:0;42,382

ginma:0;42,382

ginma:0;42,391

6

1.1.2.c Попытка укоротить определение [3, 6.5.6]

Верно ли, что многогранник называют правильным, если все его рёбра и вседвугранные углы равны между собой?

Решение. На рисунках показаны многогранники, существование которых доказываетнекорректность укороченных определений. Справа – одно из Архимедовых тел –кубооктаэдр.

Рис 1. Контрпримеры для укороченных определений понятия правильного многогранника

1.1.2.d Попытка укоротить определение [3, 6.5.6].

Верно ли, что многогранник называют правильным, если все его грани и всемногогранные углы равны между собой?

1.1.3 Тетраэдр, грани которого равные правильные треугольники

Докажите, что тетраэдр ABCD, все грани которого - равные правильные треугольники, ииз каждой вершины выходят три ребра, – это правильный тетраэдр.

Решение. Для того, чтобы соответствовать определению, необходимо доказать, что вседвугранные углы тетраэдра равны. Пусть точка E– проекция вершины D на плоскость АВС.Эта точка – центр правильного треугольника. Треугольник ACE– это проекция грани ACD на

АВС. Так как 3SAEC = SABC = SACD, то находим косинус угла между гранями 3

1cos ==

ACD

AEC

S

Sϕ .

Аналогично определяем любой другой угол. По определению, тетраэдр, все грани которого-правильные треугольники, и двугранные углы равны, – это правильный тетраэдр.

p

qπ

π

π

πϕ

sin

cos

3sin

3cos

3

1

2sin === , q – число рёбер, сходящихся в вершине, р – число сторон грани.



ginma:0;42,532

7

1.1.4 Сферы правильного тетраэдра

Задание. Центр сферы совпадает с центром правильного тетраэдра, радиус сферызадаёт точка G.

Исследуйте конфигурацию. Рассмотрите при разных значениях радиуса сферы. Чтонаблюдается, если сфера касается граней, рёбер или проходит через вершины?

Задание. Найдите радиус r вписанной сферы правильного тетраэдра с ребром а.Решение. Объём тетраэдра можно выразить через высоту и площадь основания и через

радиус вписанной сферы и полную площадь поверхности описанного тела. Для правильноготетраэдра полная площадь – это учетверённая площадь любой грани.

4;

3

4

3

hr

SrhSV =⋅== .

Основание высоты тетраэдра – это центр грани, расстояние от которого до любойвершины грани – это радиус описанной окружности грани

360sin232

360sin2

aaa =°

=

⋅°

=ξ,

3

222 aah =−= ξ 624

ahr ==

Задание. Найдите радиус R описанной сферы правильного тетраэдра с ребром а.Решение. Радиус описанной сферы – это расстояние от центра правильного тетраэдра

до вершины. 8

3

324

22222222 aaa

rAEOEOA =+=+=+= ξ , 4

6aR =

Задание. Найдите радиус ρ сферы, касающейся рёбер правильного тетраэдра с ребром а.Решение. Сфера касается рёбер в их середине, причём радиус в точке касания

перпендикулярен ребру.

ρ2 = OH2 = OA2 – AH2 = 848

3

2

22222 aaaa

R =−=

− ,

4

2a=ρ .

Рис. 2. Сферы правильного тетраэдра



ginma:0;42,279

8

1.1.5 Правильный ли октаэдр

Пусть вершины октаэдра ABCDEF расположены на осях декартовой системы координатс центром в точке О на равном расстоянии от О. Докажите, что это – правильный октаэдр.

Решение. Для того, чтобы соответствовать определению, необходимо доказать, что всетреугольники правильные и все двугранные углы октаэдра равны. Каждое ребро октаэдраравно 2AO . Значит, все стороны треугольников одинаковы и все треугольникиправильные. Найдём угол ϕ/2 между гранью АВС и плоскостью симметрии ВОС. Проекциявершины А на плоскость ВОС – это О – центр квадрата BCDE. Треугольник BOC – это

проекция грани ABC на ВOС. Так как SEOC = s = AO²/2. SABC = 2

3

4

3 22 AOAB = .

3

1

2cos ==

S

sϕ. Двугранный угол между ABC и FBC вдвое больше угла между ABC и OBC,

cosφ = 3

1− . Аналогично определяем любой другой угол. По определению, октаэдр, все

грани которого правильные треугольники, и двугранные углы равны, – это правильныйоктаэдр.

Рис. 3. Правильный октаэдр



ginma:0;42,385

9

1.1.6 Правильный гексаэдр (куб)

Докажите, что гексаэдр ABCDA'B'C'D', все грани которого равные квадраты, – это куб(правильный гексаэдр).

Решение. Для того, чтобы соответствовать определению, необходимо доказать, что вседвугранные углы куба равны. Поскольку все они прямые, все они равны. По определению,гексаэдр, все грани которого квадраты и двугранные углы равны – это куб (правильныйгексаэдр).

1.1.7 Двойственная пара куб – октаэдр [2, 7.3.5]

Исследуйте тело, вершины которого лежат в центрах граней куба. Исследуйте тело,вершины которого лежат в центрах граней правильного октаэдра.

Решение. Исследуем многогранник EFGHIJ, вершины которого лежат в центрах гранейкуба. Вершины тела находятся на равном расстоянии от точки О в направлениях,параллельных рёбрам куба, то есть о взаимно перпендикулярных направлениях. Значит,исследуемое тело – правильный октаэдр.

Исследуем многогранник KLMNK'L'M'N', вершины которого лежат в центрах гранейправильного октаэдра EFGHIJ. Пусть P – середина EF. Центры граней точки L и L' делятмедианы граней PG и PI в отношении 1:2 считая от середины оснований правильныхтреугольников точки P. Треугольники PLL' и PGI подобны, значит, LL'||GI, LL' = GI/3.Таким образом, все ребра многогранника KLMNK'L'M'N' одинаковы (равны трети равныхотрезков GI = EJ = FH). Они либо параллельны, либо взаимно перпендикулярны.Многогранник KLMNK'L'M'N' – это куб, сторона которого в 3 раза меньше стороны кубаABCDA'B'C'D'.

Рис.4. Двойственная пара куб – октаэдр



ginma:0;42,386

10

1.1.8 Объёмы тел в двойственной паре куб – октаэдр [2, 7.3.4].

Сравните объём куба и двойственного ему правильного октаэдра. Сравните объёмправильного октаэдра и двойственного ему куба.

Решение. Исследуем куб OESFGRA'Q – восьмую часть куба ABCDA'B'C'D'. Весь онвходит в куб, а его часть тетраэдр OFEG – это восьмая часть правильного октаэдра EFGHIJ.Площадь основания тетраэдра – это половина площади основания куба, высота совпадает сребром куба, поэтому объём части тетраэдра в 6 раз меньше объёма куба OESFGRA'Q. Вкаждом из семи остальных аналогичных кубиков октаэдр также занимает 1/6 часть объёма, иобъём октаэдра в 6 раз меньше объёма куба ABCDA'B'C'D'.

Чтобы сравнить объём правильного октаэдра EFGHIJ и двойственного ему кубаKLMNK'L'M'N', заметим, что сторона этого куба в три раза меньше АВ, его объём в 27 разменьше объёма куба ABCDA'B'C'D'. Поскольку объём октаэдра EFGHIJ в 6 раз меньшеобъёма куба, искомое отношение объёмов 27 : 6 = 9 : 2.

Рис. 5. Объёмы тел в двойственной паре куб – октаэдр



ginma:0;42,387

11

1.1.9 Сечение тел в двойственной паре куб – октаэдр

Найдите сечение куба и двойственного ему правильного октаэдра плоскостью,проходящей через центр куба перпендикулярно его диагонали. Найдите отношение сторонсечений.

Решение. Известно, что сечение куба плоскостью, проходящей через центр кубаперпендикулярно его диагонали – это правильный шестиугольник с вершинами на серединах

рёбер. Для куба ABCDA'B'C'D' его сторона равна половине диагонали грани, то есть 2

AB.

Отрезок, соединяющий центр O и любую вершину этого шестиугольника, делится ребромоктаэдра пополам. Например, в квадрате OЕРF отрезок, принадлежащий сечению, - этодиагональ OР, а ребро октаэдра – диагональ ЕF. Значит, сечение октаэдра - тоже правильныйшестиугольник K'L'M'N'P'Q' подобный KLMNPQ с коэффициентом 0,5.

Рис. 6. Сечение тел в двойственной паре куб – октаэдр



ginma:0;42,388

ginma:0;42,389

12

1.1.10 Многогранник с вершинами в центрах рёбер правильного тетраэдра

Найдите вид многогранника с вершинами в центрах рёбер правильного тетраэдра.

Решение. Кажется очевидным, что это правильный октаэдр. Чтобы доказать это,необходимо доказать, что все грани полученного многогранника - равные правильныетреугольники, и все его двугранные углы равны. Все ребра многогранника равны половинеребра правильного тетраэдра AВCD. Значит, все его грани – правильные треугольники. Вседвугранные углы многогранника дополняют до 180° углы правильного тетраэдра. Например,угол многогранника при ребре HJ дополняет до 180° двугранный угол тетраэдра DIJH приребре HJ. Значит, все его двугранные углы равны.

Рис. 7. Многогранник с вершинами в центрах рёбер правильного тетраэдра



ginma:0;42,390

13

1.1.11 Сумма углов правильных тетраэдра и октаэдра [3, 6.5.3].

Найдите сумму двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного углаправильного октаэдра.

Решение. Доказано, что многогранник с вершинами в центрах рёбер правильноготетраэдра - это правильный октаэдр. Все двугранные углы октаэдра дополняют до 180° углысоответствующих правильных тетраэдров. Например, угол многогранника при ребре HJдополняет до 180° двугранный угол тетраэдра DIJH при ребре HJ , так как грани (DJH иFHJ, например) лежат в одной плоскости.Задачу целесообразно дать через пару занятий после решения предыдущей.

Задание. Найдите сумму двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного углаправильного октаэдра методом комбинирования тел.

Решение. На первом шаге показана половина правильного тетраэдра ABCDE (все ребраравны, боковые грани правильные треугольники, в основании квадрат). На втором – дветаких половины ABCDE и A'B'C'DE, стоящие на одной плоскости. Поскольку AC = A'D, AC||A'D, ACDA' параллелограмм, следовательно, AA'=CD AC=A'D. Значит, AA'DE – правильныйтетраэдр. Сумма двух половин двугранных углов правильного октаэдра и угла правильноготетраэдра равна 180° – углу между гранями оснований.

Рис. 8. Сумма углов тетраэдра и октаэдра



ginma:0;42,393

ginma:0;42,392

14

1.1.12 Почти правильные части правильного тетраэдра [2, 7.3.7].

Четыре плоскости отсекают от данного правильного тетраэдра правильные тетраэдры.Все грани оставшегося многогранника являются правильными многоугольниками. Найдитеотношение объёмов исходного тетраэдра и полученного многогранника.

Исследование. Для исследования конфигурации предусмотрено три режима. На первомшаге отсечена только одна вершина, на втором – две. На третьем шаге отсечены все четыревершины.

Решение. Если все плоскости делят рёбра пополам, то возникает наиболее очевидное извозможных тел – правильный октаэдр. Отсеченные пирамиды имеют стороны вдвое меньше,чем исходная. Их объёмы меньше объёма исходного тетраэдра в 8 раз. Отсеченный объёмсоставляет половину исходного, значит, объём правильного октаэдра вдвое меньше объёмаисходного правильного тетраэдра. V/v = 2.

Если все плоскости отсекают треть рёбра, то отсеченные пирамиды имеют сторонывтрое меньше, чем исходная. Их объёмы меньше объёма исходного тетраэдра в 27 раз.Отсеченный объём составляет 4/27 исходного, значит, объём тела составляет 23/27 объёмаисходного правильного тетраэдра. Три грани тела – это правильные шестиугольники. Триостальных – правильные треугольники. V/v = 27/23.

Если плоскости пересекаются в центрах граней, то остаток – это правильный тетраэдр.Его рёбра равны АВ/3, V/v = 27.

Рис. 9. Почти правильные части правильного тетраэдра



ginma:0;42,394

15

1.1.13 Почти правильные части куба [2,7.3.8].

Восемь плоскостей отсекают от данного куба правильные треугольные пирамиды. Всеграни оставшегося многогранника являются правильными многоугольниками. Найдитеотношение объёмов полученного тела и исходного куба.

Исследование. Для исследования конфигурации предусмотрено два режима. На первомшаге отсечена только одна вершина, на втором – шесть.

Решение. Если плоскости делят рёбра на три равные части и не пересекаются внутрикуба, то возникает тело, у которого шесть граней – правильные восьмиугольники, и шесть –правильные треугольники. Отсеченные пирамиды имеют рёбра АЕ = АВ/3. Их объёмыменьше объёма исходного куба V в 6⋅33 = 162 раза. Суммарный объём восьми отсеченныхпирамид 4V/81. Объём оставшегося тела 77V/81. v/V = 77/81.

Если все плоскости делят рёбра пополам, возникает тело, грани которого шестьквадратов и шесть треугольников. Отсеченные пирамиды имеют рёбра, равные АВ/2. Ихобъёмы меньше объёма исходного куба в 6⋅23 = 48 раз. Суммарный объём отсеченныхпирамид V/6. Объём оставшегося тела 5V/6. v/V = 5/6.

Если АЕ = АВ, то оставшийся многогранник – это правильный октаэдр, v/V = 1/6.

Рис. 10. Почти правильные части куба

Если АЕ = 3АВ/4, то возникает тело, грани которого - это шесть квадратов и шестьправильных шестиугольников. Объём каждой из отсеченных пирамид 9V/128. Суммарныйобъём отсеченных пирамид 9V/16 объёма куба. При таком расчёте дважды учитывалисьтетраэдры, прилежащие к серединам рёбер. Таких тетраэдров 12 штук. Длина их ребра,

совпадающего с ребром куба, равна АВ/2, ребра, перпендикулярного последнему, 4

2AB ,

расстояние между этими рёбрами 8

2AB . Их объёмы

16128

2

4

2

26

1

⋅= VABABAB .

Суммарный объём 12 тетраэдров 16

V. Объём тела составляет

21616

9 VVVV =+− . v/V = 1/2.



ginma:0;42,397

16

1.1.14 Площадь поверхности сферического четырёхугольника [1, 349]

Шар радиуса R касается рёбер четырехгранного угла, все плоские углы которого равны60°. Найдите площадь четырёхугольников B'C'D'E'.

Исследование. Рассмотрите конфигурацию. Можно ли её рассматривать, какпересечение известных тел?

Решение. Конфигурация – это часть пересечения правильного октаэдра с ребрами 2R и

сферы в его центре. Каждый из восьми сегментов имеет высоту

−=

3

21Rh . Их

суммарная площадь

−=⋅=

3

211628 2

0 RRhS ππ . Каждый из шести равных сферических

четырёхугольников имеет ту же площадь, что меньший из B'C'D'E':

222 29

68

3

21164

6

1RRRs πππ

−=

−−=

Больший из четырёхугольников B'C'D'E' занимает всю сферу, кроме четырёх сегментов

и одного четырёхугольника, меньшего из B'C'D'E', то есть 229

616RS π

−= .

Рис. 12. Площадь поверхности сферического четырёхугольника



ginma:0;42,521

17

1.1.15 Додекаэдр и вписанный куб

Исследуйте додекаэдр – правильный многогранник, все грани которого – правильныепятиугольники.

Исследование. Все 12 граней додекаэдра – правильные пятиугольники. Додекаэдрсодержит 30 рёбер и 20 вершин. В додекаэдр можно вписать куб. Его ребра – диагоналиграней.

Рис. 13. Додекаэдр и вписанный куб

1.1.15.a Сечения додекаэдра [2, 7.6.10]

Найдите сечение додекаэдра плоскостью, проходящей параллельно двумпротивоположным граням и равноудалённой от них.

Исследование. Исследуйте сечения додекаэдра плоскостью KLM. Искомое сечение -это правильный десятиугольник. Все его вершины лежат на серединах рёбер. Плоскостьпроходит через центр симметрии додекаэдра.

Рис. 14. Сечения додекаэдра



ginma:0;42,398

ginma:0;42,275

18

1.1.15.b Соединённые правильные пятиугольники [1, 390],[2, 7.6.11]

В пространстве расположены три правильных пятиугольника ABCDE, AEFGH,ABLKH. Докажите, что прямые AС, AG и AK взаимно перпендикулярны.

Решение. Пусть центры пятиугольников точки O, O' и O''. Рассмотрим сферу,описанную вокруг тетраэдра ABEH, центр которой обозначим Q. Заметим, что точки,равноудалённые от A, B, E, удалены на то же расстояние от C и D. Сфера, описанная вокругтетраэдра ABEH, содержит остальные вершины пятиугольников. Построим точки C' и D',симметричные точкам C и D относительно плоскости QO'O''. Эта плоскость содержит точкиF и L. Поскольку AF||GH||D'K, то четырёхвершинник AFD'K - это параллелограмм. Так какAF = AK, это ромб, а поскольку он вписан в сечение сферы, проходящей через вершиныпятиугольников, это квадрат. Значит, AF⊥AK. Анализируя конфигурацию, можно сделатьвывод о свойствах правильного додекаэдра. В додекаэдр можно вписать куб, ребра которого –это диагонали граней додекаэдра, параллельные соответствующим рёбрам додекаэдра.

Рис. 15. Соединённые правильные пятиугольники



ginma:0;42,31

19

1.1.16 Двугранный угол додекаэдра [2, 7.6.9]

Найдите двугранный угол додекаэдра.

Решение. Известно, что в додекаэдр можно вписать куб (ребра – диагонали граней). Вобозначениях рисунка, AC⊥CJ, CJ||Bg, значит, AC⊥Bg. Рассмотрим ∆АВС, пользуясь видомвдоль Bg. Пусть а – ребро додекаэдра. На этом виде искомый двугранный угол φ:

φ = ∠АВС, АС = 2а⋅cos36°, AB = BC = a⋅cos 18.

°−°−=−=

°−°=

°°=

18cos

218cos89

2sin21cos;

18cos

118cos2

18cos

36cos

2sin

222 ϕϕϕ

.

Известно, что 53

2

8

5318cos2

−=+=° . Значит, 2,2,

5

1cos arctgtg −=−=−= πϕϕϕ

Рис. 16. Двугранный угол додекаэдра



ginma:0;42,403

20

1.1.17 Сферы додекаэдра [2, 7.6.8]

Найдите радиусы сфер додекаэдра.

Исследование. Центр сферы совпадает с центром додекаэдра, радиус сферы задаётточка Р. Исследуйте конфигурацию. Постройте изображения для радиуса, равного радиусувписанной сферы r, описанной R, полувписанной сферы, касающейся всех рёбер додекаэдра.

Решение. Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра додекаэдра до вершиныА суть половина диагонали вписанного куба, ребро которого d = 2а сos36°.

4

153

2

36cos32

2

3 +=°=== aad

OAR . R ≈ 1,401a.

Решение. Полувписанная сфера касается рёбер в их середине, радиус в точке касания

перпендикулярен ребру. Получаем: 22

2

2R

a =

+ρ откуда aa 309,1

4

53 ≈+=ρ .

Решение. Вписанная сфера касается поверхности додекаэдра в центре грани.

Обозначим радиус описанной вокруг грани окружности °

=36sin2

aξ . r2 + ξ2 = R2 .

Вычисляем: 4

54,410

36sin8

53

36sin4

136cos3

22 +

=°

+=°

−°=a

r . r ≈ 1,1135a.

Задание. Найдите тангенс угла, под которым виден радиус вписанной в граньдодекаэдра окружности из центра додекаэдра.

Решение. a = 2r1tg36°, °=−=+

°⋅°

== 18sin22

15

53

36sin8

362

11

tgr

rtgϕ .

Задание. Найдите двугранный угол правильного додекаэдра.

Решение. Пусть a – ребро, actg

h2

18°= – высота грани, 2α– двугранный угол.

Рассмотрим четверть сечения, содержащего два противоположных рёбра и четыре высоты грани, образующие два линейных угла, равных двугранным.

ρρραρα

21

5,0,sin

aactg

h−=−== ⇒ °=⋅=−=− 18

2sin)1(cossin tg

h

actg

ρρ

αααα

.5

2arcsin2;

5

21812sin;182sin1 22 −==°−=°=− πααα tgtg

Рис. 17. Радиусы сфер додекаэдра



ginma:0;42,404

21

1.1.18 Исследование икосаэдра

Исследование. Изучите правильный икосаэдр. Все 20 граней икосаэдра – правильныетреугольники. Икосаэдр содержит 30 рёбер и 12 вершин.

Сечения икосаэдра

Задание [2, 7.6.4]. Найдите сечение плоскостью, проходящей через серединудиагонали, соединяющей противоположные вершины, и перпендикулярной этой диагонали.

Исследование. Исследуйте сечения икосаэдра плоскостью KLM. Рассмотрите искомоесечение. Это правильный десятиугольник. Все его вершины на серединах рёбер. Плоскостьпроходит через центр икосаэдра.

1.1.18.a Сферы икосаэдра

Задание [2, 7.6.2]. Для икосаэдра с ребром а найдите радиусы полувписанной,описанной и вписанной сфер и двугранный угол.

Исследование. Центр сферы совпадает с центром икосаэдра, радиус сферы задаёт точкаН. Исследуйте конфигурацию. Постройте изображения для радиуса, равного радиусувписанной сферы r, описанной R и полувписанной сферы, касающейся всех рёбер икосаэдра.

Решение: Пусть a – ребро, ah2

3= – высота грани, ρ – радиус сферы, касающейся

рёбер в середине, 2α– двугранный угол. Рассмотрим четверть сечения, содержащего двапротивоположных рёбра и четыре высоты грани, образующие два линейных угла, равныхдвугранным.

ρρραρα

21

5,0,sin

aactg

h−=−== ⇒

3

1

2sin)1(cossin =⋅=−=−

h

actg

ρρ

αααα

.3

2arcsin2;

3

22sin;

3

12sin1 −===− πααα Значит, 809,0

4

15,15 ≈+=−=

a

a ρρ

Радиус описанной сферы 8

55

4

12

2

2

2 +=+=aa

R ρ,

22

55 +=R , R ≈ 0,951a.

Радиус вписанной сферы 8

5

3

1

12

12

2

2

2

+=−=aa

r ρ,

12

1533 +=r , r ≈ 0,756a.

Рис. 19. Сферы икосаэдра



ginma:0;42,277

ginma:0;42,402

22

2 Особые многогранники

2.1 Тетраэдр называют равногранным, если все его грани – равныетреугольники.

2.1.1 Построение равногранного тетраэдра [1,325]

Постройте равногранный тетраэдр АВСD, если задана грань АВС.

Решение: Развертка A'B'C' равногранного тетраэдра АВСD содержит четыре равныхтреугольника. Значит, АВ, ВС и АС – это средние линии A'B'C'. Известно, что в этом случаеортоцентр Н треугольника A'B'C' окажется основанием высоты тетраэдра (по теореме о трёхперпендикулярах). Вершина D удалена от А на расстояние ВС, что позволяет построитьтетраэдр, если условие АH < ВС выполнено. По свойству прямой Эйлера, доказано, чтооснование высоты тетраэдра симметрично ортоцентру Н' треугольника основания ABCотносительно центра O окружности, описанной вокруг АВС. Если ортоцентр Н0 основанияАВС равногранного тетраэдра АВСD делит высоту АА1 на отрезки m = AH0 и n = A1H0, товысота DH равногранного тетраэдра удовлетворяет равенству DH2 = 4mn. Действительно,высоты равных граней равны, DE = А1Е = АА2 = m + n. Из подобия треугольника А1В1С1 итреугольника АВС, А1H = 2АH0 = 2m. НE = А1E – А1H = m – n. По теореме Пифагора, DH2 =DE2 – HE2 = (m + n)2 – (m – n)2 = 4mn.

Исследование: Выясните, для каких треугольников АВС нельзя построитьравногранный тетраэдр. При этом расстояние от основания высоты H до вершинтреугольника основания превышает длину соответствующих сторон (например, АH ≥ ВС).

Рис. 1. Построение равногранного тетраэдра



ginma:0;42,187

23

2.1.2 Свойства равногранного тетраэдра [1,321].

Докажите, что если тетраэдр обладает любым из указанных ниже свойств, то онравногранный.

1. Противоположные рёбра попарно равны.2. Суммы плоских углов при трёх вершинах тетраэдра равны 180º.3. Суммы плоских углов при двух вершинах тетраэдра равны 180º и какие-то двапротиволежащих ребра равны.4. Сумма плоских углов при одной из вершин тетраэдра равна 180º и в нём существуют двепары равных противолежащих ребер.5. В тетраэдре АВСD выполняется равенство ∠АВС = ∠АDС = ∠ВAD = ∠ВСD.

Рис 2. Равны плоские углы ∠АВС = ∠АDС = ∠ВAD = ∠ВСD при вершинах тетраэдра.



ginma:0;42,189

24

2.1.3 Тетраэдр, грани которого равновелики [1,321.5], [2, Гл.6,§7.3,2]

Докажите, что если в тетраэдре АВСD равны площади всех граней, то он равногранный.Решение: Строим призму ABCDEF, основанием которой является ΔABC. В ней AD =

BE = CF, AD||BE||CF, AB = DE, AC = DF. Сравнив площади боковых граней четырёхугольнойпирамиды BCFED, убеждаемся, что они равны:

S(ΔCDF) = S(ΔACD) = S(ΔABC) = S(ΔDEF) = S(ΔABD) = S(ΔBDE) = S(ΔBCD). Пусть G - основание высоты пирамиды BCFED DG⊥BCFE. Тогда расстояния от G до ВЕ и CF (BC и EF) равны: GI⊥FC, значит, DI⊥FC; GJ⊥BE ⇒ DJ⊥BE; FC = BE; S(ΔCDF) = S(ΔBDE) ⇒ DI = DJ ⇒GI = GJ. Следовательно, G - точка пересечения диагоналей четырёхугольника BCFE. GE = GC, GB = GF. Из равенства CD = DE = AB, BD = DF = AC. Достроив тетраэдр до призмы с гранью ABD в основании, получим аналогично AD = BC, BCFE - ромб. Противолежащиe ребра оказались равны, грани – равные треугольники и тетраэдр — равногранный.

Рис. 3 Тетраэдр, грани которого равновелики



ginma:0;42,190

25

2.1.4 Сферы равногранного тетраэдра [1,324]

Докажите, что в равногранном тетраэдре АВСD:1. Центры вписанной и описанной сфер совпадают.2. Центр вписанной сферы совпадает с центром масс.3. Центр описанной сферы совпадает с центром масс.4. Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, взаимно перпендикулярны.5. Центры вневписанных сфер – это вершины тетраэдра, равного данному.6. Радиусы вневписанных сфер равны и вдвое больше радиуса вписанной сферы.

Рис. 4. Сферы равногранного тетраэдра



ginma:0;42,188

26

2.1.5 Сфера 12 точек равногранного тетраэдра [1,326]

Докажите, что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот иортоцентры граней лежат на поверхности сферы, центр которой совпадает с центрамиописанной и вписанной сфер.

Исследование: На рисунке показаны ортоцентр грани АВС точка Н1, центр Oокружности, описанной вокруг основания треугольника АВС, основание высоты тетраэдраDH, F – середина DH, которое является ортоцентром треугольника A'B'C' развёртки, центртяжести тетраэдра М, являющийся центром описанной сферы.

Решение: Известно, что в каждой грани одинаковы и равны между собой расстояниямежду центром описанной вокруг любой грани окружности O и ортоцентром этой грани Н1 ,

и расстояние от основания высоты Н до центра описанной окружности OН1 = OН = а. Такжеодинаковы и равны для всех граней расстояния между центром масс тетраэдра (центромвписанной и описанной сфер) и центром описанной вокруг любой грани окружности МО.Радиус вписанной сферы r = МО равен четверти высоты и перпендикулярен

соответствующей грани 3

43

SrShV == . Если обозначить 22 ra +=ρ , то расстояние между

центром М и тройками точек каждой грани MH = MF = MН1.

Рис. 5 Сфера 12 точек равногранного тетраэдра



ginma:0;42,185

27

2.2 Ортоцентрический тетраэдрОпределение. Ортоцентрический тетраэдр – это тетраэдр, у которого все четыре высоты

пересекаются в одной точке.

2.2.1 Свойства ортоцентрического тетраэдра

3.1.1. Для того, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо и достаточно,чтобы:– основание одной из высот было ортоцентром треугольника основания;

– противоположные рёбра были перпендикулярны в каждой из трёх пар;– отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, были равны;

– суммы квадратов длин двух пар противоположных рёбер были равны.3.1.2. Если тетраэдр ортоцентрический, то:

– основание каждой из высот является ортоцентром соответствующей грани;– противоположные рёбра перпендикулярны в каждой из трёх пар;

– основание каждой из высот является ортоцентром треугольника основания;– противоположные рёбра попарно перпендикулярны;

– отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер, равны между собой;– суммы квадратов длин всех пар противоположных рёбер равны между собой;

– грани описанного параллелепипеда – ромбы;– произведения косинусов противоположных двугранных углов равны между собой;

– центр тяжести расположен на середине отрезка, соединяющего центр описанной сферы иортоцентр тетраэдра;– центры тяжести и ортоцентры граней, а также точки, делящие отрезки каждой высотытетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2 : 1, лежат на одной сфере сцентром на отрезке, соединяющем ортоцентр тетраэдра и центр описанной сферы, и делящейэтот отрезок в отношении 2 : 1, считая от центра описанной сферы. Эта сфера имеет радиусвтрое меньше, чем описанная сфера. Её называют сферой 12 точек.

– окружности Фейербаха каждой грани лежат на одной сфере с центром в центре тяжеститетраэдра. Эта сфера имеет радиус квадрат которого вчетверо меньше, чем сумма квадратовпары противоположных рёбер. Её называют сферой 24 точек.

2.2.2 Доказательства

2.2.3 Основание высоты

Основанием высоты DH тетраэдра ABCD является ортоцентр треугольника АВС.Докажите, что AB⊥CD, BC⊥AD, AC⊥BD.

Доказательство. Поскольку часть высоты АА' треугольника АВС отрезок AH – этопроекция AD на ABC, то AH⊥BC,.

По теореме о трёх перпендикулярах, AD⊥BC. Аналогично AB⊥CD и AC⊥BD.

2.2.4 Перпендикулярность

В тетраэдре ABCD AB⊥CD, BC⊥AD, AC⊥BD. Докажите, что основанием высоты DHтетраэдра является ортоцентр треугольника АВС.



28

Доказательство. Часть высоты АА' треугольника АВС отрезок AH – это проекция AD наABC и AD⊥BC.

По теореме о трёх перпендикулярах, AH⊥BC. Аналогично AB⊥CD и AC⊥BD. H – точка пересечения перпендикуляров к сторонам, проходящих через вершины.

2.2.5 Основание и перпендикулярность

Основанием высоты DH тетраэдра ABCD является ортоцентр АВС. Докажите, чтооснованием любой высоты является ортоцентр соответствующей грани.

Доказательство – это последовательное использование предыдущих доказательств.

2.2.6 Две пары рёбер

Докажите, что для того, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, достаточно, чтобыпротивоположные рёбра были перпендикулярны в двух из трёх пар.

Рис. 3.1. Свойства ортоцентрического тетраэдра



ginma:0;42,347

29

2.2.7 Прямая Эйлера

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре ортоцентр H, центроид М и центр описанной сферы О лежат на одной прямой (Эйлера).

2.2.8 Центроид

Докажите, что центроид ортоцентрического тетраэдра лежит на середине отрезка,соединяющего ортоцентр и центр описанной сферы.

Рис. 3.2. Ортоцентрический тетраэдр и его прямая Эйлера



ginma:0;42,273

30

3 Тела пересечения многогранников

3.1 Пересечения заданных тел3.1.1 Двугранный угол величиной 60° пересекает куб

Ребро двугранного угла α = 60° лежит на диагонали куба с ребром а. Найдите объёмчасти куба, заключённой внутри угла.

Исследование. Куб задают точки А и В. Положение угла определяет точка Е. Вращаяугол за точку Е, исследуйте конфигурацию. Разверните угол так, чтобы вершина D оказаласьвнутри. Сравните площади треугольников AMC' и ANC'. Рассмотрите вид вдоль AC'.

Решение. Рассмотрев вид вдоль AC' (правильный шестиугольник), заметим, чторасстояния от M и N до прямой AC' одинаковы. Отсюда заключаем, что при любомположении угла площади треугольников AMC' и ANC' равны. При вращении угла объём,который входит в угол за счёт поворота, точно равен объёму, который выходит из угла черезпротивоположную грань. Значит, объём части куба внутри угла постоянен. Весь куб даютшесть таких объёмов, значит V = а3/6.

Рис 1. Двугранный угол величиной 60° пересекает куб



ginma:0;42,61

31

3.1.1.a Двугранный угол величиной менее 60° пересекает куб

Ребро двугранного угла α < 60° лежит на диагонали куба с ребром а. Найдитенаименьший возможный объём части куба, заключённой внутри угла.

Исследование. Куб задают точки А и В. Положение угла определяет точка Е. Вращаяугол за точку Е, исследуйте конфигурацию. Разверните угол так, чтобы средняя часть ребраCD оказалась внутри. Сравните площади треугольников AMC' и ANC'. Рассмотрите видвдоль ребра AC'.

Решение. Если при некотором положении двугранного угла объём тела пересеченияэкстремален (наименьший или наибольший), то при малом повороте угла в любую сторонуизменение объёма должно быть нулевым. Это условие представляет собой обобщениеусловия равенства нулю производной гладкой функции в точке экстремума. Изменениеобъёма пропорционально углу поворота и площади сечения куба гранью двугранного угла.Значит, в точке экстремума площади треугольников AMC' и ANC' равны. Другими словами,если площадь одного из двух ограничивающих многоугольников больше, чем другого, топоворачивая в эту сторону, можно увеличить объём общей части.

Если площади треугольников AMC' и ANC' равны, то равны и расстояния от точек M иN до ребра AC'. Рассмотрев вид вдоль AC' (правильный шестиугольник), заметим, что в этомслучае MС = ND и ∠MAN = α. Проекция ребра NМ на плоскость, перпендикулярную AC',равна удвоенному произведению расстояния от AC' до MN на тангенс полуугла двугранного

угла 22

2)',sin(1

αtg

aACCDMNMN =⋅= . Объём тетраэдра ANC'М, в котором 3' aAC = ,

расстояние между AC' и NМ 2

ah = :

62

3

62

222

3

6

'

6

)',sin()',('3

1min

ααρ tgatga

aa

MNhACACCDMNACCDACV =

⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= .

Рис 2. Двугранный угол величиной менее 60° пересекает куб



ginma:0;42,52

32

3.1.1.b Двугранный угол величиной более 60°, но менее 120° пересекает куб

Задание. Ребро двугранного угла 60° < α < 120° лежит на диагонали куба с ребром а.Найдите наименьший возможный объём части куба, заключённой внутри угла.

Решение. Разобьём двугранный угол на две части. Одну величиной 60°, другуювеличиной α°− 60°: Наименьший объём:

)2

31(3

2

62

603

6)60()60(

33

3

minmin α

α

αctg

atga

aVVV

+=

°−

+=°−+°=

Рис. 3. Двугранный угол величиной 60° < α < 120° пересекает куб



ginma:0;42,54

33

3.1.2 Наибольший объём тела пересечения куба и квадранта с вершиной в его центре

Вершина О квадранта находится в центре единичного куба. Найдите наибольший объёмчасти куба внутри квадранта.

а. Вершина О единичного куба находится в центре второго единичного куба. Найдитенаибольший объём общей части кубов. (Задания эквивалентны, три грани первого куба,выходящие из точи О, эквивалентны трём граням квадранта).

Исследование. Три грани квадранта пересекают второй куб по трём многоугольникам.Если площадь одного из них больше, чем любого другого, то, поворачивая квадрант вокругребра пересечения этих граней в сторону большей грани, можно увеличить объём телапересечения. Значит, объём тела пересечения может быть экстремален, только если площадисечения (куба гранями квадранта) одинаковы.

Решение. Пусть AK = AL = AM = 0,75AB. Тогда OK⊥OL⊥OM, OK = OL = OM = AK.Значит, OKLM – квадрант. Причём SOKL = SOKM = SOLM. Поэтому тело OАKLM имеет

экстремальный объём VOAKLM = 64

9 ≈ 0,14. Поскольку ясно, что если грани квадранта

установить параллельно граням куба, то общая часть – это восьмая часть куба, то полученноезначение может быть максимумом.

Рис 4. Наибольший объём тела пересечения куба и квадранта с вершиной в его центре



ginma:0;42,28

34

3.1.2.a Наименьший объём тела пересечения куба и квадранта

Вершина О квадранта находится в центре единичного куба. Найдите наименьший объёмчасти куба внутри квадранта.

а. Вершина О единичного куба находится в центре второго единичного куба. Найдитенаименьший объём общей части кубов.

Решение. Пусть сторона куба равна 2, выберем грань СС'В'В в качестве базовой грани,на которой размещаем тело пересечения. Площади трёх граней пересечения равны, поэтомуребро квадранта ОKK' пустим параллельно грани АА'В'В под углом α к плоскости СС'В'В.

Точка K на грани A'В'C'D', K' в базовой грани, αα cos

1;

sin

1' == OKOK . Противолежащая

грань квадранта пересекает базовую грань по отрезку, параллельному ВС, если его середина– K'', то ОK'' = ОK = K''М'. Рёбра квадранта OLL' и ОММ' пересекают грани в точках L и М,

базовую плоскость в точках L' и М'. αcos

2''2' == OKOM . Объём тела О'K'L'M' равен:

αα 2cossin3

1

6

''' =⋅⋅ OMOLOK.

Пусть KK1K2 – это сечение тела О'K'L'M' гранью A'В'C'D'. K3 – это середина K1K2.Тогда

ααααααα

cossin3

)sin(cos

3

',',sin',1'

33313

333313

−=⋅⋅

===−=KKKKKK

VtgKKKKKKKKctgKK .

Пусть ММ1М2 – это сечение тела О'K'L'M' гранью DCC'D'. Тогда

αααα

ααα

2

33212

232

212 cossin3

)cos1(

3

',cos',

sin

',

cos

cos1'

−=⋅⋅

===−=MMMMMM

vMMMMMM

MMMM

Искомый объём αα

ααααα

αα 2

33

2 cossin3

)cos1(

cossin3

)sin(cos

cossin3

1 −−−−=V

Наименьшее значение 106,02856

857

714

2205 ≈−=V достигается при

17

283cos;

2

11

2

+=−= ααtg , α ≈ 32,65°. Заметим, что биссектор квадранта наклонен к

базовой плоскости под углом °≈+− 4,873

1arccos)

2

11(2arctg (не перпендикулярен к ней).

Вычислить это значение численно не просто. Простое уравнение для поиска углаполучим, если приравняем площади граней возникшего тела. Площадь грани ОLM

1cos

21 −=

αS . Площади равных граней ОKL (ОKM) найдём, вычитая из площади

треугольника ОK'M' αα cossin2

120 =S площади треугольников ММ'M1

αααcossin2

)cos1( 2

21

−=S и KK'K1 αα

ααcossin2

)sin(cos 2

22

−=S . Приравняв площади, находим уравнение:

ααα

α cossin2

)cos1(21

cos

2 2−−=− .



35

Пользуясь стандартной заменой 2

αtgt = , преобразуем уравнение и найдём его единственный

положительный корень:

2

11012)23(2 23 −=⇔=+−++ ttt .

Рис 5. Наименьший объём тела пересечения куба и квадранта с вершиной в его центре



ginma:0;42,29

36

3.1.3 Пересечение кубов с общей диагональю [1, 156]

Куб повернули вокруг диагонали на угол α. Найдите отношение объёма телапересечения к объёму исходного куба.

Исследование. Установите удобный размер (точка А) и положение (точка О) системыкубов. Размещайте Е между В' и D'. Вращая куб с помощью точки Е, изучите конфигурацию.

Решение. Пусть желтый куб с ребром a неподвижен, Q – проекция вершины Евращающегося синего куба на ось вращения AC', угол поворота синего куба В'QE = α.Заметим, что расстояния от таких вершин, как A',В',Е и I до оси одинаковы (обозначим с),

угол поворота от A' до I равен απ −3

2. Отрезки A'I и В'E параллельны, причём

)23

sin(2';2

sin2'απα −== cIAcEB . Каждая точка пересечения рёбер разных кубов делит

ребра в одинаковом отношении. Например, K – точка пересечения рёбер A'В' жёлтого куба и

ЕI синего куба делится в отношении )23

sin(:2

sin':'':'απα −== IAEBKAKB . При этом

tBA

KB =+

=)

23sin(

2sin

''

'απ

α

. Пирамида EKRC' имеет прямой трёхгранный угол и выходящие из

него рёбра, равные at, a, a – at. Объём пирамиды EKRC' (и ещё 12 равных её пирамид)

6

)1(3 ttav

−= . От синего куба отрезаны шесть таких пирамид и объём оставшейся части,

которая и является телом пересечения, )1(6

)1(6 233

3 ttatta

aV +−=−−= . Выполнив

преобразования, найдем отношение )6

sin(1

5,1

0πα ++

=V

V

. Относительный объём принимает

наибольшее значение 1 при α = 0 и наименьшее 0,75 при α = π/3.

Задание 6.2. Куб повернули вокруг диагонали на угол α. Найдите отношение, в которомгрань одного куба делит диагональ другого, отличную от оси вращения.

Рис 6. Пересечение кубов с общей диагональю



ginma:0;42,30

37

3.1.4 Оценка объёма общей части кубов с общим центром

Два равных куба имеют общий центр. Докажите, что объём тела пересеченияпревышает половину объёма исходного куба. Найдите наименьший объём тела пересечения.

Исследование. Установите удобный размер (точка А) и положение (точка О) системыкубов. Вращая голубой куб с помощью точки Е, изучите конфигурацию.

Решение. Сфера с центром в общем центре кубов точке О и диаметром равным стороне

куба имеет объём 26

33 aa >π и расположена внутри общей части кубов. Синяя сфера с

центром в точке О и диаметром чуть больше АВ показанная на рисунке слегка выступает изкубов.

Рис.7. Совпадающая часть кубов



ginma:0;42,34

38

3.1.5 Тело пересечения правильных тетраэдров [1, 155]

Правильный тетраэдр повернули вокруг прямой, соединяющей серединыскрещивающихся рёбер, на угол α. Найдите отношение объёма исходного тетраэдра к объёмуобщей части тетраэдров.

Исследование. Правильный тетраэдр ABCD повернули вокруг прямой EF (E – серединаAD, F – BC) на угол ∠AEG = α в положение GHIJ. Установите удобный размер (точка А) иположение (точка О) системы кубов. Вращая голубой тетраэдр с помощью точки G, изучитеконфигурацию.

Решение. Пусть AB = a, O – общий центр тетраэдров, Q – точка пересечения AO и граниGHJ. Пользуясь видом вдоль GH, найдём AQ : QO. Проекция АЕ на эту плоскость:

(AЕ) = 0,5a sinα, JF = 0,5a. AQ : QO = AG : 0,5JF = 2 sinα.

Сравнивая объёмы отрезанной от тетраэдра ABCD части и тела пересечения обнаружим,что отрезано четыре тетраэдра, равных ALEN, а внутри тела пересечения осталось восемьтетраэдров, равных OLEN. Основание у тетраэдров ALEN и OLEN общее, поэтомуотношение объёмов равно AQ : QO. Значит, отношение объёма отрезанной части коставшейся VALEN : 2VOLEN = AQ : 2QO = sinα. Объём тетраэдра ABCD складывается из объёмаобщей и отрезанной частей, V : Vo = 1 + (V – Vo)/Vo = 1 + sinα. Наименьший объём телапересечения равен половине исходного при α = 90°.

Рис 7. Пересекающиеся правильные тетраэдры



ginma:0;42,1

39

4 Литература1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. Стереометрия. 10 – 11 кл.: Пособие для учащихся. –М.: Дрофа,1998. – 272 с.2. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Cтереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с. (6. Элементы теории многогранников). 1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. Стереометрия. 10 – 11 кл.: Пособие для учащихся. –М.: Дрофа,1998. – 272 с.2. И. Ф. Шарыгин. Геометрия 10 – 11 классы. –М.: Дрофа, 2006. – 208 с. (7. Правильные многогранники).3. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Cтереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с. (6.3. Правильные многогранники).4. С.Ф. Шестаков. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. –М.: МЦНМО, 2005. – 112 с.6. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: –Т.2: Стереометрия, преобразования пространства. –М.: Изд. МЦНМО. 2006. – 256 с. (Гл. 9.6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра).7. T.E. Годзь, B.B. Шеломовский. Музыка сфер. –Мурманск.: Милори, 2000. – 88 с.



Documents

Углублённая геометрия (стереометрия) 1.1. Многогранникиdeoma-cmd.ru/files/sets/Комплекты/Комплект «Углублённая... ·