Практикум розв’язування задач з

диференціальної геометрії

для студентів, які навчаються за спеціальностями

111 Математика та 014 Середня освіта (Математика)

Редакційно-видавничий відділ „Вежа”

Східноєвропейського національного університету

імені Лесі Українки

Луцьк - 2018

2

УДК 514.7

ББК 22.151.6

І 49

Рекомендовано вченою радою Східноєвропейського національного університету

ім. Лесі Українки (протокол № ___ від ____________ )

Укладач: Ілляшенко Валентина Яківна, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри

алгебри і математичного аналізу Східноєвропейського національного університету

імені Лесі Українки.

Рецензенти: Падалко А. М. кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри

електропостачання Луцького національного технічного університету;

Харкевич Ю. І. кандидат фізико-математичних наук, професор, декан факультету

інформаційних систем, фізики та математики Східноєвропейського національного

університету імені Лесі Українки.

І 49 Методичні рекомендації до вивчення диференціальної геометрії / Уклад.

В. Я. Ілляшенко. - Луцьк: РВВ „Вежа” Східноєвропейського національного

університету імені Лесі Українки, 2018. - 79 с.

Методичні рекомендації з курсу диференціальної геометрії розраховані на

студентів математичного факультету (ІІ курс, денна форма навчання, ІІІ-IV курси -

заочна форма).

У методичних рекомендаціях подаються програма, тематика практичних занять,

основні поняття, рівняння та формули з курсу диференціальної геометрії, а також

зразки розв’язання типових задач. У кінці наводяться тексти завдань для самостійної

роботи і контролю знань студентів (Варіанти № 1-10). Завдання 1-10 в кожному

варіанті є завданнями першого рівня складності, 11-20 - другого, 21-30 - третього

рівня.

УДК 514.7

ББК 22.151.6

© Ілляшенко В.Я. (укладання), 2018

3

Передмова

Методичні рекомендації з курсу диференціальної геометрії розраховані на

студентів математичного факультету (ІІ курс, денна форма навчання, ІІІ-ІV курси

– заочна форма).

У методичних рекомендаціях подаються програма, тематика практичних

занять, основні поняття, рівняння та формули з курсу диференціальної геометрії, а

також зразки розв’язання типових задач. В кінці наводяться тексти завдань для

самостійної роботи і контролю знань студентів (варіанти № 1–10). Завдання 1–

10 в кожному варіанті є завданнями першого рівня складності, 11–20 – другого,

21–30 – третього рівня.

4

Вступ

Диференціальна геометрія вивчає властивості ліній і поверхонь в околі

кожної точки за допомогою диференціального числення і взагалі методів

математичного аналізу. Тому розвиток цієї науки міг розпочатися лише у XVII ст.

Тим не менше окремі поняття і факти з теорії плоских кривих були відомі ще в

стародавній Греції. Це, наприклад, поняття дотичної до кола у Евкліда і дотичної

до спіралі у Архімеда. Поняття (і термін) “асимптоти” гіперболи, як і поняття

“нормалі” в точці кривої ввів ще Аполлоній (ІІ ст. до н.е.), який розробив способи

побудови дотичних до еліпса, параболи і гіперболи.

На відміну від аналітичної геометрії, в якій вивчається порівняно невелика

кількість окремих типів кривих і поверхонь (в основному 1-го і 2-го порядків), в

диференціальній геометрії досліджуються будь-які криві і поверхні.

Виникнення диференціальної геометрії пов’язане з розв’язанням певних

практичних задач, зокрема із запитами математичної картографії. Необхідність у

географічних картах особливо відчувалася в період великих географічних

відкритів у ХVI ст. Розроблена фламандським вченим Кремером (1512 – 1594),

відомим в науці під латинізованим ім’ям Меркатора, проекція сфери на площину

мала особливо важливе значення.

У диференціальній геометрії плоских кривих одним із перших з’явилось

поняття “кривина лінії”. Це поняття було використане Кеплером у ХVII ст.

Загальну теорію еволют і евольвент розвинув голландський фізик і математик

Христіан Гюйгенс у книзі “Маятникові годинники” (1679). Лейбніц, брати Якоб і

Йоган Бернуллі, в основному, завершили теорію плоских кривих.

Теорія просторових кривих була заснована Клеро (1713–1765) в його праці

“Про криві різної кривини” (1731) і розвинута потім у працях Ейлера (1707–1783),

Монжа (1746–1818), Френе (1816–1900) та інших математиків ХІХ ст.

Основи загальної теорії поверхонь були закладені Ейлером і розвинуті

Монжем, Гауссом (1777–1855), Ріманом (1826–1866) та іншими вченими ХІХ–

ХХ ст.

У ХХ ст. почали розроблятись також проективна диференціальна та афінна

диференціальна геометрії, які вивчають властивості кривих і поверхонь, що

зберігаються відповідно при проективних і афінних перетвореннях.

Одним із творців сучасної проективно-диференціальної геометрії був

професор Московського університету і глава великої школи геометрів

С. П. Фініков (1883–1964).

Тензорну диференціально-геометричну школу створив у середині 20-х років

ХХ ст. професор Московського університету В. Ф. Каган (1869–1953). Учні

5

Кагана В. В. Вагнер, О. П. Норден створили геометричні школи в Саратові і

Казані. Керівництво школою Кагана після його смерті у Москві взяв на себе його

учень П. К. Рашевський. Питання диференціальної геометрії успішно розробляли

П. О. Широков (1895-1944), С. С. Бюшгенс (1882–1963), Я. С. Дубнов (1887–

1957).

Організація досліджень у галузі геометрії в Харківському університеті

пов’язана з ім’ям Д. М. Синцова (1867–1946), який з 1903 до 1946 р. працював

там. Починаючи з 40-х років, дослідження з диференціальної геометрії в

неевклідових просторах проводили Я. П. Бланк та його учні.

Різні питання диференціальної геометрії були предметом досліджень

київських геометрів: Б. Я. Букреєва (1859–1962) (працював у Київському

університеті 75 років), О. С. Смогоржевського (1896–1969), В. П. Білоусової.

Новий напрям у диференціальній геометрії – лінійчату геометрію – в

колишньому Радянському Союзі заснував С. П. Фініков, який присвятив цикл

фундаментальних робіт теорії конгруенцій (перша половина ХХ ст.).

Поряд з теорією прямолінійних конгруенцій розвиваються в 50-і роки

дослідження з теорії комплексів прямих. У Томську ці дослідження розпочав

Р. М. Щербаков і вже з 70-их років там працює великий колектив геометрів.

У Києві школу лінійчатої диференціальної геометрії заснував

М. І. Кованцов (1924–1988), який у КДУ з 1961 до 1988 завідував кафедрою

геометрії.

Класична диференціальна геометрія, яка склалася як наука до кінця ХІХ ст.,

є в основному геометрією в малому: вона досліджує досить малі області

геометричних образів. У ХХ ст. з’явились нові напрями в теорії кривих і

поверхонь, успішно розвивалась геометрія в цілому – вивчення властивостей

цілих поверхонь. На початку ХХ ст. один із представників геттінгенської

математичної школи – Герман Мінковський (1864–1909) розробив основи

геометрії опуклих тіл. Питання геометрії в цілому були предметом досліджень

багатьох відомих математиків (Гільберта (1862–1943), Г. Вейля (1885–1955),

Бляшке (1855–1962) та інш.).

До геометрії в цілому належать праці радянських математиків

Л. Г. Шнірельмана і Л. А. Люстерника. Великий вклад у цю галузь внесли

математики ленінградської геометричної школи, зокрема академік

О. Д. Александров та його учні, математики харківської геометричної школи,

очолюваної академіком О. В. Погорєловим, геометри московської школи,

очолюваної М. В. Єфімовим.

6

Вивчення курсу диференціальної геометрії і розв’язання задач можливе на

базі знання диференціального та інтегрального числення.

Крім того, в диференціальній геометрії ми будемо використовувати

відомості з аналітичної геометрії, особливо векторну алгебру, рівняння прямих,

кривих і поверхонь другого порядку.

На вивчення курсу відводиться 216 годин (4 кредити), з яких: 140

аудиторних занять для студентів ІІ курсу денної форми навчання; 54 – для

студентів ІІІ курсу заочної форми навчання. Навчальним планом і програмою

передбачені такі види поточного і підсумкового контролю: по дві контрольні

роботи в кожному семестрі (для студентів заочної форми – по одній), залік,

екзамен. У кожному семестрі студенти денної форми навчання складають

колоквіум, на який виносяться основні теоретичні питання.

Кожен студент повинен виконати контрольні роботи з тем: “Криві в

просторі”, “Плоскі криві”, “Поверхні”. Перед виконанням контрольної роботи

необхідно опрацювати відповідний матеріал за посібниками, які дані в списку

літератури, дати відповідь на контрольні запитання, розв’язати вправи і задачі.

Без зарахування контрольних робіт студент до складання заліку та екзамену

з диференціальної геометрії не допускається.

Завдання для самостійної роботи наведені в кінці методичних рекомендацій.

7

ПРОГРАМА

З ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

Головною метою курсу є глибоке засвоєння основних понять, положень і

методів диференційовних многовидів та диференціальних рівнянь для

дослідження геометричних об’єктів (ліній та поверхонь) у нескінченно малому

околі.

І. Елементи топології

Предмет топології. Топологічні простори. Операції над відкритими і

замкненими множинами. Околи. Граничні точки. Замикання. Відкриті бази.

Неперервні відображення топологічних просторів. Гомеоморфізм. Приклади.

Зв’язність. Лінійна зв’язність.

Способи побудови топологічних просторів: підпростори, фактор-простори,

склеювання двох просторів по неперервному відображенню.

Аксіоми відокремлюваності: хаусдорфовість, регулярність, нормальність.

Компактні простори. Неперервні функції на компактах, неперервні

відображення компактних просторів. Операції над компактними просторами.

ІІ. Геометрія кривих в евклідовому просторі

Предмет і метод диференціальної геометрії. Розвиток диференціальної

геометрії. Вклад вітчизняних вчених у розвиток диференціальної геометрії.

Елементи векторного аналізу. (Вектор-функція одного і декількох

аргументів. Поняття про границю, неперервність, диференційовність вектор-

функції та основні теореми про них. Формула Тейлора для вектор-функції.

Інтегрування вектор-функції).

Поняття кривої. Різні форми рівняння кривої.

Теорія кривих у R3. Дотична і нормаль. Довжина дуги. Стик кривої з

поверхнею. Стичні поверхні. Стична площина. Тригранник Серре–Френе.

Формули Серре–Френе. Кривина. Скрут. Дериваційні рівняння кривої. Натуральні

рівняння просторової кривої.

Теорія кривих на площині. Звичайні та особливі точки кривої. Дотична і

нормаль кривої в звичайній та особливій точці. Класифікація особливих точок.

Дотик плоских кривих. Стична пряма і стичне коло. Натуральні рівняння

плоскої кривої.

Обвідна однопараметричної сім’ї плоских кривих. Дискримінантна крива.

Еволюта плоскої кривої. Евольвенти.

Асимптоти кривих. Побудова плоских кривих. Задання кривої в Rn.

Дериваційні рівняння кривої в Rn.

8

ІІІ . Гладкі многовиди

Поняття многовиду. Приклади. Гладкі відображення. Дифеоморфізм.

Задання многовиду рівняннями. Дотичні вектори. Дотичний простір. Похідна

функції в даному напрямку. Дотичне розшарування. Підмноговиди. Диференціал

гладкого відображення. Занурення многовиду в евклідів простір. Вкладення

многовиду в евклідів простір.

ІV. Теорія поверхонь в евклідовому просторі

Поняття поверхні та її рівняння. Криволінійні координати точки на поверхні

і координатні лінії. Дотична площина та нормаль поверхні.

Метрична форма поверхні. Внутрішня геометрія поверхні. Ізометрія

поверхонь. Інваріантність внутрішньої геометрії поверхні відносно ізометричних

відображень. Гіперповерхня. Дотичний простір та нормаль гіперповерхні.

Друга квадратична форма поверхні. Кривина похилих і нормальних

перерізів поверхні. Теорема Меньє. Індикатриса Дюпена. Класифікація точок

двовимірної поверхні. Головні напрямки та головні кривини. Повна та середня

кривина. Інваріантні лінії на поверхні: асимптотичні лінії, лінії кривини, спряжені

сітки. Геодезична кривина. Геодезичні лінії та їх властивості.

Рівняння Гаусса та Петерсона–Кодацці. Задання поверхні коефіцієнтами

першої і другої квадратичних форм. Згинання поверхні. Накладання в “малому”

ізометричних поверхонь.

Часткові класи поверхонь. Скісні лінійчаті поверхні. Розгортні поверхні.

Поверхні сталої кривини, мінімальні поверхні. Конформні відображення.

Збереження кутів. Конформне відображення поверхонь обертання на площину.

Конформне відображення сфери на площину.

Формула Гаусса–Бонне. Випадок геодезичного контуру. Сума внутрішніх

кутів геодезичного трикутника.

Паралельне перенесення вектора на поверхні. Класифікація двовимірних

замкнених многовидів.

V. Тензорний аналіз та ріманова геометрія

Поняття тензорного поля на многовиді. Приклади. Алгебраїчні операції над

тензорами. Кососиметричні тензори. Афінна зв’язність. Паралельне перенесення.

Коваріантне диференціювання. Тензор кривини. Ріманів простір. Основні

поняття. Приклади. Ріманова зв’язність. Геодезичні лінії простору. Тензор

кривини Рімана, його властивості. Кривина ріманового простору в двовимірному

напрямку. Ріманові простори сталої кривини. Теорія кривих у рімановому

просторі. Поверхні в рімановому просторі.

9

Література

1. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія. – Х.: Основа, 1995. –

304 с.

2. Кованцов М. І. Диференціальна геометрія . – К.: Вища шк., 1973. – 276 с.

3. Кованцов Н. И., Зражевская Г. М., Кочаровский В. Г., Михайловский В. И.

Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сборник задач. –

К.: Вища шк., 1989.

4. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и

топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1980. – 439 с.

5. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974. –176 с.

6. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во МГУ,

1990. – 384 с.

7. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гос.техн.изд., 1956.

– 420 с.

8. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии / Под ред.

А. С. Феденко. – М.: Наука, 1979. – 279 с.

10

Теми практичних занять

1. Елементи векторного аналізу.

Розв’язання задач

[8] №№ 1–6, 16–20, 21–26. 31, 36. 38, 50, 51.

2. Лінії в евклідовому просторі. Дотична. Довжина дуги.

[8] №№ 419, 432, 434, 435, 436–439, 442, 444, 445, 447, 469, 472, 473.

3. Супровідний тригранник лінії. Знаходження його елементів.

[8] №№ 445, 449, 452, 453, 455, 458, 460. 467

[3] №№ 1.3.14, 1.3.15, 1.3.20, 1.3.21, 1.3.22, 1.3.31, 1.3.35.

4. Кривина і скрут лінії.

[8] №№ 458, 472, 476, 479, 480, 484, 490, 491.

5. Натуральні рівняння лінії. Лінії Бертрана. Стичні поверхні.

[8] №№ 514, 515, 497, 498, 500, 505, 506, 508, 521, 522.

6. Задання плоских ліній. Дотична, нормаль.

[8] №№ 69, 71, 72, 73, 76, 83–85, 93–96, 111, 118, 121, 129, 132, 136, 137.

7. Дотична, нормаль, піддотична, піднормаль.

[8] №№ 144. 145, 158, 160, 161, 163-172.

8. Довжина дуги. Кривина. Дотикання ліній.

[8] №№ 317, 319, 324, 330, 342, 344, 346, 349, 354, 356, 357,

178, 179, 181, 182, 368, 369, 370.

9. Обвідна однопараметричної сім’ї плоских кривих.

[8] №№ 282–284, 288–290, 291–299, 300–302, 313.

10. Еволюта, евольвента плоскої лінії.

[8] №№ 382–385, 389, 397, 400, 403, 408, 409.

11. Асимптоти. Особливі точки.

[8] №№ 186–189, 192–193, 195–196, 200–209.

12. Дослідження і побудова кривих.

[8] №№ 215–222, 223, 239, 241, 246, 281.

13. Поверхні. Способи задання. Поверхні обертання.

[8] №№ 528, 529, 531, 536, 537, 544, 549, 550, 551.

14. Дотична площина і нормаль до поверхні.

[8] №№ 571, 573–578, 581, 582, 583, 586, 596.

[8] № ІІІ. 1.64.

15. Перша квадратична форма поверхні.

[8] №№ 639-644, 649, 654, 663, 664, 665, 670, 676, 678, 679, 680, 6811,

684, 686, 690.

16. Друга квадратична форма поверхні. Нормальна кривина. Теорема Меньє.

11

[8] №№ 717–720. 726, 728, 729, 737, 738 (а), 739 (в).

[3] №№ ІІІ. 3.25, 3.27, 3.40, 3.42.

17. Індикатриса Дюпена. Спряжені напрями. Головні напрями на поверхні.

[8] №№ 733, 734, 740, 768, 792, 794, 797, 799.

[3] №№ ІV. 1.1, 1.25.

18. Головні кривини на поверхні. Лінії кривини.

[8] №№ 732, 735, 739 (а), 740 (б), 819, 820-823, 828, 829.

[3] №№ ІV. 3.2, 3.6.

19. Повна і середня кривини поверхні. Класифікація точок поверхні.

[8] №№ 751, 753, 759, 761, 762-766, 767–772, 777, 778, 779, 782–784, 788.

20. Асимптотичні лінії. Геодезична кривина. Геодезичні лінії на поверхні.

[8] №№ 802, 803, 806, 808, 809, 814, 815, 832, 840, 844, 848, 863.

[3] №№ ІV. 2.4, 2.6, 2.9, 2.10.

21. Лінійчаті поверхні.

[7] § 67, § 70. Вправи.

22. Алгебраїчні операції над тензорами.

[8] №№ V.1.1(1), V.1.1(4), V.1.2(1–4), V.1.3(1–4), V.1.4(1–4), V.1.5, V.1.6,

V.1.7–1.9.

23. Диференціальні операції над тензорами.

[8] №№ V.1.2.3, V.2.1, V.2.2, V.2.3.

12

Контрольні запитання і вправи

І . Елементи топології

- Що називається метрикою на множині X?

- Дати означення метричного простору.

- Навести приклади метричних просторів.

- Що називається кульовим околом точки х радіуса ε?

- Дати означення відстані між двома множинами.

- Яка точка називається точкою дотику множини У?

- Що таке замикання множини У?

- Яка множина метричного простору називається замкненою?

- Яка точка називається внутрішньою точкою множини У?

- Що таке int У?

- Яка множина називається відкритою?

- Дати означення топологічного простору.

- Навести приклади топологічних просторів.

- Дати означення неперервного відображення. Навести приклади.

- Яке відображення називається гомеоморфним (топологічним) відображенням?

Навести приклади.

- Чи є гомеоморфним відображення відкритого з однієї сторони відрізка (х, а] на

коло, яке одержується з відрізка склеюванням точки а з х ?

- Який топологічний простір називається зв’язним?

- Чи буде числовий проміжок [а, в] зв’язною множиною?

- Який топологічний простір називається хаусдорфовим простором?

- Що таке декартів добуток множин X , У?

- Дати означення нормального топологічного простору. Навести приклади.

- Який топологічний простір називається компактним?

- Які властивості компактних просторів?

- Коли метричний простір буде компактним?

- Дати означення многовиду.

- Навести простіші приклади многовидів.

x a

f

a х

13

- Що називається дифеоморфізмом?

- Що називається дотичним простором?

- Дати поняття підмноговиду.

II. Геометрія кривих в евклідовому просторі

- Еліпс – лінія елементарна чи проста?

- Яка лінія називається регулярною?

- Способи задання ліній.

- Якою буде лінія, в кожній точці якої дотична має один і той же напрям?

- Записати рівняння дотичної до лінії )(trr

в точці ot .

- Вивести рівняння дотичної до лінії

.0),,(

,0),,(

zyxΦ

zyxF

- Що одержиться в результаті перетину двох поверхонь

,1222 zyx 1222 xzy ?

- Показати, що лінія tczttbytax cos,cossin,sin2 лежить на еліпсоїді.

- Вивести формули Френе.

- Записати векторне рівняння:

а) стичної площини;

б) нормальної площини;

в) спрямної площини для лінії )(trr

в довільній точці.

- Записати рівняння граней супровідного тригранника для лінії )(),(),( tzztyytxx в точці ),,( 0000 zyxM .

- Записати рівняння ребер супровідного тригранника для лінії )(trr

в точці,

що відповідає параметру 0t .

- Вивести формулу для обчислення кривини лінії )(trr

в точці 0t .

- Вивести формулу для обчислення кривини лінії ).(),(),( tzztyytxx

- Вивести формулу для обчислення скруту лінії )(trr

.

- Вивести формулу для обчислення скруту лінії ).(),(),( tzztyytxx

- Вивести формулу для обчислення кривини і скруту кривої )(srr

, де s –

довжина дуги кривої.

- Якою буде лінія, якщо в кожній її точці 0k ?

- Скласти натуральні рівняння лінії .,, atzshtaychtax

- Який геометричний зміст кривини кривої в точці?

- Який геометричний зміст модуля скруту?

14

- Який геометричний зміст знаку скруту?

- Яка властивість кривини і скруту для гвинтової лінії?

- Яка поверхня називається стичною з кривою γ в точці М0 ?

- Як знайти стичну поверхню, що має з кривою дотик порядку n?

- Як знайти стичну сферу кривої )(srr

?

III. Криві на площині

- Різні способи аналітичного задання кривої на площині.

- Звичайні і особливі точки плоскої кривої.

- Дотична і нормаль плоскої кривої.

- Кривина плоскої кривої, геометричний зміст.

- Крива задана натуральним рівнянням. Як знайти її рівняння в явному вигляді?

- Яка будова кривої в околі звичайної точки з точністю першого порядку?

- Яка будова кривої в околі звичайної точки з точністю другого порядку?-Яка

точка називається точкою перегину р-ого порядку?

- Яка крива називається стичною з даною кривою ?

- Знайти стичну пряму кривої )(),( tyytxx в точці М0 (х0, у0).

- Знайти стичне коло кривої )(),( tyytxx в точці М0 (х0, у0).

- Яка крива називається обвідною однопараметричної сім'ї плоских кривих

0),,( CyxF ?

- Яка відмінність дискримінантної кривої від обвідної?

- Дати означення еволюти плоскої кривої.

- Вивести рівняння еволюти.

- Яка лінія називається евольвентою плоскої кривої?

- Знайти рівняння евольвенти.

- Будова кривої поблизу особливих точок.

- Яка точка називається ізольованою?

- Коли особлива точка лінії є вузловою?

- Навести приклад кривої, що має точку звороту першого, другого роду?

- Дати означення асимптоти лінії ).(),( tyytxx

- Коли існує асимптота кривої, яка не паралельна осі ординат?

- Знайти вертикальні асимптоти кривої.

IV. Поверхні в евклідовому просторі

- Навести приклади елементарних областей на площині.

15

- Дати означення елементарної поверхні. Навести приклади.

- Дати означення простої поверхні. Навести приклади.

- Яка поверхня називається регулярною?

- Коли система рівностей ),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx , де

),(),,(),,( vuzzvuyyvuxx – регулярні функції в деякій області G

площини ),( vu , задає поверхню?

- Різні способи аналітичного задання регулярної поверхні.

- Скласти параметричні рівняння поверхні, одержаної при обертанні лінії 0),(),( yuzufx навколо осі OZ.

- Написати параметричні рівняння еліпсоїда обертання, трьохосьового еліпсоїда.

- Дана поверхня .,, uvzvuyvux Перевірити, чи належать їй

точки А (4, 2, 3), В (1, 4, -2).

- Показати, що рівняння 222222

1,,

vuz

vu

vy

vu

ux

та

2,sin,cos uzvuyvux задають одну і ту ж поверхню.

- Який вид координатних ліній на площині:

а) ;0,, zvyux

б) 0,sin,cos zvuyvux ?

- Вивести рівняння дотичної площини до поверхні ),( vurr

.

- Вивести рівняння дотичної площини до поверхні ),( yxfz .

- Вивести рівняння нормалі до поверхні ),( yxfz .

- Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 3322 ,,2 vuzvuyvux в точці А (3, 5, 7).

- Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні:

а) 33 yxz в точці В (1, 2, 9) ;

б) 169222 zyx в точці А (3, 4, 12).

- Вивести першу квадратичну форму поверхні ),( vurr

.

Знайти геометричний зміст першої квадратичної форми.

- Записати першу квадратичну форму поверхні ),( yxfz .

- Знайти першу квадратичну форму сфери

uRzvuRyvuRx sin,sincos,coscos .

- На поверхні з першою квадратичною формою 2222 udvshduds знайти

довжину дуги лінії vu між точками ).,(),,( 222111 vuMvuM

- Знайти кут між лініями uvuv 2,2 на поверхні, що має першу

квадратичну форму 2222 udvshduds .

16

- Яка необхідна і достатня умова ортогональності координатної сітки на

поверхні?

- Знаючи з курсу математичного аналізу формулу для обчислення площі області

D на поверхні ),( yxfz

D

dydxy

z

x

z,)()(1 22

вивести формулу для обчислення площі області D на поверхні ),( vurr

.

- Вивести другу квадратичну форму поверхні ),( vurr

.

- Який геометричний зміст другої квадратичної форми?

- Знайти другу квадратичну форму для сфери.

- Знайти другу квадратичну форму для псевдосфери:

).cos2

(ln,sinsin,cossin uutgazvuayvuax

- Поняття нормальної кривини кривої на поверхні в точці.

- Вивести формулу для обчислення нормальної кривини kn кривої в точці М.

- Нормальна кривина кривої γ, що проходить через точку М поверхні і

дотикається до прямої МТ, дорівнює 2. Яка нормальна кривина кривої, що є

лінією перетину поверхні з площиною, яка визначається МТ і нормаллю до

поверхні в точці М?

- У чому суть теореми Меньє?

- Яка крива називається індикатрисою Дюпена?

- Записати рівняння індикатриси Дюпена.

- Дати класифікацію точок поверхні, використовуючи поняття індикатриси

Дюпена.

- Означення головних напрямів на поверхні в точці.

- Знайти рівняння для визначення головних напрямів поверхні в точці М. Коли

головні напрями невизначені?

- Які лінії на поверхні називаються лініями кривини? Коли лінії кривини

невизначені?

- Які кривини називаються головними кривинами поверхні в точці?

- Вивести формулу Ейлера, яка виражає зв’язок між головними кривинами і

нормальною кривиною.

- Вивести рівняння для обчислення головних кривин.

- Дати означення повної і середньої кривини поверхні в точці.

- Дати класифікацію точок поверхні, використовуючи гауссову кривину

поверхні.

- Поверхні сталої гауссової кривини, їх класифікація.

17

- Довести, що сфера – поверхня сталої додатної кривини.

- Довести, що псевдосфера – поверхня сталої від’ємної кривини.

- Які поверхні називаються мінімальними? Навести приклади мінімальних

поверхонь.

- Які напрями на поверхні називаються асимптотичними?

- Яка необхідна і достатня умова того, щоб крива на поверхні була

асимптотичною?

- Які напрями на поверхні в точці М називаються спряженими?

- Яка сітка ліній на поверхні називається спряженою?

- Дати поняття сферичного відображення поверхні.

- Який зміст співвідношення Родріга?

- Дати геометричну характеристику повної кривини, користуючись сферичним

відображенням поверхні.

- Предмет внутрішньої геометрії поверхні.

- Вивести дериваційні формула Гаусса.

- Вивести дериваційні формули Вейнгартена.

- Сформулювати теорему Гаусса та вказати її застосування.

- Геодезична кривина кривої. Означення. Формула для обчислення.

- Геодезичні лінії на поверхні. Властивості.

- Сформулювати теорему Гаусса–Бонне. Окремі її випадки.

- Реалізація в малому геометрії Лобачевського на поверхні сталої від’ємної

кривини.

- Користуючись теоремою Гаусса–Бонне, знайти формулу для обчислення площі

сферичного трикутника.

- Користуючись теоремою Гаусса–Бонне, знайти формулу для обчислення площі

геодезичного трикутника на псевдосфері.

- Задання поверхні коефіцієнтами першої і другої квадратичних форм.

- Рівняння Гаусса та Петерсона–Кодацці.

V. Тензорний аналіз та ріманова геометрія

- Дати поняття тензора.

- Які основні операції над тензорами?

- Які тензори можна множити?

- Які тензори можна додавати?

- Який тензор називається коваріантним, контраваріантним?

- Який тензор називається метричним?

18

- Дати поняття паралельного перенесення в розумінні Леві-Чивіта.

- Який простір називається рімановим?

- В чому суть паралельного перенесення тензора?

- Що таке абсолютний диференціал тензора?

- Який тензор називають тензором кривини?

- Які властивості тензора кривини Рімана?

19

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

ЛІНІЇ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ

1. Рівняння лінії

Лінію в евклідовому тривимірному просторі можна задати такими

рівняннями:

а) параметричними

( ),

( ),

( ),

x x t

y y t

z z t

(1.1)

де ( , , )x y z - координати довільної точки М лінії відносно декартового репера

(0, , , ),R i j k

t - параметр;

б) векторно-параметричними

( ),r r t

(1.2)

де r

- радіус-вектор довільної точки М (рис.1).

Рис. 1

в) ( , , ) 0,

( , , ) 0,

F x y z

F x y z

(1.3)

де ( , , ) 0,F x y z ( , , ) 0,F x y z - рівняння поверхонь. Говорять, що лінія

задана як перетин двох поверхонь.

Приклад 1. Точка М обертається рівномірно навколо деякої прямої і

рівномірним рухом переноситься паралельно на цій прямій. Лінія, що описується

20

точкою М, називається гвинтовою. Знайти її параметричні рівняння, прийнявши

вказану пряму за вісь .OZ

Розв’язання. Виберимо прямокутну декортову систему координат. Нехай

довільна точка М кривої має координати X, Y, Z. Точка ( , , )M X Y Z починає

рухатися від точки 0 ,M яка лежить на осі ОХ і віддалена від точки О на відстань

0:a OM a .

Рис. 2

Якщо б точка 0 ,M лише оберталась навколо прямої ,l OZ то вона б описала

коло в площині XOY . Повернувшись на кут , вона зміщується пропорційно

цьому куту вздовж осі OZ (рис. 2).

Отже, маємо

3 3; ; ;x y xMM Z OM X OM M M Y

0 3 3; cos ; sin ; .x yOM OM a OM a OM a MM k

k - коефіцієнт пропорційності.

Параметричні рівняння гвинтової лінії мають вигляд:

cos ,

sin ,

.

X a

Y a

Z k

Приклад 2. Поверхня сфери радіуса R перетнута круглою циліндричною

поверхнею, діаметр якої дорівнює радіусу сфери і одна з твірних проходить через

центр сфери. Лінія перетину цих поверхонь називається кривою Вівіані. Скласти

рівняння лінії. Зробити малюнок.

Розв’язання. Приймемо за вісь OZ твірну, що проходить через центр сфери;

вісь OX виберемо вздовж того того радіуса сфери, який служить діаметром

циліндра (рис. 3). Рівняння циліндричної поверхні має вигляд:

21

2 22

2 4

R Rx y

або 2 2 0.x Rx y

Рівняння сфери 2 2 2 2.x y z R

Крива Вівіані визначається рівняннями 2 2 2 2

2 2

,

0.

x y z R

x Rx y

Щоб скласти параметричні рівняння кривої Вівіані, приймемо за перший

меридіан сфери переріз її площиною ZOX і за вісь сфери - вісь OZ. Візьмемо на

кривій довільну точку M і позначимо її координати через x, y, z.

Виразимо координати x, y, z через задані величини і введений параметр t.

За параметр t приймемо кут AOP. З :AOP cos .OP R t

У трикутнику OPM кут P - прямий і MO R . Тому 2 2 2 2 2 2cos sin ,MP R R t R t

sinz MP R t .

З трикутника OPQ знаходимо 2cos cos ,x OQ OP t R t

sin cos sin .y QP OP t R t t

Отже параметричні рівняння кривої Вівіані можна записати у вигляді 2cos ,x R t cos sin ,y R t t sin .z R t

Відповідь: 2 2 2 2

2 2

,

0.

x y z R

x Rx y

або

2cos ,

cos sin ,

sin .

x R t

y R t t

z R t

Примітка. Вівіані (1622-1703) - італійський математик, учень Галілея. Він

поставив одну задачу квадратури, яка приводила до кривої, що тепер носить його

ім’я.

Самостійно розв’язати № 19 з варіанту 8.

22

Рис. 3

2. Елементи тригранника Френе та їх рівняння

Нехай крива задана рівняннями (1.2) або (1.1). Рівняння дотичної до кривої,

заданої цими рівняннями, має відповідно вигляд

,/rrR (2.1)

z

zZ

y

yY

x

xX

, (2.2)

де R

– радіус-вектор довільної точки дотичної, а X, У, Z – координати вектора R

.

Рівняння бінормалі

rrrR

(2.3)

або

yx

yx

zZ

xz

xz

yY

zy

zy

xX

. (2.4)

Рівняння стичної площини:

0)( rrrR

(2.5)

або 0

zyx

zyx

zZyYxX

. (2.6)

Рівняння нормальної площини:

0)( rrR

(2.7)

23

або 0)()()( zzZyyYxxX . (2.8)

Рівняння головної нормалі:

rBrR

, (2.9)

де B

– вектор бінормалі ( rrB

),

або

).(

),(

),(

xz

xzx

zy

zyyzZ

zy

zyz

yx

yxxyY

yx

yxy

xz

xzzxX

(2.10)

Рівняння спрямної площини:

0)( BrrR

(2.11)

або 0

zx

yx

xz

xz

zy

zy

zyx

zZyYxX

. (2.12)

Якщо крива задана рівнянням (1.3), то канонічне рівняння дотичної має

вигляд:

yx

yx

xz

xz

zy

zy

ΦΦ

FF

zZ

ΦΦ

FF

yY

ΦΦ

FF

xX

. (2.13)

Приклад 3. Скласти рівняння дотичної до кривої, заданої рівняннями

,

,2

22

222

xyx

zyx

у точці М0(1;0;1).

Розв’язання. Крива задана як лінія перетину двох поверхонь

02),,( 222 zyxzyxF і 0),,( 22 xyxzyxΦ .

Скористуємося рівнянням (2.13). Знайдемо частинні похідні від функцій F,

Ф:

.0;2;12

;2;2;2

zyx

zyx

ΦyΦxΦ

zFyFxF

У точці М0 маємо

.0;0;1

;2;0;2

000

000

zyx

zyx

ΦΦΦ

FFF

Знайдемо напрямні коефіцієнти дотичної в точці М0 :

24

.001

02,210

22,000

20

00

00

00

00

0

00 yx

yx

xz

xz

zy

zy

ΦΦ

FF

ΦΦ

FF

ΦΦ

FF

0

Отже, рівняння дотичної до кривої в точці М0 має вигляд:

0

1

20

1

zyx

або

.01

,01

z

x

Відповідь: 0

1

10

1

zyx.

Приклад 4. Скласти рівняння елементів супровідного тригранника лінії

}4;;{ 23 tttr

в точці t0 = 1.

Розв’язання. Знайдемо першу та другу похідні від вектор-функції )(trr

у

точці 10 tt .

Маємо };2;3;1{)( 2 tttr

}2;6;0{)( ttr

.

Узявши 10 tt , дістаємо

};5;1;1{)1( r

};2;3;1{)1(r

}2;6;0{)1( r

1. Знайдемо рівняння дотичної до лінії в точці 10 t .

)1()1( rrR

( див. рівняння (2.1)).

25

,31

,1

z

y

x

або 2

5

3

1

1

1

zyx

.

2. Рівняння нормальної площини

Нормальна площина в точці 10 t перпендикулярна до дотичної, а тому

коефіцієнти А, В, С в рівнянні площини відповідно пропорційні числам 1, 3, 2. 0)5(2)1(3)1(1 zyx .

Звідки 01423 zyx .

(Можна відразу скористатись рівнянням (2.8)).

3. Рівняння стичної площини

Канонічне рівняння стичної площини в точці 10 t набирає вигляду

(див. (2.6)): 0

260

231

511

ZYX

або 0)5(6)1(2)1(6 ZYX .

Звідки 01133 ZYX . (*)

4. Рівняння бінормалі

Бінормаль перпендикулярна до стичної площини, отже, її напрямний вектор

};;{ 321 bbbB

можна визначити двома способами: або rrB

, або вектор B

25

перпендикулярний до площини (*), тому його координати пропорційні

відповідним коефіцієнтам у рівнянні (*):

313

321

bbb

.

Рівняння бінормалі набирає вигляду

3

5

1

1

3

1

ZYX

.

(Визначте це рівняння, користуючись (2.4), і порівняйте з одержаним рівнянням).

5. Рівняння головної нормалі

Головна нормаль перпендикулярна до дотичної і бінормалі, а тому її

напрямний вектор ][ rBN

. Вектор N

у точці 10 tt визначається

kji

kji

tN

8911

231

313)(0 , }8,9,11{)1( N

.

Рівняння головної нормалі

8

5

9

1

11

1

ZYX

.

6. Рівняння спрямної площини

Спрямна площина 0 DCzByAx перпендикулярна до головної

нормалі, а тому А : В : С = 11 : (-9) : 8 .

Маємо в точці 10 t :

0)5(8)1(9)1(11 zyx

або 0428911 zyx . (Знайдіть за (2.12)).

Приклад 5. Знайти репер Френе лінії teztytx ,, 2 в точці

)1;0;0(0M .

Розв’язання. Знайдемо напрямні вектори дотичної, бінормалі, головної

нормалі в точці 0M , якій відповідає .0t

Запишемо рівняння лінії у векторно-параметричній формі:

kejtitr t

2 .

Напрямний вектор дотичної };2;1{ tetr

, }1;0;1{0r

.

Напрямний вектор бінормалі rrB

.

};;2;0{)( tetr

}1;2;0{0r

;

kji

kji

rrB

22

120

101000 .

Напрямний вектор головної нормалі rBN

.

26

kji

kji

rBN

4

101

212][ 000 .

Одиничний вектор дотичної: r

r

.

Одиничний вектор бінормалі: B

B

.

Одиничний вектор головної нормалі: N

N

.

2101 222 or

; 3414 oB

;

.23181161 oN

У точці М0 : };2

1;0;

2

1{0

};

3

2;3

1;3

2{0

}.23

1;23

4;23

1{0

Нехай криву задано рівняннями:

( , , ) 0,

( , , ) 0.

F x y z

x y z

(1.3)

Запишемо рівняння кривої в параметричному вигляді: ( ),x x t ( ),y y t

( ).z z t Підставимо ці функції в рівняння (1.3), дістанемо тотожності відносно t.

Про диференціюємо ці тотожності два рази по t:

' ' 'x y zF x F y F z ,

' ' 'x y zx y z . (φ)

2 2 2( ') ( ') ( ') 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' '' '' '' 0,xx yy zz xy yz zx x y zF x F y F z F x y F y z F z x F x F y F z (γ)

2 2 2( ') ( ') ( ') 2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' '' '' '' 0,xx yy zz xy yz zx x y zx y z x y y z z x x y z

Розв’язуємо рівняння (φ) відносно ', ', '.x y z Розв’язок - не єдиний, бо має два

рівняння з трьома невідомими. Тому, поклавши ' ,x де a - довільне число, а ρ

- довільний множник пропорційності, дістанемо

' ;x ' ;y b ' .z c (α)

Внесемо (a) в рівняння (γ). Матимемо знову два рівняння з трьома невідомими

'', '', ''.x y z Поклавши 2''x A , де A - довільне число, з (γ) матимемо 2''x A , 2''y B , 2''z C . (β)

Функції , , ,..., ,...x y z xxF F F F беремо в тій точці М кривої, де ми знаходимо елементи

тригранника Френе. Тому, задаючи довільно числа a, A, ми однозначно

27

знаходимо числа b, c, B, C. Параметр ρ, очевидно, не впливає на результат. Не

порушуючи загальності, можна було б покласти ρ=1.

Самостійно розв’язати завдання 4-6, 14, 23 у кожному варіанті.

3. Кривина і скрут кривої. Довжина дуги кривої.

Натуральні рівняння

Формули, необхідні при розв’язанні задач з даної теми, наведені в таблиці:

Назва

інваріантів

кривої

Інваріанти кривої залежно від форми рівняння

( )r r t

( ),x x t ( ),y y t ( )z z t

Кривина

3

' ''

'

r rk

r

(3.1)

2 2 2

3/22 2 2

' ' ' ' ' '

'' '' '' '' '' ''

' ' '

y z z x x y

y z z x x yk

x y z

(3.2)

Скрут

2

' '' '''

' ''

r r r

r r

(3.3)

2 2 2

' ' '

'' '' ''

''' ''' '''

' ' ' ' ' '

'' '' '' '' '' ''

x y z

x y z

x y z

y z z x x y

y z z x x y

(3.4)

Довжина

дуги кривої

2

1

'( )

t

t

s r t dt

(3.5) 2

1

2 2 2' ' '

t

t

s x y z dt (3.6)

Систему рівностей

( ),

( ),

k k s

s

(3.7)

які виражають кривину та скрут через довжину дуги кривої s, називають

натуральними рівняннями ліній.

Приклад 6. Знайти натуральні рівняння лінії

, ,r acht asht at

.

Розв’язання. Для знаходження натуральних рівнянь знайдемо , , ,k s за

формулами (3.1), (3.3), (3.5). Для цього обчислимо похідні:

' , , ,r asht acht a

'' , , 0 ,r acht asht

''' , , 0 ,r asht acht

2 2 2' ( ) ( )r asht acht a

Для гіперболічних функцій має місце співвідношення

28

2 2 1.ch t sh t

Тому ' 2 .r a cht

Знайдемо ' ''r r

' '' ''' :r r r

2 2 2' '' , , .

0

i j k

r r a sht acht a a sht a cht a

acht a sht

2' '' 2 ,r r a cht

3' '' ''' 0 .

0

a sht acht a

r r r acht a sht a

a sht acht

Для контролю можна скористатися означенням

' '' ''' ' '' ''' :r r r r r r

2 2 3 2 3 2 3' '' ''' ( ) ( ) 0 .r r r a sht asht acht acht a a sh t a ch t a

Тоді за формулою (3.5) знайдемо довжину дуги 1

0

2 2 ,s a cht dt a sht (α)

за формулою (3.1) кривина дорівнює

2

1,

2k

ach t (β)

за формулою (3.3) скрут визначається так:

2

1,

2ach t (γ)

З рівності (α) знаходимо

;2

ssht

a

2 22

2

2,

2

s ach t

a

(δ)

Підставивши (δ) в (β) і (γ), дістанемо натуральні рівняння кривої 2

2 2 2 2( ) , ( ) .

2 2

a ak s s

a s a s

Розв’язати самостійно №15 варіантів 1-4б 6-8б №19 (в. 5), №22 (в. 6-10).

29

4. Плоскі лінії

Лінію на площині можна задати такими рівняннями:

а) векторно-параметричним

r r t

, (4.1)

б) параметричним

,x x t

,y y t (4.2)

в) рівнянням у симетричній формі або загальним рівнянням

, 0F x y , (4.3)

г) рівнянням у несиметричній формі

y f x або x y . (4.4)

Рівняння дотичної до кривої (4.2) в точці 0 0 0;M x y , що відповідає

параметру 0t t , матимуть вигляд

0 0x x x ,0 0y y y . (4.5)

або 00 0

0

yy y x x

x

. (4.6)

Нормаль до кривої (4.2) визначається рівнянням

00 0

0

xy y x x

y

. (4.7)

Рівняння дотичної і нормалі до кривої (4.4) матимуть відповідно вигляд:

0 0 0y y f x x x , (4.8)

0 0

0

1y y x x

f x

. (4.9)

Для кривої (4.3) рівняння дотичної і нормалі мають вигляд:

0 0

0 0 0x yF x x F y y , (4.10)

0 0

0 0 0x yF y y F x x . (4.11)

Кривина кривої, заданої рівнянням (4.2), визначається формулою

3

2 2 2

x y y xk

x y

. (4.12)

Для кривої (4.4) формула (4.12) набирає вигляду

3

2 21

fk

f

.

1R

k – радіус кривини кривої.

Натуральне рівняння кривої

k k s . (4.13)

30

В явному вигляді рівняння кривої, заданої рівнянням (4.13), матимуть вигляд:

0

0 0

0 0

,

cos ,

sin ,

k s ds

x k s ds ds x

y k s ds ds y

(4.14)

– кут між дотичною до кривої і віссю OX , 0 0 0, ,x y – сталі інтегрування.

Якщо сім’ю ліній задано рівнянням

, , 0F x y C ,

то множину точок площини, координати яких задовольняють систему рівнянь

, , 0,

, , 0,C

F x y C

F x y C

(4.15)

називають дискримінантною лінією.

Якщо в точках дискримінантної лінії частинні похідні ,x yF F одночасно не

дорівнюють нулеві, то дискримінантна лінія є обвідною (обгорткою) сім’ї ліній.

Якщо дві лінії 1 і

2 , що визначаються рівняннями

1

2

: , 0,

: , ,

F x y

x x t y y t

мають спільну точку 0 0 0;M x y , якій відповідає значення параметра 0t t , і якщо

1

0 0 0 0 0... , 0k k

t t t t t , (4.16)

де ;t F x t y t , (4.17)

то в даній точці 1 має з лінією

2 дотикання (стик) k-го порядку.

Обвідна сім’ї нормалей плоскої кривої називається еволютою.

Параметричні рівняння еволюти кривої ,x x t y y t мають вигляд

2 2

2 2

,

.

x t y tX x t y t

x t y t x t y t

x t y tY y t x t

x t y t x t y t

(4.18)

Евольвента кривої – це ортогональна траєкторія сім’ї її дотичних.

Евольвенти кривої r r s

визначаються рівнянням

,R r s C s

(4.19)

де С – довільний параметр, R

– радіус-вектор довільної точки евольвенти,

– орт

дотичної до кривої r r s

.

Точка 0 0 0;M x y лінії , 0F x y називається особливою, якщо

31

0 0

0 0

0 0

, 0,

, 0,

, 0.

x

y

F x y

F x y

F x y

(4.20)

Особлива точка 0 0 0;M x y буде точкою порядку k, якщо в цій точці значення

функції і всіх її частинних похідних до (k-1)-го порядку дорівнюють нулеві, а

принаймні одна з її частинних похідних k-го порядку не дорівнює нулеві.

Кутові коефіцієнти k дотичних у подвійних особливих точках лінії

, 0F x y визначаються з рівняння: 0 0 0 22 0,xx xy yyF F k F k (4.21)

де 0 0 0, ,xx xy yyF F F – значення відповідних частинних похідних другого порядку в точці

0 0 0;M x y .

Якщо 2

0 0 0 0,xy xx yyF F F (4.22)

то точка 0 0 0;M x y – ізольована .

Коли 2

0 0 0 0,xy xx yyF F F (4.23)

то точка 0 0 0;M x y – точка самоперетину або вузлова.

При 2

0 0 0 0,xy xx yyF F F (4.24)

то точка 0 0 0;M x y – точка самодотику.

У цьому випадку може бути точка звороту першого або другого роду.

Приклад 7. Пряма OL обертається навколо точки O з сталою кутовою

швидкістю . Точка M рухається по прямій OL з швидкістю, пропорційній

відстані OM . Скласти рівняння лінії, що описується точкою M . Ця лінія

називається логарифмічною спіраллю.

Розв’язання. Введемо полярну систему координат, взявши за полюс точку O ,

а за полярну вісь OX – довільний промінь.

Нехай точка A осі OX відповідає полярному куту 0 (рис. 4). Позначимо

0OA .

За параметр природно взяти час t , який будемо відраховувати від моменту

проходження точки M через A .

З умови задачі:

,

, .

t

dmp m const

dt

32

Рис. 4

.d d

mp mdtdt

Проінтегрувавши, дістанемо:

0 00

ln

td

m dt mt

0 ,mte

t

– параметричні рівняння логарифмічної спіралі в полярних

координатах.

Якщо параметр t виключити, то матимемо t

, 0

m

e

.

Позначимо m

k , тоді 0

ke (*)

або 0

ln k

.

Останнє рівняння виражає той факт, що полярний кут пропорційний

логарифму радіус-вектора, виміряного за допомогою 0 як одиниці масштабу.

Звідси і назва – «логарифмічна спіраль».

Вперше логарифмічна спіраль згадується Декартом (1596-1650). Назву лінії

дав Варіньйон (фр.) (1654-1722).

З рівняння (*) бачимо, що при 0k точка M необмежено віддаляється від

початку координат при збільшенні : якщо то . Якщо то 0.

При 0k – навпаки: lim 0, lim .

Логарифмічна спіраль має нескінченну множину завитків як при віддалення

від полюса, так і при наближенні до нього.

Перейшовши до декартової системи координат, дістанемо параметричні

рівняння логарифмічної спіралі

33

0

0

cos ,

sin .

k

k

x e

y e

Приклад 8. Знайти рівняння трактриси – кривої, у якої в кожній точці

довжина дотичної стала, дорівнює а.

Розв’язання. Нехай M – довільна точка лінії, яка має координати ,x z .

Довжина MK дотичної до лінії дорівнює а:

.MK a Нехай дотична MK утворює з віссю OZ кут u (рис. 5). Тоді

dxtgu

dz ,

(а)

sin .MP x a u (b)

Рис. 5

З рівності (а) маємо:

dz ctgudx . (c)

З рівності (b):

cosdx a udu (d)

Підставимо(d) в (c), дістанемо 2cos

sin

a udz du

u .

Звідси: 2 2cos 1 sin 1

sin ln cos .sin sin sin 2

u u uz a du a du a du a udu a tg u C

u u u

Покладемо початкове значення .x a Значення параметра, що відповідає цій

точці, 2

u

і тоді 0C .

34

Отже, параметричні рівняння трактриси набирають вигляду:

sin ,

ln cos .2

x a u

uz a tg u

(*)

З рівнянь (*) випливає, що u може змінюватись в інтервалі0 .u Точка

Aтракт риси відповідає параметру 2

u

. В цій точці 0.A Ax z

Отже, точка A – особлива точка кривої, яка буде точкою звороту.

При 0, , 0.u z x

При , , 0.u z x

При , 0, .2

u z x a

Вісь OZ – асимптота трактриси.

Назва кривої походить від латинського слова traho – тягнути. Походження

трактриси пов’язується в історії математики з ім’ям французького лікаря Перро

(XVII ст.). Крива була досліджена Лейбніцем і Гюйсгеном.

Приклад 9. Знайти параметричні рівняння кривої, натуральне рівняння якої

має вигляд

2 2 2,R s a 1

.Rk

Розв’язання. Позначимо через кут, який дотична в довільній точці плоскої

лінії утворює з дотичною в початковій точці.

,d

kds

тобто .d kds

Звідси 0

.

s

k s ds

Із співвідношень

cos ;dx

ds sin

dy

ds

знаходимо cos ,dx ds sin .dy ds

Звідси

0

cos ,

s

x ds 0

sin .

s

y ds (4.25)

У нашому випадку

2 2

2

1,s a

k

2 2

1,k s

a s

2 2

1,

d

ds a s

2 20

1arcsin .

ss

dsaa s

35

Звідки sin ,s a cosds a d .

Формули (4.25) дають

2

0 0

0 0

cos cos 2 sin2 ,4

sin sin cos 1 cos2 .4

s a

s a

ax ds a d

ay ds a d

Отже, параметричні рівняння кривої мають вигляд

2 sin 2 ,4

1 cos2 .4

ax

ay

Приклад 10. Знайти обвідну сім’ї кривих 3( ) .y x C

Розв’язання. Рівняння (4.15) в даному випадку мають вигляд:

32

2

, , 0,

, , 3 0.C

F x y C y x C

F x y C x C

З цієї системи дістанемо параметричні рівняння дискримінантної лінії

,

0.

x C

y

Отже, дискримінантною лінією є вісь ОХ. Обчислимо частинні похідні , .x yF F

Маємо 23( ) ,xF x C 2 .yF y У точках дискримінантної кривої 0,x yF F

тобто дискримінантна крива буде геометричним місцем особливих точок (рис. 6).

Рис. 6

Приклад 11. Знайти еволюту еліпса.

Розв’язання. Параметричні рівняння еліпса мають вигляд

36

cos ,

sin ,

x a t

y b t

де ,a b – півосі еліпса.

Скористаємося рівняннями (4.18):

sin ,x a t cos ,y b t

cos ,x a t sin ,y b t 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

sin coscos cos ,

sin cos

sin cossin sin .

sin cos

a t b tX a t b t

ab t ab t

a t b tY b t a t

ab t ab t

Спростивши, матимемо: 2 2

3cos ,a b

X ta

2 23sin .

b aY t

b

Це і є параметричні рівняння еволюти еліпса. Відомо, що для еліпса 2 2 2a b c ( с – півфокусна відстань).

Отже,

23

23

cos ,

sin .

cX t

a

cY t

b

Виключивши параметр t , дістанемо загальне рівняння евольвенти еліпса: 2 2 2 2 4

3 3 3 3 3 .a x b y c (Див.рис. 7).

37

Рис. 7

Приклад 12. Скласти рівняння евольвент кола 2 2 2x y a .

Розв’язання. Запишемо параметричні рівняння кола

cos ,

sin .

x a t

y a t

Щоб використати рівняння (4.19), знайдемо ,s

:

sin ,x a t

cos ,y a t

sin ; cos ,r a t a t

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

sin cos ,

t t t t

s r t dt x t y t dt a t a tdt a dt at

;r

r

sin ;cos .t t

Якщо позначити координати вектора R

через , ,X Y то дістанемо:

cos ( )sin ,

sin ( )cos ,

X a t C at t

Y a t C at t

або

1

1

(cos ( )sin ),

(sin ( )cos ),

X a t t C t

Y a t t C t

де 1

CC

a – параметр сім’ї евольвент,

st

a (рис. 8).

38

Рис. 8

Приклад 13. Довести, що лінії

sin ,y x 4 31

6y x x x

мають у початку координат дотикання третього порядку.

Розв’язання. Запишемо рівняння першої кривої в параметричній формі

,

sin .

x t

y t

Рівняння другої лінії – в загальному вигляді

4 31, 0.

6F x y x x x y

Скористаємося умовами (4.16):

3 214 1 cos ,

2t t t t

212 sin ,t t t t

24 1 cos ,t t t

24 sin .IV t t

Початку координат відповідає параметр 0.t

Тому:

0 0, 0 0, 0 0, 0 24 0.IV

39

Звідси і випливає, що дані криві мають у початку координат дотикання

третього порядку.

Приклад 14. Знайти рівняння стичних кіл у вершинах еліпса.

Розв’язання. Стичним колом до кривої в даній точці називають коло, яке має

з даною кривою в цій точці дотикання другого порядку.

Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі:

cos ,

sin .

x a t

y b t

Вершини еліпса – це точки його перетину з осями координат:

;0 , 0; , ;0 , 0; .A a B b C a D b

Сім’я кіл площини має рівняння:

2 2 2

1 2 0.x c y c R

Складаємо функцію t (див. (4.17)):

2 2 2

1 2cos sin .t a t c b t c R

Знаходимо похідні першого і другого порядку:

1 22 cos sin 2 sin cos ,t a t c a t b t c b t

2 2 2 2

1 22 sin 2 cos cos 2 cos 2 sin ( sin ).t a t a t c a t b t b t c b t

Щоб знайти стичне коло в точці A , визначимо спочатку параметр, який

відповідає цій точці:

cos ,0.

0 sin ,

a a tt

b t

Складаємо систему рівнянь:

2 2 2

1 2

2

2

1

0 0,

0 2 0,

0 2 2 0,

a c c R

c b

a a c b

звідки 2 0,c

2 2

1 ,a b

ca

42

2.

bR

a

Отже, рівняння стичного кола в точці A :

22 2 4

2

2.

a b bx y

a a

Параметр t , що відповідає точці B , дорівнює .2

t

2 2 2

2 1

1

2

2

0,2

2 0,2

2 2 0.2

b c c R

c a

b b c a

40

Отже, 1 0,c

2 2

2 ,b a

cb

42

2.

aR

b

Стичне коло в точці B визначається рівнянням 2

2 2 42

2.

b a ax y

b b

Аналогічно знаходяться стичні кола в точках С і D. (Знайти самостійно).

Приклад 15. Знайти особливі точки кривої 2 3 2y bx ax та рівняння

дотичних у цих точках.

Розв’язання. Для знаходження особливих точок скористаємося системою

(4.20), яка для розглядуваного випадку має вигляд: 3 2 2

2

0,

3 2 0,

2 0.

x

y

bx ax y

F bx ax

F y

Розв’язавши цю систему, дістанемо: 0, 0.x y

Отже, особливою точкою даної кривої є точка 0;0 .O Для знаходження

порядку цієї точки обчислимо: 0 2 ;xxF a

0 0;xyF 0 2,yyF

2

0 0 0 4 .xy xx yyF F F a

Оскільки 0 2 0,yyF то точка О є подвійною особливою точкою.

При цьому:

1. Якщо 0a , то точка О є ізольованою (див.(4.22)).

2. Якщо 0a , то точка О є вузловою точкою (див.(4.23)).

3. Якщо 0a , то точка О є точкою звороту (див.(4.24)).

Для знаходження рівнянь дотичних кривої в особливій точці 0;0O

знайдемо їх кутові коефіцієнти з рівняння (4.21): 22 2 0,a k .k a

1. Якщо 0a , то в точці О крива дотичних не має.

2. Якщо 0a , то в точці О крива має дві дотичні .y ax

3. Якщо 0a , то в точці О крива має одну дотичну 0.y

Приклад 17. Знайти особливі точки циклоїди sin ,x a t t 1 cosy a t

та дотичні в них.

Розв’язання. Точка кривої, заданої параметричним рівнянням, є особливою,

якщо 0.x y

Коли дане рівняння записати у загальному вигляді , 0F x y і про

диференціювати, підставивши x x t , y y t , то дістали б:

0;x yF x F y

2 2

2 0.xx xy yy x yF x F x y F y F x F y

41

Так як 0,x y то матимемо

0.x yF x F y

Звідси : : ( ).y xF F x y

У нашому випадку:

1 cos 0,2 .

sin 0,

x a tt k

y a t

sin ,

cos .

x a t

y a t

2 0,

2 .

x k

y k a

0 0: 0 : ( ).y xF F a

Рівняння дотичних в особливих точках

0 0

0 0 0,x yF x x F y y

2 0 2 .a x k a x k a

Зробіть рисунок самостійно.

Для засвоєння теми «Плоскі криві» розв’яжіть самостійно: №№ 1-3, 11-23, 21

варіантів 1-10.

42

ПОВЕРХНІ В ЕВКЛІДОВОМУ ПРОСТОРІ

1. Рівняння поверхонь. Дотична площина і нормаль до поверхні

А. Параметричні рівняння поверхні

, ,

, ,

, ,

x x u v

y y u v

z z u v

(1.1)

де , ,x y z – координати довільної точки поверхні відносно деякої декартової

системи координат;

,u v – параметри, які називаються криволінійними координатами точки на

поверхні.

Б. Векторно-параметричне рівняння поверхні

, ,r r u v

(1.2)

де r

– радіус-вектор змінної точки поверхні.

В. Рівняння у зведеному або несиметричному вигляді

, .z f x y (1.3)

Це рівняння дістанемо, якщо з перших двох рівнянь (1.1) знайдемо ,u v і

підставимо їх в третє рівняння (1.1).

Г. Загальне рівняння поверхні (або рівняння в симетричному вигляді)

, , 0.F x y z (1.4)

Дотична площина у будь-якій точці визначається рівнянням:

А. Векторне рівняння

, 0,u vR r u v r r

(1.5)

де R

– радіус-вектор довільної точки дотичної площини, ,r u v

– радіус-вектор

точки дотику, u

rr

u

– частинна похідна від функції ,r u v

, яка визначає

напрямний вектор дотичної до лінії u, v

rr

v

– напрямний вектор дотичної до

лінії v.

Б. Якщо поверхня задана рівняннями (1.1), то рівняння дотичної площини в

точці ,M u v має вигляд:

, , ,

, , , 0,

, , ,

u u u

v v v

X x u v Y y u v Z z u v

x u v y u v z u v

x u v y u v z u v

(1.6)

де , ,X Y Z – координати довільної точки площини (це координати вектора R

).

В. Якщо рівняння поверхні має вигляд (1.3) або (1.4), то рівняння дотичної

площини в точці , ,M x y z запишуться відповідно так:

43

0,x yf X x f Y y Z z (1.7)

0,x y zF X x F Y y F Z z (1.8)

Нормаль до поверхні в точці M (пряма, що перпендикулярна до дотичної

площини), визначається рівняннями:

а) , ,u vR r u v r r

(1.9)

де R

– радіус-вектор довільної точки нормалі, – довільний параметр

( ( , )) .

б)

, ,

, ,

, .

u u

v v

u u

v v

u u

v v

y zX x u v

y z

z xY y u v

z x

x yZ z u v

x y

(1.10)

в)1x y

X x Y y Z z

f f

. (1.11)

г) .x y z

X x Y y Z z

F F F

(1.12)

Приклад 1. У площині XOY задана лінія ,x f u .z u

Написати параметричні рівняння поверхні, яку дістанемо при обертанні лінії

навколо осі OZ .

Розв’язання. Нехай M – довільна точка поверхні, яка утворилась при

обертанні лінії навколо осі OZ .

Позначимо її координати через , ,X Y Z . Кут повороту точки M від її

початкового положення N позначимо через (рис. 9):

1 .NO M

Тоді

3

3 3

3 3

cos ,

sin ,

.

x

x

X OM OM

Y M M OM

Z MM NN z

44

Рис. 9

Але 3 1 1 3 .OM OM O N ON x

За умовою ,x f u .z u

Таким чином, параметричні рівняння поверхні обертання мають вигляд:

cos ,

sin ,

.

X f u

Y f u

Z u

(**)

Якщо задати стале значення 0 кута , а змінювати u , то точка M опише

твірну (це повернута на кут 0 задана лінія), яку називають меридіаном.

Якщо задати стале значення 0u параметра u , а змінювати , то точка M

опише коло, що лежить у площині, паралельній XOY .

Лінії називаються паралелями. Їх рівняння легко дістати з рівнянь (**),

підставивши замість u стале значення0u :

0

0

0

cos ,

sin ,

.

X f u

Y f u

Z u

Відповідь:

45

cos ,

sin ,

.

X f u

Y f u

Z u

Приклад 2. Прямим гелікоїдом називається поверхня, утворена рухом

прямої AB , яка, перетинаючи нерухому пряму OZ (вісь гелікоїда) під прямим

кутом, обертається навколо цієї осі і в той же час зміщується вздовж неї на

відстань, пропорційну куту повороту. Знайти рівняння гелікоїда та встановити

вид координатних ліній.

Розв’язання. Віднесемо гелікоїд до прямокутної системи координат, взявши

його вісь за вісь OZ , а початкове положення твірної – за вісь OX . Позначимо

,MA u XOP (кут повороту твірної AM від початкового положення)

(рис. 10).

Рис. 10

Тоді: cos cos cos ,x OQ OP MA u

sin .y QP u

Згідно умови, шлях OA , пройдений точкою A по осі, пропорційний куту , і

ми можемо покласти ,z OA b де b – зміщення твірної при повороті її на 1

радіан.

Параметричні рівняння гелікоїда мають вигляд: cos , sin , .x u y u v z b (г)

46

Якщо задати стале значення 0 кута , а змінювати u , то точка M опише

твірну АВ, яка буде «лінією u ». Це ж дістанемо, якщо в рівняннях (г) гелікоїда

підставимо 0

0 0 0cos , sin , .x u y u z b (и)

Рівняння (и) зображають пряму, паралельну площині .XOY Якщо задати

стале значення а параметра и і змінювати , то точка M буде залишатись на

поверхні циліндра радіуса а. За умовою її зміщення вздовж осі буде пропорційне

дузі кола, описаного її проекцією на основі циліндра. Тому після розгортки

циліндра шлях M стане прямолінійним, тобто точка описує гвинтову лінію. Це

можна побачити і з рівнянь (г), які при u a набирають вигляду: cos , sin , .x y v z b

Відповідь:

cos ,

sin ,

.

x u

y u v

z b

– рівняння гелікоїда.

Координатними лініями на гелікоїді є прямі і гвинтові лінії.

Приклад 3. Знайти рівняння псевдосфери – поверхні обертання трактриси

навколо асимптоти (див. приклад 8 стор.36).

Розв’язання. Нехай M – довільна точка псевдосфери, що має координати

, , .X Y Z N – точка кривої (трактриси), з якої одержуємо M при повороті навколо

осі OZ на кут (рис. 11).

1 1 ,MO NO x 1 ,OP MO x

,MP NK Z z

cos ,X PF OP sin .Y OF x

Відповідь: параметричні рівняння псевдосфери мають вигляд:

sin cos ,

sin sin ,

ln cos2

X a u

Y a u v

uZ a tg u

(ПС)

47

Рис. 11

Приклад 4. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

2 ,x u 2 2,y u 3 3z u в точці 0(3;5;7).M

Розв’язання. Рівняння дотичної площини шукаємо, використовуючи рівняння

(1.6). Знайдемо параметри , ,u які відповідають точці 0(3;5;7).M Підставимо

координати точки в рівняння поверхні . Дістанемо систему

2 2

3 3

3 2 ,

5 ,

7 .

u

u

u

Розв’язавши її, матимемо 2, 1.u

Знаходимо частинні похідні від , , .x y z

2;

1;

u

v

x

x

2 ;

2 ;

u

v

y u

y v

2

2

3 ;

3 .

u

v

z u

z v

У точці 0(3;5;7)M ці похідні набувають значень

2,1 2;

2,1 1;

u

v

x

x

2,1 4;

2,1 2;

u

v

y

y

2,1 12;

2,1 3.

u

v

z

z

Тоді рівняння шуканої дотичної площини запишеться у вигляді

48

3 5 7

2 4 12 0

1 2 3

x y z

або 18 3 4 41 0.x y z

З цього рівняння знаходимо координати напрямного вектора нормалі до

поверхні 18;3; 4 .N

Канонічне рівняння нормалі до даної поверхні в точці 0M має вигляд

3 5 7.

18 3 4

x y z

Відповідь: 18 3 4 41 0,x y z 3 5 7

.18 3 4

x y z

Приклад 5. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 2 2 2 25x y z в точці (0;3; 4).A

Розв’язання. Рівняння дотичної площини шукаємо у вигляді (1.8).

У даній задачі 2 2 2, , 25,F x y z x y z знаходимо частинні похідні від

, ,F x y z :

2 ;xF x 2 ;yF y

2 .zF z

У точці А вони набувають таких значень

0,3, 4 0;xF 0,3, 4 6;yF

0,3, 4 8.zF

Тоді рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці записуються

відповідно так: 3 4 25 0,y z

3 4.

0 3 4

x y z

Відповідь: 3 4 25 0,y z 3 4

.0 3 4

x y z

Розв’язати самостійно № 7-8 усіх варіантів, №24 (в. 4-8, 9, 10).

2. Перша квадратична форма поверхні

Якщо поверхня задана рівнянням (1.2), то її перша квадратична форма

записується так: 2 2 2 2;dr ds Edu Fdudv Gdv

(2.1)

2 ;u u uE r r r

;u vF r r

2 .v v vG r r r

(2.2)

Знаючи коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні, можемо знайти:

а) довжину дуги кривої ,u u t :v v t

49

2

1

2 2

2 ;

t

t

du du dv dvs E F G dt

dt dt dt dt

(2.3)

б) кут між лініями на поверхні:

Нехай лінії задані рівняннями:

1

1

1

,:

,

u u t

v v t

2

2

2

,:

.

u u t

v v t

Кут між ними знаходиться за формулою:

2 2 2 2

cos ,2 2

Edu u F du v dv u Gdv v

Edu Fdudv Gdv E u F u v G v

(2.4)

де ,du dv – диференціали функцій, що задають криву 1 ; ,u v – диференціали

функцій, що задають криву 2 .

в) площу області D: 2 .

D

EG F dudv (2.5)

Приклад 6. Дана поверхня 2 2,x u v 2 2,y u v .z uv

1) Знайти першу квадратичну форму цієї поверхні;

2) обчислити довжину дуги лінії ,v au обмеженої точками перетину цієї

лінії з лініями 1, 2.u v

Запишемо рівняння даної поверхні у векторно-параметричній формі.

Маємо

2 2 2 2 .r u v i u v j uv k

Звідси

2 ;2 ; ,ur u u v

2 ; 2 ; .vr v v u

Коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні обчислимо за формулами

(2.2). Дістанемо 2 2 28 ;uE r u v

;F uv 2 28 .G v u

Тоді

2 2 2 2 2 2 2 28 2 8 .dr ds u v du uvdudv v u dv

Рівняння лінії v=au на поверхні в параметричній формі має вигляд ,u u

v au

(за параметр tвзято u).

Скориставшись формулою (2.3), знайдемо

2

1

2 2

2 2 2 28 2 8 ,

u

u

du du dv dvs u v uv v u du

du du du du

1 1;u 2 2;u .dv adu

50

2

2 22 2 2

1

8 2 8 ,s u au u au a au u a du

2 2

2 4 2 4 2 4

1 1

2 2 2 2 2 2 3 2 2 .s a a udu a a udu a a

Відповідь: 2 2 2 2 2 2 28 2 8 ,ds u v du uvdudv v u dv 2 43 2 2 .s a a

Приклад 7. На гелікоїді (див. приклад 2 стор. 48) cos , sin ,x u v y u v z bv

знайти площу чотирикутника, обмеженого кривими 0, , 0, 1.u u b v v

Розв’язання. 1. Знаходимо коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні

гелікоїда:

, cos ; sin ; ,r u v u v u v bv

, cos ; sin ; 0 ,ur u v v v

, sin ; cos ; ,vr u v u v u v b

2 2 2cos sin 1,uE r v v

0,u vF r r

2 2 2 2 2 2 2 2sin cos .vG r u v u v b u b

2. Для знаходження площі чотирикутника на гелікоїді скористаємося

формулою (2.5) 1

2 2 2 2 2 2

0 0 0

.

b b

D

u b dudv u b du dv u b du

Обчислимо 2 2

0

b

u b du , використовуючи інтегрування частинами.

.ydx yx xdy

2 2y u b 2 2

;udu

dyu b

dx du ;x u 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

u du u b bu b du u u b u u b du

u b u b

2 2 2 2 2

2 2.

duu u b u b du b

u b

Звідси

2 2 2 2 2 2 21ln .

2u b du u u b b u u b C

Відповідь:

2

2 2

0

2 ln 1 2 .2

bb

u b du

Приклад 8. Знайти кут між лініями 2 , 2v u v u на поверхні, що має першу

квадратичну форму 2 2 2.ds du dv

51

Розв’язання. Використаємо формулу (2.4).

З рівнянь ліній маємо: 2 ,dv du 2 .v u

З першої квадратичної форми 1; 0; 1.E F G

2 2 2 2

2 ( 2 ) 3cos cos ;

5(2 ) ( 2 )

du u du u

du du u u

3cos .

5arc

Відповідь: 3

cos .5

arc

Приклад 9. Знайти рівняння ліній на сфері

cos sin ,x a u v sin sin ,y a u v cos ,z a v які ділять навпіл кути між

паралелями і меридіанами.

Розв’язання. Меридіани і паралелі на заданій сфері визначаються відповідно

рівняннями u const і v const , тобто вони є координатними лініями сфери.

Меридіани і паралелі взаємно перпендикулярні, а тому шукані лінії утворюють з

ними кути 45 (135 )o o . Отже, 2

cos .2

Нехай перша лінія є лінія u . Тоді v const , тобто 0,dv 0.du Позначимо

через ,u v диференціали криволінійних координат вздовж шуканих ліній.

Скористаємося формулою (2.4).

Знайдемо спочатку коефіцієнти першої квадратичної форми.

sin sin ; cos sin ;0 ,ur a u v a u v

cos cos ; sin cos ; sin ,vr a u v a u v a v

2 2 2 2 2 2 2 2 2sin sin cos sin sin ,uE r a u v a u v a v

0,u vF r r

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin cos sin .vG r a u v a u v a v a

Маємо: 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 sin,

2 sin sin

a vdu u

a vdu a v u a v

звідси

2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 22 sin sin 4 sin ,a vdu a v u a v a vdu u

2 2 2sin ,v v u 2

2

2,

sin

vu

v

.sin

vu

v

Тоді

52

ln .sin 2

v vu tg C

v

Відповідь: ln .2

vu tg C

Розв’язати самостійно № 9, 10, 16 кожного варіанту, № 24 (в. 1-3, 7).

3. Друга квадратична форма поверхні. Кривина кривої на поверхні.

Нормальна кривина. Головні кривини

Другою квадратичною формою поверхні називають диференціальну форму 2 2 22 ,d r n Ldu Mdudv Ndv

(3.1)

де

2

2

2

,

,

,

uu u v

uu

uv u v

uv

vv u v

vv

r r rL nr

EG F

r r rM nr

EG F

r r rN nr

EG F

(3.2)

n

– одиничний вектор нормалі до поверхні.

Нормальною кривиноюnk в точці M лінії на поверхні називають проекцію

вектора кривини kv

на одиничний вектор нормалі до поверхні в цій точці. 2 2

2 2

2cos ,

2n

Ldu Mdudv Ndvk k

Edu Fdudv Gdv

(3.3)

, .v n

Якщо від деякої точки M поверхні відкласти на дотичній до кривої, що

проходить через цю точку, відрізок, довжина якого дорівнює 1

,nk

то дістанемо

лінію, яка називається індикатрисою Дюпена.

Рівняння індикатриси Дюпена відносно декартової системи координат має

вигляд

2 221.

L M Nx xy y

E GEG (3.4а)

Головні напрями на поверхні в точці визначаються рівнянням

0.Ldu Mdv Mdu Ndv

Edu Fdv Fdu Gdv

(3.4)

53

Головними кривинами1 2,k k називають нормальні кривини, що відповідають

головним напрямам на поверхні. (Головні кривини – екстремальні значення

нормальних кривин).

Вони визначаються з рівняння:

2 2 22 0.n nEG F k EN LG FM k LN M (3.5)

Повна (або гаусова) кривина K поверхні в точці визначається за формулою 2

1 2 2.

LN MK k k

EG F

(3.6)

Середня (або ейлерова) кривина Н поверхні визначається за формулою

1 2

2

2.

2 2

k k EN LG FMH

EG F

(3.7)

Геодезичною кривиною gk кривої на поверхні називають величину проекції

вектора кривини kv

на дотичну площину до поверхні в цій точці.

Геодезична кривина знаходиться за формулою

2 ,g

dv duk EG F A B

ds ds

(3.8)

де 2 2 2

1 1 1

11 12 22 2

2 2 22 2 2

11 12 22 2

2 ,

2 ,

du du dv dv d uA Г Г Г

ds ds ds ds ds

du du dv dv d vB Г Г Г

ds ds ds ds ds

, , 1,2k

ijГ i j k – символи Кристофеля ІІ роду.

Геодезичну кривину gk кривої

,:

u u t

v v t

на поверхні ,r r u v

можна знайти за формулою

22 21 1 1

11 12 2232 2 2

2

2

g

EG Fk u v v u Г u Г u v Г v v

E u Fu v G v

2 22 2 2

11 12 222 .Г u Г u v Г v u

(3.9)

Приклад 10. Знайти другу квадратичну форму псевдосфери (див. приклад 3,

стор. 49) sin cos , sin sin ,

ln cos2

x a u y a u v

uz a tg u

(ПС)

Розв’язання. Векторне рівняння поверхні має вигляд

54

sin cos sin sin ln cos .2

ur a u i a u v j a tg u k

Знайдемо перші й другі частинні похідні функції r

.

cos cos ; cos sin ; sin ,sin

u

ar a u v a u v a u

u

sin sin ; sin cos ; 0 ,vr a u v a u v

2

cossin cos ; sin sin ; cos ,

sinuu

a ur a u v a u v a u

u

cos sin ; cos cos ; 0 ,uvr a u v a u v

sin cos ; sin sin ; 0 .vvr a u v a u v

Коефіцієнти першої квадратичної форми набирають значення

2 2

2

2

cos;

sinu

a uE r

u

0;u vF r r

2

2 2sin .vG r a u

Скористаємося формулами (3.2):

2

3 2

cossin cos sin sin cos

sin

coscos cos cos sin sin ;

sin sin

sin sin sin cos 0

uu u v

a ua u v a u v a u

u

a a ur r r a u v a u v a u

u u

a u v a u v

3 2

cos sin cos cos 0

cos cos cos sin sin cos sin ;sin

sin sin sin cos 0

uv u v

a u v a u v

ar r r a u v a u v a u a u u

u

a u v a u v

3 2

sin cos sin sin 0

cos cos cos sin sin cos sin .sin

sin sin sin cos 0

vv u v

a u v a u v

ar r r a u v a u v a u a u u

u

a u v a u v

2

cos;

sin

uu u vr r r a uL

uEG F

2

0;uv u vr r r

MEG F

2

cos sin .vv u vr r r

N a u uEG F

Друга квадратична форма псевдосфери:

2 2 2coscos sin .

sin

a ud r n du a u udv

u

Відповідь:

2 2 2coscos sin .

sin

a ud r n du a u udv

u

Приклад 11. Знайти нормальні кривини поверхні

55

2

, ,2

ur u v

а) у довільній точці;

б) у точках лінії, яку дістанемо при перерізі поверхні площиною z c , в

напрямі дотичної до цієї лінії.

Розв’язання. а) використаємо формулу (3.3). Знайдемо спочатку коефіцієнти

першої та другої квадратичних форм:

1; ;0 ;ur u

0;0;1 .vr

0;1;0 ;uur

0;0;0 ;uvr

0;0;0 .vvr

Тоді 1 ;E u 0;F 1;G

2

1;

1L

u

0;M 0.N

2 2

2 2 2 2 2 2.

1 1n

Ldu duk

Edu Gdv u u du dv

б) лінія, яку дістанемо при перерізі поверхні площиною z c , в

криволінійних координатах визначається рівнянням

v c ,

а напрям дотичної до цієї лінії характеризується рівністю 0, 0.dv du

Підставивши v c , 0dv в праву частину рівності , дістанемо

3

2 2

1.

1nk

u

Відповідь:

а)

2 2

2 2 2 2 2 2;

1 1n

Ldu duk

Edu Gdv u u du dv

б)

3

2 2

1.

1nk

u

Приклад 12. Знайти головні кривини поверхні 2 2

2 2

x yz

p q у точці 0;0;0O

та її повну кривину в цій точці.

Розв’язання. параметричні рівняння поверхні мають вигляд 2 2

, ,2 2

x yx x y y z

p q .

Головні кривини знайдемо, використовуючи формулу (3.5):

56

1;0; ;x

xr

p

0;1; ;y

yr

q

10;0; ;xxr

p

0;0;0 ;xyr

1

0;0; ;yyrq

2

2

21 ;x

xE r

p

;x y

xyF r r

pq

22

21 ;y

yG r

q

2 2

2 2

1;

1

Lx y

pp q

0;M 2 2

2 2

1.

1

Lx y

qp q

У точці 0;0;0O :

1;E 0;F 1;G

1;L

p

0;M 1

.Nq

Рівняння (3.5) набирає вигляду:

2 1 1 10,k k

p q pq

1 2

1 1, .k k

p q

Повну кривину поверхні знайдемо за формулою (3.6):

1 2

1.K k k

pq

Відповідь: 1 2

1 1, ;k k

p q

1.K

pq

Приклад 13. Показати, що псевдосфера є поверхня постійної від’ємної

кривини.

Розв’язання. Для доведення потрібно показати, що в кожній точці

псевдосфери повна кривина 0K і .K const

Скористаємося формулою (3.6).

У прикладі 10 знайдені коефіцієнти першої і другої квадратичних форм.

Підставимо їх значення в формулу (3.6) і виконаємо перетворення.

Дістанемо:

2

1,K

a .a const

Отже, псевдосфера є поверхня постійної від’ємної кривини.

Розв’язати самостійно завдання №№ 10, 17 кожного варіанту, №30

(в.1,5,6,8,9), №№ 25, 27 (в. 3, 7).

57

4. Лінії на поверхні. Класифікація точок на поверхні

Спряженими напрямами на поверхні в даній точці M називають напрями

:du dv і :u v , які спряжені відносно індикатриси Дюпена, побудованій у точці M .

Вони визначаються з рівняння

0.Ldu u M du v dv u Ndv v (4.1)

Сітка ліній на поверхні називається спряженою, якщо дотичні до ліній цієї

сітки в точках їх перетину мають спряжені напрями. Лінії на поверхні, дотичні до

яких у кожній точці мають головні напрями, називають лініями кривини.

Диференціальне рівняння ліній кривини має вигляд (3.4) або 2 2

0.

dv dudv du

E F G

L M N

(4.2)

Асимптотичними напрямами поверхні в точці M називаються асимптотичні

напрями індикатриси Дюпена в цій точці.

Вони визначаються з рівняння 2 22 0.Ldu Mdudv Ndv (4.3)

Лінії на поверхні, дотичні до яких у кожній точці мають асимптотичний

напрям, називаються асимптотичними лініями.

Рівняння (4.3) є диференціальним рівнянням асимптотичних ліній.

Геодезичною лінією на поверхні називається така лінія поверхні, геодезична

кривина якої в кожній точці дорівнює нулю.

Диференціальні рівняння геодезичної лінії ( ), ( )u u s v v s можна записати у

вигляді: 2 2 2

1 1 1

11 12 22 2

2 2 22 2 2

11 12 22 2

2 0,

2 0,

du du dv dv d uГ Г Г

ds ds ds ds ds

du du dv dv d vГ Г Г

ds ds ds ds ds

(4.4)

де k

ijГ - символи Кристофеля ІІ роду (див. (3.10)).

Якщо лінію задати рівнянням ( )v v u , то диференціальне рівняння для

визначення геодезичної лінії має вигляд

3 21 2 1 2 1 2

22 22 12 12 11 112 2 0.v Г v Г Г v Г Г v Г (4.5)

Точка на поверхні називається еліптичною, якщо в цій точці

0K або 2 0LN M (4.6)

(індикатриса Дюпена буде еліпсом).

Точка гіперболічна, якщо 2 0LN M ( 0)K (4.7)

(індикатриса Дюпена - гіпербола).

Точка параболічна, якщо 2 0LN M ( 0)K (4.8)

(індикатриса Дюпена – пара паралельних прямих).

58

Точка поверхні називається омбілічною(кульовою або точкою округлення,

якщо в цій точці мають місце рівності

.L M N

E F G (4.9)

Приклад 14. Знайти геодезичну кривину лінії 2v u на поверхні 2

; ; .2

ur u v

Розв’язання. Знайдемо коефіцієнти першої квадратичної форми та їх похідні

1; ;0 ;ur u

0;0;1 .vr

21 ;E u 0;F 1.G

2 ;uE u 0;vE 0;u vF F 0.u vG G 2 21 .EG F u

Скористаємося формулами (3.10)

1

11 2;

1

uГ

u

2

11 0;Г

1

12 0;Г 2

12 0;Г 1

22 0;Г 2

22 0.Г

Рівняння лінії 2v u запишемо в параметричній формі:

2

,

.

u t

v t

Тоді 1;u 2 ;v t 0;u 2.v

Підставимо і у формулу (3.9).

Дістанемо 2

3 22 2 2

12 2 .

1((1 ) 4 )

g

t tk t

tt t

Відповідь:

3

2 2 2

2.

1 1 5

gk

u u

Приклад 15. Еліптичний параболоїд 2 2

2x y

za b

перетнутий площинами x y C , де С - довільна стала. Знати сім’ю ліній, які

утворюють з цими перерізами спряжену сітку.

Розв’язання. Векторно-параметричне рівняння даної поверхні має вигляд 2 2

; ; .2 2

u vr u v

a b

Обчислимо коефіцієнти другої квадратичної форми:

2

;uu u vr r r

LEG F

2;

uv u vr r rM

EG F

2;

vv u vr r rN

EG F

1;0; ,u

ur

a

0;1; ,v

vr

b

10;0; ,uur

a

59

0;0;0 ,uvr 1

0;0; .vvrb

10 0

11 0 ;

0 1

uu u v

a

ur r r

a a

v

b

0;uv u vr r r

10 0

11 0 .

0 1

vv u v

b

ur r r

a b

v

b

Рівняння (4.1) набирає тепер вигляду: 1 1

0.du u dv va b

(х)

Задані перерізи в криволінійних координатах визначаються рівнянням

,u v C звідки .du dv

Тоді x матиме вигляд:

1 10u v

a b

або 0.b u a v

Проінтегрувавши, дістанемо 1.bu av C

Відповідь: 1.bx ay C

Приклад 16. На гелікоїді cos ; sin ;x u v y u v z av знайти:

1) сітку асимптотичних ліній;

2) сітку ліній кривини;

3) довести, що лінії кривини в кожній точці ділять пополам кути між

асимптотичними лініями.

Розв’язання. Знайдемо спочатку коефіцієнти другої квадратичної форми

гелікоїда:

cos ; sin ; ;r u v u v av

cos ;sin ;0 ,ur v v

sin ; cos ; ,vr u v u v a

0;0;0 ,uur

sin ;cos ;0 ;uvr v v

cos ; sin ;0 ,vvr u v u v

2 1;uE r

0;u vF r r

2 2 2.vG r u a

0;L

sin cos 0

cos sin 0 ;

sin cos

uv u v

v v

r r r v v a

u v u v a

cos sin 0

cos sin 0 0.

sin cos

vv u v

u v u v

r r r v v

u v u v a

2 2;

aM

u a

0.N

1) Рівняння (4.3) набирає вигляду:

2 20,

adudv

u a

звідки 0du або 0.dv

60

Тобто асимптотичні лінії: , .u const v const

При 0u u маємо: 0 0cos ; sin ; ,x u v y u v z av а це рівняння гвинтової лінії.

При 0v v дістанемо: 0 0 0cos ; sin ;x u v y u v z av - це пряма, твірна гелікоїда.

Асимптотичні лінії на гелікоїді є координатними лініями, тому вони

ортогональні 0 .F

2) Лінії кривини визначаються рівнянням (4.2), яке в даній задачі

набирає вигляду:

2 2

2 2

2 2

1 0 0;

0 0

dv dudv du

u a

a

a u

22

2 2;

dudv

u a

2 2.

dudv

u a

Проінтегрувавши, матимемо рівняння ліній кривини: 2 2ln .v u u a C

3) Покажемо, що лінії кривини утворюють з координатними лініями кут

45 135 . Скористаємося формулою (2.4).

Нехай перша лінія – це лінія кривини 2 2

.du

dvu a

Друга лінія – координатна лінія : 0.u v

2 2 2 2 2

1cos ;

2

udu

du u a dv u

45 135 .

Приклад 17. Знайти геодезичні лінії на прямому круговому циліндрі.

Розв’язання. Загальне рівняння кругового циліндра можна записати у вигляді 2 2 2 0.x y R

Параметризуємо це рівняння

cos ,

sin ,

.

x R u

y R u

z v

Символи Кристофеля, а потім скористаємося рівнянням (4.5): sin ,ux R u cos ,uy R u 0,uz

0,vx 0,vy 0,vz 2;E R 0;F 1,G

0;u vE E 0;u vF F 0.u vG G

Тоді з рівностей (4.6) випливає, що

0k

ijГ , , 1,2.i j k

Рівняння (4.5) в цьому випадку матиме вигляд: 0.v

Звідси 1; .v C v Cu C

61

Лінії

1

cos ,

sin ,

x R u

y R u

z Cu C

на циліндрі є гвинтові лінії.

Отже, геодезичними лініями на круговому циліндрі є гвинтові лінії.

Приклад 18. Знайти еліптичні, гіперболічні і параболічні точки на торі.

Розв’язання. Тор – поверхня утворена обертанням кола, навколо осі, що не

перетинає це коло.

Нехай центр 1O кола, що лежить у площині ZOX , має координати ,0 .a Радіус

кола ;R a R (рис. 12). Параметричні рівняння кола мають вигляд cos ,

sin .

x a R u

y R u

Рис. 12

Нехай це коло обертається навколо осі OZ . Рівняння поверхні обертання

(тора) матимуть вигляд:

cos cos ,

cos sin ,

sin ,

X a R u v

Y a R u v

Z R u

0 2 ;u 0 2 .v

Знайдемо коефіцієнти другої квадратичної форми: cos sin ;ux R v u sin sin ;uy R v u cos ;uz R u

cos sin ;vx a R u v cos cos ;vy a R u v

0;vz

cos cos ;uux R v u cos sin ;uuy R v u sin ;uuz R u

sin cos ;uvx R u v cos sin ;uvy R v u 0;uvz

cos cos ;vvx a R u v

cos sin ;vvy R v u 0;vvz

2

1 cos ;uu u vr r r R a R u

2 0;uv u vr r r

2

3 cos cos .vv u vr r r R u a R u

62

1 ;Lg

2 ;M

g

3 ,N

g

де 2.g EG F

332

2 1 3 2cos cos

;R a R u u

LN Mg g

а) 2 0;LN M 33 cos cos 0;R a R u u

cos 0;a R u cos 0 .2

u u

Лінії u const є паралелі поверхні обертання.

Якщо вісь тора вертикальна (вісь OZ ), то найвища і найнижча паралелі тора

складаються з параболічних точок.

б) 2 0 cos 0 .2 2

LN M u u

Вся зовнішня частина тора складається з еліптичних точок.

в) 2 30 cos 0 .

2 2LN M u u

Вся внутрішня частина тора складається з гіперболічних точок.

Паралелі з параболічних точок відділяють гіперболічні точки від еліптичних

(рис. 13).

Рис. 13

Завдання №№18, 25-28 розв’язати самостійно.

63

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

Варіант №1

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах 4?

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 2 4 3y x x в точці A з

абсцисою -1.

3. Знайти особливі точки лінії 2 2 22 0x y x ay (циссоїда Дюклеса).

4. Написати рівняння дотичної і нормалі площини лінії 2 2 2

2 2

9,

3

x y z

x y

в точці 2;1;2 .M

5. Скласти рівняння стичної площини лінії 3 2, , 4x t y t z t в точці 0 1.t

6. Скласти рівняння бінормалі лінії 3 2, , 4x t y t z t в точці 0 1.t

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії ,x u 0,y 2z u

навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 3 3z x y в

точці 1;2;9 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 24 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos cos ,x R u v

cos sin ,y R u v sin .z R u

11. В якій точці дотична до параболи 2y x утворює з віссю OX кут в 45 ?

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 2 2 2.x c y a

13. Скласти рівняння еволюти лінії cos , sin .x a t y b t

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії ,x t 2 ,y t tz e при 0.t

15. Чи рівні кривина і скрут лінії , , ?x acht y a sht z at

16. На поверхні з першою квадратичною формою 2 2 2 2ds du sh udv знайти

довжину дуги лінії u v між точками 1 1 1 2 2 2; , ; .M u v M u v

17. Знайти головні кривини прямого гелікоїда cos , sin , .x u v y u v z av

18. Знайти лінії кривини поверхні 2 2 2 2, , .x u v y u v z v

19. Знайти стичну площину лінії 2

2

2 ,

2 .

x az

y bz

20. Знайти кут між поверхнями 2 2 2 2 2 2, .x y z ax x y z by

21. Знайти стичне коло гіперболи 1,xy радіус якого має мінімальне значення.

22. Знайти, при яких a і b скрут лінії , ,x acht y asht z bt в усіх точках

дорівнює її кривині.

23. Знайти репер Френе лінії 22, ln ,x y t z t

t в точці 2;0; 1 .A

24. Знайти ортогональні траєкторії сімей ліній u v const , які лежать на сфері cos cos , cos sin , sin .x R u v y R u v z R u

64

25. Знайти кут між головними напрямами прямого гелікоїда cos ,x u v sin ,y u v z av і напрямом його твірної.

26. Знайти точки округлення (омбілічні) поверхні cos cos ,x a u v cos sin ,y a u v sin .z c u

27. Знайти кут між координатними лініями 0 0,x x y y на поверхні .z axy

28. Знайти символи Кристофеля другого роду для поверхні з метричною

формою 2 2 2.ds du Gdv

29. В яких точках дотична до лінії 3 2 33 , 3 3x t t y t z t t паралельна до

площини 3 2 0?x y z

30. Знайти повну кривину сфери.

Варіант №2

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах ?3

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 3y x в точці A з абсцисою 0.

3. Знайти особливі точки лінії 22 2 2 2 0x y y a l y (конхоїда Нікомеда).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2 2

2 2

2,x y z

x y x

в

точці 1;0;1 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії 22, ln ,x y t z t

t в точці

2;0; 1 .A

6. Скласти рівняння бінормалі лінії 22, ln ,x y t z t

t в точці 2;0; 1 .A

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням ліні ,x u 2 ,y u 0z

навколо осі .OX

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 2 2 2 169x y z

в точці 4;3;12 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 24 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos cos ,x a u v cos sin ,y a u v sin .z c u

11. Знайти дотичну до параболи 2y x паралельну прямій 4 5.y x

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 2 2 2.x c y c c

13. Скласти рівняння еволюти лінії , .x acht y bsht

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

,x t2 ,y t

3z t при 1.t

15. Чи рівні кривина і скрут лінії 3 2 33 , 3 , 3 ?x t t y t z t t

65

16. Знайти кут між лініями 2 , 2v u v u на поверхні, що має першу

квадратичну форму 2 2 2.ds du dv

17. Обчислити головні кривини поверхні z xy в точці 1;1;1M .

18. Знайти асимптотичні лінії катеноїда cos , sin , .x chu v y chu v z u

19. Знайти кривину лінії 2

2

2 ,

2 .

x az

y bz

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні .z axy

21. Знайти стичне коло лінії siny x , в точці ;1 .2

A

22. Знайти точки на лінії 3 3cos , sin , cos2x t y t z t в точці 1;0;0 .A

23. Знайти репер Френе лінії cos , sin , 2t tx e t y e t z t в точці 1;0;0 .A

24. Знайти рівняння ліній на прямому гелікоїді cos , sin ,x u v y u v z av , які

ділять пополам кути між координатними лініями.

25.Знайти кривину нормального перерізу поверхні 21

2y x в точці 2;2;4M в

напрямі дотичної до лінії 2 21, .

2y x z x

26. Знайти точки округлення (омбілічні) поверхні (параболоїда обертання)

21cos , .

2x u v y x

27. Знайти еліптичні, гіперболічні і параболічні точки на торі.

28. Знайти символи Кристофеля гелікоїда cos , sin , .x u v y u v z hv

29. Знайти лінію, яка одержиться в перетині дотичних до кривої

,x t23 ,y t

3z t з площиною .XOY

30. Знайти гаус сову кривину псевдосфери.

Варіант №3

1. Яка лінія задана рівнянням в полярних координатах ?cos

a

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії y tgx в точці A з абсцисою .4

3. Знайти особливі точки лінії 2

2 2 2 2 22x y a x y (лемніската Бернуллі).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2

2 2

1,

1

x y

x z

в точці

1;0;1 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії

sin ,x a t t 1 cos ,y a t 4 sin2

tz a в точці 0;0;0 .

6. Скласти рівняння бінормалі лінії sin ,x a t t 1 cos ,y a t 4 sin2

tz a .

66

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

, 0,x achu y z bshu навколо осі .OX

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

sin cos ,x a u v sin sin , ln cos .2

uy a u v z a tg u

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 24 2 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos ,x a shu v sin ,y a shu v .z cchu

11. У рівнянні параболи 2y x bx c сталі b і c визначити так, щоб парабола

дотикалась до прямої 3 5y x в точці з абсцисою 2.x

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 3.y x C

13. Скласти рівняння еволюти лінії ln .y x

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії 2

, ln ,x y tt

2z t в точці 2;0; 1 .A

15. При яких a і b скрут лінії , ,x acht y a sht z bt в усіх точках дорівнює її

кривині?

16. Знайти кут між лініями 0, 0u v u v на прямому гелікоїді

cos ,x u v sin , .y u v z av

17. Обчислити головні кривини поверхні 2 2 2 2, ,x u v y u v z uv в точці

1; 1 .P u v

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні cos , sin , 6ln .x u v y u v z u

19. Знайти кривину лінії 2

2

2 ,

2 .

x z

y z

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 1.xyz

21. Знайти стичне коло лінії 2 2

2 21

x y

a b

в точці 0; .B b

22. Скласти натуральні рівняння лінії , , .x acht y a sht z at

23. Знайти репер Френе лінії cos , sin ,x a t y a t z bt в точці ;0;0 .A a

24. Знайти площу чотирикутника на прямому гелікоїді

cos , sin ,x u v y u v ,z av обмеженого лініями 0, , 0, 1.u u a v v

25. Дана поверхня 2 292 .

2z x y Обчислити в початку координат радіус

кривини нормального перерізу, дотична до якого утворює кут 45 з віссю .OX

26. Знайти точки округлення (омбілічні) трьохосного еліпсоїда.

27. Знайти середню кривину кругового циліндра радіуса .a

28. Знайти геодезичну кривину плоскої лінії.

29. Знайти геометричне місце точок перетину дотичних до лінії

cos , sin , tx a t y a t z be з площиною .XOY

30. Яка сітка асимптотичних ліній на мінімальній поверхні?

67

Варіант №4

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах ?sin

b

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 2 32 , 1x t t y t в точці 1 .A t

3. Знайти особливі точки лінії 2

2 2 2 2 22 4x y ax a x y (кардіоїда).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2

2 2

10,

25

x y

y z

в

точці 1;3;4 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії , ,x acht y a sht z at в точці

;0;0 .A a

6. Скласти рівняння бінормалі лінії , ,x acht y a sht z at в точці ;0;0 .A a

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

,x achu 0,y z bshu навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні cos ,x u v sin , .y u v z av

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 24 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні

cos , sin ,x u v y u v 2.z u

11. У рівнянні параболи 2y ax bx c сталі , ,a b c визначити так, щоб

парабола дотикалась до прямої 4 1y x в точці з абсцисою 1x і проходила через

точку 0;1 .A

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 32 0.y x C

13. Скласти рівняння еволюти лінії sin .y x

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

,x acht ,y asht z at в точці ;0;0 .A a

15. Знайти точки лінії 3 3cos , sin , cos2 ,x t y t z t в яких кривина має

мінімальне значення.

16. На поверхні з першою квадратичною формою 2 2 2 2 2ds du u a dv

обчислити довжини дуг ліній 2 2lnv u u a C між точками

1 1 1; ,M u v 2 2 2; .M u v

17. Знайти головні кривини поверхні 2 2

2 2

x yz

p q в точці 0;0;0 .O

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні 2 23 3 , 3 3 ,x u v y u v 3 32 2 .z u v

19. Знайти довжину замкнутої лінії 3 3cos , sin , cos2 .x t y t z t

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні .z xy

21. Знайти координати центра і радіус стичного кола лінії 2 2 .y px

68

22. Визначити, при якому h гвинтова лінія cos , sin ,x a t y a t z ht має

найбільший скрут.

23. Знайти репер Френе лінії 2 3, ,x t y t z t в точці 2;4;8 .A

24. До поверхні 1xyz провести дотичну площину, паралельну до площини

3 0.x y z

25. Дослідити характер точок на поверхні, утвореної обертанням лінії siny x

навколо осі .OX

26. Знайти точки округлення (омбілічні) поверхні 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c (двопорожнинний гіперболоїд).

27. Знайти нормальну кривину параболоїда 2 2z ax by в точці 0;0;0P у

напрямі 1

.2

dx

dy

28. Знайти геодезичну кривину гвинтових ліній u const , які лежать на

прямому гелікоїді cos , sin , .x u v y u v z av

29. Скласти рівняння стичної площини лінії перетину сфери 2 2 2 9x y z і

гіперболічного циліндра 2 2 3x y в точці 2;1;2 .M

30. Знайти лінії кривини довільної поверхні обертання.

Варіант №5

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах 16

?5 3cos

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії ,x acht y bsht в точці A , що

відповідає 0.t

3. Знайти особливі точки лінії 3 3cos , sinx a t y a t (астроїда).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2 2

2 2

3,

3 2

x y z

x y

в точці 1;1;1 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії cos , sin ,x a t y a t z bt в точці

;0;0 .A a

6. Скласти рівняння бінормалі лінії cos , sin ,x a t y a t z bt в точці ;0;0 .A a

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

,u

x acha

0,y z u навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 2 2 2

2 2 21.

x y z

a b c

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 22 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos , sin ,x R v y R v .z u

69

11. Написати рівняння дотичної і нормалі до лінії 3 23 1y x x в точці її

перетину з параболою 23 .y x

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 23 0.y x C

13. Скласти рівняння еволюти лінії , .2 2

y tgx x

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

cos ,x a t sin , ty a t z e в точці ;0;1 .A a

15. В яких точках радіус кривини лінії sin , 1 cosx a t t y a t досягає

локального мінімуму?

16. Знайти кут між лініями 1, 3v u v u на поверхні

cos , sin ,x u v y u v 2.z u

17. Знайти повну кривину параболоїда 2 2

2 .x y

zp q

18. Знайти лінії кривини прямого гелікоїда cos , sin , .x u v y u v z av

19. Знайти кривину лінії 2

2

,

.

y x

x z

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 2 2.z x y

21. Знайти стичне коло параболи 2

2 1y x в її вершині.

22. На кривій xy e знайти точки, де кривина набирає екстремального

значення.

23. Знайти репер Френе лінії 2, , tx t y t z e в точці 0;0;1 .M

24. Обчислити об’єм тетраедра, який утворює дотична площина до поверхні 3xyz a в довільній точці з площинами координат.

25. Дослідити характер точок на поверхні, утвореної обертанням лінії lny x

навколо осі .OX

26. Знайти лінії, спряжені сім’ї ліній ,u v c на гелікоїді

cos , sin ,x u v y u v .z u v

27. Знайти рівняння ліній кривини поверхні .z xy

28. Знайти геодезичні лінії на прямому круговому циліндрі.

29. Написати векторне рівняння лінії, що описується точками перетину

дотичних до лінії r r s

з площиною .XOY

30. Знайти середню кривину катеноїда cos , sin , .x chu v y chu v z u

70

Варіант №6

1. Яка ліній задана рівнянням у полярних координатах 16

.3 5cos

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 2 4 2 31 1 1 1,

2 4 2 3x t t y t t в точці

0 .A t

3. Знайти особливі точки лінії sin , 1 cosx a t t y a t (циклоїда).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2

2

2 ,

2

x y

z y

в точці

2;2;2 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії cos , sin , tx a t y a t z e в точці

;0;1 .A a

6. Скласти рівняння бінормалі лінії cos , sin , tx a t y a t z e в точці ;0;1 .A a

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

0, ,x y u z ku навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 2, 2 ,x u y u v

3 3z u uv в точці 1;3;4 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 26 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos , sin ,x u v y u v .z ku

11. Знайти рівняння дотичних до лінії 2

1

1y

x

в точках її перетину з

гіперболою 1

.1

yx

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 2 3

3 2 0.y C x C

13. Скласти рівняння евольвенти лінії 2 2 2.x y a

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

cos ,tx e t sin , 2ty e t z t в точці 1;0;0 .A

15. Чи плоска лінія 2

1 1, , ?

1 1 1

t tx y z

t t t

16. Знайти кут між лініями 2 2

1 2, lnu C u u a v C на поверхні з першою

квадратичною формою 2 2 2 2 2.ds du u a dv

17. Обчислити повну кривину поверхні z xy в точці 0;0;0 .O

18. Знайти лінії кривини поверхні 2 2 2 21 13 , 3 2

3 3x u v u y v u v z uv

, які

проходять через точку 0, 0 .M u v

71

19. Знайти криву перетину радіуса R і кругового циліндра діаметра R , одна з

твірних якого проходить через центр сфери (крива Вівіані).

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 2 2.z x y

21. Знайти стичне коло гіперболи 2 2 2,x y яке має найменший радіус.

22. Скласти натуральні рівняння лінії cos , sin ,x a t y a t x ht .

23. Знайти репер Френе лінії cos , sin , tx a t y b t x e в точці ;0;1 .A a

24. Знайти суму квадратів відрізків, які відтинає на осях координат дотична

площина в довільній точці поверхні 2 2 2 2

3 3 3 3 .x y z a

25. Дослідити характер точок на поверхні, утвореної обертанням лінії siny x

навколо осі .OX

26. Скласти диференціальне рівняння сім’ї ліній на поверхні, які утворюють

спряжену сітку з сім’єю координатних ліній .u const

27. Чи справедлива рівність 2H K для точок заокруглення?

28. Знайти геодезичні лінії площини.

29. Написати векторне рівняння лінії, що описується точками перетину

головних нормалей лінії r r s

з площиною .XOY

30. Знайти середню кривину гелікоїда cos , sin , .x u v y u v z av

Варіант №7

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах 2 cos ?a

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до ліній siny x в точці A з абсцисою

.2

x

3. Знайти особливі точки лінії 222a x y x x a (строфоїда).

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2 2

2

1,

2 0

x y z

y x z

в

точці 1;1;1 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії cos , sin , 2t tx e t y e t z t в точці

1;0;0 .A

6. Скласти рівняння бінормалі лінії cos , sin , 2t tx e t y e t z t в точці 1;0;0 .A

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

0, ,x y u z ku навколо осі .OY

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні 2 2 22 3 4 0x y z в точці 3;1; 1 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 24 6 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos ,x achu v sin , .y achu v z cshu

72

11. В якій точці дотична до параболи 2 6 5y x x перпендикулярна до прямої

2 8 0.x y

12. Знайти обвідну сім’ї ліній cos cos 0.x C y C p

13. Скласти рівняння еволюти лінії 2.y x

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії 3, ,x t y t

2 4z t в точці 1.t

15. Чи рівні кривина і скрут лінії cos , sin , ?x a t y a t z at

16. На поверхні 2 2 2 2, ,x u v y u v z uv обчислити довжину дуги лінії

v au між точками перетину з лініями 1, 2.u u

17. Обчислити головні кривини поверхні 2 2

2x y

zp q в точці 0;0;0 .M

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні 6

cos , sin , .x u v y u v zu

19. Знайти стичну площину лінії 2

2

2 ,

2

x z

y z

в точці 2;2;1 .A

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні , .z f x y

21. Знайти стичне коло лінії 2 2

2 21

x y

a b в точці ;0 .A a

22. В яких точках радіус кривини лінії

sin , 1 cos , 4 cos2

tx a t t y a t z a досягає локального мінімуму?

23. Знайти репер Френе лінії , ,x acht y asht z at в точці ;0;0 .A a

24. Знайти рівняння ліній на сфері cos sin , sin sin , cos ,x a u v y a u v z a v які

ділять кути між паралелями і меридіанами пополам.

25. На поверхні 2 2 2 2, ,x u v y u v z uv обчислити кривину нормального

перерізу, що проходить через дотичну до лінії 2.v u

26. Знайти точки округлення (омбілічні) поверхні 2 2

2x y

zp q (еліптичний

параболоїд).

27. Знайти множину параболічних точок поверхні 3 3, , .x u v y uv z u v

28. Знайти геодезичну кривину лінії 2v u на поверхні 2 2

, , .u

r u v

29. Знайти сферичну індикатрису дотичних гвинтової лінії cos , sin ,x a t y a t .z bt

30. Знайти повну кривину прямого гелікоїда cos , sin , .x u v y u v z av На яких

лініях кривина стала?

73

Варіант №8

1. Яка лінія задана рівнянням в полярних координатах 2

.1 cos

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії cos , sinx a t y b t в точці

0 .A t

3. Знайти особливі точки ліні 2 3 2.y x x

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2

2 2 2

,

1

xy z

x y z

в

точці 1;1;1 .A

5. Скласти рівняння стичної площини лінії 2 3, ,x t y t z t в точці 2;4;8 .A

6. Скласти рівняння бінормалі лінії 2 3, ,x t y t z t в точці 2;4;8 .A

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

cos ,x a b u 0, siny z b u b a навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

,x u v ,y u v z uv в точці 1;3;4 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 26 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні cos , sin ,x u v y u v .z av

11. В яких точка з однією і тією ж абсцисою дотичні до ліній 2 3,y x y x паралельні?

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 21 2 0.С x Cy a

13. Знайти еволюту лінії 1.xy

14. Знайти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

sin ,x a t t 1 cos , 4 sin2

ty a t z a в точці 1;0;0 .A

15. Обчислити кривину і скрут лінії 3 3cos ,sin , cos2 .r t t z t

16. Знайти кут між лініями 1 2, ln2

vu C u tg C на поверхні з першою

квадратичною формою 2 2 2 2 2 2sin .ds a vdu a dv

17. Обчислити повну кривину поверхні 3 3, ,x u v y uv z u v в точці

1, 1 .P u v

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні

2 2 2 21 13 , 3 ,

3 3x u v u y v u v

2 ,z uv які проходять через точку 0 0; 0 .M u v

19. Осі двох кругових циліндрів a і b перетинаються під прямим кутом.

Записати рівняння лінії перетину циліндрів (біциліндрика).

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 2 292 .

2z x y

74

21. Знайти координати центра і радіус стичного кола гіперболи 4xy в точці

2;2 .A

22. Скласти натуральні рівняння лінії , , 2.t tx e y e z t

23. Знайти репер Френе лінії 3 2, , 4x t y t z t в точці 0 1.t

24. Знайти точки тора cos cos , cos sin , sin ,x R r u v y R r u v z r u в яких

нормаль паралельна вектору ; ; .a l m n

25. Дослідити характер точок на поверхні, утвореної обертанням лінії

lny x навколо осі .OY

26. Скласти диференціальне рівняння сім’ї ліній на поверхні, які утворюють

спряжену сітку з сім’єю координатних ліній .v const

27. Знайти кут між координатними лініями 0 0,x x y y на поверхні .z xy

28. Знайти диференціальне рівняння геодезичних ліній на гелікоїді cos ,x u v sin , .y u v z av

29. Написати векторне рівняння лінії, що описується точками перетину

бінормалей лінії r r s

з площиною .XOY

30. Якщо для поверхні 0H , то вона або площина або поверхня від’ємної

кривини. Довести.

Варіант №9

1. Яка лінія задана рівняння у полярних координатах 2 2cos2 ?a

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 3 3 3 0x y axy в точці

3 3; .

2 2

a aA

3. Знайти особливі точки лінії 2 2 4.x y x

4. Написати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2 2 2

2 2 2

1,

1.

x y z

x y z

5. Скласти рівняння стичної площини лінії 2, , tx t y t z e в точці 0;0;1 .A

6. Скласти рівняння бінормалі лінії 2, , tx t y t z e в точці 0;0;1 .A

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

cos ,x a u sin ,y b u 0z навколо осі .OX

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

2 ,x u v 2 2 3 3,y u v z u v в точці 3;5;7 .M

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 22 4 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні

cos cos ,x a b u v cos sin , sin .y a b u v z b u

11. Знайти дотичні до лінії 2 31, 1,x t y t паралельні прямій 2 3 0?x y

12. Знайти обвідну сім’ї ліній 2 0.C x a Cy a

13. Скласти рівняння еволюти лінії cos , sin .x t y t

75

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

3cos ,x t 3sin , cos2y t z t в точці 0 .2

t

15. Обчислити кривину і скрут лінії 22 ,ln ,r t t t

в довільній точці.

16. Знайти довжину дуги лінії 2u v між точками 1 1 1 2 2 2; , ;P u v P u v на поверхні

з першою квадратичною формою 2 2 2 21.

4ds du sh udv

17. Дана поверхня 2 292 .

2z x y Записати рівняння індикатриси Дюпена в

початку координат.

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні 1 cos , 1 sin , .r u v u v u

19. Скласти рівняння стичної площини лінії перетину сфери 2 2 2 9x y z гіперболічного циліндра 2 2 3x y у точці 2;1;2 .M

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 2 2 1.x y

21. Знайти радіус кривини параболи 2

2

xy

p в точці 1;2 .A

22. Чи буде плоскою лінія 2

2

2 ,?

2

x az

y bz

23. Знайти репер Френе лінії 2 2cos , sin , sin 2x t y t z t в точці 0 0.t

24. Написати рівняння дотичної площини до поверхні,

2 3cos cos ,x u v 2 3cos sin , 3sin ,y u v z u яка паралельна до площини

5 0.x y z

25. Який характер точок на поверхні cos cos , cos sin , sin ?x a u v y b u v z c u

26. Еліптичний параболоїд 2 2

2 22

x yz

a b перетнуто площинами ,x y C де C

довільна стала. Знайти сім’ю ліній, які утворюють з цими перерізами спряжену

сітку.

27. Знайти нормальну кривину параболоїда 2 2z x y в точці 0;0;0O в

напрямі 1

.2

dy

dx

28. Знайти геодезичну кривину лінії ,u u t v v t на поверхні , .r r u v

29. На кривій ,sin ,sin3r x x x

знайти точки спрямлення.

30. Знайти середню кривину поверхні , .z f x y

76

Варіант №10

1. Яка лінія задана рівнянням у полярних координатах sin ?b

2. Знайти рівняння дотичної і нормалі до лінії 2 2

2 21

x y

a b в точці A з абсцисою

0.

3. Знайти особливі точки лінії 2 3 2.y x x

4. Записати рівняння дотичної і нормальної площини лінії 2

2

,x y

x z

в точці

1;1;1 .M

5. Скласти рівняння стичної площини лінії 3 3cos , sin , cos2x t y t z t в точці

0 .2

t

6. Скласти рівняння бінормалі лінії 3 3cos , sin , cos2x t y t z t в точці 0 .2

t

7. Написати рівняння поверхні, утвореної обертанням лінії

cos , 0,x a u y sinz c u навколо осі .OZ

8. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні

cos ,x u v sin ,y u v z u в точці 2, .4

M u v

9. Чи може слугувати першою квадратичною формою деякої поверхні така

квадратична форма 2 2 28 2 ?ds du dudv dv

10. Знайти першу і другу квадратичні форми поверхні

cos ,u

x ach va

sin , .u

y ach v z ua

11. Знайти дотичні до ліній 3 2, ,x t y t які проходять через точку 7; 1 .M

12. Знайти обвідну сім’ї прямих, які утворюють з осями координат

трикутники сталої площі .S

13. Знайти еволюту лінії 2cos , sin .x t y t

14. Скласти рівняння головної нормалі і спрямної площини лінії

cos ,x a t sin ,y a t z bt в точці ;0;0 .A a

15. Обчислити кривину і скрут лінії , , 2t tr e e t

в довільній точці.

16. На поверхні cos , sin ,x u v y u v z hv знайти довжину лінії u a між

точками 1 1 1 2 2 2, , , .P u v P u v

17. Знайти середню кривину поверхні 2 2 3 32 , ,x u v y u v z u v в точці

0, 1 .M u v

18. Знайти асимптотичні лінії поверхні 2.z xy

19. Написати параметричні рівняння гвинтової лінії, взявши за параметр

довжину дуги.

20. Знайти першу квадратичну форму поверхні 2 2 1.x y

77

21. Знайти стичне коло параболи 2

8 2 7

5 5 5y x

в точці 1;2 .A

22. Чи буде плоскою лінія 2

2

2 ,?

2

x z

y z

23. Знайти репер Френе лінії 2, , tx t y t z e в точці 0 1.t

24. Знайти дотичні площини поверхні 4 32 ,z x xy перпендикулярні до

вектора 2;6;1 .a

25. Який характер точок на поверхні cos , sin , ?x achu v y achu v z cshu

26. У точці 1;1;1M поверхні 1xyz знайти напрям, спряжений з напрямом .v const

27. Знайти кут між координатними лініями 0 0,x x y y на поверхні .z xy

28. Знайти диференціальне рівняння геодезичних ліній на гелікоїді cos , sin , .x u v y u v z av

29. Написати векторне рівняння лінії, що описується точками перетину

бінормалей лінії r r s

з площиною .XOY

30. Якою може бути мінімальна поверхня?

78

Література

1. Борисенко О.А. Диференціальна геометрія і топологія. - Х.: Основа, 1995.-

304 с.

2. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. - М.; Л.: Гос. изд-во техн.-

теор. лит., 1949.- 512 с.

3. Глейзер Г.И. История математики в средней школе. - М: Просвещение,

1983. - 352 с.

4. Кованцов М.І. Диференціальна геометрія. - К.: Вища шк.., 1973. - 276 с.

5. Кованцов Н.И., Зражевская Г.М., Кочаровский В.Г., Михайловский В.И.

Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сборник задач. - К.:

Вища шк.,1989.

6. Мищенко А.С., Фоменко Ф.Т. Курс дифференциальной геометри и

топологи. - М.: Изд-во МГУ, 1980. - 439 с.

7. Погорелов А.В. Дифференцильная геометрия . - М.: Наука, 1974. - 176 с.

8. Позняк Э. Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во

МГУ, 1990. - 384 с.

9. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гос. техн. изд-

во, 1956. - 420 с.

10. Савелов А.А. Плоские кривые. - М.: Гос. изд-вофиз.-мат. лит., 1960. -

296 с.

11. Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометри / Под ред..

Ф.С. Феденко. - М.: Наука, 1979. - 279 с.

79

Зміст

Передмова ...............................................................................................................3

Вступ .......................................................................................................................4

Программа з диференціальної геометрії .................................................................7

Літератур .................................................................................................................9

Теми практичних занять ......................................................................................10

Контрольні запитання і вправи ........................................................................12

Методичні вказівки до розв’язування задач диференціальної геометрії

Лінії в евклідовому просторі ...................................................................................19

1. Рівняння лінії ....................................................................................................19

2. Елементи тригранника Френе та їх рівняння .................................................22

3. Кривина і скрут кривої. Довжина дуги кривої. Натуральні рівняння ........27

4. Плоскі лінії ........................................................................................................29

Поверхні в евклідовому просторі ............................................................................42

1. Рівняння поверхонь. Дотична площина і нормаль до поверхні ...................42

2. Перша квадратична форма поверхні ..............................................................48

3. Друга квадратична форма поверхні. Кривина кривої на поверхні.

Нормальна кривина. Головні кривини ...............................................................52

4. Лінії на поверхні. Класифікація точок на поверхні ......................................57

Варіанти завдань .......................................................................................................63

Варіант №1 ............................................................................................................63

Варіант №2 ............................................................................................................64

Варіант №3 ............................................................................................................65

Варіант №4 ............................................................................................................67

Варіант №5 ............................................................................................................68

Варіант №6 ............................................................................................................70

Варіант №7 ............................................................................................................71

Варіант №8 ............................................................................................................73

Варіант №9 ............................................................................................................74

Варіант №10 ..........................................................................................................76

Література .............................................................................................................78