Συστήματα Αναφοράς στη ... · • Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4R E ⇒ T ≈ 12h • LAGEOS: r ≈ 0.2R E ⇒ T ≈ 3.5h 12/54. Νόμοι του Kepler GNSS

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΑΤΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ & ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Τομέας Γεωδαισίας-Φωτογραμμετρίας-Χαρτογραφίας

Συστήματα Αναφοράς και ΧρόνουΗ’ Εξάμηνο

Συστήματα Αναφοράς

στη Δορυφορική Γεωδαισία

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Γ. ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥΔρ. Αγρονόμος & Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π.

https://demanasta.github.io/

[email protected]

WEB class, 26 Μάη 2020


mailto:[email protected]

Νόμοι του Kepler GNSS orbits

Δομή μαθήματος

Οι νομοι του Kepler και η ελλειπτική τροχιά των δορυφόρων

Οι τροχιές των δορυφόρων στα συστήματα GNSS

2 / 54


Οι νομοι του Kepler και η ελλειπτική τροχιά των

δορυφόρων

3 / 54


Οι νόμοι του Kepler

Από την Νευτώνεια θεωρεία

’Ενα κεντρικό πεδίο δυνάμεων δημιουργείται:

• από ένα υλικό σημείο, ομογενή σφαίρα, ή

• από μία σφαίρα με ομογενείς στιβάδες

(η πυκνότητα συνάρτηση της απόστασης από το κέντρο της σφαίρας)

Η δύναμη ανά μονάδα μάζας

f = −GMr3 x

M : μάζα της γης

m : μάζα δορυφόρου

G : παγκόσμια σταθερά έλξης

x : διάνυσμα θέσης δορυφόρου

r =|x| ακτινική απόσταση

δορυφόρου

F = fm = GMmr2 (−x

r )⇒ (−x

r ) μοναδιαίο διάνυσμα από το

δορυφόρο προς το κέντρο της γης

4 / 54



Από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης:

F = fm = GMmr2 (−x

r ) = −GMmr3 x

Από τις εξισώσεις κίνησης (2ος νόμος Νεύτωνα):

d2xdt2 = 1

mF = f = −GMr3 x

F : ελκτική δύναμη πλανήτη

f : ελκτική δύναμη πλανήτη

ανά μονάδα μάζας

M : μάζα ήλιου

m : μάζα πλανήτη

r : απόσταση ήλιου-πλανήτη

− xr : μοναδιαίο διάνυσμα

πλανήτη-ήλιου

Με την επίλυση των διαφορικών ξισώσεων

d2xdt2 = f = −GM

r3 x ⇒⇒ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLER

5 / 54



1ος Νόμος του Kepler

Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες

της.


Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει

ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα


Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι

ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής τους γύρω από

τον ήλιο.

6 / 54


1ος νόμος του Kepler


Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες

της.

7 / 54



στη δορυφορική γεωδαισία


Η τροχιά κάθε δορυφόρου είναι μία έλλειψη με τη γη σε μία από τις εστίες

της.

8 / 54




Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει

ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα

dS1dt = 1

2r21

df1dt = dS2

dt = 12r2

2df2dt

df1dt = r2

2r2

1

df2dt

dS = 12(rdf)r = 1

2r2df

9 / 54





Το ευθύγραμμο τμήμα από την γη προς τον δορυφόρο διαγράφει ίσες

επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα

dS1dt = 1

2r21

df1dt = dS2

dt = 12r2

2df2dt

df1dt = r2

2r2

1

df2dt

dS = 12(rdf)r = 1

2r2df

10 / 54




Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι


τον ήλιο.

T21

T22

= r31

r32

⇔ T2 = 4π2

GMr3 ήr3

T2 = G4π2 M

Πλανήτης Περίοδος (y) Μέση Απόσταση (au) 𝐓2𝐫3 (s2/au3)

Earth 1.00 1.00 1.00

Mars 1.88 1.52 1.01

1au=1.495 978 707×1011 m

11 / 54





Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των δορυφόρων είναι


τη γη.

T21

T22

= r31

r32

⇔ T2 = 4π2

GMr3 ήr3

T2 = G4π2 M

• Γεωστατικοί δορυφόροι: r ≈ 7RE ⇒ T ≈ 24h• Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4RE ⇒ T ≈ 12h• LAGEOS: r ≈ 0.2RE ⇒ T ≈ 3.5h

12 / 54


Κεπλέρια στοιχεία τροχιών

𝐚: Μεγάλος ημιάξονας της ελλειπτικής τροχιάς

𝐞: Εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς

𝐢: Κλίση της τροχιάς ως προς

τον ισημερινό

13 / 54



Ω: Ορθή αναφορά του Ανιόντος Δεσμού

• Ανοδικό Ισημερινό Σημείο

Το σημείο του ισημερινού επιπέδου

όπου ο δορυφόρος περνά κινούμενος

από νότο προς βορρά.

• Καθοδικό Ισημερινό Σημείο



από βορρά προς νότο.

• Ευθεία των συνδέσμων

Η ευθεία που ορίζεται από τον

ανιόντα και κατιόντα σύνδεσμο και

είναι η τομή του επιπέδου της

τροχιάς με το ισημερινό επίπεδο.

• 0∘ ⩽ Ω ⩽ 360∘

14 / 54



Ω: Ορθή αναφορά του Ανιόντος Δεσμού

• Ανοδικό Ισημερινό Σημείο



από νότο προς βορρά.

• Καθοδικό Ισημερινό Σημείο



από βορρά προς νότο.

• Ευθεία των συνδέσμων

Η ευθεία που ορίζεται από τον

ανιόντα και κατιόντα σύνδεσμο και

είναι η τομή του επιπέδου της

τροχιάς με το ισημερινό επίπεδο.

• 0∘ ⩽ Ω ⩽ 360∘

14 / 54



ω: Όρισμα του Περίγειου

• Η γωνία υπολογίζεται στο επίπεδο

της τροχιάς και προς την

κατεύθυνση της κίνησης.

• Για γωνία ω = 0∘ το περίγειο

βρίσκεται στην ίδια θέση με το

ανοδικό ισημερινό σημείο.

• Για γωνία ω = 180∘ το απόγειο

βρίσκεται στην ίδια θέση με το

ανοδικό ισημερινό σημείο.

• Ευθεία των αψίδων

Η ευθεία που ορίζεται από το

περίγειο και το απόγειο.

15 / 54



v: Αληθής Ανωμαλία

• Αληθής Ανωμαλία (f ή v)Η θέση του δορυφόρου στην τροχιά

ως προς το περίγειο.

• Η Αληθής Ανωμαλία εκφράζεται

εναλλακτικά από:

- την Μέση Ανωμαλία

- τη Έκκεντρη Ανωμαλία

16 / 54



Μ0: Μέση Ανωμαλία

• Έστω ότι ο δορυφόρος κινείται με

σταθερή ταχύτητα n σε μία κυκλική

τροχιά με εμβαδό ίσο μ’ αυτό της

πραγματικής ελλειπτικής τροχιάς

• Μέση Ανωμαλία

είναι γωνία κατά την οποία θα είχε

κινηθεί ο δορυφόρος από της στιγμή

της τελευταίας διέλευσης από το

περίγειο.

0∘ ⩽ M0 ⩽ 360∘

M(t) = n(t − tp) = 1πT (t − tp)

17 / 54



Μ0: Μέση Ανωμαλία

• Έστω ότι ο δορυφόρος κινείται με

σταθερή ταχύτητα n σε μία κυκλική

τροχιά με εμβαδό ίσο μ’ αυτό της

πραγματικής ελλειπτικής τροχιάς

• Μέση Ανωμαλία

είναι γωνία κατά την οποία θα είχε

κινηθεί ο δορυφόρος από της στιγμή

της τελευταίας διέλευσης από το

περίγειο.

0∘ ⩽ M0 ⩽ 360∘

M(t) = n(t − tp) = 1πT (t − tp)

17 / 54



E: Έκκεντρη Ανωμαλία

• Βοηθητική γωνία.

• Καθορίζεται φέρνοντας μια κάθετη

γραμμή από τον μεγάλο άξονα της

ελλειψης μέσω του σημείου S και

τον εντοπισμό της τομής S′ με τον

βοηθτικό κύκλο ακτίνας α.• Συνδέεται με την Μέση Ανωμαλία

μέσω της εξίσωσης του Kepler

Εξίσωση Kepler

M = E − e ⋅ sinE

18 / 54



E: Έκκεντρη Ανωμαλία

• Βοηθητική γωνία.

• Καθορίζεται φέρνοντας μια κάθετη

γραμμή από τον μεγάλο άξονα της

ελλειψης μέσω του σημείου S και

τον εντοπισμό της τομής S′ με τον

βοηθτικό κύκλο ακτίνας α.• Συνδέεται με την Μέση Ανωμαλία

μέσω της εξίσωσης του Kepler

Εξίσωση Kepler

M = E − e ⋅ sinE

18 / 54



v: Αληθής Ανωμαλία

• Είναι η πραγματική γωνία που

διέγραψε ο δορυφόρος από την

τελευταία του διέλευση από το

περίγειο.

• Ισούται με τη μέση ανωμαλία μόνο

κατά το περίγειο και το απόγειο.

• Συνδέεται με την έκκεντρη ανωμαλία

με τη σχέση

tanv2 = √1 − e

1 + etanE2

19 / 54



Συνοπτικά

Σχήμα της ελλειπτικής τροχιάς

α : Μεγάλος ημιάξονας

e : εκκεντρότητα

Προσανατολισμός της έλλειψης

i : Κλίση προς το ισημερινό

επίπεδο

Ω : Ορθή αναφορά ανιόντος δεσμού

ω : Όρισμα του περίγειου

Θέση του δορυφόρου στην τροχιά

v : Αληθής ανωμαλία

20 / 54


Τροχιακή θέση και ταχύτητα - Διάνυσμα κατάσταση

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

Ωωiaev

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦T0

≡

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

XYZXYZ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦T0

⇒

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

XYZXYZ

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ti

• Οι συντεταγμένες του δορυφόρου υπολογίζονται το τροχιακό επίπεδο

ως συνάρτηση του χρόνου.

• Θα πρέπει να μετασχηματιστούν στο επίγειο σύστημα αναφοράς για

τη γεωαναφορά των παρατηρήσεων των επίγειων δεκτών.

ΤΡΟΧΙΑΚΟ ⇒ ΟΥΡΑΝΙΟ ⇒ ΕΠΙΓΕΙΟ

21 / 54


Η κίνηση στο επίπεδο της τροχιάς

q1 : άξονας στο επίπεδο της τροχιάς

στην κατεύθυνση του περίγειου

q2 : άξονας στο επίπεδο της

τροχιάς κάθετος στον q1q3 : άξονας κάθετος στο επίπεδο

της τροχιάς

𝐪 = R ⎡⎢⎣

cosvsinv

0⎤⎥⎦

= ⎡⎢⎣

a cosE − ea √(1 − e2) sinE

0⎤⎥⎦

22 / 54


Θέση στο Ουράνιο Σύστημα Αναφοράς

𝐱CRS = R2(−Ω)R1(−i)R3(−ω)𝐪23 / 54


Θέση στο Επίγειο Σύστημα Αναφοράς

𝐱TRS = R3(GAST)𝐱CRS

𝐱TRS = R3(GAST − Ω)R1(−i)R3(−ω)𝐪

• GAST − Ω = Lεπίγειο μήκος του

συνδέσμου ανάβασης

• ω + v = uόρισμα του πλάτους

24 / 54


Διαταρακτικές δυνάμεις

Βασικές ελκτικές δυνάμεις

Fc : Έλξη του κεντρικού πεδίου

βαρύτητας της γης

Fnc : Παρέλξεις βαρύτητας

Fm, Fs : Έλξεις βαρύτητας σελήνης, ήλιου

Fr : Δύναμη ηλιακή ακτινοβολίας

Άλλες δυνάμεις

Fa : Ατμοσφαιρική τριβή

• Παλιρροιακές δυνάμεις

• Μαγνητικές δυνάμεις

25 / 54


Παρέλξεις βαρύτητας

Μέθοδος των παρέλξεων

Επειδή η διαφορά της πραγματικής γης από μία σφαίρα δεν είναι πολύ μεγάλη, η τροχιά τωνδορυφόρων μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια μιάς κεπλέριας τροχιάς στην οποίαεπιφέρουμε μικρές μεταβολές, που προέρχονται από την απόκλιση του πραγματικού πεδίουβαρύτητας της γης από το πεδίο βαρύτητας μιάς σφαίρας.

Το δυναμικό έλξης της γης στη μορφή σειράς σφαιρικών αρμονικών:

−V = GMr [1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(a⨁r )

nJnmPnm(cosm(λ − λnm)]

−V = GMr [1 +

∞∑n=2

n∑m=0

(a⨁r )

nPnm(sinϕ)(Cnmcosmλ − Snmsinmλ)]

GMr : αντιστοιχεί στο δυναμικό της γης

J20: οφείλεται στην επιπλάτυνση (της τάξης 103(1.08263 ⋅ 103))26 / 54



Επίδραση στο επίπεδο της τροχιάς

Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γης τοεπίπεδο της τροχιάς στρέφεται γύρω απότον άξονα Ζ με γωνιακή ταχύτητα πουδίνεται απο τη σχέση:

Ω = −32J20 ⋅ n (a

p)2

cosi + ...

όπου p = a(1 − e2)

Επομένως:

Ω = Ω0 + Ω(T − T0)

μερικές μοίρες τη μέρα

27 / 54



Επίδραση στη γραμμή των αψίδων

Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γης ηευθεία των αψίδων στρέφεται γύρω απότο κέντρο της γης με γωνιακή ταχύτητα:

ω = −32J20 ⋅ n (a

p)2

(2 − 52sin2i) + ...

Επομένως:

ω = ω0 + ω(T − T0)

28 / 54



Επίδραση στη σχέση a3n2

Εξ αιτίας της επιπλάτυνσης της γηςμεταβάλλεται η σχέση που συνδέει τα aκαι n:

a3n2 = GM [1 − 32J20 (a

p)2

(1 − 32sin2i)

√1 − e2 + ...]

29 / 54


Πλανητικές επιδράσεις

Άμεση επίδραση

• Η βαρυτική έλξη της Σελήνης είναι η

σημαντικότερη πλανητική επίδραση.

• Η επίδραση του Ήλιου είναι

περίπου το μισό της επίδρασης της

Σελήνης

Έμμεση επίδραση

• Οι παλίρροιες από τον Ήλιο και την

Σελήνη προκαλούν μεταβολές στη

γήινη βαρύτητα

⇒ παρέλξεις στους δορυφόρους

30 / 54


Επίδραση της ηλιακή ακτινοβολίας και της ατμόσφαιρας

Ηλιακή ακτινοβολία

Η δύναμη Fr εξαρτάται από τη θέση του

δορυφόρου, εντός ή εκτός της σκιάς της

γης, τη μάζα, την επιφάνεια και την

γήινη αντανάκλαση της ακτινοβολίας.

GNSS satellites: Fr ≈ 2 − 10 m

Ατμόσφαιρα

Η ασκούμενη δύναμη Fa εξαρτάται από

την ατμοσφαιρική πυκνότητα, τη μάζα

και την ταχύτητας του δορυφόρου.

GNSS satellites: Fa ≈ 0

31 / 54


Οι τροχιές των δορυφόρων στα συστήματα GNSS

32 / 54


Τροχιακά επίπεδα των συστημάτων GNSS

GPS GLONASS GALILEO

Ελάχιστοι δορυφόροι 24 24 30

Τροχιακά επίπεδα 6 3 3

Κλίση Τροχιάς 55∘ 64∘ 8’ 56∘

Υψόμετρο Τροχιάς 20 180 km 19 140 km 23 222 km

Περίοδος περιστροφής 11h 58m 11h 15m 14h 22m

DATUM WGS84 PZ-90.11 GTRF

Satellite constellation map - ESRI

33 / 54

https://maps.esri.com/rc/sat2/index.html


Η τροχιά των δορυφόρων GPS - εφημερίδες

• Τα δεδομένα των τροχιών των δορυφόρων περιέχονται στο

εκπεμπόμενο από τους δορυφόρους μήνυμα ναυσιπλοΐας.

• Τα δεδομένα περιέχουν πληροφορίες:

• για τη λειτουργία του δορυφόρου (health status)

• πληροφορία χρόνου από τον κώδικα C/A στο P.

• παραμέτρους για τις διορθώσεις χρονομέτρου

• τα τροχιακά στοιχεία του δορυφόρου

• διορθώσεις για την καθυστέρηση του σήματος λόγω ιονόσφαιρας

• Κάθε δορυφόρος εκπέμπει ένα μήνυμα κάθε 30 s.

• Οι εφημερίδες των δορυφόρων προσδιορίζονται από το τμήμα ελέγχου

στο έδαφος.

• Οι τροχιές υπολογίζονται και προεκτείνονται στο μέλλον και

φορτώνονται στη μνήμη των δορυφόρων κάθε 26 ώρες.

34 / 54


Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας I

Παράμετροι χρόνου

toe : Χρόνος αναφοράς εφημερίδας(s)

toc : Χρόνος αναφοράς χρονομέτρων(s)

IODE : Εποχή αναφοράς των δεδομένων της εφημερίδας

a : Πολυονυμικοί συντελεστές διόρθωσης των χρονομέτρων (a0: bias(s),a1: drift(a/a), a3: drift rate (s/s2))

Κεπλέρια στοιχεία√Α : Τετραγωνική ρίζα του μεγάλου ημιάξονα (m1/2)

e : Εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς

i0 : Κλίση στο χρόνο αναφοράς (rad)

35 / 54


Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας II

Ω0 : Ορθή αναφορά ανιόντος δεσμού στο χρόνο αναφοράς (rad)

ω0 : Στοιχείο περιγείου (rad)

M0 : Mέση ανωμαλία στο χρόνο αναφοράς (rad)

Παράμετροι παρέλξεων

Δn : Αλλαγή στη μέση κίνηση του δορυφόρου από την υπολογισμένη τιμή

Ω : Γωνιακή ταχύτητα μετατόπισης του ανιόντος δεσμού

i : Γωνιακή ταχύτητα μεταβολής της κλίσης

36 / 54


Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας III

cuc : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) του εφαπτομενικού όρου της

τροχιάς (rad)

cus : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) του εφαπτομενικού όρου της

τροχιάς (rad)

crc : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) του ακτινικού όρου της

τροχιάς (m)

crs : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) του ακτινικού όρου της

τροχιάς (m)

cic : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (cos) της κλίσης της τροχιάς (rad)

cis : Πλάτος αρμονικής διόρθωσης στο (sin) της κλίσης της τροχιάς (rad)

37 / 54


Παράμετροι εκπεμπόμενης εφημερίδας

38 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου I

Στο σύστημα Αναφοράς WGS84

Σταθερές

• Παγκόσμια σταθερά του πεδίου βαρύτητας στο WGS84

GM = 3.986004418 ⋅ 1014 m3/s2

• Ταχύτητα περιστροφής της γης στο WGS84

Ωe = 7.2921151467 ⋅ 10−5 rad/s

Διαδικασία Υπολογισμού

1. Μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς A = (√

A)2

2. Χρόνος απο την εποχή αναφοράς της εφημερίδας

tk = t − toe → tk > 302400 s ⇒ tk = tk − 604800 stk < −302400 s ⇒ tk = tk + 604800 s

39 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου II


3. Υπολογισμένη μέση κίνηση του δορυφόρου

n0 = √GMA3

4. Διορθωμένη μέση κίνηση

n = n0 + Δn

5. Μέση Ανωμαλία

Mk = M0 + n ⋅ tk

6. έκκεντρη ανωμαλία (λύνεται με επαναλήψεις)

Ek = Mk + e ⋅ sinEk όπου E0 = Mk

40 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου III


7. Αληθής Ανωμαλία

cosvk = cosEk − e1 − e ⋅ cosEk

sinvk =√

1 − e2sinEk1 − e ⋅ cosEk

vk = tan−1 ( sinvkcosvk

)

8. Στοιχείο (γωνία) του πλάτους

Φk = vk + ω

9. Διόρθωση στο στοιχείο του πλάτους (λόγω παρέλξεων)

δuk = cuc ⋅ cos2Φk + cus ⋅ sin2Φk

41 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου IV


10. Διόρθωση στην ακτίνα (λόγω παρέλξεων)

δrk = crc ⋅ cos2Φk + crs ⋅ sin2Φk

11. Διόρθωση στην κλίση (λόγω παρέλξεων)

δik = cic ⋅ cos2Φk + cis ⋅ sin2Φk

12. Διορθωμένο στοιχείο του πλάτους

uk = Φk + δuk

13. Διορθωμένη ακτίνα

rk = A ⋅ (1 − ecosEk) + δrk

42 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου V


14. Διορθωμένη κλίση

ik = i0 + i ⋅ tk + δik

15. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο

X′k = rk ⋅ cosuk

16. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο

Y′k = rk ⋅ sinuk

17. Διορθωμένο μήκος του ανιόντος δεσμού

Ωk = Ω0 + (Ω − Ωe) ⋅ tk − Ωe ⋅ t0e

43 / 54


Υπολογισμός της θέσης του δορυφόρου VI


18. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο WGS84

Xk = X′k ⋅ cosΩk − Y′

k ⋅ sinΩk ⋅ cosik

19. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο WGS84

Yk = X′k ⋅ sinΩk − Y′

k ⋅ cosΩk ⋅ cosik

20. Συντεταγμένη Z του δορυφόρου στο WGS84

Zk = Y′k ⋅ sinik

44 / 54


Εκπεμπόμενη εφημερίδα

45 / 54



45 / 54



45 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου I


Παράμετροι χρόνου

t =432015s

toe =0.432000000000 ⋅ 106 s

Κεπλέρια στοιχεία√Α =0.515368783379 ⋅ 104 √m

e =0.197334942641 ⋅ 10−01

i0 =0.959052938210 ⋅ 10−00 rad

Ω0 =−0.278529997650 ⋅ 1001 rad

ω0 =−0.163273237813 ⋅ 1001 rad

M0 =0.311547269309 ⋅ 1001 rad

Παράμετροι παρέλξεων

∆n =0.483412993234 ⋅ 10−08 rad/s

Ω =−0.816426864599 ⋅ 10−08 rad/si =0.278583032673 ⋅ 10−10 rad/s

cuc =−0.161491334438 ⋅ 10−05 rad

cus =0.268779695034 ⋅ 10−05 rad

crc =0.323468750000 ⋅ 10+03 m

crs =−0.345937500000 ⋅ 10+02 m

cic =0.366941094399 ⋅ 10−06 rad

cis =−0.614672899246 ⋅ 10−07 rad

46 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου II


Σταθερές

• Παγκόσμια σταθερά του πεδίου βαρύτητας στο WGS84

GM = 3.986004418 ⋅ 1014 m3/s2

• Ταχύτητα περιστροφής της γης στο WGS84

Ωe = 7.2921151467 ⋅ 10−5 rad/s

Διαδικασία Υπολογισμού

1. Μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς A = (√

A)2 = 26560498.2881551 m2. Χρόνος απο την εποχή αναφοράς της εφημερίδας

tk = t − toe = 15 s47 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου III


3. Υπολογισμένη μέση κίνηση του δορυφόρου

n0 = √GMA3 = 1.45852729291050 ⋅ 10−04 rad/s

4. Διορθωμένη μέση κίνηση

n = n0 + Δn = 1.45857563420983 ⋅ 10−04 rad/s

5. Μέση Ανωμαλία

Mk = M0 + n ⋅ tk = 3.11766055654131 rad

48 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου IV


6. έκκεντρη ανωμαλία (λύνεται με επαναλήψεις)

Ek = Mk + e ⋅ sinEk όπου E0 = MkE0 = 3.11766055654131 radEk = 3.11813277536129 rad

7. Αληθής Ανωμαλία

cosvk = cosEk − e1 − e ⋅ cosEk

= −0.999735478251479

sinvk =√

1 − e2sinEk1 − e ⋅ cosEk

= 0.0229994244555577

vk = tan−1 ( sinvkcosvk

) = 3.11859120097031 rad

49 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου V


8. Στοιχείο (γωνία) του πλάτους

Φk = vk + ω = 1.48585882284031 rad

9. Διόρθωση στο στοιχείο του πλάτους (λόγω παρέλξεων)

δuk = cuc ⋅ cos2Φk + cus ⋅ sin2Φk = 2.04606481716781 ⋅ 10−06 rad

10. Διόρθωση στην ακτίνα (λόγω παρέλξεων)

δrk = crc ⋅ cos2Φk + crs ⋅ sin2Φk = −324.661100526309 m

11. Διόρθωση στην κλίση (λόγω παρέλξεων)

δik = cic ⋅ cos2Φk + cis ⋅ sin2Φk = −3.72050917916334 ⋅ 10−07 rad

50 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου VI


12. Διορθωμένο στοιχείο του πλάτους

uk = Φk + δuk = 1.48586086890513 rad

13. Διορθωμένη ακτίνα

rk = A ⋅ (1 − ecosEk) + δrk = 27084160.8422579 m

14. Διορθωμένη κλίση

ik = i0 + i ⋅ tk + δik = 0.959052566576957 rad

15. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο

X′k = rk ⋅ cosuk = 2297640.73357063 m

51 / 54


Παράδειγμα υπολογισμού της θέσης του δορυφόρου VII


16. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο τροχιακό επίπεδο

Y′k = rk ⋅ sinuk = 26986526.5565751 m

17. Διορθωμένο μήκος του ανιόντος δεσμού

Ωk = Ω0 + (Ω − Ωe) ⋅ tk − Ωe ⋅ t0e = −34.2883313499800 rad18. Συντεταγμένη X του δορυφόρου στο WGS84

Xk = X′k ⋅ cosΩk − Y′

k ⋅ sinΩk ⋅ cosik = 3660563.16661 m19. Συντεταγμένη Y του δορυφόρου στο WGS84

Yk = X′k ⋅ sinΩk − Y′

k ⋅ cosΩk ⋅ cosik = 14329060.77863 m20. Συντεταγμένη Z του δορυφόρου στο WGS84

Zk = Y′k ⋅ sinik = 22092461.3700521 m

52 / 54


Αναφορές

• Jekeli C. (2016). Geometric Reference Systems in Geodesy. Division of Geodetic Scienc,School of Earth Sciences, Ohio State University

• Δελικαράογλου Δ. (2012). Διδακτικό υλικό τουμαθήματος ”Δορυφορική Γεωδαισία”.

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών / Τοπογράφων Μηχανικών και ΜηχανικώνΓεωπληροφορικής. Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Κύπρου.

• Δερμανης Α. (2012). Παρουσιάσεις του μαθήματος ”Συστήματα Αναφορας και Χρόνου”

Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, ΤΑΤΜ, ΑΠΘ• Παραδείσης Δ. (2000) Σημειώσεις δορυφορικής Γεωδαισίας. Κέντρο Δορυφόρων

Διονύσου, Τομές Τοπογραφίας ΕΜΠ• Torge W. (2000). Γεωδαισία. Πανεπιστημιακές εκδόσεις ΕΜΠ.• Seeber G. (2003). Satellite Geodesy (2nd Ed.). Walter de Gruyter, Berlin• https://gage.upc.edu/gFD/• https://www.glonass-iac.ru/en/• https://www.gps.gov/• https://www.gsc-europa.eu/

53 / 54

https://gage.upc.edu/gFD/

https://www.glonass-iac.ru/en/

https://www.gps.gov/

https://www.gsc-europa.eu/

Καλή Συνέχεια!!

compiled via X ELATEX

https://www.linkedin.com/in/dganastasiou/

https://github.com/demanasta

https://gitlab.com/demanasta

https://twitter.com/DemAnast


mailto:[email protected]

Documents

Συστήματα Αναφοράς στη ... · • Δορυφόροι GNSS: r ≈ 4R E ⇒ T ≈ 12h • LAGEOS: r ≈ 0.2R E ⇒ T ≈ 3.5h 12/54. Νόμοι του Kepler GNSS