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Alonso Fernández Galián
- 1 -
TEMA 4: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
La integración es el proceso contrario a la derivación. Así, integrar la función f consiste en
encontrar las funciones F tales que fF .
4.1 PRIMITIVAS E INTEGRALES
Dada una función f , decimos que la función F es una primitiva de la función f si fF .
F es una primitiva de )()( xfxFf
Relación entre las primitivas de una función
Como la derivada de una función constante es 0, dos funciones F y G que difieran en una
constante tendrán la misma derivada.
)()()()( xFxGCxFxG
Se puede demostrar que, de hecho, todas las primitivas de una función f difieren solamente en
una constante. Así, si F es una primitiva de f , cualquier otra primitiva de f será de la forma:
CxFxG )()(
donde C es una constante. En particular, la función f tendrá infinitas primitivas.
Integral de una función
El conjunto de primitivas de la función f se representa por:
dxxf )( (integral de la función f )
Si F es una primitiva de f , cualquier otra primitiva de f se obtendrá sumando una constante
a F . Es decir:
F es una primitiva de CxFdxxff )()(
Ejemplo: Comprobar que 27)( 2 xxxF es una primitiva de 72)( xxf .
FxxFxxxFxf
)(
2 72)(27)( es una primitiva de f
Ejemplo: Calcular las derivadas de las funciones xxF sen )( , 5sen )( xxG y
3sen )( xxH .
xxHxxH
xxGxxG
xxFxxF
cos)(3sen )(
cos)(5sen )(
cos)(sen )(
* Las funciones F, G y H son primitivas de la función xxf cos)( .
Matemáticas II
- 2 -
4.2 INTEGRALES INMEDIATAS
Busquemos ahora métodos para integrar una función. Antes de nada recordemos que, si F es
una primitiva de f , la integral de f será:
CxFdxxf )()(
donde C es una constante arbitraria. Así, el problema se reduce a encontrar una primitiva de f .
Tabla de integrales inmediatas
Empecemos notando que, si leemos la tabla de derivadas “al revés”, obtendremos una tabla de
integrales (las integrales inmediatas).
Cxdxx
Cxdxx
Cxdxx
Ca
adxa
Cxdxx
Cedxe
CxdxxCxdxx
Cxdxx
Cn
xdxx
CxdxxCxdx
xx
xx
nn
arctg1
1cossen
arcsen 1
1
ln
cotg sen
1
tg tg1ln1
tgcos
1
1
sen cos
2
2
2
2
2
1
Ejemplo: Calcular la integral de la función xxf 2)( .
Es obvio que la función 2)( xxF es una primitiva de )(xf . Por lo tanto, cualquier otra
primitiva se obtendrá sumando una constante a la función 2)( xxF :
Cxdxx 22
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
Cx
Cx
dxx
312
3122
Cx
Cx
Cx
dxxdxx
4
4155
5 4
1
415
1
Cx
Cx
dxx
817
8177
CxCx
Cx
dxxdxx
3
2/31
2
1
2/1
3
2
2/31
2
1
Tema 4: Técnicas de integración
- 3 -
4.3 PROPIEDADES LINEALES DE INTEGRACIÓN
A partir de las propiedades de las derivadas se deducen las propiedades de las integrales. En
particular tenemos las propiedades lineales de integración:
(i) dxxfkdxxfk )()(
(ii) dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Con lo que hemos visto, ya podemos integrar cualquier función polinómica.
Integrales que se reducen a una inmediata
Muchas integrales se pueden calcular reescribiendo adecuadamente el integrando.
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(a) Cxdxxdxx sen 5cos5cos5
(b) Cex
dxedxxdxex xxx 7
766
(c) Cxdxdxdxdxdxx
xxx 3ln
32323232
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(a) CxxCxx
dxxdxxdxxx 27
2766 4
7
1
28
788
(b) Cxxxdxdxxdxxdxxx 62
7
3
2672672 2322
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(a) Cxdxx
dxx
arctg1
1
1
122
(b) Cxxdxx
dxdxx
dxx
xdx
xx
xdx
x
x
ln31
3333
(c) Cxxdxdxxdxxdxx tgtg11tg1tg 222
(d) Cxxdxx
dxx
xdx
x
xdx
x
x
arctg1
1
1
1
1
11
1 2
1
2
2
2
2
2
2
Matemáticas II
- 4 -
4.4 FORMA COMPUESTA DE LAS INTEGRALES INMEDIATAS
Recordemos cómo se derivan las funciones compuestas:
))(()()( xuFxuxuF (regla de la cadena)
De aquí se deduce la siguiente regla de integración:
))(())(()( xuFdxxufxu
donde F es una primitiva de f ; es decir, )()( xfxF . A partir de la tabla de derivadas
inmediatas obtenemos:
Cxudxxu
xuCxdx
x
Cxudxxu
xuCxdx
x
Cxudxxu
xuCxdx
x
CxudxxuxuCxdxx
Cxudxxu
xuCxdx
x
CxudxxuxuCxdxx
CxudxxuxuCxdxx
Ca
adxaxuC
a
adxa
CedxexuCedxe
Cxudxxu
xuCxdx
x
Cn
xudxxuxuC
n
xdxx
compuestaformasimpleforma
xuxu
xx
xuxuxx
nn
nn
)( arctg)(1
)( arctg
1
1
)(arcsen )(1
)(arcsen
1
1
)( cotg)(sen
)( cotg
sen
1
)( tg)( tg1)( tg tg1
)( tg)(cos
)( tg
cos
1
)(sen )(cos)(sen cos
)(cos)(sen )(cossen
ln)(
ln
)(
)(ln)(
)(ln
1
1
)()()(
1
22
22
22
22
22
)()(
)()(
11
Tema 4: Técnicas de integración
- 5 -
4.5 EJEMPLOS DE INTEGRALES INMEDIATAS
Con lo que sabemos hasta ahora, y manipulando adecuadamente el integrando, podemos
integrar un gran número de funciones.
1.
Cx
dxx
6
34344
65
(tipo potencial)
2.
Cx
dxxdxx
24
34344
4
134
655
(tipo potencial)
3. Cx
dxxxdxxx 5
coscossen cossen
544 (tipo potencial)
4.
CxCx
dxxdxx
3
2/3
2
1
533
2
2/3
53535535 (tipo potencial)
5. Cxdxx
x
1ln1
2 2
2 (tipo logarítmica)
6. Cxdxx
xdx
x
x
5ln3
1
5
3
3
1
5
3
3
2
3
2
(tipo logarítmica)
7. Cxdxx
xdx
x
xdxx
cosln
cos
sen
cos
sen tg (tipo logarítmica)
8. Cedxex xx sen sen cos (tipo exponencial)
9. Ce
dxedxex
xx
33
3
1 131313
(tipo exponencial)
10.
Cdxdxx
x
x
x
)5/3(ln
5/335/33
5
3 1
(tipo exponencial)
11. Cdxxxx
xx
4ln
4432
33
2
2
(tipo exponencial)
12. Cxdxxx 34 cos34sen 8 22 (tipo coseno)
13.
Cxdxxx
dxx
x ln coslnsen
1lnsen (tipo coseno)
14. Cxdxxdxx 5sen 5cos55
15cos (tipo seno)
Matemáticas II
- 6 -
15. Cedxee xxx sen cos (tipo seno)
16. Cxdxx
6 tg6cos
62
(tipo tangente)
17. Cxdxx
dxx tgcos
1sec
2
2 (tipo tangente)
18. Cxdxxdxx tg2tg12tg22 22 (tipo tangente)
19. Cedxee xxx 4424 tgtg14 (tipo tangente)
20. Cxdxx
7cotg7sen
72
(tipo cotangente)
21.
Cedx
e
edx
e
e x
x
x
x
x
arcsen
11 22 (tipo arcoseno)
22.
Cxdx
xdx
x
3arcsen
3
1
31
3
3
1
91
1
22 (tipo arcoseno)
23. Cxdxx
dxx
arctg
5
1
1
1
5
1
55
122
(tipo arcotangente)
24.
Cxdxx
xdx
x
x
2
224arctg
1
2
1
2 (tipo arcotangente)
25.
Cx
dxx
dxx
dxx
3
arctg3
1
3/1
3/1
3
1
3/1
1
9
1
9
1222
(tipo arcotangente)
La constante de integración. Cada función integrable admite infinitas primitivas, una para cada
valor de C. Así, para determinar una primitiva concreta necesitamos imponer alguna condición.
Ejemplo: Calcular la primitiva de la función 2
1)(
xxf que pasa por el punto )5,3(P .
Cxdxx
xF
2ln2
1)(
Calculamos C imponiendo que 5)3( F :
550523ln5)3( CCCF
La función pedida es, por tanto, 52ln)( xxF .
Tema 4: Técnicas de integración
- 7 -
4.6 INTEGRACIÓN POR PARTES
En ocasiones conviene escribir el integrando como el producto de una función, )(xu , por la
diferencial de otra función, )(xdv , y operar de acuerdo a la fórmula de integración por partes:
duvvudvu
(Esta fórmula se deduce de la expresión de la derivada de un producto). Las funciones u y v
deben elegirse de manera que u tenga una derivada sencilla y dv sea fácil de integrar.
A veces ocurre que, tras integrar por partes, aparece la integral original multiplicada por algún
coeficiente, lo que permite calcular la integral despejando en la igualdad resultante.
Ejemplo: Calcula las siguientes integrales integrando por partes:
(a) Cxxxdxxxxxvdxxdv
dxduxudxxx
cossen sen sen
sen coscos
(b) Cxxxdxxxdxx
xxx
xvdxdv
dxx
duxudxx
lnln
1ln
1ln
ln
(c)
dxxxxx
xvdxxdv
dxxduxudxxx 2)cos(cos
cossen
2sen 2
22
xvdxxdv
dxduxudxxxxx
sen coscos2cos2
xxxxxdxxxxxx cossen 2cossen sen 2cos 22
Cxxxxx cos2sen 2cos 2
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
dxxexe
xvdxxdv
dxedueudxxe xx
xxx sen sen
sen coscos
dxxexexe
xvdxxdv
dxedueu xxxxx
coscossen cossen
Hemos recuperado la integral original multiplicada por –1. Llamémosla I y despejemos:
2
cossen Icossen I2Icossen I
xexexexexexe
xxxxxx
Así: Cxexe
dxxexx
x
2
cossen cos
Matemáticas II
- 8 -
4.7 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Hacer un cambio de variable consiste en sustituir cierta expresión que dependa de x, )(xg , por
otra variable t. Los pasos que debemos seguir para realizar un cambio de variable son:
(i) Sustituimos )(xg por t.
(ii) Despejamos x.
(iii) Sustituimos dx por la diferencial de la expresión obtenida.
Veamos más ejemplos:
Ejemplo: Calcula mediante un cambio de variable las siguientes integrales:
(a)
dt
tdtt
ttdttdx
tx
xt
dxxx 22
2
1
12)2(
1
1
2
1
1
1
1
CxCt 1arcsen 2arcsen 2
(b)
dt
t
t
t
t
dtt
tdx
tx
teet
dxe
e
xx
x
x
1
21
1
2
1ln
11
12
22
2
2
2
2
CeeCttdtt xx 1213
22
3
212
332
(c)
CxCt
dttdtee
t
dtedx
ex
xt
dxx
x t
tt
t
4
43
33
ln4
1
4
lnln
(esta última integral podía haberse resuelto directamente)
Ejemplo: Calcula la siguiente integral mediante un cambio de variable:
dx
x 3
1
Hagamos el cambio de variable 3 xt para eliminar la raíz:
Ctdtdttt
dttdx
tx
xt
dxx
222
1
2
3
3
3
1 2
Deshaciendo el cambio de variable obtenemos:
Cxdxx
32
3
1
Tema 4: Técnicas de integración
- 9 -
4.8 INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DEL SENO Y EL COSENO
Para integrar potencias del seno y el coseno debemos recordar las siguientes identidades:
(1) 1cossen 22 xx (relación fundamental de trigonometría)
(2) 2
2cos1sen2 x
x
(seno del ángulo mitad)
(3) 2
2cos1cos2 x
x
(coseno del ángulo mitad)
Como regla general debemos integrar como sigue:
-Si el exponente es impar, usamos (1) para buscar una integral de tipo potencial.
-Si el exponente es par, lo reducimos empleando (2) ó (3).
Veamos ahora un ejemplo clásico de integral que se resuelve mediante un cambio de variable a
una función trigonométrica:
Ejemplo: Calcular mediante un cambio de variable apropiado la siguiente integral:
dttataa
dttadx
taxdxxa )cos( sen
cos
sen 22222
dtt
adttadtttadttta2
2cos1coscoscoscossen1 222222
ttatatata cossen 24
1
2
12sen
4
1
2
1 2222
Ahora debemos deshacer el cambio. Para ello, notemos que:
22
21
1cosarcsen sen xaaa
xt
a
xt
a
xt
Así:
22222
2
1arcsen
2
1xax
a
xadxxa
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(a) Cxxdxx
dxdxx
dxx
2sen4
1
2
1
2
2cos
2
1
2
2cos1sen 2
(b) dxxxdxxxdxx sencos1sensensen 223
dxxxxdxxxdxx )sen(coscossencossen 22
Cxx 3cos3
1cos
Matemáticas II
- 10 -
4.9 FUNCIONES RACIONALES I: MÉTODO GENERAL DE INTEGRACIÓN
Finalmente, veamos cómo calcular la integral de una función racional siendo ésta no inmediata.
dxxQ
xP
)(
)(
Primero, enumeramos esquemáticamente los pasos que deben seguirse.
(i) Reducir el grado del numerador hasta que sea menor que el del denominador.
(ii) Descomponer la función racional en suma de fracciones simples. Para ello:
(ii.1) Se factoriza el denominador.
(ii.2) Se escriben las fracciones correspondientes y se buscan los numeradores.
(iii) Integrar las fracciones simples resultantes.
1. Reducción del grado del numerador. Para integrar funciones racionales, se requiere que el
grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Si no fuera el caso, debemos
dividir para reducir el grado del numerador:
)(
)()(
)(
)()()()()(
)()(
)()(
xQ
xRxC
xQ
xPxRxQxCxP
xCxR
xQxP
Así:
dxxQ
xRdxxCdx
xQ
xP
)(
)()(
)(
)(
2. Descomposición en fracciones simples. Para descomponer una fracción en suma de
fracciones simples, debemos factorizar el denominador, de modo que cada factor dé lugar a una
o varias fracciones simples.
...)()()( bxaxxQ
En la descomposición del denominador pueden aparecer factores de los siguientes tipos:
-Factores lineales de multiplicidad uno, ax , que dan lugar a una fracción de la forma:
ax
A
-Factores lineales de multiplicidad n, nax )( que dan lugar a n fracciones de la forma:
ax
A
1 , 2
2
)( ax
A
, … ,
n
n
ax
A
)(
-Factores cuadráticos irreducibles, cbxx 2, que dan lugar a una fracción de la forma:
cbxx
NMx
2
-Factores cuadráticos irreducibles de multiplicidad n, ncbxx 2 , que no estudiaremos.
Los coeficientes A, 1A , M, N,… se calculan haciendo que la suma de las fracciones simples
coincida con la fracción original.
3. Integración de las fracciones simples. En lo que sigue veremos ejemplos de cómo integrar
las fracciones simples resultantes.
Tema 4: Técnicas de integración
- 11 -
4.10 FUNCIONES RACIONALES II: FACTORES LINEALES
Veamos ejemplos de cómo se integran funciones racionales en las que el denominador se
descompone completamente en factores lineales (de cualquier multiplicidad).
Ejemplo 1: Calcular la siguiente integral:
dx
xx
x
6
762
(i) El grado del numerador es menor que el grado del denominador.
(ii) Debemos descomponer la fracción en fracciones simples. Lo primero que debemos hacer es
factorizar el denominador:
)3)(2(62 xxxx
Escribamos las fracciones simples correspondientes:
326
762
x
B
x
A
xx
x
Para calcular A y B, debemos empezar multiplicando esta igualdad por )3)(2( xx :
)2()3(76 xBxAx
Ahora demos valores a x. Lo más cómodo es darle los valores 2x y 3x :
5)23()33(7)3(63
1)22()32(7262
BBAx
ABAx
Así, tenemos:
3
5
2
1
6
762
xxxx
x
(iii) Finalmente, integremos la función:
Cxxdxx
dxx
dxxx
x
3ln52ln3
5
2
1
6
762
Ejemplo 2: Calcular la siguiente integral:
dx
xxx
xx
96
911323
2
(i) El grado del numerador es menor que el grado del denominador.
(ii) Factoricemos el denominador para descomponer la fracción en fracciones simples:
223 )3(96 xxxxx
Escribamos las fracciones simples correspondientes:
223
2
)3(396
9113
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Para calcular A, B y C, debemos empezar multiplicando esta igualdad por 2)3( xx :
CxxBxxAxx )3()3(9113 22
Matemáticas II
- 12 -
Ahora demos valores a x. Además de 0x y 3x podemos tomar, por ejemplo, 1x :
241623...1
133...3
199...0
BCBAx
CCx
AAx
Tenemos, por tanto:
22
2
)3(
1
3
21
)3(
9113
xxxxx
xx
(iii) Finalmente, integremos la función:
Cx
xxdxx
dxx
dxx
dxxxx
x
3
13ln2ln
)3(
1
3
21
96
9113222
2
Ejemplo 3: Calcular la siguiente integral:
dx
xxx
xx
133
3223
2
(i) El grado del numerador es menor que el grado del denominador.
(ii) Factoricemos el denominador para descomponer la fracción en fracciones simples:
323 )1(133 xxxx
Escribamos las fracciones simples correspondientes:
3223
2
)1()1(1133
32
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Para calcular A, B y C, multipliquemos esta igualdad por 3)1( x :
CxBxAxx )1()1(32 22
Ahora demos valores a x. Además de 1x podemos tomar, 0x y 2x :
3
2
23
23...
2
0
22...1
B
A
BA
BA
x
x
CCx
Tenemos, por tanto:
3223
2
)1(
2
)1(
3
1
2
133
32
xxxxxx
xx
(iii) Finalmente, integremos la función:
Cxx
x
dxx
dxx
dxx
dxxxx
xx
2
3223
2
)1(
1
1
31ln2
)1(
2
)1(
3
1
2
133
32
Tema 4: Técnicas de integración
- 13 -
4.11 FUNCIONES RACIONALES III: FACTORES CUADRÁTICOS
Para integrar una función racional en la que el denominador es un polinomio irreducible de
grado dos, debemos:
(i) Manipular el numerador para que aparezca la derivada del denominador.
(ii) Separar la integral en dos integrales, la primera del tipo logarítmico y la segunda del tipo
arcotangente.
(iii) Para calcular la segunda integral, reescribimos el denominador en la forma 21 u y
hacemos que en el numerador aparezca u .
Ejemplo 4: Calcula la siguiente integral:
dx
xx
x
22
322
El denominador es un polinomio irreducible de grado dos (pues no tiene raíces reales).
(i) Buscamos en el numerador la derivada del denominador:
dx
xx
xdx
xx
x
22
1)22(
22
3222
(ii) Separamos la integral en dos integrales (la primera de ellas del tipo logarítmico):
JIdxxx
dxxx
xdx
xx
x
22
1
22
22
22
1)22(222
(iii) Calculamos por separado cada integral:
22ln22
22 2
2
xxdx
xx
xI
1 arctg)1(1
1
22
122
xdxx
dxxx
J
Así: Cxxxdxxx
x
1 arctg22ln22
32 2
2
Ejemplo 5: Calcula la siguiente integral:
dx
xx
x
102
152
El denominador es un polinomio irreducible de grado dos (pues no tiene raíces reales).
(i) Buscamos en el denominador la derivada del denominador:
dx
xx
xdx
xx
xdx
xx
x
102
)5/22()22(
2
5
102
5/22
2
5
102
15222
(ii) Separamos la integral en dos integrales (la primera de ellas del tipo logarítmico):
JIdxxx
dxxx
xdx
xx
x
102
5/22
2
5
102
2
2
5
102
)5/22()2(
2
5222
Matemáticas II
- 14 -
(iii) Calculamos por separado cada integral:
102ln2
5
102
22
2
5 2
2
xxdx
xx
xI
dx
xdx
xxdx
xxJ
222 )1(9
14
102
14
102
5/22
2
5
3
1 arctg
3
4
13
1
3/1
3
4
13
1
1
3
4222
xdx
xdx
x
Así: Cx
xxdxxx
x
3
1 arctg
3
4102ln
3
5
102
15 2
2
Ejemplo 6. Calcular la siguiente integral:
dx
xxx
x
1472
7223
(i) El grado del numerador es menor que el grado del denominador.
(ii) Factoricemos el denominador para descomponer la fracción en fracciones simples:
721472 223 xxxxx
Escribamos las fracciones simples correspondientes:
721472
72223
x
NMx
x
A
xxx
x
Para calcular A, M y N, multipliquemos esta igualdad por 72 2 xx :
2772 2 xNMxxAx
Ahora demos valores a x. Además de 2x , podemos tomar, por ejemplo 0x y 1x :
13)(85...1
0277...0
11111...2
MNMAx
NNAx
AAx
Tenemos, por tanto:
72
1
1472
12223
2
x
x
xxxx
xx
(iii) Finalmente, integremos la función:
7ln2
12ln
72
1
1472
12 2
223
2
xxdxx
xdx
xdx
xxx
xx
Así:
7ln2
12ln
72
1
1472
12 2
223
2
xxdxx
xdx
xdx
xxx
xx
Tema 4: Técnicas de integración
- 15 -
ANEXO: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Veamos algunos métodos más para integrar funciones trigonométricas:
Producto de potencias de senos y cosenos con el mismo ángulo. El método para integrar estas
funciones depende de la paridad del exponente del seno y del coseno:
dxxx mn cossen
-Si n es impar y m es par: Separamos un “sen x” y aplicamos el cambio de variable:
dxxdt
xt
sen
cos
-Si m es impar y n es par: Separamos un “cos x” y aplicamos el cambio de variable:
dxxdt
xt
cos
sen
-Si n y m son impares: Podemos emplear cualquiera de los métodos anteriores.
-Si n y m son pares: Reducimos el grado mediante las siguientes identidades trigonométricas:
2
2cos1sen2 x
x
2
2cos1cos2 x
x
Producto de senos y cosenos con distintos ángulos. Se integran aplicando las siguientes
identidades trigonométricas:
)(sen )(sen 2
1cossen
)(cos)(cos2
1coscos
)(cos)(cos2
1sen sen
Ejemplo: Calcula la siguiente integral:
dxxxdxxxxxdxxx 4sen 8sen 2
1)2(6sen )2(6sen
2
12cos6sen
Cxxdxxdxx 4cos8
18cos
16
14sen
2
18sen
2
1
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(a) ...1sen
cossen cossencossen 222223
dttt
dxxdt
xtdxxxxdxxx
(b) ...2cos14
1
2
2cos1
2
2cos1cossen 222
dxxdx
xxdxxx
Matemáticas II
- 16 -
ANEXO: ECUACIONES DIFERENCIALES
Numerosos estudios científicos llevan a considerar ecuaciones funcionales que involucran
derivadas de cierta función y. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Por
ejemplo:
yyyx 75 o, escrita en notación diferencial, dx
dyy
dx
ydx 75
2
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden. Vamos a centrarnos en resolver ecuaciones
diferenciales que sólo involucran la derivada primera de una función, denominadas ecuaciones
diferenciales de primer orden. Por ejemplo:
02 xyy o, escrita en notación diferencial, 02 xydx
dy
La solucion general de una ecuación diferencial es el conjunto de funciones y que satisfacen la
ecuación. Al imponer distintas condiciones del tipo 00 )( yxy obtendremos las distintas
soluciones particulares de la ecuación.
Ecuaciones diferenciales con variables separables: Se dice que una ecuación diferencial tiene
variables separables si podemos expresarla en la forma:
)()( ygxfdx
dy
Para resolverlas, “separamos” las variables e integramos:
)()( ygxfdx
dy dxxf
yg
dy)(
)( dxxf
yg
dy)(
)(... y
Ejemplo: Encontrar la solución de la siguiente ecuación que satisface ey )1( .
yyxdx
dyx
Notemos que podemos escribirla como una ecuación de variables separables:
yx
x
dx
dy 1
(a) Buscamos la solución general. Debemos separar variables e integrar:
Cxxydxx
x
y
dydx
x
x
y
dyy
x
x
dx
dy
lnln...
111
Despejamos y:
xeK
Cxx KxeyeyCxxy
C
lnlnln
(b) Buscamos la solución particular que cumple ey )1( . Para ello debemos calcular K:
1)1( KeKeey
Así, concluimos que la solución particular que buscábamos es:
xxey
Tema 4: Técnicas de integración
- 17 -
Integrales inmediatas: Forma simple y compuesta
1. Calcula:
(a) dxx 2
1 (b) dx
x
1 (c) dxx 3
(d) dxx5
1
2. Calcula aplicando las propiedades de linealidad:
(a) dxxx 6cos5 (b) dxx 2
7 (c) dxxe x2 (d) dxx
23
3. Calcula:
(a) dxxxx 263 23 (b)
dx
x
x3
1 (c)
dx
x
x
2
1 (d) dxx2cotg
4. Determina )(xf sabiendo que xxf 24)( , 2)0( f , 1)0( f y 0)0( f .
5. Calcula:
(a) dx
x 53
1 (b) dxxx 32
(c) dxxe x2
(d) dxx52sen
6. Calcula:
(a)
dx
xx
x
53
322
(b) dxxcotg (c) dxe
ex
x
2cos (d)
dxx )1(sen
22
7. Calcula dxxxx 16cos2 32.
8. Calcula:
(a) dxx 12 (b) dx
x 216
1 (c)
dxx2251
10 (d)
dxx
x
251
5
9. Dada la función xxexxf 2
12)( determina la función )(xg tal que )()( xfxg con la
condición de que su gráfica pase por el punto )2,0( .
10. Una partícula parte del origen de coordenadas con una velocidad inicial de 5 m/s y se mueve
a lo largo del eje OX con aceleración 12 ta m/s2 (el reloj se inicia cuando la partícula parte
del reposo). Determina el espacio recorrido por la partícula tras 10 segundos.
Integración por cambio de variable
11. Calcula:
(a) dx
x
x
1 (b) dx
xx 2cos
1 (c)
dxxx 1
1 (d)
dx
xx
x
ln
1ln3
EJERCICIOS DEL TEMA 4
Matemáticas II
- 18 -
12. Calcula:
(a) dx
x 1
2 (b) dx
xx ln
1 (c)
dx
x
xx2
(d) dx
x
x
3
2
21
13. Calcula:
(a)
dxx
ex x
(b) dx
x
x2sen1
cos
14. Calcula la siguiente integral indefinida utilizando el cambio de variable 1 xy :
dx
x
x
1
2
Integración por partes
15. Calcula:
(a) dxxe x3 (b) dxxarcsen (c)
dxex x2 (d) dxxe x sen 2
16. Calcula:
(a) dxxx ln2 (b) dx
x
x2cos
(c) dxx arctg
(d) dxx2
ln (e) dxxxx cos2 (f)
dxx
xln
11
2
17. Calcula la función F(x) sabiendo que xxF cos)( y que 32 F .
Integración de funciones trigonométricas
18. Calcula:
(a) dxxx cossen3 (b) dxx2cos (c) dxxx cossen (d) dxx3cos
Integración de funciones racionales
19. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores
lineales simples:
(a)
dx
xx
x
65
122
(b)
dx
xxx
x
6
123
20. Calcula las siguientes integrales en las que el grado del numerador es menor que el grado del
denominador:
(a)
dx
x
x
2
13
(b)
dx
xx
xxx
65
69922
23
Tema 4: Técnicas de integración
- 19 -
21. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador se descompone en factores
lineales:
(a) dx
x
x3)1(
(b)
dx
xxx
xx
485
1323
2
(c) dx
xx 23
1 (d)
dx
xxx
x
1
10623
22. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:
(a)
dx
x
x21
81 (b)
dx
x
x
4
12
3
23. Calcula las siguientes integrales en las que el denominador es irreducible:
(a)
dx
x
x
254
52
(b)
dx
x
x294
36
24. Calcula las siguientes integrales:
(a)
dx
xx
x2
2 (b)
dx
xx
x
1
12
2
(c)
dx
xx
xx3
2 1 (d)
dx
xx
x
23
13
2
Varios
25. Expresa las siguientes fracciones en la forma )(/)()( xQxRxC , con )()( QgradRgrad .
(a) 1
3232
2
x
xx (b)
13
23962
23
xx
xxx
26. Calcula:
(a) dxex x)3( (b)
dxxx
3ln
1 (c)
dx
x
xlncos (d) dx
e
xx
3
27. Calcula:
(a) dxx
x2sen
cos (b) dx
x
x2cos
(c) dx
xx 1
1 (d) dxxx arctg
28. Calcula mediante un cambio de variable:
(a)
dx
e
eex
xx
2
2
1 (b)
dxx
x
1
29. Calcula:
(a) dxx
x2
ln (b)
dxx1
2 (c)
dxx
x21
arctg2 (d) dx
x
xln
30. Calcula:
(a)
dxx
x
2cos
tg27 (b)
dxe
ex
x
294 (c) dx
x
x
cos
sen (d)
dxe x 3
6
Matemáticas II
- 20 -
31. Sabiendo que 2
)( xexF es una primitiva f , comprueba que f es creciente en ℝ.
32. Calcula un polinomio )(xP sabiendo que su derivada es 3666)( 2 xxxP y que tiene
dos extremos relativos: un máximo y un mínimo, de manera que el valor del polinomio en el
máximo es el doble que su valor en el mínimo.
Selección de Ejercicios de PAEG
_____________________________________________________________________________
Junio 2009-2010
Junio 2010-2011
Junio 2011-2012
Reserva II 2012-2013
Reserva II 2012-2013
Septiembre 2013-2014