Каустики - MIPT · 1 Введение Оптические каустики - линии или поверхности, в окрестности которых резко

МосковскийФизико-Технический Институт

(государственный университет)

Кафедра общей физикиВопрос по выбору по курсу общей физики 4 семестра (Оптика)

Каустики

Авторы:Попова ЮлияГрязев Артём627 группа

При активной поддержке:Преподавателей кафедры общей

физики:Жабина Сергея Николаевича

Стожкова Владимира ЮрьевичаФедорова Георгия Евгеньевича;

Лаборантов и преподавателейкафедры общей химии;

Работниковопытно-производственной базы

МФТИСтудентов 1-5 курсов ФОПФ:

Игнатюка Никиты (1)Архипкина Владимира (2)

Ланиной Елены (3)Казанцева Александра (5)

Нестюка Арсения (5)

29 сентября 2018 г.

Ю. Н. Попова, А. Грязев, 627 гр.

Каустики

Содержание1 Введение 2

2 Краткий экскурс 2

3 Немного дифференциальной геометрии. Восстановление каустики по вол-новому фронту 43.1 Двумерные каустики. Эволюта и эвольвента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Трехмерный случай. Главные кривизны. Две каустические поверхности. . . 4

4 Отражение плоской волны от произвольной поверхности 8

5 Основные формулы 9

6 Классификация каустик 10

7 Аналогия с распределением вещества во Вселенной 11

8 3D-моделирование 12

9 Эксперимент 159.1 Предпосылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.2 Первые опыты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.3 Цилиндрические поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159.4 Поверхность "ракушка

16

10 Заключение 17

11 Список литературы 18

1


1 ВведениеОптические каустики - линии или поверхности, в окрестности которых резко возрастаетинтенсивность светового поля (в рамках геометрической оптики их можно считать бес-конечно тонкими, в реальности толщина - порядка длины волны). Мы поставили передсобой две задачи по их моделированию:1)Научиться по заданной поверхности восстанавливать волновой фронт отражённой отнеё плоской волны.2)Научиться по заданной форме волнового фронта получать его каустики (в том числе -визуализировать).Кроме того, было решено проверить наши теоретические предположения эксперименталь-но. Для того чтобы лучше понять, с каким физическим объектом мы собираемся иметьдело, рассмотрим несколько примеров каустик из реальной жизни.

2 Краткий экскурсНаверняка многие из нас, будучи в бассейне или на море, стакливались с удивительнымпо красоте оптическим явлением, некими "световыми рисунками" , образуемыми луча-ми на дне водоёма. Данные кривые (в общем случае - поверхности) принято называтькаустиками. Однако, это далеко не единственная возможность наблюдать каустики.

Рис. 1: Каустики на дне моря

Другим примером могут послужить светящиеся кривые на столе, образующиеся врезультате прохождения лучей через пустую или наполненную жидкостью стекляннуюкружку. Также можно наблюдать этот эффект на полу в результате проникновения светав комнату через окно либо на стене стоящего напротив дома.

Не менее ярким примером будет фокус линзы - ярко светящаяся точка (вернее, некийпротяжённый объект, возникающий в результате сферической аберрации).

Если мы имеем дело с параболическим зеркалом, то все лучи, параллельные его оси,после отражения собираются в одной точке — фокусе параболы. Для окружности и длядругих зеркал это не так, поскольку отраженные лучи не сходятся в одной точке. Но когдана зеркало падает узкий пучок параллельных лучей, то после отражения он становитсясходящимся. Иными словами, отраженный пучок целиком не сходится в одной точке, ноузкие пучки, состоящие из близких лучей, будут сходящимися. Точки, в которых онисходятся, являются точками концентрации энергии, именно из них и состоит каустика.

2


Рис. 2: Каустики от бокала

Рис. 3: Каустики на стене дома

Рис. 4: Каустика фронта, отражённого от параболического зеркала

Мы думаем, что теперь вопрос образования каустик вас заинтересовал. Чтобы разо-браться с данным оптическим явлением, будет уместным кратко изложить некоторыесведения из дифференциальной геометрии.

3


3 Немного дифференциальной геометрии. Восстановле-ние каустики по волновому фронту

3.1 Двумерные каустики. Эволюта и эвольвента

Пусть плоская гладкая кривая L (наша "двумерная поверхность" , от которой будет от-ражаться волновой фронт) задана натуральным уравнением

r = r(𝑠),

где параметр 𝑠 имеет смысл длины дуги кривой. Предположим, что в каждой точке кри-визна кривой не равна нулю (𝑘(𝑠) = 0). Тогда в любой точке X можно определить конеч-ный радиус кривизны:

𝑅 = 𝑅(𝑠) =1

𝑘(𝑠).

На нормали 𝑛 отложим отрезок XY, равный радиусу кривизны 𝑅(𝑠) в точке X. ТочкаY является центром кривизны кривой L в точке X.

Если радиус-вектор центра кривизны обозначить через 𝜌, то

𝜌 = OX + XY = r +𝑅n

Для каждой точки кривой (при условии 𝑘 = 0) можно найти свой центр кривизны.Множество всех центров кривизны кривой L называется эволютой этой кривой. Есликривая T эволюта кривой L, то исходная кривая L называется эвольвентой кривой T.Эволюта отражающей поверхности и будет являться искомой каустикой.

Обозначим центр кривизны точкой Y c координатами (𝜉, 𝜂). Если кривая L задана впараметрической форме

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽,

то координаты центра кривизны (𝜉, 𝜂) вычисляются по формулам

𝜉 = 𝑥− 𝑦′(𝑥′)2 + (𝑦′)2

𝑥′𝑦′′ − 𝑥′′𝑦′,

𝜂 = 𝑦 + 𝑥′ (𝑥′)2 + (𝑦′)2

𝑥′𝑦′′ − 𝑥′′𝑦′.

Эти формулы следуют из выражения для радиус-вектора 𝜌 и определяют уравнение дву-мерной каустики.

3.2 Трехмерный случай. Главные кривизны. Две каустические по-верхности.

Положение несколько меняется в трёхмерном случае, когда рассматривается гладкая по-верхность S (в будущем - отражающая поверхность). Общая формула для вычислениярадиус-вектора 𝜌 точки Y (точки, принадлежащей данной каустической поверхности) оста-ётся той же самой, но встаёт вопрос, какую из кривизн необходимо выбрать в данной точке,так как в ней существует бесконечно много направлений. Чтобы ответить на этот вопрос,произведём некоторые математические выкладки.

4


Итак, расссмотрим гладкую поверхность S, и пусть r = r(𝑢,𝑣) - её векторное уравнение,r𝑢 × r = 0. Тогда первой квадратичной формой поверхности S является выражение

𝐼 = 𝑑r2.

Запишем это выражение подробнее:

𝑑r = r𝑢𝑑𝑢+ r𝑣𝑑𝑣,

𝑑r2 = r2𝑢𝑑𝑢2 + 2(r𝑢, r𝑣)𝑑𝑢𝑑𝑣 + r2𝑣𝑑𝑣

2. (1)

Введём следующие обозначния:

r2𝑢 = 𝐸, (r𝑢, r𝑣) = 𝐹, r2𝑣 = 𝐺.

Тошда выражение (1) можно переписать в виде:

𝐼 = 𝐸𝑑𝑢2 + 2𝐹𝑑𝑢𝑑𝑣 +𝐺𝑑𝑣2.

Далее определим единичный вектор нормали

n =r𝑢 × r𝑣|r𝑢 × r𝑣|

.

Перепишем это выражение в другом виде. Для этого заметим, что

|r𝑢×r𝑣| =√|r𝑢 × r𝑣|2 =

√|r𝑢|2|r𝑣|2𝑠𝑖𝑛2𝜑 =

√r2𝑢r2𝑣 − (|r𝑢||r𝑣|𝑐𝑜𝑠𝜑)2 =

√r2𝑢r2𝑣 − (r𝑢, r𝑣)2 =

√𝐸𝐺− 𝐹 2.

Тогдаn =

r𝑢 × r𝑣√𝐸𝐺− 𝐹 2.

Определим также второй дифференциал радиус-вектора:

𝑑2r = r𝑢𝑢𝑑𝑢2 + 2r𝑢𝑣𝑑𝑢𝑑𝑣 + r𝑣𝑣𝑑𝑣2 + r𝑢𝑑2𝑢+ r𝑣𝑑2𝑣.

Второй квадратичной формой поверхности S назовём скалярное произведение векторов𝑑2r и n:

𝐼𝐼 = (𝑑2r,n) = (r𝑢𝑢,n)𝑑𝑢2 + 2(r𝑢𝑣,n)𝑑𝑢𝑑𝑣 + (r𝑣𝑣,n)𝑑𝑣2,.

Примем следующие обозначения:

𝐿 = (r𝑢𝑢,n),𝑀 = (r𝑢𝑣,n), 𝑁 = (r𝑣𝑣,n).

Имеем:𝐼𝐼 = 𝐿𝑑𝑢2 + 2𝑀𝑑𝑢𝑑𝑣 +𝑁𝑑𝑣2.

Пустьr = r(𝑠) = r(𝑢(𝑠), 𝑣(𝑠))

- естественная параметризация кривой L, принадлежащей поверхности S. Вычислим вточке 𝑋(𝑢,𝑣) три вектора:

∙ единичный вектор касательной к кривой - 𝜏 = r′ = 𝑑r𝑑𝑠

;

∙ единичный вектор нормали к поверхности - n;

5


∙ единичный вектор бинормали - b = n × 𝜏 .

Введём нормальную кривизну кривой L:

k𝑛 = (r′′,n).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

𝑑2r𝑑𝑠2

= r𝑢𝑢(𝑑𝑢

𝑑𝑠)2 + 𝑟r𝑢𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑠

𝑑𝑣

𝑑𝑠+ r𝑣𝑣(

𝑑𝑣

𝑑𝑠)2 + r𝑢

𝑑2𝑢

𝑑𝑠2+ r𝑣

𝑑2𝑣

𝑑𝑠2.

Так как в точке X(u,v) кривой L

𝑑𝑠2 = 𝐸𝑑𝑢2 + 2𝐹𝑑𝑢𝑑𝑣 +𝐺𝑑𝑣2,

то из предыдущего равенства вытекает формула:

k𝑛 =𝐿𝑑𝑢2 + 2𝑀𝑑𝑢𝑑𝑣 +𝑁𝑑𝑣2

𝐸𝑑𝑢2 + 2𝐹𝑑𝑢𝑑𝑣 +𝐺𝑑𝑣2.

Понятно, что эта величина является нормальной кривизной поверхности S в данной точкеX и данном направлении l:

k𝑛 = k𝑛(𝑋, l).

Итак, нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от выбора направ-ления на поверхности. Направление на поверхности назовём главным, если нормальнаякривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке 𝐶2-регулярной поверхности найдётся не менее двух раз-личных главных направлений.

Пусть (𝑑𝑢 = 𝜉, 𝑑𝑣 = 𝜂) - произвольное направление в точке X на поверхности S. Тогда

k𝑛 = k(𝜉, 𝜂) =𝐿𝜉2 + 2𝑀𝜉𝜂 +𝑁𝜂2

𝐸𝜉2 + 2𝐹𝜉𝜂 +𝐺𝜂2. (2)

Отметим, что функции E, F, G, L, M, N определяются только выбором точки X и отпеременных 𝜉 и 𝜂 не зависят.

Полагая𝜉 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜂 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑,

получим, что

k𝑛 = k𝑛(𝜑) =𝐿𝑐𝑜𝑠2𝜑+ 2𝑀𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑+𝑁𝑠𝑖𝑛2𝜑

𝐸𝑐𝑜𝑠2𝜑+ 2𝐹𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑+𝐺𝑠𝑖𝑛2𝜑.

Так как функция 𝑘𝑛 = 𝑘𝑛(𝜑) непрерывна и 𝑘𝑛(0) = 𝑘𝑛(2𝜋), то на отрезке [0, 2𝜋] она либопостоянна, либо имеет хотя бы один максимум и хотя бы один минимум. Это и означает,что в каждой точке 𝐶2-регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направления называютсяглавными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных направлений и главных кривизн в данной точкерегулярной поверхности.

Из формулы (2) для 𝑘𝑛 = 𝑘𝑛(𝜉, 𝜂) вытекает тождество:

(𝐿− 𝑘𝐸)𝜉22(𝑀 − 𝑘𝐹 )𝜉𝜂 + (𝑁 − 𝑘𝐺)𝜂2 = 0. (3)

6


Продифференцируем это тождество по 𝜉. Учитывая, что производная нормальной кри-визны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления:

(𝐿− 𝑘𝐸)𝜉 + (𝑀 − 𝑘𝐹 )𝜂 = 0. (4)

Дифференцируя тождество (3) по 𝜂 и рассуждая аналогично, получаем:

(𝑀 − 𝑘𝐹 )𝜉 + (𝑁 − 𝑘𝐺)𝜂 = 0. (5)

Будем рассматривать полученные соотношения (4) - (5) как систему линейных ал-гебраических уравнений относительно неизвестных 𝜉 и 𝜂. Эта система имеет ненулевыерешения, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направле-ния.

Из этого вытекает, что 𝐿− 𝑘𝐸 𝑀 − 𝑘𝐹𝑀 − 𝑘𝐹 𝑁 − 𝑘𝐺

= 0.

Вычисляя определитель, получим квадратное уравнение для искомой функции 𝑘:

𝑘2(𝐸𝐺− 𝐹 2)− 𝑘(𝐸𝑁 − 2𝐹𝑀 +𝐺𝐿) + 𝐿𝑁 −𝑀2 = 0. (6)

Проведённые выше рассуждения позволяют утверждать, что уравнение (6) имеет ве-щественные корни 𝑘1 и 𝑘2, которые и являются главными кривизнами. Эти корни либоразличны, 𝑘1 = 𝑘2, либо совпадают, 𝑘1 = 𝑘2.

1. Уравнение (6) имеет два различных корня 𝑘1 = 𝑘2.

Этим корням отвечают на поверхности два различных главных направления, опре-деляемых из систем:

(𝐿− 𝑘𝑖𝐸)𝜉𝑖 + (𝑀 − 𝑘𝑖𝐹 )𝜂𝑖 = 0, (𝑀 − 𝑘𝑖𝐹 )𝜉𝑖 + (𝑁 − 𝑘𝑖𝐺)𝜂𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 2. (7)

Покажем, что если направления координатных линий на поверхности в некоторойточке совпадают с главными направлениями, то в этой точке коэффициенты F и Mобращаются в нуль. Пусть направления координатных линий (𝜉𝑖, 0) и (0, 𝜂𝑖) - главные.Тогда из системы (7) вытекает, что

𝐿− 𝑘1𝐸 = 0,𝑀 − 𝑘1𝐹 = 0,

𝑀 − 𝑘2𝐹 = 0, 𝑁 − 𝑘2𝐺 = 0.

Из второго и третьего равенств вследствие того, что 𝑘1 = 𝑘2, заключаем:

𝐹 = 𝑀 = 0.

В рассматриваемом случае кривизны 𝑘1 и 𝑘2 можно найти из следующих формул:

𝑘1 =𝐿

𝐸, 𝑘2 =

𝑁

𝐺.

7


2. Уравнение (6) имеет одинаковые корни 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘.

Покажем, что в этом случае каждое направление на поверхности в данной точкеявляется главным.

Так как в точке регулярной поверхности всегда есть два различных главных на-правления, то система (7) должна иметь два линейно независимых решения. Этовозможно лишь при выполнении равенств:

𝐿− 𝑘𝐸 = 0,𝑀 − 𝑘𝐹 = 0, 𝑁 − 𝑘𝐺 = 0.

Отсюда вытекает, что

𝑘 =𝐿

𝐸=

𝑀

𝐹=

𝑁

𝐺.

Следовательно,𝑘𝑛 = 𝑘.

Тем самым нормальная кривизна поверхности в данной точке постоянна (не зависитот направления) и, значит, каждое направление является главным.

4 Отражение плоской волны от произвольной по-верхности

В предыдущем разделе был, по существу, решен вопрос о нахождении каустики вол-нового фронта. Чтобы получить каустику волны, отраженной от некоторой зеркаль-ной поверхности, нужно найти поверхность равной фазы после отражения.Рассмотрим плоскую волну с волновым вектором k. Рассмотрим точку поверхно-сти с вектором нормали n. Проекция k на n изменит знак после отражения, в товремя как тангенциальная компонента останется неизменной. Таким образом можнозаписать новый вектор

k′ = k − 2(k,n)n.

Выделим в изначальной волне некоторый фронт и проследим за его эволюцией. Де-лать это будет удобно в терминах лучей. Заметим, что в различные точки поверх-ности они приходят с разной фазой. Значит, чтобы найти поверхность равной фазыотражённой волны, нужно выбрать некоторый момент времени t, в который ото всехучастков уже произойдёт отражение и вычислить, где окажутся лучи, отражённыеот каждой точки поверхности. Пусть в начальный момент фронт находился в плос-кости, проходящей через начало координат, и двигался вдоль волнового вектора k.Тогда фаза, с которой упадут лучи на некоторую точку поверхности будет ∼ скаляр-ному произведению (r,k), где �� - радиус-вектор точки отражающей поверхности. Мыхотим узнать, где окажется фронт, когда все лучи пройдут расстояние 𝑐𝑡. Таким об-разом, для каждого конкретного луча после отражения точка, в которую он придёт,

будет находиться на расстоянии 𝑐𝑡 − (r, k|k|) вдоль k′ от точки поверхности

⎛⎝ 𝑥𝑦𝑧

⎞⎠.

Множество этих точек и будет задавать поверхность равной фазы после отражения:

r′ = r + (𝑐𝑡− (r,k|k|

))k′

|k′|.

8


Важный момент, который не был учтён в этом пункте - повторные отражения. Ра-зумеется, не так уж сложно теоретически описать что будет происходить при этомс волновым фронтом, однако объём работы не позволил нам учесть их при моде-лировании, поскольку это потребовало бы существенного усложнения кода и боль-ших вычислительных мощностей. В связи с вышесказанным, за исключением одногослучая, мы ограничимся не слишком изогнутыми поверхностями, для которых по-вторных отрожений возникать не будет. Проверка этого предположения для даннойконкретной поверхности, помимо здравого смысла, будет осуществляться с помо-щью наблюдения отражённого фронта при моделировании - он не должен в ходесвоей эволюции пересечь зеркало.

5 Основные формулы

Подведём некий итог в расчётах каустических поверхностей. Нам это потребуетсядля дальнейшего компьютерного моделирования каустик и реального экспериментас использованием отражающей поверхности, напечатанной на 3D-принтере.Итак, изначально мы имеем радиус-вектор r зеркальной поверхности, заданной па-раметрически (посредством параметром 𝑢 и 𝑣). Далее мы вычисляем нормаль к этойповерхности по формуле:

n =[r𝑢 × r𝑣]√𝐸𝐺− 𝐹 2

,

где𝐸 = r2𝑢, 𝐹 = (r𝑢, r𝑣), 𝐺 = r2𝑣.

Далее вычисляем новый нормированный волновой вектор k′

|k′| отражённой волны:

n′ =k′

|k′|=

k|k|

− 2(k|k|

,n)n

. Теперь мы можем найти поверхность равной фазы для отражённой волны:

r′ = r + (𝑐𝑡− (r,k|k|

))n′.

Затем вычисляем коэффициенты первой и второй квадратичных форм волновогофронта:

𝐸 ′ = r′𝑢2, 𝐹 ′ = (r′𝑢, r

′𝑣), 𝐺

′ = r′𝑣2,

𝐿′ = (n′, r′𝑢𝑢),𝑀′ = (n′, r′𝑢𝑣), 𝑁

′ = (n′, r′𝑣𝑣).

Находим главные кривизны и радиусы кривизны отражённого волнового фронта:

𝑘1 =𝐿′

𝐸 ′ , 𝑘2 =𝑁 ′

𝐺′ ,

𝑅1 =1

𝑘1, 𝑅2 =

1

𝑘2.

Окончательно, строим каустики:

r1 = r′ +𝑅1n′,

r2 = r′ +𝑅2n′.

9


6 Классификация каустик

Теперь, имея представление о постоении каустических поверхностей, можно перейтик обсуждению их классификации, основываясь на различии возникающих особен-ностей. Для этого обратимся к некоторым фактам из теории катастроф - разделуматематики, включающему в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравне-ний (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Итак, пусть волновой фронт распространяется с некоторой скоростью, которую мыдля простоты положим равной 1. Даже если начальный волновой фронт не имел ни-каких особенностей, через некоторое время эти особенности начнут возникать. Длягладкого начального фронта общего положения с течением времени будут образо-вываться стандартные устойчивые особенности (неустранимые малым шевелениемначального фронта). Все иные особенности (например, особенность в центре сжи-мающейся окружности) при малом шевелении начального фронта рассыпаются нанесколько особенностей стандартного вида.

Рис. 5: Эволюция волнового фронта

Для начала попытаемся описать метаморфозы волновых фронтов на плоскости.Рассмотрим наряду с основным пространством (в данном случае плоскостью) ещепространство-время (в данном случае трехмерное). Распространяющийся на плоско-сти волновой фронт заметает в пространстве-времени некоторую поверхность. Ока-зывается, саму эту поверхность всегда можно рассматривать как волновой фронт впространстве-времени ("большой фронт"). В случае общего положения особенностя-ми большого фронта будут ласточкины хвосты, ребра возврата и самопересечения,расположенные в пространстве-времени общим образом относительно изохрон (обра-зованных "одновременными" точками пространства-времени). Теперь уже нетрудносообразить, какие метаморфозы могут испытывать мгновенные волновые фронты наплоскости в случае общего положения; это перестройки сечений большого фронтаизохронами.

Изучение метаморфоз волнового фронта при его распространении в трехмерном про-странстве сводится таким же образом к исследованию сечений большого (трехмер-ного) волнового фронта в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изо-хронами.

10


Каустики общего положения в трехмерном пространстве имеют лишь стандартныеособенности. Эти особенности называются "ласточкин хвост" , "пирамида" и "ко-шелек". Пирамида имеет три ребра возврата, касающихся в вершине. Кошелек имеетодно ребро возврата и состоит из двух симметричных носов лодки, пересекающих-ся по двум линиям. Эти особенности устойчивы. Все более сложные особенностикаустик в трехмерном пространстве при малом шевелении рассыпаются на эти стан-дартные элементы. Нетрудно понять, что особенности распространяющегося фронтаскользят по каустике и заполняют её.

Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше.Коэффициент усиления оказывается пропорциональным 𝜆−𝛼, где 𝜆 - длина волны, апоказатель 𝛼 - рациональное число, зависящее от характера особенности. Для про-стейших особенностей значения 𝛼 таковы:

Каустика Ребро воз-врата

Ласточкинхвост

Пирамида Кошелёк

𝛼 16

14

310

13

13

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности типа пирамиды и кошель-ка.

Рис. 6: Классификация особенностей каустик

7 Аналогия с распределением вещества во Вселен-ной

Проведём занимательную аналогию с так называемыми гравитационными каусти-ками. Согласно научным данным, в те времена, когда радиус Вселенной был раз втысячу меньше нынешнего, крупномасштабное распределение вещества во Вселен-ной было практически однородным. Дальнейшее движение частиц привело к обра-зованию каустик, т. е, особенностей плотности и скоплений частиц. Таким образом,небольшие флуктуации начального поля скоростей приводят через достаточно боль-шое время к образованию плотных скоплений частиц. Теория позволяет провестианалогию между описанием оптических каустик и описанием перестроек скопленийчастиц (мест высокой плотности среды) при потенциальном движении.

11


8 3D-моделирование

Как уже было упомянуто выше, по произведёным расчётам было выполнено постро-ение 3D-моделей зеркальных поверхностей, эволюция во времени отражённых от нихволновых фронтов и самих каустических поверхностей. Для того чтобы проверитьтеорию, в начале было предпринято построение элементарных конструкций. Преждевсего было рассмотрено поведение волнового фронта при падении под углом послеотражения от самой обыкновенной плоскости. Результат был довольно предсказуеми вполне тривиален, как это видно на графике ниже.

Рис. 7: Волновой фронт, отражённый от плоскости

После того как мы удостоверились в правдоподобности восстанавливаемых волновыхфронтов, была рассмотрена более сложная отражающая поверхность - параболоид.Как мы можем отметить судя по графику, сам волновой фронт после отражениятакже преобразуется по форме к сферическому виду. В процессе эволюции сфери-ческий волновой фронт сжимается в точку в фокусе параболоида, что на практикеподтверждает известное свойство исследуемой поверхности - пересечение отражён-ных параллельных лучей в фокусе.

Следующим объектом изучения стал синусоидальный цилиндр. Плоский волновойфронт, падающий на поверхность под углом, преобретает после отражения вид пе-рехлестывающихся "волн" , набегающих друг на друга. Каустики, получаемые врезультате, являются скрещенными прерывистыми элементами плоскостей.

.

.

Своего апогея испытываемая теория достишает при её применении к зеркалу, на-поминающему своей формой волны, разбегающиесяся по поверхности воды послепадения капли. Отличие состоит лишь в том, что, интреса, ради данная поверхность

12


Рис. 8: Волновой фронт, отражённый от поверхности параболоида

Рис. 9: Волновой фронт, отражённый от синусоидального цилиндра

была промодулирована синусоидой. Исследуемая поверхность задаётся следующимипараметрическими уравнениями:

𝑥 = 𝑣𝑐𝑜𝑠(𝑢),𝑦 = 𝑣𝑠𝑖𝑛(𝑢),𝑧 = 3.1− 𝑠𝑖𝑛(𝑣)(1 + 0.4𝑠𝑖𝑛(10𝑢))

То, что мы наблюдаем как каустики, подобно распускающемуся цветку. Именно бла-годаря своей изысканной форме эта поверность была позже выбрана нами для про-

13


Рис. 10: Каустика волновой фронта, отражённого от синусоидального цилиндра

ведения эксперимента и получения столь эстетичной каустики вживую.

Рис. 11: Волновой фронт, отражённый от поверхности x = v cos[u], y = v sin[u], z = 3.1 -sin[v] (1 + 0.4 sin[10 u])

.

14


9 Эксперимент

9.1 Предпосылки

С самого начала работы над каустиками было решено провести эксперимент. На тобыло несколько причин:1) Эстетическая. Каустики не случайно привлекли наше внимание - пожалуй, любо-му физтеху знакомо чувство наслаждения красотой необычных кривых и поверхно-стей. Вот и нам захотелось попробовать создать своими руками рисунок из света.2) Учебная. На наш взгляд, вопрос по выбору - прекрасная возможность что-либосделать своими руками, познакомиться с новым оборудованием и интересными пре-подавателями.3) Исследовательская и цель проверки понимания теории. Критерий истинности тео-рии, как известно, опыт. Для того, чтобы проверить, правильно ли мы понимаемсущество вопроса и правильно ли мы проводим моделирование, можно поставить со-ответствующий эксперимент. Кроме того, в ходе постановки эксперимента частеньковыясняются любопытные факты. Как теоретические, так и прикладные, имеющиесобственную ценность.Все эти цели были нами достигнуты вполне, что будет ясно из дальнейшего текста.Кроме того, следует подчеркнуть, что среди целей работы не было задачи установ-ления количественных закономерностей. Все опыты, которые мы ставили, носиликачественный характер.

9.2 Первые опыты

В первых опытах мы использовали самодельную отражающую поверхность из фоль-ги, наклееной на картон. В ходе них выяснилось, что складки толщиной порядка 1ммделают картину каустик совершенно неузнаваемой и размытой. Совершенствованиетехники наклеивания фольги дало результаты, но в конечном счёте было решенонайти более подходящие материалы.В ходе этой работы были так же выяснен любопытный факт: рассеянное солнечноеизлучение в пасмурный день не даёт каустик (как и теней). Это объясняется нало-жением множества рисунков, созданных светом, падающим со всех направлений.Так же стало ясно, что мы ошибочно полагали (интуитивно опираясь на не слиш-ком удачные изображения из интернета), что кривая, вдоль которой будет согнутоциллиндрическое зеркало, и будет эвольвентой каустики. Разумеется, это не так, таккак для этого необходимо нормальное падение света на поверхность во всех точках(и при том, синфазное).

9.3 Цилиндрические поверхности

Для получения качественных каустик от цилиндрических ("двумерных") поверхно-стей было решено использовать тонкие листы металла из-под банок для напитков.

15


Мы их сгибали по заданной кривой с помощью трафарета и затем наблюдали кау-стики в отражённом свете. Надо отметить, что данный метод оказался достаточноэффективен: толщина листа металла была оптимальна для легкого сгибания и в тоже время не мялась, восстанавливала свою форму. Для демонстрации мы закрепилидостаточно толстый лист с помощью картона и пенопласта, изогнув его про парабо-ле, промодулированной косинусом (для сохранения чётности):

𝑦 = 𝑥2(1 + 0.1𝐶𝑜𝑠(15𝑥))

Каустики на этом образце получались особенно разнообразными.

9.4 Поверхность "ракушка"

Последним этапом нашей практической деятельности стало воссоздание трёхмернойкаустики от поверхности, обсуждённой в части "3D-моделирование". Идея выбораданной поверхности родилась, как уже было сказано выше, из образа расходящихсяволн по воде от упавшей капли. В дальнейшем эта идея была усовершенствована по-сле промодулирования описываемой поверхности синусом. Затем встал вопрос о том,как получить подобную поверхность из доступных нам средств. Обратившись к пре-подавателю с кафедры общей физики, мы решили использовать 3D-принтер. Былиизготовлены пробные модели диаметром от 1 до 3 см. Итоговая версия составляетже 6,5 см в диаметре. Далее поверхности были отшлифованы пилочкой, немногоподплавлены дихлорэтаном для большей гладкости и покрыты глянцевым лаком.Была также идея провести реакцию серебряного зеркала вместо нанесения лака, ноона была вскоре отвергнута, поскольку было бы необходимо подвергать пластиковуюфигуру высоким температурам и использовать кислоту (или формальдегид).Наблюдение же трехмерных каустик составляет отдельную проблему. Чтобы визу-ализировать их можно, например, наблюдать рассеяние света в задымлённом воз-духе/мутном растворе: интенсивность рассеяния пропорциональна интенсивности вточке наблюдения рассеяния. Тем не менее, на практике эти способы осуществить неудалось. Это связано, по всей видимости, с рассеянием падающего света и света, рас-сеянного от каустик. Однако, в конечном итоге были получены проекции трёхмерныхкаустик на самой поверхности при её освещении фонариком (ими являются неплохоразличимые на данной фотографии "лепестки"из света). Кроме того, "каустическоеколечко" , которое мы так хотели наблюдать, удалось частично спроецировать налист бумаги, однако его для этого нужно подность к поверхности фактически вплот-ную.Возможно, стоит пояснить, почему мы полагаем эти лепестки проекциями искомыхкаустик. Это следует из визуализации эволюции фронта с помощью моделирования:на ней хорошо видно, как отражённая волна, пройдя каустический излом, вновь по-падает на поверхность.

16


Рис. 12: Поверхность "ракушка". Эксперимент

10 Заключение

Была проделана большая и интересная работа по изучению свойств каустик и ме-тодов их наблюдения. Мы познакомились с работой 3D-принтера, значительно про-двинулись в освоении языка "Wolfram Mathematica смогли насладиться множествомкрасивых картинок. В общем и в целом - цели работы достигнуты. Кроме того, в ходеизучения сопутствующей литературы мы познакомились с чрезвычайно интереснымразделом математики - теорией катастроф (хотя следует отметить, что и сам авторсчитает это название несколько дискредитированным).Конечно, как и после любой хорошей работы, виднеется непочатый край исследо-ваний. Было бы очень интересно углубиться в теорию катастроф и понять строгимспособом классификацию каустик, их особенностей. А так же вывести степенные ко-эффициенты пропорциональности между интенсивностью и типом особенности. Почасти наблюдения каустик и их моделирования - хотелось бы учесть повторные от-ражения, а так же научиться строить поверхность по заданной каустике. Научисьмы делать это, можно было бы "рисовать светом". Позволяя себе дальнейший по-лёт мысли, можно сказать, что таким образом можно было бы создавать объёмныетрехмерные изображения (к примеру, проецируя их на пар), искривляя соответству-

17


ющим образом подложку (передача изображения с помощью динамического измере-ния формы поверхности уже недавно была продемонстрирована в MIT (2016, MITNews Press Center). Добавив сглаживание с помощью неких гибких зеркальных ма-териалов, можно было бы получить искомый способ передачи изображения). Разуме-ется, для этого следует развить численные методы моделирования каустик (в нашейработе рассматривались только аналитические методы).Отдельно хочется отметить большой вклад в нашу работу как преподавателей, так идругих заинтересованных студентов ФОПФа. Кто-то помогал с материалами, кто-топомогал отлаживать код и дискутировал насчёт физических основ работы. Все этобыло чрезвычайно полезно не только для выполнения работы, и но для нас в смыслеполучения опыта.

11 Список литературы

∙ Э. Г.Позняк, Е. В.Шикин. Дифференциальная геометрия: первое знакомствоМ.: Изд-во МГУ, 1990.

∙ В. И.Арнольд. Теория катастроф. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1990.

∙ А. Н. Андреев, А. А. Панов. «Квант» №3, 2010.

∙ Д.В.Сивухин. Общий курс физики. Оптика. Том 4. ФИЗМАТЛИТ, 2002.

18

Documents

Каустики - MIPT · 1 Введение Оптические каустики - линии или поверхности, в окрестности которых резко