Патрушев Е.М., Патрушева Т.В. Кафедра ИТ, АлтГТУit.fitib.altstu.ru/neud/pis/pis.pdf · 26 Сентябрь, 2009 Преобразование измерительных

26 Сентябрь, 2009

Преобразование измерительных сигналовэлектронный учебно-методический комплекс

Патрушев Е.М., Патрушева Т.В.Кафедра ИТ, АлтГТУ

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникТеорияМодуль 1

1 Области применения технологий обработки сигналов..........................................................................................................................................................32 Общие понятия о сигналах.......................................................................................................................................................................................................32_1 Терминология........................................................................................................................................................................................................................32_2 Средняя величина и стандартное отклонение.....................................................................................................................................................................52_3 Полученный сигнал и полезный сигнал..............................................................................................................................................................................62_4 Гистограммы и функции распределения.............................................................................................................................................................................73 АЦП и ЦАП.............................................................................................................................................................................................................................123_1 Техника аналого-цифрового преобразования слабых сигналов добавлением шума......................................................................................................143_2 Теорема Котельникова (теорема отсчётов)........................................................................................................................................................................163_3 Цифро-аналоговые преобразователи сигналов.................................................................................................................................................................173_4 Однобитные ЦАП и АЦП...................................................................................................................................................................................................19

2

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник1 Области применения технологий обработки сигналов

Космос – Обработка космических фотографий. Сжатие данных. Удалённый анализ данных.

Медицина – Анализ электрокардиограмм. Ультразвуковое исследование. Обработка снимков.

Средства мультимедиа – Сжатие изображений и звуков для мультимедиа презентаций. Бытовая видео и аудиотехника. Видеоэффекты. Видеоконференции, видеотелефоны, музыка, синтез и распознавание речи.

Телефония – Сжатие голоса и данных. Эхоподавление. Переключение сигналов. Фильтрация, шумоподавление. Передача нескольких разговоров по одной паре проводников.

Оборона – Радар. Сонар. Навигация (спутниковая). Защищённые коммуникации.

Промышленность – Поиск месторождений (ГРО). Управление и мониторинг производственных процессов. Неразрушающий контроль. Системы САПР.

Наука – Запись и анализ землетрясений. Обработка экспериментальных данных. Спектральный анализ. Моделирование и имитирование.

2 Общие понятия о сигналах

2_1 ТерминологияСигналом называется описание того, как один параметр зависит от другого параметра. Наиболее распространённый случай - это

зависимость напряжения от времени. Если оба этих параметра представлены непрерывным диапазоном значений, такой сигнал называется непрерывным или аналоговым.

Если параметры представлены конечным числом значений, то такой сигнал может называться дискретным, квантованным либо цифровым.

3

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник

3,025

3,020

3,000

3,005

3,010

3,015

10 5 35 30 25 20 15 0

Время

Ам

пл

итуда

(в

во

ль

тах)

3,025

3,020

3,000

3,005

3,010

3,015

10 5 35 30 25 20 15 0

Время

Ам

пл

иту

да

(в

во

ль

та

х)

Рисунок 1 – Аналоговый сигнал Рисунок 2 – Дискретизированный сигнал

3025

3020

3000

3005

3010

3015

10 5 35 30 25 20 15 0

Номер выборки

Ци

фр

ово

й к

од

Рисунок 3 – Цифровой сигнал

4

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникПараметры, из которых состоит сигнал, делятся на 2 группы:

1) горизонтальная ось (ось – х, независимая переменная, абсцисса, область);

2) вертикальная ось (амплитуда, ось – у, зависимая переменная, ордината, диапазон).

По оси абсцисс в большинстве случаев единицей измерения является время для аналоговых сигналов, для цифровых – номер выборки (номер элемента массива). Если в качестве параметра для горизонтальной оси используется время, то такой сигнал называют временной зависимостью (временная область), если частота – то частотной зависимостью (частотная область), если геометрический размер – то пространственной зависимостью (пространственная область). Он используется там, где сигналом является изображение.

2_2 Средняя величина и стандартное отклонениеКак для случайных величин, так и для сигналов, важное значение имеет среднее значение сигнала µ и стандартное отклонение σ

(СКО).

∫∆

∆=µ

t

0

dt)t(ft

1 ; ∑

−

==µ

1N

0iiX

N1

В метрологии исследуются многократные измерения одной величины. Здесь речь идёт о зависимостях. В радиотехнике средняя величина часто называется постоянной составляющей сигнала. Для СКО имеются следующие формулы:

∫∆

∆=σ

t

0

22 dt)t(ft

1; ∑

−

=µ−

−=σ

1N

0i

2i

2 )x(1N

1

Не путать с СКО среднего арифметического (оно меньше СКО в N раз). Для электрических сигналов σ еще называют среднеквадратическим или действующим напряжением.

−−

=σ ∑ ∑−

=

−

=

1N

0i

21N

0ii

2i

2 xN1x

1N1

Данная формула для σ позволяет получать эту величину "на ходу", т.е. не дожидаясь конца процесса.

5


Рисунок 4 - Примеры сигналов с рассчитанными µ и σ

2_3 Полученный сигнал и полезный сигналПример: Если бросать монету и орлу присвоить значение единица, а решке – ноль, то после вычисления среднего за большое

число бросаний получится около 0,5. Этот результат следует интерпретировать так: "50% орёл и 50% решка", а не так "наиболее вероятное и следовательно, истинное значение сигнала равно 0,5". Поскольку в полученном сигнале всегда присутствуют случайные величины (шумы), то возникает проблема выделения полезного сигнала. С точки зрения статистики при многократном повторении экспериментов вероятностные характеристики полезного сигнала остаются постоянными, а для получения сигнала с шумами изменяются каждый раз.

Шумы, сопровождающие полезный сигнал, могут быть стационарными и нестационарными. Если шумы нестационарные, то такие сигналы исследуют, выделяя отрезки, на которых можно принять шум стационарным.

6


8

4

-4

-2

0

2

Ам

плит

уда

12864 448384320256192-6

Время511

8

4

-4

-2

0

2

Ам

плит

уда

12864 448384320256192-6

Время511

Рисунок 5 – Сигнал, снабженный стационарным и нестационарным шумом

2_4 Гистограммы и функции распределенияГистограмма показывает количество выборок сигнала, которые принимают одно из заданных значений (частоты). Гистограммы

получаются более гладкими при использовании большего числа выборок. Гистограмма не показывает реального распределения случайной величины. Это только оценка.

По гистограмме можно построить эмпирическую функцию плотности распределения. Функцией плотности распределения пользуются так. Выделяют интервал значений и находят площадь криволинейной трапеции над этим интервалом. Это будет вероятность попадания величины в данный интервал.

7


64

128

192

255

Ам

плит

уда

03216 11296806448

Номер выборки1280

Рисунок 6 – Случайный сигнал, состоящий из 128 выборок

Рисунок 7 – Гистограмма, построенная по 128 и по 256000 выборкам

8


Рисунок 8 - Гистограмма и эмпирическая функция плотности распределения

Рисунок 9 - Функция плотности распределения

9


Рисунок 10 - Прямоугольный сигнал и его функция плотности распределения

Рисунок 11 - Треугольный сигнал и его функция плотности распределения

10


Рисунок 12 - Шумовой сигнал и его функция плотности распределения

11

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник3 АЦП и ЦАП

Большинство открытых в науке явлений являются непрерывными зависимостями. АЦП и ЦАП – устройства, позволяющие компьютерам взаимодействовать с внешним миром. Цифровая информация отличается от аналоговой тем, что она дискретизирована и квантована. Оба этих ограничения определяют количество информации, содержащейся в цифровом сигнале. При аналого-цифровом преобразовании сигнал поступает в устройство выборки-хранения.

Рисунок 13 - Операции дискретизации и квантования

Этим устройством является аналоговое запоминающее устройство, хранящее значение входного напряжения во время преобразования в АЦП. УВХ преобразует независимую переменную из непрерывной величины в дискретную. Количество выборок в секунду называется частотой дискретизации. При квантовании зависимая переменная из непрерывной становится дискретной. При

этом возникает погрешность квантования, попадающая в интервал 21± кванта. Количество квантов определяется как n2 , где n –

разрядность АЦП. Иными словами, квантованный сигнал – это тот же самый непрерывный сигнал плюс погрешность квантования. Важное свойство погрешности квантования то, что она близка по своим свойствам к случайному шуму.

12


Рисунок 14 - Погрешность квантования и ее функция плотности распределения (σ=0,29)

При выборе разрядности АЦП нужно знать какой шум присутствует в исходном сигнале, и какой шум хотят получить в результате. Для получения результирующего шума вычисляют 22 bac += где a и b – СКО погрешности квантования и СКО шума на входе,

с – результирующее СКО.

13

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник3_1 Техника аналого-цифрового преобразования слабых сигналов добавлением шума

Когда входной сигнал очень слабо изменяется (в пределах одного кванта), при аналого-цифровом преобразовании теряются все нюансы этого сигнала. Для решения этой проблемы к сигналу примешивают дополнительный шум в пределах нескольких квантов.

Преобразовав такой сигнал в цифровой вид и выполнив статистические расчёты, можно получить более точный образ исходного сигнала. Таким образом, добавлением шума можно повышать информационную эффективность аналого-цифрового преобразования.

Рисунок 16 - Преобразование сигнала с небольшой амплитудой Рисунок 17 - Слабый сигнал снабжен шумом

14


Рисунок 18 - Преобразование сигнала с шумами повышает информативность

15

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник3_2 Теорема Котельникова (теорема отсчётов)

При преобразовании сигнала в цифровую форму неизбежно теряется часть информации об исходном сигнале. Данная теорема позволяет ответить на вопрос о том, какую необходимо выбирать частоту дискретизации. Согласно этой теореме, аналоговый сигнал может быть сколь угодно точно дискретизирован, если не содержит частот выше половины частоты дискретизации.

ШЕННОН (Shannon) Клод Элвуд (р . 1916), американский инженер и математик. Один из создателей математической теории информации. Основные труды по теории релейно-контактных схем, математической теории связи, кибернетике.

Рисунок 19 - Процесс дискретизации при различных соотношениях частоты сигнала и частоты дискретизации

Эту частоту называют частотой Найквиста. При дискретизации сигналов с частотами близкими и выше частоты Найквиста сильно

16

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочниксказывается интерференция этих частот, так что исходная информация не может быть восстановлена. Поэтому рекомендуется перед аналого-цифровым преобразованием ставить фильтр, не пропускающий частоты выше частоты Найквиста.

3_3 Цифро-аналоговые преобразователи сигналовСамый простой способ ЦА-преобразования сигналов – создание с помощью ЦАП импульсов, следующих с частотой

дискретизации и представляющих собой образ исходного сигнала.

Различные конструкции ЦАП имеют на выходе сигнал различного вида. Например, в виде коротких импульсов, или в виде ступенек.

Рисунок 20 - Выходной сигнал ЦАП в виде коротких импульсов и ступенек

17


Рисунок 21 - Цифровая обработка аналоговых сигналов

Для получения непрерывных сигналов ставят фильтры низких частот (ФНЧ) с частотой пропускания от 0 Гц до частоты Найквиста. Фильтры низких частот удаляют из сигналов резкоизменяющиеся моменты, то есть сглаживают сигнал. Процесс получения аналогового сигнала из цифрового называют восстановлением, а полученный сигнал - восстановленным.

18

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник3_4 Однобитные ЦАП и АЦП

Для преобразования этим способом требуется всего 1 бит, а в схеме ЦАП и АЦП не нужен набор точных резисторов (матрица R-2R). Большинство однобитных АЦП используют дельта – модуляцию, которая основана на сравнении входного сигнала с напряжением на ёмкости, на которую подаются короткие импульсы, заряжающие или разряжающие её.

Рисунок 22 - Схема АЦП с дельта- модуляцией

19


Рисунок 23 - Диаграммы работы однобитного АЦП

20

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникМодуль 2

4 Линейные системы.................................................................................................................................................................................................................224_1 Сигналы и системы.............................................................................................................................................................................................................224_2 Необходимые условия линейности системы (признаки линейной системы).................................................................................................................234_3 Свойства линейных систем................................................................................................................................................................................................274_4 Разложение и синтез...........................................................................................................................................................................................................285 Преобразование Фурье...........................................................................................................................................................................................................315_1 Нотации преобразований Фурье........................................................................................................................................................................................375_2 Особенности полярного представления............................................................................................................................................................................415_3 Свойства преобразований Фурье.......................................................................................................................................................................................425_4 Спектры некоторых сигналов............................................................................................................................................................................................525_5 Быстрое преобразование Фурье (БПФ).............................................................................................................................................................................536 Ряды Фурье..............................................................................................................................................................................................................................54

21

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник4 Линейные системы

4_1 Сигналы и системыСигналом называется некоторая зависимость одной величины от другой. Системой называют всякий процесс, создающий

выходной сигнал, как реакцию (отклик) на входной сигнал. Аналоговые системы работают с непрерывными сигналами x(t) и y(t), дискретные системы работают с цифровыми сигналами X[n] и Y[n].

Рисунок 24 - Аналоговые и дискретные системы

22

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник4_2 Необходимые условия линейности системы (признаки линейной системы)

1. Гомогенность – при изменении амплитуды входного сигнала в результате также изменяется и амплитуда выходного сигнала.

Рисунок 25 - Гомогенная система

2. Аддитивность – при суммировании входных сигналов результирующий сигнал на выходе будет равен сумме реакций от входных сигналов.

Рисунок 26 - Аддитивная система

3. Инвариантность – когда смещение входного сигнала во времени вызывает аналогичные смещения выходного сигнала.

23


Рисунок 27 - Инвариантная система

4. Статическая линейность – когда соблюдаются законы прямой пропорциональности.

Рисунок 28 - Статическая линейность

24


Рисунок 29 - Нелинейность

5. Гармоническая верность – если на вход подать синусоидальный сигнал, то на выходе будет той же частоты синусоидальный сигнал.

Примеры линейных систем:

- Распространение волн (звуковых, электромагнитных);

- Электрические схемы, состоящие из RLC-элементов;

- Электрические схемы, такие как усилители, фильтры;

- Механическое движение (масса, жёсткость);

- Системы, описываемые дифференциальными уравнениями (как RLC-цепи);

- Умножение на константу (усиление, ослабление);

- Изменения сигнала, такие как эхо, резонанс, замутнение изображений;

25

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник- Повторители;

- Нуль-системы – выход всегда равен нулю;

- Дифференциаторы и интеграторы;

- Слабонелинейные системы;

- Свёртка;

- Деконволюция (операция обратная свёртке).

Примеры нелинейные систем:

- Без статической линейности – диоды;

- Системы без частотной верности – умножители частоты, детекторы, квадраторы, ограничители, перемножители сигналов;

- Гистерезис;

- Насыщение;

- Системы с пороговым уровнем (логические элементы).

26

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник4_3 Свойства линейных систем

1. Порядок установки линейных систем не влияет на выходной сигнал.

Рисунок 30 - Порядок установки линейных систем не влияет на результирующий сигнал

2. Любая сложная система будет линейной, если составлена из линейных систем и блоков суммирования.

Рисунок 31- Любая сложная система будет линейна, если составлена из линейных систем и блоков суммирования

27

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник3. Перемножение сигнала на константу является линейной операцией, а перемножение двух сигналов - нелинейной.

Рисунок 32 - Перемножение сигнала на константу является линейной операцией, а перемножение двух сигналов – нелинейной

4_4 Разложение и синтезРазложение (декомпозиция) – это получение из сложного исходного сигнала группы более простых. Синтез – операция, обратная

разложению.

Пользуясь линейностью системы, для того, чтобы найти выходной сигнал (реакцию, отклик), при подаче на вход сложного сигнала, поступают следующим образом:

1) раскладывают входной сигнал на группу простых;

2) находят отдельно реакцию системы на каждый из простых сигналов;

3) суммируют полученные сигналы.

Разложение может быть:

1) Импульсное;

2) Переходное (шаговое, ступенчатое);

3) Чётно/нечётное разложение;

4) Разложение Фурье;

5) Разложение Лапласа;

6) Z – преобразование;

7) Вэйвлет.

28


Рисунок 33 - Разложение и синтез

29


Рисунок 34 - Импульсное и шаговое разложения

30

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник5 Преобразование Фурье

Фурье-анализ – это семейство математических методов, основанных на разложении сигнала в синусоиды.

Жан – Батист Жозеф Фурье (1768-1830) – французский математик и физик.

Основное достоинство разложения Фурье то, что каждая из синусоидальных и косинусоидальных составляющих имеет свою частоту, а исходный сигнал своей частоты может и не иметь (если это импульс, например). Каждая из гармонических составляющих разложения существует бесконечно долгое время. В линейных системах синусоидальный входной сигнал приводит к появлению синусоидального выходного сигнала той же частоты, но с другой амплитудой и начальной фазой – это позволяет анализировать прохождение различных сигналов через линейные системы.

Разложение Фурье могут также называть спектральным анализом.

В зависимости от того, с каким сигналом имеют дело, пользуются различными преобразованиями Фурье. Семейство преобразований Фурье включает в себя следующие преобразования:

1) Преобразование Фурье – для непрерывных, апериодических сигналов (импульсов);

2) Ряд Фурье – для непрерывных, периодических сигналов;

3) Дискретно-временное преобразование Фурье – для дискретных апериодических сигналов;

4) Дискретное преобразование Фурье – для дискретных периодических сигналов (FFT).

Каждое из этих преобразований обратимо, в название добавляется слово "обратное". Цифровые компьютеры могут работать только с сигналами ограниченной длины, поэтому ДПФ применяют только к массивам ограниченной длины. В спектральном представлении записываются не сами синусоиды и косинусоиды, а только их частоты и амплитуды. Поскольку при разложении Фурье получаются синусоиды и косинусоиды, то в алгебраическом представлении амплитуды косинусоид обозначают как действительную часть, синусоид как мнимую. Следовательно, спектр - это комплексная функция от частоты. Обозначается S(jω).

31


Рисунок 35 - Разложение Фурье – половина гармонических составляющих косинусоиды, половина синусоиды

32


Рисунок 36 - Семейство преобразований Фурье

33


Рисунок 37 - Пример преобразования Фурье

34


Рисунок 38 - Дискретное преобразование Фурье

При вычислении спектра дискретных сигналов получают массив, состоящий из комплексных чисел. Этот массив имеет размерность в два раза меньшую, чем исходный (временной). Общее количество информации остаётся неизменным. Обратное преобразование даёт исходный результат. В частотном массиве представлены амплитуды синусоид и косинусоид для частот от 0 до частоты Найквиста.

35


Дискретные сигналы Непрерывные сигналы

Апериодические ДВПФ

Синтез

∫π

ωωω−ωω

π=

0 d))nsin(][XIm)ncos(][X(Re1]n[x

Спектральный анализ

;)ncos(]n[x][XRen∑

∞

− ∞=ω=ω

∑∞

− ∞=ω−=ω

n).nsin(]n[x][XIm

Преобразование Фурье

Синтез

f(t)= ωωπ

ω+ ∞

∞−∫ de)j(S

21 tj

∫∞

ϖωω−ωω

=0 d))tsin()(XIm

)tcos()(X(Re)t(f


S(jω)= dte)t(f tjω−+ ∞

∞−∫

;dt)tcos()t(f1)(XRe ωπ

=ω ∫+ ∞

∞−

dt)tsin()t(f1)(XIm ωπ

−=ω ∫+ ∞

∞−

36

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникПериодические ДПФ

Синтез

∑= π−

π=

2/N

0k ))N/kn2sin(]k[XIm)N/kn2cos(]k[X(Re

]n[x


;)N/kn2cos(]n[xN2]k[XRe

1N

0n∑

−

=π=

∑−

=π−=

1N

0n).N/kn2sin(]n[x

N2]k[XIm

Ряд Фурье

Синтез

∑∞

= πω−πω

=0k ))T/kt2sin()(XIm

)T/kt2cos()(X(Re)t(f


;dt)T/kt2cos()t(fT2)(XRe

T

0∫ π=ω

.dt)T/kt2sin()t(fT2)(XIm

T

0∫ π−=ω

5_1 Нотации преобразований ФурьеСпектр может быть представлен в прямоугольной или полярной нотации. Прямоугольная (алгебраическая) нотация – спектр

косинусоид и спектр синусоид. Полярная форма - в виде амплитуд и начальных фаз одних только косинусоид, представляет собой спектр амплитуд и спектр фаз. Спектр амплитуд |S(jω)| показывает распределение энергии по частотам. Спектр фаз arg(S(jω)) говорит о временных характеристиках сигналов. Чаще всего спектр фаз используется в тех областях, где нужно исследовать задержку сигнала. Прямоугольная нотация более удобна для вычислительных операций сложения сигналов.

37


Рисунок 39 - Полярная и прямоугольная записи комплексного числа

[Преобразование в полярную форму]

38


Рисунок 40 - Алгебраическая и полярная запись спектра

39


Рисунок 41 – Смысл спектра фаз: восстановление сигнала, только по спектру амплитуд и только по спектру фаз

40

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник5_2 Особенности полярного представления

а) Спектр фаз может быть в градусах и радианах;

б) При вычислении спектра фаз может произойти ошибка деления на 0;

в) Неправильное вычисление arctg 11

−−

;

г) Фазы при очень маленьких амплитудах;

Рисунок 42 - Вычисление фазы может дать неверный результат

д) Периодичность фазы 2 π : так как фаза не может выходить за пределы от π− до π , могут наблюдаться резкие скачки на графиках с фазой. Шумы в сигнале могут вызывать резкие скачки на графике с фазой при переходе от π− к π или наоборот.

41


Рисунок 43 - Повторение спектра через 2π

5_3 Свойства преобразований Фурьеа) Преобразование Фурье является линейной операцией, т.к. обладает свойством гомогенности и аддитивности.

f(t) → S(jω) ; k f(t) → k S(jω)

f1(t) → S1(jω) ; f2(t) → S2(jω); f1(t) +f2(t) → S1(jω)+ S2(jω)

б) Смещение сигнала во времени никак не влияет на спектр амплитуд, зато к функции спектра фаз необходимо прибавить ∆tω. Спектр фаз несёт информацию о временной задержке, длительности импульса.

f(t) → S(jω); f(t-Δt) → S(jω) e∆tω

в) Преобразование Фурье симметрично относительно нуля частот.

S(jω)=S(-jω)

г) Сигнал, отражённый относительно нуля времени, имеет спектр комплескно-сопряженный исходному.

42

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникf(t) → S(jω); f(-t) → )j(S ω

д) Сигнал, симметричный относительно нуля времени, имеет спектр фаз, равный нулю на всех частотах. Сигнал с симметричной формой, но смещенный относительно нуля времени, имеет спектр фаз, линейно зависящий от частоты. Сигнал асимметричной формы имеет спектр фаз, нелинейно зависящий от частоты.

е) Сжатие сигнала во времени вызывает пропорциональное расширение полосы частот, занимаемой им

f(t) → S(jω); f(kt) → kS(jω/k)

ж) Перемножение сигнала на некоторое гармоническое колебание (несущую) вызывает амплитудную модуляцию. Спектр исходного сигнала смещается на частоту несущей. Получаются две боковые полосы.

]t)cos(t)[cos(21m)tsin()tsin()tsinm1( Ω+ω−Ω−ω+ω=ω⋅Ω+ [AM]

]t)cos(t)[cos(21)tsin()tsin( Ω+ω−Ω−ω=ω⋅Ω , ω< <Ω [DSB]

( ) ( ) ( )( )tcostsintsin2

tsin2

tsin Ω−ω=ω⋅Ω+

π+ω⋅

π+Ω [SSB]

где

Ω - частота передаваемого сообщения;

ω - частота несущей;

m – глубина (коэффициент) амплитудной модуляции.

Перемножение двух сигналов – нелинейная операция, поскольку не обладает частотной верностью.

з) Дифференцирование сигнала во временной области отображается простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования jω, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jω приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с

43

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникнулевой частотой. Интегрирование сигнала отображается в частотной области простым делением спектра сигнала на jω.

f(t) → S(jω); f'(t) → S(jω) jω;

и) Свертка двух функций во временной области отображается в произведением фурье-образов этих функций в частотной области. Произведение функций во временной области отображается сверткой фурье-образов этих функций в частотной области.

f1(t) → S1(jω) ; f2(t) → S2(jω); f1(t) * f2(t) → S1(jω)· S2(jω)

f1(t) · f2(t) → S1(jω) * S2(jω)

44


Рисунок 44 - Гомогенность преобразований Фурье

45


Рисунок 45 - Аддитивность: Сложение двух сигналов вызывает сложение их спектров и наоборот

46


Рисунок 46 - Смещение импульса во времени вызывает изменение спектра фаз

47


Рисунок 47 – Сигналы с нулевым спектром фаз, линейным спектром фаз, нелинейным спектром фаз

48


Рисунок 48 - Один и тот же интервал времени на разных частотах представляет собой разный сдвиг фаз

49


Рисунок 49 - Сжатие сигнала во времени

50


Рисунок 50 - Амплитудная модуляция с несущей (АМ)

51

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник5_4 Спектры некоторых сигналов

Преобразование Фурье не только обратимо, оно ещё и симметрично. Если от некоторого импульса определить спектр и взять сигнал этой же формы, то его спектр будет иметь форму как у исходного сигнала. Единственный сигнал, имеющий такую же форму, как и его спектр – это колоколообразный сигнал.

52


δ(t) Сплошной спектр

Рисунок 51 - Некоторые сигналы и их спектры

5_5 Быстрое преобразование Фурье (БПФ)БПФ - алгоритм, предназначенный для получения спектра дискретных сигналов, для своей реализации требует существенно

меньшего количества вычислительных операций. БПФ может работать только с сигналами длиной 2N выборок, где N – любое натуральное число. Нашёл широкое применение с появлением цифровых компьютеров, хотя был создан Гауссом.

53

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник6 Ряды Фурье

Если сигнал непрерывный и периодический с частотой f, разложение его на гармонические составляющие даст только частоты из ряда f, 2f, 3f, 4f и т.д. Составляющая с частотой f называется первой гармоникой, с частой 2f - второй гармоникой и т.д.

Рисунок 65 - Синусоидальный сигнал и его первая гармоника

Первую гармонику ещё называют основным тоном, вторую гармонику называют первым обертоном и т.д. Синусоидальный (косинусоидальный) сигнал состоит только из первой гармоники. Искажения формы синусоидального сигнала при прохождении через системы статически нелинейные приводит к появлению высших гармоник. Если искажения имеют симметричный вид, то появляются только нечётные гармоники (f, 3f, 5f, 7f…). Если искажения несимметричные, то появляются чётные и нечётные гармоники, а также составляющие нулевой частоты – постоянное смещение сигнала. Искажение формы сигнала можно использовать для умножения частот на целое число, при этом необходимо предусмотреть фильтрацию ненужных частотных составляющих.

54


Рисунок 66 - Сигналы с симметричным и асимметричным искажениями

∑∑∞

=

∞

=π−π+=

1nn

1nn0 )ftn2sin(a)ftn2cos(aa)t(x

55


∫−

=2

T

2T

0 dt)t(xT1a ∫

−

π=

2T

2T

n dtTtn2cos)t(x

T2a ∫

−

π−=

2T

2T

n dtTtn2sin)t(x

T2b

56


Рисунок 67 – Примеры разложения в ряд Фурье

57


7 Инерционные характеристики линейных систем.................................................................................................................................................................597_1 Частотные характеристики линейных систем (ЧХ)..........................................................................................................................................................597_2 Переходная характеристика (ПХ)......................................................................................................................................................................................607_3 Импульсная характеристика (ИХ).....................................................................................................................................................................................617_3_1 Понятие о свёртке...........................................................................................................................................................................................................627_4 Связь между частотной, переходной и импульсной характеристиками..........................................................................................................................668 Корреляция..............................................................................................................................................................................................................................688_1 Свойства автокорреляционной функции...........................................................................................................................................................................718_2 Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ)......................................................................................................................................................72

58

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник7 Инерционные характеристики линейных систем

Эти характеристики устанавливают связь выходного сигнала системы с входным.

7_1 Частотные характеристики линейных систем (ЧХ)

Рисунок 52 - Интегрирующая RC-цепь

1RCj1)j(K

+ω=ω [Комплексная частотная характеристика]

1)RC(1)j(K

2 +ω=ω [АЧХ]

)RC(arctg)( ω−=ωϕ [ФЧХ]

59


0

|K(jω)|

ω

1

0

φ(ω)

ω

-π/2

Рисунок 53 - АЧХ и ФЧХ интегрирующей цепи

Бывают АЧХ и ФЧХ. Поскольку при подаче на вход линейной системы синусоидального сигнала, на выходе появляется синусоидальный сигнал той же частоты, частотные характеристики связывают соответственно амплитуды и фазы этих сигналов. АЧХ – отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала в зависимости от частоты. ФЧХ – сдвиг фаз между выходным и входным сигналами. Частотные характеристики показывают, как преобразуется синусоидальный сигнал в данной системе. Следовательно, воспользовавшись разложением Фурье для входного сигнала можно получить спектр выходного сигнала. Для этого спектр амплитуд умножают на АЧХ (почастотно), а спектр фаз складывают с ФЧХ (почастотно):

Sвых(jω)= Sвх(jω) · K(jω)

7_2 Переходная характеристика (ПХ)Переходная характеристика – это временная зависимость выходного сигнала при подаче на вход системы ступени в 1 вольт

(единичная функция, 1(t), функция Хевисайда).

tRC1

e1)t(h−

−= [переходная характеристика]

60


0

h(t)

t

1

Рисунок 54 - Переходная характеристика интегрирующей цепи

Эта характеристика используется, если входной сигнал представлен ступенчатым (шаговым) разложением и применяется при вычислении переходных процессов интегралом Дюамеля.

∫ ττ−⋅τ′=t

0

d)t(h)(вхU)t(Uвых [При нулевых начальных условиях]

7_3 Импульсная характеристика (ИХ)ИХ – временная зависимость выходного сигнала при подаче на вход единичного импульса (дельта-функция,δ(t), функция Дирака),

бесконечно короткого, но с площадью равной единице.

Используется, если для входного сигнала было применено импульсное разложение. Импульсная характеристика еще называется ядром системы.

∫ ττ−⋅τ=t

0

d)t(k)(Uвх)t(Uвых [свёрточный интеграл]

Также применяется при вычислениях переходных процессов.

dt)t(dh)t(k = – связь между переходной и импульсной характеристиками;

61

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникВсякая линейная система может быть описана любой из этих характеристик. Все они однозначно связаны между собой, т.е. зная

только одну из этих характеристик, можно найти и остальные.

7_3_1 Понятие о свёрткеСвёртка – это математическая операция получения из двух зависимостей третьей. Используя технику импульсного разложения,

система может быть описана импульсной характеристикой. Свёртка важна тем, что связывает между собой три функции: входной сигнал, выходной сигнал, импульсную характеристику. Свёртка – это формальное математическое действие подобное сложению, умножению, дифференцированию и интегрированию. Обозначается звёздочкой.

UВЫХ(t)=UВХ(t)*k(t)

Рисунок 55 - Свертка

Для вычисления свёртки входной сигнал разбивается на бесконечно большое число импульсов, каждый из которых имеет своё смещение и свою амплитуду. Результатом действия каждого импульса является отклик, определяемый импульсной характеристикой. Выходной сигнал будет представлять собой сумму импульсных характеристик от каждого из импульсов.

Свёртка является коммутативным действием (от перестановки функций результат не изменяется), т.е. неважно какая функция - входной сигнал, а какая - импульсная характеристика.

62


a(t) y(t)b(t)

a(t) y(t)b(t)

Рисунок 56 - Коммутативность свертки

Свёртка обладает свойством ассоциативности для последовательного соединённых систем и свойством дистрибутивности для параллельно соединенных систем. Согласно центральной предельной теореме многократная свёртка всякого импульса самого с собой приводит к гауссовскому импульсу.

При выполнении свёртки иногда удобно продифференцировать входной сигнал, найти свёртку, а затем проинтегрировать и тем самым найти выходной сигнал.

63


x(t)

x(t)

x(t)

y(t)

y(t)

y(t)

k1(t)

k1(t)

k2(t)

k2(t)

k1(t) ∗ k2(t)

Рисунок 57 - Ассоциативность свертки

64


x(t) y(t)

k1(t)

k2(t)

x(t) y(t)k1(t) + k2(t)

Рисунок 58 - Дистрибутивность свертки

65

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникk(t)

k(t)

Рисунок 59 - Дифференцирование входного сигнала может упростить вычисление свертки

7_4 Связь между частотной, переходной и импульсной характеристикамиИмпульсная характеристика связана с переходной интегрированием потому, что импульс – это производная от ступеньки.

Частотная характеристика связана с импульсной преобразованием Фурье, так как частотная характеристика строится в частотной области, а импульсная - во временной.

66


Рисунок 60 - Связь между частотной, переходной и импульсной характеристиками

67

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник8 Корреляция

Корреляция – математическая операция, схожая со свёрткой. Позволяет получать из двух функций третью.

Рисунок 61 - Пример использования корреляции

Корреляция – это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне помех и шумов. Она подпадает под категорию

68

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникоптимальной фильтрации. Если )t(c)t(b*)t(a = - свёртка, то корреляция )t(d)t(b*)t(a =− т.е. это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Бывает автокорреляционная функция и кросс-корреляционная (взаимокорреляционная) функции.

∫−

τ+⋅=τT

TXY dt)t(y)t(x)(R [Взаимная корреляционная функция]

∫−

τ+⋅=τT

T

dt)t(x)t(x)(R [Автокорреляционная функция]

Автокорреляционная функция характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимная корреляционная функция характеризует степень связи между двумя разными сигналами.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.0062

1

0

1

2

Время t,c

Ам

плит

уда

А

Рисунок 61 - Исходный сигнал с шумами

69


0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.00610

5

0

5

10

Время t,с

Ам

плит

уда

А

Рисунок 62 - Автокорреляционная функция исходного сигнала

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

0

Время t,с

Ам

плит

уда

А

Рисунок 63 - Меандр той же частоты

70


0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.00610

0

10

Время t,с

Ам

плит

уда

А

Рисунок 64 - Корреляция исходного сигнала и меандра

8_1 Свойства автокорреляционной функции- Функция )(R τ является чётной т.е. )(R)(R τ=τ− ;

- Если x(t) функция вида Аsin(ωt+φ), то автокорреляционная функция tcos2

A)(R2

ω=τ - гармоническая функция той же

частоты. Информация о начальной фазе теряется;

- Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье;

- Если x(t) любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и синусоидально изменяющихся составляющих;

- Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала;

- Заданной x(t) соответствует вполне определённая R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t);

71

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник- Для x(t) без постоянной и синусоидальных составляющих функция )(R τ максимальна по модулю при 0=τ , так как функция

умножается на себя без сдвига во времени;

- Для случайных функций времени функция R(τ) уменьшается с увеличением τ и уже при сравнительно небольших τ стремится к нулю. Интервал времени от 0=τ до τ=τ0, при котором )(R τ становится равным нулю, называется интервалом автокорреляции.

8_2 Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ)- ВКФ не является ни чётной, ни нечётной, т.е. )(R)(R XYXY τ≠τ− ;

- ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования индексов и изменении знака аргумента )(R)(R YXXY τ−=τ ;

- Максимальное значение функции )(R XY τ может быть и не при 0=τ ;

– Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимым источником, то для них 0)(R XY =τ . Такие функции называются некоррелированными.

72

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникМодуль 49 Фильтры....................................................................................................................................................................................................................................749_1 Основы фильтрации............................................................................................................................................................................................................749_2 Классификация фильтров...................................................................................................................................................................................................759_3 Информация, представленная в сигнале...........................................................................................................................................................................759_4 Параметры временной области..........................................................................................................................................................................................769_5 Параметры частотной области...........................................................................................................................................................................................789_6 ФВЧ (фильтры высоких частот), полосовые и полосно-задерживающие (режекторные) фильтры..............................................................................819_7 Фильтр скользящего среднего............................................................................................................................................................................................859_8 Фильтры со взвешиванием.................................................................................................................................................................................................899_9 Специальные фильтры........................................................................................................................................................................................................979_9_1 Деконволюция (устранение нежелательной свёртки)...................................................................................................................................................979_9_2 Оптимальная фильтрация.............................................................................................................................................................................................1029_9_2_1 Фильтр скользящего среднего..................................................................................................................................................................................1029_9_2_2 Согласованный фильтр (корреляционный)..............................................................................................................................................................1029_9_2_3 Фильтр Винера..........................................................................................................................................................................................................1029_10 Рекурсивные фильтры.....................................................................................................................................................................................................1049_10_1 Рекурсивная техника...................................................................................................................................................................................................1049_10_2 Однополюсные фильтры............................................................................................................................................................................................1079_10_3 Узкополосные полосовые и режекторные рекурсивные фильтры...........................................................................................................................1109_11 Чебышевские фильтры....................................................................................................................................................................................................1119_11_1 Характеристики Чебышева и Баттерворта.................................................................................................................................................................1119_11_2 Разработка Чебышевского фильтра............................................................................................................................................................................1139_12 Нелинейная фильтрация.................................................................................................................................................................................................1169_12_1 Гомоморфная обработка сигналов..............................................................................................................................................................................117

73

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9 Фильтры

Фильтры применяются, когда требуется:

- разделить составляющие сложного сигнала;

- восстановить форму исходного сигнала, если он был каким-либо образом искажён.

9_1 Основы фильтрацииСогласно назначению фильтры можно разделить на две группы – разделяющие и восстанавливающие. В зависимости от

реализации фильтра он может быть аналоговым или цифровым. Аналоговые фильтры создаются на основе операционных усилителей, ёмкостей и сопротивлений. Цифровые фильтры строятся на основе микропроцессоров, устройств дискретизации и квантования, восстанавливающих устройств.

Достоинства аналоговых фильтров:

- простота реализации;

- высокое быстродействие;

- широкий динамический диапазон по амплитуде и частоте.

Достоинства цифровых фильтров:

- характеристики цифровых фильтров как устройств разделения и восстановления могут существенно превосходить те же характеристики аналоговых фильтров;

- характеристики цифрового фильтра очень легко изменить, для этого достаточно заменить программу.

Одним из путей реализации цифрового фильтра является вычисление свёртки входного сигнала с его импульсной характеристикой (ядром фильтра).

Вторым путём для построения цифрового фильтра является рекурсия, когда для вычисления каждого последующего выходного значения используется предыдущее.

Если фильтр цифровой и содержит рекурсию, то, подав на его вход одиночный импульс, на выходе фильтра будет сигнал бесконечной длины и постепенно уменьшающийся к нулю. Такие фильтры называют фильтрами с бесконечно длинной импульсной характеристикой (БИХ). Фильтры, работающие по свертке, называются фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ).

74

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_2 Классификация фильтров

Фильтры можно разделить по назначению и по способу реализации. По назначению:

- фильтры формы сигнала (работают во временной области);

- фильтры частотные (работают с частотной областью);

- фильтры специальные.

По реализации (для цифровых):

- свёрточные;

- рекурсивные.

Классификация линейных фильтров:

Использование

Реализация:

Свёрточные (с конечной импульсной характеристикой КИХ (FIR))

Рекурсивные (с бесконечной импульсной характеристикой БИХ (IIR))

Временная область Скользящего среднего Однополюсный

Частотная область Взвешивающий

(Sinc-оконный)

Чебышева

Особого назначения Специальный фильтр Итерационный

9_3 Информация, представленная в сигналеВажным для построения фильтров является понимание того, какая информация содержится в сигнале. Существует много путей, с

помощью которых полезная информация может быть представлена в сигнале, например, АМ(амплитудная модуляция), ЧМ(частотная модуляция), ФМ(фазовая модуляция), SSB, DSB, ИКМ, ШИМ(широтно-импульсная модуляция) и т. д.

Существует два пути, с помощью которых информация, содержащаяся в сигнале, может быть представлена: во временной области и в частотной области.

75

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникОдиночные точки из временной области ничего не говорят о периодичном характере движения. Частотная область содержит

информацию о взаимосвязи отдельных точек сигнала между собой.

Различие информации, содержащейся в частотной и временной областях, не позволяет создать универсальные фильтры, одинаково хорошо выделяющие информацию из временной области и из частотной. Например, для уменьшения шума ЭКГ (информация представляется во временной области) важна импульсная характеристика фильтра (частотная не имеет значения). Еще один пример – для распознавания сигналов бедствия (информация содержится в частотной области) важна частотная характеристика.

9_4 Параметры временной областиВсякий линейный фильтр может быть описан импульсной, переходной и частотной характеристикой. Каждая из этих

характеристик содержит полную информацию о фильтре, но в различной форме. Поскольку все характеристики между собой взаимосвязаны, то возможно построение фильтров также и на основе переходной характеристики или частотной характеристики.

При анализе фильтров может быть применена переходная характеристика. Переходная характеристика показывает реакцию (отклик) системы на приход некоторого события. Для неискажённой передачи сигналов через систему длительность переходной характеристики должна быть меньше интервала времени между событиями. Для этого пользуются величиной скорости нарастания выходного напряжения.

Рисунок 68 – «Плохая» и «хорошая» переходные характеристики. Скорость нарастания напряжения на выходе

76


Рисунок 69 – «Плохая» и «хорошая» переходные характеристики. С «успокоением» и без успокоения

Рисунок 70 – «Плохая» и «хорошая» переходные характеристики. Несимметричный и симметричный вид

77

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_5 Параметры частотной области

Частотные характеристики могут быть представлены в логарифмическом масштабе. Для оси амплитуд часто принимают шкалу в децибелах.

1

2

PPlg10dB ⋅=

1

2

AAlg20dB ⋅= [Шкала децибел для мощностей и амплитуд]

Поскольку амплитуда пропорциональна квадратному корню из мощности, шкала децибел для мощностей и для амплитуд вычисляется по-разному.

Как правило, для вычисления уровня сигнала в знаменатель записывают некоторое «номинальное» значение. Например «порог слышимости» для звуков. Для построения АЧХ системы в логарифмическом масштабе берут отношение выходного сигнала к входному. Как правило, усиление или ослабление системы указывают в децибелах. Например, усиление в 10 раз по амплитуде называют усилением на 20 дБ.

На частотных характеристиках фильтров можно видеть следующие области:

- полоса пропускания – область частот, которые проходят через фильтр без ослабления;

- полоса заграждения (задерживания) – область частот, которые проходят через фильтр существенно ослабленными;

- полоса спада – находится между полосами пропускания и задерживания (крутизна изменяется в дБ/окт или в дБ/дек); Октава – полоса частот в которой нижняя граница соотносится с верхней как ½. Декада – полоса частот в которой нижняя граница соотносится с верхней как 1/10.

- частота среза – точка на графике АЧХ, соответствующая ослаблению на 3дБ (в 2 раз) для аналоговых фильтров. Для цифровых фильтров нет единого стандарта на частоту среза.

78


Рисунок 71 – Частотные характеристики фильтров и разделение по областям на них

79


Рисунок 72 – «Плохая» и «хорошая» частотные характеристики. Пологий и крутой спад

Рисунок 73 – «Плохая» и «хорошая» частотные характеристики. Равномерность в полосе пропускания

80


Рисунок 74 – «Плохая» и «хорошая» частотные характеристики. Степень ослабления в полосе заграждения

Для разделения близкорасположенных частот фильтр должен иметь крутой спад, равномерную характеристику в полосе пропускания, сильное ослабление в полосе задержания.

При разработке фильтров в большинстве случаев не принимают во внимание ФЧХ. Так как человеческий слух не восприимчив к начальной фазе звуков, эта характеристика не имеет значения в звукотехнике. Однако в аналоговых фильтрах эти характеристики связаны конструктивно и не могут корректироваться независимо.

9_6 ФВЧ (фильтры высоких частот), полосовые и полосно-задерживающие (режекторные) фильтрыРазработка ФВЧ, П и Р фильтров может быть начата с разработки фильтра низких частот(ФНЧ), который затем с помощью особой

техники может быть преобразован к нужному фильтру. С помощью спектральной инверсии из ФНЧ получают ФВЧ. Последовательное включение ФНЧ и ФВЧ даёт полосовой фильтр. Параллельное включение ФНЧ и ФВЧ даёт режекторный фильтр.

81


x(t) y(t)δ(t)

k(t)

x(t) y(t)δ(t) – k(t)

Рисунок 75 –Получение ФВЧ из ФНЧ с помощью спектральной инверсии

82


x(t) y(t)k1(t) ∗ k2(t)

x(t) y(t)k1(t) k2(t)

Рисунок 76 – Последовательное включение ФНЧ и ФВЧ дает полосовой фильтр

83


x(t) y(t)k1(t) + k2(t)

x(t) y(t)k1(t)

k2(t)

Рисунок 77 –Параллельное включение ФВЧ и ФНЧ дает режекторный фильтр

84

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_7 Фильтр скользящего среднего

Данный фильтр применяется при цифровой обработке сигналов. К его достоинствам можно отнести следующее:

- простота реализации;

- хорошее подавление шума;

- крутая переходная характеристика.

Фильтр скользящего среднего применяют в случаях, когда анализируют форму сигнала, то есть его временную область. Он мало пригоден для частотного разделения сигналов, но оптимален для подавления белого шума.

∑−

=+=

1M

0j]ji[x

M1]i[y [Фильтр скользящего среднего]

85


Рисунок 78 –Пример работы фильтра скользящего среднего

Белый шум – это шум с равномерным спектром амплитуд. Розовый шум – это шум с гиперболически убывающим спектром амплитуд (шум 1/f). Из всех линейных фильтров фильтр скользящего среднего лучше всего подавляет шумы при заданной крутизне переходной характеристики. При усреднении СКО шума уменьшается в M раз, где M – число точек, по которым производится усреднение. Амплитудно-частотная характеристика даётся выражением вида

86


)fsin(M)fMsin()f(H

ππ=

Спадает она очень медленно, поэтому этот фильтр мало подходит для частотной фильтрации, то есть, он хорошо сглаживает форму, но является плохим ФНЧ.

Рисунок 79 –АЧХ фильтра скользящего среднего

87


Рисунок 80 –Характеристики фильтров с различным числом проходов

Фильтр может быть двухпроходным, трехпроходным и т. д., если сигнал, прошедший через усредняющий фильтр повторно пропускается ещё через такой же фильтр (совсем не то же самое, если увеличить число точек усреднения).

88

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникПри увеличении числа проходов в фильтре его импульсная характеристика стремится к гауссоиде, следовательно, частотная

характеристика – также гауссоида. У фильтров с большим числом проходов лучшее подавление в полосе заграждения, более гладкая переходная характеристика, а также гладкая импульсная характеристика.

9_8 Фильтры со взвешиваниемЭти фильтры предназначены для отделения частот одного диапазона от другого.

Практика цифровой обработки имеет дело только с ограниченными массивами данных, которые "вырезаются" из бесконечных множеств, что равносильно умножению этих множеств на прямоугольную функцию с единичным амплитудным значением, которую называют естественным временным окном или естественной весовой функцией. Учитывая, что произведение функций отображается в спектральной области сверткой их фурье-образов, это может весьма существенно сказаться как на спектральных характеристиках функций, так и на результатах их последующих преобразований и обработки.

Если взять частотную характеристику идеального ФНЧ и выполнить преобразование Фурье, то можно получить импульсную характеристику такого фильтра, описываемую функцией вида sinc

ππ=

i)if2sin(]i[k c

Колебания ИХ соответствуют частоте среза (приблизительно).

89


Рисунок 81 – Импульсная и частотная характеристики идеального ФНЧ и ФНЧ с усеченной импульсной характеристикой

Функция k[i] стремится к нулю при i → ∞ и i → -∞, но это очень большой интервал и, следовательно, целиком реализована, не может. Если импульсная характеристика будет усечена до нескольких элементов, то тогда частотная характеристика будет с неравномерной полосой пропускания и плохим подавлением в полосе заграждения. Однако если усечённый sinc умножить на весовую

90

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникфункцию, например, окно Блэкмана или Хемминга, характеристики фильтра существенно улучшаются. Это достигается за счёт сглаживания sinc в месте усечения. Фильтры, построенные таким образом, называют взвешивающими или sinc–оконными.

Весовые функции даются следующими выражениями:

)M/i2cos(46.054.0]i[w π−= [Окно Хемминга]

)M/i4cos(08.0)M/i2cos(5.042.0]i[w π+π−= [Окно Блэкмана]

Рисунок 82 – Окно Хемминга, Окно Блэкмана

91


Рисунок 83 – ИХ и АЧХ sinc-оконного фильтра

Для оконных фильтров основная характеристика – импульсная, следовательно, для вычисления выходного сигнала необходимо выполнить свёртку входного сигнала с импульсной характеристикой. Вычисление свёртки напрямую может занять много времени, поэтому, используя БПФ можно существенно ускорить этот процесс. Импульсная характеристика с помощью БПФ переводится в частотную область, то есть определяется частотная характеристика фильтра. Входной сигнал также подвергается БПФ и, затем они перемножаются почастотно. Затем выполняется обратное преобразование Фурье.

92


Рисунок 84 – БПФ для входного сигнала и импульсной характеристики

93


Рисунок 85 – Почастотное перемножение и обратное БПФ

Если изначально частотная характеристика задаётся массивом, то для неё, используя обратное БПФ, можно получить импульсную характеристику. Эта импульсная характеристика может быть усечена с помощью окна Блэкмана и Хемминга, однако соответствующая ей частотная характеристика уже будет отличаться от исходной. С одной стороны, требуемой частотной характеристике будет соответствовать бесконечно длинная импульсная характеристика. Усечение этой характеристики приводит к тому, что частотная характеристика не будет соответствовать исходной. Чем более длинную импульсную характеристику взять, тем большее соответствие частотной характеристики можно получить.

94


Рисунок 86 – Требуемая частотная характеристика и соответствующая ей импульсная

Рисунок 87 – Усеченная импульсная характеристика и соответствующая ей частотная

95


Рисунок 88 – Увеличение длины ИХ приближает АЧХ к требуемой

96

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_9 Специальные фильтры

Специальные фильтры – фильтры с частотной характеристикой особой формы, т. е. не подпадающие под ФНЧ, ФВЧ, П, Р.

Предназначены для оптимальной фильтрации и устранения нежелательной свёртки (частотных искажений).

9_9_1 Деконволюция (устранение нежелательной свёртки)В случае если исходный сигнал подвергается прохождению через некоторую линейную инерционную систему, прохождения через

которую невозможно избежать, то для получения формы исходного сигнала требуется устранить нежелательную свёртку. Наиболее сложно устранение нежелательной свёртки, когда заранее неизвестны её параметры.

В детекторе гамма-излучения после прихода фотона идёт реакция с излучением фотонов видимого диапазона, однако, эта реакция прекращается не мгновенно, спадая по близкому к экспоненте закону. Если фотоны гамма-излучения приходят часто, то возникает трудность в их подсчёте и временной идентификации. Устранение нежелательной свёртки должно позволить получить выходной сигнал детектора в виде коротких одиночных импульсов.

Для получения частотной характеристики фильтра нужно почастотно разделить спектр требуемого импульса на спектр получаемого импульса. Если используется сложение сигналов, то для восстановления исходной формы одного из сигналов из их суммы нужно вычесть один из них. Для случая перемножения сигналов нужно воспользоваться операцией деления. Для случая свёртки – операция обратная свёртке (деконволюция). Но свёртка двух сигналов это тоже, что и произведение сигналов в частотной области. В данном случае, чтобы устранить длину импульса требуется поднять высокие частоты (большинство нежелательных свёрток действуют как ФНЧ).

97


Рисунок 89 – Детектор гамма-излучения и нежелательная свертка в нем

Рисунок 90 – Сигнал на выходе детектора и после фильтрации

98


Рисунок 91 – Сигнал на выходе детектора, требуемый сигнал и их спектры

99


Рисунок 92 – ИХ и АЧХ фильтра

Устранение нежелательной свёртки возможно также и для сигналов, информация которых содержится в частотной области. Например, для восстановления старых звукозаписей, сделанных на примитивном оборудовании. Фонограф мог иметь неравномерную АЧХ с множеством резонансов. Для восстановления АЧХ фильтра должна быть обратной АЧХ фонографа. Трудность заключается в том, что АЧХ фонографа, на котором была сделана запись, неизвестна!!! Также неизвестен спектр исходного сигнала, а известен только спектр записанного сигнала, который содержит в себе нежелательную свёртку.

100


Рисунок 93 – Фонограф и восстановление старых звукозаписей

Подбирают АЧХ фильтра сложным путём, анализируя спектр близких по жанру музыкальных произведений, записанных на современном оборудовании.

101

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_9_2 Оптимальная фильтрация

Общая задача оптимальной фильтрации сводится к тому, чтобы разработать фильтр, наилучшим образом обнаруживающий слабые сигналы на фоне соизмеримых с ними шумов и помех. Оптимальный фильтр в большинстве случаев искажает форму входного сигнала, даже если тот не содержит шумов и помех.

9_9_2_1 Фильтр скользящего среднегоДаёт наилучшую переходную характеристику при заданном шумоподавлении (является «оптимальным» в этом смысле).

9_9_2_2 Согласованный фильтр (корреляционный)Имеет импульсную характеристику в виде формы известного сигнала, отраженной во времени. Таким образом, осуществляется

корреляция путём использования свёртки. Корреляционный фильтр еще называют согласованным фильтром. Отношение амплитуды сигнала к амплитуде шума больше, чем у остальных (является «оптимальным» в этом смысле).

tje)j(S)j(H ∆ω−⋅ω=ω [ЧХ корреляционного фильтра]

9_9_2_3 Фильтр ВинераФильтр назван по имени Норберта Винера (1894-1964). Строится таким образом, что его частотная характеристика определяется в

зависимости от соотношения уровня сигнала к уровню шума для заданной частоты. Даёт наибольшее соотношение мощности сигнала к мощности шума (является «оптимальным» в этом смысле).

22

2

)j(N)j(S)j(S)j(H

ω+ωω=ω [ЧХ фильтра Винера]

Вывод: каждый из оптимальных фильтров оптимален только в чём-то одном и, следовательно, требуется всесторонний анализ задачи, прежде чем выбрать один из них.

102


Рисунок 94 – Сигнал, снабженный шумом

Рисунок 95 – Фильтры: бегущего среднего, согласованный, Винера. Их импульсная и частотная характеристики

103

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_10 Рекурсивные фильтры

Они позволяют реализовать длинную импульсную характеристику, не выполняя трудоемкой свертки. Вычисление происходит гораздо быстрее, чем в свёрточном фильтре. Рекурсивные фильтры еще называют фильтрами с бесконечно длинной импульсной характеристикой (БИХ), свёрточные (КИХ).

9_10_1 Рекурсивная техникаДля вычисления каждой точки выходного сигнала используется несколько точек исходного сигнала и несколько точек полученного

сигнала, помноженных на различные коэффициенты. То есть результат зависит от ранее вычисленных значений, таким образом, с выхода фильтра с некоторой задержкой сигнал опять попадает на вход. Общий вид уравнений для рекурсивного фильтра:

...]3n[yb]2n[yb]1n[yb...]3n[xa]2n[xa]1n[xa]n[xa]n[y

321

3210

+−+−+−++−+−+−+=

Рисунок 96 – Вычисление рекурсивным фильтром

В основной формуле отсутствует b0 , так как это коэффициент для той точки, которую вычисляют. Поскольку существует обратная связь, то возможно возникновение нестабильности фильтра, когда ПОС делает выходной сигнал непрерывно возрастающим (триггер).

104

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникКоэффициенты a и b называют коэффициентами рекурсии. Так как имеется обратная связь, то подача на вход даже единичного импульса (дельта-функции) приведет к тому, что фильтр будет довольно долго возвращаться в исходное состояние.

Рисунок 97 – Рекурсивный и аналоговый ФНЧ

105


Рисунок 98 – Рекурсивный и аналоговый ФВЧ

106


Рисунок 99 – Разделение составляющих сложного сигнала рекурсивными фильтрами

Взаимосвязь рекурсивных коэффициентов с характеристиками фильтров определяется с помощью z-преобразования. Однако можно обойтись и без этого преобразования для наиболее изученных фильтров.

9_10_2 Однополюсные рекурсивные фильтрыОднополюсные фильтры могут быть использованы для имитирования реальных процессов в RC-цепях, удаления постоянной

составляющей из сигнала, подавления ВЧ-шума, обострения формы сигнала, сглаживания и так далее. Коэффициенты находятся из следующих соотношений:

a0=1-x,

b1 =x, при х ∈ (0,1) [ФНЧ]

или

a0 =(1+x)/2,

a1 =-(1+x)/2,

b1 =x, [ФВЧ]107

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникгде

х – степень спада между соседними точками.

Для ФВЧ величина х означает, что каждая последующая точка в переходной характеристике составляет х от предыдущей.

Для аналоговых фильтров применяется величина RC=τ – постоянная времени, показывающая время, за которое состояние на выходе системы изменяется в e раз. Аналогично для рекурсивных фильтров то же изменение, но выраженное не во времени, а в количестве выборок обозначается буквой d.

d1

ex−

=Если требуется задать фильтр по частоте среза фильтра по уровню 0,707 (-3 дБ), то можно воспользоваться следующей формулой

cf2ex π−= , где fc =fсреза/fдискретизации

Рисунок 100 – Частотные характеристики однополюсных ФВЧ и ФНЧ

108


Рисунок 101 – АЧХ четырёхпроходного однополюсного ФНЧ

Однополюсные фильтры обладают слабыми возможностями по отделению одной частоты от другой. Даже многократная фильтрация существенно не меняет частотную характеристику. У ФНЧ спад частотной характеристики начинается уже с нулевой частоты, они имеют некрутой спад частотной характеристики. Такие фильтры практически не применяются в частотной области, только во временной области.

109

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник9_10_3 Узкополосные полосовые и режекторные рекурсивные фильтры

Рисунок 102 – Частотные характеристики узкополосного фильтра

Для расчета сначала задаются центральной частотой и шириной полосы по уровню 0,707 в относительных единицах, то есть разделенных на частоту дискретизации. Это будет значения f и BW. Затем рассчитывают k и R. Улучшения характеристики можно достичь многократной фильтрацией отфильтрованного сигнала.

[Полосовой фильтр] [Режекторный фильтр]

22

1

22

1

0

Rb)f2cos(R2b

KRa)f2cos()RK(2a

K1a

−=π=

−=π−=

−=

22

1

2

1

0

Rb)f2cos(R2b

Ka)f2cos(K2a

Ka

−=π=

=π−=

=

BW31R)f2cos(22

R)f2cos(R21K2

−=π−

+π−=

110


Рисунок 103 – Переходная характеристика режекторного узкополосного фильтра

9_11 Чебышевские фильтрыФильтры названы по имени Чебышева Пафнутия Львовича (1821-1894). Они используются для отделения одного диапазона частот

от другого. Имеют характеристики хуже, чем у sinc-оконных фильтров, но гораздо быстрее работают, так как рекурсия быстрее свертки.

9_11_1 Характеристики Чебышева и БаттервортаВ чебышевских фильтрах крутой спад частотной характеристики достигается за счет неравномерности в полосе пропускания.

Характеристика с неравномерностью в полосе пропускания называется Чебышевской. Если неравномерность равна нулю, то такой фильтр называют фильтром Баттерворта. Если уменьшать неравномерность частотной характеристики в полосе пропускания, то это приведет к уменьшению крутизны спада.

111


Рисунок 104 – Частотная характеристика чебышевского фильтра с неравномерностью в полосе пропускания

112


Рисунок 105 – АЧХ чебышевских фильтров

Рисунок 106 – Рекурсивный ФНЧ Чебышева при неравномерности 0.5%

9_11_2 Разработка Чебышевского фильтраПеред разработкой требуется определить:

а) фильтр высокой частоты или низкой частоты,

б) частоту среза,

в) степень неравномерности в полосе пропускания (в %),

г) количество полюсов.

Количество полюсов – это число корней характеристического уравнения фильтра, то есть количество корней в знаменателе (число 113

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочникреактивных элементов в схеме). Эти корни комплексные числа и поэтому располагаются на комплексной плоскости по эллипсу (по кругу для Баттервортовского фильтра).

Рисунок 107 – Разработка полосового чебышевского фильтра

114


Рисунок 108 – Аналоговый полосовой чебышевский фильтр

Чем больше полюсов, тем более высокие характеристики имеет фильтр и наоборот. Спад АЧХ имеет разную величину по диапазону частот.

Коэффициенты рекурсии определяются по таблицам или рассчитываются программно. Для чебышевских фильтров переходная характеристика будет с успокоением, составляющим от 5 до 30% в зависимости от числа полюсов и частоты среза.

Аналоговые чебышевские фильтры составляются из последовательно включенных разных интегро-дифференцирующих цепочек. Это позволяет сделать спад более крутым.

115


Рисунок 109 – Переходная характеристика фильтра Чебышева

9_12 Нелинейная фильтрацияНелинейная фильтрация может быть использована для сужения полосы частот шума в речевых сигналах. Например, шумы

магнитной ленты, шумы аналоговых электрических схем, шипение микрофонов. Линейная фильтрация здесь малопригодна, поскольку речевой сигнал и шум перекрывают друг друга в диапазоне частот 200 Гц – 3.2 кГц. Нелинейная техника позволяет разделять сигналы, которые перекрываются одновременно во временной области и в частотной области.

Если рассматривать спектр речевого сигнала, то можно видеть, что он состоит из большего количества одиночно стоящих пиков, разделённых участками с пустотами. С другой стороны, спектр шума имеет небольшой уровень, но относительно равномерный по всему диапазону частот. Идея разделения состоит в следующем: если на данной частоте уровень спектральной составляющей значителен – значит это полезный сигнал, если слабый – значит это шум, который нужно понизить. Для этого используют фильтр Винера, однако, его частотную характеристику рассчитывают отдельно для каждого временного фрагмента, поскольку постоянно изменяется спектр речевого сигнала.

116


Рисунок 110 - Спектр фрагмента речевого сигнала и спектр шума

Трудность этого метода состоит в состыковке отфильтрованных фрагментов. Используют специальные сглаживающие окна при совмещении этих фрагментов.

9_12_1 Гомоморфная обработка сигналовВо многих случаях сигналы, которые требуются разделить, объединены не сложением, а некоторой другой математической

операцией, например, умножением. Умножение двух сигналов есть нелинейная операция и, следовательно, фильтр, разделяющий перемноженные сигналы не может быть линейным.

Например, замирания при дальнем радиоприеме можно интерпретировать как произведение полезного сигнала a[ ] на медленно изменяющуюся функцию g[ ]. Эта проблема в аналоговых радиоприемниках решается введением блока АРУ (автоматической регулировки усиления).

В цифровой технике можно воспользоваться гомоморфной обработкой сигналов. Исходный сигнал подвергается логарифмированию. При этом получается уже не произведение двух сигналов, а сумма их логарифмов. Медленно изменяющаяся функция log(g[ ]) имеет спектр на частотах гораздо более низких чем слышимые сигналы, и, следовательно, может быть легко отфильтрована обычным линейным фильтром. Далее сигнал подвергается антилогарифмированию.

117


Рисунок 111- Гомоморфное разделение перемноженных сигналов

С помощью нелинейной фильтрации также можно восстанавливать сигналы, которые были подвергнуты нежелательной свёртке. Например, эхо при передаче сигналов на большие расстояния – это свёртка полезного сигнала с импульсной характеристикой в виде дельта-функции плюс смещённая и ослабленная дельта-функция.

t

k(t)Эхо-система

Рисунок 112 – Импульсная характеристика эхо-системы

118


Рисунок 113 - Гомоморфное разделение сигналов, подвергшихся нежелательной свёртке

Исходный сигнал подвергается преобразованию Фурье, при этом свёртка во временной области заменяется на произведение в частотной области. Далее выполняется логарифмирование. С помощью линейного фильтра отделяются ненужные составляющие. При этом есть одна особенность: на вход линейного фильтра поступает массив данных, но не во временной области, а в частотной, т.е. время и частота как бы меняются местами.

Эта техника называется кепструм-преобразованием. Иными словами кепстр – это логарифм от спектра (логарифм вычисляется для комплексного числа!!!) ln(Aejϕ)=lnA+jϕ. С помощью обратного гомоморфного преобразования восстанавливается форма сигнала. Поскольку операция логарифмирования нелинейная, сигнал, подвергшийся ей, получает большое количество высших гармоник. В случае, если эти гармоники по частоте превзойдут частоту Найквиста, произойдёт их потеря и, следовательно, при антилогарифмировании исходная форма не восстановится. Для решения этой проблемы искусственно повышают частоту дискретизации, добавляя в исходный сигнал выборки.

119


10 Преобразование Лапласа....................................................................................................................................................................................................12010_1 Сущность преобразования Лапласа ..............................................................................................................................................................................12010_2 Стратегия преобразования Лапласа...............................................................................................................................................................................12410_3 Анализ электрических схем с помощью преобразования Лапласа..............................................................................................................................124

120

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник10 Преобразование Лапласа

Когда система описывается дифференциальными и интегральными уравнениями, то удобно воспользоваться преобразование Лапласа для их расчета. При этом уравнения становятся алгебраическими. Преобразование Лапласа упрощенно можно считать как разложение сигнала на синусоиды и экспоненты. Для дискретных сигналов преобразование Лапласа называют z-преобразованием.

∫∞

∞−

ω−=ω dte)t(x)(X tj [Преобразование Фурье]

[ ]∫∞

∞−

ω−σ−=ωσ dtee)t(x),(X tjt ∫∞

∞−

ω+σ−=ωσ dte)t(x),(X t)j( [Преобразование Лапласа]

∫∞

∞−

−= dte)t(x)p(X pt ; ω+σ= jp

10_1 Сущность преобразования Лапласа Различным функциям вещественной переменной времени t преобразование Лапласа ставит в соответствие функции комплексной

переменной p=σ+јω и наоборот. Функцию от t называют оригиналом, а функцию от p называют изображением по Лапласу. Изображение функции по Лапласу представляет собой комплексную плоскость. По оси действительных значений отложена величина σ, а по оси мнимых значений – величина јω. При этом каждая точка на плоскости является величиной комплексной и может быть представлена в алгебраической или полярной нотации. Преобразование Лапласа представляет сигнал в виде синусоид и экспонент.

Для того, чтобы найти изображение по Лапласу исходный сигнал перемножают на различные экспоненты е-σt. Если σ>0, то экспоненты убывающие (правая полуплоскость). Для каждого из этих произведений преобразование Фурье и располагают вдоль оси мнимых значений. Верхняя и нижняя полуплоскость будут зеркальны, если исходный сигнал представлен действительной функцией.

121


122


X(p)

Рисунок 114 – Сущность преобразования Лапласа

123


Рисунок 115 – Сущность преобразования Лапласа

124

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник10_2 Стратегия преобразования Лапласа

Импульсная и частотная характеристики полностью описывают инерционные свойства системы, но не в самом простом виде.

Преобразование Лапласа предназначено для анализа особого класса временных зависимостей: импульсных характеристик, состоящих из синусоид и экспонент. Данный класс функций весьма распространен в науке и технике: дифференциальные уравнения электрических цепей, волновое движение, линейное и вращательное движение, электрических и магнитных полей, распространение тепла и так далее. Рассмотрение системы с помощью преобразования Лапласа подразумевает, что импульсная характеристика системы:

- казуальна, то есть, равна нулю до момента прихода импульса на вход системы;

- она представляет собой синусоиды, помноженные на затухающие экспоненты;

- она стремится к нулю на бесконечности, так как экспоненты затухающие.

Важными точками на диаграмме в p-пространстве являются нули и полюсы. Их отображают на диаграмме нулей и полюсов.

10_3 Анализ электрических схем с помощью преобразования ЛапласаИспользуя преобразование Лапласа, можно получить сопротивление резистора катушки индуктивности и емкости в операторной

форме: соответственно R, pL,1/pC. Uвх(p)

Uвых(p)1

pC

pL

Рисунок 116 – Пример электрической схемы в операторной форме

Падение напряжения на индуктивности, при косинусоидально изменяющемся токе через неё:125

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник)tsin(L)tcos(

dtdL)t(i

dtdL)t(v 000 ωω=ω==

Ток и напряжение на индуктивности в операторной форме:

∫

∫∞

−

∞−

+ωω=ωω=

+ωω=ω=

022

0

0pt00

022

0

0pt0

pLpdte)tsin(L)p(U

pdte)tcos()p(I

Сопротивление катушки индуктивности в операторной форме:

pL

p

pLp

)p(I)p(U

220

0

220

0

=

+ωω

+ωω

=

Передаточная функция системы:

C1RpLp

C1Lp

pC1pLR

pC1pL

)p(U)p(U)p(H

2

2

вх

вых

++

+=

++

+==

126


Рисунок 117 – р – пространство для рассматриваемой электрической схемы

Представление передаточной функции в виде отношения двух полиномов:

127


C1RpLp

C1Lp

'cp'bp'acbpap)p(H

2

2

2

2

++

+=

++++=

C1'c,R'b,L'a,C

1c,0b,La ======

Анализ в операторной форме производится в следующем порядке.

- Записывают все компоненты электрической схемы в операторной форме.

- Находят Н(р), то есть отношение выходного напряжения в операторной форме к входному напряжению в операторной форме. Функция Н(р) называют передаточной функцией системы. Обратное преобразование Лапласа для этой функции дает импульсную характеристику системы. Аналогично: обратное преобразование Фурье для частотной характеристики дает импульсную характеристику.

- Записывают Н(р) в виде отношения двух несократимых полиномов, не имеющих одинаковых корней.

- Находят корни полиномов числителя и знаменателя. Корни числителя называются нулями, корни знаменателя – полюсами. Записывают полиномы в виде произведения.

- Дифференцируют знаменатель по р и, используя теорему разложения, находят оригинал функции.

Нахождение нулей и полюсов:

)pp)(pp()zp)(zp()p(H

21

21

−−−−=

128


LC1jz

LC1jz

2

1

−=

=

L2C

L4RRp

L2C

L4RRp

2

2

2

1

−−−=

−+−=

∑=

=n

1k

tp

k2

k1 ke)p('F)p(F)t(f [Формула разложения]

В зависимости от того, какой вид имеют корни характеристического уравнения по-разному можно интерпретировать свойства системы.

Если корни действительные – апериодический затухающий процесс; если корни комплексно-сопряженные – то в сумме будут также комплексно сопряженные числа, которые дают действительное число, что описывает колебательный затухающий процесс. Если входное воздействие задано некоторой функцией, то для нахождения выходного сигнала требуется проделать следующее:

- найти передаточную функцию Н(р) в операторной форме;

- найти изображение по Лапласу входного воздействия;

- перемножить их;

- преобразовать к отношению двух полиномов;

- найти корни знаменателя;

- воспользовавшись формулой разложения, получить выходной сигнал.

129

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникОригиналы и изображения по Лапласу

Оригинал f(t) при t≥0 Изображение F(p)δ(t) 1А А/рt 1/p2

eαt

α−p1

Cos ωt 22pp

ω+

Sin ωt 22p ω+ω

e-αt Cos ωt 22)p(p

ω+α+α+

e-αt Sin ωt 22)p( ω+α+ω

tе-αt

( ) 2p1

α−

130

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник ПрактикумМодуль 1Лабораторная работа 1 Исследование сигналов сложной формыТеоретическая частьКлассификация сигналов, используемых в радиотехнике

С информационной точки зрения сигналы можно разделить на детерминированные и случайные.

Детерминированным называют любой сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью единица. Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, амплитуда и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра.

К случайным относят сигналы, мгновенные значения, которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньше единицы. Такими сигналами являются, например, электрическое напряжение, соответствующее речи, музыке, последовательности знаков телеграфного кода при передаче неповторяющегося текста. По существу, любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный.

Дальнейшее подразделение сигналов можно связать с их природой: можно говорить о сигнале как о физическом процессе или как о закодированных, например, в двоичных кодах, числах.

В первом случае под сигналом понимают какую-либо изменяющуюся во времени электрическую величину (напряжение, ток, заряд и т. д.), определенным образом связанную с передаваемым сообщением.

Во втором случае то же сообщение содержится в последовательности двоично-кодированных чисел.

Для передачи сообщений на расстояние используются модулированные колебания. В связи с этим сигналы в канале радиосвязи часто подразделяют на управляющие сигналы и на радиосигналы; под первыми понимают модулирующие, а под вторыми - модулированные колебания.

Обработка сигналов в виде физических процессов осуществляется с помощью аналоговых электронных цепей (усилителей, фильтров и т. д.).

Обработка сигналов, закодированных в цифру, осуществляется с помощью вычислительной техники

См.также

131

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Гармонический анализ

Между сигналом f(t) и его спектром S(jω) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. См.также

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

S(jω)= dte)t(f tjω−+ ∞

∞−∫ (1.1)

Формула дает возможность преобразовать функцию времени f(t) в функцию частоты S(jω); преобразование (1.1) называют прямым преобразованием Фурье, а S(jω) – спектром функции f(t).

f(t)= ωωπ

ω+ ∞

∞−∫ de)j(S

21 tj (1.2)

Формула (1.2) представляет собой запись интеграла Фурье (формула обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию f(t) в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами S(jω)dω [S(jω) конечно, но произведение S(jω)dω бесконечно мало, так как бесконечно мало значение dω].

Из многочисленных возможных преобразований сигнала наиболее часто встречаются: сдвиг сигналов во времени, изменение масштаба времени, сложение сигналов и др.

Сдвиг сигналов во времени

Пусть сигнал f(t) произвольной формы существует на интервале времени от t1 до t2 и обладает спектральной плотностью S(jω). При задержке этого сигнала на время t0 (при сохранении его формы) получим новую функцию времени

f2(t)=f1(t-t0)

существующую на интервале от t1+t0 до t2+t0. Вводя новую переменную интегрирования τ=t-t0, получаем

132

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник S(jω)= )j(See)(fe

2

1

0

0 t

t1

tjjtj

ω=τ∫ ω−ω τ−ω−

.

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции f(t) на Δt0 приводит к изменению фазовой характеристики спектра S(jω) на величину ωΔt0. очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции f(t) дать фазовый сдвиг θ(ω)=ωΔt0, линейно-связанные с частотой ω, то функция сдвигается во времени на Δt0.

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит. См.также

Изменение масштаба времени

Пусть сигнал f1(t), изображенный на рисунке 1.1 сплошной линией, подвергся сжатию по времени. Новый сжатый сигнал f2(t) (штриховая кривая на рисунке 1.1). Спектральная плотность сжатого импульса

S2(jω)= τττω−

τ

∫ de)(fn1 n

j

01

è

.

τи/n

f(t)

f2(t) f1(t)

τи t 0

Рисунок 1.1 - Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды

Итак, при сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при n<1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. См.также

133


Сложение сигналов

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении сигналов f1(t), f2(t), …, обладающих спектрами S1(jω), S2(jω), …, суммарному сигналу f(t)=f1(t)+f2(t)+… соответствует спектр S(jω)=S1 (jω)+S2(jω)+…

Наиболее распространенными непериодическими сигналами являются: прямоугольный импульс, колоколообразный импульс и импульс вида sin(x)/x. См.также

Прямоугольный импульс

Простейшее колебание, определяемое выражением

f(t)=

<≤≤

и

и

tt,0tt0,A

получило широкое распространение, как в технике, так и в теории сигналов и цепей.

Спектр прямоугольного сигнала вычисляется по формуле:

]tsinjtcos1[jA

je1AdteA)j(S èè

t

0

tjtj

è è

è ω+−ω

=ω

−==ω ∫ω−

ω− .

См.также

Колоколообразный (гауссовский) импульс

Колоколообразный импульс определяется выражением

f(t)= 22 a2/tAe− , - ∞ <t<∞.

Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей, называется также гауссовским импульсом.

134

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Спектр колоколообразного импульса вычисляется по формуле:

S(jω)= dteeA tja2/t 22

∫∞

∞−

ω−−

Гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на ω или наоборот.См.также

Импульс вида x

)xsin(

Импульс вида sin(x)/x, определяется выражением

f(t)=sinc(ωmt)=tf2

tf2sint

tsin

m

m

m

m

ππ

=ω

ω,

Спектр будет определяться по формуле

S(jω)=

ω>ωω≤ω

m

m,m

.,0f2A

См.также

Модуляция сигналов

Для передачи каких-либо сообщений необходимо управлять колебаниями передатчика, т. е. осуществлять манипуляцию или модуляцию колебаний.

Процесс управления колебаниями высокой частоты при передаче речи, музыки или телевизионных сигналов называется модуляцией. Устройства, служащие для модуляции, называются модуляторами.

Переменный ток высокой частоты, который протекает в антенне передатчика при отсутствии сигнала, называется током несущей

135

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник частоты. Он характеризуется определенной амплитудой, частотой и фазой. Зависимость тока от времени может быть выражена уравнением:

I=Аm0sin(ω0t+φ0),

где Am0- амплитуда;

ω0- частота;

φ0- начальная фаза.

Передаваемые сигналы могут воздействовать на одну из этих величин. В соответствии с этим различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию. Колебание, в котором изменяется только амплитуда А, а угловая частота ω и фаза ϕ неизменны, называют колебанием, модулированным по амплитуде. Колебания с изменяющейся угловой частотой ω, но неизменными амплитудой А и фазой ϕ называют колебанием, модулированным по частоте. Колебания, в котором изменяется только фаза ϕ, а амплитуда А и угловая частота ω неизменны, называют колебанием, модулированным по фазе. Радиоаппаратура в основном работает с амплитудной и частотной модуляцией.

Амплитудная модуляция (АМ)

Амплитудная модуляция наиболее часто применяется в радиовещании, радиотелефонии, т. е. при передаче сигналов звуковой частоты.

Глубина модуляции, т. е. степень изменения амплитуд высокочастотного колебания, в простейшем случае зависит от силы звука. Чем громче звук, тем больше глубина модуляции. Для количественной оценки служит коэффициент модуляции, равный отношению прироста амплитуды тока несущей частоты к амплитуде тока до модуляции.

m=∆Am/Am0,

где ∆Am – прирост амплитуды при модуляции;

Am0 – амплитуда тока до модуляции.

При нормальной работе коэффициент модуляции имеет величину 30-80%.

Общая формула для амплитудной модуляции имеет вид:

])t(gr[)tsin(A)t(f ∆+⋅⋅ϕ+ω= ,

136

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник где g(t) – функция описывающая передаваемое сообщение;

r – масштабный коэффициент для функции g(t)

∆ - смещение для функции g(t).

minmax ggm2r+

= ;

minmax

minmaxminmax

gg)gggmgm(

−+−⋅+⋅−=∆ ,

где gmax , gmin – максимальное и минимальное значение функции g(t).

Простейшим амплитудно-модулированным является колебание, в котором амплитуда модулирована по закону синуса (r=m, ∆=1 т.к. gmax=1, gmin=-1):

f(t)=A sin(ωt+ϕ) (m sinΩt + 1),

где m – глубина модуляции;

Ω - частота модуляции (Ω<<ω).

Если воспользоваться известным из тригонометрии тождеством

sinαsinβ=1/2cos(α-β)-1/2cos(α+β),

то колебания А(1+m sinΩt)sin(ωt+ϕ) можно представить суммой трех колебаний:

f(t)=Asin(ωt+ϕ)(mA)/2cos[(ω-Ω)t+ϕ]-(mA)/2cos[(ω+Ω)t+ϕ].

Спектр содержит три частоты: несущую ω, нижнюю боковую (ω-Ω) и верхнюю боковую (ω+Ω).

При радиотелефонной передаче звуки имеют сложную форму. И частота, и амплитуда их меняются. Сложный звук является суммой нескольких колебаний различных частот и амплитуд. Каждое из них производит модуляцию. Поэтому получаются уже не два боковых колебания, а две боковые полосы колебаний, которые симметрично отображают спектр.

137


Частотная и фазовая модуляция (ЧМ и ФМ)

При частотной модуляции передаваемый сигнал воздействуют на частоту колебаний передатчика. Во время одного полупериода звукового колебания частота несущего колебания возрастает, доходит до наибольшего значения, а затем возвращается к прежнему значению. В течение другого полупериода звука частота несущего колебания уменьшается, доходит до наименьшего и снова принимает первоначальное значение. Чем больше амплитуда модулирующего сигнала, тем сильнее изменяется частота. Глубина модуляции, т. е. степень воздействия сигнала на несущую в этом случае оценивается девиацией частоты . Девиация частоты есть наибольшее отклонение ее от среднего значения (от несущей частоты). Используя прежние обозначения запишем выражение для частотной модуляции

]dt)t(grtsin[A)t(ft

0∫+ω⋅= ;

max)t(g

r ω∆= ,

где А - амплитуда несущей;

ω – угловая частота несущей, f=ω/2π.

Если передаваемое сообщение определяется косинусоидой r=∆ω и частотная модуляция может быть представлена в виде:

f(t)=А sin(ωt+(∆ω/ΩX) sinΩXt),

где ΩX - угловая частота модуляции.

Отношение девиации частоты ∆ω к модулирующей частоте Ω называется индексом модуляции и обозначается β:

β=∆ω/ΩX

Главным достоинством ЧМ является ослабление действия помех, что позволяет улучшить качество приема.

Широкое распространение на УКВ получили частотная модуляция и фазовая модуляция, объединение которых получило название - угловая модуляция.

138

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник При ФМ в соответствии звуковым сигналом изменяется фаза высокочастотных колебаний. Выражение для ФМ сигнала можно

записать в виде:

UФМ(t)=A sin(ωt+β cos ΩXt)

ФМ и ЧМ очень похожи, они различаются только спектральным составом модулирующего сигнала, подаваемого на модулятор. При модуляции чистым тоном ФМ и ЧМ неразличимы.

Детектирование

Детектирование колебаний заключается в выделении сигнала, который в неявной форме содержится в модулированном высокочастотном колебании. Детектирование является процессом, обратным процессу модуляции.

Соответственно основным видам модуляции различают амплитудное, частотное и фазовое детектирование.

На вход детектора подается модулированное колебание, содержащие только высокочастотные составляющие: несущее колебание и колебания боковых частот. На выходе же выделяется напряжение с низкочастотным спектром передаваемого сообщения.

Практическая часть

Задание

Аналитически описать наиболее часто используемые в радиотехнике сигналы, графически построить их временные зависимости, выполнить дискретизацию этих сигналов, исследовать спектры этих сигналов.

Оборудование

• персональный компьютер не менее Pentium 150 MHz, 32 Mb RAM, 3Gb HDD;

• звуковая карта Creative 16;

• Осциллограф С1-72.

Программное обеспечение

• ОС WINDOWS;

• микшер аудио системы;

• система MathCad 2000;

• программа для записи и воспроизведения WAV-файлов.139


Порядок выполнения лабораторной работы1. Произвести подготовка компьютера к работе: включение и запуск программного обеспечения (система MathCad).

2. Создать новый документ MathCad.

3. Выполнить описание переменных и констант, необходимых для реализации задания по вариантам (см. таблицу 1.1). Для каждой переменной должны быть комментарии.

4. Описать функции непрерывного результирующего сигнала.

5. Выполнить операция дискретизации, то есть выходной сигнал сформировать в виде массива.

6. Полученный массив сохраняется в виде отдельного WAV файла. В дальнейшем он может быть воспроизведен и отображен осциллографом.

7. С помощью Microsoft Word и MathSoft MathCad выполнить отчет по лабораторной работе, который должен включать:

- титульный лист

- теоретическую часть,

- задание, приборы и оборудование

- порядок проведения лабораторной работы, в который помещен расчет и результаты, выполненные в MathCad

- выводы по работе

Отчет сдается в распечатанном виде.

Ход выполнения работыПоскольку основным средством формирования сигналов является цифровой компьютер, то сигналы, которые он может

обрабатывать, могут быть только цифровыми. Однако сами зависимости, по которым строятся эти сигналы, задаются аналитическими функциями. Для преобразования сигнала из аналитической формы в цифровую (т.е. в массив данных) в документе определяется fx - частота дискретизации.

140

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник 1. Сформировать гармонический сигнал длительностью ∆t, с частотой f0, начальной фазой ϕ0 и амплитудой А. Построить график. Построить спектр амплитуд. Создать звуковой файл и сохранить на диске.

f t=Asin 2 f 0 t0

2. Сформировать амплитудно-модулированный (АМ) сигнал длительностью ∆t, с частотой несущей fn, с частотой гармонической огибающей Ω, глубиной модуляции m и амплитудой A. Построить график сигнала и спектр амплитуд (используя функцию быстрого преобразования Фурье). Создать звуковой файл и сохранить на диске.

f t=Asin 2 f n t ⋅1m sin t

3. Сформировать частотно-модулированный сигнал длительностью ∆t, с частотой несущей f0, с девиацией ∆ω, индексом β и амплитудой A. Построить график сигнала и спектр амплитуд (используя функцию быстрого преобразования Фурье). Создать звуковой файл и сохранить на диске.

f t=Asin[2 f 0tsin

t]4. Сформировать сигнал длительностью ∆t, содержащий колоколообразный (гауссовский) импульс с амплитудой А, коэффициентом а задержанный на время T1. Отобразить в виде графика сигнал, его спектр амплитуд и спектр фаз. Осуществить задержку импульса на время T2 и вновь построить спектр фаз.

f t =Ae−t−T 1

2

2 a2

5. Сформировать сигнал длительностью ∆t, содержащий импульс вида sinc(x)=sin(x)/x с частотой колебаний f1, задержанный на время T5. Отобразить в виде графика сигнал и его спектр амплитуд.

f t=Asin2 f 1t−T 5

2 f 1t−T 5

141

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Таблица 1.1 – Данные для расчетов по вариантам

вар ∆t, c fx, Гц f0, Гц ϕ0, рад A fn, Гц Ω, рад/c m1 0.37152 44100 20 π/2 10000 4000 188.49 0.82 0.74304 22050 15 0 2000 3000 62 0.63 1.48608 11025 25 π 500 2500 75.39 0.754 1.024 8000 20 π/2 8000 500 125.66 0.295 0.37152 44100 50 0 7500 8000 251.32 0.26 0.74304 22050 30 π 1500 6000 125.66 0.57 1.48608 11025 10 2π 5000 1000 31.4 0.38 1.024 8000 5 0 20000 5000 251.33 0.95

вар ∆ω,рад/c β a T1, c T2, c T3, c T4, c n f1, Гц T5,c1 50 2 0.05 0.1 0.05 0.2 0.05 3 50 0.12 40 4 0.1 0 0.3 0.3 0.2 2 500 0.43 50 3 0.1 0.03 0.4 0.3 0.1 4 300 0.24 35 1 0.3 0.25 0.3 0 0.5 1.5 17 0.45 150 2.5 0.99 0.15 0.1 0.75 0.1 2.5 30 0.36 30 3.8 0.2 0.05 0.2 0.5 0.05 1.5 150 0.37 30 1 0.4 0.3 1 0.5 0.1 5 900 0.68 12 1 0.17 0.1 0.2 0.05 0.3 5 9 0.4

142

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Пример выполнения расчетной части в среде MathCad(Не является примером выполнения отчета по лабораторной работе)

143

«Сформировать АМ сигнал с колоколообразной огибающей с частотой несущей f=15 Гц, амплитудой А=2000, с частотой выборки fx=44100 Гц, глубиной модуляции m=0.9, длительностью ∆ t=1.48608 с, с параметром а=0.02 и с задержкой колоколообразного импульса на Т=0.08 с. Построить графики сигнала его спектра фаз и спектра амплитуд. Сохранить сигнал в wav файл» Зададим начальные значения для величин, используемых в расчете fx 44100: = T 0.08: = f0 35: = ∆ t 1.48608: = a 0.02: = A 2000: = m 0.9: = Зададим несущую v t( ) sin 2 π⋅ f0⋅ t⋅( ): = Зададим весовую функцию (колоколообразный сигнал)

g t( ) e

t T−( )2−

2a2

: = Запишем функцию для амплитудной модуляции gmax 1: =

gmin 0: =

r 2

mgmax gmin−( )⋅: =

∆

m gmax⋅ m gmin⋅+ gmax− gmin+( )−

gmax gmin−: =


144

f t( ) A v t( )⋅ g t( ) r⋅ ∆+( )⋅: = Выполним преобразование сигнала из аналитической функции в цифровой вид Рассчитаем период дискретизации δ τ

1fx

: =

Рассчитаем количество выборок для формирования цифрового сигнала при заданной длительности и частоте дискретизации N round

∆ tδ τ

: = Зададим счетчик i по всем элементам формируемого массива.

Нумерация начинается с нуля i 0 N 1−..: = Создадим массив временных отсчетов ti δ τ i⋅: = Создадим массив, содержащий значения дискретизированной функции f(t) Ki f ti( ): =


145

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.64000

2000

0

2000

4000

K i

t i Рисунок 1 - График дискретизированной функции Используя быстрое преобразование Фурье вычислим спектр S S fft K( ):= Вычислим количество элементов в частотном (спектральном) массиве. (Всегда в два раза меньше, чем во временном массиве) M

N2

:=

Зададим счетчик j по всем элементам частотного массива j 0 M. .:=


146

Создадим массив частотных отсчетов

Рассчитаем массив Sa – спектр амплитуд

Рассчитаем массив Sp – спектр фаз

Рисунок 2 – Спектр амплитуд исследуемого сигнала


147

Рисунок 3 – Спектр фаз исследуемого сигнала. Зависимость имеет

некоторый наклон, который объясняется смещением сигнала относительно начала отсчета

Выполняем сохранение сигнала в файл, удобный для воспроизведения


Контрольные вопросы

1. Прямое преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье.

2. Амплитудная, частотная и фазовая модуляция.

3. Детектирование сигнала.

4. Что такое дискретизация ?, квантование ?

5. Как изменится спектр импульса при уменьшении его длительности?

6. Как изменится спектр импульса при задержке импульса?

7. Как изменяется вид спектра амплитуд АМ сигнала, если изменить глубину модуляции?

8. Как изменяется вид спектра амплитуд АМ сигнала, если изменить частоту огибающей?

9. Дать определение девиации частоты?

10. Что такое индекс частотно-модулированного сигнала?

11. Из каких соображений задают частоту дискретизации?

148

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Модуль 2Лабораторная работа 2 Исследование искажений формы сигналовТеоретическая частьМетоды измерений искажений формы сигналов

Измерение искажений формы сигналов близких к синусоидальным, сводится к измерению коэффициента нелинейных искажений (КНИ). Методы измерений КНИ различаются по методическому, аппаратурному решению и метрологическим характеристикам. В качестве основных классификационных признаков были приняты методы реализации измерительного устройства. Такой подход хотя и является субъективным, но в то же время позволяет провести анализ методов и дать их сравнительную оценку.

Методы измерения КНИ по способу обработки и представления информации разделяются на две большие группы: аналоговые и цифровые. В аналоговых приборах измеряемый сигнал непосредственно подвергается обработке (усилению, преобразованию, сравнению и т. п.) до получения информации на отсчетом устройстве. Все промежуточные операции производятся в аналоговой форме, поэтому они подвергаются и всевозможным искажениям, определяемым свойствами аналоговых методов: наводкам шумов и фона, изменению спектрального состава вследствие неравномерности АЧХ, дрейфу коэффициента усиления и т.п. Эти искажения влияют на суммарную погрешность приборов. Для коэффициента гармоник (КГ) и коэффициента нелинейных искажений (КНИ) приняты следующие зависимости:

21

2n

2nГ U/UK ∑

∞

== ; (4.1)

∑∑∞

=

∞

==

1n

2n

2n

2nНИ U/UK , (4.2)

где КГ – коэффициент гармоник;

КНИ – коэффициент нелинейных искажений;

U1 – амплитуда первой гармоники;

Un – амплитуда n-ой гармоники.

В цифровых приборах аналоговый сигнал преобразуется в цифровую форму, и все операции, необходимые для получения конечного результата, производятся дискретными методами с помощью специализированного вычислительною устройства или микропроцессора, выполняющих вычисление первой гармоники и одного КНИ.

149

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Все аналоговые методы, представляющие интерес в метрологическом отношении, делятся на две большие подгруппы:

спектральные и квазиспектральные. Спектральные методы измерения КНИ основаны на применении селективных приборов (анализаторов спектра, селективных вольтметров, измерительных приемников и т. п.) общего применения. С их помощью проводится измерение уровней гармонических составляющих входного сигнала, а вычисление КНИ по полученным данным осуществляется вручную. К достоинствам спектральных методов относятся:

- возможность измерения КНИ сигналов, сильно загрязненных различного рода помехами, в том числе и имеющих малый уровень;

- широкий диапазон частот, в котором можно измерять КНИ;

- возможность измерения очень малых значений КНИ (от 0,01 до 0,0001%).

К недостаткам спектральных методов относятся большая трудоемкость и невысокая точность измерения.

Квазиспектральные методы базируются на выделении или подавлении одной из составляющих сигнала – первой гармоники – и определении действующих напряжений полного сигнала или высших гармоник, т. е. реализации одного из определений КНИ. Сюда же относятся графоаналитические методы определения КНИ по осциллограммам сигнала, полученным с помощью шлейфовых (регистрирующих) осциллографов или двухкоординатных самописцев (в области инфранизких частот).

Фильтровые методы разделяют на две подгруппы: с подавлением первой гармоники и с выделением ее. Метод, основанный на подавлении первой гармоники, получил широкое распространение, и на его основе разработаны все известные типы измерителей нелинейных искажении (ИНИ). Это связано с тем, что подавление первой гармоники достаточно просто осуществляется на практике в широком диапазоне частот. Метод с выделением первой гармоники не получил столь широкого распространения, так как для его реализации необходимо выполнения двух условий: во-первых, остаточный КНИ выделенной первой гармоники должен быть много меньше измеряемого значения КНИ, во-вторых, коэффициент передачи селективной системы должен быть строго постоянным в диапазоне частот и равным единице, что представляет собой сложную техническую задачу.

Лучшие образцы ИНИ фильтрового типа устойчиво работают в диапазоне частот до 600кГц, имеют погрешность не более 3% и диапазон измерения от 0,01%.

Графический метод находит незначительное применение в области инфранизких частот всвязи с отсутствием специализированной аппаратуры. Способ заключается в измерении параметров искажений записанной огибающей и вычислении с помощью специальных таблиц спектра гармоник сигнала и соответственно КНИ. Трудоемкость метода сравнительно высока, а погрешность не лучше 10%.

Компенсационные методы определения КНИ основаны на подавлении первой гармоники измеряемого сигнала когерентным

150

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник (но противофазным) сигналом с малым (по сравнению с измеряемым) значением КНИ. Этот метод позволяет улучшить присущую фильтровому методу погрешность подавления высших гармоник при отфильтровывании первой. Однако при этом имеют место три составляющие погрешности, характерные для компенсационного метода: погрешность дисбаланса амплитуды, фазы компенсирую-щего напряжения и его КНИ.

Компенсирующее напряжение может быть получено от вспомогательного генератора, привязанного по фазе к измеряемому сигналу, или отфилътровыванием высших гармоник из исследуемого сигнала (компенсационно-фильтровой метод). При нестабильности амплитуды компенсирующего напряжения, которая не зависит от амплитуды измеряемого сигнала, может возникнуть существенная дополнительная погрешность. При реализации компенсационного фильтрового метода предполагается, что отфильтровывание высших гармоник производится фильтром высших гармоник или резонансным с ослаблением второй гармоники.

С расширением частотного диапазона погрешность практически всех аналоговых методов значительно возрастает, при малых значениях КНИ. Это обстоятельство существенно ограничивает перспективность аналоговых методов измерения КНИ.

Цифровые методы измерения КНИ, как и в других областях измерительной техники применяются в тех случаях, когда требуется получить высокие точность и быстродействие в широком частотном и динамическом диапазонах.

Цифровые методы измерений КНИ основаны на выделении из измеряемого сигнала его «мгновенных значений», преобразовании их в цифровой код и дальнейшей обработке по заданному алгоритму.

По виду аппаратурной реализации цифровые методы разделяются на асинхронные и синхронные.

При асинхронном методе для осуществления выборки «мгновенных» значений измеряемого сигнала используют вспомогательный генератор стробирующих импульсов, частота которого в N раз выше частоты измеряемого сигнала, но не кратна ему:

f стр=N f изм±Δ .

В этом случае для использования массива, определения числа отсчетов, начальной и конечной фаз применяется сложный алгоритм с линейной аппроксимацией начального и конечного участков измеряемого сигнала. Погрешность такого метода не лучше 0,1% при %.5,0K Г ≥

При синхронном методе измерения КНИ между частотой измеряемого и частотой строба устанавливается синхронизация:

измстр fNf =

Существуют две модификации синхронного метода. При первой можно измерять «мгновенное» значение КНИ, т. е. по массиву из одного периода измеряемого сигнала, при второй измеряется среднее или интегральное значение КНИ по массиву,

151

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник набранному из нескольких периодов измеряемого сигнала. Первая модификация реализуется только в диапазоне частот ниже 20 Гц, а вторая - в диапазоне свыше 20 Гц. Ограничения определяются быстродействием многоразрядных АЦП.

Измерение КНИ порядка сотых долей процента, особенно при малых уровнях сигнала, представляет значительные трудности.

В ряде случаев для этих целей используют анализаторы гармоник низких частот. Однако анализаторы гармоник в диапазоне частот 10 – 20000 Гц имеют уровень собственных нелинейных искажений на частотах 1000 Гц 0,1 %, а на частотах свыше 1000 Гц 0,05%, т.е. вносимая ими погрешность, за счет собственных искажений при измерении КНИ примерно 0,1% на частотах до 1000 Гц составит 10%. Кроме того, эти приборы не позволяют измерять амплитуду гармонических составляющих, отличающихся от основной частоты (первой гармоники) более чем на 60 дБ.

Для измерения высших гармоник необходимо повышать чувствительность прибора, а это не всегда возможно.

В существующих анализаторах гармоник используются режим фиксированной частоты, анализ спектральных составляющих путем перестройки по частоте резонансного фильтра (иногда применяется перестраиваемый супергетеродинный приемник). При этом на экране индикатора наблюдаются гармоники сигнала, равноотстоящие друг от друга по оси частот (амплитудно-частотный спектр). По гармоническому составу сигнала судят о его нелинейных искажениях (рисунок 4.1). На рисунке 4.1 1–5 – номера гармоник сигнала, А — амплитуда гармоники.

A

Рисунок 4.1- Гармонический состав сигнала

Измерить нелинейные искажения четырехполюсника можно и другим способом, состоящим в том, что на его вход подается монотонно изменяющаяся во времени, например по линейному закону частота (свип-тон). Для выделения гармоник этого

152

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник квазигармонического сигнала достаточно использовать фильтр с фиксированной частотой настройки.

Типичный вид гармонического состава сигнала приведен на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 - Типичный вид гармонического состава квазигармонического сигнала

Как видно из рисунка, гармоники здесь располагаются в обратном порядке и расстояния между ними по частоте получаются не одинаковыми, что необходимо учитывать в процессе измерения.

Этот способ реализуется применением измерителей частотных характеристик (ИЧХ), при этом между исследуемым четы-рехполюсником и ИЧХ необходимо включить фильтр.

Причины искажений сигнала различны: нелинейность характеристики канала связи, его инерционность, внутренние шумы, фон и другие помехи, накладывающиеся на сигнал при его передаче. Эти факторы имеют различную физическую природу, но резуль-тат их действия одинаков, поэтому отыскиваются пути оценки всех искажений (линейных, нелинейных и шумовых) на единой основе.

Известные методы измерения каждого вида искажений имеют свои особенности и недостатки; так, широко применяемый ме-тод одного и двух тонов, метод полос шума и метод с использованием пилообразного сигнала имеют общий недостаток: при изме-рении реальный сигнал заменяется моделью, что не позволяет в полной мере учитывать свойства передаваемого сигнала. Метод оценки нелинейных искажений с учетом спектра реального сигнала свободен от этого недостатка, однако и он вносит дополнительные искажения.

Измерение линейных искажений по максимальной неравномерности частотных и нелинейности фазовых характеристик также

153

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник не позволяет учитывать свойства реального сигнала. При этом отсутствует возможность сравнения между собой систем с одинаковой максимальной неравномерностью частотной характеристики.

Методы оценки шумовых искажений (отношение сигнал/шум, коэффициент шума, шумовая температура и т. п.) являются ста-тистическими, так как подавляющее большинство шумов имеет флуктуационный характер.

Из известных методов только корреляционный применим для оценки искажений любого вида и позволяет учитывать при этом свойства передаваемого сигнала. Однако он не позволяет выделить из выходного сигнала составляющие искажений и оценить их количественно.

С определением искажений тесно связаны определения таких параметров, как коэффициент усиления, время задержки, динамический диапазон и др., однако, поскольку различные искажения определяются разными методами, четкое и однозначное определение этих параметров представляет значительные технические трудности.

В качестве единого метода определения различных искажений сигнала можно применить метод приближения функций в радиоизмерениях.

На этой основе искажения определяются как величина, характеризующая степень различия выходных сигналов реальной и идеальной систем при одинаковых входных сигналах.

Гармонический метод

Нелинейные искажения численно характеризуются коэффициентом гармоник, который равен отношению среднеквадратического (действующего) значения напряжения всех высших гармонических составляющих сигнала к такому же значению напряжения первой гармоники:

12n

23

22г U/U...UUK +++= (4.3)

Из приведенного выражения видно, что для вычисления значения КГ нужно знать значения напряжения каждой гармоники отдельно. Напряжения гармоник измеряют с помощью анализатора гармоник (анализатора спектра) или селективного (избирательно-го) вольтметра. Эти приборы позволяют последовательно выделять и измерять напряжение и частоту гармонических составляющих искаженного сигнала. На низких частотах возможно выделение гармоник с помощью избирательного усилителя, работающего в необходимом диапазоне частот, но чаще и на низких и на высоких частотах прибегают к гетеродинному преобразованию частоты.

Для быстрого измерения нелинейных искажений широко применяется способ подавления первой гармоники, на основе которого созданы измерители нелинейных искажений. Искажения определяются отношением среднеквадратического значения напряжения всех высших составляющих (гармоник) сигнала к напряжению всего сигнала, включая первую гармонику:

154

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник .U...UU/U...UUK 2

n22

21

2n

23

22НИ ++++++= (4.4)

Сравнивая выражения (4.3) и (4.4), можно убедиться, что при малых нелинейных искажениях (меньших 15%) значения КГ и КНИ почти не отличаются друг от друга; при больших нелинейных искажениях полученное значение КНИ нужно преобразовать в КГ по формуле:

2НИНИГ K1/KK −= (4.5)

Для подавления напряжения первой гармоники применяются в основном режекторные фильтры и режекторные усилители с избирательными цепями в виде моста Вина (рисунок 4.3,а). Коэффициент передачи моста Вина равен нулю при выполнении условий

210 R2RиRC2/1f =π= .

Настраивая плавно конденсаторами переменной емкости С и скачкообразно переключением сопротивлений резисторов R мост Вина, получаем подавление напряжения основной частоты f0

K

ff00а) б)

Рисунок 4.3 Мост Вина: а) схема; б) график зависимости коэффициента передачи от частоты

Комбинационный метод

На вход испытуемого устройства ИУ, например усилителя низкой частоты, подключают через трансформатор Тр два источника сигналов (рисунок 2.13) с частотами f1 и f2. Выходной сигнал подается на анализатор гармоник АГ.

155


Рисунок 4.4 Структурная схема ИНИ комбинационным методом

В зависимости от отношения этих частот друг к другу на выходе усилителя получаются различные по спектру продукты нелинейности. При сравнительной близости частот ими являются основные частоты, их гармоники и комбинационные частоты вида

21 mfnf ± . На рисунке 4.5,а приведен пример выходного спектра при частотах сигналов 9200 и 9500 Гц в области низких частот, поэтому продукт нелинейности представляет собой только разность этих частот 300 Гц. При большом различии частот, например f1 = 50 Гц, f2= 1000 Гц, продукты нелинейности имеют вид боковых полос амплитудномодулированного колебания и группируются вокруг более высокой частоты (рисунок 4.5,б).

Рисунок 4.5 Комбинационные частоты: а), б) при далеких и близких частотах

156

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Такой спектр выходных частот определяет влияние низкочастотных составляющих сложного сигнала на высокочастотные, т. е.

характеризует нелинейность усилителя в нижней части диапазона. Измерив с помощью анализатора гармоник или анализатора спектра напряжения ,b,a,a,U 1212 и 2b , определяют значение коэффициента комбинационных искажений ККИ в верхней части спектра:

22

212

21КИ U/)bb()aa(K +++= (4.6)

Спектр, представленный на рисунке 4.5,а, определяет влияние высокочастотных составляющих сложного сигнала на низкочастотные, т. е. характеризует нелинейность усилителя в верхней части диапазона рабочих частот. Комбинационные искажения в нижней части спектра в этом случае вычисляются по формуле

)UU/(UK 212КИ += (4.7)

Коэффициенты, характеризующие нелинейность изменяемого устройства, полученные различными методами и вычисленные по (4.4), (4.6) и (4.7), несопоставимы друг с другом.

Определение коэффициента нелинейных искажений в устройствах магнитной записи

Нелинейные искажения сквозного канала магнитофона характеризуют искажения формы выходного сигнала н определяются коэффициентом гармоник. Нелинейные искажения вызываются нелинейностью усилителей, кривых намагничивания ленты, кривых намагничивания сердечников головок, колебаниями скорости движения ленты.

Для магнитофонов среднего качества коэффициент нелинейных искажений лежит в пределах 3 – 5%, для магнитофонов высокого качества 1,5 – 2%. Нелинейные искажения зависят от уровня записи, под которым понимают степень намагниченности магнитной ленты, на которой произведена запись. С увеличением уровня записи увеличиваются нелинейные искажения. Для каждого типа магнитной ленты существует оптимальное допустимое значение уровня записи.

Для измерения подают на вход записи сигнал напряжением 250мВ частотой 1000 Гц и осуществляют запись при номинальном показании индикатора уровня записи. Затем ленту перематывают до начала записанного участка и магнитофон переключают на «воспроизведение». Измеряют суммарный коэффициент гармоник сигнала на зажимах громкоговорителя и на линейном выходе анализатором гармоник.

157

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Практическая часть

Задание

Определить коэффициент нелинейных искажений и коэффициент гармоник гармонического сигнала, прошедшего нелинейную электрическую цепь.



• звуковая карта Creative;

• осциллограф С1-72;

• нелинейная электрическая цепь;

• аудио соединительные кабели.


• ОС WINDOWS;


• система MathCad.

• программа для записи и воспроизведения WAV-файлов.

Порядок выполнения лабораторной работы1. Подготовить компьютер к работе: произвести соединение магнитофона со звуковой картой; включение компьютера и запуск программного обеспечения (выполняет преподаватель)

2. Создать новый документ MathCad. С помощью MathCad создать синусоидальный сигнал частотой f (выбирается по вариантам), частотой дискретизации fX=44100Гц, амплитудой А=20000, длительностью ∆t=3с. Сохранить wav файл на диске (выполняется аналогично лабораторной работе 1).

3. На лабораторной установке запустить программу для записи и воспроизведения WAV-файлов. Выбрать соответствующий файл с тестовым сигналом.

4. Выполнить одновременное воспроизведение тестового сигнала и запись сигнала, прошедшего нелинейную электрическую

158

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник цепь.

5. Из полученного цифрового сигнала выбрать фрагмент размером 65536 выборок и сохранить в отдельный файл на диске.

6. Осуществить обработку записанного сигнала в MathCad. Для этого построить спектр амплитуд полученного сигнала так, чтобы хорошо были видны первая и высшие гармоники. Выделить спектральные полосы, соответствующие частотам каждой из гармоник, найти их максимумы. Необходимо проанализировать не менее 10 гармоник.

7. Вывести таблицу амплитуд гармоник.

8. Вычислить коэффициент нелинейных искажений, коэффициент гармоник. Результат записать в процентах (см. формулы 4.1, 4.2).








159

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Таблица 4.1 - Данные для расчетов по вариантам

Вариант Частота f , Гц1 300.122 450.183 600.244 750.35 901.036 1001.297 351.268 501.32

Пример выполнения расчетной части в среде MathCad(Не является примером выполнения отчета по лабораторной работе)

160

Обработка тестового сигнала для проверки АЧХ канала записи-воспроизведение магнитофона Имя открываемого файла

Считывание заголовка звукового файла

Расчет спектра тестового сигнала использованием быстрого преобразования Фурье:


S:=fft(G)M

N2

:=j 0 M. .:=

fj jfx

2 M⋅⋅:= Ua j :=∣S j∣

Sa j :=∣S j∣

Рисунок 1 — Спектр амплитуд записанного сигнала в диапазоне частот 100-900Гц

161

100 200 300 400 500 600 700 800 9000

1 . 105

2 . 105

3 . 105

4 . 105

5 . 105

5 105⋅

4.515

Saj

900100 f j


162

Задаем функцию, переводящую из номера в частоту

Задаем функцию, переводящую из частоты в номер

Вводим частоты тестового сигнала и его гармоник согласно варианту i:=1..10 Ei:=250 · i Задаем счетчик в интервале частот ± 5% от заданного по варианту значения

Выделяем часть спектрального массива, соответствующую заданной по варианту частоте

Находим максимум в выделенной спектральной полосе

Повторяем приведенные выше действия для каждой частоты

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Находим коэффициент гармоник и коэффициент нелинейных искажений

A

00123456789

51·1033·10

20018012010080504510

=K g :=∑n=2

10

An2

A12

K n i :=∑n=2

10

An2

∑n=1

10

An2


1. Каковы причины появлений высших гармоник?

2. При каких условиях появляются только нечетные гармоники?, четные гармоники? -->

3. В чем отличие приборов, определяющих коэффициент гармоник от приборов, определяющих коэффициент нелинейных искажений? -->

163

Kg 0.01=

Kni 0.01=

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Модуль 3Лабораторная работа 3 Прохождение детерминированных сигналов через линейные электрические цепиТеоретическая часть

Спектральный (частотный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частотных свойств цепи. Особенно широко его применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохождении модулированных колебании через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях даже нескольких наносекунд.

Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной функцией К(jω)=К (ω)еjϕ(ω) при нулевых начальных условиях воздействует сигнал f1(t), имеющий спектр Sвх(jω). На выходе четырехполюсника появляется сигнал f2(t), спектр которого

Sвых(jω)=K(jω)Sвх(jω), (2.1)

где

dte)t(f)j(S tj1вх

ω−+ ∞

∞−∫=ω

Предположим сигнал f2(t) отличается от сигнала f1(t) по величине (по амплитуде), в а раз, и запаздывает на некоторое время t0, но по форме такой же, как и f1(t) то можно записать, что f2(t)=af1(t-t0). Если к функции f2(t) применить преобразование Фурье, то окажется, что спектр функции f2(t) равен

0tjвхвых e)j(aSS ω−ω= . (2.2)

Действительно,

.dte)tt(fa)j(S tj01вых

ω−+ ∞

∞−

−=ω ∫Введем новую переменную t1=t-t0. Тогда

164

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник ).j(Saedte)t(fae)j(S вх

tj1

tj11

tj

вых01

0

ω==ω ω−ω−+ ∞

∞−

ω−

∫Сравнивая (2.1) и (2.2), замечаем, что

.aee)(K)j(K 0tj)(j ω−ωϕ =ω=ω

Следовательно, для прохождения импульса или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции четырехполюсника был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент φ(ω)=-ωt0

линейно изменялся в функции частоты (рисунок 2.1).

K(ω)

ω φ(ω)

K(ω)

φ(ω)

ω

K(ω)

K(ω

) max

Полоса пропускания

K(ω

) min

а) б)

Рисунок 2.1

В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выполнены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значениями ω, при которых отношение максимального значения К(ω) к минимальному равно 2 (рисунок 2.1,б).

Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот, грубо говоря, от ω=0 до ω=2π/tи, где tи – длина импульса.

165

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через

четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно непосредственным применением прямого и обратного преобразований Фурье. Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра U1(jω) входного сигнала u1(t); 2) определение передаточной функции четырехполюсника K(jω); 3) получение спектра выходного сигнала U2(jω)=K(jω)U1(jω); 4) определение u2(t) по U2(jω).

Дифференцирующая RC-цепьДифференцирующая RC – цепь. Так называют четырехполюсник, состоящий из последовательного соединения резистора с

конденсатором.

Рисунок 2.2 – Дифференцирующая RC-цепь

Если выходным напряжением является напряжение на резисторе RC-цепи, то такую цепь называют дифференцирующей. В этом случае коэффициент передачи:

RCj

1R)j(K

+ω

=ω.

Амплитудно-частотная характеристика рассчитывается по формуле:

166


1)RC(

11)j(K)(A

2 +ω

=ω=ω.

Фазочастотная характеристика рассчитывается по формуле:

)RC(arctg2

ω−π=ϕ .

Амплитудно- и фазочастотные характеристики приведены на рисунке 2.3

0

|K(jω)|

ω

1

0

φ(ω)

ω

π/2

Рисунок 2.3 – АЧХ и ФЧХ дифференцирующей RC-цепи

Для двух любых точек на графике АЧХ возьмем соотношение ординат:

11

11

)(A)(A

K22

2

221

1

2

+τω

+τω=

ωω

= ;

где τ=RC – постоянная времени.

Отсюда можно вывести постоянную времени:167


1K

K1

2

22

2

21

−ω

−ω=τ

Переходная характеристика по напряжению h(t) – это безразмерная величина, численно равная напряжению на выходе схемы, если на ее вход подать постоянное напряжение в 1В; h(t), так же как и k(t) (импульсная характеристика), можно определить либо расчетным, либо опытным путем.

Переходная характеристика рассчитывается по формуле:

tRC1

e)t(h−

=

0

h(t)

t

1

Рисунок 2.4 – Переходная характеристика дифференцирующей RC-цепи

168

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Интегрирующая RC-цепь

Рисунок 2.5 – Интегрирующая RC-цепь

Если выходным напряжением является напряжение на конденсаторе RC-цепи, то такую цепь называют интегрирующей. Коэффициент передачи:

1RCj1)j(K

+ω=ω ;


1)RC(1)j(K

2 +ω=ω ;


)RC(arctg ω−=ϕ .

Амплитудно - и фазочастотные характеристики для этого случая приведены на рисунке 2.6

169


0

|K(jω)|

ω

1

0

φ(ω)

ω

-π/2

Рисунок 2.6 – АЧХ и ФЧХ интегрирующей RC-цепи

Переходная характеристика:

tRC1

e1)t(h−

−=

0

h(t)

t

1

Рисунок 2.7 – Переходная характеристика интегрирующей RC-цепи

170


Последовательный колебательный контур

Рисунок 2.8 - Последовательный колебательный контур

Коэффициент передачи:

K jω= jω RC1−LC ω 2 jω RC

;


∣K jω∣= 1

ω 0

ω− ω

ω 0 2

Q21;


171


0

|K(jω)|

ωω0

1

0

φ(ω)

ω

π./2

-π./2

Рисунок 2.9 – АЧХ и ФЧХ колебательного контура

Переходная характеристика:

h t =2R C4L−R2C

sinω 0 t e−αt ;

где α= R2L .

0

h(t)

t

e-αt

172

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Рисунок 2.10 – Переходная характеристика колебательного контура

Генераторы качающейся частотыДля настройки усилителей промежуточной частоты, различных фильтров, в том числе фильтров сосредоточенной селекции, очень

удобно использовать генератор качающейся частоты (ГКЧ). ГКЧ рассчитан на работу с любым осциллографом, полоса рабочих частот которого соответствует полосе частот настраиваемого фильтра.

При конструировании и налаживании многоканальных устройств записи и воспроизведения возникает необходимость в согласовании амплитудно-частотных характеристик каналов. Значительно упростить процесс налаживания таких устройств можно лишь при наличии низкочастотного генератора качающейся частоты, который совместно с осциллографом позволяет производить визуальное сравнение амплитудно-частотных характеристик обоих настраиваемых усилителей.

Генератор Качающейся

частоты

Индикаторное устройство

Блок модулирующего напряжения

Исследуемый четырехполюсник

Рисунок 2.11 - Структурная схема простейшего автоматического измерителя АЧХ

Структурная схема простейшего автоматического измерителя АЧХ приведена на рисунке 2.11. Сигнал с ГКЧ подается на вход исследуемого четырехполюсника. Из-за наличия у этого четырехполюсника зависимости модуля коэффициента передачи от частоты сигнала на его выходе сигнал модулирован по амплитуде. Огибающая этого сигнала, выделенная на детекторе, входящем в состав индикаторного устройства, управляет отклонением луча индикатора по вертикали, вырисовывая кривую АЧХ.

173

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Особенности использования звуковой карты компьютера в качестве измерительного преобразователя.

ЦАП КВЫХ(jω) К(jω) КВХ(jω) АЦП

Исследуемый четырехполюсник f1[n] f2[n]

f1(t) f2(t) S1(jω) S2(jω)

Рисунок 2.12 - Структурная схема измерения параметров четырехполюсников

Изначально, программным путем формируется массив данных f1[n] представляющий собой дискретизированный образ тестового сигнала. С помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) выполняется операция восстановления дискретизированного сигнала, на выходе ЦАП будет получен аналоговый сигнал f1(t), спектр которого S1(jω) будет ограничен от значения равного половине частоты дискретизации. Выходные цепи звуковой карты имеют некоторую реактивность и обозначены КВЫХ(jω). Тестовый сигнал проходит через исследуемый четырехполюсник с коэффициентом передач К(jω). Далее через входные цепи (КВХ(jω)) преобразованный сигнал f2(t) поступает на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), где выполняется операция дискретизации. Для сигнала f2(t) и его спектра можно записать:

S2 jω =S 1 jω ⋅K ВЫХ jω⋅K ВХ jω⋅K jω

Исследуя спектр полученного сигнала можно узнать результирующий коэффициент передачи. Однако, для каждого экземпляра звуковой карты параметры КВЫХ(jω) и КВХ(jω) могут быть различны. Для упрощения вычислений условно будем считать произведение КВЫХ(jω)∙КВХ(jω) действительной величиной с равномерной АЧХ в ограниченной полосе частот. Эта величина фактически будет зависеть от положения регуляторов микшеров записи и воспроизведения звуковой карты. Для определения постоянных времени RC-цепочек можно воспользоваться следующим выражениями:

RC= 1K jω 2

1⋅1ω

[интегрирующая цепь]

RC= K jω2−1ω2

[дифференцирующая цепь]

174


Рисунок 2.13 – Подключение дифференцирующей цепочки к звуковой карте для исследования

Практическая частьЗадание

Сформировать тестовый сигнал (по вариантам). Выполнить пропускание тестового сигнала через линейную электрическую цепь. Полученный сигнал проанализировать. Найти постоянную времени исследованной цепи.




• пассивная электрическая цепь;



• ОС WINDOWS;




175

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Порядок выполнения лабораторной работы

1. Подготовить компьютер к работе: произвести соединение лабораторного стенда со звуковой картой; включение компьютера и запуск программного обеспечения (выполняет преподаватель)

2. Создать новый документ MathCad. С помощью MathCad создать свип-тон с начальной частотой f1 и конечной частотой f2, частотой дискретизации fX=44100Гц, амплитудой А=20000, длительностью ∆t=1.48608с. Построить график сигнала. Сохранить wav файл на диске.

3. Создать новый документ MathCad. С помощью MathCad создать сигнал с огибающей в виде импульса sinc(x). Сигнал строится таким образом, чтобы спектр был равномерным от частоты fn до частоты fv. Частота дискретизации fX=44100Гц, амплитуда А=20000, задержка T=0.75c, длительность ∆t=1.48608с. Построить графики сигнала и его спектра амплитуд. Сохранить wav файл на диске.

4. На лабораторной установке запустить программу Recоrd & Play. Осуществить операции записи и воспроизведения сигнала одновременно (частота дискретизации 44100Гц, 16бит).

5. Пропустить через исследуемую цепь свип-тон и импульс вида sinc(x). Получаемые сигналы должны быть той же длительности, что и исходные. Сохранить полученные файлы.

6. Осуществить обработку записанных сигналов в MathCad. Для этого построить графики сигналов. Для импульса вида sinc(x), прошедшего исследуемую цепь построить спектр амплитуд.

7. Полученный спектр амплитуд представляет собой фрагмент АЧХ исследуемой цепи умноженный на некоторую константу. По данной зависимости найти постоянную времени для дифференцирующей RC-цепи.

8. Используя вычисленное значение постоянной времени построить расчетно-экспериментальные графики АЧХ и ФЧХ в диапазоне частот от 0 до 10кГц.







176

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Отчет сдается в распечатанном виде.

Таблица 2.1 – Данные для расчетов по вариантам

вариант f1, Гц f2, Гц fn, Гц fv, Гц1 100 1500 200 10002 150 1300 100 7003 200 1200 300 6004 80 1100 400 9005 150 1000 500 9006 30 800 300 8007 300 900 100 8008 170 1600 200 800

177


Создадим сигнал свип-тон, зададим исходные константыfx 44100: = ∆ t 1.48608: = A 20000: = T 0.75: = f1 100: = f2 3000: =

Опишем выражение для сигнала с плавно меняющейся частотой

Определяем интервал дискретизации

Определяем количество выборок

Зададим счетчик по всем элементам временного массива

создаем массив временных отсчетов

Создаем массив, представляющий собой требуемый сигнал

178


179

Рисунок 1- Фрагмент временной зависимости, созданного свип-тона Сохраняем полученный массив в виде файла, для пропускания его через исследуемую цепь


180

Загружаем сигнал, пропущенный через исследуемую цепь. Задаем имя файла

Считываем заголовок

Считываем основные данные из файла в массив G

Рисунок 2 - Огибающая свип-сигнала, прошедшего RC-цепь дает общее представление о виде АЧХ, без спектрального анализа. Очевидно, что цепь обладает дифференцирующими свойствами,

поскольку низкие частоты пропускает хуже, чем высокие


181

В отдельном документе создаем сигнал в виде функции sinc. Задаем исходные константы:

Рассчитаем промежуточные значения для построения сигнала sinc с заданными частотными характеристиками

Задаем функцию для сигнала

Вычисляем интервал дискретизации и количество выборок

Задаем счетчик

Создаем массив временных отсчетов и получаемого сигнала


182

Рисунок 3 – Фрагмент созданного сигнала

Создаем счетчик по всем элементам спектрального массива, а также массив временных отсчетов

Вычисляем спектр тестового сигнала и его спектр амплитуд


183

Рисунок 4 – Спектр амплитуд тестового сигнала Сохраняем полученный сигнал в файле


184

Загружаем сигнал, прошедший через исследуемую цепь в массив G

Рисунок 5 - Фрагмент сигнала, прошедшего через исследуемую цепь


185

Вычисляем спектр сигнала и его спектр амплитуд

Задаем функцию, вычисляющую частоту по номеру в частотном

массиве

Задаем функцию, вычисляющую номер в частотном массиве по требуемой частоте


186

Рисунок 6 – Фрагмент спектра амплитуд полученного сигнала Задаем счетчик

Находим 100 соотношений для точек на графике спектра амплитуд


187

Вычисляем постоянную времени

Находим среднее арифметическое

Находим СКО среднего арифметического

Зададим функции для АЧХ и ФЧХ


188

Рисунок 7 - Расчетно - экспериментальная АЧХ

Рисунок 7 - Расчетно - экспериментальная ФЧХ



1. Пояснить сущность спектрального метода.

2. Какими инерционными характеристиками можно описать линейную систему. Есть ли связь между ними?

3. Можно ли в качестве тестового сигнала для данной работы использовать какие-либо друге импульсы?

4. Записанный сигнал содержит 65536 выборок тестового сигнала, прошедшего через исследуемую цепь. Сколько из них содержит информацию о величине постоянной времени этой цепи?

5.Какими еще способами можно определить постоянную времени исследованной цепи?

189

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Модуль 4Лабораторная работа 4 Исследование уровня шума в лабораторииТеоретическая часть

Краткие сведения из акустики

Звуки или их сочетания, нежелательные в данный момент для человека, принято считать шумом. На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с шумами, представляющими собой совокупность многочисленных звуковых колебаний, быстро меняющихся по частоте и силе. Человек воспринимает звуковые колебания с частотой от 20 до 20 000 Гц.

Почастотное разложение сложного колебательного процесса называют частотным анализом шума, а зависимость среднеквадратических значений синусоидальных составляющих шума от частоты – частотным спектром шума.

Звуковое давление – это разность между мгновенным значением полного давления и средним давлением, существующим в невозмущенной среде (единица звукового давления – Паскаль). Наименьшее звуковое давление, улавливаемое человеком (порог слышимости), - 2·10-5 Па, наибольшее воспринимаемое болезненно (болевой порог) – 2·102 Па. Поскольку на практике оперировать такими многозначными числами неудобно и слуховой аппарат человека оценивает изменения звукового давления не абсолютно, а относительно, введено понятие уровня звукового давления L, дБ, определяемого по формуле:

L=20 lg pp0

, (6.1)

где

p – среднее квадратическое значение звукового давления в Па;

P0- исходное (эталонное) звуковое давление, в воздухе равное 2·10-5Па.

Если в данную расчетную точку приходят звуковые волны с уровнями звукового давления Li, то суммарный уровень звукового давления, дБ, от всех источников шума определяют по формуле:

Lсум=10 lg∑i=1

n

100.1⋅Li , (6.2)

где

n – общее число независимых слагаемых уравнения.

190

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник При измерении шумов и в акустических расчетах спектры шума представляют чаще всего в октавных или третьоктавных полосах.

Полоса, в которой отношение частот f2/f1=2, называется октавной, если f2/f1=21/3=1.26,- третьоктавной.

Стандартные центральные частоты 1/3-октавных полос имеют следующие значения в Гц (центральные частоты октавных полос, совпадающие с каждой третьей центральной частотой 1/3 – октавных полос, выделены): 31,5; 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200; 250; 315; 400; 500; 630; 800; 1000; 1250; 1600; 2000; 2500 и т.д.

Уровни по «линейной» шкале децибелов могут быть измерены в любой из указанных выше полос. Наряду с этим в акустике существует другие шкалы, в которых уровень определяется также в децибелах, однако, лишь в определенных частотных полосах и с учетом частотной (или иной) коррекции.

Примером таких шкал являются шкалы А, В, С, используемые в шумомерах – приборах для измерения уровня шума (шкала А – для низкого уровня шума (0 – 55 дБ), В – для среднего (55–85 дБ), С – для высокого уровня (более 85дБ)). Частотные характеристики шкал А, В, С приведены на рисунке 6.1, они представляют по существу частотные характеристики среднестатистического слухового аппарата человека при разных уровнях шума.

500 1000 2000 5000 20000

-20

-40

-60

10 20 50 100 200

f,Гц

Lотн,дБ

10

0С

В

А

В+С

А

Рисунок 6.1 - Частотные характеристики A, B, C шумомера

191

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник В последние годы шкалы В и С практически вышли из употребления, т.к. выяснилось, что шкала А достаточно хорошо

соответствует субъективному восприятию шума независимо от его уровня. Уровень LA получил в настоящее время название уровня звука.

На основе шкалы А разработан ряд параметров, аналогичных по смыслу уровню звука и служащих для оценки отдельных локализованных во времени шумовых событий и шумового режима в течение какого-либо времени. В качестве основной величины при построении таких параметров используется эквивалентный уровень звука, который представляет собой значение уровня звука по шкале А для постоянного во времени шума, который в пределах времени измерений имеет такое же среднеквадратичное значение звукового давления, что и измеряемый во времени шум:

LAeq=10 lg[ 1t2−t1

∗∫t1

t2 p A2 t p0

2 dt ] , (6.3)

где

pA – текущее среднеквадратичное значение звукового давления измеряемого шума с учетом коррекции по частотной характеристике А;

(t2-t1) – продолжительность воздействия шума.

Характеристикой постоянного шума на рабочих местах являются уровни звукового давления L в октавных полосах частот со среднегеометрическими частотами 63, 125, 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 Гц.

Для упрощения измерений и ориентировочной оценке постоянного шума на рабочем месте допускается характеризовать его по уровню звука в дБА:

LA=20 lgpA

p0, (6.4)

где

pA – среднее квадратическое значение звукового давления с учетом коррекции «A» шумомера, Па.

192

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Практическая часть

Задание

Исследовать уровень шума в лаборатории: определить уровень звукового давления в заданных октавных и третьоктавных полосах; определить уровень звукового давления по шкале А.




• микрофон МД-201;

• микрофонный усилитель;



• ОС WINDOWS;




Порядок выполнения лабораторной работы1. Подготовить компьютер к работе: произвести соединение микрофона со звуковой картой; включение компьютера и запуск программного обеспечения (выполняет преподаватель)

2. На лабораторной установке запустить программу Recоrd & Play. Осуществить операцию записи с микрофона (частота дискретизации 44100Гц, 16бит). Выделить фрагмент сигнала длиной 65536 выборок.

3. Осуществить обработку записанных сигналов в MathCad. Для этого построить график сигналов. Выполнить обработку полученных сигналов полосовыми фильтрами согласно вариантам (см. таблицу 6.1). Чувствительность системы микрофон - АЦП сообщает преподаватель.

193

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник 4. Задать частотную характеристику фильтра «А». Выполнить фильтрацию записанного сигнала. Определить уровень звукового давления по шкале «А».


• титульный лист

• теоретическую часть,

• задание, приборы и оборудование

• порядок проведения лабораторной работы, в который помещен расчет и результаты, выполненные в MathCad

• выводы по работе


Таблица 6.1 – Варианты заданий для лабораторной работы

ВариантСреднегеометрические частоты, Гц

Третьоктавные Октавные1 40 160 2502 80 100 1253 160 200 2504 315 400 5005 800 630 5006 80 200 5007 630 315 1258 160 400 250

194


195

Имя открываемого файла

Считывание заголовка звукового файла

Определяем частоту дискретизации сигнала, записанного в файле

Считываем сигнал в массив G

Определяем число элементов

Задаем счетчик по всем элементам исходного сигнала

Создаем массив временных отсчетов


196

Рисунок 1 – Временная зависимость исходного звукового сигнала

Вычисляем спектр сигнала, используя быстрое преобразование Фурье


197

Рисунок 2 - Спектр амплитуд исходного сигнала Запишем функцию, переводящую из номера в частоту

Запишем функцию, переводящую из частоты в номер


198

Определяем массив W предназначенным для хранения частотных «окон» и заполняем его нулями.

Задаем среднегеометрическую частоту третьоктавной полосы

Задаем коэффициент для третьоктавной полосы

Используя функцию для среднего геометрического, находим верхнюю и нижнюю частоты полосы

Задаем счетчик по всем элементам полосы

Копируем часть содержимого основного спектра в массив «окон».

Повторяем аналогично для другой третьоктавной полосы


199

Повторяем аналогично для заданной октавной полосы

Задаем счетчик по всем выделенным полосам

Выполняем обратное преобразование Фурье, получаем сигналы, отфильтрованные для каждой полосы

Находим среднеквадратическое значение для сигналов, после фильтрации


200

Рисунок 3 – Временная зависимость сигнала отфильтрованного в третьоктавной

полосе 315Гц


201




202




203

Задаем чувствительность системы микрофон-АЦП Па/квант (сообщает преподаватель)

Определяем звуковое давление в каждой из полос

Задаем звуковое давление порога слышимости

Определяем уровень звукового давления каждой из полос в децибелах

дБ Определяем общий уровень звука по шкале «А» Задаем АЧХ фильтра А в децибелах


204

Нулевая колонка – частота, первая колонка коэффициент


205

Рисунок 6 – АЧХ фильтра «А» в децибелах

Переводим децибелы в разы

Составляем функцию – линейной интерполяции для заданного массива


206

Выполняем почастотное умножение спектра исходного сигнала на частотную характеристику фильтра «А» Используя обратное преобразование Фурье, получаем выходной сигнал

Рисунок 8 – Временная зависимость сигнала, прошедшего фильтр «А»



1. Что такое звуковое давление и как оно определяется?

2. Какие полосы используются при измерении шумов и в акустических расчетах?

3. Какие существуют шкалы определения уровня звука?

207

Находим среднеквадратическое значение для сигнала, прошедшего фильтр «А»

Находим звуковое давление по шкале «А»

Определяем уровень звукового давления по шкале «А»

LA=47дБА

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Модуль 5Расчетное задание Операторный метод расчета переходных процессовЗадание:

Для электрической схемы, выбираемой по вариантам (см. таблицу 1), выполнить следующее:

• Найти переходную характеристику и построить её график;

• Найти импульсную характеристику и построить её график;

• Найти временную зависимость выходного сигнала при заданном входном сигнале и построить её график.

Программное обеспечение: ОС Windows, система схемотехнического моделирования Micro-Cap, система для математических расчетов MathCad.

Порядок выполнения задания:1. Используя метод контурных токов в матричном виде составить систему уравнений для схемы, выбираемой по вариантам. При составлении системы уравнений, входящие в схему сопротивления записываются в операторном виде; источник сигнала на входе схемы записывается в виде изображения по Лапласу. (При поиске переходной характеристики нужно взять изображение единичной функции, импульсной характеристики – изображение дельта-функции, при поиске формы выходного сигнала при заданном входном сигнале нужно взять изображение входного сигнала) (см. таблицу 2).

2. Решить полученную систему уравнений и записать изображение выходного сигнала в виде рациональной дроби N p M p

.

3. Найти нули и полюсы полученной функции.

4. Найти производную знаменателя, т.е. M′(p).

5. Используя теорему разложения найти оригинал выходного сигнала.

6. Построить график.

7. Пункты 1-6 выполняются независимо для каждого из трёх пунктов задания.

208


Примечание: при невозможности выполнения расчетов в MathCad, расчет может быть выполнен вручную. Система MicroCap используется для проверки правильности выполненных расчетов. Графики, полученные в системе Micro-Cap, в обязательном порядке прикладываются к отчету.

Отчет должен включать:

1. титульный лист (см. приложение А);

2. реферат (1 стр);

3. содержание;

4. задание (см. приложение Б);

5. перечень условных обозначений, символов, терминов (при необходимости);

6. введение, в котором кратко излагается принцип применения преобразования Лапласа к расчету переходных процессов (2-3 стр.);

7. порядок выполнения практической части, в который помещены схемы, все промежуточные расчеты, результаты и графики;

8. заключение, в которое помещены замечания по решению, интерпретация полученных корней характеристических уравнений, общие выводы по работе (1-2 стр.);

9. список используемых источников.

Все листы пояснительной записки должны быть формата А4. Текст пояснительной записки должен быть напечатан или написан от руки аккуратно, литературным и технически грамотным языком, через 1.5 интервала на одной стороне листа. Общий объем пояснительной записки должен соответствовать 10-20 страницам машинописного текста. Текст пояснительной записки, оформляют на листах имеющих рамку и основную надпись в соответствии с требования ГОСТ 2.104; ГОСТ 2.105; ГОСТ 2.106; ГОСТ 21.101. На листе пояснительной записки, следующим за титульным листом выполняется основная надпись приведенная в приложении В, на последующих листах пояснительной записки оформляются основные надписи в соответствии с приложением Г. Расчетному заданию присваивается шифр, который составляется следующим образом: буквы РЗ обозначают тип документа – расчетное задание; группа цифр 190900 обозначают номер специальности «ИИТ и Т»; следующие две цифры обозначают номер варианта; далее следует группа цифр из трех нулей; в конце шифра ставятся буквы ПЗ – пояснительная записка. Например, РЗ 190900.08.000 ПЗ.

209

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Таблица 1 – Варианты заданий для расчетов

Вариант Рисунок

R1 R2 R3 C1 L1Входной сигнал

f(t) α ωОм мкФ мГн В с-1 рад/с

1 1 5 500 15 0.1 3 tе-αt 1500 -2 2 500 1 1 0.1 10 еαt -500 -3 3 700 2 1.5 0.8 1.5 Cos ωt - 300004 4 2 600 600 10 1 Sin ωt - 120005 5 1000 0.5 1 0.3 8 e-αt Cos ωt 1000 210006 6 100 100 1 0.06 10 e-αt Sin ωt 1000 420007 7 500 1 5 1 3 tе-αt 1100 -8 8 600 1.5 1.5 0.1 1 еαt -600 -9 9 300 2 1.5 2 0.1 Cos ωt - 3100010 10 350 50 1 0.3 10 Sin ωt - 800011 11 55 150 1.5 0.05 3.5 e-αt Cos ωt 800 3500012 12 250 1 1 6 3 e-αt Sin ωt 900 4000013 13 1 200 200 2 7 tе-αt 1400 -14 14 1 950 1 1 3.5 еαt -700 -15 15 1 100 1 1 1 Cos ωt - 2900016 1 2 500 500 0.5 4 Sin ωt - 1300017 2 2000 1 1 0.1 1 e-αt Cos ωt 1100 2500018 3 850 1 1 0.2 9 e-αt Sin ωt 1200 4500019 4 2 200 200 2 0.2 tе-αt 700 -20 5 100 2 1 0.09 0.01 еαt -900 -

210

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник 21 6 450 650 1 0.01 8 Cos ωt - 3500022 7 600 1 130 0.1 10 Sin ωt - 1800023 8 550 1.5 1.5 1.6 5 e-αt Cos ωt 500 3300024 9 750 2 1.5 6 2 e-αt Sin ωt 600 3800025 10 400 100 0.5 0.01 7 tе-αt 1300 -26 11 85 150 0.5 0.01 1.5 еαt -700 -27 12 1500 1 1 0.1 6.5 Cos ωt - 2800028 13 1 550 200 0.3 8 Sin ωt - 1500029 14 1 150 1 0.6 0.5 e-αt Cos ωt 1300 2500030 15 1 500 1 1 10 e-αt Sin ωt 1200 4100031 1 1 500 500 0.1 0.1 tе-αt 900 -32 2 850 1 1 0.1 4 еαt -900 -33 3 250 0.8 0.8 1 0.1 Cos ωt - 3400034 4 1.5 100 100 2.5 0.5 Sin ωt - 1600035 5 450 1 1 0.6 2 e-αt Cos ωt 900 3600036 6 150 500 1 0.03 6 e-αt Sin ωt 1000 4300037 7 1000 1 2 0.1 2 tе-αt 1200 -38 8 250 1 1.5 1 0.5 еαt -800 -39 9 150 0.5 1 0.6 7 Cos ωt - 2700040 10 750 250 1 0.02 13 Sin ωt - 1600041 11 450 150 1 0.1 12 e-αt Cos ωt 900 2000042 12 800 1 1 3 0.05 e-αt Sin ωt 1100 4000043 13 1 1150 1200 0.01 11 tе-αt 1200 -44 14 2 1100 1 2 5 еαt -700 -

211

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник 45 15 1 2000 1 0.01 2.5 Cos ωt - 3900046 1 3 1000 500 0.01 0.2 Sin ωt - 900047 2 300 0.5 0.5 0.6 8 e-αt Cos ωt 700 3000048 3 700 0.8 0.8 7 1 e-αt Sin ωt 1000 2000049 4 1 500 500 0.6 0.1 tе-αt 1500 -50 5 700 1 1 1 10 еαt -600 -51 6 500 500 2 0.01 4 Cos ωt - 2700052 7 1000 1 5 1 2 Sin ωt - 1900053 8 1100 1 1 0.06 9.5 e-αt Cos ωt 1300 2200054 9 1500 1 1 0.02 3 e-αt Sin ωt 500 1000055 10 50 450 2 0.08 1 tе-αt 900 -56 11 850 500 1 0.01 4 еαt -1000 -57 12 800 2 1 1 11 Cos ωt - 2600058 13 2 850 550 1.5 0.05 Sin ωt - 2100059 14 0.5 350 0.5 0.3 7 e-αt Cos ωt 600 3200060 15 1 950 1 0.01 1.5 e-αt Sin ωt 900 23000

212


Рисунок 1 Рисунок 2



213





Рисунок 13 Рисунок 14 Рисунок 15

214


Таблица 2 - Оригиналы и изображения по Лапласу

Оригинал f(t) при t≥0 Изображение F(p)δ(t) 1А А/рt 1/p2

eαt 1p−α

Cos ωtp

p2ω2

Sin ωtω

p2ω2

e-αt Cos ωtpα

pα 2ω2

e-αt Sin ωtω

pα 2ω2

tе-αt1

p−α2

215

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Приложение А Пример оформления титульного листа и задания

Министерство образования Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова

Кафедра информационных технологий

Расчетное задание

защищено с оценкой

__________________

Руководитель

к.т.н. доцент Е.М. Патрушев

Операторный метод расчета переходных процессов

Пояснительная записка расчетного задания по дисциплине

“Преобразование измерительных сигналов”

РЗ 190900.08.000 ПЗ

Работу выполнил

Студент гр. ИИТ-****************

Нормоконтролер **************

БАРНАУЛ 20**

Министерство образования Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет

им. И.И. Ползунова

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ИТ

____________________________

«____»_________________ 20** г.

ЗАДАНИЕ **

По специальности «Информационно-измерительная техника и технологии»

Студенту группы ИИТ-**

************************************

фамилия, имя, отчество

Тема: «Операторный метод расчета переходных процессов»

Срок исполнения расчетного задания **.**.****

Задание принял к исполнению _______________________/*************/

подпись фамилия, имя, отчество

БАРНАУЛ 20**

216

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Приложение Б

1 Исходные данные

Для электрической схемы, выбираемой по вариантам, выполнить следующее:

1. Найти и построить график переходной характеристики;

2. Найти и построить график импульсной характеристики;

3. Найти и построить график временной зависимости выходного сигнала при заданном входном сигнале.

2 Содержание разделов пояснительной записки

Наименование разделов Содержание работ по разделу

Трудоемкость, %

Срок выполнения

Консультант

(Ф.И.О., подпись)

1 2 3 4 5

Введение Кратко изложить теоретические основы применения преобразования Лапласа к расчету переходных процессов (2-3 стр.).

10 4нед Патрушев Е.М.

Практическая часть

Составить систему уравнений, описывающую состояние электрической схемы в операторном виде. Найти нули и полюсы. Найти оригиналы, построить графики.


Заключение Замечания по решению, интерпретация полученных корней характеристических уравнений, общие выводы по работе (1-2 стр.).


Руководитель ____________________________________ Патрушев Е.М.

Оформление пояснительной записки должно удовлетворять требованиям стандартов к текстовым документам ГОСТ 2.105 и ГОСТ 7.32.

217

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний Справочник Приложение В

Пример оформления основной надписи на листе, следующем за титульным

Изм. Лист докум. Подп. ДатаРЗ 190900.08.000 ПЗ

Разраб. ********* Лит. Лист. ЛистовУ 1 28

Пров. ПатрушевН. контр. Котлубовская

Утв. Госьков

АлтГТУ ИТгр. ИИТ-**

Приложение Г

Пример оформления основной надписи на остальных листах (размер всей области: ширина 10мм; высота 15мм;

слово «Лист» находится в прямоугольнике 10х5мм)

Лист

218

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникКонтроль знанийМодуль 1

Сигналы аналоговые, дискретизированные, цифровые. Области представления сигналов ->

Принцип работы АЦП с УВХ ->

Рановидности ЦАП. Восстанавливающий фильтр ->

Теорема Котельникова (отсчётов) ->

Техника аналого-цифрового преобразования слабых сигналов добавлением шума ->

Однобитные ЦАП и АЦП ->

Модуль 2Необходимые условия линейности системы (признаки линейной системы) ->

Свойства линейных систем ->

Разложение и синтез

Сущность преобразования Фурье

Свойства преобразований Фурье

Нотации преобразований Фурье. Особенности полярного представления.

Спектры некоторых сигналов. Быстрое преобразование Фурье

Ряды Фурье.

Модуль 3Частотные характеристики линейных систем.

Импульсная характеристика

219

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникПереходная характеристика

Понятие о свёртке

Связь между частотной, переходной и импульсной характеристиками.

Понятие о корреляции.

Свойства автокорреляционной функции.

Свойства взаимной корреляционной функции.

Модуль 4Основы фильтрации.

Классификация фильтров

Информация, представленная в сигнале. Параметры временной области. Параметры частотной области.

Важные точки и области на графике АЧХ фильтра

Фильтры низких частот, высоких частот, полосовые и режекторные

Фильтр бегущего среднего

Взвешиваюшие (оконные) фильтры.

Рекурсивные фильтры. Рекурсивная техника.

Однополюсные фильтры.

Узкополосные полосовые и режекторные рекурсивные фильтры.

Чебышевские фильтры. Характеристики Чебышева и Баттерворта

Разработка Чебышевского фильтра

Специальные фильтры. Устранение нежелательной свёртки.

Оптимальная фильтрация для усредняющего, корреляционного и фильтра Винера.

220

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникНелинейная фильтрация. Гомоморфная обработка сигналов.

Модуль 5Сущность преобразования Лапласа.

Стратегия преобразования Лапласа.

Применение преобразования Лапласа для анализа электрических цепей

221

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникСправочникСписок литературы

Основная литература

1 Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: «Высшая школа», 1978.-528с.

2 Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986.-544с.

3 Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: «Радио и связь», 1986.-512с.

Дополнительная литература.

4 Smith S.W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing San Diego, 1999.-650с.

5 Измерение в электронике: справочник. Под ред. В.А. Кузнецова.- М.: «Энергоатомиздат», 1987.-512с.

6 Попов В.П. Основы теории цепей. Учебник для вузов. М.: «Высшая школа», 1985.-496с.

Список литературы для расчётного задания

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. -М.: «Высшая школа», 1996.- 638с.

2. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

3. Нейман Л. Р., Димирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Л.: Энергоиздат, 1981.- 536 с.

4. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. –М., «Высшая школа», 1976.-544с.

222

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникОглавлениеТеория......................................................................2Модуль 1................................................................21 Области применения технологий обработки сигналов................................................................32 Общие понятия о сигналах...............................32_1 Терминология................................................32_2 Средняя величина и стандартное отклонение............................................................52_3 Полученный сигнал и полезный сигнал......62_4 Гистограммы и функции распределения.....73 АЦП и ЦАП.....................................................123_1 Техника аналого-цифрового преобразования слабых сигналов добавлением шума................143_2 Теорема Котельникова (теорема отсчётов) 163_3 Цифро-аналоговые преобразователи сигналов..............................................................173_4 Однобитные ЦАП и АЦП...........................19

Модуль 2..............................................................214 Линейные системы..........................................224_1 Сигналы и системы.....................................224_2 Необходимые условия линейности системы (признаки линейной системы)...........................234_3 Свойства линейных систем.........................274_4 Разложение и синтез...................................285 Преобразование Фурье...................................315_1 Нотации преобразований Фурье................375_2 Особенности полярного представления.....415_3 Свойства преобразований Фурье...............425_4 Спектры некоторых сигналов.....................525_5 Быстрое преобразование Фурье (БПФ).....536 Ряды Фурье......................................................54

Модуль 3..............................................................587 Инерционные характеристики линейных систем.................................................................597_1 Частотные характеристики линейных систем (ЧХ).........................................................59

7_2 Переходная характеристика (ПХ)...............607_3 Импульсная характеристика (ИХ)..............617_3_1 Понятие о свёртке....................................627_4 Связь между частотной, переходной и импульсной характеристиками..........................668 Корреляция......................................................688_1 Свойства автокорреляционной функции. . .718_2 Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ)...................................................72

Модуль 4..............................................................739 Фильтры...........................................................749_1 Основы фильтрации....................................749_2 Классификация фильтров...........................759_3 Информация, представленная в сигнале....759_4 Параметры временной области..................769_5 Параметры частотной области...................789_6 ФВЧ (фильтры высоких частот), полосовые и полосно-задерживающие (режекторные) фильтры..............................................................819_7 Фильтр скользящего среднего....................859_8 Фильтры со взвешиванием.........................899_9 Специальные фильтры................................979_9_1 Деконволюция (устранение нежелательной свёртки).....................................979_9_2 Оптимальная фильтрация.....................1029_9_2_1 Фильтр скользящего среднего...........1029_9_2_2 Согласованный фильтр (корреляционный)............................................1029_9_2_3 Фильтр Винера...................................1029_10 Рекурсивные фильтры.............................1049_10_1 Рекурсивная техника...........................1049_10_2 Однополюсные рекурсивные фильтры...........................................................................1079_10_3 Узкополосные полосовые и режекторные рекурсивные фильтры...............1109_11 Чебышевские фильтры............................111

9_11_1 Характеристики Чебышева и Баттерворта.......................................................1119_11_2 Разработка Чебышевского фильтра....1139_12 Нелинейная фильтрация..........................1169_12_1 Гомоморфная обработка сигналов......117

Модуль 5.............................................................12010 Преобразование Лапласа............................12110_1 Сущность преобразования Лапласа ......12110_2 Стратегия преобразования Лапласа.......12510_3 Анализ электрических схем с помощью преобразования Лапласа..................................125

Практикум...........................................................131Модуль 1.............................................................131Лабораторная работа 1 Исследование сигналов сложной формы................................131

Модуль 2.............................................................149Лабораторная работа 2 Исследование искажений формы сигналов............................149

Модуль 3.............................................................164Лабораторная работа 3 Прохождение детерминированных сигналов через линейные электрические цепи..........................................164

Модуль 4.............................................................190Лабораторная работа 4 Исследование уровня шума в лаборатории.........................................190

Модуль 5.............................................................208Расчетное задание Операторный метод расчета переходных процессов.....................................208

Контроль знаний.................................................219Модуль 1.............................................................219Модуль 2.............................................................219Модуль 3.............................................................219Модуль 4.............................................................220Модуль 5.............................................................221

Справочник.........................................................222Список литературы............................................222

223

Теория:[M1,M2,M3,M4,M5] Практикум:[M1,M2,M3,M4,M5] Контроль знаний СправочникОглавление..........................................................223

224

Documents

Патрушев Е.М., Патрушева Т.В. Кафедра ИТ, АлтГТУit.fitib.altstu.ru/neud/pis/pis.pdf · 26 Сентябрь, 2009 Преобразование измерительных