2019 年 12 月・2020 年 1 月の問題

先月の解答・解説

図１ ペントミノ（5-omino）

図１の図形はペントミノ（Pentomino, 5-omino）といい、５つの正方形を辺で繋げたものです。ペン

トミノは 12 種類あります。

(1) 正方形ではない他の図形を５つ繋げると、何種類の図形ができるで

しょうか。

たとえば図２のような、正三角形を繋げたもの（5-iamond）や立方体を

繋げたもの（5-polycube）、正六角形を繋げたもの（5-polyhex）は何種

類でしょう。

(2) (1)で挙げた図形のほかに、同じような考察ができる図形はあるでし

ょうか？いくつか考えてみてください。

図２

様々な図形

解説

正方形を何個かつなげたものをポリオミノ（Polyomino）といい、５個つなげたものはペントミノといいま

す。「poly-」は、主に化学で目にする（ポリマーなど）接頭辞ですが、元はギリシャ語の「多い、たくさんの」

が由来のようです。

n 個の正方形をつなげたポリオミノは「n-ポリオミノ」、あるいはペントミノなど個別の名前で呼ばれ、

1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, ...

のように種類が増えていきます。5-ポリオミノは 12 個です。

(1) さて、正方形以外にもつなげられる図形はあります。これをポリフォーム（Polyforms）といい、今回は

三種類を紹介しました。

たとえば正三角形を n 個繋いだポリイアモンド（Polyiamond, あるいは Triangular Polyomino や Triangular

Polyform とも言う）という図形派があります。n = 5の場合は次の 4 種類があります。

n を大きくするとパターン数は

1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, ...

と増えていきます1が、ポリオミノよりは数が少ないようです。もっと先まで見てみる（n=30 まで知ることが

できました）と、n が 1 つ増えるとパターン数が約三倍になっていることが観察できました。

n がもっと大きいときにどうなるのかは調べられませんでしたが、ポリオミノでは約四倍になることが証明さ

れている2ので、ポリオミノの数のほうがずっと大きいのは間違いなさそうです。

三角形のかわりに六角形を使う Polyhex というものもあり、これはn = 5で 22 パターンあります。

（図：wikipedia「Polyhex」より引用）

1 https://oeis.org/A000577 2 Barequet, Gill. "λ > 4: An Improved Lower Bound on the Growth Constant of Polyominoes". Retrieved 2017-02-02.

Polyhex の数は

1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448, 6572, ...

と増加していきます。これは、約五倍のペースで増加していますね。

最後に Polycube ですが、これは

1, 1, 2, 8, 29, 166, 1023, 6922, 48311, ...

と増加していきます。n=5 のときは 29 個の Polycube があります。そのうち 12 個は平面的なポリキューブ、つ

まり実質ペントミノと同じものです。

図：平面的なペンタキューブ。12 個存在する。

図：平面的でないペンタキューブ。17 個存在する。

青（色が濃いもの）が一段目、黄色（色が薄いもの）が二段目にある。

それぞれの数は

Polyiamond（三角形）＜Polyomino（四角形）＜Polyhex（六角形）＜Polycube（立方体）

となっているようです。単純につなげられる辺（面）の数が多い方がパターンが増えるのだと推測されます。

Polyhex と Polycube はどちらも辺（面）が 6 個ですが、Polycube の数のほうが多いのは三次元で考えた方が自

由度が大きいということでしょうか？

(2) もっといろいろな図形をつなげてみましょう。

(1)で扱った四つの図形は、どれも平面や空間を充填できるという性質がありました。たとえば正五角形は敷き

詰めができない図形なので、n=5 ならまだしも n=10,20,…の場合を考えるのは難しそうです。

僕が一番始めに考えついたのは、四次元の立方体、五次元の立方体、…を考えることでした。四次元立方体

は正八胞体と呼ばれ、8 つの「胞」で隣の立方体とつながることができます。したがって三次元立方体の

Polycube より多くのパターン数が存在すると考えたのですが、実際 4 次元の n−Polycube は

1, 1, 2, 7, 27, 164, 1316, 12757, 134174, …

個存在し3、５次元では

1, 1, 2, 7, 26, 154, 1172, 12049, 148508, …

個存在します4。

n が大きいところでは高次元のほうが多いものの、n が小さいところ（n=4,5,6）では低次元のほうが多いとい

うことがわかりました。むしろ少なくなっていることがわかりました。これは「低次元だと区別していたもの

（鏡像）を高次元では区別しなくなる」ことの影響が n が小さいところで大きくなるからです。この様子は 50

年くらい前の論文5にまとめられています。

他には、平面を充填する図形として「直角二等辺三角形」や「30°, 60°, 90°の三角形」などがあるのでこ

れを使うことができます。もちろん一般の三角形が平面充填可能なのですが、この 2 枚は鏡像を混ぜて並べる

ことができるので考えがいがあります。

鏡像をまぜて並べた例

3 https://oeis.org/A255487 4 https://oeis.org/A290305 5 W. F. Lunnon, “Counting multidimensional polyominoes” The Computer Journal, Volume 18, Issue 4, 1975,

Pages 366–367,

直角二等辺三角形で Polyform を考えたものを Polyabolo、あるい

は Polytan といい、n=3 の Polyabolo は右の 4 つがあります。

Polyabolo の数は

1, 3, 4, 14, 30, 107, 318, 1116, 3743, …

で6、Polyomino よりも多いです。（なぜか考えてみましょう）

30°, 60°, 90°の直角三角形がどのような名前かは調べてもわかり

ませんでした（ので、詳しく調べてみると面白いかもしれません）。そ

のかわりただし、「30°, 30°,120°」の三角形で考えた Polyform に

Polypons という名前がついていることは発見できました。

他に、「Snub Square Tiling」という右のような平面充

填で Polyform を考えるという面白い試みも見つけまし

た。この場合のパターン数は

2, 2, 4, 10, 28, 79, 235, 720, 2254,…

だそうです7。

ほかにも正方形を 3 次元でつなげていく Polysquare、正方形を辺だけでなく頂点でつながっていてもよいとす

る Polyking（あるいは Pseudo polyomino）など、さまざまなものがあります。

数えるだけでも楽しいです。ぜひいろいろ考えてみてください。

6 https://oeis.org/A006074 7 https://oeis.org/A309159