F1-P2.Cinemática de la Partícula

Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica

Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica

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ESCUELA DE INGENIERÍAAERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

Curso 2013-2014

PROBLEMAS DE FÍSICA I

Septiembre 2013


Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica 2



Capítulo 2

Cinemática de la partícula

PROBLEMA 2.1. Velocidad en función del tiempo

Una partícula se mueve con movimiento rectilíneo de manera tal que su velocidad está dadaen función del tiempo t por la expresión:

v(t) = v0[1− sen(πt

T)]

donde T es una constante conocida. Si se sabe que la partícula parte desde el origen con unavelocidad inicial v0, determinar:

1. La posición x(3T ) y la aceleración a(3T ) de la partícula en el instante t = 3T .

2. La velocidad promedio v de la partícula en el intervalo de t = 0 a t = T .

SOLUCIÓN 2.1.

1. x3T = (3− 2π)v0T

a3T = πv0T

2. v = (1− 2π)v0

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Capítulo2: CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 4

PROBLEMA 2.2. Velocidad en función de la posición

Observaciones experimentales han permitido establecer que la velocidad de un atleta (Figura2.1) puede aproximarse por la relación:

V (x) = A(1−Bx)γ

donde A = 12km/h, B = 0.025km−1, γ = 0.3 son constantes y x es la distancia recorridaexpresada en km.

Si se sabe que en el instante inicial x(0) = 0, determinar:

1. La distancia D en km recorrida por el atleta al cabo de 1 hora.

2. La aceleración a(0) del atleta en m/s2 en el instante inicial.

3. El tiempo t0 requerido para que el atleta recorra 10 km.

Figura 2.1:

SOLUCIÓN 2.2.

1. D = 11.436km

2. a(0) = 8.33× 10−5m/s2

3. t0 = 52.11mn

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PROBLEMA 2.3. Aceleración función de la velocidad

El tripulante de un barco que se encuentra amarrado en un lago de profundidad H (Figura2.2), deja caer una bola de acero de manera que cuando ésta contacta con la super�cie del aguasu magnitud es v0 = 8m/s. Si se supone que en el interior del agua la bola experimenta unaaceleración que es función de su velocidad v, y que está dada por la expresión:

a(v) = A− kv2

donde A y k son constantes, ¾cuánto vale la velocidad de la bola cuando golpea el fondo?

Para los cálculos, tómense como datos: A = 0.05m/s2, k = 0.05m−1 y H = 10m.

Figura 2.2:

SOLUCIÓN 2.3.

V = 4.9m/s

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PROBLEMA 2.4. Vector tangente a una curva. Radio de curvatura

Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de la curva C descrita por el vector deposición:

~r(t) = 3 cos(2t)~i+ 3 sin(2t)~j + 8~k

1. Calcular su velocidad ~v(t) y su aceleración ~a(t).

2. Hallar un vector unitario ~τ(t) tangente a la curva C y comprobar que ~v(t) = |v|~τ(t).

3. Calcular el radio de curvatura ρ(t) de la trayectoria e identi�car ésta.

SOLUCIÓN 2.4.

1. ~v(t) = −6 sin 2t~i+ 6 cos 2t~j

~a(t) = −12 cos 2t~i− 12 sin 2t~j

2. ~τ = − sin 2t~i+ cos 2t~j

3. ρ = 3. Circunferencia de radio 3 y centrada en (0, 0, 8).

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PROBLEMA 2.5. Triedro intrínseco

Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de la curva C descrita por el vector deposición:

~r(t) = cos t~i+ sin t~j + t~k

1. Calcular los vectores tangente ~τ(t), normal ~n(t) y binormal ~b(t), que de�nen el triedrointrínseco en función del tiempo.

2. Determinar las ecuaciones de los 3 planos mutuamente perpendiculares -plano osculador,plano normal y plano tangente-, asociados al triedro intrínseco, en el instante en el quela partícula pasa por el punto P (0, 1, π/2)

SOLUCIÓN 2.5.

1. ~τ(t) = 1√2(− sin t~i+ cos t~j + ~k)

~n(t) = − cos t~i− sin t~j

~b(t) = 1√2(sin t~i− cos t~j + ~k)

2. z = −x+ π2, (plano osculador).

z = x+ π2, (plano normal)

y = 1, (plano tangente)

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PROBLEMA 2.6. Componentes intrínsecas de la aceleración

Una partícula se mueve de forma tal que su vector de posición ~r(t) está dado por la funciónvectorial:

~r(t) = A t2(~i+~j) +B t3~k

donde t es el tiempo y A y B dos constantes conocidas. Determinar :

1. Dimensiones de las constantes A y B en el SI.

2. Componentes tangencial ~aT (t) y normal ~aN(t) de la aceleración de la partícula.

SOLUCIÓN 2.6.

1.

2. ~aT (t) =8A2+18B2t2

8A2+9B2t2

{2A(~i+~j) + 3Bt~k

}~aN(t) =

18A2+9B2t2

{−18AB2t2(~i+~j) + 24A2Bt~k

}

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PROBLEMA 2.7. Movimiento rectilíneo. Integración grá�ca

Una partícula parte del reposo sometida a la aceleración indicada en la Figura 2.3 conmovimiento rectilíneo.

1. Conocidos a0 y t1, determinar el valor necesario de t2 para que en tal instante el móvilvuelva al reposo.

2. Utilizando el resultado anterior, hallar las expresiones de la velocidad v(t) y la posiciónx(t) de la partícula para un instante genérico t1 ≤ t ≤ t2.

Figura 2.3:

SOLUCIÓN 2.7.

1. t2 = 3t1

2. v(t) = a04t1t2 − 3a0

2t+ 9

4a0t1

x(t) = x(0) + a012t1

t3 − 3a04t2 + 9a0t1

4t− 13a0t21

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PROBLEMA 2.8. Movimiento circular

En el plano de la Figura 2.4 (que es perpendicular a la recta bisectriz del primer cuadrante),una partícula P describe un movimiento circular de radio R, y cuyo centro C es la interseccióndel plano con dicha bisectriz.

Marcando en el plano dos ejes perpendiculares, de�nidos por los versores, ~u1 y ~u2, la posiciónde la partícula está dada por θ(t). Tomando como datos el valor de θ(t) y sus derivadas θ̇(t) yθ̈(t), determinar:

1. Componentes de ~u3 según ~i,~j,~k y coordenadas de C.

2. En componentes de ~u1, ~u2, ~u3:

a) Vector velocidad angular ~ω.

b) Vector velocidad ~v de la partícula.

c) Vector aceleración normal ~aN de la partícula.

3. Módulo |~aT | del vector aceleración tangencial de la partícula.

Figura 2.4:

SOLUCIÓN 2.8.

1. ~u3 =1√3(~i+~j + ~k) , C(1/3, 1/3, 1/3)

2. a) ~ω = θ̇~u3

b) ~v = θ̇R(− sin θ~u1 + cos θ~u2)

c) ~aN = −θ̇2R(cos θ~u1 + sin θ~u2)

3. |~aT | = R|θ̈|

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PROBLEMA 2.9. Movimiento en coordenadas polares

Una partícula se mueve en un plano de manera que sus coordenadas polares están dadas enfunción del tiempo por las relaciones:

r(t) = 2b cosωt

θ(t) = ωt

donde b y ω son constantes conocidas. Determinar:

1. La magnitud de la velocidad |~v| y de la aceleración |~a| en cualquier instante.

2. El radio de curvatura ρ de su trayectoria. ¾A qué conclusión puede llegarse respecto a latrayectoria de la partícula? Intente dibujar ésta en coordenadas cartesianas.

SOLUCIÓN 2.9.

1. |~v| = 2bω|~a| = 4bω2

2. ρ = b

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PROBLEMA 2.10. Diferentes formas de describir un movimiento plano

Un satélite S de dimensiones despreciables, describe alrededor de la Tierra, en sentidoantihorario , la elipse de ecuación:

r(θ) = 3k4+2 cos θ

donde k es una constante y (r, θ) las coordenadas polares respecto a unos ejes cartesianos cuyoorigen se sitúa en la Tierra, la cual ocupa la posición del foco F1 de la elipse (ver Figura 2.5).

En t = 0 el satélite se encuentra en el punto P (perigeo), y el módulo de su velocidad en eseinstante es v0. El satélite está equipado con un dispositivo de control por el cual se le obliga agirar alrededor de la Tierra de modo que θ̇ = C, siendo C una constante. Se pide:

1. Ecuación de la trayectoria del satélite en coordenadas cartesianas.

2. Velocidad del satélite en coordenadas polares. ¾Qué relación existe entre θ̇ y v0?

3. Relación entre los versores polares (~ur(θ), ~uθ(θ)) y los versores intrínsecos (~uT (θ), ~uN(θ)).

4. Componentes intrínsecas de la aceleración del satélite en el punto B.

5. Radio de curvatura de la trayectoria del satélite en el punto A (apogeo).

Figura 2.5:

SOLUCIÓN 2.10.

1. (x+ k2)2 + 4

3y2 = k2

2. ~v(θ) = 6v04+2 cos θ

[ 2 sin θ4+2 cos θ

~ur + ~uθ], θ̇ = 2v0k

3.

(~ur(θ)~uθ(θ)

)= 1√

5+4 cos θ

(sin θ −(2 + cos θ)

2 + cos θ sin θ

)(~uT (θ)~uN(θ)

)4. ~aT (θ = 120) =

24v209k

(−~i )

~aN(θ = 120o) =24√3v20

9k(−~j )

5. ρ(θ = 180o) = 34k

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