ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFacultad de Ingeniería Mecánica

Ingeniería Económica

Integrantes: Ricardo Andrés Chávez Vásconez Josshua Sebastián Panchi Díaz

Grupo: GR1Fecha: 2015/10/21jorge.chicaiza@epn.edu.ec

Exposición Nº2

Tema: Factores de Gradiente uniforme y geométrico

1. Introducción

Ciertos proyectos que requieren inversiones generan que crecen o decrecen una cierta cantidad constante cada periodo. Un ejemplo típico es el incremento en los gastos de manutención de maquinaría (supóngase el incremento constante). En ocasiones, los proyectos incrementan un cierto porcentaje constante por cada periodo. Como ejemplo, cuando se habla de inflación, se hace referencia al incremento de los flujos en cierto porcentaje con el tiempo.

La razón de crecimiento constante (porcentaje o cantidad) es denominado gradiente en ingeniería económica.

2. Conceptos previos

Es importante mencionar que un dólar que se reciba en el futuro valdrá menos que un dólar que se posea hoy. Esto es porque el dinero que se posee actualmente puede ganar un rendimiento cuando es invertido por un cierto periodo. Es por esta razón que el concepto del valor del dinero en el tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes del tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero.

En el mundo de los negocios, los interés se calculan en base a una tasa de interés compuesto. En el primer trimestre se calculan los intereses sobre el capital y son capitalizados para que se calculen sobre éste los interés del segundo bimestre, y así sucesivamente.

C1=Co(1+i)

C2=C1 (1+i )=Co (1+i ) (1+i )=Co (1+i )2

La fórmula que describe este comportamiento del capital es al cabo del periodo n es:

Página 1 de 5

Cn=Co (1+i )n

Ej. 1) Supongamos que se realiza un deposito en una entidad de crédito que ofrece el 4% de remuneración anual bajo régimen de capitalización compuesta. ¿Cuál será la cantidad de dinero disponible al cabo de 6 años?

C6=2000 (1+0.04 )6=2.530,64USD

Una vez que se entiende mejor estos conceptos se puede enunciar:

1) Valor presente: viene a ser el valor que recibiría o pagaría en la actualidad por un monto de dinero equivalente en el futuro, para una determinada tasa de interés.

VP=VF (1+i )−n

2) Valor futuro: es el valor que se recibe o se paga en un periodo de tiempo futuro, resultado de la aplicación de una tasa de interés a una cantidad presente.

VF=VP (1+i )n

donde:VP: Valor presenteVF: Valor futuroi: Tasa de interés efectivan: número de periodos

Ej. 2) ¿Qué suma recibiremos por un depósito de 20.000 USD al término de 7 años a una tasa de interés del 12% anual calculada semestralmente?

VF=20.000 (1+0.06 )14=45.218USD

Ej 3) Una fábrica ha concluido sus tres primeros años de existencia con pérdidas calculadas al término de cada año. Hallar la ganancia al cuarto año para cubrir el déficit de los 3 años anteriores con el 11% de tasa de interés anual.

Año

USD

1 18.3002 8.7003 1.500

VF=18.300 (1+0.11)3+8.700 (1+0.11 )2+1.500 (1+0.11 )1=37.411,91USD

Ej. 4) ¿Cuál es el valor actual de la inversión total necesaria para instalar una planta de manufactura, considerando que su construcción de prolongará por 3 años, a un costo estimado de 70.000 USD por año, a cuyo término se adquirirá y se instalará la

Página 2 de 5

maquinaria requerida, por un valor de 85.000 USD?, la tasa de interés es del 16% anual.

VP=70.000 (1+0.06 )−1+70.000 (1+0.06 )−2+(70.000+85.000)(1+0.06 )−3

VP=211.668,15USD

3. Factores de gradiente aritmético

Es una serie de flujos de caja que aumentan o disminuyen de manera uniforme. Es decir que el flujo de caja, bien sea un ingreso o un desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el gradiente.

Existen ciertas condiciones que deben cumplirse para que una serie de pagos sea un gradiente, las cuales son:

Los pagos deben tener una ley de formación, esto es, intervalos de tiempo, tasas de interés, etc.

Los pagos deben ser periódicos. La serie de pagos debe tener un valor presente y un equivalente valor futuro. El número de periodos debe ser igual al número de pagos.

La serie aritmética tiene la apariencia de la suma de dos series, una de las cuales se mantiene constante y otra que sufre el cambio aritmético.

A+nG

Así, se puede definir G como el cambio uniforme en la magnitud de las entradas para un periodo de tiempo, y su valor puede ser positivo o negativo.

También, en los gradientes geométricos se cumple,

Cn=Co+(n+1 )G

Ej. 5) Una empresa espera obtener ingresos de 80.000 USD el primer año, hasta obtener un total de 200.000 USD en 9 años ¿Cuál es el gradiente aritmético?

G=C9−C1n−1

=200.000−80.0009−1

=120.0008

=15.000USD /año

Ej. 6) Una compañía de licores espera tener ingresos por 47.500 USD el próximo año, y se espera que las ventas aumenten de manera uniforme con la introducción de una nueva medida hasta llegar a 100.000 USD en 8 años. ¿Cuál es el gradiente aritmético?

G= gananciaperiodo

=100.000−47.5008

=52.5008

=7.500USD /año

Página 3 de 5

Para el desarrollo de una fórmula que se pueda utilizar en el caso de los gradientes aritméticos o uniformes conviene suponer que el 1er flujo de la serie se encuentra al final del periodo 1 y no involucra un gradiente sino un pago base.

Al ignorar el pago base se puede construir un diagrama generalizado del flujo de caja de gradiente creciente uniforme, similar a como se muestra en la figura.

Figura 1. Gradiente aritmético o uniforme.Fuente: [http://clasev.net]

La expresión siguiente es el valor presente de una serie uniforme de 1 a n años,

VP=[ G

i (1+ i)n ][ (1+ i)n−1i

−n]El valor futuro equivalente de una serie aritmética es,

VF=(Gi ) [ (1+i )n−1i

−n]y la anualidad A dado un gradiente G es,

A=G [ 1i− n

(1+ i )n−1 ]Recuerde que al determinar el valor presente equivalente o valor anual equivalente de una serie de flujos con gradiente uniforme aritmético, el primer flujo no es un gradiente, sino un pago base, por lo que,

VPG=Po+PG

donde,

Página 4 de 5

VPG: Valor presente del gradientePo: Pago basePG: Pago del gradiente

Ej. 7) Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad que va disminuyendo a una cantidad constante de 500 USD por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de 10.000 USD y el último es de 5.500 USD. Si la tasa de interés es de 15% anual. ¿Cuál sería la magnitud de un depósito anual constante durante el mismo periodo de tiempo para que el monto acumulado sea el mismo?

A=Po−PG

A=Po−G [ 1i − n

(1+i )n−1 ]A=10.000−500 [ 1

0.15−

9

(1+0.15 )9−1 ]A=10.000−500 [ 1

0.15−

10

(1+0.15 )10−1 ]=10.000−1691,60=8308,40USD4. Factores de gradiente geométrico

5. Bibliografía

Panchi, J. (2015). Apuntes de Costos de Producción. Quito

Zester, J. (2014, 10). Factores de gradiente aritmético. Slideshare. Obtenido 10, 2015, de http://es.slideshare.net/zestersin/factores-de-gradiente-aritmetico

(2014, 10). Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el

Presente. http://clasev.net. Obtenido 10, 2015, dehttp://clasev.net/v2/pluginfile.php/79893/mod_resource/content/1/gradientes.pdf

Página 5 de 5