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U N I V E R S I D A D A U T Ó N O M A
D E Y U C A T Á N
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
ELEMENTOS PARA LA RESIGNIFICACIÓN DE LA SERIE DE TAYLOR
A TRAVÉS DE TECNOLOGÍA
Tesis que presenta
Cynthia Almazán Colorado
Examen profesional para obtener el título de
Licenciada en enseñanza de las matemáticas
Asesor de tesis
M. en C. Landy Sosa Moguel
Modalidad
Tesis individual
Mérida, Yucatán Octubre 2009
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1. LA TECNOLOGÍA EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
1.1. Implicaciones didácticas del uso de la tecnología
1.2. La transposición informática
1.3. Actividades de aprendizaje con tecnología
1.4. Argumentaciones en matemáticas con tecnología
CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
2.1. Usos de la tecnología para el desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional
2.1.1. Tratamiento didáctico de la Serie de Taylor
2.1.2. La argumentación como generadora de conocimiento
matemático
2.2. Planteamiento del problema
2.3. Justificación
CAPÍTULO 3. MARCO TEORICO Y METODOLOGÍA
3.1. Enfoques del uso de la tecnología informática en el aprendizaje de las
matemáticas.
3.2. Transformaciones de un instrumento tecnológico de aprendizaje en la
actividad matemática.
3.3. La génesis instrumental
3.4. Metodología de investigación
CAPÍTULO 4. LA SERIE DE TAYLOR: UN ANÁLISIS PREELIMINAR 4.1. Aspectos epistemológicos de la Serie de Taylor
4.2. Estructura conceptual de la Serie de Taylor
4.3. Argumentos sobre la Serie de Taylor
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS A PRIORI Y EXPERIMENTACIÓN
5.1. Diseño experimental
5.1.1. Metodología de experimentación
5.1.2. Análisis a priori de la actividad 1
5.1.3. Análisis a priori de la actividad 2
5.2. Acciones de instrumentación
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CAPÍTULO 6. ANÁLISIS A POSTERIORI
6.1. Lenguaje variacional
6.2. Argumentación de la serie de Taylor
6.3. Significados sobre la serie de Taylor
CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES
7.1. Elementos para la resignificación de la Serie de Taylor
7.1.1. Predicción en situaciones de cambio y variación
7.1.2. Aproximación polinomial
7.1.3. Argumentación y tecnología
7.2. Recomendaciones para un tratamiento didáctico de la Serie de Taylor
REFERENCIAS
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INTRODUCCIÓN
El trabajo de tesis que se presenta a continuación, titulado “Elementos para la resignificación
de la Serie de Taylor a través de tecnología” tiene como problema de investigación generar
argumentos de presentación y justificación mediante la visualización de la Serie de Taylor a
través de tecnología, con la intención de identificar los significados que los estudiantes
construyen sobre la Serie de Taylor y caracterizar los elementos necesarios para su
resignificación.
En el primer capítulo se habla sobre la incidencia de la tecnología en el aprendizaje de las
matemáticas, respecto a las transformaciones o cambios que implica su incorporación en el
proceso de enseñanza y aprendizaje. Por ejemplo la transmutación del conocimiento, lo cual
lleva a discutir sobre el fenómeno didáctico la transposición informática, objeto de estudio
de esta investigación. Concluyendo el capítulo con la importancia de la argumentación en
matemáticas, la cual reside en los significados que lleva a generar debido al medio
tecnológico en el que se trata el objeto matemático, según la transposición informática.
En el capítulo dos se enfatiza la relevancia del desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional en los estudiantes para la construcción de la Serie de Taylor, así como la
generación de argumentos con tecnología que se presenta en este capítulo, tales aspectos
son antecedentes del planteamiento del problema de investigación.
En el capítulo tres se describe la génesis instrumental como el sustento teórico de este
trabajo para tratar de explicar la construcción de conocimiento al integrar un instrumento
tecnológico en la actividad matemática del estudiante. También se presenta la ingeniería
didáctica como la metodología de investigación y para el diseño de las actividades de
experimentación.
En el capítulo cuatro se presenta un análisis preliminar sobre la Serie de Taylor sobresaltando
la estructura conceptual y epistemológica de la Serie. La importancia recae en la
presentación de los argumentos de presentación sobre la Serie de Taylor señalando los
modelos de analiticidad, estrategia variacional implicada y significado construido en cada uno
ii
de ellos con el fin de mostrar los elementos que estarían presentes en las actividades del
diseño experimental.
En el capítulo cinco se presenta el diseño experimental, así como el análisis a priori de cada
actividad del diseño, la cual tiene como finalidad comprobar la hipótesis del trabajo y generar
resultados propios para resolver el problema de investigación. Se concluye el capítulo
mencionando las acciones del estudiante que darán evidencia de la integración del
instrumento tecnológico en su actividad matemática.
En el capítulo seis se presentan los resultados obtenidos al poner en escena el diseño
experimental. Este análisis gira en torno a dos elementos importantes: 1) el lenguaje
variacional que los estudiantes utilizaron y 2) los argumentos generados asociados a la serie
de Taylor, junto con la interpretación obtenida al contrastarlo con el análisis a priori.
Finalmente, en el capítulo siete se exponen las conclusiones del trabajo y los elementos
necesarios para la resignificación de la Serie de Taylor con lineamientos para una propuesta
general para tal resignificación.
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
2
L A T E C N O L O G Í A E N E L A P R E N D I Z A J E D E
L A S M A T E M Á T I C A S
1.1. Implicaciones didácticas del uso de la tecnología
El desarrollo tecnológico está avanzando de una manera exponencial, a tal grado que se
introduce en cada hogar y es utilizada por las personas incluso desde pequeñas edades, el
punto es, que los estudiantes están íntimamente ligados a la tecnología tanto dentro como
fuera de casa, pero ¿cuál es su papel en la escuela?
Hasta ahora diversas propuestas didácticas con tecnología han sido presentadas en reportes
de investigación, desde el uso de calculadoras graficadoras hasta software educativos. Sin
embargo, esta introducción al aula no se debe simplemente a “la actualización” en los
avances tecnológicos, es decir, el uso de la tecnología en el aula de matemáticas tiene una
razón de ser que incide principalmente en el aprendizaje del estudiante en los siguientes
aspectos:
• Problemas interdisciplinares: Más que una transformación de las matemáticas, el uso
de la tecnología implica una transformación de los problemas y situaciones a tratar,
dado que permite experimentar y abordar situaciones que no son factibles de realizar
con lápiz y papel.
• Desarrollo de sus procesos cognitivos: Posibilita el desarrollo de procesos cognitivos
en los estudiantes, como el pensamiento, el lenguaje, la inteligencia, la percepción,
etc. (Camarena y García, 2005).
• Promueve la experimentación y la argumentación: Permite implementar actividades
de visualización matemática, contextualización de conceptos matemáticos, favorecen
la exploración y la experimentación, así como establecer conjeturas, realizar
inferencias y generar argumentos válidos (Aparicio, E., Sosa, L., Tuyub, J., 2008).
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
3
• Estrategias didácticas centradas en el estudiante: Implementación de estrategias
didácticas que favorecen la motivación, el aprendizaje cooperativo, la interacción
(alumno-profesor) y la interactividad (alumno-contenido).
• Las herramientas tecnológicas ayudan en la recolección, grabación, organización y
análisis de datos: Aumentan la capacidad de hacer cálculos y ofrecen herramientas
convenientes, precisas y dinámicas que dibujan, grafican y calculan. Con estas ayudas,
los estudiantes pueden extender el rango y la calidad de sus investigaciones
matemáticas y enfrentarse a ideas matemáticas en ambientes más realistas (NCTM,
2003).
• Promueve una transformación epistemológica: Los entornos tecnológicos
promueven una transformación a nivel epistemológico de la experiencia matemática
del estudiante, ya que el proceso de reificación de los objetos matemáticos y las
relaciones entre ellos, que el estudiante puede activar en los entornos interactivos
computacionales, permite una forma de actividad mucho más directa que la que era
posible anteriormente (Moreno, 2002).
• La transmutación del conocimiento: La introducción de instrumentos tecnológicos en
el aula trae consigo transformaciones en la presentación y tratamiento de los saberes
matemáticos, esas transformaciones pueden dotar de significados al concepto
matemático y enriquecer su aprendizaje (Balacheff, 1994).
El último punto está íntimamente relacionado con el problema de estudio de este trabajo, la
introducción de instrumentos tecnológicos en la enseñanza hace más complejo este proceso,
al verse enfrentado con la transformación que sufre el saber cuando este se presenta a
través de dichos instrumentos, este fenómeno Balacheff lo denomina transposición
informática. Por ejemplo, para realizar la adaptación de un libro a una película, el contenido
sufre ciertas transformaciones, pues puede visualizarse mejor ciertas escenas por medio de
la película o bien, que se pierda el sentido descriptivo que el autor proponía en el libro. Los
trastornos pueden modificar el significado al saber, ya sea dotándolo positivamente o
degenerarlo negativamente. Es por ello que el trabajo de la identificación de estas
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
4
transformaciones, son sumamente esenciales para comprender los trastornos del
conocimiento, entre la enseñanza escolar tradicional y el funcionamiento permitido por estos
instrumentos (Calvo, 2001).
La integración de tecnología en actividades para la construcción de su conocimiento
matemático en situación escolar, implica una adaptación del saber matemático al medio
tecnológico. De modo que la interacción entre el contenido matemático y el estudiante se
dará a través del artefacto tecnológico, dando lugar al establecimiento de códigos de
comunicación por parte del estudiante hasta transformar ese artefacto en un instrumento
que se integre a su actividad matemática para generar significados. Esto nos lleva a
cuestionarnos qué tipo de argumentaciones y significados generan los estudiantes en su
interacción con el medio tecnológico, para la construcción de su conocimiento matemático.
1.2 . La transposición informática
En párrafos anteriores se hizo énfasis en la transmutación del “conocimiento” al transferir su
representación de un medio a otro. No es lo mismo darle un tratamiento a un concepto
matemático con pizarra y gis que tratarlo en un medio computacional, ya que este medio
impone restricciones que exigen determinadas transformaciones del saber a fin de facilitar la
puesta en práctica de la representación adoptada. Sucede un fenómeno análogo al adaptar
una obra de un libro para la filmación y edición de una película.
Balacheff y Kaput (1996), citado en Moreno (2002), han señalado que el mayor impacto de
los instrumentos tecnológicos es de carácter epistemológico, con ello se refieren al hecho de
que las herramientas computacionales han generado un nuevo realismo matemático. En
efecto, los objetos virtuales que aparecen sobre la pantalla se pueden manipular de tal forma
que se genera una sensación de existencia casi material que favorece el desarrollo de la
percepción humana. De hecho, los eventos que dan origen a la percepción no están fuera de
nosotros sino en nuestro sistema nervioso, sin embargo, la organización e interpretación de
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
5
la información que provee el ambiente generan la interpretación del estímulo como objeto
significativo, esto es la percepción.
Este nuevo realismo matemático hace indispensable la extensión de la transposición
didáctica a los contextos computacionales dando lugar a una transposición informática
(Balacheff, 1994).
Balacheff (1994), citado en Contreras y Ortega (2003), define la transposición informática
como “El trabajo sobre el conocimiento que permite una representación simbólica y la puesta
en práctica de esta representación por un dispositivo informático”. Distingue diversas
restricciones: primeramente las ligadas al universo interno de la máquina (computadoras o
calculadoras) y las restricciones relacionadas con la interface. Con la primera se refiere a la
naturaleza del procesador, capacidad de la memoria, estructura de la pantalla, etc. y la
interface es la interacción del usuario con la computadora.
Estas transformaciones, así como pueden ocasionar pérdida de significado del saber
matemático, también pueden generar significados; es en esta idea que queremos centrar la
atención, el estudio de los significados que son atribuidos a un objeto matemático en un
medio tecnológico.
Considerando la idea de que al tratamiento del objeto matemático a través de un medio
tecnológico se le puede sacar mucho provecho didáctico (Balacheff y Kaput, 1996, citado en
Moreno, 2002), el reto está en diseñar el instrumento adecuado para explotar estos
trastornos que sean de utilidad para caracterizar ese conocimiento.
Hasta ahora se han expuesto aspectos acerca de la incidencia de la tecnología en el
aprendizaje de las matemáticas y las transformaciones que conlleva realizar un cambio de un
medio a otro en el tratamiento de un objeto matemático, específicamente en un medio
tecnológico, fenómeno al cual se ha hecho referencia como transposición informática. Ahora,
enfocándonos en qué tipo de actividades realizadas con la tecnología nos ayudan a perseguir
el objetivo de este trabajo, la generación de argumentos al abordar situaciones sobre la Serie
de Taylor con calculadora graficadora.
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
6
1.3. Actividades de aprendizaje con tecnología
En el caso de la tecnología computacional, el conocimiento es la esencia de la interacción con
la máquina. Pero este no puede simplemente leerse en pantalla, es el resultado de una
construcción en el proceso de interacción con la máquina (Balacheff, 2000).
Dicha interacción puede darse en actividades de tres tipos: visualización, experimentación y
modelación.La importancia que le hemos otorgado se debe a que dichas actividades al ser
tratadas a través de la tecnología permiten al estudiante argumentar y por consiguiente
construir conocimiento. Discutiremos cada una de ellas desde la perspectiva de Borba y
Villarreal (2006) en su libro “Humans-with-media…”.
Modelación
La razón de promover el uso de la tecnología en la modelación, según Borba y Villarreal,
puede estar identificada con la palabra “ciudadanía”. De acuerdo con esta perspectiva
(Borba, 2002, citado en Borba y Villarreal, 2006), el acceso a la tecnología no está
necesariamente relacionado con la impresión epistemológica, pero básicamente esta
ciudadanía es un “bien” que se tendrá en su educación. Literacia (instrumentos
comunicativos), materacia (instrumentos intelectuales) y tecnoracia (instrumentos
materiales) están siendo vistos en el mismo nivel.
Ahora discutiremos sobre la modelación desde el punto de vista de otros investigadores.
En el trabajo de Cordero (2006), la modelación matemática es concebida como una práctica
social, una construcción del conocimiento, vista desde tres ejes: el eje epistemológico; el eje
científico, que va a expresar cómo ha evolucionado la disciplina de la matemática educativa;
y el eje social, que va a explicar cómo esta modelación y tecnología ha influido en los
problemas educativos.
Para hablar de modelación necesariamente se debe saber lo que es el conocimiento, se pone
en juego la existencia de una realidad que se modela, esto gira alrededor de dos ideas:
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
7
1. La realidad preexistente al conocimiento, el conocimiento es una representación de la
realidad.
2. La realidad se construye a la par del conocimiento.
Así mismo, Cordero menciona que la modelación en la matemática escolar tiene que ser algo
más elaborado que una representación o una aplicación matemática, tiene que ser una
práctica plasmada específicamente como la argumentación de la situación en cuestión. Con
esto se refiere a que debemos abandonar la idea de la modelación como una aplicación de la
matemática o una herramienta didáctica que le permitirá al estudiante hacer
representaciones del objeto matemático.
Por otra parte, Salett y Hein (2004) miran a la modelación matemática como un método de
enseñanza y de investigación, el primer abordaje consiste en partir de un tema y elaborar
preguntas que desean ser respondidas por medio de modelos y el segundo consiste en un
método que permita al estudiante hacer la modelación.
En este trabajo se menciona la idea de algunos investigadores de la modelación, tal idea se
refiere a tratar de que los estudiantes investiguen sobre un tema de su interés donde se
formulen preguntas que lo lleven al diseño de un modelo matemático con la orientación del
profesor.
Esta idea va más o menos en la misma dirección de Borba y Villarreal. Esta postura consiste
en que el profesor se asegure de que el estudiante está investigando sobre un tema cuyo
problema de investigación puede ser resuelto en el contexto escolar específico.
Experimentación
Borba y Villarreal (2006) apuntan que la experimentación con tecnología no es sinónimo de
“oprimir teclas” de una calculadora graficadora o de una computadora, sino que es un
proceso que va más allá de eso. Uno de los principales argumentos en la década de los
setentas y ochentas, cuando comenzó la oleada tecnológica de la computación, fue que los
estudiantes sólo las usaban para oprimir teclas en lugar de pensar, demostrar y hacer toda
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
8
clase de procesos cognitivos. Estos investigadores recalcan que cuando memorizamos algo
no estamos sólo “memorizando”, cuando copiamos no solamente estamos “copiando”, así
mismo, cuando oprimimos teclas, no solamente estamos “oprimiendo teclas”, sino que
estamos procesando información y construyendo conocimiento.
La experimentación nos permite hacer conjeturas, analizar comportamientos y descubrir
patrones, acciones que desarrollan procesos cognitivos en el estudiante. Es decir, implica la
manipulación de representaciones de objetos matemáticos, el reconocimiento de invariantes
y la incorporación de conocimientos previos para describir y justificar un resultado
matemático.
Borba y Villarreal creen que oprimir teclas en un ambiente de experimentación puede estar
asociado con la generación de conjeturas, con la coordinación de múltiples representaciones,
con “pruebas” y con un nuevo tipo de “ensayo y error”. Características a las que decidieron
llamar Experimental-with-technology approach (aproximación experimental con tecnología).
Coincidimos con Borba y Villarreal en que la experimentación en un ambiente tecnológico
permite al estudiante hacer conjeturas, transitar de un sistema de representación a otro,
reconocer patrones, deducir y analizar comportamientos en gráficas y a partir de ello generar
argumentaciones discursivas, visuales o gestuales sobre un objeto matemático. En este
trabajo, se pretende que a través de este tipo de acciones, el estudiante genere argumentos
sobre la Serie de Taylor, las cuales fungirán como peldaño para identificar las nociones y
significados que los estudiantes atribuyen a este concepto matemático, con la ventaja de que
en este proceso tendrá la oportunidad de ir desarrollando ciertas formas de pensamiento,
tales como ideas y estrategias variacionales.
Visualización
Las siguientes son definiciones sobre visualización de diversos autores, obtenidas de Borba y
Villarreal (2006):
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
9
• Bed-Chaim, Lappan y Houang (1989): visualización es la habilidad de interpretar y
comprender información de figuras y la habilidad de conceptualizar y trasladar
relaciones e información proveniente de no figuras dentro de términos visuales.
De aquí se pueden extraer dos ideas, interpretación de información visual y la generación de
imágenes mentales que no provienen de figuras.
• Según Gutiérrez (1996): la visualización está compuesta principalmente por cuatro
elementos: imágenes mentales, representaciones externas, procesos de visualización
y habilidades de visualización. Las imágenes mentales son el resultado del
procesamiento de las estructuras internas que por medio de los procesos de
visualización es posible generar representaciones externas que en el transcurso del
ejercicio desarrollan en el estudiante habilidades de visualización.
Se puede decir, que la visualización permite al estudiante comprender mediante las
estructuras internas y llevar esa comprensión al medio externo por medio de la
argumentación visual, gesticulativa o discursiva.
• Zimmerman y Cunningham (1991): definen a la visualización como la capacidad de
articular un conjunto de representaciones de un mismo objeto para darle significado,
usada por entre otros.
• Cantoral y Montiel (2003): Actualmente la idea de visualización es vista como la
habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar
información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende.
En este trabajo al hablar de visualización nos estaremos refiriendo a la habilidad para
articular representaciones, visuales o no visuales, transformarlas en imágenes mentales,
generar representaciones externas, argumentarlas y reflejarlas en el pensamiento y el
lenguaje del que aprende. Por lo que concebimos a la visualización como un proceso
puramente cognitivo.
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
10
De las tres actividades que se discutieron anteriormente (experimentación, modelación y
visualización), nos interesa centrarnos en la visualización, principalmente a través del uso de
calculadoras graficadoras.
Devlin 1997 (citado por Borba y Villarreal, 2006) afirma que las computadoras no asisten a los
humanos en la elaboración de matemáticas, sino que cambian la naturaleza de lo ya hecho,
así mismo, sugiere que la interacción de los humanos con el medio producirá nuevas
matemáticas, por ejemplo, la matemática producida por un estudiante con papel y lápiz no
será la misma matemática del estudiante que la produce con la computadora.
De modo que nos interesa identificar esas diferencias de la matemática, producidas por el
fenómeno de la transposición informática al adaptar el tratamiento de la Serie de Taylor en
el medio tecnológico, para analizar los significados que puedan ser atribuidos a este
conocimiento.
Considerando que mediante la visualización se pueden generar argumentos de tipo visual,
gesticulativo, discursivo y que del trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) se generaron diversas
formas discursivas en los alumnos al introducir una actividad visual en el medio tecnológico
podemos resaltar la importancia de la generación de argumentos con tecnología en este
trabajo.
1.4. Argumentaciones en matemáticas con tecnología
La argumentación en matemáticas es esencial, pues de esta manera el estudiante da señal de
su aprendizaje como resultado del análisis, reconocimiento de patrones, deducciones,
conjeturas, etc. Por medio de la argumentación el estudiante puede justificar y validar, ya sea
una demostración o propiedad que esté resignificando a un concepto matemático. Según
Balacheff 1987 (citado por Calvo, 2001) por argumentación entendemos cualquier discurso
destinado a obtener el consentimiento de interlocutor sobre una afirmación.
La argumentación es a la conjetura como la demostración es al teorema (Balacheff, 1999).
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
11
En nuestro trabajo concebimos a la argumentación como la acción de defender una idea
aportando un conjunto de razones y justificaciones válidas que la respalden.
En las matemáticas las argumentaciones tienen cabida para la construcción de conocimiento
y más aún cuando hay una interacción de dicho conocimiento con el estudiante a través de
un instrumento tecnológico, es decir, cuando el estudiante interactúa con el objeto
matemático a través de un medio tecnológico, la construcción de conocimiento está ligado a
los procesos cognitivos como la deducción, la reflexión y el establecimiento de conjeturas; así
en la medida que el estudiante argumente todos esos procesos e ideas será capaz de
construir o resignificar su conocimiento.
Los tipos de argumentación que pueden tener lugar en actividades matemáticas de
aprendizaje con tecnología, son:
Discursiva. El estudiante argumenta su idea de forma oral o escrita
Oral. El habla es una acción situada dentro del contexto discursivo que construye
significados de manera que el lenguaje relaciona lo cognitivo con lo social, de tal
forma que se comprende al desarrollo cognitivo y lingüístico como social y
culturalmente condicionados (Green, 1998; Hicks, 1995; citado en Aparicio y Cantoral,
2006).
Escrita. Tipo de argumentación en la que se describe de forma escrita una idea,
conclusión o conjetura sobre el objeto matemático, de tal suerte, que este escrito
permite la construcción del conocimiento.
Corporales y gestuales. Medio que ofrece la posibilidad de articular las acciones de la
visualización de objetos matemáticos por medio de gestos faciales y ademanes.
Visuales. Por medio de gráficas, formas icónicas, o diagramas, el estudiante palpa
visualmente el argumento que defiende su idea y le permite resignificar el conocimiento.
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
12
En estos tipos de argumentación, la tecnología juega un papel importante debido a que
permite crear condiciones para conformar un escenario donde el estudiante amplíe y genere
nuevas significaciones, más aún, si dichas representaciones son articuladas con sus
argumentaciones. Por tanto, ubicar a un estudiante en un escenario donde tenga la libertad
de argumentar de forma discursiva, gestual o visual, de modo que no se vea restringido al
formalismo escolar, va a permitir que resignifique y construya nociones matemáticas al
tiempo que surgen elementos de análisis para entender las formas de cómo se produce el
aprendizaje (Aparicio y Cantoral, 2006).
Un ejemplo del tipo de argumentaciones que se puede generar con la tecnología se
encuentra en el trabajo de Torres (2004), quien ha considerado en su trabajo el uso de la
graficación por medio de la simulación de un fenómeno físico empleando tecnología, no solo
en su relación con el concepto matemático tratado (función) sino con los significados,
instrumentos y argumentos que intervienen en las acciones que desarrolla un estudiante
ante una actividad de graficación por medio de la tecnología. Estos significados atribuidos se
ven registrados en la tabla 1.1.
Construcción de
representaciones
Gráficas a partir de la simulación de un fenómeno físico
con tecnología
Significados y sistemas simbólicos
Comportamiento de las gráficas de la posición y de la velocidad con relación a la simulación (función primitiva y su derivada)
Procedimientos
Determinar la escala para el tiempo y la posición. Identificar el tipo de movimiento. Relacionar las gráficas con la situación.
Procesos y objetos
Forma de la gráfica para relacionar patrones de comportamiento relacionando las gráficas de la posición y la velocidad.
Argumentos
A mayor velocidad mayor valor absoluto de la pendiente en la gráfica de posición. A mayor pendiente en la gráfica de posición, mayor distancia con respecto al eje en la gráfica de velocidad.
Tabla 1.1- Representaciones que se construyen al emplear gráficas, como herramienta de visualización, a través de situaciones con tecnología.
Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas
13
Cordero y Suarez (2006) mencionan que la tecnología permite a los estudiantes tener una
mejor visión global y local tanto cualitativa como cuantitativa de la gráfica, también permite
a los estudiantes explorar y dar argumentaciones de lo que sucede con la situación, tal como
se muestra en la tabla.
En el trabajo anterior observamos que utilizan la tecnología para que el estudiante visualice y
experimente con las gráficas en una situación de modelación matemática, que a fin de
cuentas, le permite crear argumentos que le dan significado al concepto función y al mismo
tiempo explicar la situación. En esta dirección queremos ir, nos interesa la “forma” en que se
puede utilizar la tecnología para que el estudiante genere argumentos que le den significado
a un saber matemático. El entrecomillado requiere de una cuidadosa explicación, ya que nos
referimos a la manera de cómo convertir esa herramienta tecnológica o artefacto, en un
instrumento que se integre en la actividad del estudiante para construir conocimiento
matemático. Aquí entra en juego la génesis instrumental, pues será esta teoría la que nos
permitirá dar tal explicación; este tema se discutirá con detalle en el capítulo 3.
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
15
P L A N T E A M I E N T O D E L P R O B L E M A D E
I N V E S T I G A C I Ó N
2.1. Usos de la tecnología para el desarrollo del pensamiento y lenguaje
variacional
La tecnología informática es una herramienta útil para construir escenarios donde el
estudiante, por medio de la visualización y la interacción con el artefacto tecnológico, genere
argumentos que le permitan atribuir significados a un saber matemático. Aludimos que
durante la interacción con un instrumento tecnológico (computadoras o calculadoras
graficadoras), el estudiante puede generar argumentos a la par que desarrolla ideas,
nociones y estrategias requeridas para la comprensión de saberes matemáticos.
Se precisa en la comprensión de conceptos y procesos del Cálculo desarrollar en los
estudiantes el pensamiento y lenguaje variacional (PyLV) para abordar exitosamente
actividades y ejercicios de la disciplina. Cantoral y Farfán (1998) presentan una actividad que
fortalece esta idea, en la que se exhibe la siguiente gráfica de una función polinomial �(�),
como la siguiente:
Imagen 2.1
En la actividad se solicita a estudiantes que marquen las regiones de la gráfica donde
�(�) > 0 y sus derivadas sucesivas sean tales que ��(�) > 0, ���(�) > 0, ����(�) > 0. Se
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
16
reporta que los estudiantes realizan con éxito las tres primeras peticiones apoyándose en
conocimientos previos, tales como criterios de derivación o el uso de algún recurso
mnemotécnico, sin embargo, exteriorizan problemas al momento de marcar las regiones
donde ����(�) > 0. Así mismo, se dice que esto ocurre como consecuencia de la forma casi
algorítmica de proceder del profesor y a la falta de uso de estrategias variacionales, pues la
clave de este ejercicio mental es reconocer los códigos variacionales que se presentan en las
tres primeras condiciones y así, articularlos en símbolos variacionales para poder construir la
cuarta condición, ����(�) > 0. Finalmente, argumentan que para poder desarrollar el PyLV es
necesario tener un amplio dominio de las formas gráficas y transitar entre diferentes
representaciones (sobre todo gráfica y analítica).
En diversos trabajos, se ha observado que a través del uso de tecnología es posible que el
estudiante genere argumentos visuales, algebraicos o numéricos al tiempo que desarrolla sus
nociones y estrategias variacionales, propiciando el entendimiento y resignificación de los
conceptos y procesos del Cálculo.
Por ejemplo, en la experiencia descrita por Sánchez (2006) se trata de introducir la noción de
derivada por medio de una estrategia variacional de diferencias finitas utilizando la
calculadora gráfica. En el reporte del autor, se observa que al tratar de encontrar una
expresión algebraica para cada tabla de valores (proporcionadas por el profesor), los
estudiantes utilizan argumentos visuales:
Imagen 2.2- Argumento gráfico
Es decir, grafican los valores de las tablas para poder argumentar de forma visual cuál es la
expresión correspondiente a cada tabla. Para otros estudiantes esto es insuficiente y
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
17
recurren a argumentos numéricos donde a través de las diferencias de los valores de
variables ordenadas deducen el grado de la expresión de la tabla de valores.
Imagen 2.3- Argumento numérico
Por otra parte, algunos estudiantes utilizan argumentos algebraicos utilizando
implícitamente la interpolación por medio de sistemas de ecuaciones para tratar de construir
una expresión que se aproxime a los valores.
Imagen 2.4- Argumento algebraico
Nótese que en estos argumentos se ven implicadas nociones y estrategias variacionales tales
como la noción de variación, la diferenciación de variables ordenadas y la noción de
aproximación. Los significados que encontramos en cada argumento refieren a la forma
como varía la función lineal, cuadrática y cúbica.
Así mismo, Cantoral y Mirón (2000) proponen una secuencia didáctica para introducir la
noción de derivada como pendiente de la recta tangente a una curva. A través de actividades
visuales con la calculadora gráfica, los estudiantes por medio de la discusión en tercias,
generan argumentos analíticos al identificar patrones entre las regularidades lineales y la
variación de parámetros, también generan argumentos visuales para constatar dichas
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
18
regularidades. Por otro lado, en la transcripción que los autores presentan de la discusión
entre los estudiantes se puede apreciar que su argumentación discursiva los lleva a
reflexiones que conducen a la formulación de significados de la función derivada y a adquirir
un significado geométrico de ésta.
Nótese que, en los trabajos anteriores la tecnología ha sido empleada como instrumento
para el desarrollo del PyLV, lo cual ha posibilitado que los estudiantes formulen diferentes
tipos de argumentaciones hacia la resignificación de ideas y conceptos del cálculo en
particular, y de la variación y el cambio, en general. Algunas de las ideas y estrategias
variacionales que se requieren para la comprensión de conceptos del cálculo son:
• Diferenciación finita de variables continuas
• Variación de parámetros
• Identificación de qué cambia y cómo cambia una situación
• Reconocimiento de patrones
• Covariación
• Dependencia entre variables
• Tránsito entre diferentes registros de representación
En este trabajo nos enfocamos en el estudio de la Serie de Taylor a través de tecnología, lo
cual requiere que los estudiantes desarrollen estrategias variacionales tales como la
diferenciación finita de variables y lleven a cabo prácticas de predicción y aproximación
(Cantoral y Farfán, 1998; Marcolini y Perales, 2005) para su comprensión.
2.1.1. Tratamiento didáctico de la Serie de Taylor
En el trabajo de Marcolini y Perales (2005) se menciona que coexisten dos modelos
didácticos respecto al tratamiento de la Serie Taylor, uno es sugerido por los trabajos de
Newton, Euler y Laplace, entre otros, donde la expresión de la Serie lleva consigo un
significado perteneciente a las ciencias experimentales, y que se introduce mediante una
construcción natural para gran variedad de problemas. El otro se desprende de los trabajos
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
19
de Cauchy, donde las series son el resultado más de la teoría, una consecuencia del concepto
límite y del teorema fundamental del cálculo. Bien sabemos que el segundo esquema es el
que predomina en la enseñanza actual, mientras que el primero aunque se usa en varios
contextos, no es contemplado en los temas que se imparten en la enseñanza universitaria.
El tratamiento didáctico que se le da hoy a la Serie de Taylor se encuentra muy distante del
verdadero significado de la construcción de esta Serie y es exhibido más como un resultado
de naturaleza teórica, que requiere para su deducción de principios propios del análisis
matemático (Cantoral y Farfán, 2008). Esto muestra que la noción de predicción que
originalmente era descrita en la Serie ha sido desplazada de la enseñanza actual, implicando
falta de significado para el estudiante, pues con esta noción la Serie de Taylor puede ser
abordada en marcos contextuales interdisciplinarios predictivos; de lo contrario carece de
sentido.
2.1.2. La argumentación como generadora de conocimiento matemático
Con los apartados anteriores pretendemos hacer ver que, así como la tecnología es muy útil
para el desarrollo del PyLV, el cual se requiere para comprender la Serie de Taylor, también
favorece la generación de argumentos. En realidad no existe una definición unánime de
argumentación o argumento, sin embargo, Cordero (2005) denomina argumentación a las
resignificaciones de los participantes en las situaciones específicas que ocurren en un sistema
local, cuyas formas de producción y difusión no corresponden a una estructura axiomática,
sino al frecuente uso de argumentos intuitivos y espontáneos, envueltos en la resignificación
del conocimiento que manifiestan los participantes. Es decir, expresiones verbales,
gesticulativas y visuales (analítico, numérico, algebraico, …) que permiten justificar o validar
una afirmación, conjetura o resultado matemático. La argumentación es importante no solo
porque hace viable observar las ideas y nociones que el estudiante está concibiendo sobre un
saber matemático y así poder identificar qué tipo de concepciones tiene, sino también
porque es una forma de generar o construir conocimiento matemático.
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
20
Para que un estudiante pueda entender un concepto matemático, es necesario que trabaje y
genere argumentos tanto de presentación como de justificación. Es decir, argumentos que
favorezcan mostrar el significado del concepto en determinado registro de representación
semiótica, y argumentos con los que el estudiante pueda validar un resultado.
Las representaciones (en tanto argumentos) de la Serie de Taylor por medio de tecnología,
evocan significados distintos. De manera que, esos significados generan nociones e ideas en
el estudiante que, al integrarlos, ayudan a la aprehensión conceptual de la Serie.
Imagen 2.5- Esquema sobre la aprehensión conceptual de la Serie de Taylor.
Es importante hacer énfasis en que, la idea de trabajar con las representaciones y
argumentaciones que los estudiantes generan, no solamente es porque las argumentaciones
son una forma de exteriorizar el pensamiento, sino que también es una forma de construir
conocimiento y desarrollar el pensamiento matemático.
2.2. Planteamiento del problema
En el capítulo 1 se expuso sobre el fenómeno didáctico de la transposición informática, que
consiste en que la transformación de la presentación de un objeto matemático al tratarlo en
un ambiente de tecnología informática puede dotar de significado a dicho objeto. Dicho
fenómeno nos llevó a cuestionarnos sobre qué nociones pueden derivar del tratamiento de
la Serie de Taylor mediante actividades con calculadoras graficadoras.
En los trabajos que se mencionaron en el apartado anterior se observó que con el uso de la
tecnología informática es posible que el estudiante genere argumentos al tiempo que
Argumentos
Representaciones
Nociones e ideas
Significados
Aprehensión
conceptual
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
21
desarrolla sus nociones y estrategias variacionales, propiciando el entendimiento y
resignificación de los conceptos y procesos del Cálculo. Aparicio y Cantoral (2006), dan
evidencia de que un aspecto importante para la construcción de conocimiento matemático
referente al Cálculo, es la generación de argumentos discursivos, gestuales y visuales de tipo
variacional por parte del estudiante.
Inmerso en lo anterior, está la idea que para la construcción de conocimiento matemático se
hace necesario que el estudiante sea capaz de representar un concepto matemático en por
lo menos dos registros distintos de representación semiótica, de tratar esa representación en
un mismo registro y de convertir esas representaciones de un registro a otro, tal como
refieren Duval (1999) y De Amore (2005). Una actividad matemática que favorece llevar a
cabo esas acciones es la visualización de los conceptos matemáticos (Cantoral y Montiel,
2003).
En el estudio del cálculo, construir significados sobre la Serie de Taylor precisa del desarrollo
de nociones, ideas y estrategias variacionales, tales como la noción de cambio y de variación,
prácticas de predicción y estrategias como la diferenciación sucesiva de una variable
continua (Marcolini y Perales, 2005).
Por tanto, nuestro objetivo con este trabajo es generar argumentos de representación y
justificación, mediante la visualización de la Serie de Taylor a través de tecnología. La
intención es, identificar cuáles son los significados que construyen los estudiantes sobre la
Serie de Taylor al interactuar con un medio tecnológico.
Por tanto, suponemos que a través de un sistema de cálculo simbólico, se puede dar un
tratamiento de tipo visual a la Serie de Taylor, lo cual provocará que el estudiante genere
argumentos visuales, gesticulativos o discursivos, de manera que le permita otorgar
significados a dicha Serie.
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
22
2.3. Justificación
Los beneficios que se tendrán al intentar generar argumentos en los estudiantes al visualizar
la Serie de Taylor a través de tecnología, se verán enmarcados en los siguientes aspectos:
• Formas de favorecer el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a
ideas y estrategias variacionales.
• Propiciar que los estudiantes construyan su conocimiento de acuerdo a sus
habilidades y forma de pensamiento, es decir, podrán argumentar sus ideas de forma
analítica, algebraica, visual, etc.
• Identificar directrices sobre la forma de incorporar el uso de calculadoras graficadoras
en el estudio de la Serie de Taylor, para favorecer la construcción de este saber
matemático, en la interacción directa del estudiante con el instrumento matemático.
• Este trabajo trae consigo un cambio en la presentación de la Serie de Taylor, lo cual
según Balacheff, puede atribuir de significado a este objeto matemático.
Por otro lado, como idea principal de nuestro trabajo es propiciar la argumentación a través
de un instrumento informático, las razones de introducir dicho instrumento para lograr lo
cometido, a grandes rasgos son las siguientes:
• La tecnología favorece la visualización y ayuda a crear cierta percepción del movimiento
que en un ambiente de papel y lápiz sería imposible, propicia el tránsito en distintas
representaciones y se logra construir, evolucionar y reforzar nociones que con la
enseñanza tradicional no se ven favorecidas (Cantoral y Montiel, 2003).
Zimmermann (1990, citado en Hitt, 2003) afirma que:
Conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el
aprendizaje del cálculo que es difícil imaginar un curso exitoso de cálculo que no enfatice
los elementos visuales del tema. Esto es especialmente verdad si el curso tiene la
intención de promover un entendimiento conceptual, el cual es ampliamente reconocido
como carente en la mayoría de los cursos de cálculo como es actualmente enseñado. La
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
23
manipulación algebraica ha sido enfatizada en demasía y… en el proceso el espíritu del
cálculo se ha perdido.
De modo que, se precisa que la visualización forme parte en el proceso de construcción
de conocimiento, ya que permite acceder a diferentes registros de representación. Como
menciona Duval (1998), para la construcción de conceptos matemáticos no basta
trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino también
realizar las tareas de conversión de una representación a otra, y viceversa.
• Para el tratamiento e introducción de la Serie de Taylor se requiere de estrategias
variacionales como la predicción, la diferenciación de variables finitas y nociones como la
aproximación. Una práctica atribuible a la Serie de Taylor es la aproximación de
funciones por medio de polinomios, por ejemplo con la Serie de Taylor se puede
aproximar la función exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc., a través de
polinomios compuestos de sus diferenciaciones sucesivas.
Imagen 2.6- Aproximación de la función exponencial por medio de los polinomios de la Serie de
Taylor
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
24
Imagen 2.7- Aproximación de la función Coseno por medio de los polinomios de la Serie de Taylor
Para que el estudiante determine estas diferenciaciones requiere principalmente de
estrategias visuales y variacionales, las cuales se ven favorecidas con el uso de la
tecnología por medio de la manipulación gráfica, numérica y algebraica que proporciona
un sistema de cómputo algebraico (CAS) al estudiante. Estas acciones no se logran en un
ambiente de papel y lápiz, porque la estática no permite visualizar la variación de las
imágenes ni mucho menos la aproximación que se da al incrementar polinomios a la
Serie.
• Otra razón del uso de la tecnología en nuestro trabajo es que para el tratamiento e
introducción de la Serie de Taylor se requiere de estrategias variacionales como la
predicción, porque tal como menciona Marcolini y Perales (2005) en su trabajo, la idea
germinal de la construcción de la Serie de Taylor son las nociones de predicción en los
fenómenos naturales de flujo y lo analítico en el cálculo que se presentan como
estrategias naturales en la construcción de saber matemático.
En el anexo del trabajo de Marcolini y Perales (2005) referente a manuales de cálculo,
observamos que la Serie de Taylor se estudia en un marco totalmente analítico y más
enfocado al estudio de la convergencia, ya sea de residuo, de orden de magnitud o de
error. Esto es, se desplaza la noción de predicción y un tratamiento en ciencias
experimentales, por otro de corte teórico. Al respecto, analícese la siguiente analogía:
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
25
El martillo es una herramienta cuyo fin principal es la construcción. Puede ser usado de
dos formas: 1) para martillar, clavar y construir; 2) extraer clavos con el otro extremo de
la cabeza. Si los albañiles lo utilizan simplemente para extraer clavos, entonces ¿qué hay
de su función principal? Peor aún, ¿qué pasa con lo que se requiere construir? Debido a
que no utilizan la herramienta para lo que debe efectuar, entonces ¿cómo se construye
lo que no se está haciendo con el martillo? Así mismo, si el tratamiento de la Serie de
Taylor en el aula está basado solamente en lo analítico del cálculo, entonces realmente
no está siendo usado para su función principal, ¿dónde quedan las nociones de
predicción que con la Serie son desarrolladas a través de los fenómenos naturales de
flujo?
Esta naturaleza didáctica es una de las razones por la cuales nos interesa el estudio de la
Serie de Taylor en un medio diferente, donde el estudiante interactúe con el saber
matemático a través de un instrumento tecnológico, centrándonos principalmente en la
visualización y en el desarrollo de estrategias variacionales que la Serie requiere para su
comprensión.
• Otra razón del uso de la tecnología en este trabajo va en dirección a la argumentación,
pues es útil para crear las condiciones necesarias que propicien la generación de
argumentos en los estudiantes al poder visualizar, emplear estrategias variacionales y al
justificar sus procedimientos.
En el trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) utilizan una secuencia de actividades
desarrolladas en el software Sketchpad 4.0 para analizar las formas discursivas y
gestuales en los estudiantes sobre la noción de continuidad puntual. Debido a las
herramientas que este software posee se implementó una nueva representación
animada de las funciones con respecto a los ejes x e y:
Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación
26
Imagen 2.8- Representación de tres funciones en ejes paralelos
Imagen 2.9- Representación de una función con saltos, en ejes paralelos
En las imágenes anteriores, el eje x e y están representados por los segmentos
horizontalmente paralelos. Las actividades consistían en presentar a los estudiantes las
animaciones y fomentar la discusión entre ellos para determinar si éstas representaban
una función y, posteriormente, en determinar sobre si es continua o no.
Al tratar de explicar los comportamientos de cada representación gráfica, las discusiones
fueron ricas en argumentos sobre todo de tipo gestual y discursivo. Aunque no fue el
estudiante quién interactuó directamente con la computadora, fue por medio de la
visualización con tecnología, que fueron capaces de argumentar sus ideas.
Para concluir, recordemos del capítulo 1 que la matemática producida por un estudiante con
papel y lápiz no será la misma matemática del estudiante que la produce con la computadora
(Devlin, 1997; citado en Borba y Villarreal, 2006), porque la interacción del estudiante con el
saber matemático a través del instrumento tecnológico, favorece crear ambientes de
aprendizaje aptos para el desarrollo del PyLV que se requiere para la comprensión de la Serie
de Taylor, así como la visualización y da pauta a la generación de argumentos.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
28
M A R C O T E O R I C O Y M E T O D O L O G Í A
En este capítulo se presentará la aproximación teórica que respaldará este trabajo previo a
ello, se iniciará mencionando la transformación de las perspectivas y rol de uso de la
tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con el fin de señalar cuál es la
postura que se tiene sobre la forma en que la tecnología se integra en la actividad del
estudiante para construir conocimiento, postura que será respaldada por la aproximación
teórica de la Génesis Instrumental.
3.1. Enfoques del uso de la tecnología informática en el aprendizaje de las
matemáticas.
Desde hace varias décadas los psicólogos educativos comenzaron a interesarse cada vez más
en cómo la gente percibe, interpreta, codifica, almacena y recupera la información perdida.
En efecto, con el auge de la informática y la influencia de las teorías de aprendizaje,
comenzaron a surgir diferentes perspectivas y enfoques en cuanto al uso de la tecnología en
la enseñanza de las matemáticas.
En la década de los 50’s aparecieron los primeros sistemas de enseñanza (Almeida, et al,
1997), los llamados programas lineales, en los que ningún factor podía cambiar el orden de
enseñanza establecido en su momento por el programador. Estos sistemas desconocían la
posibilidad de que el alumno no hubiera entendido correctamente los conceptos expuestos
hasta el momento, pues no ofrecían una enseñanza individual, es decir, todo alumno recibía
el mismo conocimiento y exactamente en la misma secuencia. En el desarrollo de una sesión
de enseñanza no se tenía en cuenta la aptitud del alumno; si le era más rápido entender las
cosas, si aprendía mejor con ejemplos que con explicaciones, etc. La delimitación de este
programa tiene origen en la teoría conductiva de Skinner (1959) que consistía en usar
maquinas de enseñar, de encadenamiento lineal pregunta-respuesta-estimulo.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
29
A finales de los años 60 y principios de los 70 (1967-1971) surgieron los sistemas generativos,
asociados a una nueva filosofía educativa que manifiesta: "los alumnos aprenden mejor
enfrentándose a los problemas de dificultad adecuada, que atendiendo a explicaciones
sistemáticas"; es decir, adaptando la enseñanza a sus necesidades. Estos sistemas surgieron
al reconocerse el hecho de que el material de enseñanza podría ser generado por la misma
computadora; ellos son capaces de generar problemas, construir sus soluciones y
diagnosticar las respuestas del alumno, controlando, a su vez, el nivel de dificultad de los
problemas.
Los sistemas mencionados anteriormente (lineales y generativos) son ejemplos del enfoque
Enseñanza Asistida por Computadora (CAI, por sus siglas en ingles), el cual consiste
básicamente en llevar adelante las tareas habituales que involucra un curso de formación-
transmisión de contenidos, práctica y ejercitación, evaluación de conocimientos, etc.
En la década de los 70’s preside una variación del enfoque CAI dando lugar a la Enseñanza
Asistida por Computadoras Inteligentes (ICAI) basado en la teoría del aprendizaje cognitivo y
el empleo de la inteligencia artificial.
A finales de esta década devienen los ambientes de aprendizaje y los lenguajes de
programación (LOGO), los cuales se basan en el constructivismo de Piaget y la interacción
humano-computadora.
Los Sistemas de Cálculo Simbólico (CAS, por sus siglas en inglés) comenzaron a aparecer en
los comienzos de la década de los 70 y surgió de la investigación en inteligencia artificial,
aunque los campos son ahora considerados en gran parte por separado. Su principal uso es la
realización de cálculos y ejecución de operaciones, está basado en la teoría de aprendizaje
cognitivo y los más conocidos son Derive, Maple, Matlab, calculadoras gráficas, entre otros.
Durante la década de los 80 aparecen los llamados Sistemas Tutores Inteligentes (ITS, por sus
siglas en inglés), los ITS combinan técnicas de inteligencia artificial (IA), modelos psicológicos
del estudiante y del experto y teorías de la educación como el aprendizaje cognitivo y el
constructivismo.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
30
También en esta ápoca tienen cabida los Micromundos. La primera utilización de este
término fue dentro del área de la Inteligencia Artificial, pero Seymour Papert lo utilizó (y por
ende modificó su significado) para describir ambientes computacionales que fueran lugares
para familiarizarse con un conjunto de ideas, de situaciones problemáticas, de actividades;
lugares en los que el estudiante y el maestro puedan probar ideas dentro de un tema de
interés (Weir, 1987; citado en Sacristán, 2003). Los micromundos pertenecen a la tradición
de aprendizaje vía descubrimiento. La meta de un micromundo matemático es pues la
construcción de significado y de relaciones que sirvan como modelo para un sistema formal;
es decir, el micromundo da a los estudiantes oportunidades para crear modelos mentales
que reflejen la estructura y composición de los sistemas formales (Sacristán, 2003).
En la actualidad existen diversas teorías, aproximaciones teóricas y posturas que tratan de
explicar cómo se concibe la construcción del conocimiento matemático. Por ejemplo la teoría
de las situaciones didácticas se encuentra bajo la postura de que en un conjunto de
actividades el alumno adquiere un saber matemático cuando pasa por tres etapas: acción,
formulación y validación; otro ejemplo es la aproximación teórica de la socioepistemología
que se centra en la idea de que la construcción de conocimiento ha estado ligado a los
mecanismos que normas ciertas prácticas sociales, como la predicción. Sin embargo, la
postura que es de nuestro interés es la que propone la aproximación teórica de la génesis
instrumental, donde la construcción de conocimiento mediada por un instrumento
tecnológico de aprendizaje, se da a partir de la interacción del estudiante con dicho
instrumento de forma bilateral (instrumentalización y la instrumentación). Esta
aproximación será explicada a detalle más adelante.
3.2. Transformaciones de un instrumento tecnológico de aprendizaje en la
actividad matemática.
En la historia humana hasta el día de hoy, el hombre ha utilizado herramientas tecnológicas
que median su actividad humana para resolver problemas de la misma, por ejemplo las
antiguas civilizaciones utilizaban como herramienta cuerdas con marcas equidistantes para
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
31
medir sus terrenos, en la actualidad la herramienta tecnológica que los ingenieros utilizan
para medir distancias es, entre otros, el distanciómetro.
Imagen 3.1- Medición de distancias realizadas por los antiguos Egipcios (derecha) y por los ingenieros de la actualidad (izquierda)
Estas herramientas han servido a la humanidad para construir conocimiento que le permita
subsistir, desarrollarse y al mismo tiempo crear conocimiento científico. En este trabajo no se
está pensando en cualquier herramienta tecnológica, sino en calculadoras graficadoras
(sistemas de cálculo simbólico) y no en cualquier actividad humana sino en la actividad
matemática (como la predicción, aproximación, estimación, etc.), de tal forma que el uso y
conocimiento de este artefacto favorecerá que sea convertida en un instrumento para
construir conocimiento matemático. De manera que, al integrar las calculadoras graficadoras
en la actividad matemática se presentarán diferentes transformaciones cognitivas con su
uso. A continuación se hablará sobre estas transformaciones.
Por una parte, con el instrumento tecnológico como un micromundo, se pueden manipular
y/o ejecutar las representaciones matemáticas generando un nuevo realismo matemático
(Balacheff y Kaput, 1996, citado en Moreno, 2002), en efecto se pueden manipular los
objetos de la pantalla de tal manera que se genera una existencia casi real de tales objetos.
Por ejemplo, con el software Cabri se pueden manipular las representaciones de rectas,
circunferencias, etc., objetos que en un ambiente de papel y lápiz se perciben como
inexistentes o irreales. Si solo se manipulan esas representaciones no se adquiere ningún
significado, se requiere experimentar, argumentar y comunicar para que ocurra una
sistematización de las formas de pensamiento.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
32
Imagen 3.2- La manipulación de representaciones matemáticas generan un realismo matemático
Por otra parte, así como podemos manipular ciertas representaciones a través de un
micromundo también es posible ejecutar otras representaciones en un CAS, por ejemplo, con
el software derive es posible ejecutar sumatorias, integrales, derivadas, etc., simplemente al
oprimir “enter” el sistema interno de la computadora efectúa el proceso y muestra el
resultado en la pantalla, esta acción es un acto cognitivo exteriorizado, de modo que la
persona que utiliza la computadora no solamente tiene a su disposición un espacio de
representación externa sino la posibilidad de procesar esa información de cierta manera,
debido a la ejecutabilidad del sistema de representación que le suministra la computadora
(Moreno, 2002).
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
33
Imagen 3.3- Ejecutabilidad de las representaciones matemáticas con el software Derive
En el momento en que ocurre una resignificación de los objetos matemáticos en términos de
las representaciones ejecutables comienza la mediación instrumental, lo que sugiere una
simbiosis entre el artefacto tecnológico y el sujeto que lo utiliza, es decir, ambos se unen
para hacer matemáticas. Moreno (2002) menciona una analogía referente a la mediación
instrumental:
El pianista ha necesitado de un esfuerzo intenso y prolongado para aprender a tocar
ese instrumento. Su conocimiento no es independiente del instrumento. Uno no va a
escuchar cantar al pianista: va a escucharlo tocar el piano y a valorar en términos
estéticos la naturaleza simbiótica de la relación pianista-piano.
En esta relación simbiótica el sujeto hace matemáticas con el instrumento tecnológico, pero
antes tiene que actuar sobre el artefacto para conocerlo y posteriormente utilizar las
cualidades del artefacto integrándolo a su quehacer matemático.
Hasta ahora se ha mencionado que la tecnología crea un nuevo realismo matemático en el
que es posible manipular y ejecutar las representaciones matemáticas, sin embargo, es
necesario sistematizar las formas de pensamiento y la mediación instrumental para que
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
34
verdaderamente se construya conocimiento. Una característica más que la tecnología
permite apreciar en su uso, es que permite utilizar al artefacto tecnológico como
herramienta de amplificación o de re-organización cognitiva, Moreno (2002) hace la
siguiente analogía:
Las herramientas de amplificación sugieren pensar en una lupa. La lupa deja ver,
amplificado, aquello que podía ser visto a simple vista. No cambia, por esto mismo, la
estructura del objeto de nuestra visión. La metáfora de las herramientas de re-
organización, sugiere pensar en un microscopio. Con el microscopio podemos ver lo
que no era posible sin dicha herramienta. Accedemos entonces a otro nivel de la
realidad, cualitativamente distinto. Se abre entonces, la posibilidad de acceder a un
conocimiento nuevo.
Por ejemplo, en el ambiente papel y lápiz es posible ver una recta en posición de tangencia,
pero en el ambiente informático esa visión aumenta y mejora la exactitud, incluso con la
opción “Zoom” es posible acercar la gráfica y apreciar el punto de tangencia. Estamos usando
el instrumento tecnológico como herramienta de amplificación.
Imagen 3.4- Ejemplo: herramientas de amplificación
Ahora, ¿qué es lo que el instrumento tecnológico de aprendizaje puede hacer ver de los
conceptos matemáticos, que sin ella quizás no podría apreciarse?
Pensemos en la variación de la pendiente de la recta tangente al mover el punto de
tangencia, esto no es visible en el ambiente papel y lápiz, pero en el ambiente informático si
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
35
es apreciable. Ahora consideremos una colección de rectas tangentes a una curva cuya
expresión analítica sea desconocida, a partir de la deliberada suma de tangentes
determinadas por medio de diferencias en las alturas, se puede aproximar a la curva.
Imagen 3.5- Aproximación de una función por medio de sus tangentes
De ser esto posible, estaríamos usando el instrumento tecnológico como herramienta de re-
organización cognitiva, pues lo que no era visible (variación) sin el uso de tecnología ahora lo
es y lo que no era conocido (expresión analítica) ahora lo es.
Las herramientas de amplificación y de re-organización cognitiva no pueden estar separadas
una de la otra, ya que se puede ver como la transición de herramienta a instrumento que
sufren las computadoras y calculadoras, la cual será explicada más adelante. Por ahora se
presenta el siguiente esquema que sintetiza a grandes rasgos este apartado y nuestra
postura sobre el papel de la tecnología en la construcción de conceptos matemáticos,
entendiendo por esto como la forma en que concebimos la integración de la tecnología en la
actividad del estudiante.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
36
Imagen 3.6- Esquema de las transformaciones cognitivas con el uso de tecnología en matemáticas
Bajo esta perspectiva, la aproximación teórica conocida como génesis instrumental nos
permitirá explicar la interacción estudiante-instrumento tecnológico hacia la resignificación
de la Serie de Taylor, por lo que se describe a continuación el objeto de estudio y elementos
o nociones que la fundamentan.
3.3. La génesis instrumental
En su objeto de estudio, la génesis instrumental trata de entender cómo un artefacto
tecnológico se va incorporando al conocimiento matemático de un estudiante,
convirtiéndolo en un instrumento de aprendizaje que media su actividad y lo incorpora
orgánicamente para hacer matemáticas. Esta perspectiva orienta la discusión del papel que
juega el uso del instrumento en el conocimiento matemático y el desarrollo de los
instrumentos mismos (Briseño, 2008).
Un artefacto es un objeto material o abstracto, destinado a dar sustento a la actividad del
hombre en la ejecución de un cierto tipo de tarea. Sin embargo, con el término “artefacto”
Sistematización
de formas del
pensamientoReorganización
cognitiva
Mediación
instrumental
Representación
y su
manipulación
Representaciones
ejecutables
Amplificación
nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008)
dispositivos informáticos tales
computadoras. El instrumento es lo que el sujeto construye a través del artefacto, como
menciona Rabardel (1999) (citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el
artefacto se hace un instrumento cuando el sujeto ha sido capaz de incorpor
a su actividad matemática producto de la génesis instrumental. Se distingue entre un
artefacto y el instrumento que un ser humano es capaz de construir a partir de él. Mientras
el artefacto se refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una
construcción mental hecha por el usuario de la herramienta. El instrumento no viene dado
con el artefacto, se construye mediante el proceso complejo que se denomina génesis
instrumental y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado
en Briseño, 2008).
Por ejemplo, un estudiante puede estar utilizando la computadora para graficar ciertos datos
sobre el ingreso y costo de un producto. En este momento la computa
artefacto tecnológico, debido a que
herramienta para graficar datos. Cuando a partir de la gráfica, el estudiante interpreta esos
datos, hace conjeturas, relaciona valores, analiza, hace cambios
representación y comunica sus hallazgos
siendo utilizada como un instrumento
o dar respuesta a una actividad matemática. El artefacto se
aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental
postura sugiere la interacción bilateral entre el usuario y el artefacto.
Imagen 3.7
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008)
tales como: calculadoras numéricas, calculadoras gráficas y
computadoras. El instrumento es lo que el sujeto construye a través del artefacto, como
citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el
ento cuando el sujeto ha sido capaz de incorpor
a su actividad matemática producto de la génesis instrumental. Se distingue entre un
artefacto y el instrumento que un ser humano es capaz de construir a partir de él. Mientras
e refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una
construcción mental hecha por el usuario de la herramienta. El instrumento no viene dado
con el artefacto, se construye mediante el proceso complejo que se denomina génesis
y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado
Por ejemplo, un estudiante puede estar utilizando la computadora para graficar ciertos datos
sobre el ingreso y costo de un producto. En este momento la computadora funge como un
, debido a que está siendo utilizada simplemente como una
herramienta para graficar datos. Cuando a partir de la gráfica, el estudiante interpreta esos
datos, hace conjeturas, relaciona valores, analiza, hace cambios en registros de
sus hallazgos, entonces se puede decir que la computadora está
siendo utilizada como un instrumento; pues el instrumentarlo permitió obtener un producto
o dar respuesta a una actividad matemática. El artefacto se convierte en un instrumento de
aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental
postura sugiere la interacción bilateral entre el usuario y el artefacto.
Imagen 3.7- Fases de la génesis instrumental
Génesis Instrumental
Instrumentalización
Instrumentación
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
37
nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008), a
, calculadoras gráficas y
computadoras. El instrumento es lo que el sujeto construye a través del artefacto, como
citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el
ento cuando el sujeto ha sido capaz de incorporarlo e integrarlo
a su actividad matemática producto de la génesis instrumental. Se distingue entre un
artefacto y el instrumento que un ser humano es capaz de construir a partir de él. Mientras
e refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una
construcción mental hecha por el usuario de la herramienta. El instrumento no viene dado
con el artefacto, se construye mediante el proceso complejo que se denomina génesis
y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado
Por ejemplo, un estudiante puede estar utilizando la computadora para graficar ciertos datos
dora funge como un
siendo utilizada simplemente como una
herramienta para graficar datos. Cuando a partir de la gráfica, el estudiante interpreta esos
en registros de
entonces se puede decir que la computadora está
instrumentarlo permitió obtener un producto
convierte en un instrumento de
aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental, cuya
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
38
La primera dirección se llama instrumentalización, la cual se dirige del sujeto hacia el
artefacto cargándolo progresivamente de potencialidades y esquemas de uso que le
permiten conocer el artefacto, los menús y su ambiente; y la segunda dirección se llama
instrumentación, que se dirige del artefacto hacia el sujeto lo cual conlleva al desarrollo y
apropiación de esquemas de acción instrumentada que le permiten entender las
potencialidades y restricciones (o limitaciones) del artefacto. Dichos esquemas constituyen
habilidades que permiten una respuesta efectiva a actividades matemáticas.
Imagen 3.8- Construcción del artefacto al instrumento producto de la génesis instrumental1
1 Esquema tomado de Briseño (2008)
Potencialidades Limitaciones
Instrumentalización Instrumentación
Esquemas de
acción
Génesis instrumental
Esquemas de uso
Estudiante
Artefacto
Estudiante
Instrumento
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
39
A continuación presentamos las definiciones de instrumentalización e instrumentación,
según Artigue y Trouche (Briseño, 2008):
• Según Artigue (2002) la instrumentalización del artefacto es cuando a éste se le dota
progresivamente de potencialidades y se le transforma eventualmente para
aplicaciones específicas. Por otro lado, Trouche (2004) la define como un proceso de
diferenciación del artefacto mismo que puede pasar por diferentes etapas: la de
descubrimiento, la de personalización, la de transformación y a veces en direcciones
no previstas como la modificación de la barra de tareas, la creación de atajos cortos
del teclado, el almacenaje de programas y la ejecución de tareas automáticas. Es
decir, la instrumentalización es el reconocimiento del artefacto. Por ejemplo, cuando
una persona compra un celular nuevo lo primero que hace es leer el instructivo,
oprimir teclas, indagar por el menú, es decir, conocer el artefacto, familiarizarse con
él para proceder a integrarlo a su actividad de comunicación y entretenimiento. Lo
mismo sucede con una calculadora científica, gráfica o una computadora, es
necesario desarrollar esquemas de uso sobre el artefacto.
• En cuanto a la instrumentación, Trouche (2004) la define como el proceso donde el
instrumento afecta al sujeto, es decir permite que el sujeto desarrolle su actividad
dentro de algunos límites (restricciones del artefacto) y que elabore esquemas de
acción instrumentada el cual le permita construir conocimiento matemático. Artigue
(2002) la define como una acción dirigida hacia el sujeto, y que cada vez lo conduce al
desarrollo o a la apropiación de esquemas de acción instrumentada que están
orientados al cómo enfrentar las potencialidades y limitaciones del artefacto para un
desarrollo óptimo en la solución de una tarea específica.
En la imagen 3.6 donde se esquematizan las transformaciones del uso de la tecnología,
obsérvese que las representaciones manipulables, las representaciones ejecutables y las
herramientas de amplificación se encuentran en el círculo central simbolizando la fase de
instrumentalización, pues se está considerando el uso de la herramienta tecnológica como
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
40
un artefacto, en el momento en que se transforman las representaciones ejecutables como
una mediación instrumental, la amplificación de las herramientas en una re-organización
cognitiva, etc. formando el anillo exterior del esquema, se comienza a hablar de la fase de
instrumentación, pues ahora la herramienta se ha integrado a la actividad del sujeto y la ha
transformado del artefacto al instrumento.
Conviene dar un ejemplo y un contra ejemplo donde se observe la acción matemática
instrumentada. Estos dos trabajos que a continuación se presentan son sobre el tema
“introducción de la derivada” con el uso de tecnología informática:
1) López (2008) elaboró una secuencia didáctica a través del uso del software Geogebra.
La puesta en escena se llevó a cabo en un aula que contaba con una computadora y
un videoproyector donde se utilizaba como un pizarrón electrónico para interactuar
con los alumnos, el docente y la secuencia didáctica.
El tratamiento del tema se realiza en tres etapas que consisten en la construcción de
la recta tangente a una curva en máximos y mínimos por medio del método de
Descartes (etapa 1) y Fermat (etapa 2), posteriormente en la etapa tres se presenta la
gráfica de una función derivada y se pide un bosquejo de la función primitiva. Estas
actividades son visualizadas con el software, tecnología utilizada por el profesor, pero
los estudiantes se confinaban a observar y no a interactuar con la computadora.
Aunque es claro que procesos como la variación y aproximación son susceptibles a ser
visualizados bajo esta presentación, pero si el estudiante se limita a observar lo que el
profesor realiza y no interactúa con el artefacto tecnológico no habrá manera de
integrarlo a su actividad matemática y construya conocimiento.
2) Cantoral y Mirón (2000) también emplearon, una secuencia didáctica, pero con el uso
de calculadoras gráficas, que consistía en tres etapas. La primera etapa es la de
preparación para que el estudiante aprendiera a utilizar la calculadora, en términos
de la génesis instrumental, esta etapa corresponde al desarrollo de los esquemas de
uso. La segunda etapa de desarrollo se realizó en grupos pequeños que efectuaban
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
41
actividades que consistían en la experimentación con los parámetros de funciones
cuadráticas y lineales de tal forma que la línea recta presentada en la gráfica fuera
tangente a la(s) parábolas, cada actividad aumentaba el grado de dificultad, es decir,
las primeras instrucciones consistían en “mover” la recta en posición de tangencia con
la parábola, en otra actividad, se trataba de una familia de parábolas, etc.
Imagen 3.9- Recta tangente a una
parábola en un punto Imagen 3.10- Familia de parábolas
tangentes a una recta en un mismo punto
El estudiante se veía en la situación de desarrollar esquemas de acción para enfrentar
las limitaciones de la calculadora y aprovechar las potencialidades que le permitían
encontrar las regularidades lineales entre las parábolas y realizar exitosamente las
tareas solicitadas.
La última etapa fue de institucionalización, donde todo el grupo y el profesor
discutían sobre sus argumentaciones de tipo analítico, visual y discursivo para llegar a
un consenso sobre la regularidad lineal encontrada. En cada etapa fue visible la
integración de la calculadora en la actividad del estudiante para identificar patrones,
regularidades entre las curvas y construir su conocimiento a partir de sus
argumentaciones.
Se puede observar que en el ejemplo 1) es el profesor quien utiliza la herramienta
tecnológica, que en este caso esta funcionando como un “artefacto”, a través del software
los estudiantes pueden visualizar las funciones con sus respectivas rectas tangentes, sin
embargo no está interactuando directamente con el artefacto tecnológico, no lo está
dotando de potencialidades ni lo están integrando a su aprendizaje, por lo tanto no se logra
presentar la fase de instrumentación de la génesis instrumental.
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
42
Por el contrario, en el ejemplo 2) los estudiantes son los principales participantes en cuanto a
la interacción con el aparato tecnológico. Obsérvese que al principio es utilizado
simplemente como un artefacto pues el estudiante “realiza lo que le solicitan” en las
actividades, incluso en la fase de preparación se puede observar la presencia de los
esquemas de uso. Estamos en la instrumentalización, donde el sujeto (estudiante) empieza a
reconocer al artefacto (calculadora). Después, en la discusión los estudiantes argumentan y
conjeturan sus “descubrimientos”, sus procedimientos con la calculadora y dotan de
significado la interpretación geométrica de la derivada. En este momento la calculadora pasó
de artefacto a instrumento, pues la calculadora permitió que el estudiante dote de
potencialidades al objeto matemático y construya su conocimiento, es decir, presenciamos la
fase de la instrumentación.
Ahora que se ha presentado la parte científica de la génesis instrumental conviene hablar
sobre los aspectos sociales que intervienen en esta aproximación teórica según Briseño
(2008). Por un lado, el énfasis en la instrumentación recae en la actividad humana que hace
incorporar el artefacto tecnológico en la construcción de un conocimiento, es decir, en la
necesidad de atender y resolver una situación o un problema al que se enfrenta una persona.
Por otro lado, Artigue (2002) reporta que se exige dos principales demandas educativas en el
aprendizaje de las matemáticas con el uso de instrumentos tecnológicos:
1) Que sean instrumentos pedagógicos. Es decir, que permitan aprender mejor los
contenidos matemáticos que han sido definidos sin tomar en cuenta esta tecnología.
2) Que contrarresten prácticas de enseñanza inadecuadas. Ya sea prácticas de
enseñanza orientadas a la exposición excesiva o hacia el aprendizaje de habilidades
matemáticas.
De manera que, un estudio de génesis instrumental contribuye a estas demandas para un
mejor aprendizaje en esta área dando mayor énfasis a la importancia de la construcción del
instrumento por parte del sujeto, y para ello su reflexión radica en que el valor epistémico se
enriquezca, no se pierda en contra del valor pragmático de técnicas instrumentadas. Con
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
43
esta reflexión la génesis instrumental se centra en estos tres puntos para responder a tales
demandas:
• Entender que un estudio de génesis instrumental presenta complejidades
inesperadas: se han observado diferentes esquemas de acción instrumentada en
cada estudiante de acuerdo al procedimiento que realizan para resolver un problema.
Esto ha llevado a que investigadores se cuestionen si el estado de las técnicas
instrumentadas en clases experimentales ha sido el adecuado y la manera en que
dicho estado podía haber influido en los resultados obtenidos.
• La situación del estado de técnicas instrumentadas: a diferencia de técnicas con lápiz
y papel, en técnicas instrumentadas no se puede apreciar los procedimientos
intermedios de los estudiantes al resolver una actividad matemática pues la
tecnología da saltos inmediatos al resultado, en esta situación el profesor no es capaz
de intervenir debido a que el artefacto tiene varias técnicas o estrategias para
solucionar el problema (ambiente gráfico, numérico y simbólico) por lo que deja al
estudiante que determine la solución del problema. Si bien es cierto que para
técnicas a lápiz y papel hay un discurso teórico que respalde al profesor (libros,
sistema educativo) para técnicas instrumentadas no hay ninguna institución que le
proporcione reglas o guías para tomar decisiones sobre el uso tecnológico sino que el
mismo profesor la crea o permite que los estudiantes exploren. Según Briseño (2008)
es muy difícil para los profesores dar un estado adecuado a las técnicas
instrumentadas, pues depende de dos elementos, 1) de situaciones ajustadas para
que el valor epistémico se desarrolle, y 2) de la evolución de la instrumentación para
poder construir un discurso teórico de técnicas instrumentadas. Este discurso
necesariamente entrelazará el conocimiento matemático, el conocimiento del
instrumento y el conocimiento matemático representado por el instrumento, para
que pueda responder a las demandas educativas.
• Las exigencias matemáticas: En Artigue (2002) se menciona que hay dos exigencias
matemáticas para calculadoras simbólicas, las cuales son:
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
44
o El ajuste de la ventana gráfica. Ya que el ambiente de papel y lápiz no obliga
al estudiante a entender los procesos de discretización y sus posibles efectos
ligados al manejo de la representación de funciones en una calculadora, Guin
y Trouche (1999) proponen diseñar tareas para fomentar el trabajo de
exploración, con interacciones entre observaciones gráficas y cálculos teóricos
para estimular a los estudiantes a comparar resultados y observar las
diferencias entre el papel y los ambientes con artefactos tecnológicos.
o La equivalencia algebraica. Al introducir una expresión algebraica en una
calculadora simbólica, el estudiante se enfrenta con el resultado de una
evaluación realizada automáticamente por la calculadora. Este resultado
puede ser muy diferente a la expresión inicial, y el estudiante está en una
posición muy diferente de aquel que efectúa su trabajo con papel y lápiz, pues
este último va simplificando gradualmente y sabe cuáles son las diferentes
expresiones intermedias que él mismo ha producido.
Para concluir este capítulo nos atrevemos a decir que la aproximación teórica de la génesis
instrumental nos permitirá explicar que “la resolución de actividades de visualización” será
el puente que favorecerá la transformación artefacto-instrumento. Por tal motivo nuestra
hipótesis es que a través de actividades de visualización, el estudiante pueda integrar ese
artefacto tecnológico como un instrumento de aprendizaje para generar argumentos visuales
y discursivos sobre la Serie de Taylor.
3.4. Metodología de investigación
Hemos considerado un diseño experimental para verificar nuestra hipótesis y, para ello,
utilizaremos la ingeniería didáctica, tanto como metodología para el diseño de actividades,
como para su implementación y análisis de resultados.
El proceso experimental de la ingeniería didáctica consta de cuatro fases:
Capítulo 3. Marco teórico y metodología
45
• Primera fase: Análisis preliminar. En esta etapa realizaremos un análisis
epistemológico de la construcción de la serie de Taylor, un análisis conceptual,
didáctico y cognitivo.
• Segunda fase: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. En esta fase
presentaremos las acciones que se esperaría lleven a cabo los estudiantes, que nos
permitirán determinar si logró incorporar el artefacto tecnológico como un
instrumento de su actividad matemática para la construcción de conocimiento, así
como cuáles fueron los argumentos y significados que generó en el proceso de
instrumentación tecnológica, descrito por la génesis instrumental.
• Tercera fase: Experimentación. En este momento se llevará a cabo la experimentación
de la actividad diseñada con una muestra poblacional de estudiantes de cuarto
semestre de la facultad de matemáticas.
• Cuarta fase. Análisis a posteriori y evaluación. Se analizarán los resultados obtenidos
de la experimentación y se contrastarán con los resultados que se esperaban del
análisis a priori.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
47
L A S E R I E D E T A Y L O R : U N A N Á L I S I S
P R E E L I M I N A R
A fin de validar nuestra hipótesis sobre la posibilidad de generar argumentos variacionales
mediante tecnología e indagar cuáles son las nociones y significados que un grupo de
estudiantes atribuyen a la Serie de Taylor en un tratamiento didáctico a través de tecnología,
específicamente calculadoras graficadoras, se diseñará una actividad experimental. Por ello,
es preciso realizar un análisis preliminar cuya estructura conceptual y epistemológica nos dé
elementos a considerar en el diseño de la actividad, y así, nos permita verificar que a través
de la argumentación es posible atribuir un significado a dicha noción matemática.
Por tanto, en este capítulo se realizará un análisis epistemológico de la construcción de la
Serie de Taylor y un análisis de tipo cognitivo. Debido a que en el capítulo 2 se mencionaron
los aspectos didácticos de la Serie convenimos en omitir ese análisis en éste capítulo
tratando de evitar ser repetitivos.
4.1. Aspectos epistemológicos de la Serie de Taylor
En Cantoral y Farfán (1998) se realiza una discusión breve sobre el origen del binomio de
Newton, preguntándose ¿por qué Newton escribió por primera vez su binomio como
(� + �)� �⁄ y no como actualmente lo conocemos (� + �)�?, los autores comentan que
ambas expresiones son equivalentes matemáticamente, sin embargo son conceptualmente
distintas; que no se trata simplemente de un asunto de notación sino de un programa de
matematización de los fenómenos emergente en esa época, que buscaba modelar, anticipar
y predecir fenómenos naturales con el respaldo matemático. La idea básica consiste en la
asunción de que con la predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
48
posible anunciar, anticipar su estado ulterior, pues conociendo ciertos valores iniciales de un
sistema de evolución, sabremos la forma en la que éste progresa.
El binomio de Newton, se presenta como una entidad que emerge progresivamente del
sistema de prácticas socialmente compartidas ligadas a la resolución de una clase de
situaciones que precisan de la predicción. De modo que, si P evoluciona de cierta manera, la
cuestión central consiste en saber cómo será B(P) si conocemos el inicio de P, el cambio que
sufre P, el cambio del cambio de P, etcétera. El binomio fue entonces, una respuesta a la
cuestión y una organización de las prácticas sociales. Véase esto con un ejemplo particular.
Suponga que B ha sido dada respecto de P por la relación �(�) = ��. Entonces imagine que
P evoluciona y pasa de P, hasta llegar a ser ella misma incrementada por un pequeño pedazo
PQ (la magnitud Q es menor que la unidad), de modo que P deviene P+PQ. Luego, como B
está dada según la fórmula particular que se estableció, la cuestión central radica en saber
quién es B después del flujo de P. La respuesta es, en este caso, inmediata, pues será
(� + �)� = �� + 2�� + 2��� = ��(1 + 2 + �).
Del mismo modo, y aquí sí interviene la época, imagine que sólo se conocen fórmulas que
combinan expresiones de la forma ��� , la extensión necesaria del resultado anterior estaría
dada por la expresión (� + �)�� (Cantoral y Farfán, 1998).
La razón de discutir primeramente sobre la construcción del binomio de Newton es debido a
que este binomio es una herramienta para construir la Serie de Taylor (Cantoral, R., 1995).
Durante 1715, Brook Taylor publicó su “Methodus incrementoum directa et inversa”, el cual
contiene la primera publicación del desarrollo en serie, conocida hoy como Serie de Taylor y,
que a juzgar por el escrito original, se presenta con el fin de estimar el valor de una ordenada
a partir del conocimiento de otra que se encuentre ubicada en sus proximidades. Esto se
expresa en la siguiente proposición (Taylor, 1715; citado en Cantoral, et al., 2004).
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
49
Proposición VII: Sean z y x dos cantidades variables de las cuales z crece uniformemente con
incrementos dados ∆z. Sea n∆z=v, v-∆z=�� , v-∆z=�� , etc. entonces digo que cuando z crece
hacia z+v, se tiene que x crece hacia
� + ∆� �1 · ∆� + ∆
�� ���1 · 2(∆�)� + ∆
�� �����1 · 2 · 3(∆�)� +···
En la expresión anterior debemos interpretar que lo que Taylor llama z es nuestra habitual �,
es decir, la variable independiente, y lo que llama � es nuestra �(�) !. De este modo, si se
hace tender n a infinito, se tendrá que ∆� tenderá a cero, de donde,
"#"$ → &#
&$ , "(#"$( → &()(#)
&$( , etc.
Y �� → �, �� → �, � → �*, +,-., lo que conduce efectivamente a la obtención de la Serie de
Taylor.
La presentación anterior de Taylor se apoya en una tabla de diferencias finitas arregladas
adecuadamente:
Imagen 4.1- Tabla de diferencias finitas de Euler, tomada de Cantoral, R., Et al, (2004)
El cálculo de Newton está basado en la idea intuitiva del movimiento continuo, manejando el
concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo y el de fluxión como su
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
50
velocidad de cambio respecto al tiempo. Todos los fluentes son variables dependientes y las
fluxiones son sus derivadas consecutivas.
En la tabla de la imagen 4.1 Euler denota las fluentes con � y denota las fluxiones con ⋅
x, ⋅⋅
x,
⋅⋅⋅
x,…, etc. En ésta se presenta una diferenciación sucesiva de fluentes y fluxiones, cuyo
desarrollo consiste en sumar a la variable fluente su fluxión, luego a esta expresión se le
suma su fluxión y así sucesivamente. De tal forma que el desarrollo de las diferencias finitas
de la tabla de Euler coinciden con el desarrollo del binomio de Newton.
Así, por el teorema del binomio de Newton se tendrá:
� + /∆� → ! + /∆! + /(/ − 1)2! ∆�! + /(/ − 1)(/ − 2)
3! ∆�! + ⋯
Haciendo /∆� = ℎ, se obtiene:
� + ℎ → ! + ∆!∆� ℎ + ∆�!
∆�� ∙ ℎ(ℎ − ∆�)2! + ∆�!
∆�� ∙ ℎ(ℎ − ∆�)(ℎ − 2∆�)3! + ⋯
En los siguientes corolarios, mediante una operación de aproximación al límite, cuando n
tiende a infinito se obtiene finalmente la expresión:
�(� + ℎ) = �(�) + 6�(�)6� ∙ ℎ + 6��(�)
6�� ∙ ℎ�
2! + ⋯
Hacia finales del siglo XVIII, con los trabajos de Lagrange se adopta la notación de primas en
las derivadas, es así como se llega a la notación con la que es conocida la Serie de Taylor en la
actualidad:
�(� + ℎ) = �(�) + ��(�)ℎ1! + ���(�)ℎ�
2! + ����(�)ℎ�
3! + ⋯ + �(�)(�)ℎ�
/! + ⋯
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
51
4.2. Estructura conceptual de la Serie de Taylor
Marcolini y Perales (2005) resaltan en su trabajo algunas de las ideas germinales2 de la Serie
de Taylor. Desde la perspectiva de Cantoral (2001) la idea germinal que destaca en esta Serie
es la noción de predicción de los fenómenos naturales de flujo y lo analítico en el Cálculo, en
su trabajo se mencionan ocho modelos de lo analítico, que representan los diversos
esquemas paradigmáticos asociados a la Serie de Taylor en distintos contextos y momentos
históricos:
1. Modelo de regularidad binomial: se caracteriza por percibir y utilizar una regularidad
en los desarrollos binomiales y centra su atención en su semejanza operativa con los
números y magnitudes variables.
2. Modelo variable-variación: consiste en reconocer y utilizar sistemáticamente, la idea
de que “la parte contiene información del todo”, es decir, así como se estudia la
variación de magnitudes variables respecto de otras, se reconoce que la variación
instantánea o puntual proporciona la información integral del fenómeno.
3. Modelo de predicción paramétrica: radica en la determinación del estado futuro
(más ampliamente, estado vecino) con la información del estado actual (más
generalmente, al estado facto). De modo que si conocemos el estado inicial de la
magnitud a estudiar, es decir, la ordenada y sus variaciones sucesivas, es posible
predecir el comportamiento del estado vecino con la ayuda del método de los
incrementos finitos.
4. Modelo de evolución paramétrica: descansa en la determinación de las leyes que
rigen el comportamiento del sistema, siempre que el estado inicial sea conocido.
5. Modelo de aproximación polinomial: se caracteriza por reducir el cálculo de la
función al cálculo de polinomios. Para ello se construye una sucesión de éstos que
converja a la función determinada y que hereden el comportamiento puntual de la
función, para lo que también se estima el margen de error. 2 Idea germinal es el motor central en la construcción del conocimiento, a partir de la cual tanto procedimientos
como significaciones se construyen paulatinamente y adquieren así una completa significación epistémica. (Marcolini y Perales, 2005).
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
52
6. Modelo de metamorfosis funcional: se evoca el hecho de transformar una función
por una expresión polinomial infinita, en tanto que la noción de función se encuentra
impregnada por la de fórmula analítica arbitraria.
7. Modelo de generalización inductiva: se establece a partir del reconocimiento de una
colección de resultados previos, la utilización del concepto de límite como
organizador del cálculo, de la serie del valor medio para derivadas, el estudio de las
funciones arbitrarias y su clasificación en clases.
8. Modelo de analiticidad compleja: se localizan en el reconocimiento de lo derivable
en los dominios complejos, y su importancia en la teoría del análisis complejo
(distinguiéndose de las funciones reales valuadas).
En el trabajo de Marcolini y Perales (2005) se hizo uso de elementos tales como la
visualización, el reconocimiento de patrones, el recurso de la analogía, la inducción, los
diversos modos de validación y todo aquello que permitió en algún momento de la
elaboración del conocimiento, construir y transmitir información socialmente útil y que hoy
puede estar omitida en la enseñanza, con el fin de reconocer y usar aquellas ideas germinales
para poder explorar la función de la Serie de Taylor en el contexto actual.
En la revisión histórica realizada por estos autores se identificó que la noción de predicción
en los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, se ubicó como la base de significación
primaria para el concepto matemático de la Serie de Taylor.
La consideración acerca de la idea de predicción y de la noción de convergencia, en su
relación con la Serie de Taylor, se presenta como una dificultad de naturaleza didáctica, la
cual se manifiesta en el momento de trabajar con la Serie de Taylor en un contexto
fenomenológico. Si se quiere centrar la atención en el movimiento en la naturaleza se deben
plantear estrategias que permitan describir su evolución, entendida como el pasaje sucesivo
entre estados primarios y secundarios. Además, es preciso determinar los aspectos que
caracterizan los estados y los tránsitos sucesivos, así como establecer el conjunto de
variables que en mutua dependencia se relacionan en el fenómeno y reconocer aquellos
aspectos invariables asociados a los fenómenos de movimiento en la naturaleza, los cuales
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
53
suelen descansar en la naturaleza misma del movimiento, en la forma en que se alteran las
variables, es decir, la constantificación que permite buscar la relación de dependencia
funcional, ya no entre las variables, sino también entre sus sucesivas variaciones
instantáneas. (Marcolini y Perales, 2005).
En el capítulo 2, se resaltaron las principales ideas y estrategias variacionales que se
requieren para la construcción de la Serie de Taylor. Estas prácticas, estrategias y nociones
son necesarias para la comprensión de la Serie, bajo un tratamiento visual e instrumental.
Por lo que se presentan a continuación una breve descripción de cada una de ellas.
• Predicción: Al igual que Cantoral y Farfán (1998) desde nuestro punto de vista, la
noción de predicción se construye socialmente a partir de vivencias y experiencias
cotidianas de los individuos y de los grupos sociales, por tanto, la predicción es vista
como una práctica social; ésta es la determinación de un estado futuro cercano a
partir del conocimiento del estado inicial. Así, si los valores de un parámetro son
conocidos en un único sitio espacial o temporal, digamos en �7, se precisa entonces
con estos datos, anunciar el estado posterior de dicho parámetro, su valor en �7 + ℎ.
De modo que, al conocer los valores de inicio, �7, ℎ, �(�7), ��(�7), ���(�7), etc., se
podrá anunciar el valor posterior del parámetro representado, en este caso se trata
del valor de �(�7 + ℎ). Pues, �(�7 + ℎ) = �(�7) + ��(�7)ℎ + ���(�7) ℎ� 2!⁄ + ⋯.
• Variación: La variación es la cuantificación del cambio. La determinación de qué es lo
que cambia y cómo cambia.
• Diferenciación de variables finitas: Esta estrategia consiste en buscar la relación
entre los aumentos o disminuciones sucesivas de la variable dependiente para
aproximar la expresión en serie. Tal como se mencionó en el análisis epistemológico,
esta estrategia era usada por Newton, Euler entre otros matemáticos con el fin de
aproximar la expresión en serie de una función.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
54
Imagen 4.2- Esquema de diferencias finitas realizado por Isaac Newton, 1676 (Tomado de Cantoral y Montiel, 2001)
• Aproximación: Entendemos por aproximación como un proceso en el infinito
potencial de acercarse a determinado número o función con el fin de asemejarse a
éste. En el caso de la Serie de Taylor, a través de la suma de términos polinomiales, la
Serie se avecina cada vez más a la función que se desea aproximar.
• Reconocimiento de patrones: Proceso de identificación, caracterización, clasificación
y reconstrucción sobre un conjunto de objetos.
• Tránsito entre registros de representación: Para la construcción de conocimiento
matemático se hace necesario que el estudiante sea capaz de representar un
concepto matemático en por lo menos dos registros distintos de representación
semiótica, de tratar esa representación en un mismo y de convertir esas
representaciones de un registro a otro, tal como refieren Duval (1993) y De Amore
(2005).
4.3. Argumentos sobre la Serie de Taylor
Previo al estudio del Cálculo se precisa poseer la habilidad de lectura gráfica, el tránsito entre
diferentes registros de representación semiótica y la integración entre esos registros, sobre
todo el algebraico y el gráfico. Según Cantoral y Farfán (1998), se requiere de un excelente
manejo de formas graficas, extenso y rico en significados para el que aprende, de esta
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
55
manera, los registros de representación más apropiados para los objetos del cálculo son el
geométrico, algebraico, numérico, analítico y físico, los cuales favorecen la generación de
argumentos por parte del estudiante.
Al momento de argumentar cada representación refiere a un significado del concepto y esos
significados generan ideas y nociones que ayudan a la construcción de su aprehensión
conceptual. Por ejemplo, el concepto de línea recta puede evocar diferentes significados
dependiendo de cómo esté representada:
Es un conjunto de puntos que poseen cierta propiedad en común referente a
estar alineados
Es la distancia más corta entre dos puntos
Modela situaciones en que las magnitudes son directamente proporcionales y cuya razón de cambio es constante
Imagen 4.3- Representaciones de la línea recta y sus significados
Así, utilizando argumentos de la Serie de Taylor en diferentes tipos de representación, se
estará trabajando con diferentes significados de ésta, lo cual se espera genera nociones en el
estudiante que le ayuden a desarrollar su aprehensión conceptual.
Como bien se ha dicho, se precisa del desarrollo del PyLV para la comprensión de la Serie y
como antecedente tenemos que es posible generar argumentos al tiempo que se desarrollan
estrategias variacionales.
A continuación, se presentan distintos argumentos de presentación para construir la Serie de
Taylor (Castillo, 1993), para cada uno se mencionan las ideas y estrategias variacionales que
se trabajan, el modelo analítico al cual refiere y los significados asociados a la Serie de Taylor
que se espera construir con cada argumento:
x
y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
Argumento geométrico
Como ya se mencionó en el capítulo 1, ver no es lo mismo que visualizar
pueden ir a la par. Este tipo de argumento tiene mucha eficacia para significar un concepto,
idea o proceso, no solamente
Los aspectos visuales facilitan la comprensión y le otorgan una razón de ser a la génesis de la
presentación analítica.
El argumento geométrico de la Serie de Taylor está asociado con la estra
finitas de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto y también la idea de derivada como razón de cambio, la
determinación de incrementos y decrementos de las variab
mencionado numerosas veces esta estrategia, pero no hemos mostrado una interpretación
visual:
Supongamos que ! = �(�), tomemos un punto
el incremento ∆� (un número muy pequeño) hasta el punto
sucesivamente, de manera que cuando cambia
imagen 4.4:
Imagen 4.4
Trazando tangentes en cada punto sobre la función, de forma indefinida, la suma de tales
tangentes nos dará la aproximación más precisa de la función.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
Como ya se mencionó en el capítulo 1, ver no es lo mismo que visualizar, pero en ocasiones
pueden ir a la par. Este tipo de argumento tiene mucha eficacia para significar un concepto,
idea o proceso, no solamente para la Serie de Taylor sino para cualquier objeto matemático.
Los aspectos visuales facilitan la comprensión y le otorgan una razón de ser a la génesis de la
El argumento geométrico de la Serie de Taylor está asociado con la estrategia de diferencias
de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto y también la idea de derivada como razón de cambio, la
determinación de incrementos y decrementos de las variables. Hasta el momento se ha
mencionado numerosas veces esta estrategia, pero no hemos mostrado una interpretación
, tomemos un punto � sobre el eje de las abscisas y consideremos
(un número muy pequeño) hasta el punto � ∆�, � 2∆sucesivamente, de manera que cuando cambia �, hay un cambio en !, como se muestra en la
Imagen 4.4- Grafica de diferencias
Trazando tangentes en cada punto sobre la función, de forma indefinida, la suma de tales
tangentes nos dará la aproximación más precisa de la función.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
56
pero en ocasiones
pueden ir a la par. Este tipo de argumento tiene mucha eficacia para significar un concepto,
para la Serie de Taylor sino para cualquier objeto matemático.
Los aspectos visuales facilitan la comprensión y le otorgan una razón de ser a la génesis de la
tegia de diferencias
de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta
tangente a una curva en un punto y también la idea de derivada como razón de cambio, la
les. Hasta el momento se ha
mencionado numerosas veces esta estrategia, pero no hemos mostrado una interpretación
sobre el eje de las abscisas y consideremos
∆�, � 3∆� y así
, como se muestra en la
Trazando tangentes en cada punto sobre la función, de forma indefinida, la suma de tales
¿Por qué se utilizan tangentes? Porque es la mejor aproximación de la derivada, y la derivada
es precisamente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir
que ese cambio está determinado por la aproximación tangencial o con diferencias finitas.
Imagen 4.5-Aproximación a través de diferencias de tangentes
Por ejemplo, supongamos que conocemos la imagen de
imagen en un punto posterior
tomando en cuenta que conocemos la tangente en el punto
punto � ∆� será igual a la imagen o altura del punto
igual al cambio de !, es decir,
siguiente tabla:
Cambio en x
8
8 ∆8
8 9∆8
8 :∆8
Tabla 4.1- Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.
Así, por el teorema del binomio de Newton se tendrá:
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
¿Por qué se utilizan tangentes? Porque es la mejor aproximación de la derivada, y la derivada
mente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir
que ese cambio está determinado por la aproximación tangencial o con diferencias finitas.
proximación a través de diferencias de tangentes
s que conocemos la imagen de �, entonces para aproximar la
imagen en un punto posterior � ∆� trazamos una tangente en el punto �tomando en cuenta que conocemos la tangente en el punto ��, !�, entonces la imagen en el
igual a la imagen o altura del punto ��, !� más un incremento que será
, es decir, ! ∆!. Para mostrar mejor lo que intentamos explicar véase la
Cambio en y
!
! ∆!
�! ∆!� ∆�! ∆!� � ! 2∆!�! 2∆! ∆�!� ∆�! 2∆! ∆�!�
� ! 3∆! 3∆�! Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.
Así, por el teorema del binomio de Newton se tendrá:
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
57
¿Por qué se utilizan tangentes? Porque es la mejor aproximación de la derivada, y la derivada
mente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir
que ese cambio está determinado por la aproximación tangencial o con diferencias finitas.
, entonces para aproximar la
�� ∆�, ! ∆!�, , entonces la imagen en el
más un incremento que será
Para mostrar mejor lo que intentamos explicar véase la
∆�!
� ∆�!
Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
58
� /∆� → ! /∆! /�/ − 1�2! ∆�! /�/ − 1��/ − 2�
3! ∆�! ⋯
Donde si hacemos /∆� � ℎ, y también hacemos tender ∆� a cero, por lo tanto tendremos:
�� ℎ� → ;! Δ!Δ� ℎ
∆�!∆�� ∙
ℎ�ℎ − ∆��2! ∆�!
∆�� ∙ℎ�ℎ − ∆���ℎ − 2∆��
3! ⋯=
Como lim∆#→7 ABA# � &B
&# , lim∆#→7 ∆(B∆#( � &(B
&#( , ⋯
Realizando estos cambios se tiene
� ℎ → ! 6!6� ℎ
6�!6�� ∙
ℎ�2!
6�!6�� ∙
ℎ�3! ⋯
Luego
��� ℎ� � ���� �����ℎ ������ ℎ�2! ������� ℎ�3! ⋯
Estrategia variacional:
Diferencias finitas de variables.
Significado de la Serie:
La Serie de Taylor es una aproximación por medio de tangentes hacia la imagen de un punto
desconocido.
Modelo:
El modelo de predicción paramétrica está presente en el argumento visual el cual, como ya
se mencionó, radica en la determinación del estado futuro con la información del estado
actual. Pues se aprecia que si conocemos el estado inicial de la magnitud a estudiar, es decir,
la ordenada y sus variaciones sucesivas, es posible predecir el comportamiento del estado
vecino con la ayuda del método de los incrementos finitos.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
59
Así, mientras el estudiante genera este argumento de presentación también estará
empleando la estrategia variacional sugerida, y a su vez podrá otorgarle un significado a la
Serie.
Argumento algebraico
Tal como se explicó en el argumento geométrico, supongamos tenemos las variables � y ! tal que un cambio en x produce un cambio en y.
Cambio en x Cambio en y
8 ! !
8 ∆8 ! ∆! ! ∆!
8 9∆8 �! ∆!� ∆�! ∆!� ! 2∆! ∆�!
8 :∆8 �! 2∆! ∆�!� ∆�! 2∆! ∆�!� ! 3∆! 3∆�! ∆�!
⋮ ⋮ 8 E∆8 ! /∆! /�/ − 1�∆�!
2 /�/ − 1��/ − 2�∆�!2 ∙ 3 ⋯
Tabla 4.2- Desarrollo algebraico de las diferencias finitas de variables.
Si hacemos un cambio de variable para simplificar los cálculos tenemos que:
/∆� � ℎ
Entonces / � ℎ ∆�⁄
Por lo tanto
�� ℎ� → ! ℎ ∆�⁄ ∆! ℎ ∆�⁄ �ℎ ∆�⁄ − 1�∆�!2 ℎ ∆�⁄ �ℎ ∆�⁄ − 1��ℎ ∆�⁄ − 2�∆�!
2 ∙ 3 ⋯
�� ℎ� → ! Δ!Δ� ℎ ∆�!
∆�� ∙ℎ�ℎ − ∆��
2! ∆�!∆�� ∙
ℎ�ℎ − ∆���ℎ − 2∆��3! ⋯
Si ∆� es infinitamente pequeño, es decir, si ∆� tiende a cero, entonces:
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
60
ABA# se convierte en
&B&#, así mismo
∆(B∆#( se convierte en
&(B&#(,… y así sucesivamente
Por lo tanto tenemos que:
!�� ℎ� � ! 6!6� ℎ 6�!
6�� ∙ℎ�2!
6�!6�� ∙
ℎ�3! ⋯
Así, con la notación actual introducida por Lagrange tenemos:
��� ℎ� � ���� �����ℎ ������ ℎ�2! ������� ℎ�3! ⋯
Nociones y estrategias variacionales:
Predicción, Diferencia finita de variables y Reconocimiento de patrones.
Significado:
La Serie de Taylor es un desarrollo binomial obtenido a partir de la diferenciación finita de
variables, que al reconocer el patrón establecido se obtiene la expresión:
! /∆! ���FG�∆(B� ���FG���F��∆HB
�∙� ⋯ la cuál es útil para predecir valores desconocidos.
Modelo:
El modelo de regularidad binomial está presente en este tipo de argumento, pues se
caracteriza por percibir y utilizar una regularidad en los desarrollos binomiales y centra su
atención en su semejanza operativa con los números y magnitudes variables.
Argumento numérico
Generalmente, se deja rezagado el argumento de corte numérico, pero este tipo de
argumentaciones puede llevar al estudiante a visualizar la aproximación de la suma de
polinomios a través de números concretos, es decir, sin la complejidad o abstracción de lo
analítico del cálculo.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
61
Veamos un ejemplo para aproximar la función ���� � �� 3� 4 por medio de la suma de
polinomios de Taylor. La aproximación será en el punto � � 0, se presentará la gráfica de
���� y sus aproximaciones sucesivamente:
Llamemos J��� a la función que se construirá como aproximación de ����. La primera
aproximación será con la imagen de � � 0, entonces J��� � ��0� � 4.
Imagen 4.6-Aproximación a ���� con el polinomio J��� � 4
Ahora, para realizar una aproximación más cercana añadiremos (sumaremos gráfica y
analíticamente) a J��� una recta, pero no cualquier recta sino de la forma ! � �� donde �
será igual a la imagen de la derivada de ���� en el mismo punto:
����� � 2� 3
�′�0� � 3
Entonces la nueva aproximación será J��� � ��0� ���0��, es decir, J��� � 4 3�
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
62
Imagen 4.7- Aproximación a ���� con el polinomio J��� � 4 3�
Aumentaremos un polinomio más a J���. Éste se construirá de forma similar, sumemos a
J��� un polinomio de grado dos de la forma ! � ��� donde � será la imagen de la segunda
derivada de ���� en el punto � � 0.
������ � 2
����0� � 2
Por tanto, la nueva aproximación será J��� � ��0� ���0�� ����0��� es decir,
J��� � 4 3� 2��
Imagen 4.8- Aproximación a ���� con el polinomio J��� � 4 3� 2��
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
63
Como se observa, si en J��� se divide el coeficiente del término cuadrático entre dos
obtendremos J��� � 4 3� �� y esta función es la aproximación más fidedigna de ����. Otro aspecto importante es el comportamiento que adquiere la gráfica de la aproximación
con forme se aumentan los polinomios, ésta se asemeja cada vez más a la función original
hasta ser confundida con ella.
A continuación se presenta todo el proceso de aproximación, nótese que ���� � J���.
Imagen 4.9- Proceso de aproximación a través de polinomios
La función ���� � ��0� ���0�� )LL�7�#(� es el polinomio de Taylor de grado dos en � � 0
de la serie:
���� � ���� ������� − �� �������� − ���2! ���′����� − ���
3! ⋯
Incluso empleando la expresión general:
���� � ��� �� -
Si evaluamos en cero a las funciones ����, ����� ! ������
��0� � -
�′�0� � �
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
64
�′′�0� � 2�
Y sustituimos los coeficientes en ����
���� � ��0� ���0�� ����0���2
Obtenemos también el polinomio de Taylor de grado dos de la Serie.
En este ejemplo se aprecia una especie de tabulación con funciones motivo por el cual lo
consideramos como argumento numérico.
Ahora, presentamos un ejemplo en el que se aprecia la aproximación de la función sen � por
medio del aumento sucesivo de polinomios, pero ahora evaluados con integrales en el
intervalo P , QR. De esta manera, se aprecia la aproximación numéricamente hacia el valor
que converge la integral de la función seno en ese intervalo.
Tomemos la función sen � y desarrollémosla en Serie de Taylor:
sen � � � − ��3!
�S5! −
�U7!
�W9! −⋯
A continuación integremos de forma definida en ambos lados de la igualdad, en el intervalo
P , QR
Y sen �Z7
6� � Y ;� − ��3!
�S5! −
�U7!
�W9! − ⋯=Z
76�
Integrando término a término se tiene:
Y sen �Z7
6� � ��2 − �[
4 ∙ 3! �\
6 ∙ 5! −�^
8 ∙ 7! �G7
10 ∙ 9! − ⋯ `Q0a
Obsérvese en la tabla siguiente que a medida que se toman cada vez más términos del
polinomio las soluciones se aproximan a 2.
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
65
Polinomio Aproximación
bc � 899 `dea
4.9348
b9 � 899 − 8f
f ∙ :! `dea
0.8760
b: � 899 − 8f
f ∙ :! 8g
g ∙ h! `dea
2.2112
bf � 899 − 8f
f ∙ :! 8g
g ∙ h! −8i
i ∙ j! `dea
1.9758
bh � 899 − 8f
f ∙ :! 8g
g ∙ h! −8i
i ∙ j! 8cece ∙ k! `
dea
2.0016
Y lmn8de
o8 2.0000
Tabla 4.3- Aproximación numérica de la integral de Sen(x) en el intervalo (0,π)
La aproximación, es mucho más explícita con este tipo de argumento. El desarrollo de esta
idea variacional tiene cabida en la Serie de Taylor en su uso para aproximar funciones a
través de polinomios.
Nociones variacionales:
Variación y aproximación
Significado de la Serie:
La Serie de Taylor es una aproximación de funciones por medio de polinomios.
Modelo:
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
66
Modelo de aproximación polinomial, pues se caracteriza por reducir el cálculo de la función
al cálculo de polinomios, donde hemos construido una sucesión de éstos que converge a la
función determinada, o en este caso, convergen a 2.
Argumento analítico
El modelo de metamorfosis funcional se caracteriza por el hecho de transformar una función
en una expresión polinomial infinita, de tal modo que la noción de función se encuentra
estrechamente relacionada con la de fórmula analítica arbitraria. Con el argumento analítico
se aborda este modelo.
Sea p �′�,�6, � ���� − ����#q . Reescribiendo se tiene:
���� � ���� Y �′�,�6,#q
Integrando p �′�,�6,#q por partes se tiene
r � ���,� 6� � 6,
6r � ����,�6, � � −�� − ,�
X representa una variable constante relativa a t, de modo que al derivar v tenemos dt.
La elección de ��,� � −�� − ,� en lugar de ��,� � ,, se debe a que ésta es la manera que da
el resultado para el cual se quiere llegar.
���� � ���� − ������� − ,� `��a Y ����,��� − ,�6,#q
Integrando otra vez por partes se tiene:
r � ����,� 6� � �� − ,�6,
6r � �����,�6, � � − �� − ,��2
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
67
���� � ���� ������� − �� − ����,��� − ,��2 `��a Y �����,� �� − ,��
2 6,#q
���� � ���� ������� − �� �������� − ���2 Y �����,� �� − ,��
2 6,#q
Siguiendo con el proceso se tiene:
���� � ���� ������� − �� �������� − ���2 ⋯Y ���sG��,� �� − ,��
/ 6,#q
El argumento que hemos descrito presenta el residuo de la Serie en su forma integral.
Noción variacional:
La variación y el cambio.
Significado de la Serie:
La Serie de Taylor es una función analítica en serie cuyos términos se componen de derivadas
sucesivas.
Modelo:
Modelo de metamorfosis funcional
Argumento físico
La aceleración de un cuerpo en caída libre se supone constante para cada lugar de la tierra ya
que esta varía relativamente poco de un punto a otro, considerando esta idea mostraremos
como es que la aceleración de una partícula que parte del cuerpo en reposo es diferente de
cero, para un tiempo ,7 dado, usando la Serie de Taylor.
Con dicha Serie se tiene que:
t�,� � t�,7� t��,7�, t���,7�2! ,�
Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar
68
t�,7� es la posición de la partícula, t′�,7� es la variación de la posición la cual se conoce como
la velocidad y el tercer término es la variación de la variación de la posición, es decir, es la
aceleración de la partícula.
Si t�,7� se toma como la posición inicial de la partícula, es decir t�,7� � 0 y como la partícula
parte del reposo se tendría que la velocidad es cero, por lo tanto t′�,7� � 0, entonces se
llega a que:
t�,� � t���,7�2! ,�
Lo cual muestra que la aceleración es en efecto diferente de cero.
La variación está presente en casi todos los argumentos presentados, sin embargo es en éste
que se hace más evidente esa idea, la cual es imprescindible para la comprensión de la Serie.
Nociones variacionales:
Variación y predicción.
Significado de la Serie:
La Serie de Taylor es una herramienta para predecir estados futuros conociendo el estado
inicial.
Modelo:
Modelo de evolución paramétrica, el cual descansa en la determinación de las leyes que
rigen el comportamiento del sistema, siempre que el estado inicial sea conocido.
En conclusión podemos decir, que al generar argumentos de presentación de la Serie de
Taylor se esperaría que el estudiante utilice nociones y estrategias variacionales, necesarias
para la construcción de significados sobre la Serie.
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
70
A N Á L I S I S A P R I O R I Y E X P E R I M E N T A C I Ó N
En el capítulo 4, se presentaron argumentos de la Serie de Taylor vinculados con algún
modelo de su analiticidad, propuestos por (Cantoral, 2001); también se enfatizó que cada
argumento y modelo tienen asociados diferentes significados de la Serie. En la tabla 5.1 se
sintetizan estos elementos, indicando en cada argumento: el modelo, práctica, noción o
estrategia variacional y significado que se espera desarrollen los estudiantes en el diseño
experimental sobre la Serie de Taylor.
Con el fin de identificar cuáles son las nociones y significados que los estudiantes construyen
sobre la Serie de Taylor, al interactuar con un instrumento tecnológico, se ha diseñado una
actividad experimental en la que se consideran tres modelos que involucran nociones y
estrategias variacionales básicas para la construcción de la Serie de Taylor, estos son: el
modelo de predicción paramétrica, el modelo de regularidad binomial y el modelo de
aproximación polinomial. Por tanto, se sugiere prestar especial atención en los argumentos
que involucran estos modelos.
ARGUMENTO MODELO NOCION O
ESTRATEGIA VARIACIONAL
SIGNIFICADO
Geométrico Predicción
paramétrica
Diferencia finita de variables,
Aproximación y Predicción
La Serie de Taylor es una aproximación por medio de tangentes hacia la imagen de un punto desconocido
Algebraico Regularidad
binomial
Predicción, Diferencia finita
de variables y Reconocimiento
de patrones
La Serie de Taylor es un desarrollo binomial obtenido a partir de la diferenciación finita de variables, que al reconocer el patrón establecido se obtiene la expresión:
! /∆! /�/ − 1�∆�!2 /�/ − 1��/ − 2�∆�!
2 ∙ 3 ⋯
Numérico Aproximación
polinomial
Variación, Comportamiento
gráfico y Aproximación
La Serie de Taylor es una aproximación de funciones por medio de una suma de polinomios.
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
71
Analítico Metamorfosis
funcional Variación
La Serie de Taylor es una función analítica en Serie compuesta de derivadas sucesivas
Físico Evolución
paramétrica Variación y Predicción
La Serie de Taylor es una herramienta para predecir estados futuros conociendo el estado inicial
Tabla 5.1- Síntesis de los argumentos de representación asociados a la Serie de Taylor.
En dicho diseño experimental, se consideró el uso de tecnología como un instrumento que
medie la actividad matemática del estudiante con la intención de analizar cuáles o qué tipos
de significados construyen en relación a la Serie; el instrumento al que nos referimos es la
calculadora gráfica Voyage 200. La razón de su elección se asocia con las funciones que ésta
contiene, en tanto sistema de cálculo simbólico (CAS).
Por ejemplo, en los ejercicios de la actividad experimental se requiere manejar el registro
numérico tabular, el editor de ecuaciones y el registro gráfico, lo cual es posible con las
aplicaciones CellSheet, Y=Editor y Graph, es decir, con la calculadora gráfica es posible
transitar fácilmente entre diferentes registros de representación, sin cambiar de software e
incluso permite visualizar dos ventanas en la misma pantalla (aplicación Split Screen). Por
otro lado, el práctico tamaño de este instrumento es propicio para permitir a los estudiantes
llevar consigo la calculadora y manipularla, con el fin de adquirir destreza en el manejo de la
misma.
Sin más preámbulos, se presenta a continuación el diseño experimental que permitirá
aprobar o refutar la hipótesis planteada, respecto a la factibilidad de generar argumentos y
nociones sobre un saber matemático, así como la intencionalidad de cada actividad.
5.1. Diseño experimental
El diseño consistió en dos actividades, cada una con las siguientes intenciones:
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
72
Actividad 1
• Instrumentalización: Reconocimiento de la calculadora graficadora, es decir, que los
estudiantes conozcan sus esquemas de uso, el menú y su ambiente para que dominen
el sistema simbólico, gráfico y numérico de la misma.
• Acercamiento a las nociones e ideas que son necesarias para comprender la Serie de
Taylor. Por ejemplo, la noción de derivada como razón de cambio y como pendiente
de la recta tangente a una curva, la operación gráfica de funciones y la variación de
parámetros de una función.
• Desarrollo de una estrategia variacional para la aproximación numérica, la cual es una
herramienta para la construcción de la Serie de Taylor.
Actividad 2
• Instrumentación: Mediación instrumental, es decir, la calculadora irá conduciendo al
estudiante a la apropiación de esquemas de acción instrumentada para aprovechar
de manera óptima las limitaciones o restricciones de la calculadora y resolver su
actividad de la mejor manera.
• Generar argumentaciones a través del uso de la calculadora con el fin de identificar
cuáles son los significados que los estudiantes construyen sobre la Serie.
5.1.1. Metodología de experimentación
Para la implementación de las actividades experimentales, se trabajó con un grupo de 6
jóvenes universitarios del cuarto semestre de la Licenciatura en Enseñanza de las
Matemáticas, de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán, con
edades entre 19 y 20 años y con tres cursos de cálculo aprobados.
Como ya se mencionó, la actividad 1 tiene como objetivo que los estudiantes adquieran
habilidad en el uso de la calculadora gráfica y así mismo, desarrollen ciertas nociones
necesarias para generar argumentos sobre la Serie en la actividad 2.
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
73
La experimentación se llevó a cabo en tres días no consecutivos en el periodo de dos
semanas. A cada estudiante se le entregó una calculadora Voyage 200 y se les permitió
conservarlas durante todo el periodo de experimentación.
En los dos primeros días se aplicó la actividad 1, en ésta se utilizó un View Screen para que
los estudiantes realizaran algunos pasos junto con el instructor para que aprendieran a
utilizar la calculadora y conocer su ambiente, pero se les solicitó que la resolvieran de forma
individual, aunque al final la actividad se discutió de manera grupal.
En el tercer día de experimentación, se aplicó la actividad 2, la cual se resolvió en pequeños
grupos, trabajando los estudiantes en dos tercias. Se hará referencia a cada estudiante como
E1, E2, E3, E4, E5 y E6; de modo que una tercia estaba conformada por E2, E3 y E4; la
segunda tercia conformada por E1, E5 y E6. Se les solicitó que primero trabajaran de manera
individual y posteriormente discutieran con su equipo sus procedimientos. Al final de la
sesión, se discutió de forma grupal los resultados obtenidos en cada ejercicio de la actividad.
Es importante mencionar que posterior a la puesta en escena del diseño experimental, se
entrevistaron a algunos estudiantes con el fin de que explicaran más a detalle ciertos pasos o
ideas que no eran explícitos en su procedimiento al realizar las actividades.
5.1.2. Análisis a priori de la actividad 1
A continuación se describen las partes de la actividad 1, así como el propósito de cada una.
I. Derivada como razón de cambio
1. [Cohete] Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se tomaron
mediciones de su posición con respecto al tiempo, desde que se lanzó hasta ocho segundos
después. Los datos recabados se presentan en la siguiente tabla:
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
74
Tiempo
(t)
segundos
Posición
(s)
metros
0 0 1 5.3125 2 6 3 4.1875 4 2 5 1.5625 6 5 7 14.4375 8 32
Tabla 5.2- Datos de la posición del cohete en función del tiempo.
i. Construye la gráfica de la función posición.
a. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete recorre mayor distancia?
b. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete tuvo un desplazamiento más rápido?
c. ¿Cuál es la posición en el segundo 9?
Propósito: En las preguntas i.a y i.b se pretende que los estudiantes centren la atención en la
variación de la posición en función del tiempo, para que observen el comportamiento de la gráfica
según su variación y se familiaricen con la lectura de la información, que la gráfica proporciona del
fenómeno.
El inciso i.c es el primer acercamiento a la práctica de predicción, se espera que logren contestar la
pregunta después de realizar el ejercicio ii. Se pretende que utilicen una estrategia para predecir el
valor solicitado en este inciso y en el iii.c, esta estrategia es la diferencia finita de variables continuas,
la cual será preciso desarrollar para poder resolver el ejercicio de la “Partícula” y de “Diferencias” que
se presentan en la actividad 2, cuyo fin es construir una expresión que ayude a predecir estados
posteriores, de tal suerte que esa expresión será la Serie de Taylor.
ii. Construye una tabla en la que registres lo siguiente:
a. Los incrementos de la variable tiempo (∆t)
b. Los incrementos de la variable posición (∆s)
c. Razón de cambio de la posición con respecto al tiempo u∆v∆wx
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
75
Propósito: Que los estudiantes pongan en práctica la estrategia de diferencias finitas de variables y
construyan la gráfica de la razón de cambio de la posición. Posteriormente, se pedirá a los estudiantes
que sigan realizando diferencias hasta llegar a una constante a fin de que adquieran elementos que le
permitan construir una estrategia (variacional) para aproximarse a un valor desconocido.
iii. Construye la gráfica de la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.
a. ¿Qué concepto físico representaría la grafica que realizaste, con respecto a la grafica
de la función posición?
b. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección?
c. ¿Cuál es la velocidad inicial? Y ¿Cuál es la velocidad mínima que toma el cohete?
Propósito: En el inciso c, se pretende observar la estrategia que utilizarán para predecir valores
numéricamente, se espera que utilice la estrategia de diferencias en retroceso para predecir los
valores solicitados y, así mismo, responder la pregunta i.c.
En el inciso a, se pretende vincular la derivada con la razón de cambio de la posición y relacionar ésta
con un concepto físico de velocidad. En el inciso b, se espera que el estudiante analice la gráfica de la
velocidad e interprete su comportamiento.
iv. Si calculas nuevamente las razones de cambio de la función que representa la velocidad, ¿qué
concepto físico representa la nueva gráfica con respecto a la anterior?
Propósito: Las columnas generadas por las diferencias proporcionan las razones de cambio debido a
que la variación de las variables dependientes siempre es 1. La intención es que los estudiantes
relacionen las columnas de las diferencias finitas con las derivadas sucesivas.
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
76
II. Derivada como pendiente de una recta tangente
Nota: En este ejercicio no se requiere el uso de la calculadora.
A continuación se te presenta la gráfica de una función cúbica, bosqueja la gráfica de sus dos
derivadas consecutivas.
y��� y′���
1. Bosqueja la gráfica de la segunda derivada de la función y���
y′′���
x
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
0
1
2
x
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
0
1
2
x
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2
-1
0
1
2
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
77
Propósito: La Intención es que los estudiantes logren identificar el comportamiento de la primera
derivada de una función M(x), por medio de las pendientes de sus rectas tangentes, para ello se
proporciona la gráfica incompleta de la primer derivada de que. La idea inmersa es precisamente
tratar la noción de derivada gráficamente, identificar el comportamiento de la derivada de una
función observando la tendencia de sus pendientes.
III. Variación de parámetros
3. Considera la función ���� � ��
a. Grafica la función
i. ����� ii. ���� �
iii. ��� − -� Donde a, b y c son parámetros cuyo valor puedes variar. ¿Qué efecto provoca la
variación de cada parámetro en la gráfica de la función?
b. Determina la expresión analítica de las siguientes gráficas:
Propósito: Se pretende trabajar nuevamente con el comportamiento gráfico, ahora por medio de la
variación de parámetros de una función con la calculadora graficadora. La intención es que el
estudiante adquiera un significado geométrico de las operaciones algebraicas de una función, por
ejemplo, para poder construir la expresión analítica correspondiente a la gráfica de una función
requiere efectuar operaciones como multiplicar por una constante, restar un valor a su argumento y
sobre todo, observar su comportamiento tendencial. Esta práctica también servirá como herramienta
para resolver el ejercicio de los Polinomios de la actividad 2, mencionado anteriormente.
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-2
0
2
4
6
8
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
78
IV. Operación gráfica de funciones
Nota: En este ejercicio no se requiere el uso de la calculadora
1. Analiza la suma de las funciones gráficamente
���� z��� ℎ��� � ���� z���
a. Realiza la siguiente suma de funciones:
���� z��� ℎ��� � ���� z���
2. Analiza el siguiente producto de funciones
���� z��� ℎ��� � ����z���
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
10
15
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0 2
4
6
8
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
8
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
x
y
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
79
a. Realiza el siguiente producto de funciones:
���� z��� ℎ��� � ����z���
Propósito: La idea inmersa es operar funciones gráficamente, nuevamente como herramienta para
resolver el ejercicio “Polinomios” en la actividad 2.
Nota: Se ha nombrado entre corchetes algunos ejercicios de las actividades, con una palabra clave de
su contenido, para hacer referencia a éstos más adelante.
5.1.3. Análisis a priori de la actividad 2
La actividad 2 se conforma por 3 ejercicios, se espera que realizando prácticas y estrategias
como la aproximación y la predicción, los estudiantes generen argumentos sobre la Serie de
Taylor.
A continuación se presenta la actividad 2 y debajo de cada ejercicio su intención:
1. [Partícula] Una partícula cambia de posición de manera inconstante, su posición varía con
respecto al tiempo, de manera que su comportamiento lo modela la función {�,� � √,. Así en el tiempo t=4 la partícula se encuentra a 2 unidades sobre el eje S(t), es decir S(4)=2.
La representación gráfica de la función de la posición S(t) de la partícula se presenta a
continuación:
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
0
5
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
80
a. Conociendo {�4� � 2 realiza una aproximación para predecir la posición de la partícula en
t=7.
Propósito: Se pretende observar la estrategia que utilizan para predecir un valor de forma gráfica
después de haber predicho numéricamente. En este momento se espera que generen el argumento
geométrico de presentación, exhibido en el capítulo 4, que muestra la estrategia de diferencias finitas
de manera geométrica. El modelo presente en este ejercicio es el de predicción paramétrica. Se
planea que de manera informal se induzca a la generalización del método que utilicen para predecir
este valor.
2. [Diferencias] Si ∆s denota la diferencia de s} − s}FG.
a. Completa los espacios vacíos y calcula tS
t7
∆t7
tG
∆�t7
∆tG
t�
∆[t7
∆�tG
∆�t�
∆t�
∆�t�
∆t[
b. Propón un método general para predecir valores a partir de un valor conocido
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
0
2
s
t
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
81
Propósito: En este ejercicio no se pretende que utilicen la calculadora, se espera que se generalice y
formalice lo que se ha venido realizando en los últimos ejercicios: predicción de un valor próximo a
partir del conocimiento de un valor inicial.
En este ejercicio se contempla el modelo de regularidad binomial. Se espera que generen un
argumento numérico-algebraico.
3. [Polinomios] De los siguientes polinomios considera los que creas conveniente operar para
aproximarte gráficamente a la función �(�) = �� + 3�� − 2� + 1 en el punto � = 1. (Nota:
puedes sumar, multiplicar o dividir los polinomios entre si o bien, multiplicar por un escalar).
Propósito: Con este ejercicio se pretende que los estudiantes construyan una aproximación
polinomial en Serie de Taylor de la función dada, por medio de la manipulación deliberada de los
polinomios, es decir, por medio de la operación gráfica de los polinomios dados y escalares que los
estudiantes propongan. Entre los polinomios propuestas se encuentran las derivadas sucesivas de la
función, pero esto no se hace explicito a los estudiantes, ya que se espera que ellos identifiquen esa
relación. En este ejercicio se considera que los estudiantes generarán un argumento gráfico-
algebraico de justificación; el modelo de la analiticidad de la Serie inmerso en este ejercicio es el de
aproximación polinomial. La función que debe obtenerse a través de la Serie de Taylor es f(x) =
f(1) + f �(1)(x − 1) + �LL(G)(�FG)(
� + �LLL(G)(�FG)H
\ . Se espera que los estudiantes pongan en juego las
ideas inmersas en la construcción de la Serie, como por ejemplo la suma deliberada de polinomios, el
comportamiento gráfico y la aproximación, para que atribuyan un significado geométrico a la Serie.
3
(� − 1)�
(� − 1) 6� + 6 (� − 1)
3�� + 6� − 2 6
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
82
5.2. Acciones de instrumentación
Para conocer que el estudiante esta instrumentalizando o instrumentando, hemos realizado
un listado de las acciones que nos permitirá observar el estado de esta dualidad:
Instrumentalización
• Exploración y manejo del menú principal de la calculadora: en el menú principal se
encuentran los iconos de las aplicaciones contenidas en la calculadora. Si el
estudiante explora cada aplicación, podrá reconocer las herramientas informáticas
que contiene la calculadora para su que hacer matemático y acudir a ellas en cuanto
vea la necesidad. Por ejemplo, las aplicaciones que se necesitarán en las actividades
son CellSheet, Editor Y=, Principal y Gráficos.
• Exploración y manejo de las funciones de cada aplicación: cada aplicación contiene
un menú con las funciones de la misma. Si el estudiante explora y conoce esas
funciones irá desarrollando los esquemas de uso de la calculadora.
Las acciones particulares que indicarán que el estudiante está instrumentalizando al resolver
las actividades son:
• Graficar datos de la tabla de la posición (aplicaciones CellSheet y Gráficos)
• Calcular diferencias entre valores de datos (aplicación CellSheet)
• Variar los parámetros de una función y graficar las funciones resultantes (aplicación
Principal o Editor Y=)
• Realizar cálculos de aproximación hacia √7
• Graficar expresiones para aproximarse a una función
Instrumentación
• Predecir estados anteriores o posteriores utilizando el método de diferencias finitas.
• Interpretar el comportamiento de la gráfica de la posición y velocidad para
determinar la dirección del cohete.
Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación
83
• Aproximarse al valor de √7 empleando un método geométrico.
• Construir una expresión general en términos de diferencias para predecir estados
posteriores.
• Aproximar una función f(x) en un punto dado por medio de la suma y productos de
polinomios.
Argumentación de la Serie de Taylor
Se espera que con el diseño experimental se generen argumentos sobre la Serie de Taylor. La
intención es que en cada ejercicio se trabajen los siguientes:
• Ejercicio del Cohete: Argumento numérico y físico
• Ejercicio de la Partícula: Argumento geométrico-numérico
• Ejercicio de las Diferencias: Argumento algebraico-numérico
• Ejercicio de los Polinomios: Argumento algebraico-gráfico
Capítulo 6. Análisis a posteriori
85
A N Á L I S I S A P O S T E R I O R I
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos al poner en escena el diseño
experimental y, así mismo, su interpretación al contrastarlo con lo que se esperaba obtener,
descrito en el análisis a priori.
De los resultados obtenidos hemos rescatado dos elementos importantes:
1) El lenguaje variacional que los estudiantes utilizaron
2) Los argumentos generados asociados a la serie de Taylor
6.1. Lenguaje variacional
Tal como se pretendía, la actividad 1 fue un entrenamiento para los estudiantes en el manejo
de la calculadora. Las ideas que se discutieron fueron las siguientes:
• Se trabajó con la derivada como razón de cambio en un contexto físico, por ejemplo
E3 argumentó por qué con la derivada de la función posición se obtiene la velocidad.
• Algunos estudiantes descubrieron y utilizaron la estrategia de diferencias finitas para
aproximar y predecir valores desconocidos a partir de uno conocido.
• Se discutió sobre el efecto que ocasiona variar los parámetros de funciones en sus
respectivas gráficas.
• E1 comentó que en la operación grafica de funciones lo que se opera son las
imágenes de x, sin embargo, E3 lo resolvió de otra manera: primero realizó una
aproximación con otra función intentando encontrar la expresión de las funciones
gráficas, después las operó analíticamente y finalmente graficó la que solicitaba el
ejercicio.
La actividad 2 fue diseñada con el fin de que los estudiantes generaran distintos tipos de
argumentos sobre la serie de Taylor al resolver los ejercicios. Con respecto a las prácticas,
Capítulo 6. Análisis a posteriori
86
nociones y estrategias variacionales que pusieron en juego los estudiantes se obtuvieron los
siguientes resultados:
• Noción de variación. Se observó esta noción cuando interpretaron la información de
las gráficas, al mirar los cambios de la posición con respecto al tiempo.
Por ejemplo en el ejercicio del Cohete, E2 muestra con la gráfica que en el intervalo
de tiempo (7,8) el cohete tuvo un desplazamiento más rápido debido a que hay
mayor variación.
Imagen 6.1- Evidencia de la noción de variación interpretando el comportamiento de la gráfica.
Otra evidencia de esta noción se presenta en el inciso donde se cuestiona en qué
intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección, ya que se ocasionó la siguiente
discusión:
Instructor: ¿En qué intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección?
E2: De 2 a 5 porque el cohete sube y luego baja, porque supuestamente cuando está
subiendo va en una dirección y cuando baja esa dirección cambia.
E3: ¿A qué se refieren con que “el cohete cambia de dirección”? Porque según yo, el
cohete todo el tiempo cambia de dirección ya que no estamos hablando de una recta
sino una curva. Porque lo que estamos midiendo es la posición con respecto al tiempo
y si constantemente cambia de posición entonces cambia de dirección.
E2: Ah! Ya entendí tu punto. Como la gráfica no es constante, oscila mucho, entonces
en cada intervalo de tiempo tiene cierta dirección, entonces cada que varía el tiempo
cambia de dirección.
Instructor: Entonces ¿en qué caso la respuesta sería de 2 a 5? ¿qué entendieron E1 y
E2 con “cambio de dirección” para responder (2,5) y no (1,9)?
E6: Como que fue un cambio repentino o brusco
Capítulo 6. Análisis a posteriori
87
El conflicto de E3 ocurre porque no está mirando la dirección como un “sentido
definido” (Norte-sur, Este-Oeste) sino como la inclinación de las pendientes de las
rectas tangentes a la curva, es por esta idea que E3 argumenta que la dirección
cambia constantemente, esta es una evidencia de la presencia de la noción de
variación y del uso de un lenguaje variacional.
• Práctica de predicción. Esta práctica fue observada al tratar de aproximarse a una
posición desconocida en los ejercicios del Cohete, Partícula y Diferencias.
Por ejemplo para predecir la posición del cohete en t=9, E2 comentó lo siguiente:
E2: Podemos hacer como una formulita, como son diferencias entonces x número
menos el último número da 2.25 y luego ir regresando.
Imagen 6.4- Predicción de la posición del Cohete en el tiempo t=9 utilizando la estrategia de diferencias finitas hacia atrás.
E2 denotó con x cada valor que debía estimar para poder llegar a predecir la posición
en el segundo 9. Utilizó las diferencias que ya había realizado en su calculadora y se
dispuso a ejecutar el proceso inverso de las diferencias, es decir:
Como � − 8.125 = 2.125 entonces � = 2.125 + 8.125 = 10.3
Luego, como � − 17.563 = 10.3 entonces � = 10.3 + 17.563 = 27.863
E2 no se molestó en hacer distinción entre los diferentes valores y nombró con una x
a todas sus incógnitas, pese a ello, no ocurrió ninguna confusión al momento de
realizar sus cálculos, y finalmente:
Como � − 32 = 27.863
Así, E2 concluye que la posición del cohete en t=9 es 59.863, ésta fue su predicción.
E1, por su parte, utilizó el teorema del valor medio
partícula en t=7, con la expresión
que conociendo �(4)procedimiento.
Como la trayectoria de la partícula sigue a la función
E1 denotó con a al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir
2, también denotó con
aquí se obtiene que
fórmula:
Ya que t�7� es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, d
t�7� � 3 u G�√Ux + 2 �
exacto.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
863 entonces � = 27.863 + 32 = 59.863
Así, E2 concluye que la posición del cohete en t=9 es 59.863, ésta fue su predicción.
utilizó el teorema del valor medio para predecir la posición de la
con la expresión ��(�) = )(�)F)(q)�Fq . La instrucción del ejercicio era
( ) = 2 prediga la posición en t=7. La imagen 6.5 muestra su
Imagen 6.5- Predicción de la posición de la Partícula en el
tiempo t=7 utilizando el teorema del valor medio.
Como la trayectoria de la partícula sigue a la función t(,) = √, entonces
al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir
, también denotó con b al valor que deseaba predecir, o sea, � =aquí se obtiene que � − � = 3, por tanto sustituyendo todos los valores en la
12√, = t(7) − 2
3
es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, d
2.567 lo cual difiere aproximadamente en 0.079 d
Capítulo 6. Análisis a posteriori
88
Así, E2 concluye que la posición del cohete en t=9 es 59.863, ésta fue su predicción.
para predecir la posición de la
. La instrucción del ejercicio era
prediga la posición en t=7. La imagen 6.5 muestra su
entonces t�(,) = G�√w.
al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir � = 4 ! ���� �� 7 ! ���� �?. De
, por tanto sustituyendo todos los valores en la
es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, de manera que
lo cual difiere aproximadamente en 0.079 del valor
Capítulo 6. Análisis a posteriori
89
Cuando E1 explicó su método comentó lo siguiente:
E1: Yo hice trampa, lo que hice al principio fue derivar la función y sustituí el valor de 7
en t.
A lo que E1 se refiere es que sustituyó con t=7 en G
�√w, en realidad no es trampa sino
un error, E1 debió sustituir con el valor t=4 y se puede observar claramente en la otra
versión de la fórmula de derivada:
����� � ��� ℎ� − ����ℎ
En este caso � � 4 ! ℎ � 3, entonces:
��(4) = �(4 + 3) − �(4)3
Así, �(7) = 3��(4) + �(4) = 2.75
No obstante omitiendo ese pequeño error, es importante enfatizar las nociones que
E1 implicó en la resolución de este ejercicio, se observa la noción de derivada como
pendiente de una recta tangente a una curva, la noción de aproximación y la práctica
de predicción, eso sin mencionar que casi comienza a construir la serie de Taylor con
este argumento, lo cual se discutirá más adelante.
• Estrategia de diferenciación finita de variables. Esta estrategia fue utilizada para
obtener los valores de las razones de cambio de la función posición del cohete y para
predecir estados anteriores y posteriores en los ejercicios Cohete, Partícula y
Diferencias.
Por ejemplo, en el ejercicio del Cohete se solicitaba al estudiante estimar la posición
de éste en el tiempo t=9, la tabla proporcionaba valores en el intervalo de tiempo
(0,8) por lo que el estudiante se veía en la necesidad de predecir. La imagen 6.2
muestra el desarrollo de la estrategia de diferencias finitas realizada por E2 y la
imagen 6.4 muestra su predicción utilizando esta estrategia hacia atrás.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
90
Imagen 6.2- Estrategia de diferencias finitas utilizada para predecir la posición del cohete en el tiempo t=9
Imagen 6.3- Estrategia de diferencias finitas empleada para predecir la posición de la partícula en el tiempo t=7
Por otro lado, en la imagen 6.3 se observa la estrategia finita de variables empleada
por E4 para tratar de predecir la posición en el tiempo t=7 en el ejercicio de la
Partícula. Obsérvese que en la columna A el estudiante E4 ordenó los valores de la
posición de la partícula en el intervalo de tiempo de 0 a 5 con el fin de llegar a una
constante por medio de las diferencias. Ésta estrategia también la adoptó E2 para
resolver al mismo ejercicio, sin embargo se dan cuenta de que al tratarse de una
función irracional, es decir, que no es polinomial se detienen y consideran utilizar otra
estrategia.
• Aproximación. La noción de aproximación estuvo en juego casi en todo momento de
la actividad, como una práctica y como una estrategia. Se observa como práctica
siempre que antecede, o bien, media la predicción (por ejemplo, en el ejercicio de la
Partícula, imagen 6.6) y se observa como estrategia cuando se trata de igualar un
comportamiento (por ejemplo en el ejercicio de los Polinomios, imagen 6.7).
Imagen 6.6- Aproximación al valor √7 para predecir la posición de la Partícula en el tiempo t=7.
Imagen 6.7- Aproximación de una función gráficamente.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
91
• Tránsito entre registros de representación. Estrategia observada al resolver los
ejercicios de las actividades, constantemente transitaban entre el registro numérico,
gráfico y algebraico.
Por ejemplo, en el ejercicio del Cohete se aprecia el empleo de una representación
numérica y gráfica:
Imagen 6.8- Registros de representación utilizados al resolver el ejercicio del Cohete.
La imagen 6.8 de la izquierda muestra la posición del cohete (columna B) con
respecto del tiempo (columna A) y las diferencias finitas ∆tG, ∆t�, ∆t� (columna C, D, E
respectivamente) que a su vez cada una de estas tres últimas columnas describe la
razón de cambio de la posición para este caso en que ∆, = 1. Por tanto, en la imagen
de la derecha se exhibe la función posición y su primera razón de cambio, es decir, la
velocidad del cohete.
La integración de estos dos registros se observó durante la discusión grupal para
describir el movimiento del cohete en la que los estudiantes relacionaron cada razón
de cambio con un concepto físico haciendo referencia a su gráfica.
En el ejercicio de los Polinomios se observa el registro algebraico y gráfico:
Capítulo 6. Análisis a posteriori
92
Imagen 6.9- Registros de representación utilizados al resolver el ejercicio de los Polinomios
El ejercicio consiste en construir una función polinomial con el fin de aproximarse
gráficamente a la función �(�) = �� + 3�� − 2� + 1. A medida que observaban el
comportamiento de la gráfica, los estudiantes variaban parámetros o modificaban las
expresiones que utilizaban hasta aproximar gráficamente la función �(�) con una
función polinomial que cada estudiante construía. En la imagen 6.9 (derecha inferior),
se observa la aproximación exitosa de E5, es decir, con la expresión marcada en negro
del registro algebraico E5 logró aproximar exactamente la función solicitada.
Inclusive en las hojas de trabajo se aprecia la integración de tres registros de
representación para resolver el ejercicio de los Polinomios:
Capítulo 6. Análisis a posteriori
93
Imagen 6.10- Evidencia del uso de diferentes registros de representación (I Algebraico, II Numérico y III Gráfico) en el ejercicio de los polinomios.
E2 combinaba polinomios de los proporcionados en el ejercicio de forma algebraica a
su vez operaba las expresiones de forma numérica y bosquejaba las graficas de
ciertos polinomios que obtenía.
• Reconocimiento de patrones. Esta estrategia se aprecia en el ejercicio de las
Diferencias, en la cual tenían que identificar cierto patrón entre los exponentes de las
deltas y los subíndices de las variables para poder completar los espacios vacíos y
construir la predicción de la posición tS.
I
II
III
Imagen 6.11en la generación del argumento algebraico de la Serie.
En la imagen 6.11 se aprecia que el estudiante E2, al identificar el patrón que seguían
las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayu
predecir la posición tS
6.2. Argumentación de la serie de Taylor
Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes,
siguientes:
• Argumento geométrico
Aprovechando el espacio de la entrevista, real
se le solicito a dos estudiantes (E1 y E4) que efectuaran las siguientes actividades:
Al estudiante E1 se le pidió que representara en la gráfica (proporcionada en una hoja
impresa, imagen 6.12) el método que llevó a
Partícula en el tiempo t=7, esto es porque al efectuarlo en el pintarrón no se distingue
claramente su desarrollo.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
Imagen 6.11- Reconocimiento de un patrón en la generación del argumento algebraico de la Serie.
En la imagen 6.11 se aprecia que el estudiante E2, al identificar el patrón que seguían
las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayu
S.
Argumentación de la serie de Taylor
Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes,
Argumento geométrico-numérico:
Aprovechando el espacio de la entrevista, realizada posterior a la puesta en escena,
se le solicito a dos estudiantes (E1 y E4) que efectuaran las siguientes actividades:
Al estudiante E1 se le pidió que representara en la gráfica (proporcionada en una hoja
impresa, imagen 6.12) el método que llevó a cabo para predecir la posición de la
Partícula en el tiempo t=7, esto es porque al efectuarlo en el pintarrón no se distingue
claramente su desarrollo.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
94
En la imagen 6.11 se aprecia que el estudiante E2, al identificar el patrón que seguían
las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayudaría a
Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes, fueron los
izada posterior a la puesta en escena,
se le solicito a dos estudiantes (E1 y E4) que efectuaran las siguientes actividades:
Al estudiante E1 se le pidió que representara en la gráfica (proporcionada en una hoja
cabo para predecir la posición de la
Partícula en el tiempo t=7, esto es porque al efectuarlo en el pintarrón no se distingue
Imagen 6.12-
E1 no obtuvo el desarrollo acertado
pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula,
argumento geométrico de la serie de Taylor
Imagen 6.13- Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E1
Al estudiante E4 se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que
intentara representar geométricamente el método de diferencias finitas que se ha
venido utilizando en los ejercicios, el resultado fue que logró construir el argumento
geométrico de presentació
Capítulo 6. Análisis a posteriori
- Gráfica proporcionada para reconstruir el argumento generado en el
ejercicio de la Partícula
obtuvo el desarrollo acertado en esta segunda ocasión, sin embargo cuando
pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula,
geométrico de la serie de Taylor tanto de manera visual como discursiva.
Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E1
se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que
intentara representar geométricamente el método de diferencias finitas que se ha
venido utilizando en los ejercicios, el resultado fue que logró construir el argumento
geométrico de presentación de la serie de Taylor el cual se observa en la imagen 6.14
Capítulo 6. Análisis a posteriori
95
proporcionada para reconstruir el argumento generado en el
en esta segunda ocasión, sin embargo cuando
pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula, generó el
tanto de manera visual como discursiva.
se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que
intentara representar geométricamente el método de diferencias finitas que se ha
venido utilizando en los ejercicios, el resultado fue que logró construir el argumento
ual se observa en la imagen 6.14.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
96
Imagen 6.14 Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E4
Según el desarrollo de E4 la imagen de �� en términos de la primera diferencia de
variables es:
�� = !7 + ∆!7 + ∆!G + ∆!�
Siendo !7 el valor inicial conocido.
Lo cual es correcto pues la interpretación de la expresión anterior es que a la altura
conocida se le suman los incrementos que la variable y va teniendo hasta llegar a !�.
Procedamos a expresar �� de otra forma. Por la construcción de E4 tenemos que:
�� = !7 + ∆!7 + ∆!G + ∆!�
Pero observando la gráfica podemos decir que:
!G = !7 + ∆!7
Entonces:
∆!G = ∆(!7 + ∆!7) = ∆!7 + ∆�!7 (1)
Análogamente, observando en la gráfica podemos expresar !�como:
!� = !7 + ∆!7 + ∆!G = !7 + 2∆!7 + ∆�!7
Entonces:
∆!� = ∆(Por tanto sustituyendo (1) y (2) en la construcción de E4 tenemos:
�� = !7
Esta expresión a la que hemos llegado es muy similar al desarrollo de diferencias
finitas de Euler presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,
digamos hasta n, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.
• Argumento algebraico
Durante la resolución del ejercicio de las Diferencias, E2 utilizó el método que
propuso en la actividad del Cohete para predecir valores, esto es el método de
diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarroll
Imagen 6.15
La expresión que obtuvo E2 es la siguiente:
tS
Capítulo 6. Análisis a posteriori
(!7 + 2∆!7 + ∆�!7) = ∆!7 + 2∆�!7 + ∆�!7
Por tanto sustituyendo (1) y (2) en la construcción de E4 tenemos:
7 + ∆!7 + (∆!7 + ∆�!7) + (∆!7 + 2∆�!7 + ∆�!�� = !7 + 3∆!7 + 3∆�!7 + ∆�!7
Esta expresión a la que hemos llegado es muy similar al desarrollo de diferencias
presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,
, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.
o algebraico-numérico:
Durante la resolución del ejercicio de las Diferencias, E2 utilizó el método que
propuso en la actividad del Cohete para predecir valores, esto es el método de
diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarroll
Imagen 6.15- Argumento algebraico-numérico
generado por E2
La expresión que obtuvo E2 es la siguiente:
S = t[ + ∆t� + ∆�t� + ∆�tG + ∆[t7 + ∆St7
Capítulo 6. Análisis a posteriori
97
(2)
!7)
Esta expresión a la que hemos llegado es muy similar al desarrollo de diferencias
presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,
, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.
Durante la resolución del ejercicio de las Diferencias, E2 utilizó el método que
propuso en la actividad del Cohete para predecir valores, esto es el método de
diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarrollo:
Capítulo 6. Análisis a posteriori
98
Procedamos a expresar tS en términos de t7 de la misma forma que se realizó en el
argumento geométrico. En este caso nos apoyaremos del siguiente arreglo:
t7
∆t7
tG
∆�t7
∆tG
∆�t7
t�
∆�tG
∆[t7
∆t�
∆�tG
∆St7
t�
∆�t�
∆[tG
∆t�
∆�t�
t[
∆�t�
∆t[
tS
De lo anterior podemos observar que:
tG = t7 + ∆t0
Entonces:
∆�tG = ∆�(t0 + ∆t7) = ∆�t0 + ∆[t7 (1)
Por otro lado, podemos observar que:
t� = tG + ∆tG = t0 + 2∆t7 + ∆�t�
Entonces:
∆�t� = ∆�t7 + 2∆�t7 + ∆[t7 (2)
Continuando este proceso obtendremos que:
∆t� = ∆t7 + 3∆�t7 + 3∆�t7 + ∆[t7 (3)
t[ = t0 + 4∆t0 + 6∆2t0 + 4∆3t0 + ∆4t0 (4)
Sustituyendo 1, 2, 3 y 4 en la expresión que E2 construyó, obtenemos:
tS = t0 + 5∆t0 + 10∆2t0 + 10∆3t0 + 5∆4t0 + ∆St7 (5)
Es bastante evidente el desarrollo binomial tanto en la última expresión como en las
anteriores. El resultado obtenido por E2 es una forma equivalente de la serie de
Taylor. Si extendiéramos este proceso, digamos hasta n obtendríamos el desarrollo
Capítulo 6. Análisis a posteriori
99
binomial de Newton y siguiendo el procedimiento presentado en el capítulo 4
obtendríamos finalmente la serie de Taylor.
Es importante observar cómo a través de estas argumentaciones generadas por los
estudiantes se justifica su conjetura o idea sobre cómo es posible aproximarse a un
punto o a la posición de una partícula conociendo un estado previo de su posición no
necesariamente el anterior inmediato. Estos argumentos no solamente representan
el significado de la Serie de Taylor sino también son argumentos de justificación para
el estudiante.
• Argumento algebraico-gráfico:
Este argumento fue generado en el ejercicio de los Polinomios, el cual consistía en
construir una función polinomial que se aproximara gráficamente a la función
�(�) = �� + 3�� − 2� + 1 en el punto �7 = 1. Se generaron dos tipos de resultados
concernientes a la noción de “aproximación” que cada estudiante concibió:
1. Aproximación puntual
Inicialmente se pretendía que la aproximación fuera global, no obstante algunos
estudiantes se dieron a la tarea de realizar una aproximación de la función
�(�) específicamente en el punto �7 � 1.
Por ejemplo, E3 realiza lo siguiente:
Capítulo 6. Análisis a posteriori
100
Imagen 6.16- Procedimiento de E3 al resolver el ejercicio de los Polinomios
E3 se da cuenta de que al sustituir 1 en f�x� obtiene 3, también al sumar 3 a (x-1)
y posteriormente evaluar en 1 vuelve a obtener 3, después se le ocurre sustituir 1
en f′�x� pero lo multiplica por el escalar ¼ para que de nuevo le de 3.
Sucesivamente todas las combinaciones que E3 realiza, las manipula para que de
cómo resultado 3. Expresándolo de otra forma se obtiene lo siguiente:
Suponiendo que �x − 1�� � f��x� f�1� � 3 = fG(1) + 3 = f�(1) + 3 = f�(1) + 3 = 3
7 f �(1) = 14 f ��(1) = 1
2 f ���(1)
Esto da evidencia de una aproximación puntual, E3 construye varias expresiones
que se aproximan a f�x� exactamente en f�1�. Al graficar todas sus
construcciones, se percata de que todas se intersecan justo en x7 � 1
Capítulo 6. Análisis a posteriori
101
Imagen 6.17- Aproximación puntual realizada por E3
E2, por su parte, realiza lo siguiente:
Imagen 6.18- Procedimiento realizado por E2 al resolver el ejercicio de los Polinomios
E2 comienza combinando de forma algebraica los polinomios propuestos en el
ejercicio, los valores que marca con un recuadro en la parte superior derecha los
obtuvo evaluando x7 � 1 en algunos polinomios, sin darse cuenta de que ha
obtenido los escalares 3, 7, 12 y 6 que formarán parte del polinomio de Taylor
Capítulo 6. Análisis a posteriori
102
���� � 3 + 7(� − 1) + G�(#FG)(
� + \(#FG)H
\ . Después de discutir con E3 sus ideas,
E2 se deja influenciar y termina realizando el mismo procedimiento que E3.
Imagen 6.19- Aproximación puntual realizada por E2
2. Aproximación global
Los estudiantes E1, E4, E5 y E6 realizaron una aproximación global, es decir,
intentaron construir una expresión polinomial cuya gráfica fuera casi la misma
que la gráfica de �(�) = �� + 3�� − 2� + 1.
Por ejemplo E1 realiza lo siguiente:
Imagen 6.20- Procedimiento de E1 al resolver el ejercicio de los Polinomios
Capítulo 6. Análisis a posteriori
103
E1 obtuvo la función polinomial J�G(�) = (3�� + 6� − 2) + (� − 1)� +3(� − 1)� − 5(� − 1) − 4
Imagen 6.21- Aproximación global realizada por E1
Nótese que la gráfica de la función que obtuvo es idéntica a la función que desea
aproximar, esto es porque al desarrollar su expresión se obtiene �(�) = �� +3�� − 2� + 1.
E4 y E5 realizaron lo siguiente:
Imagen 6.22- Procedimiento realizado por E4 para resolver el ejercicio de los Polinomios
Capítulo 6. Análisis a posteriori
104
Imagen 6.23- Procedimiento realizado por E5 para resolver el ejercicio de los Polinomios
Las expresiones:
J�[(�) = (� − 1)� + (3�� + 6� − 2) + 3(� − 1)� − S\ (6� + 6) + 2 y
J�S(�) = (� − 1)� + 6(� − 1)� + 7(� − 1) + �\ (6)
Construidas por E4 y E5 respectivamente son equivalentes a la función �(�).
Cualquiera pensaría que estos procesos fueron realizados “al tanteo”, sin embargo, en ellos
intervienen procesos cognitivos para construir con éxito la función correcta y junto con la
integración tecnológica el estudiante pudo realizar acciones y estrategias como la integración
de registros de representación algebraica, gráfica y numérica, la toma de decisiones sobre la
elección adecuada de los polinomios propuestos y de los escalares para alargar o comprimir
la gráfica según fuera conveniente, observar del efecto en el comportamiento de su gráfica y
regresar al registro gráfico para modificar parámetros hasta obtener la aproximación más
precisa. También interviene la operación gráfica de funciones y sobre todo, lograron
construir expresiones globalmente aproximadas a la función solicitada instrumentando la
calculadora gráfica e interactuando con el significado de aproximación polinomial sumergido
en la Serie.
6.3. Significados de la Serie de Taylor
Las ideas, nociones y significados que los estudiantes construyeron de la Serie de Taylor, se
observaron a través de sus argumentaciones.
Capítulo 6. Análisis a posteriori
105
Por ejemplo, en el argumento geométrico-numérico de representación y justificación de la
Serie de Taylor, trabajado en el ejercicio de la Partícula y del Cohete, los estudiantes lograron
construir que:
• La Serie es una herramienta de predicción a corto y largo alcance generada mediante
el aditamento del estado conocido más todos los incrementos o decrementos
(variaciones) de las variables en juego de estados posteriores o desconocidos
(aproximaciones).
• La Serie de Taylor es una herramienta de predicción, cuya aproximación de estados
(imágenes o alturas) se obtiene geométricamente por medio del triangulo formado
por la variación de las variables y un recta secante, es decir, utilizando el cociente del
teorema del valor medio.
Con el argumento algebraico-numérico de representación de la Serie de Taylor, trabajado en
el ejercicio de las Diferencias, los estudiantes construyeron lo siguiente:
• La Serie de Taylor es un patrón, una regularidad binomial obtenida también de la
adición de variaciones.
• Con la Serie de Taylor es posible predecir numéricamente estados vecinos siempre
que se conozcan todas las diferencias, es decir, que sean finitas.
Con el argumento algebraico-gráfico de justificación de la Serie de Taylor, generado en el
ejercicio de los Polinomios, los estudiantes pudieron construir que:
• Con la Serie de Taylor es posible aproximar funciones de manera puntual y global por
medio de la suma deliberada de polinomios.
• La Serie de Taylor es una función cuya gráfica representa una operación de funciones
de diferentes grados y comportamientos con una tendencia en común.
Así podemos decir que las argumentaciones fueron ricas en significados y estamos listos
considerar ciertos elementos para la resignificación de la Serie de Taylor a través de
Tecnología.
Capítulo 7. Conclusiones
107
C O N C L U S I O N E S
Con el diseño experimental se pudo comprobar que es posible generar argumentos de
representación y justificación de la Serie de Taylor, mediante una actividad visual con
tecnología que propiciara la construcción de significados geométricos y conceptuales sobre la
Serie, con la intención de identificar elementos para su resignificación.
De los resultados obtenidos se reportaron las prácticas, nociones y estrategias variacionales
que los estudiantes pusieron en juego durante la realización de la actividad y los argumentos
generados, asociados a la Serie de Taylor al ser visualizada con una calculadora graficadora,
lo cual proporcionó elementos a considerar hacia su tratamiento y resignificación.
7.1. Elementos para la resignificación de la Serie de Taylor
En general se ha discutido que el desarrollo del PyLV tiene que estar sumergido en el
tratamiento de la Serie de Taylor para entender los significados de ésta. Con los resultados
obtenidos se observó lo importante que es poner en juego estrategias y nociones
variacionales tales como la diferencia finita de variables, la noción de variación,
aproximación, reconocimiento de patrones, tránsito entre registros de representación, entre
otras. Convenimos en que estos elementos deben ser considerados para la resignificación y
construcción de la Serie. No obstante hay elementos sobresalientes en los cuales debe girar
tal resignificación.
7.1.1 Predicción en situaciones de cambio y variación
La imposibilidad de controlar el tiempo a voluntad obliga a los grupos sociales a predecir, a
anticipar los eventos con cierta racionalidad (Cantoral y Cols., 2005). La necesidad de
predecir inmersa en las actividades propuestas sobre la Serie de Taylor llevó a los estudiantes
que participaron en la experimentación, a tener que desarrollar alguna estrategia o
procedimiento para aproximarse a la posición de un objeto en movimiento o al valor de una
función. Es por lo anterior que esta práctica en situaciones de variación y cambio debe estar
Capítulo 7. Conclusiones
108
ligada a la práctica del estudiante. De aquí se desprende el primer elemento a considerar
para la resignificación de la Serie, enmarcar las actividades en un cuadro de predicción
continua, en el que la construcción matemática del estudiante gire en torno a esta práctica
con el implícito objetivo de construir una herramienta para aproximarse a un punto en una
curva o al valor de una ordenada: la Serie de Taylor.
Aunque la actividad 1 [Cohete] se preparó inicialmente para la instrumentalización de la
calculadora graficadora, también se consideró como parte de los ejercicios de construcción
de la Serie, debido a que sentaría las bases para la generación de una estrategia variacional
para el desarrollo de la Serie. Fue una experiencia bastante enriquecedora para los
estudiantes permitirles emplear sus estrategias para aproximarse a un valor desconocido,
por ejemplo las diferencias finitas de variables y la derivada, sin darse cuenta que estaban
trabajando nociones íntimamente asociadas a un instrumento de predicción.
Si bien se observó, en los ejercicios de la Partícula y las Diferencias no estuvo presente el uso
de tecnología y sin embargo se obtuvieron los resultados que esperábamos gracias al haber
interactuado previamente con nociones y estrategias variacionales a través de tecnología en
la actividad del Cohete. Este acercamiento predictivo de la Serie de Taylor propició la
construcción de varios significados de la Serie en de los argumentos generados por los
estudiantes.
7.1.2. Aproximación polinomial
La aproximación polinomial es otro elemento considerable para la resignificación de la Serie,
aunque en el ejercicio de los Polinomios los estudiantes obtuvieron expresiones equivalentes
a la forma analítica del polinomio de Taylor, cabe resaltar el proceso que emplearon para
resolverlo más que el resultado. Algunos estudiantes tuvieron confusión en lo que se quería
aproximar, nosotras pretendíamos que la aproximación fuera de manera global, pero dos
estudiantes procedieron a aproximar de forma puntual. No obstante, los resultados fueron
muy interesantes, pues todos los polinomios que combinaban tenían la semejanza de
intersecarse en el punto donde sería la aproximación. Lo anterior se puede lograr con la Serie
Capítulo 7. Conclusiones
109
de Taylor numéricamente, esto nos da pauta para decir que dentro de los elementos a
considerar para la resignificación de la Serie debe prevalecer la aproximación global y
puntual de un valor utilizando la Serie de Taylor.
El uso de la tecnología en este ejercicio se hace vital para poder resolverlo, al hacer plausible
acciones como variar parámetros y mirar el comportamiento gráfico efectuado por tal
variación o sumar gráficamente polinomios.
7.1.3 Argumentación y tecnología
Propiciar la argumentación en los estudiantes sería el principal ingrediente para un nuevo
tratamiento didáctico de la Serie, no solamente porque nos consiente observar las
concepciones del estudiante, sino por ser un proceso cognitivo que permite construir
conocimiento y desarrollar el pensamiento matemático.
En este trabajo, el uso de la tecnología permitió a los estudiantes tener una visión global y
local (tanto cualitativa como cuantitativa) de las gráficas que utilizaban, también les permitió
transitar entre diferentes registros de representación, observar nociones como la variación y
el cambio, así como explorar opciones para su proceder y explicar sus hallazgos, o bien,
justificar sus procedimientos y afirmaciones.
Por ejemplo en el ejercicio del Cohete la tecnología jugó un papel importante no solamente
para visualizar las razones de cambio de cada concepto físico trabajado en el ejercicio, sino
que al instante de calcular las diferencias permitió a los estudiantes procesar mejor la
información con la que se estaba trabajando. Acciones como cambiar aplicaciones en el
menú sin modificar sus datos, el ir y venir entre las ventanas numérica y gráfica, y sobre todo,
transitar entre esas representaciones integrándolas en una misma, convirtió a la herramienta
tecnológica en un artefacto indispensable para efectuar la actividad, el cual jugó el papel de
instrumento tecnológico al permitir al estudiante emplear todas sus potencialidades para
construir cierto conocimiento matemático.
Capítulo 7. Conclusiones
110
Gracias a los resultados obtenidos podemos decir que sí es posible generar argumentos de la
Serie de Taylor a través de tecnología, por ello se sugiere el uso de instrumentos tecnológicos
para su resignificación.
7.2. Recomendaciones para un tratamiento didáctico de la Serie de Taylor
Ahora bien, teniendo en cuenta las consideraciones antes expuestas es posible proponer un
tratamiento didáctico para la Serie de Taylor, como hincapié a continuar este trabajo. En
síntesis y como conclusión final se propone a grandes rasgos lo siguiente.
Podría considerarse integrar en un mismo ejercicio la tarea de predecir y aproximar
polinomialmente, esto es posible ya que en este caso, para predecir se requiere de la
aproximación. Por ejemplo, adecuar la actividad del Cohete centrada en la predicción de
forma gráfica-numérica y la aproximación de forma gráfica-polinomial, la razón de utilizar
este ejercicio es el contexto físico que le proporciona mayor significado a las nociones con las
que se trabaja, de igual manera en este contexto se puede trabajar de forma significativa con
derivadas sucesivas y razones de cambio. Al decir “gráfica-numérica” y “gráfica-polinomial”
nos referimos a integrar estos registros, al tiempo que se trabaja con lo numérico, como en el
caso de la predicción mediante la estrategia de diferencias finitas, pero en este caso
integrando esa predicción con el registro gráfico, y de manera similar con la aproximación
gráfica-polinomial como fue el caso del ejercicio de los polinomios.
Con estas ideas se espera contribuir a la resignificación de la Serie de Taylor; la tarea
siguiente sería idear la forma de conjugar en las actividades la formalización-teórica de la
Serie.
111
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