Fakulta biomedicınskeho inzenyrstvı – Teoreticka

elektrotechnika

Prof. Ing. Jan Uhlır, CSc.

Leto 2019

3. Vypocty ve frekvencnı oblasti

1

Pro analyzu ve frekvencnı oblasti predpokladame zdroje se sinusovymi casovymiprubehy napetı, resp. proudu a stav, kdy neprobıhajı zadne prechodne deje,zpusobene pripojenım nebo odpojenım zdroje nebo soucastky. Analyzujeme har-monicky ustaleny stav. (HUS)

Pusobı-li v linearnım obvodu zdroj sinusoveho napetı nebo proudu s danou frek-vencı a fazı, majı v harmonickem ustalenem stavu vsechny obvodove velicinysinusovy prubeh s frekvencı zdroje. Od parametru zdroje (Um(Im), ϕ, ω) semohou hodnoty obvodovych velicin lisit jen amplitudou, fazı a prıp. rozmerem.

2

Pusobı-li v linearnım obvodu vıce sinusovych zdroju soucasne, platı princip su-perpozice a predchozı tvrzenı platı pro kazdy ze zdroju nezavisle.

Kazdy nesinusovy periodicky signal lze rozlozit na radu signalu s frekvencemi,ktere jsou dany celocıselnymi nasobky zakladnı (nejnizsı) frekvence periodickehosignalu – Fourierova rada. Pro obecny neperiodicky signal – Fourierova transfor-mace.

3

Kapacitor se sinusovym zdrojem napetı

C

u(t) = Um sin(ωt)

i(t)

Budeme nynı predpokladat, ze u(t) = Um sin(ωt). Pak s vyuzitım derivace(i(t) = Cdudt ) dostaneme vyraz pro proud – i(t) = UmωC sin(ωt+ π/2).

Odtud lze najıt vztah mezi amplitudou napetı a proudu tak, ze platıIm = UmωC.

4

Setrvacne vlastnosti kapacitoru vedou k tomu, ze v harmonickem ustalenemstavu jsou proud prochazejıcı kapacitorem a napetı na jeho svorkach fazove po-sunuty o π/2. Tak zasadne ovlivnuje kapacitor obvodove veliciny v jakemkoli ob-vodu se sinusovymi signaly. Snadno se take presvedcıme, ze dıky tomu kapacitornerozptyluje zadnou energii.

Vznika otazka, jak takovy vliv na fazi obvodovych velicin matematicky popsat. Ma-tematika dokazala vstoupit do druheho rozmeru vytvorenım oboru komplexnıchcısel.

Elektrotechnika obor komplexnıch cısel vyuzıva.

5

Pro harmonicky ustaleny stav jsou zavedeny fazory – komplexnı cıslareprezentujıcı obvodove veliciny sinusoveho prubehu.

Pro sinusove napetı Um sin(ωt+ ϕ) zavedeme v oboru komplexnıch cıselreprezentanta – fazor

U = Re(U) + j Im(U) = Um (cosϕ+ j sinϕ) = Umejϕ

Podobne pro proud Im sin(ωt+ ϕ) zavedeme v oboru komplexnıch cıselreprezentanta – fazor

I = Re(I) + j Im(I) = Im (cosϕ+ j sinϕ) = Imejϕ

Platı tedy

Um = |U|, ϕ = arctgImU

ReU

a podobne pro I

6

Pro fazorovou analyzu obvodu zavedeme dalsı pojem – impedanci

Pro rezistor – ZR = R

Pro kapacitor – ZC = 1j ω C

Pro induktor – ZL = j ω L

Pro rızene zdroje se jedna o prenosovy cinitel – X = Re(X) + j Im(X)

7

Aparat komplexnı aritmetiky nam poskytne prostredek, jak popsat obvodoveveliciny s fazı libovolne pootocenou – zrejme jako komplexnı cısla s realnou a

imaginarnı slozkou.

V oblasti vypoctu harmonickeho ustaleneho stavu se pro zapis obvodovychrovnic podle Kirchhoffovych zakonu pouzıva impedancı a zdroju stejne jako

v obvodech s rezistory.

Aplikaci fazoru lze demonstrovat na drıve uvedenem obvodu se zdrojem napetıa kapacitorem:

I =U

ZC

= jωCU −→ Im = UmωC, ϕ = π/2

8

Vypocet impedance ze schematu RLC obvodu

C

L

R1

R2Z

Z = R1 + jωL+R2

1jωC

R2 + 1jωC

= R1 + jωL+R2

1 + jωR2C

9

• Popis obvodu v harmonickem ustalenem stavu je prakticky vyznamny proto,ze reprezentuje vlastnosti obvodu pro sirokou oblast jeho pouzitı.

• Matematicky aparat pracuje s komplexnımi impedancemi a fazory tak, zeformulace popisu obvodu je velmi jednoducha, avsak omezena jen na har-monicky ustaleny stav – vylucuje vypocet prechodnych deju a popis cinnostiobvodu s neharmonickym signalem. Vyrazy s fazory (impedance, prenosy aobrazy signalu) nemohou vystupovat ve vztazıch pro casove prubehy signalu.

• Matematicky popis obvodu dovoluje formulovat komplexnı funkci kmitoctuoznacovanou jako prenosova funkce (prenos) obvodu. Z nı lze odvodit am-plitudovou a fazovou frekvencnı charakteristiku obvodu. Amplitudova cha-rakteristika je vetsinou zobrazovana v logaritmickych souradnicıch na obouosach (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutnı hodnoty prenosu vdecibelech [dB]) a fazova charakteristika s logaritmem frekvence a linearnıstupnicı fazoveho uhlu.

10

• V kvalitativnım odhadu vlastnostı obvodu s kapacitory a induktory lze na

”dostatecne“ vysokych kmitoctech povazovat kapacitor za zkrat a induktor zarozpojeny obvod. Na ”dostatecne“ nızkych kmitoctech lze kapacitor povazovatza rozpojeny obvod a induktor za zkrat.

Pro kapacitor ZC = 1j ω C ; bude proω →∞, ZC → 0

Pro kapacitor ZC = 1j ω C ; bude proω → 0, ZC →∞

Pro induktor ZL = j ω L; bude proω →∞, ZL →∞Pro induktor ZL = j ω L; bude proω → 0, ZL → 0

11

Komplexnı vykon

Komplexnı vykon v HUS je definovan jako soucin fazoru napetı a komplexnesdruzeneho fazoru proudu

S =1

2UI∗

takze

S =1

2UmIm(cosϕ+ j sinϕ)

P = Re(S) =1

2UmIm cosϕ, Q = Im(S) =

1

2UmIm sinϕ

P je cinny vykon, Q je jalovy vykon, S = |S| = 1/2UmIm je zdanlivy vykon.

Pro efektivnı hodnoty proudu a napetı platı

P = UefIef cosϕ, Q = UefIef sinϕ S = UefIef

12

Komplexnı vykon

Jednotky, ktere pro vykon v harmonickem ustalenem stavu pouzıvame jsou:

Pro zdanlivy vykon voltamper [VA] – soucin zmerenych voltu a amperuPro cinny vykon watt [W] – vykon, ktery kona praciPro jalovy vykon voltamper reaktancnı [var] – uklada a vracı energii v beze-ztratovych elementech

13

Vykon v zatezi Z pripojene ke zdroji napetı U (fazi napetı povazujme zanulovou)

I = UZ

= Um|Z|e

−jϕz, kde ϕz je faze zateze ϕz = arctg(

Im(Z)Re(Z)

)

S = UI∗ =U2m

2|Z|ejϕz =

U2ef

|Z|ejϕz =

U2ef

|Z|(cosϕz + j sinϕz)

Pokud je vnitrnı impedance zdroje Zi potom pro zatez Zz je splnena podmınkavykonoveho prizpusobenı tehdy, kdy

Zi = Z∗z

14

Pro vykon spotrebicu je definovan ucinık

λ =P

S= cosϕ

Protoze pouze cinny vykon vykonava praci, zatımco zdanlivy vykon je celkovaenergie prenesena vodici za jednotku casu, je ucinık mırou vyuzitı energie zdroje.Kdyz λ = 1 je veskery vykon dodany zdrojem vyuzit v zatezi.Kdyz λ = 0 je vodici bez uzitku prenasena energie ze zdroje do zateze a zpet.Ucinık se po vynasobenı 100 udava v %.

Pri pripojovanı spotrebicu k elektrovodne sıti ma zdroj (sıt’ova zasuvka) zane-dbatelnou reaktancnı slozku vystupnı impedance. Navıc vykonove prizpusobenınema prakticky vyznam, protoze vykon na spotrebici je vzdy v pomeru k vykonuna vnitrnı impedanci zdroje vyrazne vetsı. Nicmene je zbytecne, aby sıt’ovymprıvodem protekal proud nesoucı jalovy vykon. Resenı spocıva v tom, ze na ko-nec vedenı (ke spotrebici) pripojıme obvod s impedancı, ktera zabezpecı mini-malizaci fazoveho posunu mezi napetım a proudem ve vedenı od zdroje. Jde oopatrenı oznacovane jako kompenzace ucinıku.

15

Vykon v obvodu s reaktancı

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10

-5

0

5

10

15

-I(V1)*100 V(v1) (V)

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

-V(V1)*I(V1)

T (Secs)

PDT (W)

.

.

ϕ = −16 2µF

100Ω

U

Im = 96 [mA] Um = 10 [V]

P = 0,4621 [W] S = 0,48 [VA]

ω = 1745 [rad/s]

Z = 100− j.28,648 [Ω]

I = 0.0924+ j.0,0265 [A]

U = 10 [V]

S = 0,4621− j.0,1324 [VA]

16

Vykon v obvodu s reaktancı

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-10

-5

0

5

10

15

-I(V1)*100 V(v1) (V)

9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m-120.0m

0.0m

120.0m

240.0m

-V(V1)*I(V1)

T (Secs)

PDT (W)

.

.

ϕ = −70,8

0,2µF

100Ω

U

Im = 33 [mA] Um = 10 [V]

P = 0,0543 [W] S = 0,165 [VA]

ω = 1745 [rad/s]

Z = 100− j.286,48 [Ω]

I = 0.0109+ j.0,0311 [A]

U = 10 [V]

S = 0,0543− j.0.1556 [VA]

17

Frekvencnı charakteristiky

Vypocty obvodu vzdy smerujı k nalezenı vlastnostı obvodovych velicin (napetı vuzlech, proudu ve smyckach), kdyz je obvod buzen nejakym zdrojem napetınebo proudu. Pouzitı Kirchhoffovych zakonu tak vede ke vztahu, ktery ma

obecne tvar

Y2 = HY1,

kde Y2 je hledany fazor nektere obvodove veliciny, Y1 je fazor zdroje a H jefunkce popisujıcı ucinek zdroje na zvolenou obvodovou velicinu. (Analogicky

jsme v nesetrvacnych obvodech popsali napetı nebo proud v kteremkoli mısteobvodu, pokud jsme znali budicı proud nebo napetı).

18

Takove vyjadrenı platı v prostoru fazoru, lze vsak snadno zıskat popis casovehoprubehu:

y1(t) = Y1m sin(ωt+ ϕ1) a y2(t) = Y2m sin(ωt+ ϕ2),

kde

Y2m = Y1m|H| = Y1m

√(Re(H)

)2+(Im(H)

)2

ϕ2 = ϕ1 + arctg

(Im(H)

Re(H)

).

Svet tucnych symbolu se strıskami – fazorovy, je jiny svet nez svet casovychprubehu u(t) a i(t) a jim odpovıdajıcıch derivacı a integralu. My vsak vıme, zese da jedno z druheho vypocıtat, ale do jedne rovnice nikdy tyto ruzne symboly

nenapıseme.

19

Integracnı RC obvod ve frekvencnı oblasti

R

C

U1 U2

20

Uvedli jsme, ze s impedancemi pracujeme jako s odpory. Takze vyuzijemeznalostı o delici napetı a napıseme

U2 = U1ZC

R+ ZC

= U11/jωC

R+ 1/jωC= U1

1

1 + jωRC.

Z uvedeneho obecneho vztahu muzeme uzıt zapisu

H =1

1 + jωRC=

1− jωRC1 + (ωRC)2

.

Protoze se jedna o matematicke vyjadrenı pomeru fazoru vystupnıho napetı kfazoru vstupnıho napetı, tedy o popis jak se vstupnı napetı obvodem ovlivnı, je-li

preneseno na vystup, nazyva se H (napet’ovym) prenosem obvodu. Jde obezrozmernou komplexnı funkci kmitoctu ω, coz byva nekdy vyjadreno zapisem

H ≡ H(jω).

21

Pri upravach uvadenych vztahu se ukazuje soucin RC jako parametr vyznamnypro chovanı RC obvodu ve frekvencnı oblasti. Snadno se presvedcıme, ze marozmer casu v sekundach. V soucinu s kmitoctem (prevracena hodnota casu)dava v nasich vypoctech bezrozmerne funkcnı hodnoty pro dane frekvence.

Soucin RC = τ se oznacuje jako casova konstanta.

22

Prenosove vlastnosti obvodu ve frekvencnı oblasti popisujeme pomocı analyzyfunkce H. Ukazeme to na uvedenem integracnım obvodu.

Prvnı vyznamna informace se tyka vlivu obvodu na amplitudu vstupnıho napetı.Uvedli jsme, ze U2m = U1m|H|, takze

U2m = U1m1√

1 + (ωRC)2.

Vidıme, ze amplituda sinusoveho prubehu je zavisla na kmitoctu a s rostoucımkmitoctem bude klesat. Je zvykem tuto zavislost zobrazit v grafu funkce |H|, vekterem nezavisle promennou (vodorovna osa) je logaritmus kmitoctu a na svisle

ose je v logaritmickem merıtku A.

A = 20 log|H|.Pro jejı hodnoty jsou zavedeny decibely [dB], graf se oznacuje jako Bodeho

charakteristika (viz Teorie systemu)

23

Na obrazku je Bodeho charakteristika integracnıho obvodu. Parametry obvodubyly zvoleny takto: R = 100 kΩ a C =10 nF.

1 10 100 1K

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

A[d

B]

f [Hz]

24

Pro integracnı obvod zjistıme, ze vystupnı napetı se opozd’uje za napetımvstupnım. Z vyrazu pro prenos plyne pri nulove fazi na zdroji signalu ϕ1 = 0

ϕ2 = arctg

(Im(H)

Re(H)

)= −arctg (ωRC) .

4,0 6,0 8,0 10,0

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

u1(t)

u2(t)

u[V

]

t [ms]

25

Fazova frekvencnı charakteristika integracnıho RC obvodu

-100

-75

-50

-25

0

25

1 10 100 1K

ϕ[

]

f [Hz]

26

Amplitudova frekvencnı charakteristika: |H| = 1√1+(ωτ)2

• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se prenos obvodu blızı k jednicce.Pomale zmeny okamzite hodnoty strıdaveho napetı vedou k tomu, ze se kon-denzator nabıjı a vybıjı malymi okazitymi hodnotami proudu a na rezistoruse vytvarı maly ubytek napetı. Napetı na kapacitoru stıha sledovat vstupnınapetı. V grafu prenosove charakteristiky se jejı prubeh asymptoticky blızı kvodorovne prımce odpovıdajıcı hodnote 0 dB

• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu s rostoucımkmitoctem |H| ≈ 1/ωτ . V teto oblasti kmitoctu lze pro prenosovou cha-rakteristiku v decibelech napsat A = −20log(2πfτ), coz znamena, zekazde zvysenı kmitoctu na desetinasobek vede k poklesu prenosu o 20 dB.Je-li v grafu i kmitocet zobrazen logaritmicky, blızı se prubeh charakteristikyasymptoticky k prımce se sklonem -20 dB na dekadu kmitoctu

27

• uvedene dve asymptoty se protnou na ose kmitoctu v bode

ωτ = 1 resp. ω = 2πf =1

τ.

Tomuto kmitoctu se rıka meznı kmitocet a skutecny prubeh charakteristikyse na nem nejvıce vzdaluje od asymptot. Dosazenım zjistıme, ze na meznımkmitoctu je

|H| = 1√2

=

√2

2≈ 0,707, resp. A ≈ −3 dB.

Meznı kmitocet je v tomto prıpade kmitoctem, na kterem se pri rostoucım kmitoctuzacne vyznamne zmensovat amplituda prenaseneho signalu. Byva oznacovanjako hornı meznı kmitocet fh resp. ωh a casova konstanta se take oznacı jako takonstanta, ktera urcuje hornı meznı kmitocet τh

28

Fazova frekvencnı charakteristika: ϕ = −arctg(ωτ)

• ω → 0. Pro nızke kmitocty (ωτ 1) se faze prenosu obvodu blızı knule. Jiz jsme uvedli, ze napetı na kapacitoru stıha sledovat vstupnı napetı.V grafu prenosove charakteristiky se prubeh faze asymptoticky blızı k vodo-rovne prımce s hodnotou ϕ = 0.

• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) klesa prenos obvodu proto,ze pomaly kapacitor nestacı reagovat na rychle zmeny okamzite hodnotyvstupnıho napetı. Protoze jde o harmonicky ustaleny stav, je napetı na ka-pacitoru sinusove, ale pomalost s jakou kapacitor dovoluje menit na svychsvorkach napetı zpusobı, ze se faze zpozd’uje. Pro rostoucı kmitocty seasymptoticky blızı k −90 resp. −π/2.

• Dosazenım do vyse uvedeneho vztahu zjistıme, ze na meznım kmitoctu jeϕ = −arctg(ωτ) = −arctg(1) = −45 = −π/4.

29

Derivacnı RC obvod ve frekvencnı oblasti

R

C

U1 U2

U2 = U1R

R+ ZC

= U1R

R+ 1/jωC

H =jωRC

1 + jωRC

|H| = ωRC√1 + (ωRC)2

ϕ = arctg(

1

ωRC

)

30

1 10 100 1K

-48

-36

-24

-12

0

0

1212

1 10 100 1K

.

25

50

75

100

125

A[d

B]

f [Hz]

f [Hz]

ϕ[

]

31

Derivacnı obvod ve frekvencnı oblasti ma nasledujıcı asymptoticke vlastnosti:

• ω → 0. Smerem k nızkym kmitoctum (ωτ 1) absolutnı hodnota prenosuklesa. Asymptota ma sklon +20 dB na dekadu kmitoctu a faze prenosu ob-vodu se blızı k +90, tedy vystupnı napetı predbıha napetı vstupnı.

• ω → ∞. Pro vysoke kmitocty (ωτ 1) se absolutnı hodnota prenosuobvodu asymptoticky blızı k jednicce a faze k nule.

• Na dolnım meznım kmitoctu fd (τd = 1/ωd) je

|H| = 1√2

=

√2

2≈ 0,707, resp. A ≈ −3 dB.

ϕ = arctg(1/ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4.

32

Obvody RL

integracnı obvod derivacnı obvod

R

R L

L

U1U1 U2U2

integracnı H(jω) =1

1 + jωLR, derivacnı H(jω) =

jωLR1 + jωLR

.

33

• Popis obvodu v harmonickem ustalenem stavu je prakticky vyznamny proto,ze reprezentuje vlastnosti obvodu pro sirokou oblast pouzitı.

• Matematicky aparat pracuje s komplexnımi impedancemi a fazory tak, zeformulace popisu obvodu je velmi jednoducha, avsak omezena jen na har-monicky ustaleny stav – vylucuje vypocet prechodnych deju a popis cinnostiobvodu s neharmonickym signalem. Vyrazy s fazory (impedance, prenosy aobrazy signalu) nemohou vystupovat ve vztazıch pro casove prubehy signalu.

• Matematicky popis obvodu dovoluje formulovat komplexnı funkci kmitoctuoznacovanou jako prenosova funkce (prenos) obvodu. Z nı lze odvodit am-plitudovou a fazovou frekvencnı charakteristiku obvodu. Amplitudova cha-rakteristika je vetsinou zobrazovana v logaritmickych souradnicıch na obouosach (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutnı hodnoty prenosu vdeci-belech [dB]) a fazova charakteristika s logaritmem frekvence a linearnıstupnicı fazoveho uhlu.

34

• V kvalitativnım odhadu vlastnostı obvodu s kapacitory a induktory lze nadostatecne vysokych kmitoctech povazovat kapacitor za zkrat a induktor zarozpojeny obvod. Na dostatecne nızkych kmitoctech lze kapacitor povazovatza rozpojeny obvod a induktor za zkrat.

35