Fakultät Grundlagen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me2/z_trafo_praes.pdfZLz-Transf. L-Transf. H0(s) ist unabhängig von f(t)bzw.f(kT)! Für die z-Transformation gelten ähnliche

DefinitionAnwendungen

z-Transformation

Fakultät Grundlagen

Juli 2010

Fakultät Grundlagen z-Transformation


Übersicht

1 Definition

2 Anwendungen

Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 2


Abtastung

Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).

f (t)

stetige Funktion(zeitkontinuierlich)

{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)

Abtastung �



Abtastung


f (t)



Abtastung �

Verwendet man zusätzlich einHalteglied, das im jeweili-gen Intervall den Abtastwertf (kT ) beibehält, so erhältman eine Approximation dergebenen Funktion f (t) durchdie Treppenfunktion fT (t).

T 2T

f (t)

t

kT (k + 1)T



Abtastung


f (t)



Abtastung �


T 2T

f (t)

fT (t)

t

kT (k + 1)T



Abtastung


f (t)



Abtastung �


T 2T

f (t)

fT (t)

t

kT (k + 1)T

fT (t) =∞∑

k=0

f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}



Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)

L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]




L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]

=∞∑

k=0

f (kT )[e−kTs

s − e−(k+1)Ts

s

]




L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]

=∞∑

k=0

f (kT )[e−kTs

s − e−(k+1)Ts

s

]

= 1 − e−Tss︸︷︷︸H0(s)

·∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs




L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]

=∞∑

k=0

f (kT )[e−kTs

s − e−(k+1)Ts

s

]

= 1 − e−Tss︸︷︷︸H0(s)

·∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs

H0(s) =1 − e−Ts

s� � rT (t) . . .

Haltevorgang;unabhängig von f (t)




L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]

=∞∑

k=0

f (kT )[e−kTs

s − e−(k+1)Ts

s

]

= 1 − e−Tss︸︷︷︸H0(s)

·∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs

H0(s) =1 − e−Ts

s� � rT (t) . . .


f (kT ) · e−kTs � � Dirac-Stoß der Intensität f (kT ) bei kT




L {fT (t)} =∞∑

k=0

f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}

]

=∞∑

k=0

f (kT )[e−kTs

s − e−(k+1)Ts

s

]

= 1 − e−Tss︸︷︷︸H0(s)

·∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs

H0(s) =1 − e−Ts

s� � rT (t) . . .


f (kT ) · e−kTs � � Dirac-Stoß der Intensität f (kT ) bei kT∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs � �∞∑

k=0

f (kT ) · δ(t − kT )



z-Transformation∞∑

k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs ;




k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0

f (kT ) · e−kTs ; z = esT




k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0


� �

∞∑k=0

f (kT ) · z−k




k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0


� �

∞∑k=0

f (kT ) · z−k

Die z-Transformierte der Folge {f (kT )}; k = 0, 1, 2, . . . wirddefiniert durch die Transformationsgleichung

Z{f (kT )} = F (z) =∞∑

k=0

f (kT ) · z−k ; z ∈ C




k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0


� �

∞∑k=0

f (kT ) · z−k


Z{f (kT )} = F (z) =∞∑

k=0

f (kT ) · z−k ; z ∈ C

z-Transformation einer Zahlenfolge {Ak}:

Z{Ak} = F (z) =∞∑

k=0

Ak · z−k ; z ∈ C




k=0

f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑

k=0


� �

∞∑k=0

f (kT ) · z−k


Z{f (kT )} = F (z) =∞∑

k=0

f (kT ) · z−k ; z ∈ C

z-Transformation einer Zahlenfolge {Ak}:

Z{Ak} = F (z) =∞∑

k=0

Ak · z−k ; z ∈ C

Korrespondenzsysmbol: {Ak} � � F (z)



z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0

erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der

Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:

{f (kT )} fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}⇐⇒






{f (kT )} fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}⇐⇒

Z Lz-Transf. L-Transf.� �






{f (kT )}

F (z) =∞∑

k=0f (kT )z−k

fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}

FT (s) = H0(s) ·∞∑

k=0f (kT ) · e−kTs

⇐⇒







{f (kT )}

F (z) =∞∑

k=0f (kT )z−k

fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}

FT (s) = H0(s) ·∞∑

k=0f (kT ) · e−kTs⇐⇒

⇐⇒

z = eTs







{f (kT )}

F (z) =∞∑

k=0f (kT )z−k

fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}

FT (s) = H0(s) ·∞∑


⇐⇒

z = eTs


H0(s) ist unabhängig von f (t) bzw. f (kT ) !






{f (kT )}

F (z) =∞∑

k=0f (kT )z−k

fT (t) =∞∑

k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}

FT (s) = H0(s) ·∞∑


⇐⇒

z = eTs


H0(s) ist unabhängig von f (t) bzw. f (kT ) !

Für die z-Transformation gelten ähnliche Sätze wie für die Fourier- und

Laplace-Transformation.



Konvergenzverhalten der z-Transformation

Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0





Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω

z = eT (α+jω) = eTα · ejTω







|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0







|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0 . . . Äußere eines Kreises








Re

Im

α0

Konvergenzhalbebene








Re

Im

α0

Konvergenzhalbebene

=⇒








Re

Im

α0

Konvergenzhalbebene

=⇒ Re

Im

r0

Äußere des Ursprungskreises K (0; r0)



Beispiel

Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk

fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z

= 1

1 − 1z



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z

= 1

1 − 1z

= zz − 1



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z

= 1

1 − 1z

= zz − 1 für∣∣∣1z

∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z

= 1

1 − 1z

= zz − 1 für∣∣∣1z

∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1=⇒ {σk} � � zz − 1; |z | > 1



Beispiel


fk = σk =

{0 für k < 01 für k ≥ 0 k

1 2 3−1−2

1

σk

F (z) =∞∑

k=0

1 · z−k =∞∑

k=0

(z−1

)k. . .

geometrische Reihe

mit q = 1z

= 1

1 − 1z

= zz − 1 für∣∣∣1z

∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1=⇒ {σk} � � zz − 1; |z | > 1

Analog: {ak} � � zz − a ; |z | > |a|



Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten

dydt

≈ y(t) − y(t − T )T




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1

L[y ] = y ′ + 2y




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1

L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1

L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1

L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1

L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0Pos. 0 1 2 3 . . . z-Transformierte

{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z)




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1


{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z){fk−1} 0 f0 f1 f2 . . . � � f0 1z + f1 1z2 + f2 1z3 . . . =

F (z)z




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1



F (z)z

{fk+1} f1 f2 f3 f4 . . . � � f1 + f2 1z + f3 1z2 + f4 1z3 . . . = z · [F (z) − f0]




dydt

≈ y(t) − y(t − T )T

Diskretisierung

=⇒ y(tk) − y(tk−1)T

T=1

=⇒ yk−yk−1



F (z)z

{fk+1} f1 f2 f3 f4 . . . � � f1 + f2 1z + f3 1z2 + f4 1z3 . . . = z · [F (z) − f0]

{fk} � � F (z) =⇒{fk−1} � � 1z · F (z){fk+1} � � z ·

[F (z) − f0

]{fk+2} � � z2 ·

[F (z) − f0 − f1z

]Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9


Lineare Systeme

Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben. System�

{xk} �{yk}



Lineare Systeme

Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!

System�{xk} �{yk}



Lineare Systeme



yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m



Lineare Systeme



yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m z-Trafo �



Lineare Systeme




Y (z) ·[1 + a1

1z + . . . + an

1zn

]= X (z) ·

[1 + b1

1z + . . . + bm

1zm

]



Lineare Systeme




Y (z) ·[1 + a1

1z + . . . + an

1zn

]= X (z) ·

[1 + b1

1z + . . . + bm

1zm

]bzw.

Y (z) =

1 + b11z + . . . + bm−1

1zm−1

+ bm1

zm

1 + a11z + . . . + an−1

1zn−1

+ an1zn

· X (z) = H(z) · X (z)



Lineare Systeme




Y (z) ·[1 + a1

1z + . . . + an

1zn

]= X (z) ·

[1 + b1

1z + . . . + bm

1zm

]bzw.

Y (z) =

1 + b11z + . . . + bm−1

1zm−1

+ bm1

zm

1 + a11z + . . . + an−1

1zn−1

+ an1zn

· X (z) = H(z) · X (z)

Die Übertragungsfunktion H(z) ist eine gebrochen rationale Funktion.

Die Lage der Pole und Nullstellen bestimmt das Systemverhalten. Liegen

alle Pole im Einheitskreis, so ist das System stabil, d. h. die Antwort des

Systems auf eine beschränkte Anregung ist beschränkt.



Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1

yk + 2yk−1 = xk + xk−1




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)

Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)


H(z) = zz + 2 +1

z + 2




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)


H(z) = zz + 2 +1

z + 2

�

�

�

�

�

�

hk = (−2)k + (−2)k−1




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)


H(z) = zz + 2 +1

z + 2

�

�

�

�

�

�

hk = (−2)k + (−2)k−1

Das zur ÜbertragungsfunktionH(z) gehörende Zeitsignal {hk}ist die Impulsantwort des Systems,d. h. die zu xk = δk,0 gehörendeLösung {yk}.




yk + 2yk−1 = xk + xk−1

�

�

�

�

�

�

�

�

Y (z) + 2Y (z)

z = X (z) +X (z)

z

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

Y (z) ·[z + 2

z

]= z + 1z · X (z)

Y (z) = z + 1(z + 2)︸︷︷︸H(z)

·X (z)


H(z) = zz + 2 +1

z + 2

�

�

�

�

�

�

hk = (−2)k + (−2)k−1

Das zur ÜbertragungsfunktionH(z) gehörende Zeitsignal {hk}ist die Impulsantwort des Systems,d. h. die zu xk = δk,0 gehörendeLösung {yk}.

Bemerkung

Stabilität bei der Laplace-Transformation: Lage aller Pole in der

Halbebene Re{s} < 0



yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2



yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)

(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)

(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)

Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)

(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)

Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)Partialbruchzerlegung: 2

(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1

z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)

(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)


(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1

z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3Y (z) = z ·

[1

z − 1 − 1z − 2 + 1z − 2]

= zz − 1 − zz − 2 + zz − 3




{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;

{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·

[Y (z) − 1 − 2z

]

z2 ·[Y (z) − 1 − 2z

]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3

Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z

2 − zz2 − 3z + 2 +

2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)

(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)


(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1

z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3Y (z) = z ·

[1

z − 1 − 1z − 2 + 1z − 2]

= zz − 1 − zz − 2 + zz − 3

Mittels Korrespondenztabelle: {yk} = {σk} − {2k} + {3k}



Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung

y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yn




y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1

y ′′−5y ′+6y = 0





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1

y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸︷︷︸ = 0





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1

y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸︷︷︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn

= 0





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0

Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


y(x) = eλx





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


y(x) = eλx

y(x) =(eλ

)x





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)y(x) = eλx

y(x) =(eλ

)x





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z y(x) = e

λx

y(x) =(eλ

)x





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z

Y (z) = zz − (λ + 1)

y(x) = eλx

y(x) =(eλ

)x





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z

Y (z) = zz − (λ + 1)

{yn} = (λ + 1)n

y(x) = eλx

y(x) =(eλ

)x





= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1


= 0


z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z

Y (z) = zz − (λ + 1)

{yn} = (λ + 1)n

y(x) = eλx

y(x) =(eλ

)xeλ = 1 + λ + λ

2

2!+ . . .



/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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Fakultät Grundlagen - Hochschule Esslingenmohr/mathematik/me2/z_trafo_praes.pdfZLz-Transf. L-Transf. H0(s) ist unabhängig von f(t)bzw.f(kT)! Für die z-Transformation gelten ähnliche