Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning

Eksamen i matematikk 102 - løsningsforslag BOKMÅL

Emnekode: MAT102 Ordinær prøve

Tid: 5 timer Dato: 1.6.2015

Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Nett

Antall sider: 4 + formelark og LK06. Totalt 20 sider.

NB. Alle svar skal begrunnes. Vis utregningene.

Oppgave 1 (vekt 20%)

a) Løs ligningen: 𝑥

3+ 6 = 2

Løsning:

𝑥

3+ 6 = 2 /∙ 3

𝑥 + 18 = 6

𝑥 = 6 − 18

𝑥 = −12

Hvis du velger å sette prøve:

VS: 𝑥

3+ 6 =

−12

3+ 6 = −4 + 6 = 2

HS: 2

VS = HS → Løsningen er korrekt

b) Løs ligningen og sett prøve på svaret: (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0

Løsning: Her kan vi gjerne bruke produktregelen som sier at dersom et produkt er lik null (slik

vi har her) så må minst en av faktorene være lik null.

Vi har to faktorer, henholdvis (2𝑥 + 1) og (𝑥 − 3).

(2𝑥 + 1) = 0 gir 𝑥 = −1

2

(𝑥 − 3) = 0 gir = 3

Løsning: = −1

2𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑥 = 3

Vi må sette prøve på begge løsningene:

Prøver = (−1

2)

VS: (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = [2 ∙ (−1

2) + 1] (−

1

2− 3) = (−1 + 1) (−

7

2) = 0 ∙ (−

7

2) = 0

HS: 0

VS = HS → Løsningen er korrekt

Side 2 av 13

Prøver = 3

VS: (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = [2 ∙ 3 + 1](3 − 3) = (6 + 1)(0) = 7 ∙ 0 = 0

HS: 0

VS = HS → Løsningen er korrekt

Vi kan også multiplisere uttrykket og bruke fullstendig-kvadraters-metode eller abc-

formelen på resultatet. Jeg viser abc-formelen:

(2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 2𝑥2 − 5𝑥 − 3

2𝑥2 − 5𝑥 − 3 = 0

gir: −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎=

5±√(−5)2−4∙2∙(−3)

2∙2=

5±√25+24)

4=

5±√49)

4=

5±7

4 𝑥 = 3 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑥 = −

1

2

c) Løs ligningssettet:

2𝑥 + 𝑦 = 9 𝑥

2− 𝑦 = 1

Merk at dette kan løses på flere måter. Vi bruker gjerne disse tre metodene:

Innsettingsmetoden, addisjonsmetoden eller grafisk. Så vil det komme strategiske

valg i dem alle sammen.

Hva som er lurest kan jo diskuteres, men innsetingsmetoden virker lurt siden vi har

henholdsvis y og –y i de to ligningene. Brøken irriterer noe. Jeg kan velge å

gange begge ligningene med 2 før jeg begynner, men tar utfordringen uten å gjøre

det:

I: 2𝑥 + 𝑦 = 9

II: 𝑥

2− 𝑦 = 1

SUM: 5𝑥

2+ 0𝑦 = 10 som gir:

5𝑥

2= 10 og x = 4

Setter inn x = 4 i ligning I: 2 ∙ 4 + 𝑦 = 9

8 + 𝑦 = 9

𝑦 = 1

Side 3 av 13

Løsningen er: x = 4 og y = 1

Løser dere begge ligningene mht y blir ligningene:

I: = −2𝑥 + 9

II: =𝑥

2− 1

Tegner dere disse to funksjonene samtidig, f.eks i Geogebra, vil dere se at de skjærer

hverandre i punktet (4,1), altså x = 4 og y = 1.

d) Vi har gitt uttrykket

𝑏3 + 𝑎(𝑏 + 3) + 1

𝑎2

Sett 𝑎 = 3 og 𝑏 = (−1) og regn ut hva verdien av brøken blir i dette tilfellet.

𝑏3+𝑎(𝑏+3)+1

𝑎2 =(−1)3+3(−1+3)+1

32 =−1+3∙2+1

9=

−1+6+1

9=

6

9=

2

3

Side 4 av 13

Oppgave 2 (vekt 20%)

Et forlag har inngått en avtale med en forfatter om utgivelse av en bok. De har avtalt at han

skal få et beløp utbetalt straks boken er klar og deretter skal han få et beløp for hver bok han

selger. Forfatteren har ikke fått med seg hva satsene er, men etter at boken har solgt i 1000

eksemplarer får han melding om at han har tjent 80 000 kroner. Etter 5000 solgte bøker får

ny melding om at han har tjent 200 000 kroner totalt på boken. Opplaget er 8000 bøker.

a) Lag et koordinatsystem der verdien på 𝑥-aksen er antall solgte bøker og 𝑦 er den tilsvarende lønnen. Tegn opp punktene i et koordinatsystem og trekk opp en linje som går gjennom punktene. Bruk dette til å finne hvor mye han tjener i grunnlønn. Dette vil si beløpet han tjener om han ikke selger noen bøker.

Løsning

Vi ser han tjener 50 000 i grunnlønn.

b) Bruk grafen til å finne ut hvor mye han tjener hvis hele opplaget selges ut.

Løsning Fra grafen i punkt a ser vi at han tjener 290 000 hvis han selger 8000 bøker. c) Finn en funksjon som beskriver sammenhengen mellom antall solgte bøker og lønnen

han får.

Side 5 av 13

Løsning Det er mange måter å løse denne på. Her er en måte. Vi vet at det er en rett linje og da må den være på formen 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Vi finner stigningstallet ut fra figuren

Vi ser at a =200000−80000

5000−1000= 30

Vi kan finne 𝑏 ved å bruke et av punktene, f. eks (1000,80000). Da får vi 80000 = 30 ∙ 1000 + 𝑏

80000 = 30000 + 𝑏

𝑏 = 50000

Funksjonen blir dermed 𝑦 = 30𝑥 + 50000

d) Bruk grafen til å finne ut hvor mange bøker han må selge dersom han skal ha en

inntekt på 140 000 kroner. Finn også svaret ved regning.

Løsning Ut i fra grafen ser vi at han må selge 3000 bøker for å få en inntekt på 140 000 kroner. Se neste side. Vi kan finne det ved regning også. 140000 = 30x + 50000

30x = 90000 som gir x = 3000

Side 6 av 13

e) Forfatteren får tilbud om et annet lønnssystem. Dette går ut på at han får 80 000

utbetalt når boken er ferdig. Han får ingenting for de 2000 første bøkene som selges, men han får 50 kroner for hver bok som selges utover de første 2000. Tegn opp grafen til funksjonen som beskriver dette lønnssystemet i samme koordinatsystem som det du brukte i spørsmål a)

Oppgave 3 (vekt 20%) Vi har funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 − 5

a) Finn funksjonens nullpunkter og funksjonens bunnpunkt ved regning.

Side 7 av 13

Løsning

Vi finner først nullpunktene

𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0

𝑥 =−(−4) ∓ √(−4)2 − 4 ∙ (−5) ∙ 1

2 ∙ 1

𝑥 =4 ∓ √36

2=

4 ∓ 6

2

𝑥 = 5 og 𝑥 = −1

Bunnpunktet ligger mitt mellom nullpunktene, altså for 𝑥 = 2

Alternativt kunne vi funnet det ved å regne ut

𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

−4

2 ∙ 1= 2

Vi beregner også tilhørende y-verdi.

y = 22 − 4 ∙ 2 − 5 = −9

b) Lag en skisse av grafen.

Løsning

Side 8 av 13

Vi har funksjonen som er gitt ved

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 +1

𝑥 + 1

c) Finn funksjonens asymptoter.

Løsning

Funksjonen har to asymptoter. Den ene som er den vertikale finner vi når nevneren er lik 0,

med andre ord når 𝑥 = −1. Den andre vil være en skråasymptote. Vi ser at hvis 𝑥 → ∞ vil

𝑓(𝑥) → 𝑥 − 2 slik at 𝑦 = 𝑥 − 2 blir en skråasymptote.

d) Lag en skisse av grafen.

Løsning

Side 9 av 13

Oppgave 4 (vekt 20%)

Du spør noen tilfeldige skoleelever om hva de får i lommepenger i uken. Resultatet ser du

under

Kari 170 kroner

Ole 110 kroner

Truls 50 kroner

Ida 80 kroner

Petter 90 kroner

a) Lag et søylediagram og sektordiagram som viser hvor mye skoleelevene fikk i

lommepenger. (Hvis du mangler gradskive, holder det å lage en skisse av

sektordiagrammet. Men du må vise hvordan du kommer frem til gradene i

diagrammet. )

Løsning

Her er søylediagram

Størrelsen på sektordiagrammet beregnes slik

Kari: 170

500∙ 360 = 122,4𝑜

Ole: 110

500∙ 360 = 79,2𝑜

Truls: 50

500∙ 360 = 36,0𝑜

Ida: 80

500∙ 360 = 57,6𝑜

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Kari Ole Truls Ida Petter

Side 10 av 13

Petter: 90

500∙ 360 = 64,8𝑜

b) Gir det mening å sette opp et sektordiagram over disse tallene? Begrunn svaret ditt.

Løsning

Søylediagrammet gir mest mening. Sektordiagrammet gir et inntrykk av at det kun er fem

elever på skolen, evt. at disse elevene på en annen måte utgjør en helhet. Men det gjør

de ikke. De er kun et tilfeldig utvalg av blant en større gruppe elever. Sektordiagram gir

mening når utvalget utgjør en helhet. F.eks. kan man ved stortingsvalg se på hvilke

partier som tilsammen har over 50 % oppslutning i folket.

c) Hvor mye får elevene i gjennomsnitt i lommepenger? Finn også median og

standardavviket.

Løsning

Median: Stiller opp tallene fra minst til størst:

50 80 90 110 170

Medianen er 90 kroner.

Gjennomsnitt: 50+80+90+110+170

5 kroner = 100 kroner.

Standardavvik:

√(50−100)2+(80−100)2+(90−100)2+(110−100)2+(170−100)2

5≈ 40 kroner

d) I en annen større undersøkelse som er gjort ved en av landets skoler viser det seg at

elevene får 100 kroner i gjennomsnitt i lommepenger. Standardavviket er 80 og

170

11050

80

90

Kari Ole Truls Ida Petter

Side 11 av 13

antall elever ved skolen er 200. Hvordan vil du beskrive hva elevene får i

lommepenger ved denne skolen.

Løsning

Her er standardavviket ganske stort i forhold til gjennomsnittet. Her er det stor variasjon.

Det betyr at det er mange som får lite i lommepenger (nesten ingenting) og mange som

får ganske mye i lommepenger (gjerne et hundre kroner). Det er relativt få som ligger

rundt gjennomsnittet.

Oppgave 5 (vekt 20 %)

a) Skriv opp definisjonen på en sannsynlighetsmodell. Hva vil det si at

sannsynlighetsmodellen er uniform?

Løsning

En sannsynlighetsmodell er et utfallsrom U med sannsynligheter knyttet til hver

begivenhet slik at følgende er oppfylt:

1. For en vilkårlig begivenhet A er 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.

2. 𝑃(𝑈) = 1.

3. For en begivenhet, f.eks. 𝐴 = {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3}, er 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑢1) + 𝑃(𝑢2) + 𝑃(𝑢3).

Det vil si at sannsynligheten for en begivenhet A er lik summen av

sannsynlighetene til hvert av utfallene i A.

Sannsynlighetsmodellen er uniform hvis det er lik sannsynlighet for hvert av utfallene i

utfallsrommet.

b) Hvordan regner vi ut ordnet utvalg uten tilbakelegging? Gi et eksempel der dette

brukes.

Løsning

Et typisk eksempel på en slik oppgave kan være denne. I VM i skiskyting er det 9 utøvere i

Norge sinn tropp. Til stafetten skal det plukkes ut 4 løpere. Hvor mange forskjellige

måter kan laget settes opp på? (Her tenker vi at det er forskjell om Bjørndalen går f. eks

1. etappe og f. eks 4. etappen)

Oppgaven kan løses på to måter. Først bruker vi sunn fornuft og logisk tenkning. På 1.

etappen har vi 9 alternativer. På den neste etappen er det kun 8 løpere igjen. Hver av de

8 løperne kan kombineres med de mulige løperne for 1. etappen. Med andre ord er det

9 ∙ 8 = 72 muligheter for de to første etappene. Tar vi med 3. og 4. etappe får vi

9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 mulige kombinasjoner.

Side 12 av 13

Andre alternativet er å se i formelsamlingen. Det står det at antall kombinasjoner er

𝑛!

(𝑛−𝑘)!

Med våre tall gir det

9!

(9 − 4)!=

9!

5!=

9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1= 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024

På NRKs kanaler skal 25 % av tekstingen være på nynorsk, etter et stortingsvedtak fra 1970. I

praksis varierer dette fra kanal til kanal, men vi skal i denne oppgaven anta at andelen ligger

på akkurat 25 %. Vi antar også at det ikke kunngjøres på forhånd hvilke programmer som

tekstes på nynorsk og at programmene som skal tekstes på nynorsk plukkes tilfeldig ut av

NRK. En kveld viser NRK2 din favorittfilm, den finske blockbusteren Näkymätön Elina.

c) Vi lurer på hva sannsynligheten er for at denne filmen tekstes på nynorsk. Hvis vi lar

utfallsrommet være U = {tekstingen er på bokmål, tekstingen er på nynorsk}, gir dette

oss da en uniform sannsynlighetsmodell eller ikke? Begrunn svaret.

Løsning

Den gir ikke en uniform sannsynlighetsmodell. Sannsynligheten for at du får teksting på

bokmål, er 75 %, og dette er forskjellig fra 25 %, som er sjansen for at du får teksting på

nynorsk

Oppfølgerne, Näkymätön Elina 2 og Näkymätön Elina 3, skal vises de to påfølgende kveldene.

d) Hva er sannsynligheten for at alle tre filmene blir tekstet på nynorsk?

Løsning

Vi finner sannsynligheten ved å regne ut

𝑃(𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑒 𝑝å 𝑛𝑦𝑛𝑜𝑟𝑠𝑘) = 0,253 = 0,0156

På Dagsrevyen kan man regne med at det er seks innslag i løpet av en sending som blir

tekstet. Hvert innslag kan tekstes på enten bokmål eller nynorsk.

e) Regn ut sannsynligheten for at minst ett av disse innslagene tekstes på nynorsk.

Løsning

Vi finner sannsynligheten ved å regne ut

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑡 𝑝å 𝑛𝑦𝑛𝑜𝑟𝑠𝑘) = 1 − 𝑃(𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑝å 𝑏𝑜𝑘𝑚å𝑙) = 1 − 0,756 = 0,8220

Side 13 av 13

Formelark

Ettpunktsformelen: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑘 ⋅ (𝑥 − 𝑥1)

Topunktsformelen: 𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1⋅ (𝑥 − 𝑥1)

Andregradsligninger

Hvis 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, er

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎.

Alternativt, hvis 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, er

𝑥 = −𝑝

2± √(

𝑝

2)

2

− 𝑞.

Standardavvik

𝑆 = √(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + (𝑥3 − �̅�)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛

Gjennomsnittlig absoluttavvik

ga =|𝑥1 − �̅�| + |𝑥2 − �̅�| + |𝑥3 − �̅�| + ⋯ + |𝑥𝑛 − �̅�|

𝑛

Ordnet trekning med tilbakeleggning: 𝑛𝑘

Ordnet trekning uten tilbakeleggning: 𝑛!

(𝑛−𝑘)!

Uordnet trekning uten tilbakeleggning: (𝑛𝑘

)