Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za reakcijsko inženjerstvo i katalizu

ANALIZA I MODELIRANJE EKOPROCESA

Prof. dr. sc. Bruno ZelićE-mail: bzelic@fkit.hr

Dr. sc. Anita ŠalićE-mail: asalic@fkit.hr

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

1. E. Holzbecher: Environmental Modeling using Matlab®, Springer-Verlag, Berlin, 2007.

2. J. Mikleš, M. Fiklar: Process Modeling, Identification and Control, Springer-Verlag, Berlin, 2007.

3. I. Plazl, M. Lakner: Uvod v modeliranje procesov, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 2004.

4. J. B. Snape, I. J. Dunn, J. Ingham, J. E. Prenosil: Dynamics of Environmental Bioprocesses, VCH, Weinheim, 1995.

5. K. T. Valsaraj: Elements of Environmental Engineering, Thermodynamics and Kinetics, Lewis Publishers, Boca Raton, 2000.

6. W. W. Nazaroff: Environmental Engineering Science, John Wiley & Sons, New York, 2001.

7. A. Šalić, A. Jurinjak Tušek, B. Zelić: Modeling of Environmental Processes, U: V. Tomašić, B. Zelić (ur.): Environmental Engineering, Basic Pinciples, De Gruyter, Berlin, 2018.

Literatura

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

1. KonzultacijeKonzultacije iz kolegija Analiza i modeliranje ekoprocesa održavat će se prema dogovoru (elektroničkom poštom).

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

PredavanjaSrijeda 1200 – 1400 MKM-20

Seminari i vježbe*

Četvrtak 1100 – 1400 UR

*početak – 5. ožujka 2020.

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

2. NastavaPredavanja i seminari u učionici za računala su obavezni. Uvjet dobivanja potpisa jeste prisustvovanje na minimalno 75 % svih nastavnih aktivnosti.

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

3. Načini provjere znanja1. Parcijalni kolokviji i seminarski rad2. Pismeni i usmeni ispit

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

4. Seminarski rad i kolokviji*Seminarski rad – 35 bodova (potpunost izvješća 10 bodova, točnost rješenja 10 bodova, usmeno izlaganje 15 bodova)**Kolokviji (dva po obradi pojedine cjeline) – 50 bodova (svaki 25 bodova)

*seminarski zadatak – 9. travnja 2020.** I. kolokvij – 8. travnja 2020., II. kolokvij – 27. svibnja 2020.

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

5. Dodatni bodovi1. Uredno prisustvovanje nastavi boduje se s maksimalno

5 bodova (75 % - 0 bodova, 100 % - 5 bodova)2. Iz domaćih zadaća moguće je prikupiti maksimalno 10

bodova (4 domaće zadaće po 2,5 boda svaka)

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

6. a) Ispitni kriterij – oslobađanje od ispita tijekom semestraUkupan broj bodova u semestru: 100Maksimalno ostvareni broj bodova (najbolji student) = x (x = 90)Minimalno ostvareni broj bodova = 0Ostvareni broj bodova studenta = y (y = 59) – ocjena nedovoljanNormalizirani broj bodova studenta = y/x×100 (59/90×100 = 65,55 – ocjena dovoljan)

*Bodovi Ocjena60,00 – 69,99 dovoljan (2)70,00 – 79,99 dobar (3)80,00 – 89,99 vrlo dobar (4)90,00 – izvrstan (5)*normalizirani bodovi

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

6. b) Ispitni kriterij – pismeni i usmeni ispitPismeni ispit: 3 računska zadatkaUkupan broj bodova na pismenom ispitu: 100Usmeni ispit: popravljanje ocjene pismenog ispita

Bodovi Ocjena60,00 – 69,99 dovoljan (2)70,00 – 79,99 dobar (3)80,00 – 89,99 vrlo dobar (4)90,00 – izvrstan (5)

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

OBAVIJESTI

7. Prijava ispitaIspit je potrebno prijaviti dva dana prije ispitnog roka.Studenti ne mogu pristupiti polaganju ispita bez dobivenog potpisa.

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

PRIMJER LOŠEG POKUŠAJA ELEKTRONIČKOG PREPISIVANJA!!!

Cilj kolegija

Upoznati studente s temeljnim pojmovima vezanim uz modeliranje i analizu ekoprocesa. Definirati osnovna načela koja se primjenjuju u matematičkom modeliranju ekoprocesa, te sustavno prikazati korake izgradnje modela ekoprocesa na konkretnim primjerima.

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Matematički model (eko)procesa je matematički (kvantitativni ikvalitativni) izraz (matematičke jednadžbe, statističke relacije,računalni programi) kojima se određuje interakcija okoline (ulazneveličine) i stanja sustava (veličine stanja) i svrha upravljanja (izlazneveličine).

Postoje dva pristupa razvoju matematičkih modela procesa; prvi je,razvoj jednostavnog modela u kojemu nema značajnijih pogrešaka, idrugi, razvoj tako kompleksnog modela u kojemu uopće nemapogrešaka. Prvi pristup je puno teži. (C.A.R. Hoar)

Matematički model (eko)procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

- oponašanje realnosti;- opisivanje nematematičkih sustava u matematičkom izričaju;- aproksimacija procesa iz realnog svijeta, koji je često izrazitokompleksan i djelomično razumljiv. Modeli zbog toga nisu ni dobrini loši, već moraju ispuniti prethodno definiranu svrhu;- proces neprekidnog razvoja. Preporučljivo je započeti sopisivanjem procesa u najjednostavnijem obliku, a kompleksnostianaliziranog sustava unositi tijekom razvoja modela;- “umjetnost” i zbog toga vrlo bitan proces učenja.

SVI MODELI SU NETOČNI, SAMO NEKI SU KORISNI! (I. Plazl)

Matematički model (eko)procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Razvoj matematičkog modela procesa prije vremena računala

Zašto ANALIZA i modeliranje ekoprocesa?

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Razvoj matematičkog modela procesa danas

*numeričko rješavanje postavljenog matematičkog modela procesa

problem analiza matematički model *računala rješenje

1. limit! 2. limit!

problem analiza matematički model rješenje*računala

1. limit!

Multidisciplinarnost matematičkog modeliranja procesa

TEHNIČKEZNANOSTI MATEMATIKA

RAČUNARSKEZNANOSTI

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Koraci u modeliranju procesa

REALNI PROCES

MATEMATIČKI MODEL

OCJENA VALJANOSTI

MATEMATIČKO RJEŠENJE

1

2

34

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Područja primjene modela u procesnom inženjerstvu

- projektiranje procesa- vođenje procesa- pronalaženje nedostataka u procesu- sigurnost procesa- trening i učenje operatera- zaštita okoliša

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

1. Fizički modeli2. Apstraktni modeli

Podjela modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Fizički modeli- trodimenzionalne preslike realnih sustava- statične strukture, primjerice smanjene kopije realnih objekata,imitacijski modeli (modeli atomskih struktura, molekula i sl.)- analogni modeli, fizički modeli s dinamičkim značajem, prototipi(primjerice smanjenje kopije laboratorijskih uređaja, pilotnapostrojenja, minijaturne željeznice i sl.)

Podjela modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

analogni model prototiprealan sustav

Apstraktni modeli- mentalni

- oblikuju se u ljudskoj svijesti i sadrže subjektivnu predstavu svakogdogađaja u realnom svijetu

- simbolični- matematički- nematematički

Podjela modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Nematematički modeli- teško dobivanje jednoznačne i precizne informacije o procesu

- verbalni (izrečeni ili dokumentirani opisi događaja, pokusa i sl.)- grafički (crteži, grafovi i sl.)- shematski (procesne sheme, dijagrami toka, zemljovidi, nacrti i sl.)

Matematički modeli- najvažniji i najčešće korišteni

Simbolični modeli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Nematematički modeli

Simbolični modeli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

verbalni

Struja svježe otpadne vode se miješa sa povratnim tokom aktivnog mulja i uvodi u seriju od dva aeracijska bazena za biološku oksidaciju organskog materijala. Svaki od aeracijskih bazena radi pri prosječnom vremenu zadržavanja od 6 sati. Za održavanje minimalne koncentracije otopljenog kisika na razini od 2 mg dm-3 koristi se sustav za aeraciju. Sedimentator se koristi za uklanjanje biomase i njeno zgušnjavanje na otprilike 10 g dm-3. Kapljeviti produkti se obrađuju na filtru sa poroznim materijalom kako bi se uklonile sve preostale suspendirane čestice. Sediment (aktivni mulj) se koncentrira na tračnoj filtar preši tako da sadrži 15 % (masenih) krutih čestica. Uklonjena voda koja sadrži mali udio biomase i otopljenih krutih tvari, vraća se u aeracijske bazene. Koncentrirana struja otpadnog aktivnog mulja se suši u struji zraka tako da se kao produkt dobiva koncentrirana suha otpadna biomasa, u kojoj je udio čvrstih čestica 35 %.

Nematematički modeli

Simbolični modeli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

grafički

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.1250

30

60

90

120

150

t [

h]

qV,S [m3 m-3]

- ovisnost ukupnog vremena zadržavanja biomase o specifičnom protoku zraka (m3 zraka po m3

otpadne vode)

Nematematički modeli

Simbolični modeli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

shematski

P-1 / AB-101Aerobna biooksidacija 1

P-2 / AB-102Aerobna biooksidacija 2

S-101

P-3 / CL-101Sedimentacija P-4 / GMF-101

Filtracija kroz porozni sloj

S-102

S-103S-104

S-105 S-106

S-107

S-108

S-109

P-5 / BF-101Filtracija

P-6 / SLDR-101Sušenje

P-7 / FSP-101Razdjelnik protoka

S-110

S-111

P-8 / MX-101Mixing

S-113

S-115

S-116

S-117

S-118

S-119

S-120 S-121

S-122

S-112

S-114

Analitički modeli- izvedeni iz fundamentalnih zakona fizike, kemije i biologije- izraženi sustavom (parcijalnih) diferencijalni jednadžbi kojima seodređuje tijek odvijanja procesa za zadane početne uvjete i tijekpromjene ulaznih veličina- rezultat brojnih eksperimentalnih istraživanja i primjene složenihmatematičko-statističkih metoda analize i ocjene valjanosti- vrlo velika cijena razvoja ovakvih modela za industrijske procese

Neanalitički modeli- jednostavni- razvoj se zasniva na analitičkom znanju, ali i na iskustvu eksperata- potrebne banke podataka, velika osjetljivost na nepoznateporemećaje ulaznih veličina i parametara procesa

Podjela matematičkih modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela analitičkih modela

Analitički modeli

Deterministički Stohastički

Distribuirani Usredotočeni

Linearni

Nelinearni

Diskretni

Kontinuirani

Linearni

Nelinearni

Populacijski

Usredotočeni

Distribuirani

Prijenosne funkcije

Dif. jednadžbe

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela neanalitičkih (empirijskih) modela

Neanalitički modeli

Regresijski

Neuralne mreže

Neizrazita logika

Ekspertni sustavi

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Regresijski modeli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

01

ni

ii

y a a x=

= + ×å

Podjela neanalitičkih modela

Neuralne mreže

ulazne veličine

izlazneveličine

n “sakrivenih” slojeva neuralne mreže

Neizrazita logika- ili zamućena logika (fuzzy logic) služi za opis nepouzdanih podataka i znanja- omogućuje modeliranje semantičkih (semantikos – koji označava, koji znači)neodređenosti govornog jezika

PrimjerDobro plaćeni stručnjak! (Čaša je polupuna ili poluprazna)

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela neanalitičkih modela

Izrazita logika- stručnjak koji prima 1900 € nije dobroplaćen, a stručnjak koji prima 2100 € jedobro plaćen- objekti koji se gotovo ne razlikuju sesvrstavaju u umjetne kategorije- izraziti opis nekog semantičkog ideala(kategorije)

Neizrazita logika- podrazumijeva se da je stručnjak kojiprima 2100 € u većem stupnju u kategorijidobro plaćenih stručnjaka od onog kojiprima 1900 €- neizrazitost je procjena mjere pripadanjapojedinom semantičkom idealu (kategoriji)- čovjek se u razmišljanju koristi “mekšim”kategorijama između kojih postoji postepeniprijelaz- različiti ljudi – različite kategorizacijeplaćenosti stručnjaka

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1

stup

anj p

ripa

dnos

ti sk

upu

mjeseèna plaæa [€]

loše plaæeni dobro plaæeni izvrsno plaæeni

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela neanalitičkih modelaIzrazita logika- čvrsto definirane granice pripadnosti- objekt može ili ne mora pripadati jednomskupu- objekt pripada samo jednom skupu

Neizrazita logika- objekt pripada skupu u određenoj mjeri(stupnju)- objekt može pripadati većem brojuskupova u različitoj mjeri (stupnju)

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

1izvrsno plaæenidobro plaæeni

stup

anj p

ripa

dnos

ti sk

upu

mjeseèna plaæa [€]

loše plaæeni

ne pripada pripada

Ekspertni sustavi- računalni programi koji sadrže određena specifična znanja iz jednog ili više područja znanosti - najčešći oblik ekspertnih sustava sastoji se od seta pravila po kojima se analiziraju informacije (koje su najčešće pružene od strane korisnika) o specifičnoj vrsti problema, ali i pružanja matematičke analize problema- najzastupljenije područje umjetne inteligencije- sustavi koji oponašaju znanje eksperta- inteligentni programi na računalima koji koriste znanja i postupke zaključivanja, kako bi se riješili teški zadatci, kad oni zahtijevaju znatnu ljudsku stručnost.- kao model znanja nužnog za tu razinu može se zamisliti sveukupno stručno znanje najboljih praktičara na nekom polju rada

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela neanalitičkih modela

Statički modeli- nema promjene veličina stanja u vremenu

Dinamički modeli- promjena vrijednosti veličina stanja je funkcija vremena

Podjela modela prema vremenskoj zavisnosti

d 0dyx=

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

d 0dyx¹

Jednodimenzijski modeli- veličine stanja funkcija samo jedne nezavisne varijable- obične diferencijalne jednadžbe

Višedimenzijski modeli- veličine stanja zavisne o više nezavisnih varijabli- parcijalne diferencijalne jednadžbe

Podjela modela prema broju nezavisnih varijabli

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

2

2

d dd dy zx x

a= ×

2

2

y zt x

a¶ ¶= ×

¶ ¶

1. Mehanistički

2. Eksperimentalni

3. Kombinirani modeli

Podjela matematičkih modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Podjela matematičkih modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

mehanistički (white box modeli)

ulaz izlazPrijenos tvari: difuzija

Prijenos topline: kondukcija

eksperimentalni (black box modeli)

ulaz izlaz

kombinirani (white box modeli)

ulaz izlazPrijenos tvari: difuzija

Prijenos topline: kondukcija

Od realnosti do matematikePretvorba realnog procesa u matematički jezik:- kakvo je naše poznavanje procesa?- u koju svrhu ćemo upotrijebiti model?- koje pojave i/ili mehanizmi su prepoznati u sustavu?- koja vrsta modela se traži?- na koji način model mora biti strukturiran i dokumentiran?- koliko model mora biti točan?- koji podaci o sustavu su raspoloživi i koliko su pouzdani?- koji su ulazi i izlazi iz promatranog sustava i koje su smetnjemožebitno prisutne?

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Matematičko rješenje- da li je model rješiv?- koja numerička (analitička) metoda je primjerena?- u kakvom obliku želimo prikazati rezultate (dvodimenzionalan,trodimenzionalan prikaz)?- kakvu osjetljivost rješenja očekujemo s obzirom na promjenuvrijednosti parametara procesa i ulaznih podataka?

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Ocjena valjanosti modela (rezultata simulacija) - koju metodu ćemo primijeniti za usporedbu procesa i modela(statistička ocjena)?- da li model dovoljno dobro opisuje proces, a da ga možemo korisnoprimijeniti?- što treba promijeniti u modelu ako ocjena valjanosti nije bilauspješna?- kakvo pojednostavljeno je moguće i smisleno?- koja kvaliteta i kvantiteta podataka je potrebna za provedbuocjene valjanosti modela?- kolika točnost je potrebna?- koliko je model osjetljiv na promjenu ulaznih veličina i parametaraprocesa?

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena rezultata modela u realnom procesu - da li su rezultati modela nužni za neposrednu (on-line) primjenu usvrhu vođenja, upravljanje i/ili optimizacije procesa, te da li jebrzina procesiranja podataka ključan čimbenik što nužno vodi kapojednostavljenju modela?- tko će upravljati modelom i u kakvom obliku trebaju biti prikazanirezultati?- kako produžavati primjenjivost modela?- koliki je obim dokumentacije modela potreban?

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u projektiranju procesa- mogućnost analize pri projektiranju novih procesa- tehničke, ekonomske i eko ocjene procesa- analiza utjecaja procesnih parametara na karakteristike procesa- optimizacija procesa temeljena na strukturnim i parametarskimpromjenama- dinamička analiza procesa- optimalno smanjenje otpadnih tokova i emisija procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u vođenju procesa- kontrola sustava za vođenje i upravljanje procesa- optimizacija sustava upravljanja šaržnih procesa- optimizacija sustava upravljanja višestupnjevitih procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u pronalaženju nedostataka procesa

- otkrivanje uzroka slabe kvalitete produkta/procesa- otkrivanje nepravilnosti u procesu

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u razvoju sigurnosti procesa- otkrivanje opasnih područja u procesnom prostoru- pronalaženje spleta okolnosti koji vode ka incidentu u procesnomprostoru- razvoj postupaka potrebnih za uklanjanje posljedica incidenata uprocesnom prostoru

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u treningu i učenju operatera- simulacija prekidanja procesa u slučaju incidenta- trening odziva procesa u slučaju opasnosti- učenje vođenja procesa u slučaju iznenadnih promjena parametaraprocesa i/ili ulaznih veličina

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Primjena modela u zaštiti okoliša- izračunavanje brzine emisija- predviđanje širenja onečišćenja u zraku, vodi i/ili tlu- ocjena ekoloških, ekonomskih i socijalnih posljedica onečišćenja iteških nesreća (požar, eksplozija i sl.)

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Deterministički modeli- temeljna vodilja pri opisivanju problema je veza uzroka (ulaznihveličina i parametara procesa) i posljedice (izlaznih veličina)- vjerojatnost pojave nekog događaja/poremećaja ne igra nikakvuulogu- za isti ulazni niz podataka uvijek daju isti rezultat

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Stohastički modeli- nastaju kada pri opisu procesa za pojavljivanje prirodnih slučajnihdogađaja koristimo statističku vjerojatnost- veza između promjenjivih veličina koje karakteriziraju proces(ulazi, izlazi, procesni parametri) su također definirane pomoćustatističkih vrijednosti- za isti niz ulaznih podataka rezultat ne mora uvijek biti isti- stupanj utjecaja i dinamike pojavljivanja šumova i poremećaja(uvijek prisutni) u nekom procesu ključan čimbenik izbora izmeđudeterminističkih i stohastičkih modela

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Prema zavisnosti o prostornim koordinatama

Modeli s distribuiranim (raspodijeljenim) parametrima procesa/veličinama stanja- postoji prostorna ovisnost parametara procesa/veličina stanja- primjerice procesi sa neidealnim miješanjem

Modeli s usredotočenim (homogenim) parametrima procesa/veličinama stanja- ne postoji prostorna ovisnost parametara/veličina stanja- primjerice procesi sa idealnim miješanjem

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Prema zavisnosti o prostornim koordinatama

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Modeli s distribuiranim parametrima procesa

tT1 ¹ T2 ¹ T3c1 ¹ c2 ¹ c3

Modeli s usredotočenim parametrima procesa

tT1 = T2 = T3c1 = c2 = c3

Prema načinu matematičkog opisa procesaKontinuirani- diferencijalne jednadžbe- jednadžbe varijabli stanja u matričnom obliku- prijenosne funkcije- frekvencijske karakteristike

Diskretni- jednadžbe diferencija- jednadžbe diskretnih varijabli stanja u matričnom obliku- prijenosne funkcije u Z području

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Linearni- model je linearan obzirom na nezavisne varijable/parametre modela ako prvaderivacija odziva procesa (zavisne varijable) po svakoj od nezavisnihvarijabli/parametru modela nije funkcija niti jedne nezavisne varijable/parametramodela

Nelinearni

- nelinearni obzirom na parametre modela

Prema matematičkoj strukturi

0 1 1 2 2 3 3

11

...dd

n ny a a x a x a x a xy ax

= + × + × + × + + ×

=

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

2 30 1 1 2 1 3 1 1

2 11 2 1 3 1 1

...d 2 3 ...d

nn

nn

y a a x a x a x a xy a a x a x n a xx

-

= + × + × + × + + ×

= + × × + × × + + × ×

20 1 1 1 1 2 2

1 11

d 2d

y a a x a x a xy a xa

= + × + × + ×

= × ×

Mehanistički matematički modeli- fenomenološki modeli (white box models)- temeljeni na matematičkom opisu prirodnih fenomena odnosnopojava i mehanizama kao što su prijenos tvari, topline i količinegibanja- kompleksan kvalitativni formalni zapis sustava- nužna pojednostavljenja i smislene pretpostavke pojedinihelemenata procesa, koje omogućuju kompromis između točnosti iprimjenjivosti modela- odlučujuću ulogu u razvoju ovakvih modela ima svrha modeliranja(vođenje, regulacija, optimiranje, simuliranje i sl.)- direktno ne koriste eksperimentalne rezultate- eksperimentalni rezultati se koriste posredno za određivanjevrijednosti procesnih parametara

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Eksperimentalni matematički modeli- black box models- posljedica pomanjkanja inženjerskih znanja o realnom sustavu- za izgradnju modela koriste se izmjereni podaci o ulaznim iizlaznim veličinama promatranog procesnog sustava- matematičku strukturu i parametre modela određuje se na temeljuizjednačavanja odziva modela s mjernim odzivom realnog procesapri istim vrijednostima ulaznih veličina i poremećaja- problemi u razdvajanju mjernog signala (sadrži šumove) odkorisnog, i izboru pobuda koji su neophodni za prikupljanjepotrebnih informacija o proučavanom procesu

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje

Kombinirani matematički modeli- grey box models- modeli koji se koriste u praksi su vrlo rijetko ili mehanistički ilieksperimentalni- najčešći, koriste dobre strane mehanističkih i eksperimentalnihmodela- na temelju inženjerskih znanja o realnom procesu definira sestruktura modela i ocijeni vrijednost nekih procesnih parametara- razvoj modela završava upotrebom eksperimentalnih rezultata- procjena kinetičkih i transportnih mehanizama i njihovihparametara- ocjena valjanosti modela s obzirom na specifičnosti proučavanogrealnog procesa

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Uvodno predavanje