Fale stojące w strunach

WprowadzeniePrzeczytajAnimacja 3DSprawdź sięDla nauczyciela

Czy to nie ciekawe?Muzyka towarzyszy człowiekowi od tysiącleci. Jedną z najbardziej popularnych kategoriiinstrumentów jest grupa instrumentów strunowych. Dźwięk powstaje w nich dziękidrganiom strun pobudzanych przez muzyka. Przyjemna dla ucha melodia jest zasługąpowstawania na strunach instrumentu fali stojącej.

Twoje cele

dowiesz się, czym są węzły i strzałki fali stojącej,poznasz zależność między częstotliwością podstawową fali stojącej a jejwielokrotnościami,zrozumiesz wpływ cech fizycznych struny na wytwarzany przez nią dźwięk,zastosujesz poznane zależności do rozwiązywania zadań.

0802 Fale stojące w strunach

Przeczytaj

Warto przeczytać

Struny

Podstawowymi elementami wielu instrumentów muzycznych, takich jak fortepian, gitaraczy skrzypce są struny (Rys. 1.). Mogą one być stalowe – jak w fortepianie, czy nylonowe –jak w gitarze. Dawniej struny wykonywano także z odpowiednio preparowanych jelitzwierzęcych. Struny są zamocowane na dwóch końcach.

Rys. 1. Skrzypce. [Źródło: Just plain Bill / Public domain]

Na strunach mogą powstawać harmoniczne fale stojące (Rys. 2.). Fala stojąca jest wynikieminterferencji dwu fal o równych częstotliwościach i amplitudach, ale rozchodzących sięw przeciwnych kierunkach. Możesz dowiedzieć się więcej o ich powstawaniuz e‐materiału „Fale stojące”. W takich falach wskazane strzałkami na rysunku punkty wcalesię nie poruszają. Nazywamy je węzłami fali stojącej. Wszystkie inne punkty struny wykonujądrgania harmoniczne z tą samą częstotliwością f.

Rys. 2. Harmoniczne fale stojące na strunie o długości L. Strzałkami oznaczono węzły fali stojącej, a przez fnajmniejszą częstotliwość drgań, tzw. częstotliwość podstawową.

Częstotliwość podstawowa fal stojących na strunie instrumentu muzycznego

Najmniejsza jest częstotliwość fali stojącej dla długości   (Rys. 2.). Nazywamy jączęstotliwością podstawową, na rysunku została oznaczona symbolem f . W takiej fali nacałej długości struny L mieści się połowa długości fali.

Częstotliwość podstawowa drgań struny zależy od wielu czynników:

1. Od długości struny. Im struna dłuższa, tym połówka długości fali podstawowej falistojącej jest większa, a więc częstotliwość mniejsza. Ponieważ kontrabas służywytwarzaniu niższych dzięków, więc ma dłuższe struny od skrzypiec. Podobniemożemy zmieniać wysokość dźwięku gitary, skracając palcami drgającą część jej struny.

2. Od siły naciągu struny. Im struna bardziej napięta, tym większa jest częstotliwośćdrgań. Instrumenty strunowe – jak gitara czy fortepian – stroi się zmieniając naciągstrun.

3. Od materiału, z którego wykonana jest struna. Na przykład wzrost masy strunypowoduje obniżenie częstotliwości drgań, dlatego struna gitary basowej to żyłkanylonowa okręcona cienkim drucikiem.

Doświadczenie 1

Falę stojącą, odpowiadającą częstotliwości podstawowej łatwo zaobserwowaćw najprostszym „instrumencie strunowym” (Rys. 3.).

1

λ = 2L

1

Rys. 3. Schemat doświadczenia

Na talerzyku napnij gumkę recepturkę, tak jak to pokazuje Rys. 3a. Będzie ona strunąnaszego instrumentu. Szarpnij recepturkę palcem. Co obserwujesz?

1. W doświadczeniu zauważamy, że szarpnięta gumka drga. Ruch jest tak szybki, że okiemnie można go dokładnie prześledzić. Recepturkę widzimy przez chwilę jako rozmazanąchmurkę o kształcie przedstawionym na Rys. 3b.

2. Podczas ruchu recepturki słyszymy dźwięk.

Na podstawie obserwacji struny możemy uznać, że w przybliżeniu powstaje na niej falastojąca taka, jak na najniższym Rys. 2. Długość gumki L jest równa połowie długości tej fali,czyli .

A co będzie, jeśli tę recepturkę w taki sam sposób umieścisz na talerzyku o większejśrednicy? Czy uzyskany dźwięk będzie wyższy, czy niższy?

Wyższe częstotliwości drgającej struny

Falom stojącym z Rys. 2. odpowiadają częstotliwości

gdzie n oznacza liczbę połówek długości fali, mieszczących się w długości struny L. Jest totakże liczba miejsc, w których amplituda fali stojącej jest maksymalna. Takie punktynazywamy strzałkami fali stojącej. Węzły i strzałki występują na przemian i są od siebieoddalone o ćwierć długości fali.

Używamy następujących nazw:

1

2

λ

f

n

= n ⋅ f

1

1. Częstotliwość fali z n = 1, czyli f , nazywamy częstotliwością podstawową (albopierwszą harmoniczną).

2. Częstotliwość fali z n = 2, czyli f , nazywamy drugą harmoniczną.3. Częstotliwość fali z n = 3, czyli f , nazywamy trzecią harmoniczną, itp.

Na Rys. 4. możesz zobaczyć wypisane częstotliwości poszczególnych harmonicznych, kiedyczęstotliwość podstawowa odpowiada tonowi c , czyli jest równa 261,6 Hz.

Rys. 4. Częstotliwości kolejnych harmonicznych, gdy częstotliwość podstawowa odpowiada tonowi c

Dźwięki złożone

Dźwięki strun, pobudzonych do drgań, możemy obserwować na oscyloskopie.

Rys. 5. Obraz dźwięku tonalnego na ekranie oscyloskopu

1

2

3

1

1

Rys. 6. Obraz dźwięku fortepianu na ekranie oscyloskopu

1. Gdyby na strunie była wzbudzona tylko jedna fala stojąca, na oscyloskopieobserwowalibyśmy sinusoidę (Rys. 5.). Mówimy wtedy, że mamy do czynieniaz dźwiękiem tonalnym.

2. Na ogół jednak obserwujemy inny przebieg. Dla fortepianu przedstawia to Rys. 6.Widać, że jest to zależność periodyczna, ale nie harmoniczna.

Dzieje się tak dlatego, że przy pobudzeniu struny do drgań wzbudza się nie tylko falęo częstości podstawowej, ale równocześnie i o wyższych częstotliwościach harmonicznych.Mówimy wtedy o dźwiękach złożonych. Zasada superpozycji obowiązuje także dla falstojących.

Jako prosty przykład można rozpatrzyć złożenie drgań o dwóch częstotliwościach:podstawowej i drugiej harmonicznej z takimi samymi amplitudami. Przedstawia to Rys. 7.Widać na nim podobieństwo do rysunków 5. i 6.

Rys. 7. Złożenie drgań o dwóch częstotliwościach: podstawowej i drugiej harmonicznej z takimi samymiamplitudami

Fala stojąca

(ang.: standing wave) – fala powstała z interferencji dwóch identycznych falporuszających się w przeciwnych kierunkach. Powstaje np. poprzez szarpnięcie strunyzamocowanej na obu końcach. Można na niej wyróżnić węzły oraz strzałki.

Węzeł

(ang.: node) – miejsce o zerowej amplitudzie fali stojącej.

Strzałka

(ang.: antinode) – miejsce o maksymalnej amplitudzie fali stojącej.

Animacja 3D

Składowe harmoniczne, czyli ton i barwa dźwiękuObejrzyj animację przedstawiającą fale stojące generowane w strunie. Możesz zmieniaćdługość struny i słuchać (po naciśnięciu Play), jak zmienia się wysokość generowanegodźwięku. Zwróć uwagę na generowanie wyższych harmonicznych (alikwotów). Możeszzmieniać amplitudy składowych harmonicznych i wpływać na barwę generowanegodźwięku tak, jak to robią twórcy instrumentów.

Uwaga: Praca z animacją jest wygodniejsza po przełączeniu na widok pełnoekranowy.

Gryf gitary klasycznej. Widoczne są progi i struny

Polecenie 1

Wskaż elementy tekstu, aby otrzymać poprawne stwierdzenie.

Dwukrotne wydłużenie struny powoduje, że częstotliwość podstawowa rośnie/maleje dwarazy, a wysokość dźwięku rośnie/maleje.

Polecenie 2

Struny gitary mają jednakową długość, a różnica wysokości dźwięku jest związana z grubościąstruny. W jaki sposób uzyskać ten sam dźwięk za pomocą strun o różnej grubości? Wyszukajodpowiednie informacje w Internecie.

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Przy częstotliwości podstawowej 330 Hz możliwe kolejne harmoniczne to:

660 Hz, 990 Hz i 1320 Hz

495 Hz, 660 Hz i 825 Hz

660 Hz, 825 Hz i 990 Hz

110 Hz, 220 Hz i 440 Hz

Wskaż zdania prawdziwe.

Odległość pomiędzy węzłem a strzałką zawsze wynosi ćwierć długości fali.

Liczba węzłów i strzałek fali stojącej jest zawsze sobie równa.

Węzły są to punkty fali stojącej, które się nie poruszają.

Strzałki fali stojącej są to wektory łączące węzły z punktami zaczepienia struny.

Ćwiczenie 3

Na pewnej strunie wytworzono falę stojącą, którą przedstawiono na wykresie poniżej. Podajnumer harmonicznej tej fali.

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Odpowiedź: .

Odległość pomiędzy drugą a piątą strzałką fali stojącej na strunie wynosi 66 cm. Na całejstrunie można zaobserwować sześć strzałek. Jaką długość ma ta struna i która harmonicznazostała na niej wytworzona?

Odpowiedź: Struna ma długość m, a wytworzona została na niej

harmoniczna numer n = .

W połowie długości struny znajduje się strzałka. Ile wielokrotności długości fali znajduje sięna całej strunie, jeśli pomiędzy tą strzałką a początkiem struny znajdują się 2 węzły? (Nieuwzględniamy węzła na początku struny.)

Odpowiedź: .

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Częstotliwość podstawowa pewnej fali stojącej na strunie wzrosła 4-krotnie do wartości 960Hz. Sprawdź, czy jest możliwe, by ta struna osiągnęła częstotliwość 3360 Hz. Odpowiedźuzasadnij.

Ćwiczenie 8

Wykaż, że wzór wynika ze związku pomiędzy długością fali i okresem dla falharmonicznych:

gdzie prędkość fali jest wielkością stałą. Skorzystaj ze związku pomiędzy okresema częstotliwością:

W odległości 36 cm od początku struny znajduje się przedostatni węzeł. Jaką długość mastruna, jeśli odległość między dwiema sąsiednimi strzałkami wynosi 9 cm?

Odpowiedź: cm.

Uzupełnij

f

n

= nf

1

λ T

λ = vT

v

f =

1

T

Dla nauczyciela

Imię i nazwiskoautora:

Józef Ginter, Michał Kurek

Przedmiot: Fizyka

Temat zajęć: Fale stojące

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawaprogramowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

I. Wykorzystanie pojęć i wielkości fizycznych do opisuzjawisk oraz wskazywanie ich przykładów w otaczającejrzeczywistości.

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem prawi zależności fizycznych.

III. Planowanie i przeprowadzanie obserwacji lubdoświadczeń oraz wnioskowanie na podstawie ich wyników.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Wymagania przekrojowe. Uczeń: 4) przeprowadza obliczenia liczbowe posługując siękalkulatorem; 10) przeprowadza wybrane obserwacje, pomiaryi doświadczenia korzystając z ich opisów; planujei modyfikuje ich przebieg; formułuje hipotezę i prezentujekroki niezbędne do jej weryfikacji.

X. Fale i optyka. Uczeń : 10) stosuje zasadę superpozycji fal; wyjaśnia zjawiskointerferencji fal; podaje warunki wzmocnienia orazwygaszenia się fal.

Kształtowanekompetencjekluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzeniainformacji,kompetencje matematyczne oraz kompetencjew zakresie nauk przyrodniczych, technologiii inżynierii,kompetencje cyfrowe,kompetencje osobiste, społeczne i w zakresieumiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. wyjaśni, czym są węzły i strzałki fali stojącej.2. omówi zależność między częstotliwością podstawową

a wyższymi harmonicznymi.3. opisze wpływ cech fizycznych struny na wytwarzany

przez nią dźwięk.4. zastosuje poznane zależności do rozwiązywania zadań.

Strategie nauczania:Strategia eksperymentalno‐obserwacyjna – dostrzeganiei definiowanie problemów oraz odkrywanie rzeczywistościpoprzez eksperymenty.

Metody nauczania:- pogadanka z pokazem,- doświadczenie uczniowskie,- wykład informacyjny.

Formy zajęć: - praca indywidualna.

Środki dydaktyczne: kilkumetrowy sznur, talerzyki, gumki‐recepturki

Materiały pomocnicze: e‐materiał „Fale stojące w strunach”

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Nauczyciel przywiązuje do stabilnego przedmiotu, np. klamki od okna, sznur i wytwarzana nim falę stojącą o podstawowej częstotliwości. Następnie wytwarza na niej kolejnewyższe harmoniczne.

Faza realizacyjna:

Nauczyciel pyta uczniów, jakie widzą podobne cechy wytwarzanych fal. Naprowadzaich na znalezienie węzłów i strzałek fali oraz opisanie, czym się te punkty wyróżniają.Podobnie nauczyciel pyta o długości kolejnych powstałych fal. Następnie nauczycielpodsumowuje i porządkuje wnioski omawiając falę stojącą powstałą na sznurze.

Uczniowie wykonują Doświadczenie 1. z części „Przeczytaj” i odpowiadają na zadanepytania: A co będzie, jeśli tę recepturkę w taki sam sposób umieścisz na talerzykuo większej średnicy? Czy uzyskany dźwięk będzie wyższy, czy niższy?

Faza podsumowująca:

W ramach utrwalenia zdobytych wiadomości uczniowie rozwiązują zadania: 1, 3, 4 i 7z zestawu ćwiczeń e‐materiału.

Praca domowa:

W ramach pracy domowej uczniowie rozwiązują zadania: 2, 5 i 6 z zestawu ćwiczeńe‐materiału.

Wskazówkimetodyczne opisująceróżne zastosowaniadanego multimedium:

Animacja może posłużyć do wizualizacji zmianyczęstotliwości drgania struny w zależności od wytworzonejna niej wyższej harmonicznej i długości tej struny.