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Chap. III
A / Oscillations libres amorties :
I/ Production doscillations libres amorties :
1) Exprience et observations :
On ralise le montage suivant :
On charge le condensateur en plaant le commutateur en position 1 . En basculant le commutateur en
position 2 , et laide dun oscilloscope mmoire , on obtient les oscillogrammes suivants :
2) Interprtation :
En plaant le commutateur K en position 1 , le condensateur se charge et la tension ses bornes
augmente instantanment jusqu atteindre E .
Donc loscillogramme 1 correspond uC(t) et loscillogramme 2 correspond uR0(t) .
Dautre part , uR0 = R0.i et uC =C
q . Donc , loscillogramme 1 traduit les variations de q(t)
et loscillogramme 2 celui de i(t) .
Lamplitude des oscillations diminue au cours du temps . De telles oscillations sont dites
amorties .
Du fait que ces oscillations se produisent dans le circuit RLC sans gnrateur , elles sont dites
libres .
Bien que les extremums de q ou de i soient atteints des intervalles de temps successifs gaux ,
de telles oscillations ne peuvent pas tre priodiques cause de la diminution de lamplitude ,
elles sont dites pseudo-priodiques..
3) Conclusion :
Un circuit constitu dun diple RLC srie ferm sur un condensateur initialement charg peut tre le
sige doscillations lectriques amorties .
De telles oscillations qui seffectuent delles-mmes sans intervention extrieure ( sans G.B.F. )
sont dites libres .
Les oscillations libres amorties sont des oscillations pseudopriodiques de pseudopriode T .
Oscillations lectriques libres
R0
Y2
Y1
Masse
E
1
2
K
C
(L;r)
1/5
1
2
t
R01
t
R02
t
R03
t
R04
t
R05
II/ Influence de lamortissement :
1) Exprience et observations :
On reprend le montage prcdent et on refait lexprience avec des valeurs diffrentes de R0 tels
que R01 < R02 < R03 < R04 < R05 . On obtient alors les oscillogrammes suivants :
2) Interprtation :
Lorsque R0 augmente , les oscillations deviennent de plus en plus amorties ( le nombre total des oscillations diminue ) et la pseudopriode T augmente lgrement .
Pour des valeurs leves de R0 , les oscillations cessent dtre pseudopriodiques . Il sagit dun nouveau rgime non oscillatoire appel rgime apriodique ( rgime obtenu avec R04 et R05 ) .
3) Conclusion :
Un circuit RLC srie ferm , avec le condensateur initialement charg , ne peut osciller librement
que lorsque lamortissement est faible .
Plus la rsistance du circuit est grande , plus la pseudopriode T est grande et plus le retour de
loscillateur son tat dquilibre est rapide . Avec des valeurs leves de R , le rgime nest plus
oscillatoire , il est apriodique .
III/ Equation diffrentielle rgissant lvolution dun circuit RLC srie en rgime libre :
La loi des mailles scrit :
uC + uB + uR0 = 0
C
q + r.i + L
dt
di+ R0.i = 0
C
q + ( R0 + r ).
dt
dq+ L 2
2
dt
qd= 0
Posons R = R0 + r
Do : C
q + R.
dt
dq+ L 2
2
dt
qd= 0
2/5
R0
i
i i
C
(L;r)
uC
uR0 uB
EC ; EL ; E
t 0
EC
EL E
IV/ Energie totale dun oscillateur RLC srie :
1) Expression de lnergie totale :
Lnergie lectrostatique ( lectrique ) est : EC = 2
1
C
q2
=2
1C.uC
2
Lnergie magntique est : EL = 2
1Li2 =
2
120R
LUR0
2 .
Lnergie totale du circuit ( appele lectromagntique ) est : E = EC + EL .
A laide dun logiciel adquat , on trace les courbes suivantes :
2) Energie totale et sa non conservation :
E = EC + EL =2
1
C
q2
+2
1L.i2 .
dt
dE= 2.
2
1
C
qi + 2.
2
1 L.i
2
2
dt
qd = i.(
C
q + L
2
2
dt
qd) = -R.i2
T0
T0
q(t) ; i(t)
Qm
-Qm -0Qm
0Qm
0
t
Cest une quation diffrentielle qui admet comme solution q(t) = Qm.sin ( 0 t + q ) Donc , q(t) est une fonction sinusodale de priode propre 0T = 2pipipipi C.L et de frquence
propre N0 =LC2
1
2) Charge q et intensit i du courant :
q(t) = qm.sin ( 0 t + q )
i =dt
dq i(t) = 0 .Qm.sin ( 0 t + q + 2
) i(t) = Im.sin ( 0 t + i )
avec Im = 0 .Qm et i = q + 2
Donc , i(t) est aussi une fonction sinusodale du temps de mme priode que q(t) .
i(t) est en quadrature avance de phase par rapport q(t) .
3) Energie totale dun oscillateur LC :
a) Energie lectrostatique EC(t) :
EC(t) =2
1
C
q2
=2
1
C
Q2m sin2( 0 t + q ) = 41
C
Q2m [ 1 - cos( 2 0 t + 2q )]
Donc , EC(t) est une fonction priodique du temps de priode T = 2
T0 .
b) Energie magntique EL(t) :
EL(t) =2
1Li2 =
2
1L 20 C
Q2m sin2( 0 t + q ) = 21
C
Q2m cos2( 0 t + q ) = 41
C
Q2m [ 1 - cos( 2 0 t + 2q )]
Donc , EL(t) est aussi une fonction priodique du temps de priode T = 2
T0 .
c) Energie totale et sa conservation :
E = EC(t) + EL(t) =2
1
C
Q2m sin2( 0 t + q ) + 21
C
Q2m cos2( 0 t + q )
=2
1
C
Q2m [sin2( 0 t + q ) + cos2( 0 t + q )] = 21
C
Q2m =2
1LIm
2 =2
1CUCm
2
4/5
Cas o q =2
rad
4
T0
2
T0
34
T0
T0
EC ; EL ; E
0 t
2
1
C
Q2m =2
1LIm
2 =2
1CUCm
2
EL EC E
Cas o q =2
rad
Donc , lnergie totale emmagasine dans le circuit LC srie est constante au cours du temps .
On dit quun circuit LC srie en rgime libre est un systme conservatif .
5) Diagrammes des nergies :
5/5
EC ; EL ; E
EC
EL E
0 Qm
-Qm
q
2
1
C
Q2m
q2
EC ; EL ; E
E
EC ( droite de pente C2
1 > 0 )
EL ( droite de pente -C2
1 < 0 )
0
Qm2
2
1
C
Q2m
E
0
Im2
i2
EC ; EL ; E
EL ( droite de pente 2
1L > 0 )
EC ( droite de pente -2
1L < 0 )
2
1L.Im
2
EC ; EL ; E
EL
EC E
0 Im
-Im
i
2
1L.Im
2
EC = 2
1
C
q2
E = 2
1
C
q2+
2
1L.i2
Pour q = Qm , i = 0 E =2
1
C
Q2m
E = 2
1
C
q2+
2
1L.i2
Pour i = Im , q = 0 E =2
1L.Im
2
E = EC + EL EL = E EC
EL = 2
1
C
q2+
2
1
C
Q2m
E = EC + EL EC = E EL
EC = 2
1L.i2 +
2
1L.Im
2
EL =2
1L.i2