Upload
martha-fleming
View
57
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů. APLIKOVANÁ MECHANIKA. S T A T I K A. Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Fakulta dopravní ČVUT Praha Na Florenci 25, Praha 1 Tel. 224 214 605 E-mail [email protected]. Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Přednáška 1. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
Prof. Ing. Josef Jíra, CSc. Přednáška 1.
Prof. Ing. Josef Jíra, CSc.
S T A T I K A
Fakulta dopravní ČVUT Praha Na Florenci 25, Praha 1
Tel. 224 214 605
E-mail [email protected]
APLIKOVANÁ MECHANIKA
2
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
3
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Mechanika
klasická( Newtonova )
relativistická( Einsteinova )
kvantová( Planckova )
Pro technika je důležité:
● umět problém dobře fyzikálně formulovat do matematického tvaru
● výsledek dobře fyzikálně vyložit, rozpoznat podstatné vlivy a tomu uzpůsobit řešení daného problému.
4
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
1. ZÁKLADNÍ POJMY
Kontinuum je spojité prostředí, jehož vlastnosti lze popsat matematickými funkcemi.
Těleso je souvislá množina geometrických bodů v trojrozměrném Euklidovském prostoru, tzn., že každé dva body tělesa lze spojit čarou, jejichž všechny body patří do tělesa. Těleso má vnitřní body (tzn., že existuje okolí, jehož všechny body patří do tělesa) a hraniční body (jakékoli okolí má body patřící do tělesa a body, které do tělesa nepatří ).
5
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Prostor je geometrické kontinuum, v němž hmota existuje. Lze v něm definovat délky [ m ] a jejich součiny.
Euklidovský prostor prostor, kde metrika je definována jako vzdálenost dvou libovolných bodů A a B:
kde jsou souřadnice bodů v trojrozměrném prostoru.
2B
iAi xxs
Bi
Ai xx ,
6
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
z
x
y
z
y
x
pravotočivý souřadnicový systém( obvyklý )
levotočivý souřadnicový systém
Kartézský souřadnicový systém
Poloha a pohyb hmotného objektu jsou vztaženy k souřadnicovému systému (SS). Obvyklý souřadnicový systém používaný v mechanice je pravoúhlý, přímočarý, tzv. kartézský.
7
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Hmota je ve fyzikálním smyslu všechno, co podléhá základním zákonům mechaniky. V klasické ( Newtonově ) mechanice se hmota řídí Newtonovými zákony. Mírou množství hmoty je hmotnost ( skalár ) [ kg ].
Hmotný objekt je geometrický objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti a tvaru lze rozdělit hmotné objekty takto:
Hmotný objekt
Hmotný bodbod s
přiřazenou hmotností
Hmotná křivkageometrické body křivky
nahrazeny hmotnými body
Hmotné tělesogeometrické těleso, jehožobjem je vyplněn hmotou
8
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Dokonale tuhé těleso je hmotné těleso, které se účinkem sil nedeformuje.
Tuhá deska je hmotné těleso, jehož jeden rozměr je podstatně menší než druhé dva rozměry. tento rozměr je tloušťka desky t<a,b. Je zvláštním případem tuhého tělesa.
Čas je negeometrické kontinuum, v němž se vyskytuje hmota [ 1s ].
t
a
b
9
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Doc.Ing. Michal Micka, CSc. Přednáška 1.
SÍLA = VEKTOR VEKTOR
• Uspořádaná trojice reálných čísel, pro kterou je definována rovnost, součet a součin se skalárem. Značíme ho např. A nebo .• Vektor se znázorňuje úsečkou určité délky a určitého (orientovaného) směru.• Délkou (modulem) vektoru nazýváme jeho absolutní hodnotu
• Nulové vektory mají absolutní hodnotu rovnou nule a směr neurčitý.• Radiusvektory jsou vektory s počátečním bodem v počátku souřadnic.• Jednotkové vektory mají absolutní hodnotu rovnou jedné.• Kolineární vektory jsou rovnoběžné a touž přímkou.• Opačné vektory jsou si rovny, mají-li stejné délky a stejné (orientované) směry.
AA
A
10
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
VYJÁDŘENÍ VEKTORU POMOCÍ SLOŽEK
x
y
z
Ax
Ay
Az
A
Průměty vektoru A do tří os soustavy souřadnic x,y,z dávají vektorové složky vektoru A, které se označují Ax, Ay, Az. Má-li počáteční, resp. koncový bod vektoru A souřadnice x1, y1,z1, resp. x2, y2, z2, platí
Čísla Ax, Ay, Az se nazývají souřadnice vektoru A. Píšeme také
, , , 121212 zzAyyAxxA zyx
zyx AAAzzyyxx ,,,, 121212 A
1,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1 kji
kji zyxzyx AAAAAA ,,A
AAAA zyx 222A
Obdobně pro jednotkové vektory
Vektor A můžeme tedy zapsat těmito způsoby:
Absolutní hodnota (Pythagorova věta v prostoru)
11
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
SMĚROVÉ KOSINY
Úhly, které svírá vektor A s kladnými směry os souřadnic, dostaneme z tzv. směrových kosinů vektoru A
AAA
AAA
z
y
x
cos
cos
cos
x
y
z
Ax
Ay
Az
Práce s vektory – viz vektorový počet
12
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Axiomy statiky
A.1. Axiom o rovnováze sil Dvě síly a , které působí na tuhé těleso v jednom paprsku, mají stejnou velikost, ale jsou opačně orientovány, jsou navzájem v rovnováze (jejich účinek se ruší).Z axiomu o rovnováze sil plyne pro tuhá tělesa 1. Věta o posunu působiště síly:Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posune-li se její působiště po paprsku, v němž síla působí.! Tato věta neplatí pro netuhá ( tvárná ) tělesa !
F
F
Stejně velké opačné síly působící v jednom paprsku
F F
13
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
A.2. Axiom o rovnoběžníku sil Výslednicí dvou různoběžných sil a je síla , jejíž vektor je určen úhlopříčkou rovnoběžníku, jehož stranami jsou vektor sil a .
1F 2F R1F 2F
Grafickým znázorněním vektorového součtu sil je tzv. složkový obrazec.
1F1F
2F
2F
RR
1F
2F
R1F
2F
R
Složkový obrazec- nezáleží na pořadí skládaných
vektorůRovnoběžník sil
14
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
2. ÚČINKY SÍLY A DVOJICE SIL
2.1. Statický moment síly
Definice statického momentu síly k bodu ( k momentovému středu):
Vektorový součin polohového vektoru s počátkem v bodu S a koncem v působišti síly a vektoru síly nazveme moment síly k bodu S.
sM
r
FS
FS ,0r
FrMS
Složky vektoru vyjádříme pomocí rozvoje determinantu
SM
zyx
zyxS
FFF
rrr
kji
M det
15
Vektor směřuje na tu stranu, z níž se otáčení jeví kladné. Jednotkou je
[ Nm, kNm ].
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
sM
r
FS
FS ,0r
zyx
zyxS
FFF
rrr
kji
M det
kde jsou jednotkové vektory ve směru souřadných os, tedy
kji ,,
kMjMiM
krFrFjrFrFirFrFM
zyx
yxxyxzzxzyyzS
Velikost momentu je FrFrMS
0
sinS
M SM
SM
Dřívější definice: Statickým momentem síly F k libovolnému bodu A nazýváme součin velikosti síly F a kolmé vzdálenosti r0 paprsku síly od bodu A.
Pravidlo pravé ruky (k určení směru a smyslu momentu)
16
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Moment síly k ose (mimoběžné přímce ).
Momentová osa je mimoběžná přímka, k níž moment vztahujeme.
Velikost momentu síly k ose je skalár, daný smíšeným součinem jednotkového vektoru ve směru osy otáčení polohového vektoru , který má počátek kdekoli na ose otáčení a vektoru síly .
e
r
F
O ( momentová osa )
Ms M0
r r
0r
F
sM
FreM 0 [ Nm, kNm ]
coscossin resp. cos1 000 FrFrMMMeM ss
17
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
je-li jednotkový vektor, pak zyx eeee ,,
zezyeyxex
zyxxyyxzzxxzyyz
zyx
zyx
zyx
eMeMeM
erFrFerFrFerFrF
FFF
rrr
eee
M
0
Velmi často bývá výhodné vypočítat statický moment síly k bodu nebo k ose tak, že vektor síly rozložíme na složky a sečteme jejich momenty k ose.
F zyx FFF ,,
18
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Momentová věta ( Varignonova )
Statický moment soustavy sil k bodu ( k ose ) je dán statickým momentem výslednice k témuž bodu ( k téže ose ).
jsou 2 různoběžné síly v rovině ( mohou mít stejný průvodič ). 2,1 iF i
Důkaz:
Podle axiomu o rovnoběžníku sil 21 FFF r Dle momentové věty platí
2121 FrFrFrMMM
0 , 021 rFFFr
rFFFFFFF 2121 0
proto musí platit
2F
1F
r
S
rF
19
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
2.2. Dvojice sil Dvě stejně veliké rovnoběžné síly opačně orientované tvoří dvojici sil. Její moment k libovolnému bodu roviny je konstantní:
hFM ( h = rameno sil )
F
F
S
1h 2h
hDůkaz: vyjádříme moment dvojice sil k bodu S
hFhhFhFhFM 2121
20
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Silové dvojici lze přiřadit vektor umístěný v libovolném bodě roviny (tzv. volný vektor )
•kolmý na rovinu dvojice sil•který má velikost •směřuje na tu stranu roviny, z níž se jeho otáčení jeví kladné
FrM D
hFM
F F
FF
DM
DM
Smysl a směr vektoru dvojice sil
Dvojici sil lze přemístit do libovolné jiné roviny, která je s původní rovinou silové dvojice rovnoběžná.
F
DM
r
h
F
21
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
2.3. Redukce síly k boduRedukcí síly rozumíme úlohu, která vyjadřuje statický účinek síly na daný bod tělesa.
Výsledný účinek síly na bod ( který neleží na paprsku této síly) je silový a momentový.
F
F
F
SM FDM
r
S
h
F S
Vedeme bodem S paprsek rovnoběžný s paprskem síly a na tento paprsek umístíme dvě síly - a .Obě síly splňují axiom o rovnováze dvou sil a původní silová soustava se vlastně nezměnila, neboť jsme přidali nulovou sílu. Potom síly - a tvoří silovou dvojici a zbývá síla + s působištěm v bodu S .
F F
F FhFM FD
F
22
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Účinek síly na bod S je pak
• silový (posuvný) vyjádřený vektorem s působištěm v bodě S
• momentový ( otáčivý ) určený statickým momentem
síly k bodu S
F
SM
F
FrMM FDs
23
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Klasifikace silových soustav
Při vyšetřování silových účinků se používají následující termíny:• Soustava sil - rozumíme tím seskupení sil působících na hmotný objekt.• Svazek sil - síly působí v paprscích, které procházejí jedním bodem.• Obecná soustava sil - síly leží na paprscích, které neprocházejí jedním bodem (v prostoru např. mimoběžky).• Soustava rovnoběžných sil - paprsky sil jsou rovnoběžné, společný bod mají v nekonečnu.• Rovinná soustava sil - paprsky působících sil leží v jedné rovině.
24
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Základní úlohy řešení silových soustav
Určení výsledného účinku soustavy sil
Jedná se o nahrazení obecné soustavy sil soustavou sil
s nejmenším počtem členů.
Výsledkem skládání sil (proces nahrazování) je jediná síla, nazýváme ji výslednicí.
Výsledkem je větší počet členů (2 mimoběžné síly), nazýváme jej výsledný účinek soustavy.
25
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Stanovení podmínek ekvivalence
Znamená to nalezení takových 2 silových soustav, které mají při působení na totéž těleso stejný (ekvivalentní) účinek.
Stanovení podmínek rovnováhy
Znamená to nalezení takových 2 soustav sil, jejichž výsledný účinek je nulový.
Tyto 3 základní úlohy se nazývají také geometrie sil.
26
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů
Přednáška 1.
GEOMETRIE SIL
x
y
0
F1
F2
F3
F4
F2F1
F3
F4
0
ROVINNÁ SOUSTAVA SIL
SVAZEK SIL V ROVINĚ OBECNÁ SOUSTAVA SIL V ROVINĚ
27
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
SVAZEK SIL V ROVINĚ
x
y
0
F
Fx
Fy
Svazek sil v rovině je soustava sil, které leží ve společné rovině a protínají se v jednom bodě. Proto nevyvozují řádný momentový účinek.
Každá síla se rozloží pomocí směrových kosinů do složek ve směru souřadnicových os.
V rovině platí sincos
cosFFx sincos FFFy
Výslednice rovinného svazku sil
28
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
x
y
0
F1
F2
F3
F4
F1
F2
F3
F4
Fr0
Složkový obrazec
29
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
x
y
1F
2FiFiyF
ixFi
i
Určení výslednice
1
n
i
ir FF
Složky výslednice ve směru souřadnicových os dostaneme jako součet složek jednotlivých sil ve směru těchto os.
n
iii
n
iiiry
n
iiirx FFFFF
111
sincos cos
velikost výslednice 22 ryrxr FFF
směrové kosiny výslednicer
ryrr
r
rxr
F
F
F
F sin cos cos
30
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Ekvivalence v rovinném svazku sil
V případě rovinného svazku sil se jedná o nahrazení známé soustavy sil v rovině (resp. její výslednice) dvěma silami působícími v daných paprscích protínajících se v jednom bodu. Za počátek souřadnicového systému lze opět zvolit průsečík těchto paprsků a řešíme proto pouze rovnost výslednic sil.
2
11
2
11
j
jy
n
iiy
jjx
n
iix RFRF
V případě rovinného svazku lze sílu rozložit jednoznačně jen do dvou směrů.
31
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Rovnováha v rovinném svazku
Rovinný svazek sil je v rovnováze, když její výsledný silový účinek je nulový. Dostačují dvě součtové podmínky rovnováhy:
n
iii
n
iii FF
11
0sin 0cos
Svazek sil, který není v rovnováze, uvedeme do rovnováhy přidáním maximálně dvou sil. Opět v případě svazku sil pouze součtové podmínky rovnováhy. V rovnováze sil musí být výsledný silový účinek nulový, tedy i složky výslednice musí se rovnat nule.
0 0 2
11
2
11
j
jy
n
iiy
jjx
n
iix RFRF
32
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL
Paprsky všech sil leží v jedné rovině, avšak obecně netvoří svazek sil, tj. nemají společný průsečík.
Za souřadnicovou rovinu zvolíme xy. Provede se redukce síly v rovině k počátku souřadnic. Výsledkem je rovnoběžně posunutá síla tak, aby statický moment síly k bodu 0 byl roven
iii FrM 0
Pro jednu sílu vyjádříme statický moment ve složkách síly takto
iF
ixF
iyF
iF
iM 0
0
y
x
ir
i i
i
y
x
iiiiiiiiiiixiyzii yxFyxFyFxFMM cossincoscos0
33
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Určení výslednice v rovinné soustavě sil
Složky výslednice se dostanou opět jako součet složek všech sil v soustavě a výsledný moment jako součet momentových účinků všech sil k počátku souřadnic.
Rozepsáno ve složkách
n
iiiiii
n
iiiiiiz
n
iii
n
iiiry
n
iiirx
yxFyxFMM
FFFFF
110
111
cossincoscos
sincos cos
Výslednicí je • jediná síla v rovině xy • jediná silová dvojice , přičemž je vektor je kolmý na rovinu xy .
rF0M0M
sincos cos 22
r
ry
r
rxryrxr
F
F
F
FFFF
34
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Poloha výslednice se určí ze vztahu
yFxFM rxry 0 což odpovídá rovnici přímky 0 cbyax
Můžeme tedy určit dva body na osách x a y , kterými prochází přímka, na které výslednice leží:
rxF
M y x 0
00
ryF
M x y 0
00 na ose x
na ose y
x
y
x0
y0
0
Fr
35
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Rovnice pro výpočet výsledného účinku můžeme zapsat v maticovém tvaru
1,,31,3 nn
iFAS
kde
T
ryrx MFFS 0,,
nnnn
n
n
yxyx
A
coscos.....coscos
cos.....cos
cos.....cos
1111
1
1
36
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Ekvivalence v obecné rovinné soustavě sil
Hledáme velikosti sil v daných paprscích, které jsou ekvivalentní s výslednicí rovinné soustavy sil . Jsou jen 3 nezávislé podmínky ekvivalence a proto počet neznámých je 3 a matice je typu (3,3).
jRrF
A
1,33,31,3
3 RAS kde TRRRR 321 ,,
a inverzí
SAR1
3
s podmínkou řešitelnosti 0det 3 A
Rozepsáno ve složkách
33333
22222111110
332211
332211
cossin
cossincossin
sinsinsin
coscoscos
yxR
yxRyxRM
RRRF
RRRF
ry
rx
37
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Sílu v rovině lze rozložit nejvýše do 3 různoběžných směrů, které se neprotínají v jednom bodě.
Lze zvětšovat počet momentových podmínek ekvivalence na úkor podmínek součtových, lze tedy napsat 3 momentové podmínky, které však musí být napsány ke 3 bodům neležícím na jedné přímce.
38
FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika
Přednáška 1.
Rovnováha v obecné rovinné soustavě sil
Soustava rovinných obecných sil je v rovnováze, když její výsledný silový a momentový účinek je nulový. To je splněno za podmínky, že nulové jsou složky výslednice ve směru souřadnicových os a také výsledný moment k počátku souřadnic je nulový.
V maticovém zápisu 1,31,,3
0
nn
iFA
Jsou pouze 3 podmínky rovnováhy: 2 součtové ( lze je nahradit momentovými podmínkami ) a 1 momentová:
n
iiiiii
n
iii
n
iii yxFFF
111
0cossin 0sin 0cos