210
ﺍﻟﺘﺮﺑﻴﺔ ﻭﺯﺍﺭﺓá«fÉãdG á©Ñ£dG 10

á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

  • Upload
    others

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

تعلم فرص وتؤمن يومية، حياتية مواقف ياضيات الر سلسلة تطرح

كثيرة. فهي تعزز المهارات األساسية، والحس العددي، وحل المسائل،

الشفهي التعبير مهارتي وتنمي والهندسة، الجبر، لدراسة والجهوزية

المواد مع تتكامل وهي ياضيات. الر في التفكير ومهارات والكتابي

الدراسية األخرى فتكون جزءا من ثقافة شاملة متماسكة تحفز الطالب

على اختالف قدراتهم وتشجعهم على حب المعرفة.

تتكون السلسلة من:كتاب الطالب

كتاب المعلم

كراسة التمارين

كراسة التمارين مع اإلجابات

وزارة التربية

ISBN 978-614-406-315-6

9 7 8 6 1 4 4 0 6 3 1 5 6

يةثان

العة

طبال

يةثان

العة

طب ال

ي

ثان اليس

درا اللص

لفا

يثان

اليس

درا اللص

لف ا

ر ش

عا الف

صال

شرعا

الف

ص ال

ب طال

البتاك

ت ياض

رياال

بطال

البتاك

ت ياض

رياال

á«fÉãdG á©Ñ£dG10

Page 2: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

( ) .

. .

- -

1439 - 14382018 - 2017

Page 3: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

. . . House of Education

: ©.

( ) .

. .

. .

2017م

Page 4: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ
Page 5: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ
Page 6: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ
Page 7: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ
Page 8: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

á```````eó`≤e

احلمدهللا رب العاملني، والصالة والسالم على سيد املرسلني، محمد بن عبداهللا وصحبه

أجمعني.

جملة إلى ذلك في استندت املناهج، تطوير عملية في التربية وزارة شرعت عندما

وارتباط الدولة متطلبات راعت حيث واملهنية، والفنية العلمية واملرتكزات األسس من

ذلك بسوق العمل، وحاجات املتعلمني والتطور املعرفي والعلمي، باإلضافة إلى جملة من

وغيرها، والتكنولوجي واالقتصادي واالجتماعي القيمي بالتحدي متثلت التي التحديات

وإن كنا ندرك أن هذه اجلوانب لها صلة وثيقة بالنظام التعليمي بشكل عام وليس املناهج

بشكل خاص.

ومما يجب التأكيد عليه، أن املنهج عبارة عن كم اخلبرات التربوية والتعليمية التي تقدم

ا بعمليات التخطط والتنفيذ، والتي في محصلتها النهائية للمتعلم، وهذا يرتبط أيض

أهم من الدراسية املناهج بناء عملية أصبحت وعليه التربوية، األهداف لتحقيق تأتي

مكونات النظام التعليمي، ألنها تأتي في جانبني مهمني لقياس كفاءة النظام التعليمي،

ا أو معيارا من معايير كفاءته من فهي من جهة متثل أحد املدخالت األساسية ومقياس

جهة أخرى، عدا أن املناهج تدخل في عملية إمناء شخصية املتعلم في جميع جوانبها

اجلسمية والعقلية والوجدانية والروحية واالجتماعية.

عملية في نبدأ عندما واملناهج، التربوية البحوث قطاع في فنحن آخر، جانب من

تطوير املناهج الدراسية، ننطلق من كل األسس واملرتكزات التي سبق ذكرها، بل إننا نراها

املستجدات في البحث في ا قدم واملضي جهدنا قصارى لبذل تدفعنا واقعية محفزات

التربوية سواء في شكل املناهج أم في مضامينها، وهذا ما قام به القطاع خالل السنوات

املاضية، حيث البحث عن أفضل ما توصلت إليه عملية صناعة املناهج الدراسية، ومن ثم

إعدادها وتأليفها وفق معايير عاملية استعدادا لتطبيقها في البيئة التعليمية.

Page 9: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

ولقد كانت مناهج العلوم والرياضيات من أول املناهج التي بدأنا بها عملية التطوير، إميانا

بأهميتها وانطالقا من أنها ذات صفة عاملية، مع األخذ باحلسبان خصوصية اتمع الكويتي

املعرفة بذلك ونعني التعلم عملية جوانب تتضمن أنها أدركنا وعندما احمللية، وبيئته

الكويت، دولة في التعليم نظام مع تتوافق وجعلها بدراستها قمنا واملهارات، والقيم

مركزين ليس فقط على الكتاب املقرر ولكن شمل ذلك طرائق وأساليب التدريس والبيئة

التعليمية ودور املتعلم، مؤكدين على أهمية التكامل بني اجلوانب العلمية والتطبيقية

حتى تكون ذات طبيعة وظيفية مرتبطة بحياة املتعلم.

وفي ضوء ما سبق من معطيات وغيرها من اجلوانب ذات الصفة التعليمية والتربوية مت

اختيار سلسلة مناهج العلوم والرياضيات التي أكملناها بشكل ووقت مناسبني، ولنحقق

نقلة نوعية في مناهج تلك املواد، وهذا كله تزامن مع عملية التقومي والقياس لألثر الذي

تركته تلك املناهج، ومن ثم عمليات التعديل التي طرأت أثناء وبعد تنفيذها، مع التأكيد

على االستمرار في القياس املستمر واملتابعة الدائمة حتى تكون مناهجنا أكثر تفاعلية.

د. سعود هالل احلربي

الوكيل املساعد لقطاع البحوث التربوية واملناهج

Page 10: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

oäÉjnƒàëŸG١٠ الوحدة السادسة: هندسة الدائرة ١٢ ..................................................................................................................................................................................................................................................................... ) الدائرة ) ٦ - ١

١٤ ..................................................................................................................................................................................................................................................... ٦ - ١ (ب) مماس الدائرة

٦ - ٢ األوتار واألقواس......................................................................................................................................................................................................................................................... ٢٥

٦ - ٣ الزوايا املركزية والزوايا احمليطية .................................................................................................................................................................................................................. ٣٢

٤٢ ............................................................................................................................................................................................................... ٦- ٤ الدائرة: األوتار املتقاطعة، املماس

٥٢ الوحدة السابعة: املصفوفات ٥٤ ................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ١ تنظيم البيانات في مصفوفات

٧ - ٢ جمع وطرح املصفوفات .................................................................................................................................................................................................................................... ٦٠

٦٦ .................................................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٣ ضرب املصفوفات

٧ - ٤ مصفوفات الوحدة والنظير الضربي (املعكوسات) .................................................................................................................................................................... ٧٤

٧٩ .............................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٥ حل نظام من معادلتني خطيتني

٨٦ الوحدة الثامنة: حساب املثلثات (٢) ٨٨ ............................................................................................................................................ ٨ - ١ دائرة الوحدة في املستوى اإلحداثي والدوال املثلثية (الدائرية)

٩٥ ................................................................................................................................................................................................................. ٨ - ٢ العالقات بني الدوال املثلثية (١)

١٠٧ ............................................................................................................................................................................................................... ٨- ٣ العالقات بني الدوال املثلثية (٢)

١١٨ الوحدة التاسعة: الهندسة التحليلية ١٢٠ ............................................................................................................................................................................................................................................. ٩ - ١ املستوى اإلحداثي

٩ - ٢ تقسيم قطعة مستقيمة............................................................................................................................................................................................................................ ١٢٤

) ميل اخلط املستقيم................................................................................................................................................................................................................................. ١٣١ ) ٩ - ٣

٩ - ٣ (ب) معادلة اخلط املستقيم....................................................................................................................................................................................................................... ١٣٦

٩ - ٤ البعد بني نقطة ومستقيم...................................................................................................................................................................................................................... ١٤١

٩ - ٥ معادلة الدائرة...................................................................................................................................................................................................................................................... ١٤٣

١٥٦ الوحدة العاشرة: اإلحصاء واالحتمال ١٠ - ١ حتليل البيانات .................................................................................................................................................................................................................................................. ١٥٨

١٠ - ٢ األرباعيات ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٧٠

١٠ - ٣ االنحراف املعياري ........................................................................................................................................................................................................................................... ١٧٦

١٨٣ ............................................................................................................................................................................................................................................................ ١٠ - ٤ طرق العد

١٠ - ٥ االحتمال املشروط ........................................................................................................................................................................................................................................ ١٩٢

Page 11: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

IóMƒdGá°SOÉ°ùdG

��

á«°Sóæ¡dG ±QÉNõdGh áæjõdG º«ª°üJ »a IôFGódG ᫪gCG :IóMƒdG ´hô°ûe ������� � �I �� ��� ����� �������� � ����!� ������� "I#� $%��&�� '�(�)� ,����* $��+ -�. :/��0 �� ".��. 1

�"��2� �*�3 4���� �� �5���� U%M3 ��89 �. ;&�)� �3<� ������ �"��� �� �� "���� ;%=� '�* �. � ���&�#.$%��&�� '�(�)� .��* >������ �&�� ?��@ "�A �� !%2��� BC3 ".�(�# �� D������ E�� �* FG�� :H���� I

�������� � ����J� K%LM� "���I N�O9 ��������!=� ,�L+ ,��%LP 'C+� ,D���. "QMR ,�)! S�!�� :'T�%L�� U

:V�MM��� B%W "LX)� Y�Z!�G �� �)! $�;[ D���. "QMR \L* N�]� "M�� ��* �

,�#&� �9�� �� �.�(�#. �IF_ >�#� �M+ `2�� Z_− ,a[ ,Za ,_−[ ,Za ,_[ ,Z_ ,a[ J�9��. ����; Y �)!� b �IFY >�#� �M+ `2�� ����; Y �)!�

�� W]� c�%�� ����. NQ0�� "��!]� �9�� �� ��� N� �d � 2P $%�� ,e�%+]� f.� ���3]� NQ0�� $%�� g�h2�� �������� g�MQ�� ������� �I�P U�� ��� N�

��0* ������ $���� �. �.C)@� �&�� �. F � �� 2�� "����� D�%M(�� �MP� j=

����; �)!� :1 �%M(�� \L* c)�k! ����.�

�c��M+ �)!� �l ,������� �* 4P��� NQ0�� �)!�

°Y_ "����� ��� �� $�!�;� ������� �9�. B%W

����; �)!� :I �%M(�������� �� "IG. "�L3�;

N9 � �)!� :U �%M(���!M+]� �� = ���.

�)!� :Y �%M(�� ������ D&2�.

U�� ��* �l , "��9� �� m-�� �� 8�� �I���� ������� �. D&2� ��

�"�L3����

m-J � =� :_ �%M(�� \L* N2G�� U����

������� ��IG. �����. ��M� 9 g�h2��

N2G�� $%� �l ,�)����b%LM �� �� 2��� \L*���L* nL2W ���� ��.2��� o�*�� ,��W%�� e�!; �. � ���&�#. /��0 �� -�&�P B%W �C2&. � �����P �A :������� _

IóMƒdG ¢ShQO

�������������� e .e�%+]�� !P�]�"��9� �� ������"�M�G �� �������

!P�]� :�������e �� ,"�I�� ��

Z [1−pZb[1−pI−pU−pY−p

IôFGódG á°Sóæg

Geometry of a Circle

Page 12: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

"M�� ��* "�I�� �� !P�]� �� �P D+C�� ������� ?!3 �� ������� N3�; d�Q � �����=� B�%I� ��� F��P �;�G. c� L�P . '��(�)� D+C��� m-J ;q�r D8L8 ��� "��M� �� D8L8 �� �* ���) �M#�QP H%) ���� H!� �� �"��0� �� � ����* D��MMP �� ��W%�� m-J �. ")������ ,"�! � �� ")������ ,��%2���

�"9�G� �� !%2��� ,"��� ��

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG (áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• ���W#.� ����; F�G. ;q�r n L�P• c�0P� ��5�� �� ������ s�23� D8L8 �� V�MP DMlr n L�P

�FL8 �� � ��� �� �M��� E��� D8L8 ��• �t!%u8� "��v� ��.� ,"������ ��+ FL8 �� s�23 n L�P

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• "M��� ! �� ������� �M+ `2�� e �� ��� "+C��� '�(�#P H%)

�N�# �� NG� e ���• �"�P�W N�#. NW � ��W�� "M�� �. ��) . ��� "+C��� '�(�#P H%)• NG� "��9� �� ������� e�%+]�� "��M� �� !P�]� '�(�#P H%)

�������� � N�#.• �9� � � P ���� " ���# �� �M���� D ���# �� s�23 H���P H%)

�������� �9� � � P w ����� �������• "9��0 �� "�M�G �� "������� "��9� �� "������ ��� "+C��� H���P H%)

�c#&� e%��� �• ����LA ��� !%2G �� e%���� "�) �� "������ ��� "+C��� H���P H%)• e%���� "�M�G �� "������� "�) �� "������ ��� . "+C��� H���P H%)

� ���� x��0 ��• ��M��� B%I� e �� B%I ��� "+C���� ������� � ���I��. ���P� ��� "+C��� H���P H%) • �>������ �*���� NQ0�� s�23 H���P H%)

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG$����T − >���; �*�! − �I��� − "�I��. !P�� − "�M�G. "���T − "��9�. "���T − e�%+� − !P�� − ������� e .

�$�L.Q�. $����T − $�L���.

IóMƒdGá°SOÉ°ùdG

Page 13: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

IôFGódG

The Circle

( ) 1-6

?�L�P NJ������ ����� ������ ������ ��I� ������ ��� �!��M#��� �$�%�� &�'%(�� )%*+#� �)%�� ,-' .�/�%�� 01� 23

45!6 7+� ,.�M9' .�/�� �:%�; �9(< ���=' >��=; ?+��=' @A�' �B!C >6 ,.�/�%�� @�A�; ��D=' �-3��E�� F�I �G' H1���D=��� �,: I� J�� � K<�L16 ����+(�

&�-M��1 H!����� HN�M��� 4��9�� 0�O6 �'%-3 �PP� )�9�� 7+� ��M�I .%�� Q��N�M��� H1 ������� ��D=��� �,: 0�R�� �B!S� �,: ����+#� &�'%-�� &�1

g�#�P $� �Q � NJ z+!��� �+��� DW#.

�+��� DW#. �.?z�� G��

� &�M( TG!U��'

U��+�� �M!

U��+�� �M( TG! �M��V

�MWX�'

�M��V��M��'

�M(

�;�

�Y

Z�

J)

������� `���P �M! �3 �5-' IX %9�; H+�� [�+=��� U�! �3��]' H: .�/�%��

��K+A�O � K%9A [�+=��� H1 ) �+A�O TG! J�I 0A��� %9��� 7�=M� ������� �9�. �+A��� �M-�� 7�=;

� W'���A .��3 ?��C W'�M� �M��

���W�� ����; �� � P ��W�� ".��)� \L* n#�� U�� tCl N9Z1[ "��v�

Page 14: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�^

Z1[ B8. NQ0�� "����; ���M9 "�M+ \�r "A@� "��3 ��= �. ���h� ��M+ !l{ ��* �=� :!l<� �L* B%I� �9�. ;q�|� d�}� ,��q�� ��.�P �;*@ ����� ��*#. ��M�#P `�9 ���q�� "J% �.

?���MQ�� "������� "�M��� �M+ `2�:NG��

�"������� ��q�� "J% �. z�= :D�M� ���J�M+ `2� B%I� ������� �9�. ;q�r :b%LM ��

���q�� "J% �. � �z�= N8 P ����� ".%)� �� ������� e%+ \L* j= ,b , U�� U -3O� :N ����� "M�� � $�I��� $�-L�� , j= b , b �. NQ� � �!%G. �)��

b !%G. B � :$J�M��Z1[ � = b� ∴

j= b !%G. $ � �

Z�

J

& ZI[ j=� = b� ∴ �������� �9�. �J � "M���� $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.

�������� �M+ `2� B%I = � B%I ∴NGP $� B�W

�"������ ��+ FL8 � "M�G �� ������� �9�. ���GP� Z1[ "��v� $J�� DMl@ Z1[ B8. � V�#�� '%�& �� '�(�)� 1

j=b

?���)�Z� � ⊥ � ,IA���� ILB�� H1

�Z� � 7�3 � _M���3 �M-��A ��M Z� 4�+=��� &6 `�EAaº�P� = aZ�c + a�c c º�P� �' ��X6 Z� � Δ �M��V Q�#��( e��]' f�GM

º�P� = g���� �M��V Q�#��( e��]' :�M�i-�� @' j(�-+M �,:��Z� � 7�3 � _M���3 k�� Z� ∴

�'%L� �� ����# �� \L* >;% *� "M���� m-�� � � ��W� ����#. �=%� ����#. ?!3 "M�� �. :1 ?���)��a� 7�3 l�M-; $ Z�c 4�+=��� 7�3 Z� �M-�� @N�' &�X ��5' Z� > � ,Z� � Δ H1 ?!6 m�$

�>;% ��� ��M�� %J ����#.� "M�� ��� ��� �2+� :I ?���)����X6 Z� J�I f�n6 4�+=��� 7�3 � �3 Z� Q%9+A� ���X

Page 15: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�o

IôFGódG ¢Sɪe

Tangent of the Circle

(Ü) 1-6

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��� "+C��� '��(�)� �M+ `2�� e �� "M��� ! �� �������

e ���• ��� "+C��� '��(�)�

��W�� "M�� �. ��) .������� ?!3

����P N *•

�� �:WX�' .�/�� 4#�� <���E�� )%*+#�• .�/�%�� @' @I�+M � K��+=' 4#<� .�/�%�� p<�q � �M! �'

� �L+�� F1 .%��� �M! H1• � � �9M�� 4#<�

?� � �M��W�� U��( �' 1�IGE�� H1 t/u'V v/�+-A t+]�+! &<�( I

�M( TG!� .%��� �M! H1 .�/�%�� @MM >,�� 4�+=��� ��A �(u9�� J�� �K-��*; @N U��M-�� �,: H1 <���� .�/�%��

���W�� "M�� � ������� �. �I��� >%�# �� � ����#. %J �����L� e ��

�;

�e ��� "M�� \ #P �I���� "M���e . ;

�e . /�R ;"�) . "�M+ ;

e ��� �M+ `2� �

�e ��� �M+ `2� \L* >;% * e ���M��� `2� �. � ��.��. $%Q� c�| ,������ �) . ����#. $9 �}r

�e ��� "M��� ! ��� ;

� ; ⊥ � $� >�

ZI[ "��v�

Page 16: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�w

ZI[ B8.�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' N�� �� NQ0�� �

�$ ' B "������ e�+ �=��:NG��

�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' :D�M� ��$ ' B "������ e�+ ;q�r :b%LM ��

:$J�M��

$

°11� °e

B

' e . B ' e ��� �M+ `2� B�

°�a = Z�B'[ ∴"��v� °�a = Z�$'[ :N8 ���

�*�! NQR � $ ' B°Upa = Z�[ + Z ' [ + Z$[ + ZB[ ∴

E�%���� °Upa = °11� + °e + °�a + °�aF�#M��� °Upa = °e + °I��

°pU = °e °pU = Z$ ' B[ ∴

NGP $� B�W�� J�9�. ���� �����L� e . ; ,N�� �� NQ0�� � I

�°U�

°e;

�°e " �+ �=��

»JÉ«M ≥«Ñ£J ZU[ B8. �"=�!��� >!Ir FM( �� N8 �

���!I@� ��-J >!%G. ��� "# �� j=; �=����) �p = b , �) Ya = j= b , �) UI = ; $9 �}r

Page 17: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�x

:NG��:D�M� ��

�) Ya = ,j= J�9�. ����;�) UI = ,; J�9�. ����;

�) �p = b ,��P����L� e . b

b

�) UI�) Ya

�) �p

j=jJ ; ���!I@� >!%G. ��� j= ; "# �� ;q�r :b%LM ��

�b j= ⏊ jJ; �)�� :N ���?�} � b ⏊ b j= , b ⏊ ; :$J�M��

�N�M�#. jJ b ; NQ0�� ∴ jJ � "������ ��+ j= jJ ; FL8 ��

:t!%u8� "��v� V�MM��:áeƒ∏©e

!%G �� %J !I@� !%G.�!I@� c�%W !��� >-�� IZj= jJ[ + IZjJ;[ = IZj=;[

� I�a = IZ�[ + IZ�p[ = IZj=;["M)G�� "�<� '��(�)� �p�UU j=;

��M���P �) �p�U >�#P ��!I@� >!%G. ��� "# ��NGP $� B�W

b

jJ

j=

$ �S!%�� N �. � �����%M)] ��M�. N�� �� NQ0�� N8 � U

���) �. $P������ n�9 �}r j= b B%I �=�� ���P���� \L* �) Ya ,�) _a ���M+ `2� B%I�

� ��P ���� c���� ��* ����; �M+ `2� \L* >;% ��� ����# ���"M���� m-J ��* ������� m-�� �) . $%Q� ������� \�r

ZU[ "��v�

j=

' j= ��* �����L� e . '

Page 18: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�y

´hô°ûe. %-3 .�/�%�� � _#��' zB!6 .�M=���� <���E�� � K'%*+=' �.�/�%�� 7�3 �M! ,� �:WX�' .�/��:\��]� "���M��

l�

و’

��

b

و’

b

�%�! 4O � �L��� �M( TG! 4#�!� H1 � �M-�� U�L9!� l�

��X6 ��+EA ��#�( l� ,� �' 4#�!�� H1 &�#��� @I�+M , �'

�� , ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1

:"��8�� "���M��

;b;�

;�

; b

� �L��� �M( TG! 4#�! %-3 <���E�� �# WX�!

@MM � K#�( 4#�! � >��=; ��+EA�� = � &�L�1 � H1 .�/�%��

� �M-�� U�L9!� � �M-�� �%�! � H1

,� ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1

:V�GP�.�/�%�� U��' � &6 0�O6 ,��+M�M�� �' IX H1

Page 19: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�P

ZY[ B8.��) I_ = ' $ , �) IY = ' B , �) � = B $ ,N�� �� NQ0�� �

�$ J�9�. ���� �����L� e . B ' $� nMl�:NG��

�) IY = B ' , �) I_ = ' $ , �) � = B $ :D�M� ��$ J�9�. ���� �����L� �) . B ' $� DMlr :b%LM ��

t!%u8� "��v� �Q* '��(�)� :$J�M��$ �) I_

�) IY)

�) �B IZ' $[ =? IZ' B[ + IZB $[

E�%���� IZI_[ =? IZIY[ + IZ�[F�#M��� pI_ = pI_

�B � ��+ $ B ' FL8 �� $� 4���#�B $ ⊥ B ' ∴

J

&)

"��v� �B "M���� � �����L� e . B ' ∴NGP $� B�W

,� = ' $ , � = ' B , Y = B $ $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � Y�d��=r � �# ?�����L� e . B ' N�

Z_[ B8.��P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1; N�� �� NQ0�� �

� jJ , jJ j= ,j= b ,b��

o�^�

���

Z�

Z:

d��=r � �#� ,������� H2�] D) �� ;�W:NG��

:D�M� ����P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1;

� jJ , jJ j= , j= b , b:b%LM ��

�"�=@� ��#&P �. ������� H2�] D) �� ���GP

Page 20: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�{

:$J�M��1; ������� `2�� �M+ b , \M�. b ⊥ j=:Ió«Øe áeƒ∏©e

�) . $%Q� ������ e �� >-�� ������� m-J `2��

�e ��� "M�� >%G� �1; ������� `2�� e . j= ∴

Y; ������� `2�� �M+ jJ , \M�. jJ ⊥ jJ j= d�-9Y; ������� `2�� e . jJ j= ∴

�I; ������� `2�� e . j= jJ $� DMlr �Q � d�-9 U; ������� `2�� e . jJ $� DMlr �Q � N8 ����U; ������� `2�� e . j= b d�-9

NGP $� B�W:����� s��� N 9� _

j=

b

;

����� FL8 �� e�k�� � P ���� �����L� e . �����

�$���M�. �=!3 "M�� �. $�.%)� ��� ������ $�) �� $��M���

j=

b b j= b

ZY[ "��v�

:D�M� ���� �:WX�' .�/��

�.�/�%�� 7�3 &�+M! Z� ,�.�/�%�� &�#��' Z� � , � g�� .�/�%�� p<�q �M! �

� Z� � , � lA�M; Q��OC :b%LM ����� , Z�� , � 4#�! :N ���

Page 21: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

:$J�M��� Z� ⊥ � Z� U��+�� �M( TG! � Z� ∴ , .�/�%�� U��' � Z�

"��v� Z� �M��W�� 4/�( � Z�� g����

Z�

� � t!%u8� "��v� � − �a��cF = Z� � �M��W�� 4/�( � � g���� I���A�

� − �a��cF = �� = Z� � ∴

:�3{ $J�� :� Z� � , � � ������ H1

x��0. �LA � � = � �"��v� °{� = a� Z��c = a� �c

= Z�� = �?�} � � Z� �Δ ≅ � �Δ ∴

Z� � = � ∴ �A�M+' .�|�-+��� euN�� ∴

Zp[ B8.j=�) 1a�) 1_

�) �

^J

�J�J

b

�j= b FL8 �� F�G. �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

:D�M� ��� J�9�. ����;

�) � = 1B b F�W 1B � �����L� e . b�IB � �����L� e . j= b

��)1_ = UB ,�)1a = UB j= F�W UB � �����L� e . j=�j= b FL8 �� F�G. ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"��v� �) 1_ = 1B = UB "��v� �) 1a = UB j= = IB j="��v� �) � = IB b = 1B b

Page 22: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

j= + j= b + b = FL8 �� F�G.UB + UB j= + j=IB + IB b + b1B + 1B =

pp = 1_ + 1a + 1a + � + � + 1_ = ��) pp = FL8 �� F�G.

NGP $� B�W,�) _a = j= b FL8 �� F�G. $9 �}r N�� �� NQ0�� � p

Z�

4# y

4# ��

�U

�U^U

� �j= b B%I �=�O

�"��#�� "��v��� �. ���L��� V�M�. j= bΔ

j=b "������ `2�. � b 1j= � "������ `2�. b� I

j= ⊥ b� U

j=

b

"��v��� 4���

Z�[ B8.Z; jJ[ ,Zj=; [ �=�� ,N�� �� NQ0�� �

Z�

� Z:

J°�w ������L� �M+ ;� F�W ������� $# P jJ B , � B n�9 �}r

:NG�������L� e . jJ B

"��v� jJ ⊥ jJ B ∴°�a = Z jJB[

Y "��v�L� "q��� ZjJB�[ "������ `2�. j= B°I_ = Z�B [ = ZjJB [ ∴

°p_ = Z°I_ + °�a[ − °1�a = ZB jJ[ c�.�°p_ = Z� B[ ∴

Page 23: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

Y "��v�L� I "q��� ZjJ �[ "������ `2�. Be���� $���M�. $����T °p_ = ZB �[ = Zj= ;[

���L��� V�M�. j=; Δ ∴ = j= = ;Z;j= [ = Zj=; [

°_��_ = °p_ − °1�aI = Zj=; [

ZZj= ;[ + ZjJ B[ [ − °1�a = Z; jJ[°_a = °1Ua − °1�a = Z°p_ + °p_[ − °1�a =

NGP $� B�We . j= b ,�����L� $) . jJ B , � B N�� �� NQ0�� � �

b�

j=

;

jJ

B

����L��� V�M�. j= b B FL8 �� $� nMl� ,; "M���� ��* �����L�

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z�[ B8.Z�

}

� �"=�!; Z!Ir[ bw�; N�� �� �)��� N8 �b

Z�

�H = j= b $� �J��:NG��

�j= b \L* $�;% * b > , j=� H \L* $�;% * > , H�

} = j= b $� DMlr :b%LM ��:N ���Z:

Z�

}

�>

�jJ � �I��� \�W H , b j= � �:$J�M��

\M�. j= b ⊥ b > , j= b ⊥ j=� ∵"��v� ��P����L� x��0. e . } N8 ��� ��P����L� x��0. e . j= b ∴"��v� H jJ = j= jJ ∴ � J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ H jJ , j= jJ

jJ = b jJ ∴ > J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ jJ , b jJ d�-9

Page 24: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�^

����;� �� ��M� jJ − H jJ = b jJ − j= jJ�H = j= b

NGP $� B�W�$���M�. ��P������ $� o�&� V�#�� B8 �� �. �

� H �. b j= �I��� �� �}r H = j= b $� nMl�

ZInscribed Circle of a Triangle[ Z"L3����[ FL8 � "IG �� ��������Iq�%�� �' �Ou�� g���� euN� �#��' .�/�� H:

�Circum Center g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'

:� �Q?�} � �&�A�M+' �J� ,�J� &�����

Z� �J[ = Z� �J[� �M��W�� TG-' �∴

�~�;�+�� 7�3 Z� ,� �M��W�� TG-'Z�� , �� �' _uX &6 �5=E! �M�M��A 0�O6

ZCircumscribed Circle of a Triangle[ Z"=!(��[ FL8 � "M�G �� �������

�� Z�

��Ou�� g���� U���A ��; .�/�� H: Q�EG-��� H(u; �M!c g���� euN� �Ou�� <������ H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'

�ag���� euN� �M���9��

:� �Q?�} � Z�� = ��?�} � � = ��

?v+-+=; ���'

Z�

^J

�J

�J�

Page 25: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�o

:Z1[ �G�A%P ��!�P

�) I J�M+ `2� B%I , � J�9�. ����; �0�� �°pa �)�+ "���T j= b� j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G�

:NG��

'

>

b jJ $ j=

x�

J

°pa = Zj=b [ :D�M� �� �) I = J�M+ `2� B%I ,� J�9�. ����; z0�r :b%LM ��

"������ �*�0� ") . $%QP F�G� b \L* "�;% * B ' �)�� b \�r � ��P ' "M�� �. :N ���

b �� jJ B �)�� B �. ��) I ��%I j= b \L* "�;% * x $ �)�� j= b \�r � ��P $ "M�� �.

��) I ���� ��%Ij= b �� > x �)�� x �.

�������� �9�. �J� �{�} = > x ⋂ jJ B��) I J�M+ `2� B%I� � J�9�. ���� ������� �)��

:ZI[ ��!�P

`2� B%I ,� J�9�. ����; �0�� �°�_ �)�+ "���T j= b�j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G� �) U J�M+

:NG��

Page 26: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�w

2-6¢SGƒbC’Gh QÉJhC’G

Chords and Arcs

º∏©àJ ±ƒ°S

• !P�]� '��(�)� e�%+]�� "��M� ��

�"��9� �� �������• U%M(�� s�23

� P ���� " ���# ���������� �9� �

a��#%-5�� Q����� )%*+#�c ����P N *�&� )� IA���� ILB�� H1

'$

bj=

;� ?m�u; ���' �� Z� , � H��I ��A &<�( 1

?m�u; ���' �� � Z� ,� � ��+M��W�� U��( ��A &<�( I�&� < )� &�LM g��A IA���� ILB�� 4#< %36 � U

�a� � Z�c ,a� � c ;� Z� ,� ��A &<�( b ?m�u; ���' j=

�.�/�� 7�C �:�1�I H�+-M ���+=' �9M( �: aChordc �P%��;�

j= ��;��� �,5� �|�-��� ; j= aArcc U���� � Z� �;��� IA���� ILB�� ����M��:�G�; H+�� U��(��� <�;���� .�/�� H1 �MWX���� �M��W�� ��A �(u9�� 7�3 ����+�� �M�i-�� <���+;

:"��M�. ����; � �� ����; ��"��M�. !P�� "��M� �� "��9� �� ����L� 1

�"��M�. �)�%+� N��P "��M� �� !P�]� I�"��M�. "��9�. ���T "��M� �� e�%+�� U

Z1[ "��v�

Z1[ "��v� DMlr

b

j=

;�

a� � Z�c = a� � c ,� �:WX�' .�/�� :D�M� �� 1�� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��

:��5�1 �� Z� , �� &����� :$J�M�� = Z�� = � = �� = ��

\M�. a� � Z�c = a� � c a`� V �`c &�A�M+' &�����

��5�� �� /CA]� V�MP � Z� �

Page 27: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�x

� Z� � :D�M� �� I� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��

:$J�M�� ?�} � �� � Z�Δ �� Δ ∴ � Z� � ?�} � a� � Z�c = a� � c ∴

�Z: = J &�!��� )�%*+#�A ��M�� TG! J�I × a&�M�����Ac �MWX���� �M��W�� U��( = U��� J�I

�� Z� � &6 v+-+=! � Z� � :D�M� �� U

a� � Z�c = a� � c :b%LM �� � Z� � :$J�M��

� Z� J�I = � J�I ∴

\L* " #��� × a� � Z�c = × a� � c a� � Z�c = a� � c

Z1[ B8.b

� j=

;

B H ?4���#P �}. �H ; j= b ,$���M�. $P������ N�� �� NQ0�� �

:NG��"��#�� "��v��� '��(�)�

Z; B H[ = Zb � j=[H ; j= b

NGP $� B�W?4���#P �} , H; j= b $9 �}r ,mC*� �)��� � 1

Page 28: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�y

�.�/�%�� WX�' �3 ��5-' IX %92A� �M�;� ��A �(u9�� ����+�� �M�i-�� ����;

�������� �9�. �. "��#�. ;��� \L* ����; � "��M� �� !P�]� 1�"��M�. $%QP ����; �9�. �. "��#�. ;��� \L* ���� !P�]� I

ZI[ "��v�

ZI[ "��v� DMlr�; j= b :D�M� �� 1

b

j=

;'

$

� �'� $� :b%LM ��

:$J�M�� = �� = �� = Z�� = �

\M�. � Z� = � Zo �o �o[ � Z��Δ � �Δ ∴

�� Z�� g���� ���=' = � � g���� ���=' � Z� × )�

� = � × &�� ∴

� Z� = � )� = &� ∴ :᫪∏Y áeƒ∏©e

�� *]� $| $8L8. V�MP �}r \�r e���� �. ".%)� �� $%QP ��5� �� ��*���

�"��M�.

�'� $� :D�M� �� I�; j= b :b%LM ��

:$J�M�� �P�� �L�� � )�Δ &�Δ

?����� � Z��Δ � � Δ ∴ :&6 v+-M lA�M+�� �'

� Z� = �

Page 29: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�P

ZI[ B8.

Z�

���w�

Z:) ��# �; j= B%I �=�� , jJ ' = b ' �������� �9�. ' �Q�� N�� �� NQ0�� �

:NG��:D�M� ��

�������� � $��P� j= , ; j=�1I�_ = b � j= `2��. b

�b ' = jJ ' , ; j= ⏊ jJ ' F�W ; j= ∈ jJ�; j= B%I ;q�r :b%LM ��

:$J�M��\M�. 1I�_ = j= b = b

j= = j= b + bE�%���� j= = I_

\M�. b ' = jJ ' ∵ "��v� j= = ; j= ∴

E�%���� I_ = ; j= NGP $� B�W

�� J�9�. ����; I�x ^x

�P�P

U�

�d��=r �#� ,N�� �� NQ0�� � e " �+ �=��

���5' ��#%-: ���q �;��� 7�3 >���9�� TG-��� ,.�/�%�� H1

�c�)%+ �. �C9 `2��� c&2�� ����; � �P� \L* >;% ��� �M��� 1��P%�� �-J \L* ��;% * $%Q� ����; � Z� ��M+ ���[ � ��P� `2�� >-�� �M��� I

�������� �9� � � � ����; � �P%� `2� �� ;% ��� U

ZU[ "��v�

Page 30: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�{

ZU[ B8.

Z��4# ^

4# �o

�� J�9�. ���� ������� �M+ `2� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� � �:NG��

:D�M� ���) U = j=� �b ⊥ j=� ��) 1Y = b �� J�9�. ����; � �P� b

������� �M+ `2� B%I ;q�r :b%LM ��b � �)�� :N ���

:$J�M��c&2�� �P� \L* >;% ��� �M��� �) � = Z1Y[ 1I = b 1I = j= b

t!%u8� "��v� _� =IZ�[ + IZU[ = IZb j=[ + IZj=�[ = IZb�[���M�� CQ� �������� !-q�� �) ��p _�F = b�

��) ��p \��%W >�#� ������� �M+ `2� B%I

Z��

4# �w

4# ��4# ��

��P%��� ������� �9�. ��� ��M�� �=�� N�� �� NQ0�� � b:NG��

�������� �9�. � :D�M� ���������� � �P� j= ��) 1_ = � ,������� �M+ `2� �

��) 11 = j= b = b ,j= ∈ b�j= �P%��� � ������� �9�. ��� ��M�� ;q�r :b%LM ��

:$J�M���P%�� \L* >;% * %J Z�M��� ���[ �P%�� `2�� >-�� �M��� b ⊥ b�

b�Δ � t!%u8� "��v� IZ1_[ = IZ11[ + IZb�[1aY = IZb�[

���M�� CQ� �������� !-q�� �)1a�I b���) 1a�I �P%��� ������� �9�. ��� ��M��

Page 31: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^�

NGP $� B�W:;q�@ N�� �� NQ0�� '�(�)� U

�b �P%�� B%I � �

U�4# x�P 4#

o

� b �h�]� e%��� `2��. \�r �P%�� `2��. �. "# �� b

b

j=

;

� �?EG-M� ��5-�A Y�+B��� �;��� 7�3 � _M���3 &�LM ��+9I�+' ��;�/�%� �MWX���� Fq

"q���

ZY[ B8.?; j= B%I ��)1U = ,�)IY = b $9 �}r �x��0. �P� ; j= ������M�. ��P���; N�� �� NQ0�� N8 �

:NG��

b�

;

j= �b , J��9�. $���M�. $P���; :D�M� ���x��0. �P� ; j=

��) 1U = ��P������ �. N9 �M+ `2� B%I ,IY = b; j= B%I ;q�r :b%LM ��

�; b , j= b ,; ,j= �)�� :N ���:$J�M��

�) 1U = = j= = j= b = b ; = ; c� j= b; NQ0�� �����. j= b ; ∴

��3<� ��. N9 `2��� $��.��. ; j= ,b $��M������ "������ ��+ j=� Δ ∴ °�a = Zj=� [ , j=� Δ �

t!%u8� "��v� IZ �[ − IZj= [ = IZj=�[I_ = IZIYI [ − IZ1U[ = IZj=�[

_ = j=�Z; j= `2��. �[ � j= × I = ; j=

��)1a = _ × I = ��)1a >�#� ; j= B%I

Page 32: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^�

NGP $� B�W�b B%I �=�O , �)1U = ,�)1Y = ; j= $9 �}r ,ZY[ B8. � Y

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z_[ B8.��-��� ��� �� e�k! �.CP F�G� NQ0�� "����; �-� N3�; NQ0�� ���. �M03 !Ir �A� �R�! ����

?�M0(�� ��� �� �LA B%I ,��.1�p = �-��� ����; �M+ B%I $9 �}r���� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I �=�� �l

:NG��; j=

!I@��M0(��

�-���

b

�'1�p J�M+ B%I ����; ���� :D�M� ��������� \L* c)�k! ��P ���.

���� �� �LA B%I ;q�r :b%LM ��/CA]� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ;q�r

:$J�M���; j= b ��� �� �Q��

���� �� �M+ B%I >�#� ������� �M+ B%I�' 1�p = j= ∴

Zm�M+ B%I� ���. �LA B%I ��� "+C���[ IF b = j= �Q���1�1U 1�p

IF = j=IF = b ∴

��M���P ��. 1�1U >�#� ��� �� �LA B%I?�} � ��� �� �LA B%I × 1I = ��� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ∴

1�pIF × 1I =

�' a�_pp ⋍ NGP $� B�W

���. 1�_ >�#� ��� �� �LA B%I $9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� ,mC*� Z_[ B8. � _

Page 33: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^�

3-6

º∏©àJ ±ƒ°S

• �"��9� �� "������• �"�M�G �� "������• \L* "�) �� "������

��������• "������ e�+ ��� "+C���

"������ e�+� "��9� �� � "9��0 �� "�M�G ��

�c#&� e%���• "������ e�+ ��� "+C���

e%��� e�+� "�) ������LA ��� !%2G ��

�+���� �Q&� �*;�

jJ'

b

j=

;Z1[ NQR

,Z1 NQR[ IA���� 4i+-��� H#�%=�� H1 1�°x� >��=M � U��� U��( &6 0�O6

?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � I�a��-��� )�%*+#� t-L�Mc

?�� :��M����� �M��W�� �' IX U��( �' b ?m�u; ���' ?�Z� ?�� ?�Z:

jJ

'

b

j=

;ZI[ NQR

,ZI NQR[ 4i+-��� H#��*�� ILB�� H1 U�°y� >��=M � U��� U��( &6 0�O6

?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � Y ?�Z� ?�� ?�Z: :�M��W�� �' IX U��( �' b

?m�u; ���' :".�(�# �� D��;]�!=� ,"L��. ,��M#.

�) �M��W�� U��( ��A �(u3 %��; I: a^c ILB�� H1 _

'

b

j=ZU[NQR

?� U��� U��(� �Z� �M��W�� U��(�

Central Angle and Inscribed Angle á«£«ëªdG ájhGõdGh ájõcôªdG ájhGõdG - 1

:∞jô©J

�"��9� �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� WX�' �5#6< H+�� �M��W�� 1�"�M�G �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� U�! [%�C �5#6< H+�� �M��W�� I

á«£«ëªdG ÉjGhõdGh ájõcôªdG ÉjGhõdG

Central and Inscribed Angles

Page 34: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^^

�������� \L* ���LA ��� !%2G �� e%��� e�+ >�#� "��9� �� "������ e�+Z1[ "��v�

Z1[ B8.�°�a = Zb [ $9 �}r �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �

�Zb� [ �=�O

b

� :NG�� � J�9�. ����; :D�M� ��

°�a = ab c�Zb� [ ;q�r :b%LM ��

:$J�M�� ������� �9�. �

ab c N��P "��9�. "���T Z�� [Z�� [ = ab c

°�a = Z�� [

NGP $� B�W����LA ��� !%2G �� ������� \L* e%��� e�+ �=�O ,°U_ "��9�. "���T e�+ $9 �}r 1

e%��� e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+ ������� �b

j=

� ����LA ��� !%2G ��

ZI[ "��v�

Zb [ 1I = Zb� [ 1I = Zbj= [�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "��9� �� "������ e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+

Page 35: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^o

�!M�*w� � J-3� �q� DwW U x�J1 "�G��I "�G��U "�G��

bj=

;

bj=

;

j= b

;

H9�N %�6 7�C .�/�%�� WX�' H�+-M��M����� �M��W��

��M����� �M��W�� Iq�� .�/�%�� WX�'��M����� �M��W�� p<�q .�/�%�� WX�'

ZI[ B8.�abj= [ �=�O °�a = ab c $9 �}r :N�� �� NQ0�� �

:NG��b

j=

� °�a = Zb [ �������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ��

�abj= [ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

ab c 1I = abj= c ������� � "�M�G. "���T bj=°Ya = Z°�a[ 1I =

°Ya = abj= [ ������NGP $� B�W

����LA ��� !%2G �� e%��� e�+ �=�O ,°_Y >�#� ����; � "�M�G. "���T e�+ $9 �}r I

b

j=

°Ya ZU[ B8.

���� ������� \L* U�� j= ,b , F�W ���L��� V�M�. FL8. j= b N�� �� NQ0�� ��°Ya = Zj= b[ ,� J�9�.

� j= , j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ �=��:NG��

�������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ���j= = b ,���L��� V�M�. j= b Δ

°Ya = Zj= b[

Page 36: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^w

j= ,j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

Zj= b[ 1I = Zj= b[ ������� � "�M�G. ���T �J FL8 �� ���T�°�a = °Ya × I = aj= bc �Zj= b[ 1I = °Ya :c�.�

°I�a = °�a − °Upa = a b j= c j= = b

�°1Ya = I�aI = Zj= [ = Zb [

NGP $� B�W�jJ "M���� � ������� �M��� bj= "�L3���� "������ `2�. , jJ j= $9 �}r ZU[ B8 �� � U

? jJ �h�]� e%��� e�+ .

ZY[ B8.� j= b ⊥ � ; $� nMl� �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �

:NG���� J�9�. ���� ������� \�r � ��P "lC8�� c)�k! , "������ ��+ FL8. j= b :D�M� ��

b � j=

;

�; � ������� �M��� Zj= b[ `2�. �j= b ⊥ � ; $� DMlr :b%LM ��

:$J�M��\M�. °�a = Zb j=[

j= b "������ `2�. � °Y_ = Z; j=[

"��v� Z j= ; [ 1I = Z; j=[ "��v� °�a = Z;�j=[ ,°�a = Z j= ; [

�j= b ⊥ � ; NGP $� B�W

�Zb ; [ �=�� ,°Ua = Zj=b [ $9 �}r ,ZY[ B8 �� � Y

Page 37: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^x

Z_[ B8.� Z; j=[ + Z b[

I = Z 'b[ :$� nMl� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

�� J�9�. ���� ������� \�r � ��P U�� ; ,j= ,b , :D�M� ��{jJ} = � ⋂ j= b , {'} = ; b ⋂ j=

Z; j=[ + Z b[I = Z 'b[ $� DMlr :b%LM ��

:$J�M���; ' FL8 �� �* "=!3 "���T �J Z 'b[

Z; '[ + Z ; b[ = Z 'b[

b

j=

jJ

;

'

Z; j=[ + Z b[I = Z; j=[ 1I + Z b[ 1I =

NGP $� B�WZ; j=[ − Z b[

I = a j Jbc $� nMl� ,Z_[ B8 �� � _

Zp[ B8.�>���; �*�! NQR ; j= b

j=

b

;

�Z; j= [ = Z;b [ $� nMl�:NG��

�>���; �*�! NQR ; j= b :D�M� ���Z; j= [ ,Z;b [ ��������� �)�+ >�#P DMlr :b%LM ��

�>���; �*�! NQR ; j= b :$J�M��Z1[ Z � [ 1I = Z;b [ ∴ "�M�G. "���T ;bZI[ Z � [ 1I = Z; j= [ ∴ "�M�G. "���T ; j=:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

>������ �*���� NQ0�� ��P �*�! �L�. %J

�����; \L* c)�k!

�Z; j= [ = Z;b [ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.NGP $� B�W

Zb j= c = Zb ; c $� nMl� ,Zp[ B8 �� � p

Page 38: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^y

:Z1[ ��!�P� Z:

Z�

, .�/�%�� ∋ Z� ,Z: �:WX�' H+�� .�/�%�� H1 �M( � &�X ��C���/�( �M��V a� Z� c &6 0�O6

:ZI[ ��!�P

J

U

e

�>�/�� H3�A< IL� J e � U°�P� = a� e Jc + a� U Jc &6 0�O6

�$���M�. c#&� e%��� $��2GP ����; � ����M�G. ������T N9 1�" �+ "���T $%QP ����; `2� �2GP ����; � "�M�G. "���T N9 I

�"L.Q�. "L��� �� m���T $%QP ,Z������ UG.[ >���; �*�! NQR N9 Uj= b

;

�� j= b ��*��� \L* D.%)� �� ; , $������� n��MP �}r NQ0�� � Y������; ��*�! ; j= b NQ0�� $9 ���. ��W�� "�=

4���

Z�

�Z�

Z�

��

� &��G�; � Z� , ��a� Z� c = a�� c ∴

a.�/�� TG!c Z� �G�; Z��°{� = aZ�� c ∴

�M( 7�3 �'�#�' ��M��' �M��V aZ�� c��/�( �M��V H:� .�/�%��

°�P�= ZZ�[ + Z [°�P�= Z�[ + Z�[

Page 39: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^P

:ZU[ ��!�P

& �:WX�' H+�� .�/�%�� 7�C H�+-; �M! � �L+�jJ

b$

j=

e

�Z� �M-�� %-3 .�/�%�� U��' Z��Z� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� H1 �;� b j=

U��+�� �;� b j= 7�=M�� K�M6 ��#��' �M��V 7�=; a� Z� Uc �M��W�� ,��#��' �M��V 7�=; a� Z� c �M��W��

���-��� )�%*+#�A ?=E! U��� H1 ��#����� �M��W�� @' Y�+B; a�Z:Z�c �M��W��:I�X6

= a� Z� c = a�Z:Z�c

?v+-+=; ���'

�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������ e�+ >�#� "�) �� "������ e�+ Z1[��P%��� e �� ��� !%2G �� e%��� e�+ `2� >�#� "�) �� "������ e�+ ZI[

ZU[ "��v�

ZU[ "��v� DMlr

jJ

b

B

'�

; :D�M� ���� H1 .�/�%�� U��' Z:

�.�/�%�� H1 �;� J �:b%LM ��

�.�/�%�� 7�C H�+-; �M! ) g�� aJ م( �c = aJ�Z:c &6 Q��OC�� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� �M( ; b 4#�! :N ���

:Z1[ $J�M���.�/�%�� H1 �M( � � &� J �M��W�� 4/�( � J �Δ

Z1[ �����L� e �� ��%3 °{� = a��Jc + aJ�Z:cZI[ ZB "������ ��+ ; B b Δ[ °{� = aJ � �c + a��Jc

:&6 v+-+=! a�c ,a�c �'

Page 40: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

^{

a��Jc + aJ � �c = aJ�Z:c + a��JcaJ � �c = aJ�Z:c ∴

?����� aJ ) �c = aJ � �c �L�����M��� �:� aJ ) �c = aJ�Z:c ∴

:ZI[ $J�M���a�c �' aJ ) �c = aJ�Z:c

Z"�M�G �� "������ "��3[ a J � c �� = aJ ) �c ���M��� �:� �a J � ) �� = aJ�Z:c ∴

Z�[ B8.�Zb j=[ �=�O , ��* �����L� �) . jJ ; $9 �}r N�� �� NQ0�� �

:NG��

b

;jJ

°U_

°Y_

j=�

:D�M� ��� ��* �����L� e . jJ;

°U_ = aj= b c ,°Y_ = ab jJ[�Zb j=[ ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"��v� °Y_ = Zb jJ[ = ab j= c

°1�a = aj= b c + ab j= c + Zb j=[ aj= b c − ab j= c − °1�a = Zb j=[ ∴

°1aa = °U_ − °Y_ − °1�a = Zb j=[NGP $� B�W

;jJ

j=

b �°_a = Zb jJ[ ,°Ya = Zj= ;[ :���� ,N�� �� NQ0�� � �

�j= b FL8 �� ���T D)�+ �=�� � ������L� �M+ b j= $� nMl� b

Page 41: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

o�

Z�[ B8. $%Q� F�G� �����L� �) . j= �)�� �� J�9�. ����; � �M+ b

;

b

j=

� �; j= = ; $� nMl� �; � ������� �M�P j= b � I = j=:NG��

:D�M� ��; � ������� �M�P j= b , I = j= ,�����L� e . j= �� J�9�. ����; � �M+ b

; j= = ; $� DMlr :b%LM ��; �)�� :N ���

:$J�M��Z1[ Zc#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������� "�) �� "������ "��v�[ Z;b [ = Z� j=[

Z�����L� e . j= [ b ⏊ j= I = b = j=

����L��� V�M�. "������ ��+ j= b Δ ∴a�c a;b c = a;j= c c�.�

a;j= c = Z� j=[ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.; j= = ; ∴ ���L��� V�M�. j= ; Δ

NGP $� B�W�B � ������� �M�P $ D Ze ��� "M�� '[ �D ' = $ ' $%Q� F�G� ������� � �P� $ ' �� J�9�. ������ e . D ' �

Z' B = D B[ ���L��� V�M�. ' B D Δ $� nMl�

Z�[ B8., "M���� ��* �����L� e . jJ; ,N�� �� NQ0�� �

� jJ; e L� �T�%. ������� � �P� j= b

bj=

jJ

;

� ����L��� V�M�. j= b FL8 �� $� nMl�:NG��

j= b�� jJ; . "M���� ��* �����L� e . jJ; :D�M� ������L��� V�M�. j= b $� nMl� :b%LM ��

Page 42: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

o�

$J�M��j= b �� jJ;

Z1[ >T�%���� B;M��� ab j= [ = aj= ;c ZI[ j= c#&� e%��� $��2GP "�M�G. "���T� "�) . "���T aj= b c = aj= ;c

aj= b c = ab j= [ :�M�P ZI[ , Z1[b = j= :c�.�

���L��� V�M�. FL8 �� $� >�NGP $� B�WjJ

;

bj=

� � "M���� ��* �����L� e . jJ; ���� $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � ��Zj= = b [ ���L��� V�M�. j= b FL8 ��

j= b �� jJ; $� nMl�

Page 43: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

o�

4-6¢SɪªdG ,á©WÉ≤àªdG QÉJhC’G :IôFGódG

Circle: Intersecting Chords and Tangent

����P N *º∏©àJ ±ƒ°S

• �"�I�� �� !P�]�• �e ��• ���P� ��� "+C���

�������� N3�; ���I��.• B%I ��� "+C���

B%I� "�) �� �M�����I���

�M�;� 4#<� 4O ,) �:WX�' .�/�� 4#<� � 1� �M! H1 &�9I�+M Z� � , Z: � �� , Z: , Z� , � J�I k( b

jJb

;

'j=

�� × Z: ,Z� × � ����� v;��! %��6 �?i�u; �' ~+X�� U����� 4#��� <�X j=

������ v;��! ��A �' �(u3 TB+L; &6 J��� ; �.�/�� H1 &�9I�+' &��;� �5��C 4=-M H+�� �W��� J��I6 ��N v;��! ��A �(u9�� � ��q jJ

�.�/�%�� �,: p<�q �M! �' .�/�%�� &�9MM ��9I�( 4#<� 4O ,[�q6 .�/�� 4#<� � I:".�(�# �� D��;]�

!=� ,"L��. ,��M#. �� × Z: , Z� × � :����� v;��! %��6� Z: , � , Z� , � :J�I k( b

�.�/�� p<�q �M! �' ��9I�( 7�C ��=-��A �'�3 �(u3 � ��q j=

jJ

b'

;

j=

'

$

bj=

��A �(u9�� �3 g�A� �& H1 �5=�M & .�/�%�� � _#��' 4O Z� ,� H1 .�/�%�� @MM Z� 4#<� ) .�/�� p<�q �M! �' U�lA�=�� t-��*; �' � K%�E+=' �a& c ,Z� × �

Intersecting Chords Inside the Circle IôFGódG πNGO QÉJhC’G ™WÉ≤J - 1

j=$

b;

>�#� ���P%�� �W� >z�= ��%I b�A 4P� $| ,����; N3�; $��P� �I�P �}r��3<� �P%�� >z�= ��%I b�A 4P�

; $ × j= $ = b $ × $

Z1[ "��v�

Page 44: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

o^

Z1[ "��v� $J��j=

$

b;

'

�& �M-�� H1 &�9I�+' &��;� � Z� , � :D�M� ��� & × Z� & = � & × & :&6 Q��OC :b%LM ��

� � � , Z� 4#�! :N ���:$J�M��

e���� $�L���. $����T a� & �c = aZ� & cc#&� ; e%��� \L* $�.%)�. $��M�G. $����T a Z�c = a�c

������ V�MP � & � Z� &����0� �� ��8L8 �� � ��5�� �� /CA]� B�%I� �)�P Z� &

� & = &&�

� & × Z� & = � & × &

Z1[ B8.j=

;b

$

I

� �

e �e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

"��v� b $ × $ = ; $ × j= $E�%���� � × e = � × I

F�#M��� e� = 1p" #��� e�

� = 1p�

1p� = e

NGP $� B�W

j=

b ;

$

Y� e

e

�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� � 1

Page 45: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

oo

!��]� S% !%#q�� z.���� \�� D.*; �. ����; e%+ NQR \L*

��] " �. D.*��� m-J� �"�M�=��#q�� N�l N9 N G�P

ZI[ B8. $9� !��]� �W� !%M�� �0. �#= �0�� :"�! �. ")��J B%I $9 F�G� ,������� �. e%+ NQR \L* �#q�� �-J e%+ $9 �}r �' �a ������� m-J � �#q�� ��I ��� N��%�� �P%���NQ0�� � 9 ,' I1 �P%�� `2��. �. '� �� ;% ��� B%I

�������� �M+ B%I �=��:NG��

'I1 = ;% ��� B%I '�a = �P%�� B%I :D�M� ��������� �M+ B%I ;q�r :b%LM ��

' I1

' Y_' Y_

e

b ';

j=

� Z"��v�[ ������� �9� � � � �P%� `2� �� ;% ��� ∴ :$J�M��

�������� � �M+ j= ; ∴:$� �q� �P%��� �M��� �I�P �.

Y_ × Y_ = I1 × e�M���P �p�YU = Y_ × Y_

I1 = e�p�YU + I1 ≈ �M��� B%I

11��YU ≈ j=

;b

'

��)U �)Y

�)p e

��M���P � ���. 11� = �M��� B%I NGP $� B�W

:� J�9�. ���� "L�� �� ������� � I �e = ; ' , �) U = j= ' , �) p = b ' ,�) Y = '

�e " �+ �=�� � ��) p >�#� ������� �M+ `2� B%I $� n L* �}r j= ; �P%��� � �9� �� ��� ��M�� �=�� b

Intersecting Chords Outside othe Circle IôFGódG êQÉN QÉJhC’G ™WÉ≤J - 2

c��= B%I � ���I��� �W� B%I b�A 4P� $| ,����; ?!3 "M�� �. $�I+ �)! �}r��=!(�� c��= B%I � �3<� �I��� B%I b�A 4P� >�#� �=!(��

�; ' × j= ' = b ' × '

Z1[ "q���

j=b

;

'

Page 46: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

ow

ZU[ B8.j=

b

'

Y

I

e

;

�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��

J;���.� �I���� J�9�. ���� �����L� $��P� j= ; , b :D�M� ���' "M���� ��* �=!3

e " �+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��

"q��� ; ' × j= ' = b ' × 'E�%���� Z� + Y[Y = ZI + e[e

F�#M��� a = Y� − eI + Ie�� �� '��(�)� ΔF ± b−

� = e�) U

�) Y

e j=

;

b

'

B%LG�� �− = e �� p = e"A%�. �− = e $] p = e " �+ $%Q�

NGP $� B�W��) Y >�#� J�M+ `2� B%I �� J�9�. ����; ,N�� �� NQ0�� � U

�e " �+ �=��

IôFGO êQÉN á£≤f øe IôFGódG ™WÉbh ¢Sɪe ™WÉ≤J - 3

Intersection Between Tangent and Secant from any Point Outside of a Circle

c��= B%I � �I��� B%I b�A 4P� $| ,e .� �I+ ����; ?!3 "M�� �. �)! �}r�"�) �� "�M��� B%I ���. >�#� �=!(��

� j= ' × b ' = IZ; '[

ZI[ "q���

j=b

;

'

Page 47: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

ox

ZY[ B8.��) 1I = b , �) Y = ' :$O� � L* ; ' "�) �� "�M��� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� �

:NG��� b ' B%I �q�

�Y1I '

;

b 1p = 1I + Y = b '

"q��� b ' × ' = IZ; '[ :��Q�E�%���� 1p × Y = IZ; '[

F�#M��� pY = IZ; '[ �������� !-q�� ;q�|� � = ; '

NGP $� B�W_1a

j=

jJ

; '

�� = � ) g�� ��#��' �9M( ; ' ,IA���� ILB�� H1 Y�_ = jJ '

�j= jJ B%I �=��

Z_[ B8.,������� \L* b "M���� \�r "M���� �. "�) �� "�M��� B%I "��. �(R]� �W� ;�!�

j= "M���� ��* ������� �. �I��P ��M# �� $� �=% "M���� ��* �&2�� �A�� ��M#. -3O��) � = ; F�G� ; "M���� ��*� �) Y = j= F�G�

?b "�) �� "�M��� B%I .

Page 48: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

oy

���M= :NG��

j=

b

;

T

jJ

�"�) . "�M+ b ,�)� = ; ,�)Y = j= :D�M� ���b B%I ;q�r :b%LM ��

:$J�M��"q��� ; × j= = IZb [

E�%���� � × Y = IZb [F�#M��� Up = IZb [

�������� !-q�� ;q�� p = b �)p >�#� b B%I $%Q�

NGP $� B�W��)I = jJ n�9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� �Z_[ B8 �� � _

Page 49: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

oP

�.�/�%�� &�+�#��' &�+9M( �' j= , �' j=� �) �) �Rn�� U��� 7�3 �X��+' �M! �

Z��

�)

�)

�� H1 �' j= , H1 �' j= @MM � H1 .�/�%�� U��':g%L) n�O)

?�L�M �' ��X6 �: Z� � g���� F��' &�LM g��A � @�! �M6:��J D�Q

�.�/�%�� U��' ���q )%*+#D#� Z� + � + Z� = g���� F��'

�) � − �) Z� + �� + � + �) − �) Z� = Z������� \L* ���I�� �� ��) �� "��3[ � � = �) � , � = �) :�L��

� = �� + �) �− , � = � + �) −�) Z� � = �) Z� � = �) Z� + �) Z� = g���� F��' ∴

:?���)�

:ôcòJ ������ $) . �I�P �}r $��M��� $%QP ,"M�� �

������M�. $��) ��

�� �M-�� @(�' ���R; @' ��R+M $� 0A�O Z� � Δ F��':"�Ar "�O#.

�� WX���� �;%�+' &�;�/�� �� ,��)

���

&��

��� 7�3 �M! �& ,) H1 �� @MM H1 <���� �� U��'

�$ ' TG+-' &6 0�O6

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

Page 50: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

o{

á°SOÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

e .������� <�;���

U��(��� !P�]� :�������

e �� ,"�I�� �� ������� "��9� �� ������"�M�G ��

��� "+C���"�I�� �� !P�]� "������

"�M�G �� "������"��9� ��

�P%�� e �� "M��

e �� "�M+e%��� NQ0��

�*����>������

������� ")��J

Page 51: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

w�

¢üî∏e

�.%��� �M! H1 .�/�%�� @' @I�+M >�+=��� H1 4�+=' �: .�/�%� U����� −��M-�� �,5A <���� �M�� TG! @' � K%'�9+' &�LM ?!�1 ,.�/�%� � _#��' 4�+=' &�X ��C −

�.�/�%�� � _#��' 4�+=��� &�LM ,.�/�%�� 7�C H�+-; %'�9+�� �M! 0!�X� .�/�� �M( TG! @' 4�+=' %'�9; ��C −���+A�M+' &�+�#����� &�+9M�� &�L; ,�M! H1 .�/�%� &�#��' @I�; ��C −

�g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �:WX�'� Iq�%�� �' g���� euN� �#��' .�/�� H: g��A �I����� .�/�%�� −:�A�M+' �/��� H1 �6 .�/�� H1 −

��A�M+' <�;�6 �A�M+��� �MWX���� �M��W�� ��A�M+' � K#��(6 IA�; �A�M+��� <�;���

��A�M+' �MWX�' �M��V .�/�� H1 �A�M+��� U��(�� − �.�/�%�� WX�' �' �M��=+' ��9A6 7�3 H: .�/�� H1 �A�M+��� <�;��� −

�?�#�( �' _uX TG-M� ?EG-M �;� 7�3 >���9�� �M�� :.�/�%�� H1 −��;��� 7�3 >���3 �: a� K�M( k��c � K�;� TG-M >,�� �M��

�.�/�%�� WX��A ��M �;�� TG-��� ���9�� �.�/�%�� WX�' �5#6< �M��V �MWX���� �M��W�� −

�.�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�� U�! [%�C �5#6< �M��V ��M����� �M��W�� −��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( >��=M �MWX���� �M��W�� U��( −

��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M ��M����� �M��W�� U��( −�&�+A�M+' ?=E! U��� &��G�; ��+�M��' ��+M��V IX −

���/�( �M��V H: .�/�� TG! �G�; ��M��' �M��V IX −�&�+�'�L+' ?�1 ��+�A�+' ��+M��V IX >6 ,��'�L+' ��A�+��� ��M��V &�L; a.�/�%A U��'c >�/�� H3�A< IL� IX −

��;���� U����� ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M �5#��(� ,��#��' �M��V 7�=; �;�� U��' �' �!�L��� �M��W�� −

Page 52: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

w�

��q�� �;��� > W� H��I ��N v;�! >��=M �M�;��� %�6 > W� H��I ��N v;�! &�1 ,.�/�� Iq�� &��;� @I�; ��C − J�I ��N v;�! >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 ��9I��� %�6 J�I ��N v;�! &�1 ,.�/�� p<�q �M! �' &�9I�( 4#< ��C −

�H�<�*�� ?/W� J�I H1 �q�� @I��� �9M�� J�I @A�' >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 @I��� J�I ��N v;�! &�1 ,@I�(� U��' .�/�� p<�q �M! �' 4#< ��C −

���#�����

Page 53: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

äÉaƒØ°üªdG

Matrices

.(Biotherapy) ájƒ«ëdG áédÉ©ªdG :IóMƒdG ´hô°ûe

��������� ���� ��� ���� ����� :������ ����� � ��� ,����� �!�� �I�#� $%& '� ��(�)� *���� +�- . /���� 0�� ������ �)����� 1�)� 0( �������� 2�#����

34�M67 *8% '� /��9� �;��� F��� 0( �=����I

>�?��@ A9�� B�C ,D�E�� *8% 0( A��� �FG :B�H� I >������� $C�� J���F� 2�#���� ,�H)���� B�C� ,������ 3K�6& L�4��� 4�!� 'G ���� B�C $M '�� ,�H�N��� D�G���9� O�P��� *�)�C �� Q#9� B�C ,���HF� 0(�

3������ �9��� 0(

3��?��@ ��C�E ��R :2S�9� T

J���? '� >�?��@ 1��)� UP�� :V��M�� 1�E �9;C& W 0( 3�H�X? �@��� '� �����G >�F�G Y�#� Z��9�� A�9�� �[�FG '� 0���� ��\� ,������ �)����� L�4��� �E& ]>^ '������� ,]�^ '��F�� :D�M#� �������� >�)�F�� �%� ]_ '�9���- ,]` '��F�� A�a�- ,.�9� $��G A��C �%� ,>�(�X!� L@4& 0( >�?���� b�G 30?�@���4��% c���

3Aa�� d�� ��d� ,�(�X!� A� '� e�!FG ��6 $M

IóMƒdGá©HÉ°ùdG

IóMƒdG ¢ShQO

>�?���� $�fF�>�(�X!� 0(

g�I� L�\>�(�X!��

>�(�X!�� ��P D�E�� >�(�X!� 0@�h� ��fF��]>�C�����^

'������ '� 2�f? AE'���M6

�−iI−iT−iW−ij−i

]$)�k$)9�^ �@��� 0( c���� >������_ ` > � �F���

���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� I

�� �� ��� T���� � ���� ���� W

� ��� ���� ���� j3>�(�X!� W 0( 1��)� >�?��@ b�G &

'�������� '��F�� �X���� �\�&� ,>�(�X!�� *8% 2�#�C � �F�G A�� $)�k2�)�9���@ '�9���l� '��F�� A�a�-�

3��� 0( cm��� A�� ���;�� ���F� .& Z��9�� nEo , e�Hp �I ��@ q\ 3$)�k$)9� rsrj 1���@ hX#? �N �@��� '� �F�G A� 0(� rsr� +��7 �F��� 0( ��[& '��F�� ���? , eta�( ��@�� �F��� 0(� rsTr �a��a� �F��� 0(� rsr� ��?�a� �F��� >�(�X!�� 2�#�C 3rsru ����#� �F��� 0(� rs�i

3�F�G A� 0( c��� A� .�!�? ����� '�h�� 0�� >���XF� LN�� 'G �ea�@ V�E :������ j ?LN��� ���� K�� �� 3� =���E �H�)���� �� 0��� ,D4�M6 Bt#@ �H��#�C '��� 0�� K�67 �)����� w�I ��

?������ �)����� LN��� 'G >�?��@ '�h��� xa�@ Q#9� �9�9N >��( c��

3'��& ��9�

Page 54: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG ������ �!F�� − ���X!� �(�X!��−L�)� �(�X!� − D�y�F��� �[�F�� − �(�X!�� �!FG − B�X[ − D��G& − �(�X!� _���� �(�X!�9� 0@�h� ��fF� − D�E�� �(�X!� − ��@��� �(�X!�� − ��h� >�(�X!� − 0C���� ��� − 0��)�

3�(�X!�� ��� − ���� D�G�N − ]�(�X!��

IóMƒdGá©HÉ°ùdG

>�?���� ,>o�)�� c9z& 0( _�F� 2�#��� $�fF� w�I K�E-� ,��fF� D�G�N 0( ������ D4�[ 0( �H�@��� 0% D�!�#� D4�!@ >�?���� >�(�X!�� L�\ L�M��? x�8@ ,�(�X!� x�d 2�#�C '��� ��� 3�H@�P� �HE�I� 0( �G��� ��(�P- >���9�� +9G 1�!�9� >�(�X!�� ��#�C ,�=�#�4�� 34��� d�#� 2�#�C '���� ��� ,D�X�� A��C4 A�� >����M�� A���� 0( >�(�X!�� ��P

3�����E

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• 3 >��{��� 2�#�C�@ >�Nt�� A�a�� �9��• e4���� ����[ e�G& �F�h��� ����)� >4���� F���� �9��

3�H���N �)�-�• 3'���{�� '� >o��� A�a�� �9��• 3�=�?��@ >�F������� >o���� $C4 �9��• 3�=�?��@ >�F������ �& >o���� '� 2�f? $C4 �9��

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• 3>�?���� $�fF�� >�(�X!�� 2�#��� B�C• 3�������� >�(�X!�� B���� B�C • >o��� A�� �HE�I� >�(�X!�� L�\ 2�#��� B�C

3�����E |N�� 0( >�(�X!��• 3�����E A���� A�� >�(�X!�� ��P 2�#��� B�C• >�(�X!�� >o��� A�� >�(�X!�� >�C���� 2�#��� B�C

3�����E A���� 0(• 3���� D�G�N 2�#�C�@ '���M6 '������ '� � e��f? A�� B�C

Page 55: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

º∏©àJ ±ƒ°S

• 0( >�?���� $�fF� >�(�X!�

• �������� >�(�X!��

0?���� A�G : ������ ������ ����� ��� ��!"�#�� $�%&' �&��(�� ���$'� )*+,�� -�./

e�X[ = Irrr _�C7 �FC 3Ir�I ���F� q@ Ir�� ���F� �?4��������� w�X?l 2��N&Ir�� ���F�Ir�I ���F�

2��� 0C���� $N���Wusr�j�s����8{� ����iIsr�~js�

>���9���uTsI�u�s�Y@t���jWs~�j�s~

'���� >���6�W~sI�j�sI����F� >���6� L9C�TisT�T�s~

?��%�� 0&��(�� 1���� 02 34�/5�� .�� 67�8 19 �?�7;'� 6��9 1�� <� 02* ?�.9'� 34�/5�� .�� 6��9 1�� <� 02 I

3 ���� Z�!E�� ������� D4l :4�!�� *

∞jô©J

=3+#>�* @A�; 02 .B�#�� 4�+>'� -C 1�DEB 0F 2A�G#��3Elements �[�FG +��� �(�X!�9� �?���� �G7

Dimension of a Matrix áaƒØ°üªdG áÑJQ

= �(�X!�� ��(�* �"H� ,�JML M"NB OP�* Q�,!�� @*�� +�R8 2A�G#�� S�T 5C��=U × � �"HB* �(�X!�� ���4 U�4+N/ VUW 3+#>'� 4+>* V�W @A�G�� 4+>

W T Ir i u =

3T × I ����� -C 0F 2A�G#��=3+#>'� 4+> M��/ @A�G�� 4+> XY*� �"H� 2A�G#�� .B$ 8�"H� :�fEt�

äÉaƒØ°üe »a äÉfÉ«ÑdG º«¶æJ

Organising Data Into Matrices1-7

Page 56: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]�^ 1�a�:09� ��� �(�X!� A� ���4 c��

j u Wi− T− I� r �

= T− IT W− = ��Irrsj

= q\

:A��3T × T ����� '� �(�X!�� :D��G& T� B�X[ T '� �(�X!�� .����

3T × � ����� '� �(�X!�� :D��G& T� �E� |[ '� � �(�X!�� .����3� × W ����� '� �(�X!�� :�E� ��G� B�X[ W '� q\ �(�X!�� .����

A�� .& 1��E:09� ��� �(�X!� A� ���4 c�� �

r j Wi rsj I− = ��r T ~−� = �r �rj− �

� rsu = q\

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� D��G7�@ 0���� 0?���� $C�� >�?��@ A/a�� �(�X!� c�� 3�G�Ck>��)�)��@ ����@�H�� �N�M� _��� .& '��� :�N�M�

3�\����

~r rrrir rrrur rrrjr rrrWr rrrTr rrrIr rrr�r rrr

r ���� >4��l

��@��� 1��� ��@ 0( >�F�� K�El �tH�Co� ����@�H�� �N�M� ���?- D��?

���?l �tH�Co

'�����

Page 57: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

:A��3�tH�Co �& ���?l K���� A/a�� ��G A�� ,��� A/a�� �(�X!�� 0( |[ A� .& b�(

3$C�� '� �(�X!�� �[�FG J�F�C

���?l�tH�Co ����Wj rrrWr rrr

>4��lir rrruj rrr'������r rrr�r rrr

A�� .& 1��E3K�6& 1� �H��- X�P& d- 0�� >�?���� A���� �(�X!�� A���� xF��� |�� U /P� & I

3T × I ����� '� �(�X!� 0( ��@��� �(�X!�� �[�FG �@��� �G& � 3D��G7� B�X!9� �e?�FG LP

3q\ × �H���4 0�� �(�X!��� × q\ �H���4 0�� �(�X!�� '�@ w�X� U /P� q\

áaƒØ°üªdG ô°UÉæY õ«eôJ

1�7 |!� 0( `8� �!F�� �(�X!�� 0( , eta�( ,��H�( LN�� ����� |!� 0�N4 ��o�@ �(�X!�� 0( �!FG `& ���3]�e�?�M ����� eo�& |!�^ T� �����@ O��- ���? ���a� �����

= �� �� T� T� :���a� ����� 1�7 |!� 0( �!F�� �� �� �

� �

Page 58: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]T^ 1�a�

= � :�(�X!�� 0(�I�jW

:09� ��� �!FG A� ���N c�� IuITsj�r�W−

��� q\ �T� � II� &

:A��u = II� ∴ I ���� 0(� I |!� 0( L�� II� �!F�� &� = �T� ∴ � ���� 0(� T |!� 0( L�� �T� �!F�� �

�I = ��� ∴ � ���� 0(� � |!� 0( L�� ��� �!F�� q\

A�� .& 1��E 3� �(�X!�� '� IT� �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T

ájOƒª©dG ,á«≤aC’G ,á©HôªdG :äÉaƒØ°üªdG

Horizontal and Vertical Matrices Square^

¡ =3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F :��@��� �(�X!�� =Rectangular Matrix ��M"�C 2A�GC : 2A�G#�� S#�B ,��Z �+> �C 02*

¡ =Horizontal Matrix +��* [; -C �AHC 2A�GC 0F :���(7 �(�X!��¡ =Vertical Matrix +��* 4A#> -C �AHC 2A�GC 0F :������ �(�X!��¡ ?� X%C �(2�* /4A#> UAHB U� 2A�G#� -H#/ \F :�N�?� ��(

Page 59: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]W^ 1�a�:������ >�(�X!�� '� =t� |/F[

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e L��\ 0�� �(�X!�� +��� 4�X[& �%�[�FG

���X[ �(�X!�Zero Matrix

. × r2 �����@ �H��- �����

= �j−r = �

�T

rsIrWiTI~

�j− W T� = q\= I−T�sW�I~j

:A��3��@�� �(�X!� ∴ T × T �(�X!� :

3����G �(�X!� � ∴ � × T �(�X!� : �3���(& �(�X!� q\ ∴ T × � �(�X!� : q\

3�9�M��� �(�X!� ∴ T × I �(�X!� : A�� .& 1��E

3]�^ 1�a�� 0( >�(�X!�� |/F[ W

Equal Matrices :ájhÉ°ùàªdG äÉaƒØ°üªdG

=]�N; ^H%��* /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT '�������� .��(�X!� UAHB=4 × `a .B��� -C 0F V4W �!B+#>� 4+>* ,V`aW �!2A�; 4+> 0"�� 2A�G#��

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e LN��� ��H� '��!FG A� '��9� '��(�X!�� 0( O�X? .����� �H�X? ����� ��H�

3'��y�F�� '��!FG

Page 60: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]j^ 1�a�T−WrsIrsjI−

= � ,rsij−�j

�II− = 3� /�( ?.�������� � , .��(�X!�� A%

:A��3.�������� � , .��(�X!���( 0�����@� ,������� D�y�F��� ��%�[�FG� ,.��G� .� /X[ ��H� � , '� /A�

A�� .& 1��E3� /�( ?.�������� � ,_ .��(�X!�� A% j�−�rI = � , TW

rI− = _

=bY4�%#�� c\N� /*��"#�� b�2A�G#�� [/�%B �+d"�B U� �EH#/ ,Ue�*]u^ 1�a�

: ?�� d-W j − _I�I + �T T=W Ij

�~ + � T3� ,_ '� A� ���N �\��(

:A��W j − _I

�I + �T T=W Ij�~ + � T

3������� D�y�F��� ��%�[�FG .�( ,.�������� '��(�X!�� .& ��@�~ + � = �I + �T Ij = j − _I

u = �I Tr = _IT = � �j = _

T = � ,�j = _ :�% A��A�� .& 1��E

3� ,_ '� A� ���N �\��( j ~ + _�− T = j T~

�r − �W T ?�� d- & u3� ,_ '� A� ���N �\��( ��r− W �−� = �� − _ � + _ _T� ?�� d- �

Page 61: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL

Adding and Subtracting Matrices

2-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• >�(�X!�� L�\• >�(�X!�� g�I• ��(�X!�� >o���� /AE

0?���� A�G:)*+,�� 02 b�CA�%#�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>� :�=���!E-

>�\4�9� 0@���� FC����

�F���{9�>��P����

��?-4��d��?-4��dIrrr~j~Tiu~IIrr�~i~jiW~j

= E& \9 02 $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� & �= E& \9 02 i���� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� �

=-�"E��� )jL i����* $A9g�� 7��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & I=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om

= 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� � :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e 0( D�y�F��� �[�F��

�[�F�� 0% >�(�X!�� 0( O�X? LP��� �H� 0��

3�(�X!� A�

i����* $A9g�� b��m�/��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & T=-�"E��� )jL

=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� .B$ �9Z� �

= ,� -���o��� 02 �!"."9 0"�� b�2A�G#��* )*'� )�o��� -> �"8�aT S�T �DE��8 & W=-�"E��� )jL i����* $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C \l#B l��p 2A�GC �"9�

=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� �

=b�2A�G#�� O#,� (/�I r��G� �F��B U�#�� <�* �B�D�jC �+d"&� j

Page 62: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

Adding and Subtracting Matrices äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL=�H�X? ����� -C ��AHB U� �,/ t , -�"2A�GC O#,�

=t , -�"2A�G#�� -C \9 .B$ �!� O#,�� 2A�GC =t , 02 M��� O�A#�� �#!� -/�GE> \9 O#,�t + = `a

. × 2 ����� '� � , . × 2 ����� '� 3. × 2 ����� '� q\ ∴

3_�� + _� = _�q\

]�^ 1�a�

= r I− �i j− T= �

� T−W− Ij �−= q\T− � T

�I u �− ?�� d- :'��& .- �\��(

q\ + � � + & 3c��� ��d�( ,�eF��� L�)� '�� $� d-�

:A��3I × T 0%� � ���4 `���� o T × I 0% ���4 .7 ,L�)� '��� o 3� + &

3T × I :�H�X? ����� ��H� '��(�X!�� .7 ,L�)� '��� 3q\ + �T− i W�� � − = T − r � + I− T + �

�I + i u + j− � − = q\ + 3T × I 0% q\ + ���4

A�� .& 1��E

�− T−W j−

i− � +

IW �I−j T−

�r �− :09� �� J��? �\�& �

Page 63: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� cGo �& V@���� /A� +9G .��� ,�E� 2�� 4�� +9G �H�( >��(�F� K�)� 0��� ,����� /0C��#� �P��4 0( :�P����

3��E�h� w��6 ,�/�C��X� ,�E���� ,|����@ DS4���� ,������ :Y�#� ����7 0( �4��� .& Z�FM& Y�#� ����7 0( cGo /A� �H�9G A!E 0�� U��F� ���)� �\�& $M 0���� 1��)� '� ���� A�� �(�X!� .��

3>o�M�� K�E- 0( $H���(�F�

�P���� cGt�

����4 DS4���|����@

�E��C��C��( w��6��E�h�

1 /�7� �ju~�u� �~~~~�� �u~0?�a�� rTu~�u� I~r~Iu� I�r

���a�� rIWui~� I�u� rir� Iir

:A��:>�(�X!�� L�\ $M ,� × T >�(�X!� Y�6 c��

= ,

������� �ju� rTu� rIW

= �,

DS4����~�u~�uui~

= q\,

�E����� �~~� I~r� I�u

= ,

��C��X�~~�~Iu

� rir= q%

��E�h� w��6� �u~� I�r� Iir

� �u~� I�r� Iir

+ ~~�~Iu

� rir +

� �~~� I~r� I�u

+ ~�u~�uui~

+ � �ju� rTu� rIW

= q% + + q\ + � +

j I�ij �u~j TT~

= � �u~ + ~~� + � �~~ + ~�u + � �ju� I�r + ~Iu + � I~r + ~�u + � rTu

� Iir + � rir + � I�u + ui~ + � rIW =

3���a� cGt� �% ����7 *8% 0( ���X� cGt��( 0�����@�

Page 64: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

A�� .& 1��E3F�( �H�X? ����� �H� ?�� d- o- >�(�X!�� L�)� .& L�M��� o d��� U /P� & I

:����[ ������ D4���� /.& >��Ml >�(�X!�� L�\ 2�#�C � T− I�� �ru W−

+ i− TI ur j

= i− TI ur j

+ T− I�� �ru W−

]T^ 1�a�= T I

�− W= �I− jr �−= q\W T

i I− ?�� d-

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e ��fF� 0% − �(�X!��

3 �(�X!�9� 0��)�

3] −^ + , rI × I + , ]q\ + �^ + , q\ + ]� + , + � , � + :�\��(:A��

� i�− T = + � � i

�− T = � + j �ru � = W T

i I− + � i�− T = q\ + ]� +

j �ru � = I ~

i T− + T I�− W = ]q\ + �^ +

T I�− W = r r

r r + T I�− W = rI × I

+ r rr r = T− I−

� W− + T I�− W = ] −^ +

A�� .& 1��E3 + ]� + q\^ , � + q\ �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T

Page 65: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

äÉaƒØ°üªdG ™ªL ¢UGƒN

:.�( . × 2 ����� '� >�(�X!� q\ , � , .�� d-• ]wt{?o^ 1�XNl ��[�6 . × 2 ����� '� 0% � + • Commutative 1�@l ��[�6 + � = � + • Associative L��)�� ��[�6 Vq\ + �W + = q\ + V� + W• . × 2 ����� '� 0��)� ������ �!F�� 0% ���X!� �(�X!�� = r. × 2 + = + r. × 2 • 3]0��)� ��fF�^ 0��)� _����� ��[�6 r. × 2 = V −W +

äÉaƒØ°üªdG ìôW=0%#,�� wAH%#�� 2A�GC �;�L ��+d"&�8 b�2A�G#�� x�I -H#/

3]�−^ + = � − .�( ,�H�X? ����� � , '��(�X!�9� .�� d-= ���+8T 6��� b�2A�G#�� x�I ��#> ,0��"��8* − � ≠ � − :Uy2 �!��� .B��� �#!�* � ≠ U�9 �ZT :�fEt�

]W^ 1�a�T W �W I I− = � , W I T

r W �− = − � , � − �\�&

:A��:+��7 ����M�

]� −^ + = � − T− W− �−W− I− I + W I T

r W �− = ]T−^ + W ]W−^ + I ]�−^ + T]W−^ + r ]I−^ + W ]I^ + �− =

� I− IW− I � =

:��?�a� ����M�T W �W I I− − W I T

r W �− = � − T − W W − I � − TW − r I − W ]I−^ − �− =

Page 66: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

� I− IW− I � =

W− I− T−r W− � + T W �

W I I− = W I Tr W �− − T W �

W I I− = − ��− I I−W I− �− = W − T I − W T − �

r − W W − I ]�−^ − I− = A�� .& 1��E

:09� ��� A� J��? �\�& Wr T W−

�r j u − i �− u~ � I− &

� T−W− I − j T−

�r �− � Solving Matrix Equations á«aƒØ°üªdG ä’OÉ©ªdG qqπM

=V��7"#��W CA�%C ��r �!B�2A�GC z+�T �4�%C 0F ��(�X!�� ������= �2A�G#�� bY4�%#�� \N� 3�*��#�� {�AL ��+d"&� �EH#/

=`a − t = `a − ,`a + t = `a + :Uy2 ,t = :U�9 �ZT �!��� .B��� �!� `a ,t , b�2A�GC <'

]j^ 1�a�:������ ��(�X!�� ������ AE

� r� ~ = � �

I T − _:A��

� r� ~ = � �

I T − _

������ 0(�I '� A�� � �I T �(�P�@ � �

I T + � r� ~ = � �

I T + � �I T − _

I ��� �� = _ :0�����@�

A�� .& 1��E:��E _ �\�& j

i �rW W− = r �−

j I − _

Page 67: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

äÉaƒØ°üªdG Üô°V

Matrix Multiplication

3-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• �G 0( �(�X!� ��P• 0C���� ��h�• >�(�X!�� ��P

0?���� A�G:)*+,�� 02 b����.�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>�

$�M� >������ ��\�I ��\�T ��\�

��\� '�MZ�{�

Isjrr4�F�

�sijr4�F�

Isrrr4�F�

>��\�� �G�G����jr�rrij

? Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* :-#p �C �? >�.#�� b�.aA�� -#p �C & I

= 8�a�� 4�,/� )*+,�� 02 34AaA#�� b����.�� 6C+d"&� [�9 ]m* � = >�.C .a* \9 -#p \l#"� × � 2A�GC �"9� & T

= >�.#�� b�.aA�� 4+> \l#"� � × 2A�GC �"9� � ,�!��> 6�G� 0"�� b�2A�G#�� ��+d"&� b�Q��aT [G"� V�GE> ,4A#> ,[;W :b�#�H�� �+d"&� :�@���� q\

=b�.aA�� O�#a 1%M#�� M8 O�./ <g�� $�E/+��8 |�.#�� 4�,/�

Multiplying a Matrix by a Scalar OóY »a áaƒØ°üe Üô°V:\lC 2A�GC 02 0(�(� 4+> t�PB U� �EH#/

�� �− �� = � �

− �

Scalar Multiplication »°SÉ«≤dG Üô°†dG

=� ≠ } : } 0(�(� 4+> 02 2A�GC t�m ��#> AF 0&��(�� t�P��= } 2A�G#�� AF ~B�E��:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

`���� � �(�X!�� ���43 �(�X!�� ���4 =} 02 -C �GE> \9 t�P8 } 2A�G#�� S�> \GN�

= /��; 2A�GC ~B�E�� UAH/ ,� = } U�9 �ZT

Page 68: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

]�^ 1�a�= ,

W− T IT W j= �I � r

T �− I− ?�� d-�T − j $M 3 �T , j :�\��(

:A��Ir− �j �r�j Ir Ij = ]W−^ × j T × j I × j

T × j W × j j × j = j u T r� T− u− = I × T � × T r × T

T × T ]�−^ × T ]I−^ × T = �T Iu− �I �r

u IT T� = u T r� T− u− − Ir− �j �r

�j Ir Ij = �T − jA�� .& 1��E

:�\�& ,]�^ 1�a�� '� �� + � � − �� &

»°SÉ«≤dG Üô°†dG ¢UGƒN

:Uy2 =U��&��� U�4+> 4 ,} =U × � .B��� -C b�2A�GC � , t , U�9 �ZT• wtzl ��[�6 U × � .B��� -C 2A�GC : }• ��h9� L��)�� ��[�6 V 4W} = V4 }W• '���� '� L�S��� ��[�6 � } + } = V� + W}• 4���� '� L�S��� ��[�6 } � + } = }V� + W• �X[ 0( ��h� ��[�6 r = × �

»FGôKEG ]I^ 1�a� ���o 2�#�C^ ?��? A� '�M .���C $�( ,D��� |!?� D�� U�!�� ���� '� ��? A� '�M L(�� $�M� FM#� :2��M�

]1��)� 0( 4��C7���� $)E��{[ $)E

$C�� A�9N '��4�F� rsjrr4�F� rsTrr1������ ��!G4�F� rs�rr4�F� rsurr�)?��� ��!G4�F� rs~rr4�F� rsjrr

Page 69: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

:A��3�sj 0( �!FG A� ��P

rsWjr rsijrrs�rr �sTjrrsijr �sIrr

= ]rsTrr^�sj ]rsjrr^�sj]rsurr^�sj ]rs�rr^�sj]rsjrr^�sj ]rs~rr^�sj

= rsTrr rsjrrrsurr rs�rrrsjrr rs~rr

× �sj

��!G '�M� ,4�F� rs�rr ,4�F� �sTjr 1������ ��!G '�M� ,4�F� rsWjr ,4�F� rsijr '�9� '�M U�!� B�C34�F� rsijr , 4�F� �sIrr �)?���

A�� .& 1��E 4��C7 ��X#� :O�9G c�� � e?tG- $�M�� cE�[ LP� 3$�M�� 0( ���� >����� !N�F� ,4��C7 L(4 ��@ I

3D���)� 4��C7�@ ���o LP 3%Ir ���F@

=b�2A�GC -#P"B bY4�%C \N� 0&��(�� t�P�� {�AL ��+d"&� -H#/

]T^ 1�a�3x�@�\- '� V��� $M , r �r

I W = W T� I− I + _W :������ AE

:A��r �rI W = W T

� I− I + _Wr �rI W = W × I T × I

� × I ]I−^ × I + _Wr �rI W = ~ u

I W− + _W~ uI W− − r �r

I W = _W~− Wr ~ = _W

I− �r I = ~− W

r ~ �W = _ :V���

r �rI W = W T

� I− I + _W

Page 70: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

r �rI W =? W T

� I− I+ I− �r I W

r �rI W =? ~ u

I W− + ~− Wr ~

P r �rI W = r �r

I W A�� .& 1��E

:09� ��� ����� A� AE Tr I−W T + �I W

W− � = _I & ~ r �r

�r �~− ��− = �− r iW T− I + _T− �

Matrices Multiplying äÉaƒØ°üªdG Üô°V , -�"2A�GC 3$A; 02 b����.�� 6.B$ 1p M��� +.> ,+#�� ,�;�� -C \H� �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 Q�9g�� $�."L� <�a�

:��� �2�9�� >��P������ � �[�?

= �� �� ��E&�� �� O9� ��G

=3+� S�> 34�C \9 02 pjl�� tjM�� -C \9 �!E> t�a� 0"�� �>AmA#�� ��&'� 4+> \l#B 2A�G#��*W 1�C A�� >��P���� �\4 = �I 1�C A�� 2�9�� �\4

=-�B4�#�� -C \9 02 )�o��� a$4 0F � 2A�G#��*=� X%C -�B4�#�� 02 1!EC ���I \9 b�a$4 hA#,C 2�%C :tA�M#��

:A�� a$4 �� = � × �� + � × � = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 �;�� b�a$4 hA#,C a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 +#�� b�a$4 hA#,C

a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 M��� +.> b�a$4 hA#,C�ur

= q\��r�jr

2A�GC 3$A; 02 ���!E�� ~B�AE�� �E."9 �ZT Ue�*

Page 71: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

S�*'� 2A�G#�� -C c[; c\9 �;�E> t�m� ,-�"2A�GC t�m ��#%8 �A(B 0H� =� , -�"2A�G#�� t�m -C ~"E/ �gF*:0��"�� )�l#�� 02 �#9 t�P�� ~B�A� O#a� c1p ,t�m c\9 ~B�� +a*� = ���l�� 2A�G#�� -C 4A#> c\9 �;�E> 02

�ur��r�jr

= I × Ir + W × TrI × �j + W × WrI × Ij + W × Ij

= WI ×

Ir Tr�j Wrj Ij

= � × =\P2'� 0F +#�� a$4 UAHB 0��"��8*

]W^ 1�a�3� × J��? �\�&

r W� I− = � , T rW− �−

I � = ��E:A��

3��h� J��? L�\ $M ,�I� � I� ��P $M ,��� � �� ��P

? = T r

W− �−I �

r W� I−

− = VI−WVTW + VWWVrW 3D��G7� B�X!� 0N�@ L� �H�X? >�M#� 4 /�� 31 /�7 ����� 1 /�7 /|!� 0( �!F�� �% J��F�

u−? =

T rW− �−I �

r W� I−

? u− =

T rW− �−I �

r W� I−

� = VI−WVW−W + VWWV�−W = V�WVTW + VrWVrW u−

�− W?

= T r

W− �−I �

r W� I−

T u−? W =

T rW− �−I �

r W� I−

� = VI−WVIW + VWWV�W �− = V�WVW−W + VrWV�−W

Page 72: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

u−�− W? r

= T r

W− �−I �

r W� I−

� = V�WVIW + VrWV�W :��h� J��?

T u−W− WI r

= r W� I−

T rW− �−I �

A�� .& 1��E3]W^ 1�a�� 0( A/9f�� ���� 0( A/9f�� /|!� ��h� /�� 0�� >Z�\l |[ & W

T T−r j r �−

W− T :��h� J��? �\�& � ?��h� �(�X!� ���4 �� ?�/�9[7 >�(�X!�� ���4 �� ,]W^ 1�a�� 0( q\

?�/�9[7 >�(�X!�� c��@ ��h� �(�X!� ���4 .4��� |�� :�N�F� ���X��

: äÉaƒØ°üªdG Üô°V

0F � × t�P�� 2A�GC �g�+E> ,4 × . .B��� -C 2A�GC 0F � 2A�G#��* . × 2 .B��� -C 2A�GC 0F 2A�G#��=4 × 2 .B��� -C 2A�GC

I × T

� �� �

2A�GC�� � � ��� � �� ��

t 2A�GC

.��G

W × T ��h� �(�X!� ��@&

.�X[

.�������

B�X[ TD��G& W �× I

= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB4 × 2 q\ = 4 × . � × . × 2

Page 73: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]j^ 1�a�r ~

j− I = � , T I~ �−r W = b�X@

3�( /��� ��z �& �( /��� × � ,� × :��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E3�( /��� ��P �(�X!� A� ���4 �\�&

:A�� × �

'�������� ��z�( /��� ��z × �

VI × IWVI × TW

� × .��������

I × T �H���4� �( /��� � ×

V� × TWVI × �W

A�� .& 1��Er �− r ~~ � j− I = � , I− W

W− j = :b�X@ j3�( /��� ��z �& �( /��� ×� ,� × ��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E &

3B /���� ��h� J��? �\�& � 3I × T ����� '� �(�X!� 0% � �(�X!�� ,T × I ����� '� �(�X!� 0% �(�X!�� .& b�X@ q\

3x�@�\- U /P� ?.�������� ×� ,� × A% OGóYC’G Üô°V ¢üFÉ°üN ¢†©H äÉaƒØ°üªdG Üô°†d

á©HôªdG äÉaƒØ°üªdG Üô°V ¢UGƒN

:Uy2 =� × � .B��� -C b�2A�GC `a , t , 6��9 �ZT• =� × � .B��� -C 2A�GC :� × • ��h9� L��)�� ��[�6 Vq\ × �W × = q\ × V� × W• L�S��� ��[�6 q\ × + � × = Vq\ + �W × • × q\ + × � = × Vq\ + �W• �X!� 0( ��h� ��[�6 r2 × 2 = r2 × 2 × = × r2 × 2

Page 74: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

:ôcòJ �h� 1�a� �)�- 0X�� ��[ 2�G >��Ml �E�

3���fF�

=����@- ��� b�2A�G#�� t�m ��#> :�fEt�]�h�^ 1�a�

I jW i = � , T I

� W = ?J�F��� d�� 3 × � ,� × �\�&

:A���u T��I Ii = I j

W i × T I� W = � ×

�i �~Ij Tr = T I

� W × I jW i = × �

3����@- ��� >�(�X!�� ��P ��9�G ∴ × � ≠ � × Square Matrix áaƒØ°üªdG ™Hôe

=� 5C���8 �!��T 5C�/ × 2A�G#�� Uy2 , %8�C 2A�GC 6��9 �ZT====, × = � , × × = \l#��8* = 2A�G#�� O8�C ��(B*

]u^ 1�a�

= �− Ir � ?�� d-

T , I :�\�&:A��

I− T�− I = �− I

r � × �− Ir � = I

T− WI− T = �− I

r � × I− T�− I = × I = T

A�� .& 1��E3 T� , I� :�\�& 3 � I

W �− = � ?�� d- u

Page 75: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

(äÉ°Sƒμ©ªdG) »Hô°†dG ô«¶ædGh IóMƒdG äÉaƒØ°üe

Identity and Inverse Matrices4-7

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��h9� D�E�� �(�X!� • �(�X!�� ���• _�����^ 0@�h� ��fF�

�(�X!�9� ]0@�h�• ��(�X!�� ������ AE

30@�h� ��fF� 2�#�C�@

0?���� A�G:0�/ �C ~B�� +a*� �

r �� r × u j−

I W & u j−I W × r �

� r � r r �r � r� r r

× � W TI r I−T j �

q\

� W TI r I−T j �

× r r �r � r� r r

=) c*'� )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& I=�%c�AB -C � c(NB 1p ,0�/ �C ~B�� Oc�AB T

r r r �r r � rr � r r� r r r

× W I− T Ir T I �W � I− �−r T I j

:09� �� J��? �\�& Wj TI � × j− I

T �− � j− IT �− × j T

I � & �− j ��− r �r r �

× � r rr rsI− rsI� �− r

� r rr rsI− rsI� �− r

× �− j ��− r �r r �

q\

=V�W )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& j?V�W ,V�W -���o��� S�T .�E��8 �B�8�aT F.B�B [�9 :�N�F� ���X�� u

Page 76: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

Identity Matrix IóMƒdG áaƒØ°üe

=� �8 �!��T 5C�/* =t�P�� D�E�� �(�X!� S#�B ��; �;�E%�� �(8* ,� 0������ �F�M� �;�E> 0"�� %8�#�� 2A�G#��� � �� � �� � �

= × * , � �� � = � × � *

� �� � = * , `a &

4 t = U� ���8� �� � × t &

4 `a = * × = t &

4 `a = � × t + � × � � × t + � × �� × 4 + � × `a � × 4 + � × `a =

= t &4 `a = × * ��g9

= × * = * × :.& `&= ���l�� .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F � �

� � = * =U .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F U × U * C�> 3$AG8*

Multiplicative Inverse »Hô°†dG ô«¶ædG= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 0F _ Uy2 , * = _ × UAH/ ��N8 �!��� .B��� -C -�"%8�C -�"2A�GC w , 6��9 ZT

3 �− �8 �!��T 5C�/** = × �− = �− × � XZT

]�^ 1�a�3 T I

I � = �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% T− II �− = � .& �M&

:A��� �� � = � × + V−W × � V�−W × + � × �

� × � + V−W × � V�−W × � + � × � = − �� �− × �

� � = � × 3 q�� 0@�h� ��fF� 0% � ∴ � = � ×

3 � �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% �(�X!�� .& 1��� '���:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

�(�X!�9� 0@�h� ��fF� �(�X!�� � eh�& +���

3�− �C�����

A�� .& 1��E I I−

W− j q�� 0@�h� ��fF� 0% � I� Isj �(�X!�� .& �M& & �

3� q�� 0@�h� ��fF� 0% .& �M& ,]�^ 1�a�� 0( �

Page 77: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

Determinant of a 2 × 2 Matrix á«fÉãdG áÑJôdG øe á©Hôe áaƒØ°üe Oóëe= �(�X!�� ��� ��(/* | | 5C���8 4+%�� �gF S�T 5C�/* ��� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 F.B�B

= ���l�� .B��� -C %8�#�� 2A�G#�� 4+NC S�> w$+�� �gF 02 �G"(E&

`a t − 4 � AF `a &4 t %8�#�� 2A�G#�� 4+NC

`a t − 4 � = `a &4 t = | | �"H�

D�XF�� �(�X!���@ ��G�� <*��/ �F4+NC 0"�� 2A�G#�� S#�B]I^ 1�a�

r __ r = q\ T− I

I− T = � W T−j− I = :������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�&

:A��i = I × W − ]j−^ × ]T−^ = W T−

j− I = | |

j = ]T^ × ]T−^ − ]I−^ × ]I^ = T− II− T = | � |

I_ = r − I_ = r __ r = | q\ |

A�� .& 1��E:������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�& I

T �T− � − T = q\ q\ i ~

�r I = � � I WI W = &

2A�G#�� 6��9 �ZT �C ��"E"&� S�> 0��"�� $�."LY� }+>��/ @A& =Vb�&AH%CW 08�m ��D� %c8�#�� b�2A�G#�� c\H� ^��=+a* UT n4�,/T �EH#/ [�9* ,08�m ��D� �!� � × �

á«°UÉN

:��� �− 08�m ��D� �!� Uy2 , � ≠ `a t − 4 � U�9 �ZT t &4 `a = :U� ���8

t− � `a− �

| | = �− :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

�%��� 0�� �(�X!�� 0@�P ��f? �H� Y�� �X!�

3D�XF� �(�X!� +���� t− � `a− �

`a t − 4 � = �−

Page 78: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]T^ 1�a�3_ ���N �\�& D�XF� W _

u �I = �(�X!�� ?�� d-:A��

D�XF�� �(�X!�� ��� r = W _u �I = | |

���� F���� r = W~ − _uW~ = _u

~ = _A�� .& 1��E

3_ ���N �\�& ,D�XF� �r j_I W− = � �(�X!�� ?�� d- T

]W^ 1�a�3*�\�& ��)�l ���E 0( ?0@�P ]_����^ ��f? r �−

I− ~ = :�(�X!�9� A%:A��

�− 0@�P ��f? �H� ∴ r ≠ I I = ]~^]r^ − ]I−^]�−^ = q\ � − & r �−

rsj− W− = r I−�− ~− × �I = �−

A�� .& 1��E

3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� I �W T = � A% & W

3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� ~ uW− T− = � A% �

Page 79: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

]j^ 1�a�3*�\�& $M ,0@�P ]_����^ ��f? �H� 09� ��� �(�X!� `& /�E

� Tu I = . � I I−

W− j = 2 &:A��

I I−W− j = 2 &

I− = ]j^]I^ − ]W−^]I−^ = q\ � − & q\ � − & :c�E3 e�\�� .��� 2 q� ]_�����^ 0@�h� ��fF� .�( ,r ≠ q\ � − & :.- ��E

� I� Isj = I− W−

I− j− × �I− = �−2� Tu I = . �

r = ]I^]�^ − ]u^]T^ = q\ � − & q\ � − & :c�E 3�\�� ��z . _���� .�( ,r = q\ � − & :.- ��E

3�\�� ��z �−.A�� .& 1��E

3*�\�& $M ,]_����^ 0@�P ��f? �H� ������ >�(�X!�� '� �(�X!� `& /�E jIsT rsjisI T � W I

T � &

Page 80: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

�N�F�?� ��X? �FGº∏©àJ ±ƒ°S

• '������ '� 2�f? AE '���M6

• ���� D�G�N

=bY4�%C ��D� <� \cl#B U� �2A�G#�� �4�%#�� -H#/��(�X!�� ������ >o��� 2�f?

��� = w

{ × � ��

� = {� + w�� = {� + w.

?68�Al�� ?b���7"#�� ?{ ,w \C�%C +,B -/� =b�2A�G#�� bY4�%C 02 ��DE�� 8�"9 0"(/�I U$�� �:�!#&� �!� t = h × \H��� S�> b�2A�G#�� �4�%C 02 2A�GC \9

� @�a� �(�X!� � >��{��� �(�X!� >t����� �(�X!��

�� = w{ × � �

� w{ × � �

� :t�P�� 2A�GC +a*� & I= �

�� 2A�G#�� /*��C �!�R8 t�P�� 2A�GC 8�"9 -H#/ � =bY4�%#�� ��D� \cl#B 2A�G#�� �4�%C U� [�9 x���

Solving a System :ΩɶædG πM= �Md�� bY4�%#�� -C ��DE�� \� S�> � X%/�& )AGN�� 1p ,bjC�%#�� 2A�G#� 08�P�� ��DE�� 4�,/T O�M"�B

Solving by Using Inverse Matrix :á©HôªdG áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG ΩGóîà°SÉH πëdG -1

]�^ 1�a�3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ T = � + _

i = � − _. :2�fF� /AE:A��

3>�(�X!�� ����� L� 2�fF� c��]�^ T

i = _� × � �

�− �Ti = � , _

� = � , � ��− � = ��E

r ≠ I− = � × � − ]�−^ × � = � ��− � =| |

ø«à«£N ø«àdOÉ©e øe Ωɶf πM

Solving a System of Two Linear Equations5-7

Page 81: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

�I �

I�I − �

I = �− �−

� �− �I− = �−

3�− 0( '���� �H\ '� ]�^ ������ 0(�I '� A� ��h@�

Ti

�I �

I�I − �

I = _

� +9G A!�?

jI− = _

� I− = � ,j = _ :0�����@�

A�� .& 1��E3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ i = �T + _j

j = �I + _T. :2�fF� /AE �

=Crammer’s Rule �C��9 3+>�� S#�B* ,b�4+N#�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� � XP/� -H#/ :ø«à«£N ø«àdOÉ©e πëd (äGOóëªdG) ôeGôc IóYÉb ΩGóîà°SG - 2

Using Crammer's Rule to Solve Two Linear Equations

:'���M6 '������ 2�f? A��) = { t + w � = { 4 + w `a

bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 4 `a = :�"H�

w bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 1 2 = w

{ bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* 12 q\ = {

V� ≠ U� U��8W � = � , _ = w Uy2

Page 82: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

Cramer's Rule �C��9 3+>�(8 @�%B ngF*:U� D�j#�� OC

� X+��* Jj� -�"�4�%#�� Uy2 , r ≠ U�9 d- � \N��2 r ≠ _ , r = U�9 d- I

��G�� �/*��C w , -C \9 0"�� ��N�� ��%"� Y* -�"��N�� -�B�!8 0�"HE&*

]I^ 1�a�r =i + �j − _W

r = T + _u − �T. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C:A��

i − = �j − _W T − = �T + _u−.:��C���� ����M��@ 2�fF� eo�& c��?

�~ − = j− WT u− =

Tu − = j− i−T T− = _

jW − = i− WT− u− = �

I = Tu− �~− = _

= _

T = jW− �~− = �

= �

A�� .& 1��Eu− = �I + _T

r = i − �T − _W−. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C I

Page 83: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

3 � = { + w�� = {� + w�. :��DE�� \� 0F <A"�#�� 02 M(E� V{ ,wW U��p�+���

= M(E�� ngF 0�p�+�T +a*�?�p�� ��( |��?c�� d���

=V{ ,wW �B�#�� �*5�� AF �R�#�� \� ,OI�("�� M(� 0�p�+�T 3Q���* �J����8 -�#�("�#�� 1&$ 0EEH#/

=� J/$*�m ^�� �gF -H�*=\N�� 02 b�2A�G#�� ��+d"&� 0EEH#/

=b�2A�GC �4�%C \H� 02 ��DE�� 8�"9 +�>R&

� = { + w�� = {� + w�.

�� = w

{ �� �

�4�%#�� 02�I t�m� @A& w{ 2A�G#�� 4�,/�

3 �� � 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 02

− �� �− �

× � − � × � = �−

�� �

�−�− � = − �

� �− �− = =t�m� @A�2 08�P�� ��DE�� S�> 6�G� 0E�� �#8 ,Ue�* �−

�− � �� = w

{ �� � �−

�− �I × I � × I

��P& .& '��� o ��#> U' ,-�#��� !a -C t�m� U� �,/ ! b�9gB

= ���+8T 6��� b�2A�G#�� t�m�� �−

�− � = w{ �

� � �−�− �

:U� 0E%/ �gF =t�m� 1p ,b�2A�G#�� �4�%C 8�"9 +�>R&= = { ,� = w

� = � × + � × V�−W

� × V�−W + � × � = w{

V ,�W �#F OI�("�� M(� ��p�+�T��(�P- ������� = {� + w��

� = {� + w�. :��DE�� \� �#F <A"�#�� 02 M(� ��p�+�T �= M(E�� ngF 0�p�+�T 4�,/T* ��DE�� \N� b�2A�G#�� �+d"&�

� X+��C ��"%"& 0"�� \9��#�� �C I?)A�� ��DE�� -H/ 1� �ZT &

?)A�N�� -C M"EC ��r 4+> ��DE�� U�9 �ZT �

Page 84: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

á©HÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

>�(�X!� ��fF�� D�E��

0@�h�

$�fF� 0( >�?����>�(�X!�

L�\g�I�

>�(�X!�� ��P

>�(�X!��

AE '������ 2�f?

'���M6

>�(�X!��

�(�X!�� �����@���

>�(�X!��������

>�(�X!����@���

0C���� ��h�

�(�X!�� L@��

0��\ ��f?

0@�h� ��fF��(�X!�� ��� L�\ U��p

g�I� >�(�X!��

>o���� AE��(�X!�� ������ �!F��

0@�h�

���� D�G�N�(�X!�� ���4

D�y�F�� �[�FG

Page 85: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

¢üî∏e

= : XjlC �"HB* 3+#>�* @A�; 02 4�+>'� M�2 �B�B ,\�M"�C \H� S�> 4�+>'� -C 1�DEB -> 3$�.> 2A�G#�� −=�#!�2 O��A�� 4A#%��* [G�� 0#�$ �Y+8 2A�G#�� 02 �GE> <� 4 c+N/ −

= /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT -�"/*��"C U�"2A�G#�� UAHB −=3�_�E"#�� �;�E%�� x�I �/�I -> b�2A�G#�� x�I � XP/� �EH#/* �#9 ,3�_�E"#�� �;�E%�� O#,8 O#,�� 2A�GC S�> \GNB −

= 2A�GC c\9 02 �!��� .B��� �!� 0"�� �;�E%�� 0F b�2A�G#�� 02 3�_�E"#�� �;�E%�� −= /��; 2A�GC S#�B $��;� �F�;�E> O�#a 0"�� 2A�G#�� −

. 2A�G#�� 0%#,�� ��DE�� 0F − 2A�G#�� − + t = t + :b�2A�G#�� O#a {�AL −

`a + Vt + W = V`a + tW + = r + = + r

r = V −W + =4+%�� �gF 02 2A�G#�� -C �GE> \9 t�P� ,0&��� 4+> 02 2A�GC t�m +E> −

= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT , 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB −= $ × �`a = $ × Ut × U × �

2A�G#�� -C 4A#> \9 �;�E> 02 S�*'� 2A�G#�� -C [; \9 �;�E> t�m� ,b�2A�G#�� t�m ��#%8 �A(B 0H� −=t�P�� ~B�A� O#a� 1p ,t�m \9 ~B�� +a*� = ���l��

=$ × � 0F t × 2A�G#�� .B$ Uy2 ,$ × U .B��� -C t , U × � .B��� -C 6��9 �ZT −V`a × tW × = `a × Vt × W :b�2A�G#�� t�m ���GL −

`a × + t × = V`a + tW × × `a + × t = × V`a + tW

=3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F %8�#�� 2A�G#�� −=* �"HB* t�P�� 3+�A�� 2A�GC S#�B ,��G�� 0F �;�E%�� �(8* � 0F 0������ �F�M� �;�E> 0"�� U × U %8�#�� 2A�G#�� −

=��; �;�E%�� �(8* � 0������ �F�M� �;�E> %8�C 2A�GC 0F 3+�A�� 2A�GC −

Page 86: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

:UAH/* �− �"HB , %8�#�� 2A�G#�� 08�P�� VwAH%#��W ��DE�� 2A�GC −= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� S#�B* ,* = �− × ,* = × �−

t �4 `a = 6��9 �ZT* = 2A�G#�� 4+NC ��(/* | | 5C���8 M��T 5C�/* �4+NC� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 U�"(B −

`a t − 4� = �t`a4 = | | Uy2

� ≠ `a t − 4� ��� t− 4� `a− �

`a t − 4� = �−

=08�m ��D� �!� ^��* 34��EC 2A�G#�� S#�B =� = `a t − 4 � U�9�ZT , t �4 `a 2A�G#�� 02 −

=� X%C -�"�4�%#�� �(N/ �B�C �*f AF -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� −=V�C��9 3+>��W b�4+N#�� ��+d"&�8 *� 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� -H#/ −

Page 87: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

(2) äÉã∏ãªdG ÜÉ°ùM

Trigonometry (2)

pπÑ≤à°ùªdG oáLƒe :IóMƒdG ´hô°ûe

����� ����� � ���� ��� ��M�� ��� �� ������� !��M�� "� #$� %&' ()* F,-.�� �/0 �� 12�-3 :4 �5.�� ����� 6 �0��� �/7�� �.�� �2� �,�8 !9��;<�� �,�2�� ��M�� ��� �,�=8 �,>,' ?'�5�� �>5�'� ��@ ��,�A� �2�B�� C@ �D !",E�2M��

!;F� ��>��G� #;� .� ���<�� �B %�2�� ��3�M� "<� �,�* ��M�� "� H2I��� ��>��G� JK�;��L �,� ,?' %�-.�� NO �<� �3�-�� �/7�� �.�� �'�-� ��,�� ����� 9��0P Q73 R&�3 !�=�� ��� "� S0 �� 9.�� �2�� "� ��M�� ��2�8 !�/7�� �.�� ",� T�@ �U'D �023 V,E ��* � %=�� (FU3 !���2.��

!�'�-�� ��� W�8 ��F* �/7�� �.�� �'�E "� ��%�2�.�� X)8 &*�� ��M)� H��D ��I� Y������!�,$��;<�� ��M�� �,�28 C@ ;F� ��>��G� �,Z<�P ,�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� �2E ����� :K���A� [

!�,Z,� �U�E ��\ ,�3��.,)� T�� D : ]Y^�2)�� _:`,UM��� �2E �)a�D b

!Low Water Mean �c>�F.�� �,.�� F�2�� (.=]3 ,",B� H2�=� T2@ �,.�� 4>8�� &�B�� "� �F%,B� N��2� C@ d,�23 #7=3 D!N�2� #' C@ �/7�� �.�� �� � e�.F8 C��� ������ H�� ���@ � %�� !",B�2� C@ �)7=.�� ?�2)B.�� ��@�.�� �G �7�� "f,U ]3

CZg�� N�2.�� ��������� ���� �� �����

��� �:���� ��−��� ��:!"�� ���

��# !:���� ��−��# ��:$��� ���

� A� N�2.�� ��������� �����

��# ��:���� ����� !:�$�� ���

��� ��:!!�� ����# �:���� ���

"* V-�� !� h��� D hG�� �.��� �2<3 ��F* �/0 �� �U'D D �iD j�-3 ,�.��� k.5�� N��2.� �/7�� �.�� �lm�3 n!",B� 1�.� �;o ��� ��2�� ��G�� �/7�� �.�� ?G2-8 "f,U ]3 d,Z,� h�,g.8 &��� ,�/7�� �.�� �2� �.��� N�2� F���8

?�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� ?Ul Y�* �,=>8 "<.3 W,' q0!�/7�� %�.�� �'�E "� ��>���� � �� ���P "<.3 V,E �,O�A� ��<�� ()* `IF.�� sB� �0 D �

"<.3 SZD ���B8 #� !��M�� ��� n2,* 3�/� S,@ ",U8 � h�,i hG�� Q�']� ,;� �.� C��� j-�A� ()* � h/<8�� :�3����� t?#U��=.�� C@ �,$��;<�� ��M)� %C).* ��I� #,<58

IóMƒdG ¢ShQO

Cl��E�� H2�=.�� C@ ��E2�� ��$��J�3�$����L �,g)g.�� �� ��� J6L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��J[L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��

6−u[−u_−u

IóMƒdGáæeÉãdG

Page 88: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

IóMƒdGáæeÉãdG

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG

• !�,g)g.�� Q=F�� Y������ �,>,' �.)B8• !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �,>,' �.)B8

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe

• !��E2�� ��$�� K�B�8 K2�• C@ ;����=�� ��E2�� ��$�� ()* �M�F�� ?,l��EP �028 K2�

!�,g)g.�� �� ��� &,� �73P• ?G�B.�� #-� ��E �3 �/� �,g)g.�� �� ��� ",� ���B�� �028 K2�

!�,g)g.��• !�,g)g� �� � ()* 12�-8 �3�U0 ?��U* F,=U�� Y2�8 K2�• :",� ���B�� �028 K2�

!θ �3 �^ 1A θ[�0 ,θ[0 −!θ �3 �^ 1A θ[� θ[x −

!θ�3 �^ 1A θ[�� θ[�x −• ?��M�� �-i "��U8 �,g)g� y�� � ".c�8 ?��U* F=U8 K2�

!�,g)g�

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG

?��oP − �,g)g.�� �� ��� ?��oP − �,g)g� �� � − ��E2�� ��$�� N���� − V�g�� N���� − CZg�� N���� − � A� N���� − �,g)g� ���� n2)��

!?��M�� − �F��� �3 �^ − N�����

Q,7�� ���� ()* JsinL Q,0 &�� `)I]D #IE z2O Y�* �7,�Z Jsin functionL �,.=%��� ��� ?90 !(M�2�� � ���� C@ C� JSanskritL �,�3�<=F� �.)' "� ������� �� !�82�� CFB8 JJivaL {|,0} JAraybhetaL {��3�D} N� �F;�� C@ hG D "<� �8 WIZ CFB8 �Z' !Y t6~ �F� �,��B�� �)�� (�P �)�Z ,��I��� &8 �;�5� C� JjibaL {U,0} &�� �-8 DL ��I�� CFB8 JjaibL {Q,0} �.)<� �.)<@ �O-�� ��2�� C@ �D !JW327��� �.)<� �@���� C� �,��B�� �)�� C@ Q,0

!JsinL 1�<>�� �8F�� #�Z �F* �2.0��.�� �0 JsinusL Q,0 �.)' %�D �,F,8��� (�P C��B�� �.)' "� JW327��� DL ��I�� hc3D CFB8 ,Q,0 JsinL �.)' ()* F)IE JsinusL (�P �2B8 C;@ JtangentL #x �.)' %�D Y* JThomas FinckL {XF,@ ��28}:&���� (�P �wF�� ;.;@ "<.3 C��� ,6tu_

n �

Y q0q�

C@ ��$��)� ��.� C� q0� �.,��=.�� �BM��� �2<,@ 6 = q0 Y = n Y ��mF� !q0 �M�F�� �@�* .' , q0� = q0�

6 = q0�q0 Y = q�x

{umbra versa} ��UB� h.3�� tangent ��E2�� ��$�� Y���=8 !���.�� #w�� CFB8

!�,g)g.�� �� ��� `)B�8 "3�.8 #E C@

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

Page 89: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

1-8(ájôFGódG) á«ã∏ãªdG ∫GhódGh »KGóME’G iƒà°ùªdG »a IóMƒdG IôFGO

The Unit Circle in the Coordinate Plane and Trigonometric Functions (Circular Functions)

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��E2�� ��$��• �,g)g.�� �M�F��• J�3�$����L �,g)g.�� �� ���• �,g)g.�� �� ��� ?��oP• �F��� �3 �^

CZ B8 #.* %&'� (M*� +,-./� 01�� 234�5 � +.M� 67� 8�I ; 2.<�; ����� �=.��� >3�?�� @A� BC (D=�/ (E��F ����� (G*H/ >3�?�� �BI�34J� K�?L��� BC ME3/N?��� ME��O�G�

�º�� D��� (P=�/ B����0�Q ,�15 �> (M*H�� BC 08�'� @S.�� BC5 2.<�3�� B<DH�� @GT�� @M*E

0(P�4 (�U >�3�?�� V�3S5 ?�> X�I�34Y ;ZEJ D/�3�?�� [H\�E B?�� #.M�� / 6��Q ,�1 ��� 3=��� #.M�� ]+ K34Y >3�?�� [

�(E.^_ ��L- %\` aG_ ��*�� ]+ b?-� �º�� = ,º�� ?= :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� _

�0$5 8�cL�� BC d�3=� �S ��*�� ]+ V�� (M*H�� X�I�34Y / �º�! D��� (E��F e/3�?L/ f_� X��M��� �.- D b

?$> 23E3Z�� D?��� B?�� 2.<�3�� aG_ > (M*H�� X�I�34Y M�S (�fN�� / �eH���� @A n

?> BC B<DH�� DNGA .�E B?��� B��*�� @A��� BC (E��,�� b�=� >�� b�= ����

;

��E 6

6 Y

°_~ = α

6

66−

6−

J6� ,

6�L

��E2�� ��$��

��E 6

6

66−

6−

Unit Circle IóMƒdG IôFGO

!��E �E� ��M� WIZ �2I , #iA� �M�Z �/'�� ��$�� C�The Triangular Point á«ã∏ãªdG á£≤ædG

�M�Z�,g)g�

Y C@ �;02� �3 �/� C$;F�� N)c�� NI�8 �M�Z C�

!��E2�� ��$�� N� C�,��� NO2��

� = $Q + $1 V- �iY F*C� �iY (�kGk/ (M*� 0Q ,15 (M*H�� V�\� :�wE��

:Ió«Øe áeƒ∏©e

K�-�� Y���=3 � ��* J�,l �>)3L θ CZZ2,��!�3 �^ �,� "* �,UB�)� �B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F 1�� a�Y ,/.H� θ ,/.�� >3�?L� l��

θ É¡°SÉ«b »à qdG ájhGõ∏d á«ã∏ãªdG Ö°ùædG�0�Q ,�15 > (M*H�� BC 234��� 2.<�; B<DH�� DNGA @M*E ,θ D��� B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F mV� .�S

Page 90: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��

������ �� � ����� ����� �� ��� ���� ��

� θ

��

��

��� ,����

��−

�−

�� ��� �����!"� = θ #$ %& :��� '� (#)��* +, -�.!

/ = = �!"� 0"I ∵

�� = θ� � � /2 = /2/ = �� ��� ����

�!"� = θ #$ ∴

�� = θ� � � /3 = /3/ = �� ��� ����

�!"� = θ $ (45:�6 θ ����� �7����� 8'9� %"�! � # ��

�� = θ� �� = θ�� ≠ �� , ��

�� = θ� � ≠ �� , ���� = θ�

� ≠ �� , ��� = θ� � ≠ �� , �

�� = θ�

:á«°VÉjQ IóYÉ°ùe°;<

°><

22?

2 >F

��� ����º�� � ,º�� � ��� ������ ����� ���!"#

:$%���&"'(�� )*��� &+ º�� -"'� &�� .-��/�� .0��1�� 2"�3� ,������ ����� 2"�3

��I ���� � = � � ��5'+�67 � 85'�� &9';�� <�%/�� >?@ � A��/@ � 8� F(;3

�67 .0��1�� 2�� � 67 ��ºC� = �� � 67�

$#(/�� )?D�� ��I &9';�� &9'EF��� G?�/�� &+ �H� �I = 67� ∴

��J��� ��I �I = ºC� .0��1?�

K<�L�'+ .0�M3 8� CFI = 67 � ∴� 67 �

�−

�−

º��

CFI , �I :/7 � .M(9�� 'E���O

� CFI = º�� � , �I = º�� � ∴$%J � ���

�ºPQ � ,ºPQ � ��� 2E �ºPQ -"'� &"'(�� )*��� &+ .-��� .0��R 2"<� ,������ ����� >?@ ����H� )#��� &+ &�-9�� -S?* )(0 T &"'(�� )*��� &+ .-��� θ .0��R �H θ� ,θ� �U0V .0��1�� 2�� G?�� ���!"� 85/0

:Ió«Øe áeƒ∏©e

α � θ .0��1�� ��(3 ��9@ &�� .0��1�� �W(3 ��� �

��� � α � θ -"'�

Page 91: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

C-,O28 �g�~�t

~�t − ~�t

6

6

6−

6−Y°6[~−= θ

Jº6[~−L�0 = CF,=�� Cl��E��Jº6[~−L0 = 1�I�� Cl��E��

~�t −

!Jº6[~−L0 ,Jº6[~−L�0 �0 D ��E2�� ��$�� Y������:#-��

6 �2M�����$�� C$;F�� ;B)O NM�3 º6[~− ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �^ &���

!Y �M�F�� C@ ��E2��[ �2M���

�ED NO &l �3 �/)� C$;F�� N)c�� ()* �82�� `UMF3 V,-� �3 �/�� &$� hg)g� &���

~�t~�t − ~�t

6

6

6−

6−Y°6[~−= θ

CF,�� CF,l�l V)g.��

°�~~�t −

J?��I�� �2-.� h3^�2� ���� N)c�� �2<3 V,-�L ?F,=�� �2-� ()* S,B)O!Y V)g.�� "<,�

_ �2M���?��.� º�~ = J YL �D �EG

!V)g.�� C@ N)O #' �2I �0 D��$���� �M� WIZ �2I 1 =3 �82�� �2I 6 = Y �82�� �2I

�82�� �2I WIZ 1 =3 º_~ �3 �/)� #��.�� N)c�� �2I 6[ = �iA� N)c�� �2Ij�2vg,@ �3�wZ Y������ _F[ = Y �U'A� N)c�� �2I

!�U�� ",,l��E�� �<@ ,V�g�� N���� C@ N�8 �M�F�� �D .�!_F

[ − = Jº6[~−L0 , 6[ − = Jº6[~−L�0 ∴ ?F,=�� �2-� ()* �iA� N)c�� `UMF3#-8 �D � E

! π_b 0 , π_b �0 �0 D ,C-,O2��� �g.�� ��3�I h����=� [Q3��8

:",3�5* ",.�� n��A �8F�� h���� C���� � �7�� #.'D �U�E ��\ Y�����θ �3 �/�� �,�

�U=F��º[~ºb~ºu~º6_~º6�~º[[~º[t~º_6~

JsinθL θ0JcosθL θ�0JtanθL θx

Page 92: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

Circular Functions (Trigonometric Functions) (á«ã∏ãªdG) ájôFGódG ∫GhódG Z�p�5 b=���� Z�p� BC (E��,�� ]D� B<DH�� @GT�� q.O�� ,θ D��� (E��,� (�kGk��� (M*H�� B+ 0Q ,15> ��- �iY +]rs� (��� %\� :V�\E� Q ,1 M/ %- DN/ .�t?� B�?�S� 234��� 2.<�; aG_ .�t?� > VuC ,0(_L�� ��*_ V���3� v-N���

�w� ,�−x a�Y V��?H� Q ,1 o�4 Q ,1 ME.�t?��� M/ %\� 234�� (��� ,0π$ ,�x ∈ θ o�4 θ

:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

2� Q02.�� �78G� − k'B.�� �78G� n��* ��� ��

!�*=���,g)g.�� �M�F�� −

"<.3 J� ,�L;F* �,UB���

!Jθ0 ,θ�0L q�

:(��?�� 0(E.<�3�� 8��3�� ��5 (�kGk��� 8��3�� 6E.N� @�M?L� ,>3*� �/:∞jô©J

:��@ π[ > θ ≥ ~ V,E θ ;�,� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��PJ�,g)g.�� �M�F)� 1�I�� Cl��E��L � = θ0 V,E θ0 = JθL� :Q,7�� ���� J6LJ�,g)g.�� �M�F)� CF,=�� Cl��E��L � = θ�0 V,E θ�0 = JθL� :Y.��� Q,0 ���� J[L

~ ≠ � , �� = θx V,E θx = JθL� :#w�� ���� J_L~ ≠ � , 6� = θ� V,E θ� = JθL� :NI��� ���� JbL~ ≠ � , 6� = θ�� V,E θ�� = JθL� :Y.��� NI� ���� JtL~ ≠ � , �� = θ�x V,E θ�x = JθL� :Y.��� #x ���� J�L

~�t

~�t~�t−

~�t−

J6− ,~L

J6 ,~L

J~ ,6−L J~ ,6L

0�F$ , 6$5

06[ , _F[ 50$F$ , $F$ 5

º��º�!

º��

�(&��� θ ��� yNP� (�kGk��� 8��3�� ��� ;ZEY (��DLS M\�E �,�

θ �3 �/��������

º���

º��π�

º�!π�

º��π�

º"�π$

º���π

º$��π�$

º���π$

θ0��$$F$�F$���−�θ�0��F$$F$

�$��−��θx��F���Fl m.N/ .�z�l m.N/ .�z�

Page 93: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"$

:BGE / (n4f/ M\�E :%\^�� M/� < θ?= ,� < θ= :VuC 8�'� @S.�� BC θ ��- �iY� > θ?= ,� < θ= :VuC B�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?=

� < θ=

� > θ?=� > θ=

� < θ?=� > θ=

� > θ?=� < θ=

8�'� @S.��

@S�.�� @S.��o�k�� @S.��

B�k�� @S.��

� > θ?= ,� > θ= :VuC o�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?= ,� > θ= :VuC @S�.�� @S.�� BC θ ��- �iY

J[L �g�:C)3 .� #' C@ θ�0 ,θ0 ��oP � %�E

º_~t = θ q0 π�� = θ n º6_t = θ D

:#-��!CZg�� N���� C@ N�8 θ �D 1D º6u~ > θ > º�~ ∴ , º6_t = θ D

~ > θ �0 ,~ < θ 0 ∴

!V�g�� N���� C@ N�8 θ �D 1D π_[ > θ > π ∴ , π�

� = θ n~ > θ�0 , ~ > θ0 ∴

!N����� N���� C@ N�8 θ �D 1D º_�~ > θ > º[�~ ∴ , º_~t = θ q0~ < θ�0 , ~ > θ0 ∴

#-8 �D � E?θ�0 ��oP C� � !º[�~ > θ > º�~ �Z' ��P D _

?θ0 ��oP C� � !π > θ > �~ �Z' ��P n

Reference Angle OÉæ°SE’G ájhGR

�@S�.�� @S.�� �� o�k�� @S.�� �� B�k�� @S.�� BC ;�=�/ B<DH�� DNGA θ (E��,� (�kGk��� bLH�� ��� (C.N/ a�Y e��4� {?O�áeƒ∏©e

!>�D D�� ]3 α /����

�θ (E��,G� B<DH�� @GT��� XH�L�� ��O�S 2;3O/ ,α 2;4 (E��F a�Y (E��,�� ]+ ;H�Y M\�E

Page 94: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�>

:OÉæ°SE’G ájhGR ∞jô©J

�) 7� �@� �� �#� AB$� ,D�E �F$"�� ����� * 9)G� ����H�I 97'� �"J, �, �F$"�� ����� �� F9� ���� F.9K� �#� α ��%�� ����� �6

º�< > α > º< :%L� * 9)G� ����H α % 5 �ML�:* 9)G� ����H * ��G �N�#O�� IP J� Q@"! �7 #� 0 �RS�

θ

�−

�X

6�

�− �

α

θ

�−

�− �

α6�

X

6�

� Xθ

�−

�− �

α

�T �� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − º�Y� = ºα

�θ − π = �α

� �� ���� �� ��! θ ,U9Vº�Y� − ºθ = ºα

π − �θ = �α

����� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − ºC�� = ºα

�θ − πI = �α

�C� ���:&?0 /� $5� -"'� ��� � �9"V� .0��R 8Z'@ 2E ,&"'� )*� &+ .-��/�� 0��1�� 8� [F\ 2"<�

π��� 6� ºI�Q X º�IQ :$%��

&3��� )#��� &+ )(J º�IQ = θ ºθ − º�Y� = ºα �9"V� .0��R �'� ∴

º�IQ − º�Y� = ºQQ = ��−

�−

º�IQºQQ

ôcòJ

85/0 6� � X .-��/�� .0��1�� �6�� ,X�� 1���# -� 1��3 � 6�� ,&���#T� )?D�� X� G'�

�&�-9�� )?D��

Page 95: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

V�g�� N���� C@ N�8 º[6t = θ nº6u~ − θ = α �F��� �3 �^ �,� ∴

º6u~ − º[6t = º_t =

N����� N���� C@ N�8 π66� = θ q0

θ − π[ = α �F��� �3 �^ �,� ∴π66

� − π[ = π� =

#-8 �D � Eα

θ

6−

6− º�~ !θ �0 D !ºθ �3 �/)� ºα �F��� �3 �^ ,#��.�� #<5�� "%,U3 b

66−

6

6−

º[6tº_t

66−

6

6−

π66�π�

Page 96: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"!

(1) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG

Relations Between Trigonometric Functions (1)2-8

º∏©àJ ±ƒ°S

• �� ��� ",� ?��B�� θ �3� /)� �,g)g.�� ,θ − π ,θ− :3� /��

, θ − π[ , θ + ππ �[ + θ , θ + π[

• �,g)g� ?G�B� #E • �3�U0 ?��,UB8 F,=U8

�,g)g� �� � ()* 12�-8

CZ B8 #.*6

6

6−

6−

θ (P=�/ (D=�/ (E��F Mm�_ ,234��� 2.<�; aG_ D 6�8�'� @S.�� BC B<DH�� DNGA B��*�� @A��� BC

�θ 3=�� n :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0

�0θ−5?= ,0θ−5= ,θ?= ,θ = 1 (P=�/ (D=�/ (E��F @/ 6 BC X��M��� �.- [

�B�k�� @S.�� BC B<DH�� DNGA BN�Z�� 1�\N��� �DH/ %- M�?E��,� (�kGk��� 8��3�� ��� M�S (�fN�� 8�4 eH���� @A _

�K.r~��,��A� �,g)g.�� Q=F�� a_3�� θ D��� B?�� (E��,G� (�kGk��� bLH�� θ� ,θ?= ,θ= a�L�

� ≥ θ?= ≥ �−� ≥ θ= ≥ �−

∈ θ�

VsS e�G_

!θ− ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��J�− ,�LlY J� ,�LY o�4 XH�L�� ��O/ BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ lY (�kGk��� (M*H��

θ?= = 0θ−5?= V�\E�θ=− = 0θ−5=

:¿ƒfÉb

θ�0 = Jθ−L�0θ0− = Jθ−L0

!K %�B� θx �2<3 �D U�5� θx− = Jθ−Lx C����

ôcòJ C@ �<BZ� CFB8

!?F,=�� �2-�

θ

θ−

Jθ0 ,θ�0LY

JJθ−L0 ,Jθ−L�0LlY

Page 97: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

J6L �g�! c π_

u −m �0 �0 m@ , [F − [F[ = π_u �0 �' ��P D!Jº_�−L0 �0 m@ ,~�tu�u º_� 0 �' ��P n

!Jºbt−Lx �0 m@ ,6 = ºbt x �' ��P q0:#-��

! [F − [F[ = π_u �0 = c π_

u −m�0 D!~�tu�u − º_� 0− = Jº_�−L0 n

!6− = ºbt x− = Jºbt−Lx q0

#-8 �D � E:�' ��P #.'D 6

!!! = JY −L0 ��@ ~�_ = Y 0 D !!! = J� −L�0 ��@ ~�_u = � �0 n

!!! = J� −Lx ��@ _�6b = � x q0 !!! = � �0 ��@ 6b = J� −L�0 �

!Jθ − πL , θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ l> (�kGk��� (M*H��

�X�;7�� ��O/J� ,�−LlY J� ,�LY o�4

θ?=− = 0θ − π5?= :V�\�Cθ= = 0θ − π5=

:¿ƒfÉb

θ�0− = Jθ − πL�0θ0 = Jθ − πL0

! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx− = Jθ − πLx C����

YlYJJθ − πL0 ,Jθ − πL�0L Jθ0 ,θ�0LY

θθ − π

ôcòJ

C@ �<BZ� CFB8 !?��I�� �2-�

Page 98: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

J[L �g��U�-�� ���� Y������ � ��

:�' ��P:Ió«Øe áeƒ∏©e

�3 �^ C� α �3 �/�� �Z' ��P:��@ θ �3 �/)� �F���

|θ0| = α0|θ�0| = α�0

|θx| = αx �F�P �3 �^ °�~ �3 �/�� : h�g.@

!°6[~ �3 �/)�|°6[~ �0| = °�~�0

!º6[~ �0 �0 D , 6[ = º�~ �0 D! π_b 0 �0 D , [F[ = πb 0 n!Jθ − πLx �0 D , _t = θx q0

:#-��! 6[ − = º�~ �0 − = Jº�~ − º6u~L�0 = º6[~ �0 D

![F[ = πb 0 = c πb − πm0 = π _b 0 n

! _t − = θx − = Jθ − πLx q0#-8 �D � E

:�' ��P !�U�-�� ���� Y������ � �� [!º6t~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~0 D

!J� − πL�0 �0 m@ , bt = ��0 n �π66

6[ x �0 m@ ,_F − [ = π6[ x q0

!Jθ + πL ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��

JJθ + πL0 ,Jθ + πL�0L lY

Jθ0 ,θ�0LY

θ + π θ �%&'� (M*� BC > (M*HG� 1\N�� B+ l> (M*H��

J�− ,�−LlY C@ �<BZ�#iA� �M�Z J� ,�LY o�4θ?=− = 0θ + π5?= :V�\�Cθ=− = 0θ + π5=

:¿ƒfÉb

θ�0− = Jθ + πL�0θ0− = Jθ + πL0

! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx = Jθ + πLx C����

Page 99: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

"�

J_L �g�:�' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!π�u x �0 m@ , [F + 6− = πu x n !º[6~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~ 0 D

:#-��!6[ − = º_~ 0− = Jº_~ + º6u~L0 = º[6~ 0 D

.[F + 6− = πu x = cπu + πmx = π�u x n

#-8 �D � E!º[[~ �0 �0 m@ !~���� ºb~ �0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� _

:�i����

θ−θ

Jθ0 ,θ�0LY�>

$>

�>

> 00θ − π5= ,0θ − π5?=5�>

Jθ0 ,θ�0−L�>

00θ + π5= ,0θ + π5?=5$>

Jθ0− ,θ�0−L$>

00θ−5= ,0θ−5?=5�>

Jθ0− ,θ�0L�>

θ − π

θ + π

JbL �g�:�0 D ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!π[_ x q0 !º[b~ �0 n !º6t~ 0 D:#-��

!6[ = º_~ 0 = Jº_~ − º6u~L0 = º6t~ 0 D!6[ − = º�~ �0− = Jº�~ + º6u~L�0 = º[b~ �0 n

._F − = π_ x − = cπ_ − πmx = π[_ x q0

#-8 �D � E!º[_� 0 �0 D �U�-�� ���� Y������ � �� !~�u[� ºt� 0 �' ��P b

Page 100: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

""

�6�

[�

6�

[�

θ

lY

Yθ− π [

cθ − π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��?�i�� l> $Q� Δ > �1�Δ

:XPIJ 2.�H?��� �fA'� �SM� >3�?��θ= = cθ − π

$ m?=θ?= = cθ − π

$ m=�K.r'� >�� b�= ��LE �+�34Y b�= VuC ,M�?/??/ M�?E��F �' :e�F���

:¿ƒfÉb

θ�0 = cθ − π[m0θ0 = cθ − π[m�0

! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x = cθ − π[mx

cθ + π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��

θ

lYY

[�

6�

6� [

�θ + π[

?�i�� �V*SM?/ l> $Q � > �1� VkGk���?l> ,> M/ �%- X�I�34Y B+ /

?cθ + π$m= ,cθ + π$m?= M/ �%- 2�`Y /�θ?= = cθ + π$m= ,θ=− = cθ + π$m?= :�PI�

:¿ƒfÉb

θ�0 = cθ + π[m0θ0− = cθ + π[m�0

! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x− = cθ + π[mx

Page 101: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Trigonometric Functions on ℝ ()* J�3�$����L �,g)g.�� �� ���:%k/ 2.?��� ]+ M/ (�<,= (_��Z/ aG_ �� 0π$ ,�x 2.?��� aG_ 0(�kGk���5 (E.<�3�� 8��3�� ��� V�� a?4 HE��

6E.N?�� 8Z/ aG_ 234�� 2��; %�\E B��*�� DNA� BC (D=���� (E��,G� B<DH�� @GT�� V� 1�� aG_ ��� ,cπ ,π$m �� cπ$ ,�@�0π$ ,�x Z θ /3H_ ��

?2��; M/ .k-� V���3�S θ (E��,G� B<DH�� @GTG� HO�� �iY �3OE �i/ M\��

�f- (D=�/ E��F D*C�.� l�� 0Q ,15 (�kGk��� D?M*� o�4 B��� @A� BC (D=�/ (E��F 1�� θ ��- �iY d�� H� M�P?E 0Q ,15 (�kGk��� (M*H�� D�� }�O& ;3_ q o�4 0π q$ + θ5 D����� eTE� B��� @A� BC DH/

�(�C\?/ E��F� ��� D�G_ �GM��!C��A� �,��� (.=3 �a@<�.�� 3� /)� Q�� �,v �,� �iD

º��� × $ − º�� ,º��� − º�� ,º��� × � + º�� ,º��� × $ + º�� ,º��� × � + º�� , º�� : efk�C

º�"�− º���− ,º���� ,º�!� ,º�"� ,º�� �º�� B��'� D��� B?�� (E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+

Y6

6

6−

6−

lY

θθ +π[

(E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+ , π��−� , π!−� , π��� , π�� , π� :V� �-�π� B��'� D��� B?��

:BGE / {?H?�� M\�E �]\+�

:��@ h-,-i � h��* � �' ��Pθ0 = Jπ �[ + θL0

θ�0 = Jπ �[ + θL�0K %�B� θx V,E θx = Jπ � + θLx

Page 102: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:θ D��� (E��F �' eTE� (O�O& B+ (*SL�� M����*�� V� �;� Vf\^�� M�PE

Y

Q�=�� �78G� ��� �

Y

Q02.�� �78G� ��� �J6L Q3��8

:D��� B?�� (E��,�� d�C @*� �]�� @S.�� ;34� ����π��

� n º��! D

º�"�− � π��−� q0

J[L Q3��8:%�-� ,(P�O�� (��� >�3�?�� V�3S

���������������������� = ���������������� = 0º��� + º��5= = º�"�=������������������������ = ���������������� = ���������������� = º��!?=���������������� = ���������������� = 0����������������5� = _π��−� i�

Page 103: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��$

:V�\�C �+ 8Z��� �P?_S (E.<�3�� 8��3�� 6E.N� 2;_Y HH\�E �SL�� .N�� M/:∞jô©J

:��@ θ ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��P ∈ θ ∀ � = θ0 6 ∈ θ ∀ � = θ�0 [

∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θx _ ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ� b ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ�� t ∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θ�x �

JtL �g�:��2i F=�A ���� �UB��� F=�

!J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0:#-��

J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0� �0 + � 0 − � �0 + � 0 =

� �0[ = #-8 �D � E

:��2i F=�A �,���� ?��,UB��� "� d�' F %=� tJπ� + θL�0 Dcθ − π[ −m�0 n

Page 104: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Solving Trigonometric Equations á«ã∏ãe ä’OÉ©e πM

�@S�.�� @S.�� BC @*� θ− (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ−5?= = θ?= V� 1�3�� �]+ BC ��GN�

�M�mGO�� ;�?_� [�G_ ?θ− �� θ ��L� (E��,�� ��- VY >,Z�� [H\�E %DC ,E��,�� K34J >�?�� b�= �C._ �iY M\��

θ�0 = � �0 :���B.�� #EJ ∈ �L π �[ + θ− = � D π �[ + θ = � 2� !N����� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Y.8 Q,0 �D �EG

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

~ = _F − � �0[ n 6[ = � �0 D:#-��

6[ = � �0 DJQ�� �,v �,� �iD ()* ��* �.�BZL π_ �0 = � �0

~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴

�$ ��−

�−

J ∈ �L π �[ + π_ − = � D π �[ + π_ = � ∴ ~ = _F − � �0[ n

_F[ = � �0 π� �0 = � �0

~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + π� − = � D π �[ + π� = � ∴ #-8 �D � E

!6 = � �0 [F : ���B.�� #E �

Page 105: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

�B�k�� @S.�� BC @*� 0θ − π5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ − π5= = θ= V� eTE� ��GN�

0 ∈ q5 π q$ + 0θ − π5 = 1 �� π q$ + θ = 1 : mVuC θ= = 1 = ��- �iY ,B�?�S�θ0 = � 0 ���B.�� #E

J ∈ �L , π �[ + Jθ − πL = � D π �[ + θ = � 2� !CZg�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Q,0 �D �EG

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

� �

�−

�−

º�~º6[~

[F = � 0[ n _F[ = � 0 D:#-��

_F[ = � 0 Dπ_ 0 = � 0

~ < �0 !CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπ_ − πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + π[_ = �

[F = � 0[ n[F[ = � 0

��−

�−

πb πb 0 = � 0 ∴ ~ < � 0

!CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπb − πm = � D π �[ + πb = � ∴ π �[ + π_b = �

#-8 �D � E!~ = 6 − � 0[ :���B.�� #E �

Page 106: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��!

�o�k�� @S.�� BC @*� 0π + θ5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�dL�� %n�� �D� π + θ ,θ V?E��,��

0π + θ5� = θ�J ∈ �L ,π � + θ = � 2� θx = � x ���B.�� #E

!V�g�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� #x �D �EG

JuL �g�! = � x :���B.�� #E

:#-�� = � x

π_π + π_ ~ < � x V,E π_ x = � x

!V�g�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴

J ∈ �L π �[ + mπ_ + πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + πb_ = �

#-8 �D � E!6 = � x :���B.�� #E u

J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E

cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D

cπb + �m0 = �[ 0 n

:#-��cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D

J ∈ �L π �[ + cπ_ − �m − = π� + �_ D π �[ + π_ − � = π� + �_ π �[ + π� − π_ = �b D π �[ + π� − π_ − = �[

Page 107: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

π �[ + π� = �b D π �[ + π[ − = �[ π � 6[ + π[b = � D π � + πb − = �

cπb + �m0 = �[ 0 nJ ∈ �L π �[ + cπb + �m − π = �[ D π �[ + πb + � = �[

π �[ + πb − π = � + �[ D π �[ + πb = � − �[ π �[ + π_b = �_ D π �[ + πb = � π � [_ + πb = � D π �[ + πb = �

#-8 �D � E:",���B.�� "� d�' #E �

� 0 = cπt + �$m0 n cπ_ + �m�0 = cπb − ��m�0 D

Page 108: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

3-8(2) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG

Relations Between Trigonometric Functions (2)

º∏©àJ ±ƒ°S

• j�2vg,@ ?��M��• �,g)g� ?��*• ".c�8 ?��U* F,=U8

�,g)g� y�� �• sB� �-i �F���

�,g)g.�� ?��M�.��

CZ B8 #.*� (E��,�� �<� |= � ekGk/ ���� D 6

q0

n �(G*H/ e/3�?L/ 0|=5 ,0�5 3=�� n �� $?= + � $= ,� ?= ,� = :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0

�|= $?= + |= $= ,|= ?= ,|= = �' (E��,�� �<� '|= '� ' .rU oGk/ @/ |= ,� ,� X��M��� �.- [

�d�G_ �G74 / Mm�PE eH���� @A _�(�NS� �L�� (E��F θ ,dmG- 1�3�� �]+ BC

�(���'� (�kGk��� X*SM?��� XPIJ , (E��,�� �<� |= � oGk��� >�3�?�� M\�EQ3��8:%�-�

q0

���.���� = θ?= , ���

.���� = θ=

������ =

���.�������

.���� = θ=

��� = θ�

Basic Trigonometric Identities á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãªdG äÉ≤HÉ£àªdG

٠ ≠ >*��� o�4 �θ� = θ?� , θ?=

θ= = θ?� , θ=θ?= = θ�q0

nh �θ= = θ?� , �

θ?= = θ�Pythagorian Identities çQƒZÉã«a äÉ≤HÉ£àe

: (E��,�� �<� |= � %S*��� %\^�� BCq0

nh θ

|=� = θ� , �|= � = θ?= , |=

|= � = θ=$0� )

$0|= �) + $0|= )$0|= �) = [

c�

|= �m + [c

|=|= �m = θ $?= + θ $=

J6L $0� ) + $0|= )$0|= �) =

BC (E��,�� �<� |= � ∵

Page 109: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

j�2vg,@ �3�wZ $0|= �5 = $0� 5 + $0|= 5 ∴ ;3_ ��L� $0� 5 2.�t7�� XNS.���

@S.��� BC 2;�=���� [�]- � dNGA �]���|= � ,|= a�Y (PLH�S

|=

� = $0|= �5$0|= �5 = θ $?= + θ $= :aG_ %7O� 0�5 BC yE�N?�S�

j�2vg,@ ���M�� (.=8 6 = θ [�0 + θ [0

J6L �g�!π[ > θ > ~ , ~�b = θ�0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

!θ0 �0 D D!θx ��F��� n

:#-��:j�2vg,@ ���M�� Y������ D

6 = θ [�0 + θ [0 6 = [J~�bL + θ [0

~�ub = [J~�bL − 6 = θ [0 !π[ > θ > ~ �A �2@�� ~��6� − θ0 D ~��6� θ0

![�[� ~��6�~�b θ0

θ�0 = θx n

#-8 �D � E!θx ,θ�0 �0 m@ π[ > θ > ~ , _t = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� 6

Relation Between tan θ, sec θ θÉb ,θÉX ø«H ábÓ©dG

:aG_ %7O� θ [?= aG_ ���zk�C (*SM?/ BC.I H�L� �iY� ≠ θ ?= o�4 6

θ [�0 = θ [0 θ [�0 + θ [�0

θ [�0θ [� = θ [x + 6

θ [� = θ [x + 6 ∴

Page 110: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��"

J[L �g�:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e

~ < θ x �' ��P .;� θ�0 ,θ0 ∴

!;=>Z ��o��

,�U�-�� ���� Y������ � ��!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ�0 ,[F[ = θx �' ��P

:#-��:(� D ��3�I

[F[ = θx[F[ = θ0

θ�0J6L θ�0 [F[ = θ0 ∴

6 = θ [�0 + θ [0 ∴

j�2vg,@ ���M�� 6 = θ[�0 + [Jθ�0 [F[L ∴θ�0 [F[ q� θ0 "* � %2* 6 = θ [�0 + θ [�0u

6 = θ [�0� 6� = θ [�0 ∴

6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,�L 6_ = θ�0 ∴c6_ −m × [F[ = θ0 :()* #I-Z J6L "�

[F[−_ = θ0

:�,Zl ��3�Iθ [x + 6 = θ [�

[J[F[L + 6 = θ [�� = θ [�

_− = θ� D _ = θ� ∴_− = 6

θ�0 D _ = 6 θ�0 ∴

6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,� C� L 6_ = θ�0 ∴[F[−

_ = θ0 1D [F[ × 6−_ = θ0 SF� [F[ = θ0 θ�0 ∴

#-8 �D � E!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ 0 , _b = θx �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� [

Page 111: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

//<

�C� ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���#

�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , �IQ = θ� �\ �`O:$%��

θ� �<aO �0�%# �]3 :>�� .(0�I θ� θ� = θ�

� < θ� ,� < θ� �H � < θ� θ� = θ� ∴

θ I� = θ I� + � θ I� = I

c�IQ m + � ��cIQ = �PP + IQ

IQ = �PPIQ + � = θ I�

.*�+�� �CQ − = θ � �CQ = θ�Q�C = �

θ� = θ� θ� θ� = θ�

θ� × θ� = θ�Q�C = θ� ,�I�C = θ� c Q�C m × �IQ = θ�

���H� )#��� &+ )(J θ .0��1�� �H� �d�I = 6� ,dQ = X G'� .0��1�� 2�� 6� X Δ 2"�3 :.'3E .(0�IK<�L�'+ .0�M3 I�6� � + ?�X � = I�6� X�

?d��c = ?d�PP + ?dIQ = I�d�I� + ?�dQ� = I6� X d�C = 6� X

6�

X dQ

d�I

θ

, �I�C = d�Id�C = θ� Q�C = dQd�C = θ�

$%J � ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���# C

�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , IPe = θ� �\ �`O

Page 112: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Relation Between cot θ, csc θ θÉàb ,θÉàX ø«H ábÓ©dG

θ $?= θ $= + � = θ $?� + �

θ $?= θ $= + θ $=

θ $= = θ $?� + �

���5.�� Y�.�� θ $?= + θ $= θ $= = θ $?� + �

6 = θ [�0 + θ [0 θ $?� = � θ $= = θ $?� + �

θ[�� = θ [�x + 6 ∴

JbL �g�!θx ,θ�x �0 m@ ~ < θ�0 , _� = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��

:#-��6

θ [0 = θ [�x + 6b�� = 6

�b�

= 6[c _

� m = θ [�x + 6

b~� = 6 − b�

� = θ [�xb~F

_ − = θ�x D b~F_ = θ�x

J�U02�L ;=>Z ��o�� .;� θ�0 ,θ0 ∴

b~F_ = θ�x C���� ~ < θ�x ∴

!~�b�b _b~F = 6

b~F_ = 6

θ �x = θx

!6 = θ [�0 + θ [0 :j�2vg,@ ���M�� Y������ b �g.�� #E "<.3 :�wE��!X�� � E !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �3 �/�� &$� V)g� &�� D

#-8 �D � E,�U�-�� ���� Y������ � �� b

!θ0 �0 m@ ~ < θ�0 ,tu = θ�x �' ��P

Page 113: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��$

JtL �g�!�0 = �[�0 × �0 + �_0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD

:#-��J�[�0 + �[0L � 0 = �[�0 × �0 + �_0

6 = � [�0 + � [0 6 × � 0 = !�0 =

#-8 �D � E!�[�0 = �[�0 × �[0 + �b�0 :���M�.�� �-i �UlD t

J�L �g�٠ ≠ Y�.�� V,E !θ [� = J6 − θ�LJ6 + θ�L

θ [0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD:#-��

[n − [ = Jn − LJn + L 6 − θ [� θ [0 = J6 − θ�LJ6 + θ�L

θ [0 θ [� = θ [x + 6 θ [x

θ [0 = θ0θ�0 = θ x 6

θ [0 × θ [0θ [�0 =

6θ [�0 =

θ [� = #-8 �D � E

![ = Jθ [�x + θ [xL − Jθ [�� + θ [�L :���M�.�� �-i �UlD �

Page 114: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

»FGôKEG J�L �g�~ ≠ θ0 �2<8 �D U�o !Jπ[ ,~L ∈ θ V,E ,θ�x = θ _�0

θ0 :���B.�� %#E:#-��

θ�x = θ _�0θ0

θ�0θ0 = θ _�0

θ0~ ≠ θ0 ∴

θ�0 = θ _�0 ∴~ = θ�0 − θ _�0

~ = J6 − θ [�0L θ�0j�2vg,@ ���M�� ~ = Jθ [0 −L θ�0

~ = θ[0 D ~ = θ�0�O2@�� ~ = θ0 D ~ = θ�0

!π_[ = θ D π[ = θ C� ~ = θ�0 `�-8 C��� Jπ[ ,~L ���>�� ()* θ &,�#-8 �D � E

Jπ[ ,~� ∈ � V,E ~ = � �0 − � �0 � 0[ :���B.�� %#E �

Page 115: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Y 6�[

�2���3�� VMG� b-� ,B+f��� (HE3/ BC�.rU eP-�� %*?� ������ (_L�� ��*_ V���; Z�� v\_ 2���3�� X��;

? �'� M_ VMG� ����� / :3�O/ 8�L�?�.-� �<@ W,'

�eMM�/ ���� l�� ,(E�3S

q0^ � ���

6�[

n

θ �2���3�� 6��� 3H_ VMG� @��/ (M*H�� %k��

0 �'� M_ ����p�5 .?/ ��$ = ; |=θ − π$ = V���3�� (E��F

; � = F �F (NM*�� 8�I ;ZEY mBG_� (E��,�� �<� � � oGk��� �(�kGk��� bLH�� M_ 234��� BC d?�GN� / >3�?�s�

��� = 0θ − π$5?=

�� = θ?= θ�0 × = n ∴ ; |= + |= � = ; � �(��*?L��� @M*�� Q��r >3�?�s�

�� − |=� = |= � M\�� ; |= + �� − |=� = ; �∴

� q0 + θ�0 × − = � n ��$ + 0θ?= − �5 = ; �

� �'� M_ VMG� ����� ;ZEJ V���3�� (E��F� 2���3�� .M� 67� 8�I (C.N/ mBG_ :�.-� e�F���`,UM8

DNH7E B?�� (E��,�� 1��� �?/� ! 2���3�� .M� 67� 8�I V- �iY �'� M_ VMG� ����� 3=�� ,f_� (�sL��� BC �º�� 2���3G� B��.�� ��O��� @/ VMG� 3N*/

�,@OP ��m=� ��� 3N*/ DNH7E B?�� (E��,�� 3=�� � �'� M_ .?/ ��! D�3_� @��.�� �?/� � +.M� 67� 8�I 2���; ��� b-�

�� e.?/ ���� ����� aG_ ��� V- �iY 2���3G� B��.�� ��O��� @/

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

Page 116: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��!

áæeÉãdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

?��M��

?��U* F,=U8

?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�

J[L

?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�

J6L

n=EJ[L ?g)g.��

��$�� C@ ��E2��

Cl��E�� H2�=.�� �� ��,g)g�

?��oP�,g)g.�� �� ��� #E

�,g)g� ?G�B�

?��oP ���� n2)��

�,g)g�

F,=U8�3�U0 ?��,UB8

�3 �^�F���

Page 117: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

¢üî∏e

��234��� 2.<�;� a�L� 234� 34�� +.M� 67� 8�I� %&'� (M*� +,-./ B?�� 2.<�3�� −��(�kGk��� (M*H��� a�L� 234��� 2.<�; @/ B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��,� B<DH�� @GT�� @I*� (M*� −

(E��,G� B<DH�� @GT�� DNH7E B?�� α 2;O�� (E��,�� B+ B��� @A� BC B?�� 0|=� ,��5 (D=���� (E��,G� ;H�J� (E��F −�0º"� > α > º�5 �XH�L�� ��O/ @/ (D=����

� ≠ >*��� θ?=θ= = θ?� ; θ=

θ?= = θ� ; �θ= = θ?� ; �

θ?= = θ�

Q = θ= o�4 θ= = 0θ5; :b�Z�� (��; −1 = θ?= o�4 θ?= = 0θ5; :>�?�� b�= (��; −

� ≠ 1 ; Q1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :%n�� (��; −

� ≠ 1 ; �1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :@I*�� (��; −� ≠ Q ; �Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� @I� (��; −

� ≠ Q ; 1Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� %� (��; −�(P=�/ (�kGk��� 8��3�� @��= 8�'� @S.�� BC −

�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ= B�k�� @S.�� BC −�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ� o�k�� @S.�� BC −

�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ� ,θ?= @S�.�� @S.�� BC −�DL�� (�G&'� (�kGk��� (��3�� 2�`Y B+ (�kGk/ (��; ��G*/ 2�`Y −

Page 118: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:(�kGk��� 8��3�� M�S (���'� X�fN�� −θ�− = 0θ−5� ;θ?= = 0θ−5?= ;θ=− = 0θ−5=

θ�− = 0θ − π5� ;θ?=− = 0θ − π5?= ;θ= = 0θ − π5= θ� = 0θ + π5� ; θ?=− = 0θ + π5?= ;θ=− = 0θ + π5=

θ= = cθ − π$m?= ;θ?= = cθ − π$m= θ=− = cθ + π$m?= ;θ?= = cθ + π$m=

}�O& ;3_ q o�4 θ?= = 0π q$ + θ5?= ;θ= = 0π q$ + θ5= ���zk�C (*SM?/ a�L� � = θ $?= + θ $=

� ≠ >*��� o�4 �θ $?= = θ $� + � = θ $�

� ≠ >*��� o�4 �θ $= = θ $?� + � = θ $?�

Page 119: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

IóMƒdGá©°SÉàdGá q«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG

Analytic GeometrymáØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe

�� ?������ � ���� �� ?������ ��� ������ �� ,�� � � �� � �!" ?�� �� � � �# :$%&'� ���(� ) �� �*�+-� .�� /���0� ��(�0� 123��� 4" ?���53 ��* %6 ������% ��* �7��(� �8� ��9 ?;�<�(��= >@� A�B�

C���9 ��D=E� ;@# %6 F��E� ���G� H@8� ��� 123��� 4�B���% ��(�0� U�MG� 4�=&� K�= ,$%&'� �@# .�� ���� FL5

C�5�� M��� H!�8� ;@# 4���G�0� K�=% �N����C����52� & &B� M� ����� ������ %6 ��� ����5� CO* P�� �� F%6 F�Q �� RGS �T3�U� :K��� V

C�B=�Q �W% � &���� �=� X��%6 :PY���� Z:[�BM�� F�Q ��D=6 \

1���0� 3�� 4�� C����% �9 F�5�� O�� �]�B� U�MG�* ��7��* _L�`� �=�� C������ ������� ���0� �� &+E� ��� �+%6 &0� ��9 a&S� ,1���= b c�� �76 d�&��� .�� C�=6&� ��U� .�� F�5�� ���% �(�E� ��U� .�� )e% e ��*

C�������� ��* F�5�� X&� �7��B� ��`�� ,����B=6 �B &< f�� )ee /&+6 �� �0U % 1� ��U� 4�&�6 �Q6 �� ��� g�( ���0� �� f�� \ee F�8� �76 d�&��� .��

:�B+% �T � _0�� Vhe ���� M���% $�B=E� �� P� 6 h FL5 ���= i ��� c89 �!"C� ����% �B &�� j�0�Q� ��* �Q�% $�B=6 �� �U*� ���� �]�B� �3��� k�9� 6

?1�3��� ��U� M� MI�(�� �` �!��% ?mi �����n ��� �] �!�� ��U� ;@# �� j ?� ����% �B &�� j�0�Q� ��* � _0�� ohe % � _��8 3 )\ ����� �U*� >%�0 �9 ��p� �� ���= �9 q+

�3��� k�9� C� ����% k��&� r�Q �� �����B�=% ������ ;@# 1��*�s " �� Ot=� CO����% F�Q �80� _L+� �%�Q 3 C� ���� j�0�Q� ��* ���B=E� O�53 ���� �]�B�

C��D=E� �� �*�+u ��8� v3���=2�% ��7��B� 1L�`�� �=� ����9% ����% �9 �53 �7��(� F�Q _L��� � _& &(� M< :& &(�� hIóMƒdG ¢ShQO

�T��Q-� w��0� ��M� ��0(���(�0�

FG� �����(�0�

FG� �3�����(�0�

�M(7 ��* ��B���(�0�%

v&N��� �3���

)−yV−ym n Z−ymjnZ−y\−yh−y

Page 120: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• C�T��Q-� w��0� .�� U�(8� M�� ��9 c���• Cz��{�`�� � &|7 [�BM� ����9 c���• C����*&�� �%@s�% �(�M� ��(� �+�� ��9 c���

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• C���M(7 ��* ���0� �+�� K�=• C��(�0� ��M� F�I �+�� K�=• C��(�0� ��M( ���8� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=• ��(�0� ��M� ��0(� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=

CH��G� ��% �5��� ��• C��(�0� F5 ��� j�0U* P�(� K�=• CO��� K&��% O8� �M(7 K&�� ���8� ��(�0� F5 �=&* P�(� K�=• C� %�p� ��% ��(�0� ��� ��* ��L�� K&��� K�=• Cv������ %6 � Y���� 1��(�0� �3��� k��� K�=• ��� ������* ��(�0� FG� �3��� v��} K&��� K�=

C���M(7 %6 �M(7%• C��(�0�% �M(7 ��* ��B� K&��� K�=• C���3���% v&N��� K&��� K�=• C�������% v&N��� �3�� ����� v���� K&��� K�=• C�#&M� ��7 F�I% v&N��� p9&� �+�� K�=• Cv&N�� i�� �3��� k��� K�=• C>��0� �� ���&N�3 ��* ��L�� K&��� K�=

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG L�� − � %�p� �� − ��(�0� ��� − ���8� �M(7 − ��(�0�% �M(7 ��* ��B� − ���M(7 ��* ���0� − ��(�0� ��M(� F�I ��7 − v&N��� p9&� − v&N��� �3��� − v&N��� − ��(�0� FG� �3��� − � ������ ���(�0� L�� − �� Y���� ���(�0�

Cv&N��� i�� − v&N��� &M�

IóMƒdGá©°SÉàdG

�~����U�� �=�8��% 1��� 3mP)ohe − )hyon

�<� &� Descartes 1��� 3 O�8 � 3��� ��* F*� >@� �# ,�07&�� K�0����% ,�����U�� �=�8�� �8 ���76 �� �@#% �M(8�% �� 4 ~��� �T��Q-� P�|8� &��*� r�Q ��U�n ���I�(�� � ������ � ��U� O�M=��* >@�% ,m1�3��� ��U�% 1�8�0� w��0� �� �M(7 �9 �� &�B��� �� P��G�=�*% Cm� ,in ���(�(Q � 3��* cB` 46 1��� 3 $�M�=� ,�T��Q-� P�|8� � _&B�� ,�~ ����-� �=�8�� ]���5 �9 �U} 123��* 1��8U8�% 1��(�0� �� /&U�� ���� �M(8 1���0� �#��B���* � &B+

Cm� ,in��* ��L�� ��U� U%&'*

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

1��� 3 O�8 �

Page 121: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

���8�7% &��7 �8�3 � �� �� U���� ��� �� ����� ���� ������ !��"

#$%��� �� �� U&��� '�(�!�) ���� )

#�*��� �� ���+���,- .� $� /0I !234 V

#52 6 .�� 7� �� 8" Z

����9�� '�(�!�:� �;2 .� - , .� $%�

#�;2 .� 52 ,63?<�=> �@� �

��−�−�−�−

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

��

��

��

��

��

��

�A�B�C�D

652

- 8

F 3G

5H

7

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��* ���0� 3�s "���M(7

• 1��T��Q" 3�s " ��M� ���8�

��(�0�

Distance Between Two Points ø«à£≤f ø«H áaÉ°ùªdG

mV ,)n mV ,hn jmZ ,\−n 3

mV− ,\−n q+�−�−A−B−C− �−

�−A−B−C−

� � A B C��ABC

I�%�J #K��&�4 �LMN ���9�� "0O�P� �JQ�0� 6 ,"9��� R�) FMT��� �� #6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� .� �M&�P� ���9�� �(�!�:� U�M� ;�0I -VJ)

CF�I v�Q% \ = |) − h| = 6 /0I X-��� "0O�P� �JQ�0� �LM - 52 /0I -VJ) I�%�J ,;9 Y �&J�M��3

�(�!�:� .� 52 �M&�P� X-��� �(�!�:� U�M� I�@3 K��*4" �LMN #- �M&�P� X-���

CF�I v�Q% h = |mV−n − Z| = - 52 /0I

»KGóME’G iƒà°ùªdG

Coordinate Plane

1-9

Page 122: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

�&�4 ��&�9� RP� �9�� K�Z , �[N 6 , K�Z ,�[N .��M&Y X4 ��N �J3�\�� �] ^P_� `�a3 b�Y�� �;P�_�> .%�J ,�*4" ��&�9� 34

#K$�&��� $%��� �� .�+� 0H#6 , .��M&��� .�� ��9��� -VJ: c"0d_�� �J�eY �!T�9Y

z��{�`�� � &|7 �K52 6N + �K52 N = �K6 N� ���� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[N = �K6 N

�=�=E� ���*&�� �@s� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :¿ƒfÉb

�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF X39> K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N .��M&Y X4 .�� ��9���

# g=�� gL��� "hV�� ��=� iO> ���&�� iY� �@) jk) ,��+J�&> ��2) �+*O�� ��l� �ML> ���� .��M&Y .�� �&�!�� ��9��� 80Y&�� �MLJ

��

� A B

F

/C D�−�−

�−A−B−C−D−E−

m)n F�`�CmV− ,ZnF , mh− ,)n / ��* ���0� �+%6

Vm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0� :�U� Vmmh−n − V−n + Vm) − ZnF =

VmZn +VmVn F = F�I v�Q% Z�o ⋍ )ZF =

CF�I 1��Q% Z�o .��Q >%�0� F ,/ ��* ���0��U� 46 F%�Q

Cv&'� �� gp+ j&�6 ." ��*�+" j ]&� C m\ , �−n4 , m) ,V−nP ��* ���0� �+%6 )

)i

V�

)�m)� ,)in

mV� ,Vin

)i −Vi

)� − V�Vi

j

Page 123: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Midpoint ∞°üàæªdG á£≤f

)−)−V−

Z �

6V)

) V Z \ h o

\h

#6 m���� �M&Y � #n0�9��� �� 8�M&Y 6 , #6 � , � .��&�M�� .��LM R�) 6 �LM&�� �9&> � �M&���

:¿ƒfÉb

C �Z + �Z� = Z , �[ + �[

� = [ �� KZ ,[N� �H m������ �M&Y '�(�!�) 8o� ,K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N iY� �@)

)−)−

mh ,)−n q+

me ,Zn 3V−Z−

V−

ZV)

) V Z \ h o

\h mVn F�`�

Cme ,Zn 3 ,mh ,)−n q+ r�Q 3 q+ ���8� �M(7 �+%6 �*�(� ��'� �� a e + h

V , Z + )−V k = a �� + )�

V , �i + )iV k :�U�

ahV , VVk =

mV �h , )n = CmV�h , )n �# 3 q+ ���8� �M(7

)−)−m)− ,Z−n /

mV ,hn F

V−Z−V−

ZV)

) V Z \ h o

\h

�U� 46 F%�Q F / ���8� �M(7 �+%6 ,�*�(� ��'� �� V

CmV ,hn F ,m)− ,Z−n / r�Q

Page 124: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��A

me ,en me ,\en me ,ben

mho ,benmho ,\enmho ,en

»FGôKEG mZn F�`� c�<�� C�}��� �� �#L� �8 �� g�8* 1�9&'� w�Q" 13��6 v��3" k{&�% C��0�N� �5��� o �� 4�� 46 .�� �*�(� ����� v3�+�� v����7 �9 4��� 46 .�� g�� �������7 k�9&� �� �9&'�

:�#L� �8 �� �� �5��� ��*�6 �� v�Q�% ���0� .��?�������8� ����# k�9&� M��� k076 3�Q 6

?��8�* ���0� �� j:�U�

� &M(� MI�(� �M(7 .�� 4��� 46 ks ��0�� ��s .%E� v����8� 6 Cmho ,en ;mho ,\en ;me ,\en ;me ,en O=%�� >@� ��M�0�

k�9&� M��� 4�� �@ &M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7 a e + ho

V , e + \eV k �M(8� �8� v����8� ;@#

ks ���� ��s ��7�`� v����8� CmVb ,Ven �M(8� �8� >6O=%�� >@� ��M�0� � &M(� MI�(� �M(7 �8� 4��� 46

Cmho ,\en ;mho ,ben ;me ,ben ;me ,\enk�9&� M��� 4�� �@ C&M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7

me ,en me ,\en me ,ben

mho ,benmho ,\enmho ,en

a e + hoV , \e + be

V k �M(8� �8� ��7�`� v����8� CmVb ,oen �M(8� �8� >6

�������8� ��* ���0� j

)

))−)−

V−

V−

VZ

V Z

&�����9 V >%�0� �%�U� .�� F�I v�Q% �9

Vm)� − V�n + Vm)i − VinF :v���(� P�G�07 \e = Vm\en F = VmVb − Vbn + VmVe − oenF =

CF�I v�Q% \e 4��� K�= ���0� 46 >6 �U� 46 F%�Q

Fp8� M( % j�8+ ) ,X&S V M��� �� �=��� M(� Z M��� �T��Q-� w��0� .�� �]�� CF�S Z ,X&S Z ��5��5 Fp8� �� ���0� �+%6 �T ,��5 Fp8� M���% �=���

C�=��� ." CmV ,Z+n �8� F�S V ,X&S Z M��� :�|QL�

Page 125: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��B

�_�� ��8�� �LM&�� /0I !J\J #/0M�� �� P�T� .��LM R�) ;��9&> "VY !J�J ,�* �� ;�0I ��+�p �LM

#n�q��� �LM&�� /0I m�Y X39J � n�q��� /0I .� n�+%��#.��LM&�� .� j$� /0I !234

:�U� �(=( n�+%�� �LM&�� /0I 80%�� ,.�&�M�� .��9 R�) ;�9&�� n�q��� �LM&�� �J!� 84 r�� �� /0I �9&Y3 #�&�M�� �94 C R�) ��+�T�� �LM&�� �9&Y �Y4 ��LJ �hH �����3 ,.��9&�� !�4 /_�4

#�* �� RP� $�O�� �94 C R�) �* �� �+�T�� A : � �+9�� ��+�T�� �LM&�� ��9 �Y4 <�k

�* AD = �� × � = n�q��� �LM&�� /0I 80%���* CB = �� × A :n�+%�� �LM&�� /0I3

º∏©àJ ±ƒ°S

• ��M� ��0(� �5��� �� ��(�0�

C������ �B08*• ��M� ��0(�

H��G� �� ��(�0�C������ �B08*

Internal Division πNGódG øe º«°ù≤àdG -1>���� F�`�

# �;2 .� $p�!�� .� A:� �+9�� 6 ��9&> 60PM���3 KD ,��N 6 ,KB ,CN ^�O� ���&�9� �LM 6 .%��

)−)−

ZV)

) V Z \ h o � b y )e )) )V

\ho

m\ ,hn

mo ,)en j

m\ ,)en 3

Z:q+V

#��9&��� �M&Y '�(�!�) !234:�U�

��9&��� �M&Y �H KZ ,[N 52 .%��#��0PM���

#- �� �J3�\�� �] 6 - ^P_��� �*�YKB ,��N �H - '�(�!�) :�>l� <�=Y

- �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 � = - 6, �t� = � × �

C �H .Ju\V�� k0I 80%J,��>���� RP� �t� = � × A

C#KBt� ,��N �H - 6 ��9&> �M&Y 80%>3 �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 C = - , � = C × �

C �H .Ju\V�� k0I 80%J��>���� RP� A = C × A

C#KB ,EN �H - ��9&> �M&Y 80%>3

#KBt� , EN 52 80%> I�h�3

2-9᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J

Dividing Line Segment

Page 126: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��C

:áeÉY áØ°üHh

,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@):8o� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y iY�3 $p�!�� .� 8 :� �+9�� �;2 .� ;��9&> -��J3 K�Z ,�[N 6

�[ 8 + �[ �8 + � = [

�Z 8 + �Z �8 + � = Z

:v��� X!�;���� /_�P� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y -w) .%�J3E = AC

C = C × A + �� × �A + � = [

Bt� = �BC = B × A + D × �

A + � = Z

6 KD ,��N KB ,CN

A � �+9��KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y

a B × A + D × �A + � , C × A + �� × �

A + � k =m \�b , � n =

+

$p�!�� .� ��9&���

m �Z 8 + �Z �8 + � , �[ 8 + �[ �

8 + � N 52

KZ ,[N

K�Z ,�[N j

q+�m�Z , �[ N j m�Z ,�[ N

P4K�Z ,�[N +

4

Page 127: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��D

mZ ,h−n m\− ,�n j)Z +

q+

j

)))−Z−h−

V−\−

Z h �

V

m)n F�`� Z:) �B08* ��+ �� j ��0(� �M(7 �+%t� Cm\− ,�n j ,mZ ,h−n 4�9 �!"

C�5��� ��` )� 4 + V� P

4 + P , )i 4 + Vi P4 + P j = m� ,in ��0(�� �M(7 :�U�

= h\ = Z × Z + m\−n × )

Z + ) = � ,V− = b−\ = mh−n × Z + � × )

Z + ) = i)�Vh

Cm)�Vh , V−n q+ :�# ��0(�� �M(7�U� 46 F%�Q

Cj ∈ q+ , j q+ = q+ V r�U* q+ �+%t� CmZ ,V−n j , m\− ,Zn 4�9 �!" )�V :) = j q+ : q+ :3�S�"�

C�*�+-� ���(�� �� [(U�� .�� ���0 O8�% �U� �� � _gp+ f� �=&� :�|QL�

mVn F�`�,my ,hn j , m\ ,Vn 4�9 �!"

V

V

\

\

o

o

b

b)e)V

m\ ,Vn

my ,hn j`

h�b

, Z)b j

q+

Ch:Z �B08* q+ �M(7 �� j ��+ �� �5��� �� j ��0(� 3�& % Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6

:�U� Z

h = j q+ q+ r�Q q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M�

:k��7 j ��+ �� �5��� �� ��0(�� v���� P��G�=�* C�5��� ��m\ ,Vn my ,hnj

h Z +

h�b = y × h + \ × Z

h + Z = � ; Z)b = h × h + V × Z

h + Z = i m h�

b , Z)b n q+ 4����

�U� 46 F%�QC q+V = j q+� :r�U* j .�� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm� ,\−n j , mZ− ,Vn ��� V

Page 128: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��E

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J mZn F�`� ��� O( �} Fp8� M( �8�* m\ ,hn �M(8� �8� 4�M�= Fp8� M(

�−�−�−A−B−

A��

� �52

8MP* /\��

-00�� �MO�

!;� /\��6

A B C D E �

BCD

CmZ− ,Vn j �M(8� �8� �M(8�* c�`� �!" 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 �+%6

Cme , VZ� n q+

Cv�Q�% ���(�=� .�� j , q+ , U�(8� 4t* � _�� :�U�

4�M�= Fp8� ��+ 4 : P ��0(�� �B07 46 d&�7C�5��� �� ��M� ��0(� P��� 4�7�(� P�G�07 , ��B� �B07 3�s -

a )� 4 + V� P4 + P , )i 4+ Vi P

4 + P k q+

a \ × 4 + mZ−n × P4 + P , 4 × h + P × V

4 + P k = a ٠ , VZ� k

m\ ,hn mZ− ,Vn j

P4 +

e = 4\ + PZ−4 + P :�U� w&56 �( &I VZ

� = 4h + P V4 + P ∴

e = 4 \ + PZ− 4 VZ + PVZ = 4 Zh + P)\4\ = PZ 4)V = Py ∴

���U� �Q6 �� �B08� 3�s �* g���92� �8� O76 �Q2 \Z = P

4 \Z = P

4 C4�M�= Fp8� ��+ �� Z : \ �# 3���� �MU� ." ��p8� L9 �� ��B� �B07 4��� ,�@*

C��� Fp8� ��+ �� \ : Z �# 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 :�|QL�

�U� 46 F%�Q ��+ �� �5��� �� j �0( �#% ���% 4�M�= �p8* ��� ��(�0� .�� ��} Fp8� M( ,mZn F�`� �� Z

C��} Fp8� 1��T��Q" �+%6 Ch:\ �B08*

Page 129: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

External Division êQÉîdG øe º«°ù≤àdG - 2

>���� F�`�,K� ,BN 6 , K� ,�N .%��

�−�−

A��

� � A B C D E � � ��

��

�� ��

BCDE��

K� ,�N

K� ,BN 6

KZ ,[N 52 #B:� �+9�� 52 �M&Y �� 6 �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> -��J3#52 '�(�!�) !234

:�U� 6 ∉ 52 , j ∈ 52 ^�� KZ ,[N 52 .%��

B:� = 52 :6 52� :A = 52 6 : 6 84 ��LJ �hH3

# �;2 .� $p�!�� .� � : A �+9�� 52 �9&> K� ,B N 6 84 X4

:84 !VY $p�!�� .� ��9&��� y!� z�+M�� � + [A

B = � × � + [ × A � + A = B

,C = [ ;��3 �D = � + [ A :84 !VY I�@ .�3� + ZA

B = � × � + Z A� + A = �

,�� = Z ;��3 A� = � + Z A :84 !VY I�@ .�3#x"T�� .� ��9&��� �M&Y �H3 K�� ,CN 52 84 X4

:áeÉY áØ°üHh

�0(� ��� m� ,in q+ �M(8� 4�� mV� ,Vin j , m)� ,)in c7�9 �!" )i 4 − Vi P

4 − P = i :�����T��Q" 4��� j ��+ �� P :4 �B08* H��G� �� j )� 4 − V� P

4 − P = �

:����9 �(*�0� ��0(�� �M(7 3�s " �� :�|QL�V� P − )� 4

P − 4 = � , Vi P − )i 4 P − 4 = i

mV ,)n m� ,in q+

Z) +

K�Z ,�[N

KZ ,[N 52K�Z ,�[N 6

� 8

K�Z ,�[N 6 K�Z ,�[N

4 P −

Page 130: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

#6 �;2 .� X!�;���� /_��� RP� x"T�� .� ��9&��� y!� z�+M��

KZ ,[N 52 K� ,BN 6 K� ,�N � B −

C = � − �DA = � × � − B × B

� − B = [

�� = � − A�A = � × � − � × B

� − B = Z

# z�9�� $O�� �� {9 Y {�P� �P�� � 0H3 K�� ,CN 52

k ���# �;2 .� B :� �+9�� x"T�� .� 6 ��9&> �M&Y !234

#K� ,BN 6 , K� ,�N ^��

m\n F�`� CZ:V �B08* q+ �M(7 �� ��+ H��G� �� j ��0(� 3�& % ,m) ,V−n j , m\ ,)n 4�9 �!"

Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6:�U�

m) ,V−n j m\ ,)nZ V −

C VZ = q+

j q+ r�Q H��G� �� q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M� :k��7 ��s H��G� �� ��0(�� v���� P��G�=�*

)e = )e−)− = \ × Z − ) × V

Z − V = � ;� = �−)− = ) × Z − mV−n × V

Z − V = i m)e ,�n q+ 4����

�U� 46 F%�QC b :Z �B08* j ��+ �� H��G� �� j �0(� ��� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm) ,Zn j , mV ,V−n ��� \

Page 131: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�A�

»FGôKEG mhn F�`� ���(�=� .�� &(�% f'�% d�E� 4��� K�0�� g�8T6 f'�% d�E� ��* ���0� C��*�(� v���� ��B� �9 v�Q�% &(�% d�E� ��* ���0�% �_B &(� �9 )\y oee eee

C�_B &(� �9 Zb\ eee ��M(� .�� &(� ��+ H��G� �� ��0(�� �B07 �+%6 6

Cd�E� �+�� r�Q f'�% &(� ��* ��}��� ��(�0� Cf'� �#% �}E� �M(7 ;p9&� �T��Q" w��0� @5t8 j

?d�E� 1��T��Q" �# �� ,m)e ,on 1��T��Q-� O ��U� ;@# �� &(� 4�9 �!":�U�

�9 Zb\ eee = &(�% d�E� ��* ���0� 6�9 )\y oee eee = f'�% d�E� ��* ���0�

)V\ o�h = Zb\ eee

)\y oee eee = �B08�:k��7 f'�% &(�% d�E� ." �B08�* H��G� �� ��0(�� j

me ,en m)e ,on \o�h )V

&(�f'�−

\o�h × o − e × )V\o�h − )V = i

o�e)h i \o�h × )e − e × )V

\o�h − )V = �)e�eVo �

m)e�eVo ,o�e)hn :�_B &(� �# d�E� 1��T��Q" 46 >6�U� 46 F%�Q

C &(�% f'� ��* ���0�d�E�% f'� ��* ���0� :��0(�� �B07 �+%6 ,mhn F�`� �� 6 h

?&(� 1��T��Q" �# �� Cm)) ,�n �# d�E� 1��T��Q" 46 �8<&��� �!" j

d�E�

&(�

f'�

:k��

d�E�

f'�

&(�

�9 )\y oee eee �9 Zb\ eee

Page 132: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�A�

( ) 3-9º«≤à°ùªdG §îdG π«e

Slope of a Straight Line

���8�7% &��7 �8�3#|�\��� !��� !�4 "9� FMT��� $_�J

?6 R�) .� �*4��� ��q��� � )?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�

?6 R�) .� �&�}� ��q��� � V?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�

�&�}� ��q��� R�) �*4��� ��q��� �+9Y � Z?�LM $%�

#� ~9� ? g� >"� �_�}� �H �P��� X4 \

C

C

��

K"��}

�N �*4�

�� `�0

��

K"��}�N �&�}� `�0��

��

�C

�C

��

6

52-��

�C A�

º∏©àJ ±ƒ°S

• &���� F���• ��� 3�s "• ��(�0� ��� ��* ��L��

� %�p� ��%

Rate of Change ô«¨àdG ∫ó©e

�L���� &���� F��� ��9J #8 P�T� �j�q> k!L� �;� 52 6 ,6 ,�=�4 FMT��� �� .����%�� n!�) iM+>"� �@) gO�Oa �PJ � 80%J #"����*� 8���q�> .����� .�� �=L��

:8o� n�p}�Z `���� ��q���� �� ��q���

[ $&�9��� ��q���� �� ��q��� = ��q��� /!L�

m)n F�`�?O0�7 �# ������� ���� �� &���� F��� �# C&���� F��� �+%6 ;�736 F%�s� �� 1�7��B� P��G�=�*

:�U�P� E� 3��* ����� FB�&� ����� �� &����

P� E� 3�� �� &���� = &���� F���

)�h) = ��h − y

V − Z )�h) = o − ��h

) − V)�h

) = )e�h − )V\ − h )�h

) = y − )e�hZ − \

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

����9 ��* �7��(� �# F���C����G� i��� 1��Q�*

j�=�U� &�+t� ���9 P� E� 3��&�7�73 o )

&�7�73 ��h V&�7�73 y Z

&�7�73 )e�h \� _��8 3 )V h

Page 133: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�A�

)�h) �# ������� ���� �� &���� F���

C F%�s� 1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� ,����*%CF ]%E� P��� ��* P� �� ��8 3 )�h 3�3p� j�=�U� &�+t� ���9

�U� 46 F%�QC�7�`� P���% f��G� P��� � _��G�0� &���� F��� �+%6 6 )

1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� 46 �8� ������ P� E� �� �Q�% H%p &���� F��� 3�s " �# :���7 &���� j C��*�+" & ]0� ?F%�s�

&���� F��� 3�s - �7��B� �=&� P��G�=�K� P%�� ,�J}� -!�N �+>���� x�3Q}� 84 �Y�+�� �*��� .j�+J

#��&�9� Fp RP� y-020� K�N /_��� ��#�j�Mp �H /3!V�� 'Y��

#��q��� /!L� -VJ: �Y�+�� �*��� ��!T�*� .%�J #�=6&� "0O��� RP� `���� ��q���� .��L> ��J3 �&�}� "0O��� RP� $&�9��� ��q���� .��L> ��J

Finding The Slope π«ªdG OÉéjEG

��!T�*� �-VJ) .%�J ��&�9��� $�� 84 z+* � �� i*"-#�=L��

�=6&� &�����(�E� &���� = ���

� ��−�− � A B C� 1��Q% h���� ."

KV ,\ N

Kh ,)−N 1��Q% Z��=E� ." �

ABC $�&��� $%��� ��0��� ��&�9��� $�� g=_��

�=6&� &�����(�E� &���� = ���

h − Vm)−n − \ =

Z −h = C Z −h >%�0 ��(�0� FG� ���

:ôcòJ

�_B+�� 4�� 46 �� &���� F���C� _&�} %6 �_B�= %6

�� � A B C

BD�

����

K��J0%

�� "�J!�

�N � P%

��

�J}� -!�

Page 134: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�AA

#{P�� -VJ: ��&�9� Fp RP� .��M&Y ��!T�*� .%�J I�h� ,"9��� R�) �Y�+�� �*��� ��

:������ �q���� �!T�9Y (V� , Vi) 6 ,()� , )i) ^��, 6 $�� -VJ:

e ≠ )i − Vi , )� − V�)i − Vi = �=6&� &�����

�(�E� &����� = ���

�� 6 �M&�P� X-��� �(�!�:� Y4!� �@) , g=_�� #$���� -VJ) !�� .��M&��� '�(�!�) ���� �� !��L��� ��>���� y���� �VJ#�&��� �� 6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� u!+�� �V�� F9+��

mVn F�`�Cm� ,hnj , m) ,V−n ���M(8�* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6

:�U� )� − V�

)i − Vi = ���

d ]�� ) − �mV−n − h =

F ]0* o� = C o

� >%�0 j ��(�0� FG� ���

�U� 46 F%�QCU�(8� �� H%Y ��* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6 V

mZ ,�−n4 , mZ ,\n P q+ mV− ,Zn/ , m\ ,)−nX j m� ,\n3 , mh ,Vnq+ 6

)i − Vi

()� , )i) ( V�

, Vi) )� − V�

j

�− E KE ,CN 6 K� ,�−N

K�−N− C

Page 135: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�AB

k+�� ��(�0� ���

�(�E� ��(�0� ��� � _&�} >%�0

�=6&� ��(�0���� O f�

k�= ��(�0� ���

mZn F�`�Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 46 cBT6 Cm�− ,)−n q+ , mV ,Vnj , m)− ,)n :U�(8� �T��Q-� w��0� �� @5t7

:�U�Z = m)−n − V

) − V = )� − V�)i − Vi = j ��� = )P

Z = o−V− = m)−n − �−

) − )− = )� − V�)i − Vi = q+ ��� = VP

Z = VP = )P 46 >6. �M(8� �� 4�9&�' ��8�% q+ �� j Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 4���

�U� 46 F%�QCv�Q�% ���(�=� .�� mZ− ,Zn q+ , mh ,)−nj , m)− ,Vn U�(8� 46 cBT6 Z

� ��&�9��� �hH $��3 '��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� .�� �=L�� 84 ��h>.θ �� = P :�H

Page 136: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�AC

m\n F�`�C % j � %�p� �N�� r�`� �� j � %�p� �|* O7���% me ,V−n j , m\,en r�Q j ��� �+%6

%� ��−�−�−

�−A−B− � A B C

�%

�ABC

me ,V−n j

m\ ,en

:�U�)� − V�)i − Vi = ���

d ]�� e − \mV−n− e =

F ]0* \V = V =

V = j% , \ = % : j% r�`� ��V = \

V = %% j = j��

V = j ��� = j��

�U� 46 F%�QC)θ ��=��� ��� �+&�8� � %�p� ��% Vθ ��=��� ��� v3�U� � %�p� �|* O7���% 4 ��(�0� ��� �+%6 \

� ��−�−�−A−B− � A B C D E �

� )θ

�ABC

me ,bn

m\ ,en 4

Page 137: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�AD

º«≤à°ùªdG §îdG ádOÉ©e

Equation of a Straight Line(Ü) 3-9

���8�7% &��7 �8�3#��&�9� FT� b�Y�� 8 + [ � = Z :��-L��� $�_� �>

���9�� "0O�P� gJQ�0� g��&�9� $_�> �H3 8 = Z �+�> ��&�9��� ��-L� 8o� � = � iY� �@)#K�&�4 ��&�9�N

#[ � = Z {��-L�3 $a}� �M&�� ��J ��&�9��� 8o� � = 8 iY� �@)

º∏©àJ ±ƒ°S

• FG� �3��� �*��9��(�0�

• �3�� ����� v������(�0�

• &����� F��� 3�s "

:�|QL�:���L� R�) �2O� .OY b�*4" ��� ��&�9� Fp ��-L� ���%� )

• CmPn ���• Cm)� ,)in ���% ��(�0� U�(7 �� �M(7

#m)i − inP = )� − � :��(�0� �3��� 4��� K$�� {� ��� ��&�9��� �hH3 N = [ �H �*4��� ��&�9��� ��-L� V

m)n F�`�Cm)− ,\n �M(8�* & % Z

V O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9�:�U�

� ����* m\ − in ZV = m)−n − �

o − i ZV = ) + �

F�0B��* � − i ZV = �

C� − i ZV = � :�3���

�U� 46 F%�Q�M(8�* & % V−

Z O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9� )Cmh ,o−n

:ôcòJ e = � :�# 1�8�0� ��U� �3��� e = i :�# 1�3��� ��U� �3��� 1�8�0� ��U� U�(7 1��T��Q" ����*% ��U� U�(7 1��T��Q"% me ,in

Cm� ,en 1�3���

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e F��* FB�& c ��7&���* v��&U� �+�3 F���

:��L��* m� p���=n � �D� �+��� :���*��9 �� % ZV + °P y

h = °K F5 �3��� �#% ZV + i

yh = �

yh = O��� ��(�0�

CZV + i)�b = � %6

Page 138: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�AE

mVn F�`�Cme ,V−nj , mZ ,)n ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� k�9�

:�U���� �+�7

e − ZmV−n − ) = )� − V�

)i − Vi = P) = Z

Z = Pm)i − inP = )� − � :�3���

�3��� �� � ����* m) − in ) = Z − �F�0B��* ) − i + Z = �

V + i = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = V + � − i %6 e = V − i − � :�# ��(�0� �3��� ����*%

�U� 46 F%�QCmV− ,Vn3 , m)− ,Zn q+ ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� �+%6 V

�;�P�� 6�� |>�� , b�*4" �H!�4 ���3 .J!�L�� 8��&�9��� 8� �@) �4 #{9 Y $���� .�JQ�0��3 .��*4" ��d .���&�9� X} y!�L���� '��&�9��� $�� 34 {L� �JQ�0���� '��&�9��� $�� -VJ) ��%��� '��&�9��� !�4 $�� ��P� �@) �����3 #�− X39J

#��&�9��� �hH RP� �M&Y ���L�� {��-L� -VJ) ��%�J I�h� ,{L� mZn F�`�

:�+%t� ,) + iV = � :F ��(�0� 4�9 �!"CmZ− ,Vn �M(8�* & >@�% F ��(�0� >Y��� q# ��(�0� �3��� 6

CmZ− ,\n �M(8�* & >@�% F ��(�0� .�� >3��� K ��(�0� �3��� j:�U�

F ��(�0� ��� = q# ��(�0� ��� , 4� Y���� q# ,F 4��(�0� 6V = q# ��(�0� ���

:��'� .�� k��� q# ��(�0� �3��� ,����*%m)i − inP = )� − �

�3��� �� � ����* mV − in V = mZ−n − �F�0B��* \ − iV + Z− = �

e = � + iV − � : q# �3��� ����*% � − iV = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = � − � − iV %6

:Ió«Øe áeƒ∏©e :�# ��(�0� �3�� ����� v����

e = q+ + � j + iC� _�� &��� 4� %�0 2 j , r�Q

Page 139: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�A�

)− = K ��(�0� ��� × F ��(�0� ��� 4������� 4��(�0� K , F j )− = K ��(�0� ��� × V )−

V = K ��(�0� ��� :K ��(�0� �3��� ����*%m)i − in P = )� − �:ôcòJ

j �# ��(�0� ��� 4�9 �!"O�� ������ ��(�0� ��� 4��

e ≠ j , r�Q j− �#

� ����* m\ −iN )−V = mZ−n − �

F�0B��* V + i )−V = Z + �

) − i )−V = �

) − i )−V = � :K ��(�0� �3���

�U� 46 F%�Q:�+%t� ,e = Z + i + �Z :/ ��(�0� 4�9 �!" Z

CmV ,Z−n �M(8�* & >@�% / ��(�0� >Y��� ��(�0� �3��� 6Cm\ ,)n �M(8�* & >@�% / ��(�0� .�� >3��� Y ��(�0� �3��� j

��q��� /!L� 8� �@o� 'Y�+�� .� .���0�V� .�� ��MT�� �=L�� ���0�� /3!2 �� 'Y�+�� �2h��� ��Mp ��-L� ���� .%�J#��� �# &���� F��� 80%J3 ��Mp �=� !20�� {9 Y 0H 'Y�+�� .� �������� x�3Q}� .��

m\n F�`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9�� ,1�+% �!" ?�<�� F%�s� �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �#

C1�7��B� ;@# F%�+ �`�:�U�

:.%E� v�MG�C��B�&� ��+%Y �9 ��* &���� F��� �+%6

)V = V

\ = \ − o ) + Z

)V = o − �

Z − h )

V = Zo = � − )e

h − )) )

V = P ����*% )V = &���� F���

C1�7��B� F%�+ �� H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " ��

� i\ )−o Z� h

)e ))

B

A�

D�

� i\ )−o Z� h

)e ))

Page 140: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�A�

:��7�`� v�MG�:�3��� �*��� �M(8�% ��� ���} P�G�=�

m)i − in P = )� − �C )

V q* P% m� ,hn q* m)� ,)in d�� mh − in )V = � − �

yV + i )

V = ��U� 46 F%�Q

?P�=&� 1�7��B� F%�+ �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �# \C1�7��B� ;@# F%�+ �`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9� ,��L�� ��� 3�+% F�Q ��

»FGôKEG mhn F�`�CF�U� j�=�U� �� � ��MB� P��G�=� �8� 1���= 3�� i �2�* ��N�*&��� ���M� R��8� � � �D� �B08� ���� F%�s� ��B

min ��N�*&��� ���M� /L��=� 1���= 3��)VZm�n ��(B�� ���M� � �D� �B08�%be%oe%\e

C��(B�� ���M� � �D� �B08�% 1���0� 3�� ��* ��L�� H@8� 46 �� ��M5 �3��� k�9� 6?%h � ��MB� �� ��(B�� ���M� �B�� ���= �9 ��* j

:�U�e�V− = e�b − e�o

) − V = &���� F��� 6 c*�T &���� F��� 4���� e�V− = e�o − e�\

V − Z :�3��� P�G�07

��(�0� �3��� m)i − in P = )� − � � ����* mV − in e�V− = e�o − �

F�0B��* ) + ie�V− = � ) + ie�V− = � :�3��� j

) + ie�V− = e�eh k��7 � ����* e�eh = � e�eh − ) = ie�V

� i�− ))−Z− )−)− \h )y

Page 141: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�B�

e�yh = ie�V\��h = e�V ÷ e�yh = i

C�(��3 \h% 1���= \ �%&� ��* >6�U� 46 F%�Q

?%�e >%�0� � ��MB� �� ��(B�� ���M� � �D� �B08� 4��� �9 ���M� /L��=� 1���= 3�� �� ,mhn F�`� �� h:���� F%�s� ��B �9 O��� �(��� 4�Y%E� k0U* &���80�* �9&B7Y F &S 3�� �N��7 1g�+ o

mP�&+���9n i 4Y��V\h�)e m&���8=n � 3���b)))V�h)h�hVe

C��MG� �3��� k�9� j�s -� F�Q �� ?��M5 4��� 46 �� 3���% 4Y�� ��* ��L�� �#

Page 142: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�B�

º∏©àJ ±ƒ°S

• �M(7 ��* ��B� 3�s " ��(�0�%

���8�7% &��7 �8�3 ��9��� �hH !20> ���� y!�&��3 K�Z ,�[N ,K�Z ,�[N .��M&��� .�� ��9��� g&�* �J4"

:����� $%��� RP� /#�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = /

#��&�9��� $�� �H � ^�� ,8 + [ � = Z y"0��� RP� �H ��&�9��� ��-L�3 RP� �M&��� .� ��0*���� �J-0�L�� ���&�9��� �LM&�� /0I 0H ^�� ��&�9�3 �M&Y .�� !L+�� !20Y G0* ["!�� �hH ��

!L+�� �hH !VY �%�3 ,��&�9���:y"0��� RP� ��&�9��� ��-L� ���� R�) �2O� .OY

# gL� � ��� 8J39J k 6 , ^�� ,� = 52 + Z 6 + [

F ��(�0�% m) � ,) in 3 �M(8� ��* K ��B� 4�� ,e = q+ + � j + i :F v���� .�� ��(�0� �3��� c7�9 �!"C |q+ + )� j + )i |

Vj + V F = K :�����* .M��

C� _&�} >%�0 ��8�* ��B�� F ��(�0� ." ��8� 3 �M(8� c7�9 �!" m)n F�`�

Cq# �M(8�% F ��(�0� ��* ��B� �+%6 ]�T ,\ − i Z = � :O�3��� >@� F ��(�0� ." ��8� 2 m) ,Vnq# �M(8� 46 cBT6:�U�

\ − iZ = � :�3��� �� m) ,Vn q* m� ,in �� � ����* \ − V × Z =? ) .�� ��U7

CF ��(�0� ." ��8� 2 q# V ≠ ) : v���� .�� F ��(�0� �3��� �*��9 ks F ��(�0� , q# ��* ��B� 3�s -

e = q+ + � j + i e = \ − � − iZ :F

\− = q+ )− = j Z = ) = )� V = )i

| q+ + )� j + )i | V j + V F = K ��B�

) )e F = |h − o|

)e F = |\ − ) − V × Z | V m)−n + VZ F =

:á¶MÓe F�I �# ��(�0� �� �M(7 ��* �� ���=&� � 3��� ��M(�

C��(�0� FG� .�� �M(8�

3 F

�M(8� ��* ���0� &��6 �# 3 CF ��(�0�%

4-9º«≤à°ùeh á£≤f ø«H ó©ÑdG

Distance Between a Point and a Straight Line

Page 143: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�B�

CF�I v�Q% )e F)e >%�0 ��B�

�U� 46 F%�QCmh ,Vn3 �M(8�% Z + i− = � :F ��(�0� ��* ��B� �+%6 )

mVn F�`�C� − i Z = �V :F ��(�0� ." mZ− ,\−n3 �M(8� �� ��B� �+%6

:�U� e = q+ + � j + i :v���� .�� F ��(�0� �3��� _2%6 k��7

e = � − �V − iZ :F�− = q+ V− = j Z =

Z− = )� \− = )i |q+ + )� j + )i |

Vj + V F = K ��B�

C)Z F = )Z)Z F = |)Z−|

\ + y F = |� − mZ−n V − m\−nZ| VmV−n + VmZn F = K

CF�I v�Q% )Z F >%�0 F ��(�0� ." 3 �M(8� �� ��B� 46 >6

�U� 46 F%�Q

# io + \

Z − = � :F ��(�0� ." m\− ,ZnU �M(8� �� ��B� �+%6 V

:á¶MÓe ��* ���0� c7�9 �!" >%�0� ��(�0�% �M(7 ��8� �M(8� 4��� � _&�}

C��(�0�

Page 144: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�BA

º∏©àJ ±ƒ°S

• v&N��� �3���• �3�� ����� v����

v&N���• v&N��� p9&� 3�s "

�#&M� ��7 F�I%• v&N��� i�� �3���• �� ���&N�3 ��* ��L��

>��0�

���8�7% &��7 �8�3 �� ,�*"!��� u�� �� y�]�- �*�> 84 '-"43 ,"��4 D ;�0I $+O�� .� �LM IJ!� 8� �@)

#I]=�Q `� �%� ?{PL > Xh��v&N��� � &�� ." �73�(�= �@#

i�( !L� RP� 80%> ���� X0�9��� �� U&��� ��0�V� �H v&N���#v&N��� p9&� R�9> ��0PL��� �M&���3 ,��0PL� �M&Y .�

v&N�3

p9&� # \���� {� \��J3 y�]�!�� �M m�Y /0I 0H i�_�� !L+��3

:v&N��� �3�� ��=��(� v���� �M(7 >6% v&N��� p9&� ��* ���0� 4�� �#&M� ��7 F�I% mq# ,3nP �#p9&� v&N�3 >E

C���M(7 ��* ���0� 4�7�� P��G�=�* �#3�s " �� v&N��� .�� m� ,inVm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0�

Vmq# − �n + Vm3 − inF = Vmq# − �n + Vm3 − in = V

:y"0��� RP� H�M m�Y /0I3 K5H ,-N H\��� ���� y�]�!�� ��-L� 80%> ,I�@ RP�3V = Vmq# − �n + Vm3 − in

# �M&�� m�Y /0I3 K5H ,-N� \����� ���0PL�� y�]�!�� ��-L�� ��*�&�� y"0��� �hH R j�9>3m)n F�`�

C1��Q% � �#&M� ��7 F�I% mV− ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�

�#p9&� mq# ,3n r�Q , V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���mV− ,Zn q* mq# ,3n �� � ����* \y = V �mV−n − �� + VmZ − in

\y = VmV + �n + VmZ − in �U� 46 F%�Q

C1��Q% h �#&M� ��7 F�I% mZ− ,hn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 )

mq# ,3nP

m� ,in

5-9IôFGódG ádOÉ©e

Equation of a Circle

Page 145: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�BB

)−

)

)

V

V

Z

Z

P

m\ ,Vn j

mV− ,\n

\

\

V−Z−

mVn F�`�Cm\ ,Vnj , mV− ,\n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6

:�U�j ���8� �# ���% v&N��� p9&� 1��T��Q" _2%6 �+�7

>6 a\ + V−V , V + \

V kP m) ,ZnP

, j V v&N��� &M� ��7 F�I �+�7

\e F )V = Vm\ − V−n + VmV − \nF )

V = F�I v�Q% )e F =

:v&N��� �3��� )e = Vm) − �n + VmZ − in

�U� 46 F%�QCmV− ,)nj , mo ,Z−n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6 V

� = �Z + �[ :y"0��� RP� ;��-L� 8o� ,$a}� �M&Y H\��� ���� y�]�!�� �M m�Y /0I 8� �@)mZn F�`�

C1��Q% \ �#&M� ��7 F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�

,1��Q% \ = = P 4�� ,v&N��� .�� m� ,in �`� �M(7 �8<&� �!" V = V� + Vi :�}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3���)

)

m� ,in

C�*��M� v&N��� �3��� )o = V� + Vi∴

�U� 46 F%�QC�= o �#&M� F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 Z

Page 146: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�BC

á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J m\n F�`� ,m\ ,ZnP �#p9&� v&N�3 ��S .�� ��#YE� �� ���s� c��Y , �( �Q ��

�8� ��� v&N��� �3��� k�9� Cp9&� �� 1��Q% \ ��B� v&#Y �9 4" r�U*

))

V

V

Z

Z

\ho�by

\

m\ ,Zn

h o

C��#YE� ���s� �����:�U�

V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���)o = Vm\ − �n + VmZ − in

�U� 46 F%�QC1�3��� ��U� f�% m\ ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 \

mhn F�`�Cv&N��� �=�� �T ,y = VmZ − �n + VmV + in :���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6

:�U� :v&N��� �3�� ��=��(� v����* v�M�� v&N��� �3��� �7��(*

V = Vmq# − �n + Vm3 − in

�−�−�−A−B−C−D−

A��

BCD

V− = 3 ' V = 3− :46 �s7Z = q# ' Z− = q#−

Z = ' y = V C1��Q% Z = v&N��� &M� ��7 F�I% mZ ,V−n v&N��� p9&�

�U� 46 F%�Q:���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6 h

C\y = �� + �i 6 CZo = �mh + �n + �m\ − in j

Page 147: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�BD

IôFGódG ádOÉ©ªd áeÉ©dG IQƒ°üdG

� = �K5H − ZN + �K- − [N :������ y"0��� RP� ��%> H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� � = � − �5H + �- + Z 5H � − [ -� − �Z + �[ :������ y"0��� RP� $�OY I ��3

:��-L��� y"0a �+�> � − �5H + �- = 6 ; 5H �− = F ; - �− = / `�0�

c*��T j ,/ ,F r�Q , e = j + � / + i F + V� + Vim / −

V , F −V n �#p9&� ��� v&N��� �3�� ����� v���� .0�%

٠ < j\ − V/ + VF r�Q C )V = �#&M� ��7 F�I

:����� <�=Y3 y�]�- ��-L� �H � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :��L�� y"0���#Z ,[ �� ��Y_�� �2"!�� .� ��-L� ;Y) )

:Ió«Øe áeƒ∏©e� − �5H + �- = j

6 − �5H + �- = �

6 − �bF−

� l + �b /−

� l = �

6 − �FB + �/

B = K6 B − �F + �/N �

B = �

�� =

#�Z $�L� = �[ $�L� V#Z [ .���J Xh�� !O�� !20J k Z

mon F�`� e = )V − �y + io − V�Z + ViZ :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]��

:�U�Z .�� �0(�* e = \ − �Z + iV − V� + Vi

����� v���� .�� v&N�3 �3��� �#%\− = j ,Z = / ,V− = F

b ZV − ,)l = bF−

� , F−V l = p9&�

)V =

)V =

)V =

Page 148: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�BE

CF�I v�Q% )V = �#&M� ��7 F�I% b Z

V − ,)l �#p9&� v&N����U� 46 F%�Q

e = Ze − �\ − i)V − ��V + �iV :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]�� o

�|QL�e = j + � / + i F + V� + Vi :����� ����� v���� .�� �3��� �8 � 4�� ���8�

�7��(� 3&s* �3��� ;@# ��7��* O�`� �� ��&�� �88� C&��� M� j\ − V/ + VF

Cv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� 4�� e > j\ − V/ + VF ���8� )C�M(7 �`� �3��� 4�� e = j\ − V/ + VF ���8� VCv&N�3 �`� �3��� 4�� e < j\ − V/ + VF ���8� Z

m�n F�`�C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �#

e = )h\ − �h + iZ − V� + Vi 6

e = Ve + �� − i\ + V� + Vi je = Vh + �b + io − V� + Vi q+

:�U�e = )h

\ − �h + iZ − V� + Vi :�3��� 6) = V� ����� = Vi �����

)h−\ = j ,h = / ,Z− = F

e < \y = )h + Vh + y = a)h−\ k \− Vh + y = j\ − V/ + VF

Cv&N�3 �3��� �`� �3��� ∴ e < \y e = Ve + �� − i\ + V� + Vi :�3��� j

) = V� ����� = Vi ����� Ve = j ,�− = / ,\ = F

e > )h− = Ve × \ − \y + )o = j\ − V/ + VFCv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� ∴

Page 149: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�B�

e = Vh + �b + io − V� + Vi �3��� q+) = V� ����� = Vi �����

Vh = j ,b = / ,o− = Fe = Vh × \ − o\ + Zo = j\ − V/ + VF

C�M(7 �`� �3��� ∴�U� 46 F%�Q

C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �# �e = )� + �� + i\ − V� + Vi 6

e = \ − �o − ih + V� + Vi je = V + �V − iV − V� + Vi q+

Tangent to a Circleo IôFGód ¢Sɪe ádOÉ©e

#[���� �M&Y !�� y�]�!�� [�� RP� X-0�� y�]�!�� �M m�Y 84 �� .�+>3 z+*#y�]�!�� [�� ��-L� -VJ) `�M�9Y ,��aT�� �hH ��!T�*�

�−�− ��−�−

�A−

A−

AB−

B−

B C

3A��

BCD

mbn F�`�:���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6

Cm) ,Zn i��� �M(7 �8� h = VmV − �n + Vm) − in:�U�

C v&N��� ." ��8� m) ,Zn �M(8�CmV ,)n% v&N��� p9&� 1��T��Q"

)V − = V − )

) − Z = )� − V�)i − Vi = % ���

v&N��� i�� .�� >3�� % i��� &M� ��7 )− = % ��� × i����� ∴

)− = m )V −n × i��P

V = i��P

�i��� &M� ��7

[���� �M&Yy�]�!�� [��

/

Page 150: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�B�

:�# m) ,Zn �M(8�* & % V O��� >@� % i�� �3���m)i − in P = )� − �

mZ − in V = ) − �o − iV = ) − �

h − iV = � i�� �3��� ∴

�U� 46 F%�QCm\ ,on �M(8� �8� Vh = �m) − �n + �mV − in ���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6 b

myn F�`� �+%6 �T ,e = Ve − �V + i\ − V� + Vi :���3��� ,% �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� 46 cBT6

C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���

:�U�e = Ve − �V + i\ − V� + Vi

Ve− = j , V = / ,\− = F r�Q v&N��� �3�� ����� v���� ��S .�� �3���m\− ,on �M(8� �� � ����*

Ve− m\−nV + mon\ − Vm\−n + Vmon e = Ve − b − V\ − )o + Zo =

Cv&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� ∴

6B − V/ + VFF )V = :�#&M� ��7 F�I ,m)− ,Vn % v&N��� p9&�

h = )eeF )V =

Z−\ = m)−n − \ −

V − o = �� − ���i − �i = P = % i��� &M� ��7 ���

Page 151: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�C�

�M(8� �8� i�� .�� >3�� �# % i��� &M� ��7 46 K&�7)− = 'P × P :i�� ��� 'P ���

\Z = 'P O8�% )− = 'P × Z−

\ >6m)i − in 'P = )� − � :�3��� @5t7mo − in \

Z = m\−n − � )V − i \

Z = �)V − i \

Z = � i�� �3��� ∴

�U� 46 F%�Q �+%6 �T ,e = )o − �b + io + V� + Vi :���3��� , % �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m) ,)n �M(8� 46 cBT6 y

C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���

Page 152: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�C�

Intersection of Two Circles …ƒà°ùªdG »a ø«JôFGO ø«H ábÓ©dG

#- , 52 �� 8LI&�> (� ، 6N , (� ، N 8>�]�!�� ,$%��� ��#^P_��� ��J+�� �!T�9Y ,.�>�]�- .�� �=L�� �*�"!�

`0� -!OJ .�>�]�!�� X�M � �Y ��0I3 .�>�]�!�� X\��� .�� !L+�� �Y"&� 8):����� /3!V�� �� .j�+� 0H �� .�>�]�!��

�e�=� $%��� .�>�]�!�� .�� �=L�� .J�M&�� � �Y ��0I3 6 .�� �=L�� .� �qa4 .J\����� .�� !L+��

.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�#�;��� 7� �� .� �+�43

68>�]�!��

.��M&Y �� 8LI&�>.�� P�T� � + � > 6 > |� − � |

X39J .J\����� .�� !L+�� −.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�

[���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −#y!��3 ��&�*� RP� �H

6 8>�]�!��b�2"p 8�*��� � + � = 6

X39J .J\����� .�� !L+�� −#.J�M&�� m�Y ��0I .�� 7� �� [���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −

#y!��3 ��&�*� RP� �H6 8>�]�!��

b�Pp�- 8�*��� |� − � | = 6

.� �+�4 .J\����� .�� !L+�� − X�M m�Y ��0I �0�V�

#.�>�]�!�� 6 8LI&�> k 8>�]�!��

K8>!�+��N � + � < 6

.� �qa4 .J\����� .�� !L+�� − #.J�M&�� � �Y ��0I .�� 7� �� 6

8LI&�> k 8>�]�!��K8�Pp�!��N |� − � | > 6

:áeƒ∏©e �8� �@�� m , n v&N��� :k��7 ���8�

C�#&M� ��7 % v&N��� p9&� 46:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

r�`� �8 �B�� &�}6 M�< >6 F�I ,r�`� �9 �� � &5�� ������ ��I $�s� ��

C����I ��* X&�� �� &B96%

'52 + '6 > ' > |'52 − '6|

'6'52'

��

q+

j

3

≥HÉ°ùdG º∏©àdÉH §HôdG

Page 153: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

:������� � �� � �������� ���� ����� ���� ��� ���� ��� �� !�"# $%& ' (

)�*�+,-. / 0�12� �3�M& 5"* 0�I �78 9�� ��:; <��� ��� ����2�� �%3 �"� �*�+ -� �1�

)��=>� ��2�� ���� ?� @A�2B � @�#�= � @��= � @&�B �� � ��C��

� D=

��−�−

�−

�−

D−

D−

E )<��2�� ��� �"� ��� !������ � �1� ��=(

?������� ��� �� � ��� ���:�GC27� � @MMH� IJ( $�.

, ���2�� L�B �� � �1M� MNO�� , ��2�� ���� = ?���. MNO�� 0�2B ��� � @�#�= � @�� �1M� E MNO��:?���� �78 �"#( ���

)<��2�� ��� ��=>� ��2�� ���� ?� E= ��C2�� ��()P�*�+,-. /Q 8�C�� �78 ��C2�� -C&(

)�R� �1� ��> !������ !�8�& S�H.(:���M���

�PE Q + �P =Q = �PE=Q , �� -��N�� E = V7W2�� �78 XY�Z�W�� ��[* S�H.G.�� + �� = �PE=Q

� = �PE=Q S �F = E=

��C2��8�C�� = ?���� !�8�& S�H.G.

-. �\\ × �F�*�+,-./ = S �F

�*�+,-. / = ?���� )�*�+ D] ⋍ ?����

:�3 �F �3�M& 5"*= P\ ,\Q= �3���� ��� !������ � �1�� = �^ + �_

��� �� �����)PY��>�� �MN�� 5"* 0�IQ ` = �P� − ^Q + �P� − _Q :� �12��� a���� b%2O� ,����� c��� Y�3d e�#

)a� �1�= ���f�� ����� �M& 5"* 0�I ��=G� ,-. �\ 2[O� ��2C� ������ e�g�� �OM#( �h�

Page 154: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�CA

á©°SÉàdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

w��0��T��Q-�

��� ��(�0� FG�

O�3���%

��B���(�0�% �M(7 ��*

�=�8�������U��

�3���v&N���

�3��� i�� .��v&N���

��0(���(�0� ��M�

v&N���

1��T��Q" �M(7

���8� ��M�

��(�0�

��� ��* ��L��� %�p� ��% ��(�0�

�M(7 ��* ��B���(�0� F5%

v���������

v������=��(�

��L�����&N�3 ��*

��0(� ��

�5��� ��0(�

��H��G�

&���� F���

�3���

��* ���0����M(7

Page 155: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�CB

¢üî∏e

#.��M&��� '�(�!�) .�� 7� P� �&PM��� ���&�� X39> '��9�� "0O� RP� 6 , .��M&Y .�� ��9��� −# �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N .��M&Y .�� �P]��� ��9��� −

�H 6 m���� �M&Y 8o� K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@) −#a�Z + �Z

� , �[ + �[� k 52

:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� $p�!�� .� 6 ��9&> −

# �Z 8 + �Z �8 + � = Z , �[ 8 + �[ �

8 + � = [

:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> −

# �Z 8 − �Z �8 − � = Z , �[ 8 − �[ �

8 − � = [

# �*4��� ��q����&�}� ��q��� = ��&�9��� FT�� $�� −

:K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�� 6 $�� −#�[ ≠ �[ :84 U�� �Z − �Z

�[ − �[ = � #θ� = � :'��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9��� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� X39J � ��&�9��� $�� −

#�%L��3 - 52 $�� X39J 6 $�� 8o� - 52�� 6 8� �@) −#�%L��3 �− X39J �;�P�� 6�� |>Y 8o� .J!�L�� - 52 , 6 Y� �@) −

# 8 + [ � = Z '�-��� "0O� .� �0M&��� u\V��3 K�N $���� ���0PL�� ��&�9��� FT�� ��-L� −:0H � = 52 + Z 6 + [ {��-L�3 K/N ��&�9��� RP� K�Z ,�[N � �M&��� .� /Q��� -0�L�� /0I −

# |52 + �Z 6 + �[ |�6 + � F

= G #� = �K5H − ZN + �K- − [N : H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� −

Page 156: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�CC

i��0( 6 ,F ,/ ^�� � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :y�]�!�� ��-L�� ��L�� y"0��� −

� < 6B − �F + �/ ^�� 6B −�F + �/F �� = , `

F� − , /

� −j y�]�!�� \��� 8) ^��3

#^P_��� ��J+�� �!T�9Y .��LI&�� .�>�]�- .�� �=L�� �*�"!� −#�− = $�� × [���� $�� :�=L�� �!T�9Y y�]�- RP� �M&Y !�� [���� $�� -VJ: −

Page 157: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

IóMƒdGIöTÉ©dG∫ɪàM’Gh AÉ°üME’G

Statistic and Probability

máØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe

������� ��� ����� ����� �� ?���� ����� �� ?����� !���" �� ?#�$��%� ����& #$"��'" ()*� +, :����'� #�-�� .?� ��,�/

?�0�1 2�%� 3�4 �5� ,�)�7� 89 � �'�; ��$� ���<4 #)=��>@��;� �� #'0� !��A� B��*� �� C7D E� � F5'G #��$� H���� ��'� �� I)�� ��J&�" ��5��� KL

H����M N�O� PQ��*� R)1 Excel S��T�" U�-7���� 9��V�� QJ-' ���WO #T/�Q� NXQ" !-�� KL :Y-0� Z H���9 ��J &-*� I)�� ��J&� RL ����� -%�� [�; ,����'� ��0 8���\� Y-0� KQ5 YQ� ��Q�\� ���&L #���4 �1

>�0D� �� �� N�"��� ��>#���; #] − PQ��; :U/�Q)� ^

:#$"��'� _:#���� #)=�\� �1 #"�A`� R)1 P�M� N%D

b>>> +'1 +"��� − 2��� − +,\� ��c ?2�M� @�)1 +V* E�� I)�'� �� � b>>> ,H��)�T ,U�$Ic ?�Q��� 89 2�M� @9�V E�� I)�'� �� P

b>>> ,H�%� ,P�$� ,�'���c ?2�M� @9�V E�� NMQ�'� ��e I)�'� �� fA b>>>> ,�g �0D ,�g�1Q���c ?2�M� h�J&� E�� I)�'� �� &

3 ��V'�� +J-) #*X�� #�-%" � ��9�� ����'� ����� H�QMJ ��� +V�� � ��� #"��4 R)1 P�M� � i�; :� ���� j>� g ���X k K�4 �kL (0��"��; #$A���� ��59\� �&��� R)1 (0$%D >��J&l��

IóMƒdG ¢ShQO

H�T���� +�)*�H��1�"�\�E���$'� Y��*Tl�-$� m�IU���'� ��'�;l�

.−.oZ−.o^−.o_−.oj−.o

Page 158: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

��&�T p�-;� PQ��; 89 +M1 p�-; �MJ m����� KL �� �g�1��MO� � ��'M +'* q���O 89 �� � �J] !�')$� @���* ,E�QT +1��� 89>@��TQ5� �� +4 89 +)7� ��'�;� ����1l�"

P��� Hl�'�;� RL �QOQ) !�')$� Y-0 Q, +M1 p�-; ��'�;� K� E� r−.o :. �� 89 U�1 ��J KQ�)� RL . #���� �� 2 �M N'%� ���, K�4 �kL �5� >E�QT +1���

???E�QT +1��� #=' � ���'M� +'*� 8�� s ��QV� t$" 89 �� +M1 p�-; ��'�;� P��� #�1��MO� H�;�� 89 � ���<4 +�� #���� h�, �5� ..o>#Q,u'�

∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG

(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• +�<'� − �-'1\�" 8T��" +�<'� − �QV� 8T��" +�<'�c H�T���� v�1 w')$�

>b��x�-�" 8T��" +�<'� − UQM7�" 8T��" +�<'� − #$'%'� U����" 8T��"• FM7� − ��Q�'� − F��Q� − 8"��*� F�Q�'�c H�T���� 3O� w')$�

>bm���\�� m���• >#�T���� ��%�� w�-7���• b2������c + &���� � �'0� 2����� �0�9 KQ5 Hl�; 89 -$� m�I w��I

>bB�9�Q��c (0� ��e 2����� �0�9 KQ5 Hl�;�• >��'�;l� P��; w')$�• >Hl�'�;l� &�% ` P��%�� w�-7���

?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• >��AQQ�5�� U�-7���"� � g ��A # �4�'� #1��� z� ��� P��;• >H�T���� +�)*� 89 z� ��'� h�, U�-7���• #M��Q" �0)�<'�� H�T���� 89 #�'7� &�-1\� +'%�� H��1�"�\� - -*�

>�,������ ���X��$� �k m�-�V�• >E���$'� Y��*Tl�" �0�M�1 ��J �� H�T���� w��� #���&• >#�x�V;`� H�T���� �����• >-$� �-�� U�-7���" +x��� +;• >+ &����� B�9�Q�� ��T�QM U�-7���" +x��� +;• >U���'� ��'�;l�

á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdGw���� − #�'7� &�-1\� +'%� − # �4�'� #1��� z� ��� − H�T���� +�)*�

-$� �-�� − � ���� − E���$'� Y��*Tl� − ���X��$� �k m�-�V� − H��1�"�\� −>U���'� ��'�;l� − #)���'� p�-;\� − B�9�Q�� − + &���� −

IóMƒdGIöTÉ©dG

Page 159: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

º∏©àJ ±ƒ°S

• z� ��� &�% L # �4�'� #1���

U�-7���"� � g ��A ��AQQ�5��

• z� ��� U�-7��� 89 # �4�'� #1���

H�T���� +�)*�

8T��$� +'1���� �� ������ � �����I �� ��� ���!�"��# $�%�&�� '�I( )�!�� '*�+� ,�

��������-��������.�����������/��-��.��.�����-��/��������.�����.��-������������������������

�01M�� 3456 '�I7 8#�"9�� F;!��� <�=> ��;�9�� ��?� @�A!;� �

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e

Q, b.ro ,.jj{ #=�� �4��.j|}j = .ro + .jj

Z

?$������� CDE� F�;�� �% :8��!�� '*�=�� G�H( P

#=��−���−���−���−���−������5��

#=�� �4��

?F�;�� I�J!K 8!�� �LM�� �% fA?��H7� N��O!�� I�J!K 8!�� �LM�� �% &

�01M�� 3456 $�%�P '�I7 8#�"9�� F;!��� �=!� N��O!��* $�LM�� QH��% @�A!;� f,?R�1K �S�% � f, '�5"�� 8T �=�!���* � '�5"�� 8T �=�!��� I�# UN�P �

Measure of Central Tendency ájõcôªdG áYõædG ¢ù«jÉ≤e V� W,� � ����* � �<�� ��* ����!!% @��( X�Y� ,MZ�� [K�*N '� �;�N< 3��\] �� �";5% *( �H^ ��% U( _��T� `�

?V��] a�!b cD�� dT �,Y% @�� � [K�*��� F;!%

äÉfÉ«ÑdG π«∏ëJ

Data Analysis

1-10

Page 160: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��.

Mean »HÉ°ùëdG §°SƒàªdG:IÉ«ëdÉH §HôdG

,{5 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1} = x <�M�% ��g!% *S $����# '�h<>{xn; freqn}i ��# GO� $�N��O!�� <�� I��Y!� FREQ <�Y�� @��A!;�#

�F;!���* U�O"�� cN��Y��� j��9�4� 0�"�* ,{5 ;1 4 ; 2 ,3 ; 3 ,2 ; 2 ,1 ; 1} =SHIFT MODE kSETUPi kSTATi kONi4 1

MODE k1 −VARikSTATi3 1

SHIFTAC kVari kxikSTATi 3 21 =

SHIFTAC kVari kσ xikSTATi 3 21 =

1 = 2 = 3 = 4 = 5 =

1 = 2 = 3 = 4 = 2 =

1٫154700538 :U�O"�� cN��Y��� j��9�4� � F;!��� :lK����

345

345

321

STATx

FREQ

1

3

1.154700538

<���7� I% U m� 8#�"9�� F;!���:6 ,Un ,��� ,�n ,/n ,�n

Un +��� +�n + /n +�nU = n

Nn ن

� = Nن� =

8#�"9�� F;!��� <�=] ���O� �%�� XNp#* U��&�� @��A!;�# $�LT *S cN��OK '*�\ I%

:8��!��

(Iô°TÉѪdG á≤jô£dG) :¿ƒfÉb

K� KH +>>> + ^� ^H +Z� ZH + .� .HKH + >>> + ^H + ZH + .H = �

b�� �Hc ن. = �

�H ن

ر = ١

=

,� #=�� ���5� �H [�;,� #=�� �4�� ��

H�=�� &-1 K

b.c ��<�># QT�<� #);�'� 89 ����I ro f� U��AQ)�5�" K�/�\� 8��� ��-%� �i��

>P�M� !l�, K�/�\ 8"��*� F�Q�'� -A��#=��−jo−jj−ro−rj−|o−|j−�o

���5��_|.Z._..�^

Page 161: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:+*�b#���*� #�� U-7���c :8��� ��-%� � Q5� �5'

#=���� #=�� �4���H ���5���� �H−jojZ}j_Z.o−jjj|}j|_oZ}j−rorZ}j.Z|jo−rjr|}j._�_j−|o|Z}j..|�|}j−|j||}j�r�|}j−�o�Z}j^Z_|}j

ro = �H ٧

. = �_ojo = �� �H

٧

. = �

r|}j = _ojoro =

b���Hc ٧

. = �

�H ٧

. = �

= �

>� ����AQ)�4 r|}j Q, ����I ro K�/�\ 8"��*� F�Q�'� K� E�+*� K� ���;

>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� �&�� 89 ����I |o H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� .>H�A�-� h�0 8"��*� F�Q�'� -A��

#=��−Zo−^o−_o−jo−ro−|o−�o−�o���5��_�._.j.^�_^

>8"��*� F�Q�') � �� � #�� ��� #'�M &�% L� H�"��*� F���� �5' >bH�T���) ���5� ��4� +"�� E�� #=�� �4�� KQ5 K� ��*��'� ��c Y �g�X�9 ��M�� �JuT

Page 162: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Median §«°SƒdG

:Q, �g�/��� �� � g -1�V� #���'� (��� �� K &-$ F��Q�>� g &�9 K &-$� K�4 �kL (��� F�Q� E�� &-$� �

>�g�A�/ K &-$� K�4 �kL (��� 3V��� 89 � &-$) 8"��*� F�Q�'� P�'0����� ���)� ���'��� F�Q��� � g &�9 K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + K

Z �0����� 8�� #'��� Q, F��Q� K� E� >�g�A�/ K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + KZ , KZ

���E��O� *( 'q���� r�=!��� N��O!��* ���p�� r�=!��� N��O!�� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� <�=] IO� bZc ��<�

># QT�<� #);�'� 89 ����I jj H���M ��QI\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �XQ >-1�V� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−.jo^−.jj|−.ro�−.rj.Z−.|o.o−.|j�−.�o_−.�jZ

:+*�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−.jo^.jj �� +M�^−.jj|.ro �� +M�.o−.ro�.rj �� +M�.�−.rj.Z.|o �� +M�^.−.|o.o.|j �� +M�_.−.|j�.�o �� +M�_�−.�o_.�j �� +M�j^−.�jZ.�o �� +M�jj

Page 163: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��/

�H Z = F��Q� 2����

Z|}j = jjZ = F��Q� 2����E��� F��Q� K� ��� +5�� ��

>.r�}j ��� ���

+*� K� ���; ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" U��AQ)�5�" ����I Zo K�/�\ F��Q� &�% ` 8��� H�T���� ��-A +'4� Z

>-1�V� N'%�'�

H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)

N'%�'� ���5��-1�V�

−jj^−ro_−rjj−|or−|jZ

rojo_o^oZ|}j

.r�}j F��Q�H�=�) ��)$� &�-*�

-1�V�

N'%�'

� ���5�

Zo

.jo .jj .ro .rj .|o .|j .�o .�j .�o

.oo

Page 164: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

b^c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� N /Q� 8��� ��-%� �XQ

>�/��� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj−roo^o−|oo^Z−�ooZo−�oo.o

−.ooo^:+*�

H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj�<4u9 joo.oo−roo^o�<4u9 roo�j−|oo^Z�<4u9 |oorj−�ooZo�<4u9 �oo^^−�oo.o�<4u9 �oo.^

−.ooo^�<4u9 .ooo^

�/��� N

'%�'�

���5��

joo roo |oo �oo �oo .ooo ..oo

Zoo

_ojo

|jo R�Q; F��Q�H�=�) ��T-� &�-*�

ro�o

.oo

.Zo

jo = .ooZ = F��Q� 2���� >|jo ��� ��� E��� F��Q� K� ��� +5�� ��

Page 165: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��-

+*� K� ���;>�/��� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" ����I Zj H�A�- F��Q� &�% ` 8��� ��-%� +'4� ^

#=�����5�� RT&\� -���<4u9 #=�)

N'%��� ���5���/���

−jZ−�j

−..�−._r−.|_

'q���� r�=!��� N��O!�� s�9���* ���p�� r�=!��� N��O!�� s�9��� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� ����&K ���P <�=] IO��� �Y%

b_c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� 8��� ��-%� �XQ

&�% `� �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V� N'%�'� ���5�� ���� 8��� ��-%� +'4�>F��Q�

H�=��−joo−roo−|oo−�oo−�oo−.ooo���5��j^o^ZZo.o^

Page 166: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:+*�H�=�����5�� ��)$� &�-�� �� +M�

#=�) N'%��� ���5��

-1�V� #=�) RT&\� -��

�<4u9�/��� N'%��� ���5��

−joojroo �� +M�j�<4u9 joo.oo−roo^o|oo �� +M�^j�<4u9 roo�j−|oo^Z�oo �� +M�r|�<4u9 |oorj−�ooZo�oo �� +M��|�<4u9 �oo^^−�oo.o.ooo �� +M��|�<4u9 �oo.^

−.ooo^..oo �� +M�.oo�<4u9 .ooo^ N'%�'� ���5� R�*�� N� -1�V� N'%�'� ���5� R�*�� NI���

>U #M�T -�1 �/��� R)1 U #M��� �� UQ��'� &Q'$�

>��� ��� |jo &-$� 8M$ 8�9\� �Q*'�>��� ��� � ���� & |jo E��� F��Q�

joo

.oZo^o_ojoro|o�o�o

.oo

o roo |oo �oo |jo �oo .ooo ..oo

U

+*� K� ���; N'%�'� ���5�� ���� #A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� ����J� 89 ����I ro H�A�- 8��� ��-%� +'4� _

>F��Q� &�% ` � �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V�H�=��−-�−��−��−��−��−.����5��������/��

Page 167: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Mode ∫GƒæªdG>H�T���� � � ����5� �<4\� #'��� Q, ��Q���

bjc ��<�

:� �� � ��Q��� -A��j ,.o ,r ,j ,_ ,| ,� ,� ,j �

Z ,.| ,.r ,.j ,.. ,Zo ,.Z ,.. ,.� ,.Z P| ,| ,| ,| ,| fA

| , r ,j ,r ,j ,r ,j & :+*�

b� ����5� �<4\�c j = ��Q��� �.Z ,.. :Kl�Q�� -AQ P

��Q�� -AQ l fAr ,j :Kl�Q�� -AQ &

+*� K� ���;:� �� � ��Q��� -A�� j._ ,| ,r ,.Z ,j ,| �

.o ,| ,� ,.j ,.Z ,� ,� ,.j P. ,. ,. ,. ,. fA

_ , _ , ^ ,� ,� ,^ ,� ,^ &:á¶MÓe

�9 H�T���� � ���5� -AQ � �kL>�� ��Q�� -AQ

��Q�� �� �<4� -AQ K� �5' �>(��� #1Q'%�

:IÉ«ëdÉH §HôdG bCasio Classpad 300c #����� #�� U-7���

:#���� H�T���� ��Q��� F��� &��` � ,j ,j ,| ,. ,� ,^ ,| ,j ,r ,^ ,_ ,j ,^ ,Z

>bH����M�� #'x�M �c Statistics

��T�

�� ��\� NXQ�� � ���� K� �� -4u� ;list 1 U-7���>list 1

!��� � �0� YQ� ��,� ,��\� �4��� � Z +J&�>Z = �.{ �4 #D��� �� ����

>#'x��� � ���� NXQ�� �L ����T� EXE ������ �1 FWX� . #'x��� #*xl � #������ H�T���� (�M 2�4�

>list 1 � ���J&L (� 8�� H�T���� #9�4 #D��� �0��>��J&L +4 -$" EXEH�T���) 8�OQ� !�V;`� �1 �Q<$�

>8�OQ� !�V;`� �1 �QV*) (x�Q�� F � � Calc �1 ��T�One−Variable �1 ��T� �� -;�� �W�� N� +��$�T �*T

8�� #'x��� ����J� ���� Set Calculation ��9�T K�9>#)V� H�k H�T���� �1 EQ��

OK FWX� �g��O� ��9Q��� H�!�V;`� N��

:#D��� �1 �0���W��� ���the mean  ���� F�Q��� >8�$� ,• • ,��\� #'���

b# ¡1 �/��� ^ �Lc _}�r| E� 73 H�T���� �Q'¢ E� ∑X =73:8�$� #�T�<� #'���

>.j H�T���� #1Q'¢ (�M &-1 K� 8�$� n=15 ��Q���� F��Q� �� +4 &��` +��\� �L @%�T

j E��� F��Q� 8�$ Med = 5j E��� ��Q��� 8�$ Mode = 5

Page 168: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:á©aGôdG ¿ƒfÉb ΩGóîà°SÉH …QGôμàdG ™jRƒà∏d ∫GƒæªdG OÉéjEG>���5� £4� �0)"�� 8�� #=�� 8,� #��Q��� #=�� &-*T

>/� ,�� 2��¤� �1 #��Q��� #=�) ����� #�;��� ����� #�"��� ¥�=�) ���5�� &-*T:KL [�*" +5�� � �4 #��Q��� #=�� (�� ��Q���

b� − Yc × Z� = � × .�#��Q��� #=�� �QI = Y

� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���>��Q��� P��� ¦#$9��� #� �M"§ Y�$ �� ��,

:���� +5�� �1 #$9��� KQT�� #�X� � #W�O NX� �5' �Y × Z�

Z� + .� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���

brc ��<� >����I jo -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�

> P�M� -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ ��Q��� -A��

#=��−^j−_o−_j−jo−jj���5��|Zo.jrZ

:+*�#$9��� KQT�M U�-7���"

_o = #��Q�'� #=�) RT&\� -*�j = #��Q�'� #=�� �QI :Y

| = #��Q�'� #=�) #�"��� #=�� ���5� :.�.j = #��Q�'� #=�) #�;�� #=�� ���5� :Z�

b� − Yc × Z� = � × .�b� − jc × .j = � × |

� .j − |j = � | |j = � ZZ

|jZZ = � ^}_. �

Y#��Q��� #=�� �QI

����� B"��� ���5��#��Q��� #=�)

����� B;�� ���5��#��Q��� #=�)

��Q��� �.�Z�

b� − Yc

��Q����

| = .�.j = Z�� − j

:Ió«Øe áeƒ∏©e:#$9��� KQT�M

>�01��k �QI × #������ = �01��k �QI × �Q��

#������ �Q�� ���k

#������ ���k�Q��

Page 169: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���^}_. + _o ��Q���

_^}_. >��� ��� #��M& Zj� #1�� _^ P�M� -�1 �g�1Q��� #���-� H�1�� ��Q�� KQ5 �"�

+*� K� ���;>� �V7D Zo -�1 ������Q5� �-$' E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� r

U�-7���" ¨�7D\� !l�, -�1 ������Q5� �-$' ��Q�'� -A��>#$9��� KQT�� #�X� �� #W�V�

#=��−�t�-−�t��−�t��−�t-�−�t��−�t�.���5����-�-�

�LM��* X^��% �&#�"�� �LM��* '���� �LT ��u '1h I% cN��O!�� aN��� @��A!;�# �v����# '����� ����&K ���P <�w] IO��X^��% �&�1��

b|c ��<�>H������ �-;L � ��� -�" ¥��Q�� 2���� E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�

>¥��Q�� 2���� ��Q�� #�� ��� #'�M &��l E���5�� ©�-') ª���� +�<'�� U-7���#=��−Zoo−^oo−_oo−joo−roo−|oo

���5��jZ|^jZo.o^

:á q«ë°U áeƒ∏©e � ������Q5) 8$��M� �-$��

:w Q5� #�& � U-�CHOL >>> 3>10 5>20HDL>D >>> 1>04 1>68

Page 170: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��.

:+�� − joo 8, ����� #�;�� #=��� − ^oo 8, ������ #�"��� #=��� − _oo 8, #��Q��� #=�� K� ��-�� ¥�

���5��

#=��j

U

.o

.j

fAP

&ZoZj^o^j

o Zoo ^oo _oo joo roo |oo �ooU

8,� ��Q�') #�� ��� #'�M �1 +V*�9 >U #M��� � @$M� 8�9\� �Q*�� �1 � �&Q'1 (��T & P N� fA NI��� #M�T ��>� ���� & __j

+*� K� ���; #'�M &�% ` E���5�� ©�-'� U-7��� >U��AQ)�5�" � g QT�� � ���I ro K�/�\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� |

>P�M� !l�, K�/�� ��Q�' #�� ���

#=��−ro−r_−r�−|Z−|r−�o���5��|.Z.�.o�j

Page 171: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

8T��$� +'1:8� ��H �\N< /� s�xY�� ��E��� y�� $��z���� X<�% 8T 01M�� $�\N< {��H

,�� ,�� ,�- ,�� ,�� ,� ,. ,�� ,�� ,�-,�� ,�� ,�� ,�. ,�- ,. ,� ,� ,�

��� ,�/ ,� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�-����P s�<(* ���P s��( I�# |�M�� �\*( .

��v���pK $������� CD6 }�P [KN Z�$������� CDE� F�;�� �\*( ^

:I�*�"!% I��"P s�] $������� }�P F�;�� }"& _ {�p� cD�� F�;�� I% �g~( 86 8!�� }�&�� ���=�� s�<7� F�;�� �\*( �

�k�i '�5"�� 8T V��� {�p� cD�� F�;�� I% ��H( 86 8!�� }�&�� ���=�� s��7� F�;�� �\*( P

�k�i '�5"�� 8T V���:����!�� }�&�� � v���pK [KN j

�$������� s�xY�� ���&�� ,s��7� F�;�� ,F�;�� ,s�<7� F�;�� ,$������� ��gp�� ���&��

º∏©àJ ±ƒ°S

w���� z� ��� ��• �-'�• H��1�"�\�• �k m�-�V�

���X��$�

:ôcòJ

H�T���� �� #'��� Q, :F��Q� �0����� -$" 3V��'� 89 8�u� 8��

>�g�/��� �� � g -1�V�

4 �E�O�* F�;�� I� *( 8#�"9�� F;!��� I� $������� }�P �Y# *( 0�P I� X�OT ���MYK # �4�'� #1��� z� ��� U]��6N��!��* }�&�� CD6 rqK ��M�H �zK

�$������� 8T ��g!�� ��% k{!�!��i N��!�4� ���&% �pKX����!% $�<�M��� UOK �%��� � ����H UO* �EJY# I% �#N�&!% $������� $�<�M% UOK �%��� � ���g~ {!�!�� UO

� $������� CD6 }�P ���=K ��% �T�Y% 8T I�OK {!�!�� �;�N< ���6�T�8#�"9�� F;!��� �M� ��E�� $������� I% U�!��=% ���� U�H �S]

��E��# �% 8T � �%�="��* � �"��=K � H7� UOK 8#�"9�� F;!��� I% � H( ���P �EK����# }�P 8!�� ���=��� U�T������ �T�Y% 6 N��!�4� ���&% F"#(

>��WV� #'��� − R'�$� #'��� = �-'� ,���H GO�# ����� �QK �P 8!��* �T�M!��� ���&�� I�J! U( IO� cD��* $������� }�&� G%�O�� N��!�4� ����� �z

�$������� }�P N��!�� I� �LI�h X�OT 8MYK 8��!��#*

2-10äÉ«YÉHQC’G

Quartiles

Page 172: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

b.c ��<�:#���� H�T���� (�� �-�� -A��

._ ,.. ,� ,r ,.Z ,.o ,� ,| �_| ,.� ,Zo ,.. ,.o ,.j ,.Z P

:+*�� = r − ._ = �-�� �

>(��� ����Tl � g-A � ���4 � �-� wM1� _| #9�M��� #'��� >^| = .o − _| = �-�� P+*� K� ���;

:#���� H�T���� (�� �-�� -A�� .j� ,_� ,_j ,_o ,j^ ,j| �

.Z_ ,.^Z ,.^o ,.Z� ,.|r ,.Zj P�8��#N7� ����* $����#N7� @�A!"� $������� }�P � �T�M!�� ���&�� I� lK���� ��O�� ���� G6�=!� 8O�

Quartiles n äÉ«YÉHQC’G

:l!�!"� �E�%* ��#N( - �] $������� }�P $����#N7� }"&K* ,Mp� �] $������� }�P F�;�� }"&�RT&\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% s�<7� �p��� F�;* 6* .� '*7� 8��#N7� �

�F��Q� s�"* $������� }�P F�;* 6* Z� �� �� 8��#N7� P��1\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% `�7� �p��� F�;* 6* ^� y�� �� 8��#N7� fA

��N − �N = 8��#N7� ���� &>"#�'³� &�-1\� +'¢" bR'�$� #'��� ,�1\� 81�"�\� ,F��Q� ,RT&\� 81�"�\� ,��WV� #'���c R'��

bZc ��<�>Zo.Z − Zo.. U-�� ��5 /��'�� 8� Q5� E��-� Sx��T ���� ��-�� ¥�

B ���#��&���w Q5� �$�#�����!��0��#'��4´��P����U����j._o^^ZjZ_ZZ.|._

>� g -1�V� (��� h�, 2�� �>�-�� #'�M -A�� P

>b81�"�\� �-��� �1\�� RT&\�c H��1�"�\�� F��Q� (�M -A�� fA>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� &

Page 173: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��/

:+��j. ,_o ,^^ ,Zj ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ �

b��4 �-�� K� µ;�Tc ^| = ._ − j. :�-�� P Z_}j = Zj + Z_

Z = b /� c F��Q� fA

j. ,_o ,^^ ,Zj , Z_}j = Z� ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ :F��Q� N� H�T����Z_ ,ZZ ,.| ,._ :(��� F��� Q, RT&\� 81�"�\�

.�}j = ZZ + .|Z

= .�

j. ,_o ,^^ ,Zj :(��� F��� Q, �1\� 81�"�\�^r}j = _o + ^^

Z = ^�.| = .�}j − ^r}j = 81�"�\� �-��

bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c :#�'³� &�-1\� +'¢ &:���� +5�� �1 H�T���� (�M 2���� �5' :#�;��

j. ,_o ,^r}j = ^� ,^^ ,Zj ,Z_}j = Z� F��Q� ,Z_ ,ZZ ,.�}j = .� ,.| ,._

+*� K� ���;>Zo.. −Zo.o U-�� ��5 8� Q5� E��-� Sx��T 8��� ��-%� ��� Z

B ���#��&���w Q5� �$�#'��4!��0��´��#�����P����U����j._|^�^�.�.r._.Z

>H�T���� h�, (�� 81�"�\� �-��� H��1�"�\�� �-��� F��Q� -A�� �>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� P

Box Plot ¥hóæ°üdG §£îe 8��#N7� G � k|*��p��i cQH�% G�M!"% I% UO! 6* $������� }�&� �"��� <���7� G�� �p ���# G� � 6

s�xY�� ���&��* ��gp�� ���&�� U1 � ,!E+� I% ,!��&!"% ,!YMP* �N `�7� 8��#N7�* /N F�;��* �N s�<7��¥�X��$� dE��"�*

Page 174: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

b^c ��<�>Sx���� i¶9 >¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (�¤ bZc ��<�� �� "#�'³� &�-1\� +'¢" U-7���

:+��bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c : "#�'³� &�-1\� +'¢"

o .o Zo

bZ_}jc F��Q�Z�

b.�}jc RT&\� 81�"�\�.�

b^r}jc �1\� 81�"�\�^�

m�-�V� FM·

R'�$� #'�����WV� #'���

^o _o joj.

j.^r}jZ_}j.�}j._

._

^�Z�.�

F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� �� �WO� 8, RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� K� m�-�V� FM· ¥� >RT&\� 81�"�\� �L P�M� F��Q� K� E� >�1\� 81�"�\��

:k ����� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �1 -$���� RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �L �<4� #� �M H�T���� (�M ����T� KL

¥" #1Q'¢� [�<�� ��\� �4��� ¥" ��\� #1Q'%�� �0��" �� � #"����� # -T\� �� ¥�1Q'¢ ���, K� 8�$ �¸ >�1\�>�J\�� N"��� �4���

>#9�M�� #'�M &QA� ¥� l m�-�V� FM· K� �4

+*� K� ���;

>Sx���� i¶9 >"bZc +� K� ���;" ���9 � �&QAQ�� H�T���) ¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (��� ^

Page 175: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��-

>Sx���� #T���� ¥M�-�V ¥MM· (�� �5' b_c ��<�

:�g�"���� � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" R�\� #1Q'%'� +<'�> ^jo ,^�o ,jro ,j�o ,_�o ,_|o ,r�o ,jZo ,_jo ,|jo ,_Zo ,^.o

:�g�"�1 � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" #�T�<� #1Q'%'� +<'�>|ro,.�o ,..�o ,..oo ,�^o ,ZZo ,�oo ,�oo ,^|o ,|oo ,rjo ,.ojo

># -1�V� #� �M" H�T���� 2�� . +5 £4\� #'���� �WO\� #'��� �L #9�X`�" H�T���� �� #1Q'¢ +5 �1\�� RT&\� 81�"�\�� F��Q� -A�� Z

>H�T���� �� #1Q'¢>#�T�<�� ��\� ¥�1Q'%�� �� +5 � g -1�V� #����� H�T���� � ��-7��� ¥M�-�V ¥MM· (��� ^

>Sx���� i¶9 _:+*�

:E-1�V�� 2��¤� 2�*" ��\� #1Q'%�� .>|jo ,r�o ,j�o ,jro ,jZo ,_�o ,_|o ,_jo ,_Zo ,^�o ,^jo ,^.o

:E-1�V�� 2��¤� 2�*" #�T�<� #1Q'%��>..�o ,..oo ,.ojo ,�oo ,�^o ,�oo ,|ro ,|oo ,rjo ,^|o ,ZZo ,.�o

, _�o = _�o + _|oZ

= R�\� #1Q'%'� F��� ,^.o = ��WV� #'��� Z ,j|j = R)1\� 81�"�\� ,_oo = RT&\� 81�"�\�

>|jo = ���5� #'���, |�o = �oo + |ro

Z = #�T�<� #1Q'%'� F��� ,.�o = ��WV� #'��� ,�|j = R)1\� 81�"�\� , j.o = RT&\� 81�"�\�

>..�o = ���5� #'���

Page 176: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

^..�oj.o �|j|�o.�o

^.o _oo _�o

.oo Zoo ^oo _oo joo roo |oo �oo �oo .ooo..oo .Zoo

j|j |jo

#�"���\� ��-�

#�"�$� ��-�

89 -1��� ���, K� h��$� �� #�"���\� ��-� +<' E�� m�-�V� �� �QI� #�"�$� ��-� +<' E�� m�-�V� _ RL P�M� F��Q� K� -%T #�"���\� ��-� 8�9 >U�$M� R)1 #�"���\� ��-�� #�"�$� ��-� ��" E�0�� Y��V'� � g �0D � ��l�& _jo RL P�M� U�$M� R)1 Y��V'� K� R)1 �- �'� R)1\� 81�"�\� �� -$"� Q,� RT&\� 81�"�\�

:E��� �-'� K\ #9�M�� � �'�M -AQ l @T� � �')1>__o = ^.o−|jo

#�"�$� H�$'�%'� K� 8�$ �'� RT&\� 81�"�\� �� R)1\� 81�"�\� RL P�M� F��Q� #�"�$� ��-� #1Q'%� 89 ��� K\ #�"�$� H�$'�%'� 89���4 H���� ���, K� � �� � -%T �5� ,�g �0D � ��l�& |�o R�Q; U�$M� R)1 � ���<4 B���

:E��� �-'�>#�"�$� ��-� 89 81�'�Al� H����� R)1 �- �� .ooo = .�o−..�o

+*� K� ���;:Sx���� i¶9� #���� H�T���� (�� ¥M�-�V ¥MM· (��� _

r ,.o ,� ,j ,_ ,� ,| �^� ,.� ,.| ,Zo ,.r ,.j ,.o ,.Z P

Page 177: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

3-10…QÉ«©ªdG ±Gôëf’G

Standard Deviation

8T��$� +'1 ���Y�� �p�� k0i ��Y���* k i ��Y��� I% G��*7� 01I � $�\N< ��N�&% GpM�� }�Y% <�N(

��\N< /� s�xY�� ��E��� y����/ ,�. ,�� ,�� ,�- ,�� ,�/ ,�� : ��Y��� $�\N<

��� ,�� ,�� ,�- ,�- ,�� ,�/ ,�� :0 ��Y��� $�\N<. ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� n �\*( �

�0 ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� � �\*( P ���=% c( N�& U( GpM�� }�Y% r�M!" G6 ؛� ،n }�P s�] � �<��!;� fA

?GJT7� 86 }EK�\N< 01M�� I%:I����!�� I��*�=�� G�H( &

(0) ��Y� ( ) ��Y� Z(¨ -

ر(ص ¨ -

رص ر

ص

..

.Z

.^

._

._

.j

.r

.|�Q'%��

Z(� - ر�) � -

رس ر

س

.o

.Z

.Z

.^

._

.j

.|

.��Q'%��

º∏©àJ ±ƒ°S

:w���� z� ��� ��• � ����• E���$'� Y��*Tl�

>u E���$'� Y��*Tl�� Zu � ���� 8,� w���� z� ��� �� ��J� H��D�� -��� ��, 89 ()$�� YQ�

Variance and Standard Deviation …QÉ«©ªdG ±Gôëf’Gh øjÉÑàdG

:U�T n 8#�"9�� �EM;!% y�� U �6<�� }�&�� I% ���=% نn , ��� ,

٣n ,

٢n ,

١n {��H �S]

- س)/ر (س

ن

ر = ١

ن = /u = I��!��

/uF = u = cN��Y��� j��9�4� V�%*

Page 178: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

ن$ , ���� ,

٣$ ,

٢$ ,

١$ ;$����# }�P 86 Un ,��� ,

٣n ,

٢n ,

١n {��H �S]

:6 }�&�� CDE� I��!�� UO�T [�K�!�� s�� }�&�� CD6 N��OK 86 - س)/

ن(س

ن - س)/ + .... + ت

٢ (س

٢ - س)/ + ت

١(س

١ت

ن + ... + ت

٢ + ت

١ت

= /u

- س)/ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

=

F/(س - ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= u = cN��Y��� j��9�4�*

b.c ��<�:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A��

Z ,| ,^ ,j ,� ,r ,_:+*�

: ���� F�Q��� �l�� -AQTj = ^j

| = Z + | + ^ + j + � + r + _| س =

:���� ��-�� KQ5T

�� #'��� ���� F�Q��� �1 Y��*Tl�� − س�

 ���� F�Q��� �1 Y��*Tl� N"��Zb س − ��c

_.−.r..�^�joo^Z−_|Z_Z^−�

Z� = �Q'%��

_ = Z�| =

- س)/ر (س

ن

ر = ١

ن = /u � ����

:á«°VÉjQ áeƒ∏©e - س) هي انحراف

ر (س

عن المتوسط الحسابي. Nn

المتوسط الحسابي:هو ناتج قسمة مجموع قيم البيانات على عدد هذه القيم.

Page 179: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

_ = Zu � ����>Z = _F = u E���$�� Y��*Tl�

+*� K� ���;:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A�� .

Z ,_ ,r ,� ,| ,�

bZc ��<�#���*� #�� U�-7��� �5'

>���)�7� ��A��TL �� H�1���" #�x�"�04 ��"�V� | �'$ �QV�� H�1��� &-1 8��� ��-%� ��� b c ©��TL. ojo�.o. ooo. o^o�_o�ro�|o

bPc ©��TL. .^o|oo�|o�ro. ojo. .�o�|o

>bPc ©��T¹ ¨ 8"��*� F�Q�'�� b c ©��T¹ � 8"��*� F�Q�'� -A�� �>bPc ©��T`� F��� (� b c ©��T`� F��� -A�� P

>@��T Q, ��A��T`� 89 F��Q� K�� @��T Q, ��A��T`� 89 8"��*� F�Q�'� K� bPc ,b�c ������ 89 H�"��*� ����� fA?S����� �k�� >bPc ©��T`� 89 Zu E���$'� Y��*Tl�� b c ©��T`� 89 .u E���$'� Y��*Tl� -A��

?+�9\� Q, ©��TL E�:+*�

��o = �|o + �ro + �_o + . o^o + . ooo + �.o + . ojo| � س =

��o = �|o + . .�o + . ojo + �ro + �|o + |oo + . .^o| ص =

Page 180: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��.

. ojo ,. o^o ,. ooo ,�|o ,�ro ,�_o ,�.o :b c ©��TL P�|o = F��Q�

. .�o ,. .^o ,. ojo ,�|o ,�ro ,�|o ,|oo :bPc ©��TL�|o = F��Q�

fAر� #'���� −

ر�Zb� −

ر�c

. ojo|o_ �oo�.o|o−_ �oo

. oooZo_oo

. o^ojoZ joo�_o_o−. roo�roZo−_oo�|o.o−.oo

._ �oo = �Q'%��b c ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�

_j}�� ⋍ Z .._}Z�rF = ١u

ر¨¨ −

ر¨Zb¨ −

ر¨c

. .^o.joZZ joo|ooZ�o−|� _oo�|o.o−.oo�roZo−_oo

.ojo|o_ �oo

. .�oZoo_o ooo�|o..o−.Z .oo

.j� _oo = �Q'%��bPc ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�

.jo}_^ ⋍ ZZ rZ�}j|F = ٢u

FZ(س - ر (س

ن

ر = ١

K = u

FZ(س - ر (س

ن

ر = ١

K = u

Page 181: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

>��� ��� ١u^ E���

٢u K� µ;�T

>+�9\� 8, b c ©��T`� � #�x�"�05� ��"�V�� ����"� ��4  ���� F�Q��� �1 w���� bPc ©��T`� � ��+*� K� ���;

H�T���� �� ¥�1Q'¢ bPc ,b c �5� ZZo ,.� ,� ,.j ,| ,.o ,.Z :b c

.� ,.. ,� ,� ,.Z ,.� ,._ :bPc

?µ;�� �k�� >bPc (�� ¨  ���� F�Q���� b c (�� �  ���� F�Q��� -A�� �?µ;�� �k�� >bPc #1Q'%�� (�M F��� (� ,b c #1Q'%�� (�M F��� -A�� P

+M� (��� E� >bPc #1Q'%�� (�� ٢u E���$�� Y��*Tl�� b c #1Q'%�� (��

١u E���$�� Y��*Tl� -A�� fA

>�"�AL ��� ? ���� �0M�Q�� �1 ������>#=�� �4�� 8,

ر� £�$T H�=9 �k E���5� ��-A � H�T��" (�� � ���� P��� :#�;��

b^c ��<�

>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; 8���-� U�$� # �0T K�*��� 89 ����I ro H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �i��

bH�A�&c #=��−o−Zo−_o−ro−�o

���5��_r.rZ_.o

>H�T���� h�, (�� u E���$�� Y��*Tl�� Zu � ����� �  ���� F�Q��� -A��

:áeƒ∏©e

@T� ���x�V;`� -�1 @�)1 Y��$�'� �� �')4 � ���WO E���$'� Y��*Tl� K�4 �')4 F�Q�'� RL P�M� H�T���� (�M w��� K�4 (�M w��� K�4 � ����4 K�4 �')4� ,8"��*�

>8"��*� F�Q�'� �1 � �-�$" H�T����

Page 182: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:+*�ro = ^ roo

ro ر = ت

ر س

ر� : ت��� F�Q���

ro = � ∴�H × Z(� - ��) Z(� - ��) (� - ��) �H �� ���5��

�H#=�� �4��

��#=��

.oooo Zjoo jo− _o _ .o −oj_oo �oo ^o− .�o r ^o −Zo.roo .oo .o− �oo .r jo −_oZ_oo .oo .o .r�o Z_ |o −ro�ooo �oo ^o �oo .o �o −�o

Z�_oo :�Q'%�� :�Q'%��^roo

:�Q'%��ro

_|^ .^ = Z� _oo

ro - س)Z تر = ر (س

ر ت

= � ����

_|^}^ = Zu = � ����Z.}|jr F_|^}^ = u :E���$�� Y��*Tl�

+*� K� ���;>bU��AQ)�5�" K/Q�c EQT�� 2�I .oo K�/�\ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� i¥� ^

#=��−ro−r_−r�−|Z|r

���5��j.�_ZZ|�

>K�/�\� h�� u E���$�� Y��*Tl�� �  ���� F�Q��� -A��

Page 183: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��/

b_c ��<�

�1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'¢ K�� r = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%� E���$�� Y��*Tl� K�4 �kL?H�T���� h�, (�M &-1 �9 ,j_o Q,  ���� �0M�Q��

:+*�Zb� − ��c

ن

ر = ١

ن = Zu :�-1��� �JuT

j_oK = Zbrc :t Q$��"�

.j = j_o^r = K

>.j Q, H�T���� h�, (�M &-1+*� K� ���;

�0M�Q�� �1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'%�� ,_ = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%' E���$'� Y��*Tl� _>_�o Q, 8"��*�

?H�T���� h�, (�M &-1 �'9

Page 184: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

4-10ó©dG ¥ôW

Methods of Counting

º∏©àJ ±ƒ°S

• U�-7���" +x��� +; -$� �-��

• U�-7���" +x��� +; B�9�Q�� �� + &���� ��T�QM

ºM���T� �5�T ��1&��Jh( V�� 8�� ��* ���( V�� '*7� �X���* X�% � �Y% <�� c�=� 8%�# ���h @&

�C��<( GO��� �x��?lK�� GH ���! }% �

�����P 8T ���Y�� 3�JT �~��� GH [!H� P?��O���� lK���� <�� �% fA

?�. c*�" I�6�x�� I<�Y�� ��=% UO y�9# � �Y% <�� c�=� 8%N� ��9�� GO�K 8!�� lK���� �% &�� �NMK � H( �Y�� |�I `� nN��� �D6 � j�Y!�; ���O�* ,�Y� ��H j�Y� ���H

�'d!�4� �;�N< ��� V�% ��M!"�;* ,rM&!�� �+� [�~ � 6 �Y�� (��%��EY��� *( 3���( [�K�K �� IO� 8!�� |�M�� *( ���� ���� <�� ��u [�M!K X�&Y�� *( �M�"��� G��"�� I% ��Y��

Counting Principle ó©dG CGóÑe CD6 U�Y�! ,�� �# (��� j;* ��6�Y# @&� j; 8!�� ���=�� [�K�K ��I I� �Y�� G��"% �Y# G9� U( IO�

��&�M��

ºFGƒ≤dG ≥jôW øY ó©dG b.c ��<�?�0�� Y�; E\ ���5� K�& �� & ,fA ,P ,� :Y���� ¥" �� �0� Q5� �5' 8�� Y���� #���� /Q��� &-1 ��

:+*�:b2��¤� 2�*" ��Q��c 2��� +5�" H��T�5�`�" #'x�M 2�4�

fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �b �l�� �cfA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & Pb �l�� PcP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAb �l�� fAcP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &b �l�� &c

>� ���� Z_ #"��4 �5' >#�T�5�L Z_ = r × _ -AQ +*� K� ���;

?¦�§ f" ���� �-� il� U�D �0�� Y�; E\ ���5� K�& �� ¦Y�QT§ Y��; �� �0� Q5� �5' 8�� /Q��� &-1 �� .

Page 185: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��-

��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� #�T���� ��%�� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S]

á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG bZc ��<� �-;�� �1 ����1 �u9�5� +4 ,�u9�5'4 ��Q�� �1 #'$I\� �� ¥1QT z��� !�)1 U-7��� ,K�Q��� �Q)� �1 #"�» �

?���5� �e �x�Q�� ��QT� wT�4 ��; � #�5'�� #�)�7�� H��5��� &-1 (4 >#�5¸ ��QT� #��� ��:+*�

>fA ,P ,� :����4 �x�Q�� �� #��<� ��QT\� ¥" �i�� ��%�� £1 B �I +4 >H��T�5�`� +4 � iXQ� ����� �L #�T���� ��%��

w� ���, K\� ,��x�� ���5¸ � �$"��� +<¼ ����� �L ¥'�� �� h�»l�" #�T����>#�5¸ H��5�� w� �� - KQ5�� � m�I

>r = Z × ^ :K� µ;l

+*� K� ���;>#04�9 �� H� Q); ,#'� �� '� �� ©�A& ,!��; �� #M)� :�� #��� !�-e #�A� (1�M�� -;� U-� Z

>#�5'�� H��AQ� &-1 !�M1` #�T���� ��%�� U-7��� $4��� CD6 G % � �X��H �6�� cN�+� $����O%>� ���� {��H '�� � ��� �� ������ X�=��� FM� @��A!;� ��p

��������� X�=��� `� �Y��# �E!\D�� {� 8!�� 0��� �&�I @�A!"KCounting Principle ó©dG CGóÑe: 86* U �6<�� ����!!% $����� X�� I% UO!K u ��H�% ����� ���� U�H �S]

:{��H �S]* Uu … ,٣u ,

٢u ,

١u

,�&�I ١N m# ��u U( IO�

١u

,�&�I ٢N m# ��u U( IO�

٢u

,�&�I UN m# ��u U( IO� نu

:86 U 3��\>� �� ��b U( IO� 8!�� |�M�� <�� U�T�نN × … ×

٢N ×

١N

�*�� $��% <�� ��u }! ,�EM�YK <�=�#* �نu , … ,

٢u ,

١u G����� <�9� U( 6 �Y�� (��% G��"% G� ¡�!M% U]

����"�� G� ��O��� |�M�� <�� `� 'p9�� <���7� CD6 0¢ W}£ I%* ,�E�% GH

�-"�P

P

P

fA

fA

fA

��

P �fA �� P

� fAP fA

fA P�

..

Page 186: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b^c ��<� �5' 8�� H�;Q)� &-1 (4 >U�M�� #��� �0$�� # -%"\� Y���� �� ¥9�*" K-�� �-;L � H������ H�;Q �-��

>C�J�¤� H�;Q �� E� � U�M�\� �� Y���� �� E\ ���5� -AQ l @T� v¤9� ?�0�)1 �QV��:+*�

#;Q)� (�J :u ��\� Y��� (�J :.u ª�<� Y��� (�J :Zu ��\� (M�� (�J :^u

:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_uju

#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:Z�Z|.o��

#;Q)� (�J m�I &-1=Z�×Z|×.o×�×�

#� �I j__ ^Zo =>#� -�� h�, � #;Q j__ ^Zo �1 �QV�� �5'

+*� K� ���;?E&�9 &�;�� (M� K�4 �kL �0�)1 �QV�� �5' 8�� H�;Q)� &-1 Q, �� ,b^c ��<�� H��M$� U-7��� ^

ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b_c ��<� E� ¥" �&�$� &QA� U-1 v¤9� ?m���� ��� #�5'�� Sx���� &-1 Q, �� >E�A U .oo m��� � ¥�"���� #�T�� -AQ

># �0�� FJ �L (0�� g�4 +O� ¥�"����� Ku" ��)1 >¥�"����:+*�

>m���� !�½L 2��¤" ¥x�-$� #'x�M :u> �l�� m���� 80� E�� B"����� :.u

>m���� !�½L � ª�<� @����� E�� B"����� :Zu

Y�;\�U�M�\�

Page 187: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_ujuru|u�u

#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:�|rj_^Z.u !��A` m�M� &-1=. × Z × ^ × _ × j × r × | × �

_o ^Zo = !� = >m���� ��� ���5¸ � �»�T _o ^Zo -AQ

+*� K� ���;>b�&�$� E� -AQ l @T� E�c #�)�7� H�M�� 89 # �0�� FJ RL �0$�'A w)O�� �%0) m��� 89 ��'A Zo ���D� _

?m���� ��0 #�5''� Sx���� &-1 Q, ��

Permutations πjOÉÑàdG !K Q, !��D\� �� K + &��� &-1 � �%��* �+ &����" s�" [�K��� �D6 G % �� ���!Y%* vdE% [�K��� U�H ,,&#�"�� ,�� �� �

#�x�A #1Q'%'" F&T }!¤ 3���7� G<��K r% G%�Y!K 8!�� �P��� I% ��Y�� ���� �* k-i '� �� � W,�% 6 dH bK P�¿�c������% � �MP% �!¥ k�i '� �� ����J!¦�� 3���7� I%

πjOÉÑàdG OóY OÉéjEG bjc ��<� ,z�x� 2x�T ,z�x� :2O��� #$"�\ ¨�7D� #$"�� ����J� K�- � ���-� 89 H��X� �� #�$'A �� � �Q�1 ^. K� v��9�

>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-; >m�-�V� ���� ,��� ����:+*�

#� �I ^. :z�x�� ����J�#� �I ^o :z�x�� 2x�T ����J�

#� �I Z� :��� ���� ����J�#� �I Z� :m�-�V� ���� ����J�

|jj .ro = Z� × Z� × ^o × ^. :Q, #$"�\� 2O��') ¨�7D\� ����J� �0" �5' 8�� m�M� &-1

+*� K� ���; >m�-�V) ������ ,��) ������ ,� ���x� ����J� K�- � >!���\� z)%� KQ)5� � �Q�1 Zo -AQ # ��7� H��$'%� �-;L 89 j

>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-;

:ôcòJ

�� K P���� . × Z × × … × b. − Kc × K :Q, !K

. × Z × × _ × j = !j : ��<'9. = ��O P���� ���G� . = !o

Page 188: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

Law of Permutations πjOÉÑàdG ¿ƒfÉb:6 X�% GH � N �E�% XSh�% #�)�7�� ���Y�� I% U G<��K <��

U ≥ N , + � U , N ,k� + N − Ui ��� k/ − Ui k� − UiU = ر'U

. = o�K j W�Y � = N �%��� k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − Ui × U =

ر'K :R�4

. × Z × ^ × >>> × b� − Kc. × Z × ^ × >>> × b� − Kc × k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − UiU =

!U!kN − Ui =

¿ƒfÉb

� = ٠'K ,U ≥ N , + � U ,� y�� !U

!kN − Ui = ر'U

brc ��<�>����� ��QV" #����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A��

٣�K fA

٣�.. P

٤�r �:+*�

:R�\� #� �M� � !r

!Z = !r!b_ − rc =

٤�r

^ro = ^ × _ × j × r = . × Z × ^ × _ × j × r. × Z = :#�T�<� #� �M�

��� = � × - × � × � =٤'r

��o = � × .o × .. = !� × � × .o × ..!� = !..

!b^ −..c = ٣�.. P

bZ − Kcb. − KcK = !b ^ − Kc × bZ − Kc × b. − Kc × K!b^ − Kc = !K

!b^ − Kc = ٣�K fA

:IóYÉ°ùe ��;��� ��?� @��A!;� IO�

,G<��!�� <�� <�w>� nPr `� Fgz�

+��1 �

� m# (���

<���( -

}

Page 189: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

���

+*� K� ���;#����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A�� r

>����� ��QV" ٤�K fA

٤�.o P

٣�j �

b|c ��<�?�0�� E� ���5� U-1 ��; � k� #�"�$� # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� +5��� K� �5' 8�� H�)5� &-1 ��

:+*�>@��T wMQ� � � �9�; Z� �� Y��; j f + &���� &-1 &��L #u��� � PQ)M��

:IóYÉ°ùe #"��4 � (0� Y���� 2����

�1 3)�Á P��4 #')59 >H�)5�>2��4 #')4

Z_ × Zj × Zr × Z| × Z� = !Z�!Z^ = !Z�

!bj − Z�c = j�Z�

.. |�^ roo = # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� #TQ5� #')4 .. |�^ roo -AQ

>#�"�$�+*� K� ���;

?(M� E� ���5� U-1 ��; � k� ��V� K�-" E¡$� U���� U�M�� �� U�M�� _ �� +5��� K� �5' 8�� &�-1\� &-1 �� |

Combinations ≥«aGƒàdG U I% ��O% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH UO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%���

�B�9�Q�� ["9� I9�T 2��¤� �1 &��1l� K�& k U ≥ Ni ¨��

b�c ��<�?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ,¨�7D� #��� �� #TQ5�� K�%)� &-1 ��

:+*�:����4 k� b.c ��<�� � �&QAQ�� )�4 #'x�M &�-1�" (M (� & , fA ,P ,� #$"�\� ¨�7D\� F( Â�

>b�0�� #��� ����Jl ���5¸ ������� Z_ = ^�_ ���, K� µ;lc

٤�r P��; m�I

6 shift nPr 4 = 3606! ÷ ( 6 - 4 )! 3606 × 5 × 4 × 3 360

Page 190: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

��.

fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �fA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & PP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &

>#'x��� � H��� r = !^ �0�� fA ,P ,� ¨�7D� #��� �� #TQ5� #��$� #�� K� µ;lfA P �P fA �fA � P� fA PP � fA� P fA

������� !^ �1 ����� ���5¸ ������� ^�_ f ���� K�%)� &�-1� ���L K�9 � �-;�� #1Q'¢ #��� H����¤� h�, +5��>#�� +5 � ��)�·

_ = !_!^!. = !_

!^ !b^ − _c = !_

!b^ − _c!^ = ^�_

!^ = K�%)� &-1

+*� K� ���;?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ¥V7D �� #TQ5�� K�%)� &-1 �� �

:©?�H �6<�w] IO� ¨�� U I% ��O% ���� ,# I% XN�!A��* ¨�� N I% �E�% GH U WO�� ��T�!�� <�� ,�%�� �Mp#*ن!

(ن - ر)! ر!لر =

U

ر! = ��T�!�� <��

≥«aGƒàdG ¿ƒfÉb :∞jô©J:U�T ,N ≤ U y�� U��\% U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S]

:6 3���7� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7� I% N I% �E�% GH ��O�� ��T�!�� <��ن!

(ن - ر)! ر! = kرن k

:$�x�1%� = k٠ن k j ª�Y¦ � = N �%��� k�i

� = kنن k k/i

:á¶MÓe I� ��Y!��

ر|U Q%��� @�A!"

���T�!�� <��

Page 191: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

b�c ��<� >���1l .Z �� K iQ5� #)� ��4 B �9 K�4 �kL

�� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 �5' c B ��� ��, 8�1l ¥" �� ¥�1l #�À

? b�4���� +4 � 2$)� 21l E\:+*�

#�)�7�� m��� &-1 8,� k�/� k -AQT K� 2� ¥�1l j �� #TQ5��

>���1l .Z �� (,����J� �5' � ���nCr shift= 125792 #����� #�� U�-7��� -�1 |�Z = � × � × .o × .. × .Z

. × Z × ^ × _ × j = !.Z!bj − .Zc!j = k�/� k

>���1l .Z ¥" �� (,����J� (�� ¥�1l j �� KQ5� B �9 +4 ,� ��)�· � �� �9 |�Z -AQ +*� K� ���;

8�1l ¥" �� ���1l .. �� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 >���1l Zo �� K iQ5� U-M ��4 B �9 K�4 �kL �b�4�� E� � 2$)� 21l E\ �5' c ?B ��� ��,

U*< I% X^��% ٥|�/ ["u U( ��;��� $4?� I% ��Y�� r�M!"K

�E9z� I9�T «�S I% }���� `�* ���M;�� $�M�� ¡�J> XN*¢ X��H <���7� �E�T UOK 8!�� U���7� �Y# � ¬���"K �P �­7 ��6

���� �* ���;��� ��?� @��A!;� U*< �#�\] 8MYK U( [Yp y�9# G % ��;��� $4?� �Y# ¬���"K 4 �P � v�\ X��O�� <���7�

�U��&�� ��MT � ١٠٠����ق

b.oc ��<�>� �*D�� j. ¥" �� ¥*D�� .o ����J� 2� ,#�"���� H�"�7�T� ¥*D��� �x�Q ����J� +A� ��

?�0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 ��:+*�

>.omj. &��` B�9�Q��" B)$�� #u�� h�, � �kL ,PQ)M� �e #*x�� ����J� !���� 2��¤� KL#����� #�� U�-7��� -�1 .Z ||| |.. �|o = !j.

!_. × !.o = .omj.

.Z ||| |.. �|o Q, #�5'�� #�)�7�� �x�Q)� &-1

8M�A�� @=E�� [�4 k�ij�E�� <�"% rT����� k/i

}"=�� ��g~ @=E�� [�4 k�i}"=�� cP @=E�� [�4 k-i

F;�� [�4 k�i

k�ik/i

k�ik-ik�i

= 51101}2777711870>1010 0 nCr

#���� H�QM³� U-7���:#����� #�� #M��Q" B�9�Q�� &��`

nCr= K�

Page 192: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

+*� K� ���; .j �0�� +4 N��� H�9�; U�-7��l P�M) �x�Q &�-1L ��� �� Q'��� &��� ,8�IQ� 3*��� ��� � &�-1`� !���� .o

?��� �� h�� �,&�-1L �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 �9 ,����I ro Q, P�M� &-1 Ku" ��)1 >����I

b..c ��<�>#�; +4 � m�M� &-1 2�;�� � ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; � �¸ +4 �

>�!���� E&�T � � �Q�1 Zj ¥" �� Å ¥�� ,z�x� 2x�T ,z�x� ����J� �>#�x��e #�A� &�-1` #�; .Z �1 EQ�Æ z�4 �� �I�M" H��; j ����J� P

>� �-$�� Zj �Ç #9�e � ����I ZZ -1��� i¥� ��MM· ()$� NX� fA>+V�� #9�e � �0��)$�� �0�"��5 ����" .. �� #TQ5� # �$D �-�VM �� H��"� _ ����J� &

:+*�.^ �oo = ^�Zj >+ &��� ∴ ����Jl� � (0� 2��¤� �

|�Z = jm.Z >B�9�Q� ∴ ����Jl� � (0� �e 2��¤� PZ_.o × Z}j�jZ ZZ�Zj >+ &��� ∴ (0� 2��¤� fA

^^o = _m.. >B�9�Q� ∴ (0� �e 2��¤� &

+*� K� ���;

>� ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; ,� �� � ..>K]��� ���� #�"��� � #4���') ��$� 3V� �� P�I ^ ����J� �

>K]��� ���� #�"��� � #��<� ¥4����� �4��� P

Page 193: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�./

5-10

º∏©àJ ±ƒ°S

• +���'� p-*�• N"��� p-*�• U���'� ��'�;l�

ºM���T� �5�T ��1& U�&� �EE\*( ��( `� U W* ¦< ,$1�M!"% cq�!% GO� `� $�I1# I% ��%*��� ��Y� ���!K

�� �] k®��Ti �Mp�� I% ¡*�� �6<��?�6<�� �% ���O��� a�*q7� W,� �4*�\ U WH � .

?,*�"!% ,�PN I% �M�5�� lK���� <�� �% P ?� c*�" ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% ,,*�"!% �� �6dPN �I1# [9; }K Z

?� I% �g~( ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% �U�*�"!% �6dPN �I1# {�9; ^

���Q\ ���� 6 p-; GH �bYc #��$� !��9 s�"K 8!��* ��O��� lK���� ���� �T�Y�# �4*( }!­ ,������ �#�� GH �����Y�� 3�JT I%

:6 ���� 'd!�� U�T �E"M� NEx�� �~�T �¯ �#�=!�� lK�� r�° {��H �S]

��9�� lK�� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = b p-��c�

( ن (

ن (ف) = k i' :U( c(

��L% ��"� *( ��"� *( ±H *( c²� ±H XNp# 'd!�4� [!O

b.c ��<�� �%�� �� +5 EQ)$� @AQ� #�;�� 8, #"�%��� ¦� � ���� ¥'���� &�T E�%; 8��§ #�$ �

?#�5'�� S��Q�� &-1 ��� >#��$� !��9 2�4� ?S��T +4 3u� i(� �>�g�T��" #��$� !��9 +<� P

?¦_ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ : p-�� ���;� �� fA:+*�

>+ ∈ K , U >r ≥ K ≥ . ,r ≥ U ≥ . [�; bK ,Uc 2��� ©�/ �� S��T +4 3u� �,br ,.c , … ,bZ ,.c ,b. ,.c} = Y,br ,Zc , … ,bZ ,Zc ,b. ,Zc

⋮ {br ,rc , … ,bZ ,rc ,b. ,rc

•hô°ûªdG ∫ɪàM’G

Conditional Probability

Page 194: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

>�0��T �Q0�� #O�9 �� S��Q�� h�, +4� >� �»�T ^r = r × r Q, S��Q�� &-1 ,-$� �-�� B��M�"�>#��$� !��� ª���� +�<'�� P

.. Z ^ _ j r

Z^_jr

��\� �%��

ª�<� �%��

>{bZ ,Zc ,b. ,^c ,b ,.c} :S��QT #��� �� p-�� 3u� fA.

.Z = ^^r = ( ن (

ن (ف) = b c �

+*� K� ���;?¦| E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦P§ p-�� ���;� �� � :b.c ��<�� � .

?¦.^ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦fA§ p-�� ���;� �� P ?¦�JÈ � �$"�� �É-;� � &-1 �Q0�§ :¦&§ p-�� ���;� �� fA

S��QT &-1 E��� �� �� �WO� ��x�& KQ5 �� p-; � S��Q�� &-1 U�T ,#��$� !��9 �� #�x�A #1Q'¢ Q, p-; E� U7*>�. ,o{ �¤�� �L 8'�� &-1 Q, , �� p-; �QM� ���;� U�T «�D� �#��$� !��9

Ée çó◊ ∫ɪàM’G ¢UGƒN

:U�T ³'�h ��* V!�% j ���� 3�JT � ��� IO��� ≥ k i' ≥� .

� ���*��� � ��-; R'� � o = b c� � �kL { } = K�4 �kL Z�� �-4�� � ��-; R'� � . = b c� � �kL Y = K�4 �kL ^

>. E��� #��$� !��9 � S��Q�� N�� Hl��;� �Q'¢ _

:Ió«Øe áeƒ∏©e E�%; 8�� #"�» � ,#��$� !��9

@��T Q, � � ���� ¥'���� &�T &�T �%; 8�� #"�» � #��$� !��9

>¥������ ¥���

Page 195: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.-

bZc ��<�> ¦. Q, � �,��� � &-$� �Q'¢§ Q, p-�� ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» �

? p-�� �QM� ���;� �9:+*�

^r Q, #�5'�� S��Q�� &-1 K� ()$T+VÆ K� �5' l .^ �Q'%�� K�9 �%; +4 � r Q, &-1 £4� K� �"�

o = o^r = b c� � �kL ��O Q, p-�� � S��Q�� &-1 K�9 ����"

>+�*��� p-; Q, p-�� ��,�

+*� K� ���; �Q'¢ �1 �QV��§ P p-�� K�4 ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» � Z

?P p-�� �QM� ���;� �9 ,¦.^ �� �WO�

>���;l� &��` B�9�Q�� �� + &���� U-7��T Hl��� �� �<5� �b^c ��<�

>�g�x�Q�1 � �$� #�)$� �� ¥�$MM �J� Ê�T - � >#�lQ4Q��" NMM _ �0��" #$MM .Z �1 EQ�� �Q); #�)1 Ê�T �¤D�?#�lQ4Q��" ¥�$MM ���Ë K� ���;� �9

:+*�>2��¤� &��1� K�& #$MM .Z ¥" �� �Q); 8�$MM ����J� :#"�%��

>� �»�T rr = .. × .Z . × Z = Z�.Z

!Z = k.ZZ k = bYc K #"�%�� S��QT &-1 ∴

2��¤� &��1� K�& ,#�lQ4Q��" ¥�$MM ����J� : p-��>S��QT r = ^ × _

. × Z = k_Z k = b c K = p-�� S��QT &-1 ∴> .

.. = rrr = b c K

bYc K = b c� ∴

+*� K� ���;

?#�lQ4Q��" ���� �g�x�Q�1 �Q); 8�$MM ����J� ���;� �� ,b^c ��<�� � ^

:á¶MÓe

&��� �%; �QT �4� ( �kL>(���� @T� 8�$ ��09

Page 196: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

Venn Diagram ø" §£îe

�$4��!�4� <�=]* G��"��� }ET s�� ������( ��;��E�� aS����� ���"K

(»FGôKEG ∫Éãe) ø" §£îe b_c ��<�>#X� ��" %rZ ,#���5� #M�T\�" P�M� �� %j_ (�0 # QT�<� ���-'� �-;L 89

>#X� ��" � �� � KQ'�0 #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� 3VT?#X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �� �

?#X� ��" (�0 l� ��'�;� �'9 ,#��-'� h�, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� P:+*�

����M�� +�M��'� +J�& (��T� b#��-'� P�I +4c #��$� !��9 +<' ���M��� ���7T �0X�1� H��M$'� 2����>#X� ��" KQ'�0 � �� P�M�� #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� P�M� +�<'� ���)J�-��

:8) �'4 # Q='� 2��� BI��'� h�, +J�& K i�-T%Z| = %j_ × o}j :#X� ��" ¥'�0��� #���5� #M�T\�" ¥'�0�� P�M� 3VT �'��� b!�¿³�c #)J�-��� #�M���

%Z| = %bZ| − j_c :�'��� !���V� #�M���%^j = %bZ| − rZc :�'��� !�M��� #�M���

#X� �%^j%Z|%Z|

%..

#���4 #M�T� %.. = %�b^j + Z| + Z|c − .oo{ :�'��� !����� #�M���>�Í FM· �!���" #)=�\� �1 #"�A`� K�� ���5'

%^j = #X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �o}^� �� %^� = %.. + %Z| = #X� ��" 2�M� (�0 l� ��'�;� P

• o}^� = o}rZ − . :�J] +;+*� K� ���;

#W)�" � ���4 3V� ��, P�I �� %.� ��� � ,#�"�$� #W)�" #$�M� 2�4 �D�$� 3V� P�I �� %�_ ��� _>���W)�" ����4 P�M� �� %.j ��� � ,# ��)5T`�

,+V�� ��, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� ?F�9 # ��)5T`� #W)�" ����4 K���� �'� KQ5 K� ��'�;� �� �

?� �$� ���W)�" ����4 K���� l �'� 2�M� ��, KQ5 K� ��'�;� �� P

Page 197: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

:É¡J’ɪàMGh çGóMC’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG

�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 , � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u�

�∅ = 0 ∩ c( ¨�� c( � �H�� µ �S] kIncompatiblei U��T��!% �¶ 0 , U�£���� � X<\�� ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� kcomplementi 6 ���� }�!%

:ÚKóM OÉ–’ ∫ɪàM’G IóYÉbk0 ∩ i' − k0i' + k i' = k0 ∪ i'

k0 ∪ i' − k0i' + k i' = k0 ∩ c' �E�%*: çó◊G ºªàŸ ∫ɪàM’G IóYÉb

k i' − � = k i':Ú«aÉæàe ÚKó◊ ∫ɪàM’G IóYÉb

�k0i' + k i' = k0 ∪ i' U�T j ���Y�� 3�JT I% ,�T��!% ,£�� 0 , U�H �S]

bjc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL

:�� g�4 -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}_ = bPc� ,o}| = b c� b c� Z bP ∪ c� .

:+*�kP ∩ i� − bPc� + b c� = bP ∪ c� .

>o}| = o}_ − o}_ + o}| = b c� − . = b c� Z

o}^ = o}| − . = +*� K� ���;

:�� g�4 -A�� o}r = bP ∪ c � ,o}j = bPc� ,o}^ = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL j bP ∩ c� �

bPc� P

Page 198: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

brc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL

>bP ∩ c� ,bPc� -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}� = bP ∪ c� ,o}Z = b c�:+*�

b c� − . = b c� o}� = o}Z − . = b c� − . = b c� kP ∩ i' − bPc� + b c� = bP ∪ c�

o}_ − bPc� + o}� = o}� o}_ + o}� − o}� = bPc�

o}j = bPc� − . = bPc�

o}j = o}j − . = o}r = o}_ − . = bP ∩ c� − . = bP ∩ c�

+*� K� ���; o}Z = bP ∩ c � ,o}r = bPc� ,o}j = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL r

>bP ∪ c� -A��

b|c ��<�:H������'� �-;L 89 ��)��$� ¨�7DÎ � �$ /Q� 8��� ©�&�'� ��-%� ���

z�%� #�0'�+A�������Q'%��2��IZ�.__Zv�¸ZoZ^ZZjZ

E��&L−8���ZZ^_jr�Q'%��|oZ�o^jo

> R����'� 89 ����1 � �V7D ^jo ��" �� �g�x�Q�1 C7D ����J� (�:#���� p�-;\� �� p-; +4 ���;� -A�� .

¦2��I C7��§ :fA ¦����� C7��§ :P ¦v�¸ C7��§ :

Page 199: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�.�

>b c� -A�� Z>��-�� U�-7���" bf,c� 2�;� , ¦2��I� ����� KQ5 C7��§ :p-�� f, �5� � ^

>b�c� 2�;� i(� ,¦2��I �� ����� KQ5 C7��§ :¦� §p-�� fA , P ¥�-�� � ��-7��� 2�4� P >bfA ∪ c� 2�;� _

:+*�: �0��� �0��T �Q0�� #O�9 �� #"�%�� S��QT K� 8�$ �g�x�Q�1 C7�� ����J� .

o}.Z = _Z^jo = bfAc� , o}� = Z�o

^jo = bPc� , o}|Z = ZjZ^jo = b c�

o}Z� = o}|Z − . = b c� − . = b c� Z � �»�T ._ @ - fA ∩ P = f, p-�� ��-�� 2�*" ,fA ∩ P p-�� ���;� 2�*T � ^

o}o_ = ._^jo = bfA ∩ Pc� = bf,c� :����"�

¥�9���� ¥�-; ��� fA , P KL [�; ,fA ∪ P p-�� ���;� 2�*T PbfA ∩ Pc� − bfAc� + bPc� = bfA ∪ Pc� = b�c�

o}�� = o}o_ − o}.Z + o}�o = o}�_ = o}.Z + o}|Z = bfAc� + b c� = bfA ∪ c� :� �kL K��9���� K��-; �É fA , _

+*� K� ���;

>o}j = bPc� ,o}_ = b c� [�; K��9���� P , K��-; �� - Y #��1 !��9 89 |>bP ∪ c� 2�;� �>bP ∪ c� 2�;� P

Page 200: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

�..

Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMC’G �#�� � , �1 �T ��h?� k�P* @�� *(i �P* `� �£5 4 �¶��( k�P* @�� *(i �P* U�H �S] ,�&!"% U�£��� UO

�P* `� �£5 4 ��*7� ��%��� � XN~ NEZ� ���� U�T c�Y�� V\�� �x�1%* ,K�% ����Y% ���� 8%N ��� �������K����� K��-��9 «�D�* ,�&�I c�# ��h7� `� �£5K 4 ,!�%��� I% c( U7 ,����� �� ��%��� � XN~ NEZ� ����

:����!�� X���&�� @��A!;�# � �Y% ,£��� �P* 'd!�� <�w] ���O� V��T ,�&!"% ,£�� �<�M�� $4d!�4� }�Y� ��H �S]Multiplication principle of Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMCÓd Üô°†dG IóYÉb

:6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]k0i' × k i' = k0 ∩ i'

�V� �#�"�� �h?� <�Y�� I� v1&!"% UO l!� 8���� <�� GH �� ,� ,# r&K ������ <���( a�!�] �E�O� ��;��� $4?� }xY%

b�c ��<�>b+"��'� +5�� RL ��T�c � RL o �� #�x�Q�1 U�M�� ©��T` #�T���� #���*� #�� U�-7���" �-1�M � QM�" -';� U�M

?^ f � ��1��� 8T�<� (M�� KQ5 K�� �g�A�/ @�)1 +V; E�� ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� �'9:+��

¥)���� ¥�-�� K� E� >ª�<� S���� �1 ��� l ��\� S���� K�9 ,#�x�Q�1 U�M�\� K� �":�É�

>{� ,r ,_ ,Z ,o} = � ¦�g�A�/ KQ5 S���� (M��§ :�>{� ,r ,^} = U ¦^ f � ��1��� KQ5 S���� (M��§ :U

:P¿� �-1�M B��M� �5' � ,¥)���� ¥�-�� K\�o}.j = ^

.o × j.o = bUc� × b�c� = bU ∩ �c�

>o}.j Q, H��1��� �� 8T�<� (M��� �g�A�/ ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� :8���"�+*� K� ���;

>EQ)$� @AQ� #�;��� H��� p�� &Q�T #$MM 8�� -�1 #�x�Q�1 #"�%� 89 �?b¨ ,� ,¨c S���� KQ5 K� ��'�;� ��

• &�-1� #�& ��4� 8, ¦int§ #*�*O

• &�-1\� S��� 8, ¦rand§ >. ,��O ��" #�x�Q�$�

• 8M$� int b10 * randc >� ,��O ��" � �&�-1�

rand = o}�.| :��<�10 * rand = �}.|

int b10 * randc = �

Page 201: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

Dependent Event ™HÉàdG çóëdG��#�; ��9# CNEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO

á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG b�c ��<�

#�x�Q�1 #"�» � >z�4 � !�M�/ H��4 ^� !��Ð H��4 j �� - >��A�L K�-" ��Q�� �1 ¥��4 w�*�?¥����Ð ¥��4 �1 �QV�� ���;� ��

:+*�,¦ �l�� !��Ð ��4 2*�§ : K��-�� �5�

> ¦���T�� !��Ð ��4 2*�§ :P j� = b c�

> _| = bPc� ����"� H��4 | ���, z�5� �� F�9 !��РH��4 _ z�5� � �� - ��V ��\� ��5� �&�1L K�&

j._ = _

| × j� = bPc� × b c� = bK�����Ð K���4c�

+*� K� ���;>2�)�� #05�" 8M���� #�lQ4QD #05�" �0�� _ ,#$MM .Z �1 �Q); #�)1 EQ�� �

?2�)*� #05�" #$MM �J� (� ,�0)4�� #�lQ4QD #05�" #$MM �J� ��'�;� �'9

�-"�

!��Ð

!��Ð

!��Ð

!�M�/

!�M�/

!�M�/

j�

_|

j| ^

^|

Z|

Page 202: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

Conditional Probability •hô°ûªdG ∫ɪàM’G

�{� ,� ,- ,� ,/ ,�} = j ���Y�� 3�JT U�T V� c�Y�� V\�� �x�1%* X���* X�% <�� �=� 3�&�] �#�=K 8T�/ = �� = k iU

kjiU = k i' UO* {� ,� ,-} = U�T k� I% ��H( <�� NEZi ��9�� IO��{� ,- ,/} = 0 UO�T k8\*q <�� NEZi0 ���� IO��*

�/ = �� = k0iU

kjiU = k0i' 'd!�� 6 �% �h´ s�Y�# � ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!�� 6 dT ,rP* �P ���� U( ����� �S] :U?� '�"��

?� I% �H( UO U( U²# 8\*q <�� `� 'p��:�\� � I% ��H( 8\*q <�� s�� 'p9��* {� ,� ,-} = 6 ��=�� ���Y�� 3�JT GYw sMY�� U²�� U( R�1�

{� ,-} = ∩ 0/� 6 � I% ��H( UO U( U��# 8\*q <�� s�� 'p9�� '��!�� 8��!��#*

��9�� '��!�� (�& ¦* k |0i' [!O¦* k8I����i U*����� '��!�4�# s�" ��9�� �P* U��# 0 ��9�� �P* '��!��:����!�� X���&�� @��A!;�# k |0i' <�=] IO�* � U��# 0

•höûŸG ∫ɪàM’G IóYÉb

:K�9 p-�� �QMQ" � �I�¡� P p-�� �QM� K�4 �kL� ≠ k i ' y�� (P ∩ )�

( )� = b |Pc�b |Pc� × ( �4 �bP ∩ c = ل(�

Page 203: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/�/

b.oc ��<�>o}Z = bP ∩ c� ,o}r = bPc� ,o}^ = b c� [�; K��-; P , #�x�Q�1 #"�%� 89

bP| c � P b |Pc � � :#���� p�-;\� �� +4 ��'�;� -A��:+*�

� Z^ = o}Z

o}^ = kP � i�b c� = k |Pi� �

.^ = Z

r = o}Zo}r = kP � i�

kPi� = kP| i� P+*� K� ���;

>bP � c� -A�� >o}Z = b | Pc� ,o}^ = b c� K�4 �kL ,#�x�Q�1 #"�%� 89 .o

b..c ��<�>@ EQ)$� @AQ� µ;l� (���� &�T �%; (��A R��

>¦E&�9 &-1 �1 �QV��§ : p-�� ,¦j E��� �� �� £4� &-1 �1 �QV��§ :P p-�� 8'�Tb� g &�9 � �&-1 KQ5 K� U¡" j E��� �� �� £4� &-1 �Q0� ���;�c b |Pc� 2�;�

:+*�r = bYc K {r ,j ,_ ,^ ,Z ,.} = Y

^ = b c K {j ,^ ,.} = Z = bPc K {r ,j} = P

. = b � Pc K {j} = P � .Z = ^

r = b c� .r = bP � c�

� .^ = Z

r = .r

.Z

= kP � i�k i� = b |Pc�

+*� K� ���; &-1 R)1 �QV*�§ p-*�� ,¦8A�/ &-1 R)1 �QV*�§ P p-*� K�4 �kL ,(���� &�T �%; !��L #"�%� 89 ..

>b |Pc� 2�;�9 >¦8��

Page 204: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG

b.c ��<�:����!�� $������� Dh�� k�i

��� ,�/� ,��� ,.� ,�� ,�� ,�� ,-� ,/� ,�� :k i�� ,�/ ,�� ,. ,� ,� ,� ,- ,/ ,� :k0i

?k i ���=�� � $������� }�P I% k0i ���=�� $����# � }�&�� l!�!"� ��H ��k0i ���=�� }�&� Z

Zu I��!��* k i ���=�� }�&� Z.u I��!�� �\*( P

�٢u ,

١u ,# �P1Y�� l!�!;� fA

�$������� I% ,!��� }W�P ?@9�1� E�� ��?@�9�$� - �� E�� ��

�k0i ���=�� }�P* k i ���=�� }�P ,# F#����k0i ���=�� }�P I��K* k i ���=�� }�P I��K ,# �P1Y��

?#u�'� +;u� 3�4 }�P 86 k0i ���=�� }�P r�° U( R�1� k0i ���=�� � $������� }�P* k i ���=�� � $������� }�P �] �x���# k(i

��� `� �%"&% k i ���=��:,!��=�� }�P I% GO� �4*�\ U WO� k0i

k(i '*�\

�� = n ·�"�� F;!�� - س)/

ر(س

ن

ر = ١

ن = Z

.u

٦١٠ ١٧

�� = Z.u

١٧٦١ = Z.u

Nn ���&��n − Nn/kn − Nni����−� .�./���−/ ��.-���−� ��.��/�−�/.���−.���-..���/�.

���/��/.�/�-�/ /�.������ ./.

٦١٠ ١٧ = ��=��

Page 205: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/�-

k0i '*�\�t� = � ·�"�� F;!��

/(� - ر�)

ن

ر = ١

ن = Z

Zu

���t��� = Z

Zu

��t�� = ZZu

ZZu /k��i = Z

.u c( ZZu ��� = Z

.u )�!��#*٢u �� =

١u U( l!�!"� km\i

bZc ��<� X<=�� N��!h� rz* rM&�� CD6 3�g�> �8�&K G�h �E�T $�H²�� ���] �EY�pK 8!�� rM&�� I% %/ U( ����p�] �;�N< {�W�#

:©?�H V=��!� {��H*�G�h �E�T 8!�� rM&�� I% %.� U�H �S] N��!h4� 8g�

�G�h �E�T ��� 8!�� rM&�� I% %�t� U�H �S] N��!h4� 8g���H²�� CD6 � �Y�p% �YMP �v����� $Dh(

?X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �E�T UO U( 'd!�� �%:G��

���YM&�� 8g� X<+� N��!h�� :���� mh ,�G�h �E�T �YM&��� :���� � IO��

N� ���&��� − N�/k� − N�i��t�−�.t�./�t�−/�t�.-�t�−��t�.�/t�−�t/.��t�−�t�.��t��t-..�t�/t�.

��/t��t/.�/-t�//t�.���t��.t/.

���t� = ��=��

Page 206: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

$��MY�� G� �!� ����# X�=� };�� :k’hCG

G�h �E�T rM&�� I% %/��E�T G�h 4 %.� ∴

G�h �E�T rM&�� I% %.� N��!h4� 8g���E�g� 4 G�h �E�T rM&�� I% %/ ∴

�E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %�t� N��!h4� 8g��N��!h4� �E�g� 4 �E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %..t� ∴

ل(ع ∩ خـ)

ل(خـ) = kخـ |�i' :É k«fÉK

�,!��� � �% �YMP N��!h4� 8g� ,�������� X�=��� �] �x���# �kmhi' }£ ,kmhi' �\� G9�� � ��Jukmh ∩ �i' + kmh ∩ �i' = kmhi' ∴

�t�/-� = �t��� × �t.� + �t.� × �t�/ = �t.��� = �t�/-� − � = kmhi' ∴

�t���- = �t�/ × �t�/ = k mh∩�i'

�t���-� ⋍ �t���-�t.��� =

ل(ع ∩ خـ)

ل(خـ) = kخـ |�i'

�����&K �t���-� c*�" X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �YM&�� � UO U( 'd!��

#�9�XL #u�� ��H X�� �� s�� ��O�� l��!� $�EZ� �$��!����% ��� s�� �E�% GH c!9K G��"�� U#�p��# $��� �L�Y!� XQE=% ��´ .

:8����� ,��. ,/.� ,��� ,��� ,-�/ ,��� ,�// ,/.� ,/.� ,��� ,��� ,��� ,��� ,��� ,/.�

� �!�������# $��Y�� CD6 $�!9�� 8#�"9�� F;!��� �\*( � ?l!�!"K �S�% �cN��Y��� j��9�4� �\*( P

�-"�

�sg�

sg�

sg� 4 G�h �E�T

G�h �E�T ���

sg� 4

�t�/�t�/

�t..�

�t.�

�t.�

�t���خـ

خـ

خـ

خـ

Page 207: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

!�V;`�

+�)*�H�T����H��1�"�\�

Y��*Tl�E���$'�

m�I-$� ��'�;l�

U���'�

��'�;l�

!�V;`���'�;l��

F�Q�'�8"��*�

81�"�\�RT&\�

� ���� p-;N"�� p�-;\�#)���'� ��%��

#�T����+ &����

NI����&�*�l�('�'�

B�9�Q��

�-��-$�

�-'�

��'�;l�U���'�

81�"�\�R)1\�

Y��*Tl�E���$'�

�4�� U�-7���#=��

#�M��Q� #=�� #=��#��Q�'� �-'�

81�"�\� H��)'$�

p�-;\� R)1

F��Q���Q�'�

Iô°TÉ©dG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe

Page 208: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

¢üî∏e:����p�>� $������� �~� �QH��� ��Q��� }�P @�A!"K −

Un U$ + ���� + /n /$ + �n �$U$ + ��� + /$ + �$ = n :}�&�� CD6 <�� `� $������� }�P ��� ��"P lK�� 6 ·�"�� F;!�� *

��v��q��K *( � v���pK }�&�� CD6 [�K�K �Y# �p!��� � ©�K 8!�� ���&�� 6 F�;�� *�$������� � � �N��OK � H7� k}�&��i ���&�� 6 '���� *

�·�"�� F;!�� <�w> �LM�� QH�% @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *:�YT���� U��P @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *

j × /¬/¬ + �¬ + ������� �LM�� s�<7� ��� = '����

,������� �LM�� 'I = j U] y�� , ������� �LM�� X^��% �&#�"�� �LM�� N��OK = �¬

������� �LM�� X^��% �&�1�� �LM�� N��OK = /¬ �dE��H *( 'q���� r�=!�� s�9�% *( ���p�� r�=!�� s�9��# @��A!;�# F�;�� <�w] IO� *

��YT���� U��P @��A!;�# '���� <�w] IO� *�cN��O!�� aN��� @��A!;�# '���� <�w] IO� *

�$������� {!�K �;�N�� cN��Y�� j��9�4�* I��!��* ����* $����#N7� @�A!"� −�$������� I% ��gp�� ���&�� − $������� I% s�xY�� ���&�� = ���� *

�١N Q%���# j�Y* F�;�� I% �g~( $������� s�<7� }�&�� F�;* = s�<7� 8��#N7� *�٣N Q%���# j�Y* F�;�� I% �H( $������� `�7� }�&�� F�;* = `�7� 8��#N7� *

�٢N Q%���# $������� F�;�� j�Y *

�s�xY�� ���&�� ,٣N ,٢N ,١N ,��gp�� ���&�� :6 $������� � �"��� <���7� G�� *

�$������� }�P {!�K* �E��# d�T �P1Y��* ���� }�&�� rqK ��M�H ,!zN�Y�� cS |*��p�� FM� �z * - س)/

ر(س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= ٢u :X���&�� 0�"� I% ������ $������� I% ���&�� 6 I��!�� *

:X���&��# sMY* $������� CD¯ ·�"�� F;!�� I� $������� {!�K W,� cN��Y�� j��9�4� *

F/(س - ر (س

ر ت

ن

ر = ١

ر ت

ن

ر = ١

= u

����P {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �g~ �S]* ·�"�� F;!�� I� � ���Y#* � ���H {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �H �S]�·�"�� F;!�� I%

Page 209: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

/��

k١Ni s�<7� 8��#N7� − k

٣Ni `�7� 8��#N7� = 8��#N7� ���� *

��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� �������� X�=��� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S] :#�T���� ��%�� −�kU 0*�%i !U 6 3���7� I% G<��K <�� �%�� ,G<��!��# s�" ����!Y%* vdE% [�K��� UO �%��� :+ &���� −

N �6<�� 3���( I% U WO�� G<��!�� <�� U�T ,U ≥ N y�9# ,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :+ &���� KQT�M −ن! (ن - ر)!

= ر'U :6 3���7� I% U ,# I% XSh���*

�� WO% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH U WO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%��� :B�9�Q�� −���T�!�� ["9� I9�T [�K��� I� �x��� <d!�� U*< ¨�� U I%

I% N I% �E�% GH �� WO�� ��T�!�� <�� U�T U ≥ N y�� ,,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :B�9�Q�� KQT�M −ن! �

ر!(ن - ر)! = ر|U :6 V"M� {P�� � ���Y�� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7�

��9�� 8T lK���� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = k i' :6 ���� 'd!�� −

:�% ��� 'd!�4� ��h −:U�T j ³'�h ��* V!�% ���� 3�JT � ��� IO��

� ≥ k i' ≥ � −�G�9!"�� ���� s�" ,� = k i' U�T { } = U�H �S] −

��H5�� ���� s�" ,� = k i' U�T j = U�H �S] −�� c*�" ���Y�� 3�JT � lK���� $4d!�� ��� −

�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 �* � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K −�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 � *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u� −

.∅ = 0 ∩ c( ¬��% lK�� d¹�� IO µ �S] U��T��!% �¶ 0 , U�£��� −� � X<\% ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� ���� 6* m# V��] Q%� ��� }�!% −

��h?� �*�� 'd!�� `� �£�K V� ��� �¶��( �*�� U�H �S] U1&!"% U�£�� UO :��&!"�� ����7� −:��&!"�� ����º� 0��� X���P −

k0i' × k i' = k0 ∩ i' :6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]��#�; ��9# ���� �D6 NEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO :N"��� p-�� −

:U*²�� 'd!�4� −�� ≠ k i' U( _�M�* 0 , ,£�� ���� IO��

(�&* k |0i' [!O* U*²�� 'd!�4� s�" ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!���� U²# 0 ���� 'd!���

:U*²�� 'd!�4� X���P −k� ≠ k i'i ���� �P# ��I*²% 0 ���� �P* U�H �S]� k | 0i' × k i' = k0 ∩ i' , (ب ∩ )ل

( ل( = k |0i'

Page 210: á«fÉãdG á©Ñ£dG - moe.edu.kw§لصف العاشر-10/الرياضيات... · á`````eó`≤e ﻪﺒﺤﺻﻭ ﷲﺍﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺪﻤﺤﻣ ،ﲔﻠﺳﺮﳌﺍ ﺪﻴﺳ

شركة مطابع الرسالة - الكويت

����������� ������ ����� ��� � ���� ����� � ����