Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
تعلم فرص وتؤمن يومية، حياتية مواقف ياضيات الر سلسلة تطرح
كثيرة. فهي تعزز المهارات األساسية، والحس العددي، وحل المسائل،
الشفهي التعبير مهارتي وتنمي والهندسة، الجبر، لدراسة والجهوزية
المواد مع تتكامل وهي ياضيات. الر في التفكير ومهارات والكتابي
الدراسية األخرى فتكون جزءا من ثقافة شاملة متماسكة تحفز الطالب
على اختالف قدراتهم وتشجعهم على حب المعرفة.
تتكون السلسلة من:كتاب الطالب
كتاب المعلم
كراسة التمارين
كراسة التمارين مع اإلجابات
وزارة التربية
ISBN 978-614-406-315-6
9 7 8 6 1 4 4 0 6 3 1 5 6
يةثان
العة
طبال
يةثان
العة
طب ال
ي
ثان اليس
درا اللص
لفا
يثان
اليس
درا اللص
لف ا
ر ش
عا الف
صال
شرعا
الف
ص ال
ب طال
البتاك
ت ياض
رياال
بطال
البتاك
ت ياض
رياال
á«fÉãdG á©Ñ£dG10
( ) .
. .
- -
1439 - 14382018 - 2017
. . . House of Education
: ©.
( ) .
. .
. .
2017م
á```````eó`≤e
احلمدهللا رب العاملني، والصالة والسالم على سيد املرسلني، محمد بن عبداهللا وصحبه
أجمعني.
جملة إلى ذلك في استندت املناهج، تطوير عملية في التربية وزارة شرعت عندما
وارتباط الدولة متطلبات راعت حيث واملهنية، والفنية العلمية واملرتكزات األسس من
ذلك بسوق العمل، وحاجات املتعلمني والتطور املعرفي والعلمي، باإلضافة إلى جملة من
وغيرها، والتكنولوجي واالقتصادي واالجتماعي القيمي بالتحدي متثلت التي التحديات
وإن كنا ندرك أن هذه اجلوانب لها صلة وثيقة بالنظام التعليمي بشكل عام وليس املناهج
بشكل خاص.
ومما يجب التأكيد عليه، أن املنهج عبارة عن كم اخلبرات التربوية والتعليمية التي تقدم
ا بعمليات التخطط والتنفيذ، والتي في محصلتها النهائية للمتعلم، وهذا يرتبط أيض
أهم من الدراسية املناهج بناء عملية أصبحت وعليه التربوية، األهداف لتحقيق تأتي
مكونات النظام التعليمي، ألنها تأتي في جانبني مهمني لقياس كفاءة النظام التعليمي،
ا أو معيارا من معايير كفاءته من فهي من جهة متثل أحد املدخالت األساسية ومقياس
جهة أخرى، عدا أن املناهج تدخل في عملية إمناء شخصية املتعلم في جميع جوانبها
اجلسمية والعقلية والوجدانية والروحية واالجتماعية.
عملية في نبدأ عندما واملناهج، التربوية البحوث قطاع في فنحن آخر، جانب من
تطوير املناهج الدراسية، ننطلق من كل األسس واملرتكزات التي سبق ذكرها، بل إننا نراها
املستجدات في البحث في ا قدم واملضي جهدنا قصارى لبذل تدفعنا واقعية محفزات
التربوية سواء في شكل املناهج أم في مضامينها، وهذا ما قام به القطاع خالل السنوات
املاضية، حيث البحث عن أفضل ما توصلت إليه عملية صناعة املناهج الدراسية، ومن ثم
إعدادها وتأليفها وفق معايير عاملية استعدادا لتطبيقها في البيئة التعليمية.
ولقد كانت مناهج العلوم والرياضيات من أول املناهج التي بدأنا بها عملية التطوير، إميانا
بأهميتها وانطالقا من أنها ذات صفة عاملية، مع األخذ باحلسبان خصوصية اتمع الكويتي
املعرفة بذلك ونعني التعلم عملية جوانب تتضمن أنها أدركنا وعندما احمللية، وبيئته
الكويت، دولة في التعليم نظام مع تتوافق وجعلها بدراستها قمنا واملهارات، والقيم
مركزين ليس فقط على الكتاب املقرر ولكن شمل ذلك طرائق وأساليب التدريس والبيئة
التعليمية ودور املتعلم، مؤكدين على أهمية التكامل بني اجلوانب العلمية والتطبيقية
حتى تكون ذات طبيعة وظيفية مرتبطة بحياة املتعلم.
وفي ضوء ما سبق من معطيات وغيرها من اجلوانب ذات الصفة التعليمية والتربوية مت
اختيار سلسلة مناهج العلوم والرياضيات التي أكملناها بشكل ووقت مناسبني، ولنحقق
نقلة نوعية في مناهج تلك املواد، وهذا كله تزامن مع عملية التقومي والقياس لألثر الذي
تركته تلك املناهج، ومن ثم عمليات التعديل التي طرأت أثناء وبعد تنفيذها، مع التأكيد
على االستمرار في القياس املستمر واملتابعة الدائمة حتى تكون مناهجنا أكثر تفاعلية.
د. سعود هالل احلربي
الوكيل املساعد لقطاع البحوث التربوية واملناهج
oäÉjnƒàëŸG١٠ الوحدة السادسة: هندسة الدائرة ١٢ ..................................................................................................................................................................................................................................................................... ) الدائرة ) ٦ - ١
١٤ ..................................................................................................................................................................................................................................................... ٦ - ١ (ب) مماس الدائرة
٦ - ٢ األوتار واألقواس......................................................................................................................................................................................................................................................... ٢٥
٦ - ٣ الزوايا املركزية والزوايا احمليطية .................................................................................................................................................................................................................. ٣٢
٤٢ ............................................................................................................................................................................................................... ٦- ٤ الدائرة: األوتار املتقاطعة، املماس
٥٢ الوحدة السابعة: املصفوفات ٥٤ ................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ١ تنظيم البيانات في مصفوفات
٧ - ٢ جمع وطرح املصفوفات .................................................................................................................................................................................................................................... ٦٠
٦٦ .................................................................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٣ ضرب املصفوفات
٧ - ٤ مصفوفات الوحدة والنظير الضربي (املعكوسات) .................................................................................................................................................................... ٧٤
٧٩ .............................................................................................................................................................................................................. ٧ - ٥ حل نظام من معادلتني خطيتني
٨٦ الوحدة الثامنة: حساب املثلثات (٢) ٨٨ ............................................................................................................................................ ٨ - ١ دائرة الوحدة في املستوى اإلحداثي والدوال املثلثية (الدائرية)
٩٥ ................................................................................................................................................................................................................. ٨ - ٢ العالقات بني الدوال املثلثية (١)
١٠٧ ............................................................................................................................................................................................................... ٨- ٣ العالقات بني الدوال املثلثية (٢)
١١٨ الوحدة التاسعة: الهندسة التحليلية ١٢٠ ............................................................................................................................................................................................................................................. ٩ - ١ املستوى اإلحداثي
٩ - ٢ تقسيم قطعة مستقيمة............................................................................................................................................................................................................................ ١٢٤
) ميل اخلط املستقيم................................................................................................................................................................................................................................. ١٣١ ) ٩ - ٣
٩ - ٣ (ب) معادلة اخلط املستقيم....................................................................................................................................................................................................................... ١٣٦
٩ - ٤ البعد بني نقطة ومستقيم...................................................................................................................................................................................................................... ١٤١
٩ - ٥ معادلة الدائرة...................................................................................................................................................................................................................................................... ١٤٣
١٥٦ الوحدة العاشرة: اإلحصاء واالحتمال ١٠ - ١ حتليل البيانات .................................................................................................................................................................................................................................................. ١٥٨
١٠ - ٢ األرباعيات ............................................................................................................................................................................................................................................................. ١٧٠
١٠ - ٣ االنحراف املعياري ........................................................................................................................................................................................................................................... ١٧٦
١٨٣ ............................................................................................................................................................................................................................................................ ١٠ - ٤ طرق العد
١٠ - ٥ االحتمال املشروط ........................................................................................................................................................................................................................................ ١٩٢
IóMƒdGá°SOÉ°ùdG
��
á«°Sóæ¡dG ±QÉNõdGh áæjõdG º«ª°üJ »a IôFGódG ᫪gCG :IóMƒdG ´hô°ûe ������� � �I �� ��� ����� �������� � ����!� ������� "I#� $%��&�� '�(�)� ,����* $��+ -�. :/��0 �� ".��. 1
�"��2� �*�3 4���� �� �5���� U%M3 ��89 �. ;&�)� �3<� ������ �"��� �� �� "���� ;%=� '�* �. � ���&�#.$%��&�� '�(�)� .��* >������ �&�� ?��@ "�A �� !%2��� BC3 ".�(�# �� D������ E�� �* FG�� :H���� I
�������� � ����J� K%LM� "���I N�O9 ��������!=� ,�L+ ,��%LP 'C+� ,D���. "QMR ,�)! S�!�� :'T�%L�� U
:V�MM��� B%W "LX)� Y�Z!�G �� �)! $�;[ D���. "QMR \L* N�]� "M�� ��* �
,�#&� �9�� �� �.�(�#. �IF_ >�#� �M+ `2�� Z_− ,a[ ,Za ,_−[ ,Za ,_[ ,Z_ ,a[ J�9��. ����; Y �)!� b �IFY >�#� �M+ `2�� ����; Y �)!�
�� W]� c�%�� ����. NQ0�� "��!]� �9�� �� ��� N� �d � 2P $%�� ,e�%+]� f.� ���3]� NQ0�� $%�� g�h2�� �������� g�MQ�� ������� �I�P U�� ��� N�
��0* ������ $���� �. �.C)@� �&�� �. F � �� 2�� "����� D�%M(�� �MP� j=
����; �)!� :1 �%M(�� \L* c)�k! ����.�
�c��M+ �)!� �l ,������� �* 4P��� NQ0�� �)!�
°Y_ "����� ��� �� $�!�;� ������� �9�. B%W
����; �)!� :I �%M(�������� �� "IG. "�L3�;
N9 � �)!� :U �%M(���!M+]� �� = ���.
�)!� :Y �%M(�� ������ D&2�.
U�� ��* �l , "��9� �� m-�� �� 8�� �I���� ������� �. D&2� ��
�"�L3����
m-J � =� :_ �%M(�� \L* N2G�� U����
������� ��IG. �����. ��M� 9 g�h2��
N2G�� $%� �l ,�)����b%LM �� �� 2��� \L*���L* nL2W ���� ��.2��� o�*�� ,��W%�� e�!; �. � ���&�#. /��0 �� -�&�P B%W �C2&. � �����P �A :������� _
IóMƒdG ¢ShQO
�������������� e .e�%+]�� !P�]�"��9� �� ������"�M�G �� �������
!P�]� :�������e �� ,"�I�� ��
Z [1−pZb[1−pI−pU−pY−p
IôFGódG á°Sóæg
Geometry of a Circle
��
"M�� ��* "�I�� �� !P�]� �� �P D+C�� ������� ?!3 �� ������� N3�; d�Q � �����=� B�%I� ��� F��P �;�G. c� L�P . '��(�)� D+C��� m-J ;q�r D8L8 ��� "��M� �� D8L8 �� �* ���) �M#�QP H%) ���� H!� �� �"��0� �� � ����* D��MMP �� ��W%�� m-J �. ")������ ,"�! � �� ")������ ,��%2���
�"9�G� �� !%2��� ,"��� ��
∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG (áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG
• ���W#.� ����; F�G. ;q�r n L�P• c�0P� ��5�� �� ������ s�23� D8L8 �� V�MP DMlr n L�P
�FL8 �� � ��� �� �M��� E��� D8L8 ��• �t!%u8� "��v� ��.� ,"������ ��+ FL8 �� s�23 n L�P
?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• "M��� ! �� ������� �M+ `2�� e �� ��� "+C��� '�(�#P H%)
�N�# �� NG� e ���• �"�P�W N�#. NW � ��W�� "M�� �. ��) . ��� "+C��� '�(�#P H%)• NG� "��9� �� ������� e�%+]�� "��M� �� !P�]� '�(�#P H%)
�������� � N�#.• �9� � � P ���� " ���# �� �M���� D ���# �� s�23 H���P H%)
�������� �9� � � P w ����� �������• "9��0 �� "�M�G �� "������� "��9� �� "������ ��� "+C��� H���P H%)
�c#&� e%��� �• ����LA ��� !%2G �� e%���� "�) �� "������ ��� "+C��� H���P H%)• e%���� "�M�G �� "������� "�) �� "������ ��� . "+C��� H���P H%)
� ���� x��0 ��• ��M��� B%I� e �� B%I ��� "+C���� ������� � ���I��. ���P� ��� "+C��� H���P H%) • �>������ �*���� NQ0�� s�23 H���P H%)
á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG$����T − >���; �*�! − �I��� − "�I��. !P�� − "�M�G. "���T − "��9�. "���T − e�%+� − !P�� − ������� e .
�$�L.Q�. $����T − $�L���.
IóMƒdGá°SOÉ°ùdG
��
IôFGódG
The Circle
( ) 1-6
?�L�P NJ������ ����� ������ ������ ��I� ������ ��� �!��M#��� �$�%�� &�'%(�� )%*+#� �)%�� ,-' .�/�%�� 01� 23
45!6 7+� ,.�M9' .�/�� �:%�; �9(< ���=' >��=; ?+��=' @A�' �B!C >6 ,.�/�%�� @�A�; ��D=' �-3��E�� F�I �G' H1���D=��� �,: I� J�� � K<�L16 ����+(�
&�-M��1 H!����� HN�M��� 4��9�� 0�O6 �'%-3 �PP� )�9�� 7+� ��M�I .%�� Q��N�M��� H1 ������� ��D=��� �,: 0�R�� �B!S� �,: ����+#� &�'%-�� &�1
g�#�P $� �Q � NJ z+!��� �+��� DW#.
�+��� DW#. �.?z�� G��
� &�M( TG!U��'
U��+�� �M!
U��+�� �M( TG! �M��V
�MWX�'
�M��V��M��'
�M(
�;�
�Y
Z�
J)
������� `���P �M! �3 �5-' IX %9�; H+�� [�+=��� U�! �3��]' H: .�/�%��
��K+A�O � K%9A [�+=��� H1 ) �+A�O TG! J�I 0A��� %9��� 7�=M� ������� �9�. �+A��� �M-�� 7�=;
� W'���A .��3 ?��C W'�M� �M��
���W�� ����; �� � P ��W�� ".��)� \L* n#�� U�� tCl N9Z1[ "��v�
�^
Z1[ B8. NQ0�� "����; ���M9 "�M+ \�r "A@� "��3 ��= �. ���h� ��M+ !l{ ��* �=� :!l<� �L* B%I� �9�. ;q�|� d�}� ,��q�� ��.�P �;*@ ����� ��*#. ��M�#P `�9 ���q�� "J% �.
?���MQ�� "������� "�M��� �M+ `2�:NG��
�"������� ��q�� "J% �. z�= :D�M� ���J�M+ `2� B%I� ������� �9�. ;q�r :b%LM ��
���q�� "J% �. � �z�= N8 P ����� ".%)� �� ������� e%+ \L* j= ,b , U�� U -3O� :N ����� "M�� � $�I��� $�-L�� , j= b , b �. NQ� � �!%G. �)��
b !%G. B � :$J�M��Z1[ � = b� ∴
j= b !%G. $ � �
Z�
�
J
& ZI[ j=� = b� ∴ �������� �9�. �J � "M���� $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.
�������� �M+ `2� B%I = � B%I ∴NGP $� B�W
�"������ ��+ FL8 � "M�G �� ������� �9�. ���GP� Z1[ "��v� $J�� DMl@ Z1[ B8. � V�#�� '%�& �� '�(�)� 1
j=b
?���)�Z� � ⊥ � ,IA���� ILB�� H1
�Z� � 7�3 � _M���3 �M-��A ��M Z� 4�+=��� &6 `�EAaº�P� = aZ�c + a�c c º�P� �' ��X6 Z� � Δ �M��V Q�#��( e��]' f�GM
º�P� = g���� �M��V Q�#��( e��]' :�M�i-�� @' j(�-+M �,:��Z� � 7�3 � _M���3 k�� Z� ∴
�'%L� �� ����# �� \L* >;% *� "M���� m-�� � � ��W� ����#. �=%� ����#. ?!3 "M�� �. :1 ?���)��a� 7�3 l�M-; $ Z�c 4�+=��� 7�3 Z� �M-�� @N�' &�X ��5' Z� > � ,Z� � Δ H1 ?!6 m�$
�>;% ��� ��M�� %J ����#.� "M�� ��� ��� �2+� :I ?���)����X6 Z� J�I f�n6 4�+=��� 7�3 � �3 Z� Q%9+A� ���X
�o
IôFGódG ¢Sɪe
Tangent of the Circle
(Ü) 1-6
º∏©àJ ±ƒ°S
• ��� "+C��� '��(�)� �M+ `2�� e �� "M��� ! �� �������
e ���• ��� "+C��� '��(�)�
��W�� "M�� �. ��) .������� ?!3
����P N *•
�
�
�� �:WX�' .�/�� 4#�� <���E�� )%*+#�• .�/�%�� @' @I�+M � K��+=' 4#<� .�/�%�� p<�q � �M! �'
� �L+�� F1 .%��� �M! H1• � � �9M�� 4#<�
?� � �M��W�� U��( �' 1�IGE�� H1 t/u'V v/�+-A t+]�+! &<�( I
�M( TG!� .%��� �M! H1 .�/�%�� @MM >,�� 4�+=��� ��A �(u9�� J�� �K-��*; @N U��M-�� �,: H1 <���� .�/�%��
���W�� "M�� � ������� �. �I��� >%�# �� � ����#. %J �����L� e ��
�;
�e ��� "M�� \ #P �I���� "M���e . ;
�e . /�R ;"�) . "�M+ ;
e ��� �M+ `2� �
�e ��� �M+ `2� \L* >;% * e ���M��� `2� �. � ��.��. $%Q� c�| ,������ �) . ����#. $9 �}r
�e ��� "M��� ! ��� ;
� ; ⊥ � $� >�
ZI[ "��v�
�w
ZI[ B8.�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' N�� �� NQ0�� �
�$ ' B "������ e�+ �=��:NG��
�� J�9�. ���� �����L� $) . $ ' , B ' :D�M� ��$ ' B "������ e�+ ;q�r :b%LM ��
:$J�M��
�
$
°11� °e
B
' e . B ' e ��� �M+ `2� B�
°�a = Z�B'[ ∴"��v� °�a = Z�$'[ :N8 ���
�*�! NQR � $ ' B°Upa = Z�[ + Z ' [ + Z$[ + ZB[ ∴
E�%���� °Upa = °11� + °e + °�a + °�aF�#M��� °Upa = °e + °I��
°pU = °e °pU = Z$ ' B[ ∴
NGP $� B�W�� J�9�. ���� �����L� e . ; ,N�� �� NQ0�� � I
�°U�
°e;
�°e " �+ �=��
»JÉ«M ≥«Ñ£J ZU[ B8. �"=�!��� >!Ir FM( �� N8 �
���!I@� ��-J >!%G. ��� "# �� j=; �=����) �p = b , �) Ya = j= b , �) UI = ; $9 �}r
�x
:NG��:D�M� ��
�) Ya = ,j= J�9�. ����;�) UI = ,; J�9�. ����;
�) �p = b ,��P����L� e . b
b
�) UI�) Ya
�) �p
j=jJ ; ���!I@� >!%G. ��� j= ; "# �� ;q�r :b%LM ��
�b j= ⏊ jJ; �)�� :N ���?�} � b ⏊ b j= , b ⏊ ; :$J�M��
�N�M�#. jJ b ; NQ0�� ∴ jJ � "������ ��+ j= jJ ; FL8 ��
:t!%u8� "��v� V�MM��:áeƒ∏©e
!%G �� %J !I@� !%G.�!I@� c�%W !��� >-�� IZj= jJ[ + IZjJ;[ = IZj=;[
� I�a = IZ�[ + IZ�p[ = IZj=;["M)G�� "�<� '��(�)� �p�UU j=;
��M���P �) �p�U >�#P ��!I@� >!%G. ��� "# ��NGP $� B�W
b
jJ
j=
$ �S!%�� N �. � �����%M)] ��M�. N�� �� NQ0�� N8 � U
���) �. $P������ n�9 �}r j= b B%I �=�� ���P���� \L* �) Ya ,�) _a ���M+ `2� B%I�
� ��P ���� c���� ��* ����; �M+ `2� \L* >;% ��� ����# ���"M���� m-J ��* ������� m-�� �) . $%Q� ������� \�r
ZU[ "��v�
�
j=
' j= ��* �����L� e . '
�y
´hô°ûe. %-3 .�/�%�� � _#��' zB!6 .�M=���� <���E�� � K'%*+=' �.�/�%�� 7�3 �M! ,� �:WX�' .�/��:\��]� "���M��
l�
�
و’
��
b
و’
�
b
�%�! 4O � �L��� �M( TG! 4#�!� H1 � �M-�� U�L9!� l�
��X6 ��+EA ��#�( l� ,� �' 4#�!�� H1 &�#��� @I�+M , �'
�� , ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1
:"��8�� "���M��
�
;b;�
;�
; b
� �L��� �M( TG! 4#�! %-3 <���E�� �# WX�!
@MM � K#�( 4#�! � >��=; ��+EA�� = � &�L�1 � H1 .�/�%��
� �M-�� U�L9!� � �M-�� �%�! � H1
,� ��+M-��A <���� 4�+=��� 4#�!�.�/�%�� U��' 7�3 IG�-1
:V�GP�.�/�%�� U��' � &6 0�O6 ,��+M�M�� �' IX H1
�P
ZY[ B8.��) I_ = ' $ , �) IY = ' B , �) � = B $ ,N�� �� NQ0�� �
�$ J�9�. ���� �����L� e . B ' $� nMl�:NG��
�) IY = B ' , �) I_ = ' $ , �) � = B $ :D�M� ��$ J�9�. ���� �����L� �) . B ' $� DMlr :b%LM ��
t!%u8� "��v� �Q* '��(�)� :$J�M��$ �) I_
�) IY)
�) �B IZ' $[ =? IZ' B[ + IZB $[
E�%���� IZI_[ =? IZIY[ + IZ�[F�#M��� pI_ = pI_
�B � ��+ $ B ' FL8 �� $� 4���#�B $ ⊥ B ' ∴
J
&)
"��v� �B "M���� � �����L� e . B ' ∴NGP $� B�W
,� = ' $ , � = ' B , Y = B $ $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � Y�d��=r � �# ?�����L� e . B ' N�
Z_[ B8.��P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1; N�� �� NQ0�� �
� jJ , jJ j= ,j= b ,b��
o�^�
���
Z�
Z:
d��=r � �#� ,������� H2�] D) �� ;�W:NG��
:D�M� ����P���� \L* J!M+� ����; H2�� Y; ,U; ,I; ,1;
� jJ , jJ j= , j= b , b:b%LM ��
�"�=@� ��#&P �. ������� H2�] D) �� ���GP
�{
:$J�M��1; ������� `2�� �M+ b , \M�. b ⊥ j=:Ió«Øe áeƒ∏©e
�) . $%Q� ������ e �� >-�� ������� m-J `2��
�e ��� "M�� >%G� �1; ������� `2�� e . j= ∴
Y; ������� `2�� �M+ jJ , \M�. jJ ⊥ jJ j= d�-9Y; ������� `2�� e . jJ j= ∴
�I; ������� `2�� e . j= jJ $� DMlr �Q � d�-9 U; ������� `2�� e . jJ $� DMlr �Q � N8 ����U; ������� `2�� e . j= b d�-9
NGP $� B�W:����� s��� N 9� _
j=
b
;
����� FL8 �� e�k�� � P ���� �����L� e . �����
�$���M�. �=!3 "M�� �. $�.%)� ��� ������ $�) �� $��M���
�
j=
b b j= b
ZY[ "��v�
:D�M� ���� �:WX�' .�/��
�.�/�%�� 7�3 &�+M! Z� ,�.�/�%�� &�#��' Z� � , � g�� .�/�%�� p<�q �M! �
� Z� � , � lA�M; Q��OC :b%LM ����� , Z�� , � 4#�! :N ���
��
:$J�M��� Z� ⊥ � Z� U��+�� �M( TG! � Z� ∴ , .�/�%�� U��' � Z�
"��v� Z� �M��W�� 4/�( � Z�� g����
Z�
� � t!%u8� "��v� � − �a��cF = Z� � �M��W�� 4/�( � � g���� I���A�
� − �a��cF = �� = Z� � ∴
:�3{ $J�� :� Z� � , � � ������ H1
x��0. �LA � � = � �"��v� °{� = a� Z��c = a� �c
= Z�� = �?�} � � Z� �Δ ≅ � �Δ ∴
Z� � = � ∴ �A�M+' .�|�-+��� euN�� ∴
Zp[ B8.j=�) 1a�) 1_
�) �
^J
�J�J
�
b
�j= b FL8 �� F�G. �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��
:D�M� ��� J�9�. ����;
�) � = 1B b F�W 1B � �����L� e . b�IB � �����L� e . j= b
��)1_ = UB ,�)1a = UB j= F�W UB � �����L� e . j=�j= b FL8 �� F�G. ;q�r :b%LM ��
:$J�M��"��v� �) 1_ = 1B = UB "��v� �) 1a = UB j= = IB j="��v� �) � = IB b = 1B b
��
j= + j= b + b = FL8 �� F�G.UB + UB j= + j=IB + IB b + b1B + 1B =
pp = 1_ + 1a + 1a + � + � + 1_ = ��) pp = FL8 �� F�G.
NGP $� B�W,�) _a = j= b FL8 �� F�G. $9 �}r N�� �� NQ0�� � p
Z�
4# y
4# ��
�U
�U^U
� �j= b B%I �=�O
�"��#�� "��v��� �. ���L��� V�M�. j= bΔ
j=b "������ `2�. � b 1j= � "������ `2�. b� I
j= ⊥ b� U
�
j=
b
"��v��� 4���
Z�[ B8.Z; jJ[ ,Zj=; [ �=�� ,N�� �� NQ0�� �
Z�
� Z:
�
J°�w ������L� �M+ ;� F�W ������� $# P jJ B , � B n�9 �}r
:NG�������L� e . jJ B
"��v� jJ ⊥ jJ B ∴°�a = Z jJB[
Y "��v�L� "q��� ZjJB�[ "������ `2�. j= B°I_ = Z�B [ = ZjJB [ ∴
°p_ = Z°I_ + °�a[ − °1�a = ZB jJ[ c�.�°p_ = Z� B[ ∴
��
Y "��v�L� I "q��� ZjJ �[ "������ `2�. Be���� $���M�. $����T °p_ = ZB �[ = Zj= ;[
���L��� V�M�. j=; Δ ∴ = j= = ;Z;j= [ = Zj=; [
°_��_ = °p_ − °1�aI = Zj=; [
ZZj= ;[ + ZjJ B[ [ − °1�a = Z; jJ[°_a = °1Ua − °1�a = Z°p_ + °p_[ − °1�a =
NGP $� B�We . j= b ,�����L� $) . jJ B , � B N�� �� NQ0�� � �
b�
j=
;
jJ
B
����L��� V�M�. j= b B FL8 �� $� nMl� ,; "M���� ��* �����L�
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z�[ B8.Z�
}
� �"=�!; Z!Ir[ bw�; N�� �� �)��� N8 �b
Z�
�H = j= b $� �J��:NG��
�j= b \L* $�;% * b > , j=� H \L* $�;% * > , H�
} = j= b $� DMlr :b%LM ��:N ���Z:
Z�
}
�>
�
�jJ � �I��� \�W H , b j= � �:$J�M��
\M�. j= b ⊥ b > , j= b ⊥ j=� ∵"��v� ��P����L� x��0. e . } N8 ��� ��P����L� x��0. e . j= b ∴"��v� H jJ = j= jJ ∴ � J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ H jJ , j= jJ
jJ = b jJ ∴ > J�9�. ���� �����L� $�) . $��M+ jJ , b jJ d�-9
�^
����;� �� ��M� jJ − H jJ = b jJ − j= jJ�H = j= b
NGP $� B�W�$���M�. ��P������ $� o�&� V�#�� B8 �� �. �
� H �. b j= �I��� �� �}r H = j= b $� nMl�
ZInscribed Circle of a Triangle[ Z"L3����[ FL8 � "IG �� ��������Iq�%�� �' �Ou�� g���� euN� �#��' .�/�� H:
�Circum Center g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'
:� �Q?�} � �&�A�M+' �J� ,�J� &�����
Z� �J[ = Z� �J[� �M��W�� TG-' �∴
�~�;�+�� 7�3 Z� ,� �M��W�� TG-'Z�� , �� �' _uX &6 �5=E! �M�M��A 0�O6
ZCircumscribed Circle of a Triangle[ Z"=!(��[ FL8 � "M�G �� �������
�� Z�
��Ou�� g���� U���A ��; .�/�� H: Q�EG-��� H(u; �M!c g���� euN� �Ou�� <������ H(u; �M! �: .�/�%�� �,: WX�'
�ag���� euN� �M���9��
:� �Q?�} � Z�� = ��?�} � � = ��
?v+-+=; ���'
Z�
^J
�J
�J�
�
�o
:Z1[ �G�A%P ��!�P
�) I J�M+ `2� B%I , � J�9�. ����; �0�� �°pa �)�+ "���T j= b� j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G�
:NG��
'
>
b jJ $ j=
x�
J
°pa = Zj=b [ :D�M� �� �) I = J�M+ `2� B%I ,� J�9�. ����; z0�r :b%LM ��
"������ �*�0� ") . $%QP F�G� b \L* "�;% * B ' �)�� b \�r � ��P ' "M�� �. :N ���
b �� jJ B �)�� B �. ��) I ��%I j= b \L* "�;% * x $ �)�� j= b \�r � ��P $ "M�� �.
��) I ���� ��%Ij= b �� > x �)�� x �.
�������� �9�. �J� �{�} = > x ⋂ jJ B��) I J�M+ `2� B%I� � J�9�. ���� ������� �)��
:ZI[ ��!�P
`2� B%I ,� J�9�. ����; �0�� �°�_ �)�+ "���T j= b�j= b , b "������ �*�0� ") . $%QP F�G� �) U J�M+
:NG��
�w
2-6¢SGƒbC’Gh QÉJhC’G
Chords and Arcs
º∏©àJ ±ƒ°S
• !P�]� '��(�)� e�%+]�� "��M� ��
�"��9� �� �������• U%M(�� s�23
� P ���� " ���# ���������� �9� �
a��#%-5�� Q����� )%*+#�c ����P N *�&� )� IA���� ILB�� H1
'$
bj=
;� ?m�u; ���' �� Z� , � H��I ��A &<�( 1
?m�u; ���' �� � Z� ,� � ��+M��W�� U��( ��A &<�( I�&� < )� &�LM g��A IA���� ILB�� 4#< %36 � U
�a� � Z�c ,a� � c ;� Z� ,� ��A &<�( b ?m�u; ���' j=
�.�/�� 7�C �:�1�I H�+-M ���+=' �9M( �: aChordc �P%��;�
j= ��;��� �,5� �|�-��� ; j= aArcc U���� � Z� �;��� IA���� ILB�� ����M��:�G�; H+�� U��(��� <�;���� .�/�� H1 �MWX���� �M��W�� ��A �(u9�� 7�3 ����+�� �M�i-�� <���+;
:"��M�. ����; � �� ����; ��"��M�. !P�� "��M� �� "��9� �� ����L� 1
�"��M�. �)�%+� N��P "��M� �� !P�]� I�"��M�. "��9�. ���T "��M� �� e�%+�� U
Z1[ "��v�
Z1[ "��v� DMlr
b
j=
;�
a� � Z�c = a� � c ,� �:WX�' .�/�� :D�M� �� 1�� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��
:��5�1 �� Z� , �� &����� :$J�M�� = Z�� = � = �� = ��
\M�. a� � Z�c = a� � c a`� V �`c &�A�M+' &�����
��5�� �� /CA]� V�MP � Z� �
�x
� Z� � :D�M� �� I� Z� � &6 Q��OC :b%LM ��
:$J�M�� ?�} � �� � Z�Δ �� Δ ∴ � Z� � ?�} � a� � Z�c = a� � c ∴
�Z: = J &�!��� )�%*+#�A ��M�� TG! J�I × a&�M�����Ac �MWX���� �M��W�� U��( = U��� J�I
�� Z� � &6 v+-+=! � Z� � :D�M� �� U
a� � Z�c = a� � c :b%LM �� � Z� � :$J�M��
� Z� J�I = � J�I ∴
\L* " #��� × a� � Z�c = × a� � c a� � Z�c = a� � c
Z1[ B8.b
� j=
;
B H ?4���#P �}. �H ; j= b ,$���M�. $P������ N�� �� NQ0�� �
:NG��"��#�� "��v��� '��(�)�
Z; B H[ = Zb � j=[H ; j= b
NGP $� B�W?4���#P �} , H; j= b $9 �}r ,mC*� �)��� � 1
�y
�.�/�%�� WX�' �3 ��5-' IX %92A� �M�;� ��A �(u9�� ����+�� �M�i-�� ����;
�������� �9�. �. "��#�. ;��� \L* ����; � "��M� �� !P�]� 1�"��M�. $%QP ����; �9�. �. "��#�. ;��� \L* ���� !P�]� I
ZI[ "��v�
ZI[ "��v� DMlr�; j= b :D�M� �� 1
b
j=
;'
$
� �'� $� :b%LM ��
:$J�M�� = �� = �� = Z�� = �
\M�. � Z� = � Zo �o �o[ � Z��Δ � �Δ ∴
�� Z�� g���� ���=' = � � g���� ���=' � Z� × )�
� = � × &�� ∴
� Z� = � )� = &� ∴ :᫪∏Y áeƒ∏©e
�� *]� $| $8L8. V�MP �}r \�r e���� �. ".%)� �� $%QP ��5� �� ��*���
�"��M�.
�'� $� :D�M� �� I�; j= b :b%LM ��
:$J�M�� �P�� �L�� � )�Δ &�Δ
?����� � Z��Δ � � Δ ∴ :&6 v+-M lA�M+�� �'
� Z� = �
�P
ZI[ B8.
Z�
�
���w�
Z:) ��# �; j= B%I �=�� , jJ ' = b ' �������� �9�. ' �Q�� N�� �� NQ0�� �
:NG��:D�M� ��
�������� � $��P� j= , ; j=�1I�_ = b � j= `2��. b
�b ' = jJ ' , ; j= ⏊ jJ ' F�W ; j= ∈ jJ�; j= B%I ;q�r :b%LM ��
:$J�M��\M�. 1I�_ = j= b = b
j= = j= b + bE�%���� j= = I_
\M�. b ' = jJ ' ∵ "��v� j= = ; j= ∴
E�%���� I_ = ; j= NGP $� B�W
�� J�9�. ����; I�x ^x
�P�P
U�
�d��=r �#� ,N�� �� NQ0�� � e " �+ �=��
���5' ��#%-: ���q �;��� 7�3 >���9�� TG-��� ,.�/�%�� H1
�c�)%+ �. �C9 `2��� c&2�� ����; � �P� \L* >;% ��� �M��� 1��P%�� �-J \L* ��;% * $%Q� ����; � Z� ��M+ ���[ � ��P� `2�� >-�� �M��� I
�������� �9� � � � ����; � �P%� `2� �� ;% ��� U
ZU[ "��v�
�{
ZU[ B8.
�
Z��4# ^
4# �o
�� J�9�. ���� ������� �M+ `2� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� � �:NG��
:D�M� ���) U = j=� �b ⊥ j=� ��) 1Y = b �� J�9�. ����; � �P� b
������� �M+ `2� B%I ;q�r :b%LM ��b � �)�� :N ���
:$J�M��c&2�� �P� \L* >;% ��� �M��� �) � = Z1Y[ 1I = b 1I = j= b
t!%u8� "��v� _� =IZ�[ + IZU[ = IZb j=[ + IZj=�[ = IZb�[���M�� CQ� �������� !-q�� �) ��p _�F = b�
��) ��p \��%W >�#� ������� �M+ `2� B%I
�
Z��
4# �w
4# ��4# ��
��P%��� ������� �9�. ��� ��M�� �=�� N�� �� NQ0�� � b:NG��
�������� �9�. � :D�M� ���������� � �P� j= ��) 1_ = � ,������� �M+ `2� �
��) 11 = j= b = b ,j= ∈ b�j= �P%��� � ������� �9�. ��� ��M�� ;q�r :b%LM ��
:$J�M���P%�� \L* >;% * %J Z�M��� ���[ �P%�� `2�� >-�� �M��� b ⊥ b�
b�Δ � t!%u8� "��v� IZ1_[ = IZ11[ + IZb�[1aY = IZb�[
���M�� CQ� �������� !-q�� �)1a�I b���) 1a�I �P%��� ������� �9�. ��� ��M��
^�
NGP $� B�W:;q�@ N�� �� NQ0�� '�(�)� U
�b �P%�� B%I � �
U�4# x�P 4#
o
� b �h�]� e%��� `2��. \�r �P%�� `2��. �. "# �� b
b
j=
;
� �?EG-M� ��5-�A Y�+B��� �;��� 7�3 � _M���3 &�LM ��+9I�+' ��;�/�%� �MWX���� Fq
"q���
ZY[ B8.?; j= B%I ��)1U = ,�)IY = b $9 �}r �x��0. �P� ; j= ������M�. ��P���; N�� �� NQ0�� N8 �
:NG��
b�
;
j= �b , J��9�. $���M�. $P���; :D�M� ���x��0. �P� ; j=
��) 1U = ��P������ �. N9 �M+ `2� B%I ,IY = b; j= B%I ;q�r :b%LM ��
�; b , j= b ,; ,j= �)�� :N ���:$J�M��
�) 1U = = j= = j= b = b ; = ; c� j= b; NQ0�� �����. j= b ; ∴
��3<� ��. N9 `2��� $��.��. ; j= ,b $��M������ "������ ��+ j=� Δ ∴ °�a = Zj=� [ , j=� Δ �
t!%u8� "��v� IZ �[ − IZj= [ = IZj=�[I_ = IZIYI [ − IZ1U[ = IZj=�[
_ = j=�Z; j= `2��. �[ � j= × I = ; j=
��)1a = _ × I = ��)1a >�#� ; j= B%I
^�
NGP $� B�W�b B%I �=�O , �)1U = ,�)1Y = ; j= $9 �}r ,ZY[ B8. � Y
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J Z_[ B8.��-��� ��� �� e�k! �.CP F�G� NQ0�� "����; �-� N3�; NQ0�� ���. �M03 !Ir �A� �R�! ����
?�M0(�� ��� �� �LA B%I ,��.1�p = �-��� ����; �M+ B%I $9 �}r���� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I �=�� �l
:NG��; j=
!I@��M0(��
�-���
b
�'1�p J�M+ B%I ����; ���� :D�M� ��������� \L* c)�k! ��P ���.
���� �� �LA B%I ;q�r :b%LM ��/CA]� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ;q�r
:$J�M���; j= b ��� �� �Q��
���� �� �M+ B%I >�#� ������� �M+ B%I�' 1�p = j= ∴
Zm�M+ B%I� ���. �LA B%I ��� "+C���[ IF b = j= �Q���1�1U 1�p
IF = j=IF = b ∴
��M���P ��. 1�1U >�#� ��� �� �LA B%I?�} � ��� �� �LA B%I × 1I = ��� �� /CA� �W� \L* ������� �9�. �. BT��� ;% ��� B%I ∴
1�pIF × 1I =
�' a�_pp ⋍ NGP $� B�W
���. 1�_ >�#� ��� �� �LA B%I $9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� ,mC*� Z_[ B8. � _
^�
3-6
º∏©àJ ±ƒ°S
• �"��9� �� "������• �"�M�G �� "������• \L* "�) �� "������
��������• "������ e�+ ��� "+C���
"������ e�+� "��9� �� � "9��0 �� "�M�G ��
�c#&� e%���• "������ e�+ ��� "+C���
e%��� e�+� "�) ������LA ��� !%2G ��
�+���� �Q&� �*;�
jJ'
b
j=
;Z1[ NQR
,Z1 NQR[ IA���� 4i+-��� H#�%=�� H1 1�°x� >��=M � U��� U��( &6 0�O6
?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � I�a��-��� )�%*+#� t-L�Mc
?�� :��M����� �M��W�� �' IX U��( �' b ?m�u; ���' ?�Z� ?�� ?�Z:
jJ
'
b
j=
;ZI[ NQR
,ZI NQR[ 4i+-��� H#��*�� ILB�� H1 U�°y� >��=M � U��� U��( &6 0�O6
?�) �MWX���� �M��W�� U��( �' � Y ?�Z� ?�� ?�Z: :�M��W�� �' IX U��( �' b
?m�u; ���' :".�(�# �� D��;]�!=� ,"L��. ,��M#.
�) �M��W�� U��( ��A �(u3 %��; I: a^c ILB�� H1 _
'
b
j=ZU[NQR
?� U��� U��(� �Z� �M��W�� U��(�
Central Angle and Inscribed Angle á«£«ëªdG ájhGõdGh ájõcôªdG ájhGõdG - 1
:∞jô©J
�"��9� �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� WX�' �5#6< H+�� �M��W�� 1�"�M�G �� "������ 7�=; .�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�%�� U�! [%�C �5#6< H+�� �M��W�� I
á«£«ëªdG ÉjGhõdGh ájõcôªdG ÉjGhõdG
Central and Inscribed Angles
^^
�������� \L* ���LA ��� !%2G �� e%��� e�+ >�#� "��9� �� "������ e�+Z1[ "��v�
Z1[ B8.�°�a = Zb [ $9 �}r �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �
�Zb� [ �=�O
b
� :NG�� � J�9�. ����; :D�M� ��
°�a = ab c�Zb� [ ;q�r :b%LM ��
:$J�M�� ������� �9�. �
ab c N��P "��9�. "���T Z�� [Z�� [ = ab c
°�a = Z�� [
NGP $� B�W����LA ��� !%2G �� ������� \L* e%��� e�+ �=�O ,°U_ "��9�. "���T e�+ $9 �}r 1
e%��� e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+ ������� �b
j=
� ����LA ��� !%2G ��
ZI[ "��v�
Zb [ 1I = Zb� [ 1I = Zbj= [�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "��9� �� "������ e�+ `2� >�#� "�M�G �� "������ e�+
^o
�!M�*w� � J-3� �q� DwW U x�J1 "�G��I "�G��U "�G��
bj=
;
bj=
;
j= b
;
H9�N %�6 7�C .�/�%�� WX�' H�+-M��M����� �M��W��
��M����� �M��W�� Iq�� .�/�%�� WX�'��M����� �M��W�� p<�q .�/�%�� WX�'
ZI[ B8.�abj= [ �=�O °�a = ab c $9 �}r :N�� �� NQ0�� �
:NG��b
j=
� °�a = Zb [ �������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ��
�abj= [ ;q�r :b%LM ��:$J�M��
ab c 1I = abj= c ������� � "�M�G. "���T bj=°Ya = Z°�a[ 1I =
°Ya = abj= [ ������NGP $� B�W
����LA ��� !%2G �� e%��� e�+ �=�O ,°_Y >�#� ����; � "�M�G. "���T e�+ $9 �}r I
b
�
j=
°Ya ZU[ B8.
���� ������� \L* U�� j= ,b , F�W ���L��� V�M�. FL8. j= b N�� �� NQ0�� ��°Ya = Zj= b[ ,� J�9�.
� j= , j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ �=��:NG��
�������� \�r � ��P U�� j= ,b , �� J�9�. ����; :D�M� ���j= = b ,���L��� V�M�. j= b Δ
°Ya = Zj= b[
^w
j= ,j= b ,b e�%+]� �. N9 e�+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��
Zj= b[ 1I = Zj= b[ ������� � "�M�G. ���T �J FL8 �� ���T�°�a = °Ya × I = aj= bc �Zj= b[ 1I = °Ya :c�.�
°I�a = °�a − °Upa = a b j= c j= = b
�°1Ya = I�aI = Zj= [ = Zb [
NGP $� B�W�jJ "M���� � ������� �M��� bj= "�L3���� "������ `2�. , jJ j= $9 �}r ZU[ B8 �� � U
? jJ �h�]� e%��� e�+ .
ZY[ B8.� j= b ⊥ � ; $� nMl� �� J�9�. ����; N�� �� NQ0�� �
:NG���� J�9�. ���� ������� \�r � ��P "lC8�� c)�k! , "������ ��+ FL8. j= b :D�M� ��
b � j=
;
�; � ������� �M��� Zj= b[ `2�. �j= b ⊥ � ; $� DMlr :b%LM ��
:$J�M��\M�. °�a = Zb j=[
j= b "������ `2�. � °Y_ = Z; j=[
"��v� Z j= ; [ 1I = Z; j=[ "��v� °�a = Z;�j=[ ,°�a = Z j= ; [
�j= b ⊥ � ; NGP $� B�W
�Zb ; [ �=�� ,°Ua = Zj=b [ $9 �}r ,ZY[ B8 �� � Y
^x
Z_[ B8.� Z; j=[ + Z b[
I = Z 'b[ :$� nMl� ,N�� �� NQ0�� �:NG��
�� J�9�. ���� ������� \�r � ��P U�� ; ,j= ,b , :D�M� ��{jJ} = � ⋂ j= b , {'} = ; b ⋂ j=
Z; j=[ + Z b[I = Z 'b[ $� DMlr :b%LM ��
:$J�M���; ' FL8 �� �* "=!3 "���T �J Z 'b[
Z; '[ + Z ; b[ = Z 'b[
b
j=
jJ
;
'
�
Z; j=[ + Z b[I = Z; j=[ 1I + Z b[ 1I =
NGP $� B�WZ; j=[ − Z b[
I = a j Jbc $� nMl� ,Z_[ B8 �� � _
Zp[ B8.�>���; �*�! NQR ; j= b
j=
b
;
�Z; j= [ = Z;b [ $� nMl�:NG��
�>���; �*�! NQR ; j= b :D�M� ���Z; j= [ ,Z;b [ ��������� �)�+ >�#P DMlr :b%LM ��
�>���; �*�! NQR ; j= b :$J�M��Z1[ Z � [ 1I = Z;b [ ∴ "�M�G. "���T ;bZI[ Z � [ 1I = Z; j= [ ∴ "�M�G. "���T ; j=:á«°VÉjQ áeƒ∏©e
>������ �*���� NQ0�� ��P �*�! �L�. %J
�����; \L* c)�k!
�Z; j= [ = Z;b [ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.NGP $� B�W
Zb j= c = Zb ; c $� nMl� ,Zp[ B8 �� � p
^y
:Z1[ ��!�P� Z:
Z�
, .�/�%�� ∋ Z� ,Z: �:WX�' H+�� .�/�%�� H1 �M( � &�X ��C���/�( �M��V a� Z� c &6 0�O6
:ZI[ ��!�P
�
J
�
U
e
�>�/�� H3�A< IL� J e � U°�P� = a� e Jc + a� U Jc &6 0�O6
�$���M�. c#&� e%��� $��2GP ����; � ����M�G. ������T N9 1�" �+ "���T $%QP ����; `2� �2GP ����; � "�M�G. "���T N9 I
�"L.Q�. "L��� �� m���T $%QP ,Z������ UG.[ >���; �*�! NQR N9 Uj= b
;
�� j= b ��*��� \L* D.%)� �� ; , $������� n��MP �}r NQ0�� � Y������; ��*�! ; j= b NQ0�� $9 ���. ��W�� "�=
4���
�
�
Z�
�
�Z�
�
�
Z�
��
� &��G�; � Z� , ��a� Z� c = a�� c ∴
a.�/�� TG!c Z� �G�; Z��°{� = aZ�� c ∴
�M( 7�3 �'�#�' ��M��' �M��V aZ�� c��/�( �M��V H:� .�/�%��
°�P�= ZZ�[ + Z [°�P�= Z�[ + Z�[
^P
:ZU[ ��!�P
& �:WX�' H+�� .�/�%�� 7�C H�+-; �M! � �L+�jJ
b$
j=
e
�Z� �M-�� %-3 .�/�%�� U��' Z��Z� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� H1 �;� b j=
U��+�� �;� b j= 7�=M�� K�M6 ��#��' �M��V 7�=; a� Z� Uc �M��W�� ,��#��' �M��V 7�=; a� Z� c �M��W��
���-��� )�%*+#�A ?=E! U��� H1 ��#����� �M��W�� @' Y�+B; a�Z:Z�c �M��W��:I�X6
= a� Z� c = a�Z:Z�c
?v+-+=; ���'
�c#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������ e�+ >�#� "�) �� "������ e�+ Z1[��P%��� e �� ��� !%2G �� e%��� e�+ `2� >�#� "�) �� "������ e�+ ZI[
ZU[ "��v�
ZU[ "��v� DMlr
jJ
b
B
'�
; :D�M� ���� H1 .�/�%�� U��' Z:
�.�/�%�� H1 �;� J �:b%LM ��
�.�/�%�� 7�C H�+-; �M! ) g�� aJ م( �c = aJ�Z:c &6 Q��OC�� U��+�� �M-A ��M .�/�%�� �M( ; b 4#�! :N ���
:Z1[ $J�M���.�/�%�� H1 �M( � � &� J �M��W�� 4/�( � J �Δ
Z1[ �����L� e �� ��%3 °{� = a��Jc + aJ�Z:cZI[ ZB "������ ��+ ; B b Δ[ °{� = aJ � �c + a��Jc
:&6 v+-+=! a�c ,a�c �'
^{
a��Jc + aJ � �c = aJ�Z:c + a��JcaJ � �c = aJ�Z:c ∴
?����� aJ ) �c = aJ � �c �L�����M��� �:� aJ ) �c = aJ�Z:c ∴
:ZI[ $J�M���a�c �' aJ ) �c = aJ�Z:c
Z"�M�G �� "������ "��3[ a J � c �� = aJ ) �c ���M��� �:� �a J � ) �� = aJ�Z:c ∴
Z�[ B8.�Zb j=[ �=�O , ��* �����L� �) . jJ ; $9 �}r N�� �� NQ0�� �
:NG��
b
;jJ
°U_
°Y_
j=�
:D�M� ��� ��* �����L� e . jJ;
°U_ = aj= b c ,°Y_ = ab jJ[�Zb j=[ ;q�r :b%LM ��
:$J�M��"��v� °Y_ = Zb jJ[ = ab j= c
°1�a = aj= b c + ab j= c + Zb j=[ aj= b c − ab j= c − °1�a = Zb j=[ ∴
°1aa = °U_ − °Y_ − °1�a = Zb j=[NGP $� B�W
;jJ
j=
b �°_a = Zb jJ[ ,°Ya = Zj= ;[ :���� ,N�� �� NQ0�� � �
�j= b FL8 �� ���T D)�+ �=�� � ������L� �M+ b j= $� nMl� b
o�
Z�[ B8. $%Q� F�G� �����L� �) . j= �)�� �� J�9�. ����; � �M+ b
;
b
j=
� �; j= = ; $� nMl� �; � ������� �M�P j= b � I = j=:NG��
:D�M� ��; � ������� �M�P j= b , I = j= ,�����L� e . j= �� J�9�. ����; � �M+ b
; j= = ; $� DMlr :b%LM ��; �)�� :N ���
:$J�M��Z1[ Zc#&� e%��� � ��. "9��0 �� "�M�G �� "������� "�) �� "������ "��v�[ Z;b [ = Z� j=[
Z�����L� e . j= [ b ⏊ j= I = b = j=
����L��� V�M�. "������ ��+ j= b Δ ∴a�c a;b c = a;j= c c�.�
a;j= c = Z� j=[ $� 4���#� ZI[ ,Z1[ �.; j= = ; ∴ ���L��� V�M�. j= ; Δ
NGP $� B�W�B � ������� �M�P $ D Ze ��� "M�� '[ �D ' = $ ' $%Q� F�G� ������� � �P� $ ' �� J�9�. ������ e . D ' �
Z' B = D B[ ���L��� V�M�. ' B D Δ $� nMl�
Z�[ B8., "M���� ��* �����L� e . jJ; ,N�� �� NQ0�� �
� jJ; e L� �T�%. ������� � �P� j= b
bj=
jJ
;
� ����L��� V�M�. j= b FL8 �� $� nMl�:NG��
j= b�� jJ; . "M���� ��* �����L� e . jJ; :D�M� ������L��� V�M�. j= b $� nMl� :b%LM ��
o�
$J�M��j= b �� jJ;
Z1[ >T�%���� B;M��� ab j= [ = aj= ;c ZI[ j= c#&� e%��� $��2GP "�M�G. "���T� "�) . "���T aj= b c = aj= ;c
aj= b c = ab j= [ :�M�P ZI[ , Z1[b = j= :c�.�
���L��� V�M�. FL8 �� $� >�NGP $� B�WjJ
;
bj=
� � "M���� ��* �����L� e . jJ; ���� $9 �}r ,N�� �� NQ0�� � ��Zj= = b [ ���L��� V�M�. j= b FL8 ��
j= b �� jJ; $� nMl�
o�
4-6¢SɪªdG ,á©WÉ≤àªdG QÉJhC’G :IôFGódG
Circle: Intersecting Chords and Tangent
����P N *º∏©àJ ±ƒ°S
• �"�I�� �� !P�]�• �e ��• ���P� ��� "+C���
�������� N3�; ���I��.• B%I ��� "+C���
B%I� "�) �� �M�����I���
�M�;� 4#<� 4O ,) �:WX�' .�/�� 4#<� � 1� �M! H1 &�9I�+M Z� � , Z: � �� , Z: , Z� , � J�I k( b
jJb
;
'j=
�� × Z: ,Z� × � ����� v;��! %��6 �?i�u; �' ~+X�� U����� 4#��� <�X j=
������ v;��! ��A �' �(u3 TB+L; &6 J��� ; �.�/�� H1 &�9I�+' &��;� �5��C 4=-M H+�� �W��� J��I6 ��N v;��! ��A �(u9�� � ��q jJ
�.�/�%�� �,: p<�q �M! �' .�/�%�� &�9MM ��9I�( 4#<� 4O ,[�q6 .�/�� 4#<� � I:".�(�# �� D��;]�
!=� ,"L��. ,��M#. �� × Z: , Z� × � :����� v;��! %��6� Z: , � , Z� , � :J�I k( b
�.�/�� p<�q �M! �' ��9I�( 7�C ��=-��A �'�3 �(u3 � ��q j=
jJ
b'
;
j=
'
$
bj=
��A �(u9�� �3 g�A� �& H1 �5=�M & .�/�%�� � _#��' 4O Z� ,� H1 .�/�%�� @MM Z� 4#<� ) .�/�� p<�q �M! �' U�lA�=�� t-��*; �' � K%�E+=' �a& c ,Z� × �
Intersecting Chords Inside the Circle IôFGódG πNGO QÉJhC’G ™WÉ≤J - 1
j=$
b;
>�#� ���P%�� �W� >z�= ��%I b�A 4P� $| ,����; N3�; $��P� �I�P �}r��3<� �P%�� >z�= ��%I b�A 4P�
; $ × j= $ = b $ × $
Z1[ "��v�
o^
Z1[ "��v� $J��j=
$
b;
'
�& �M-�� H1 &�9I�+' &��;� � Z� , � :D�M� ��� & × Z� & = � & × & :&6 Q��OC :b%LM ��
� � � , Z� 4#�! :N ���:$J�M��
e���� $�L���. $����T a� & �c = aZ� & cc#&� ; e%��� \L* $�.%)�. $��M�G. $����T a Z�c = a�c
������ V�MP � & � Z� &����0� �� ��8L8 �� � ��5�� �� /CA]� B�%I� �)�P Z� &
� & = &&�
� & × Z� & = � & × &
Z1[ B8.j=
;b
$
�
I
� �
e �e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��
"��v� b $ × $ = ; $ × j= $E�%���� � × e = � × I
F�#M��� e� = 1p" #��� e�
� = 1p�
1p� = e
NGP $� B�W
j=
b ;
$
�
Y� e
e
�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� � 1
oo
!��]� S% !%#q�� z.���� \�� D.*; �. ����; e%+ NQR \L*
��] " �. D.*��� m-J� �"�M�=��#q�� N�l N9 N G�P
ZI[ B8. $9� !��]� �W� !%M�� �0. �#= �0�� :"�! �. ")��J B%I $9 F�G� ,������� �. e%+ NQR \L* �#q�� �-J e%+ $9 �}r �' �a ������� m-J � �#q�� ��I ��� N��%�� �P%���NQ0�� � 9 ,' I1 �P%�� `2��. �. '� �� ;% ��� B%I
�������� �M+ B%I �=��:NG��
'I1 = ;% ��� B%I '�a = �P%�� B%I :D�M� ��������� �M+ B%I ;q�r :b%LM ��
' I1
' Y_' Y_
e
b ';
j=
� Z"��v�[ ������� �9� � � � �P%� `2� �� ;% ��� ∴ :$J�M��
�������� � �M+ j= ; ∴:$� �q� �P%��� �M��� �I�P �.
Y_ × Y_ = I1 × e�M���P �p�YU = Y_ × Y_
I1 = e�p�YU + I1 ≈ �M��� B%I
11��YU ≈ j=
;b
'
��)U �)Y
�)p e
��M���P � ���. 11� = �M��� B%I NGP $� B�W
:� J�9�. ���� "L�� �� ������� � I �e = ; ' , �) U = j= ' , �) p = b ' ,�) Y = '
�e " �+ �=�� � ��) p >�#� ������� �M+ `2� B%I $� n L* �}r j= ; �P%��� � �9� �� ��� ��M�� �=�� b
Intersecting Chords Outside othe Circle IôFGódG êQÉN QÉJhC’G ™WÉ≤J - 2
c��= B%I � ���I��� �W� B%I b�A 4P� $| ,����; ?!3 "M�� �. $�I+ �)! �}r��=!(�� c��= B%I � �3<� �I��� B%I b�A 4P� >�#� �=!(��
�; ' × j= ' = b ' × '
Z1[ "q���
j=b
;
'
ow
ZU[ B8.j=
b
'
�
Y
�
I
e
;
�e " �+ �=�� ,N�� �� NQ0�� �:NG��
J;���.� �I���� J�9�. ���� �����L� $��P� j= ; , b :D�M� ���' "M���� ��* �=!3
e " �+ ;q�r :b%LM ��:$J�M��
"q��� ; ' × j= ' = b ' × 'E�%���� Z� + Y[Y = ZI + e[e
F�#M��� a = Y� − eI + Ie�� �� '��(�)� ΔF ± b−
� = e�) U
�) Y
e j=
;
b
'
�
B%LG�� �− = e �� p = e"A%�. �− = e $] p = e " �+ $%Q�
NGP $� B�W��) Y >�#� J�M+ `2� B%I �� J�9�. ����; ,N�� �� NQ0�� � U
�e " �+ �=��
IôFGO êQÉN á£≤f øe IôFGódG ™WÉbh ¢Sɪe ™WÉ≤J - 3
Intersection Between Tangent and Secant from any Point Outside of a Circle
c��= B%I � �I��� B%I b�A 4P� $| ,e .� �I+ ����; ?!3 "M�� �. �)! �}r�"�) �� "�M��� B%I ���. >�#� �=!(��
� j= ' × b ' = IZ; '[
ZI[ "q���
j=b
;
'
ox
ZY[ B8.��) 1I = b , �) Y = ' :$O� � L* ; ' "�) �� "�M��� B%I �=�� ,N�� �� NQ0�� �
:NG��� b ' B%I �q�
�Y1I '
;
b 1p = 1I + Y = b '
"q��� b ' × ' = IZ; '[ :��Q�E�%���� 1p × Y = IZ; '[
F�#M��� pY = IZ; '[ �������� !-q�� ;q�|� � = ; '
NGP $� B�W_1a
�
j=
jJ
; '
�� = � ) g�� ��#��' �9M( ; ' ,IA���� ILB�� H1 Y�_ = jJ '
�j= jJ B%I �=��
Z_[ B8.,������� \L* b "M���� \�r "M���� �. "�) �� "�M��� B%I "��. �(R]� �W� ;�!�
j= "M���� ��* ������� �. �I��P ��M# �� $� �=% "M���� ��* �&2�� �A�� ��M#. -3O��) � = ; F�G� ; "M���� ��*� �) Y = j= F�G�
?b "�) �� "�M��� B%I .
oy
���M= :NG��
j=
b
;
T
jJ
�
�"�) . "�M+ b ,�)� = ; ,�)Y = j= :D�M� ���b B%I ;q�r :b%LM ��
:$J�M��"q��� ; × j= = IZb [
E�%���� � × Y = IZb [F�#M��� Up = IZb [
�������� !-q�� ;q�� p = b �)p >�#� b B%I $%Q�
NGP $� B�W��)I = jJ n�9 �}r ������� �M+ `2� B%I �=�� �Z_[ B8 �� � _
oP
�.�/�%�� &�+�#��' &�+9M( �' j= , �' j=� �) �) �Rn�� U��� 7�3 �X��+' �M! �
Z��
�
�
�)
�)
�� H1 �' j= , H1 �' j= @MM � H1 .�/�%�� U��':g%L) n�O)
?�L�M �' ��X6 �: Z� � g���� F��' &�LM g��A � @�! �M6:��J D�Q
�.�/�%�� U��' ���q )%*+#D#� Z� + � + Z� = g���� F��'
�) � − �) Z� + �� + � + �) − �) Z� = Z������� \L* ���I�� �� ��) �� "��3[ � � = �) � , � = �) :�L��
� = �� + �) �− , � = � + �) −�) Z� � = �) Z� � = �) Z� + �) Z� = g���� F��' ∴
:?���)�
:ôcòJ ������ $) . �I�P �}r $��M��� $%QP ,"M�� �
������M�. $��) ��
�� �M-�� @(�' ���R; @' ��R+M $� 0A�O Z� � Δ F��':"�Ar "�O#.
�� WX���� �;%�+' &�;�/�� �� ,��)
���
&��
��� 7�3 �M! �& ,) H1 �� @MM H1 <���� �� U��'
�$ ' TG+-' &6 0�O6
πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG
o{
á°SOÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe
e .������� <�;���
U��(��� !P�]� :�������
e �� ,"�I�� �� ������� "��9� �� ������"�M�G ��
��� "+C���"�I�� �� !P�]� "������
"�M�G �� "������"��9� ��
�P%�� e �� "M��
e �� "�M+e%��� NQ0��
�*����>������
������� ")��J
w�
¢üî∏e
�.%��� �M! H1 .�/�%�� @' @I�+M >�+=��� H1 4�+=' �: .�/�%� U����� −��M-�� �,5A <���� �M�� TG! @' � K%'�9+' &�LM ?!�1 ,.�/�%� � _#��' 4�+=' &�X ��C −
�.�/�%�� � _#��' 4�+=��� &�LM ,.�/�%�� 7�C H�+-; %'�9+�� �M! 0!�X� .�/�� �M( TG! @' 4�+=' %'�9; ��C −���+A�M+' &�+�#����� &�+9M�� &�L; ,�M! H1 .�/�%� &�#��' @I�; ��C −
�g���� ���q�%�� �M��W�� Q�EG-' H(u; �M! �:WX�'� Iq�%�� �' g���� euN� �#��' .�/�� H: g��A �I����� .�/�%�� −:�A�M+' �/��� H1 �6 .�/�� H1 −
��A�M+' <�;�6 �A�M+��� �MWX���� �M��W�� ��A�M+' � K#��(6 IA�; �A�M+��� <�;���
��A�M+' �MWX�' �M��V .�/�� H1 �A�M+��� U��(�� − �.�/�%�� WX�' �' �M��=+' ��9A6 7�3 H: .�/�� H1 �A�M+��� <�;��� −
�?�#�( �' _uX TG-M� ?EG-M �;� 7�3 >���9�� �M�� :.�/�%�� H1 −��;��� 7�3 >���3 �: a� K�M( k��c � K�;� TG-M >,�� �M��
�.�/�%�� WX��A ��M �;�� TG-��� ���9�� �.�/�%�� WX�' �5#6< �M��V �MWX���� �M��W�� −
�.�/�%�� &�9MM �:�9�N� .�/�� U�! [%�C �5#6< �M��V ��M����� �M��W�� −��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( >��=M �MWX���� �M��W�� U��( −
��5�9�N ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M ��M����� �M��W�� U��( −�&�+A�M+' ?=E! U��� &��G�; ��+�M��' ��+M��V IX −
���/�( �M��V H: .�/�� TG! �G�; ��M��' �M��V IX −�&�+�'�L+' ?�1 ��+�A�+' ��+M��V IX >6 ,��'�L+' ��A�+��� ��M��V &�L; a.�/�%A U��'c >�/�� H3�A< IL� IX −
��;���� U����� ��A <�G���� U��� U��( TG! >��=M �5#��(� ,��#��' �M��V 7�=; �;�� U��' �' �!�L��� �M��W�� −
w�
��q�� �;��� > W� H��I ��N v;�! >��=M �M�;��� %�6 > W� H��I ��N v;�! &�1 ,.�/�� Iq�� &��;� @I�; ��C − J�I ��N v;�! >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 ��9I��� %�6 J�I ��N v;�! &�1 ,.�/�� p<�q �M! �' &�9I�( 4#< ��C −
�H�<�*�� ?/W� J�I H1 �q�� @I��� �9M�� J�I @A�' >��=M H�<�*�� ?/W� J�I H1 @I��� J�I ��N v;�! &�1 ,@I�(� U��' .�/�� p<�q �M! �' 4#< ��C −
���#�����
��
äÉaƒØ°üªdG
Matrices
.(Biotherapy) ájƒ«ëdG áédÉ©ªdG :IóMƒdG ´hô°ûe
��������� ���� ��� ���� ����� :������ ����� � ��� ,����� �!�� �I�#� $%& '� ��(�)� *���� +�- . /���� 0�� ������ �)����� 1�)� 0( �������� 2�#����
34�M67 *8% '� /��9� �;��� F��� 0( �=����I
>�?��@ A9�� B�C ,D�E�� *8% 0( A��� �FG :B�H� I >������� $C�� J���F� 2�#���� ,�H)���� B�C� ,������ 3K�6& L�4��� 4�!� 'G ���� B�C $M '�� ,�H�N��� D�G���9� O�P��� *�)�C �� Q#9� B�C ,���HF� 0(�
3������ �9��� 0(
3��?��@ ��C�E ��R :2S�9� T
J���? '� >�?��@ 1��)� UP�� :V��M�� 1�E �9;C& W 0( 3�H�X? �@��� '� �����G >�F�G Y�#� Z��9�� A�9�� �[�FG '� 0���� ��\� ,������ �)����� L�4��� �E& ]>^ '������� ,]�^ '��F�� :D�M#� �������� >�)�F�� �%� ]_ '�9���- ,]` '��F�� A�a�- ,.�9� $��G A��C �%� ,>�(�X!� L@4& 0( >�?���� b�G 30?�@���4��% c���
3Aa�� d�� ��d� ,�(�X!� A� '� e�!FG ��6 $M
IóMƒdGá©HÉ°ùdG
IóMƒdG ¢ShQO
>�?���� $�fF�>�(�X!� 0(
g�I� L�\>�(�X!��
>�(�X!�� ��P D�E�� >�(�X!� 0@�h� ��fF��]>�C�����^
'������ '� 2�f? AE'���M6
�−iI−iT−iW−ij−i
]$)�k$)9�^ �@��� 0( c���� >������_ ` > � �F���
���� ��� ���� ��� ���� ��� ���� ��� I
�� �� ��� T���� � ���� ���� W
� ��� ���� ���� j3>�(�X!� W 0( 1��)� >�?��@ b�G &
'�������� '��F�� �X���� �\�&� ,>�(�X!�� *8% 2�#�C � �F�G A�� $)�k2�)�9���@ '�9���l� '��F�� A�a�-�
3��� 0( cm��� A�� ���;�� ���F� .& Z��9�� nEo , e�Hp �I ��@ q\ 3$)�k$)9� rsrj 1���@ hX#? �N �@��� '� �F�G A� 0(� rsr� +��7 �F��� 0( ��[& '��F�� ���? , eta�( ��@�� �F��� 0(� rsTr �a��a� �F��� 0(� rsr� ��?�a� �F��� >�(�X!�� 2�#�C 3rsru ����#� �F��� 0(� rs�i
3�F�G A� 0( c��� A� .�!�? ����� '�h�� 0�� >���XF� LN�� 'G �ea�@ V�E :������ j ?LN��� ���� K�� �� 3� =���E �H�)���� �� 0��� ,D4�M6 Bt#@ �H��#�C '��� 0�� K�67 �)����� w�I ��
?������ �)����� LN��� 'G >�?��@ '�h��� xa�@ Q#9� �9�9N >��( c��
3'��& ��9�
�
á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG ������ �!F�� − ���X!� �(�X!��−L�)� �(�X!� − D�y�F��� �[�F�� − �(�X!�� �!FG − B�X[ − D��G& − �(�X!� _���� �(�X!�9� 0@�h� ��fF� − D�E�� �(�X!� − ��@��� �(�X!�� − ��h� >�(�X!� − 0C���� ��� − 0��)�
3�(�X!�� ��� − ���� D�G�N − ]�(�X!��
IóMƒdGá©HÉ°ùdG
>�?���� ,>o�)�� c9z& 0( _�F� 2�#��� $�fF� w�I K�E-� ,��fF� D�G�N 0( ������ D4�[ 0( �H�@��� 0% D�!�#� D4�!@ >�?���� >�(�X!�� L�\ L�M��? x�8@ ,�(�X!� x�d 2�#�C '��� ��� 3�H@�P� �HE�I� 0( �G��� ��(�P- >���9�� +9G 1�!�9� >�(�X!�� ��#�C ,�=�#�4�� 34��� d�#� 2�#�C '���� ��� ,D�X�� A��C4 A�� >����M�� A���� 0( >�(�X!�� ��P
3�����E
∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG
• 3 >��{��� 2�#�C�@ >�Nt�� A�a�� �9��• e4���� ����[ e�G& �F�h��� ����)� >4���� F���� �9��
3�H���N �)�-�• 3'���{�� '� >o��� A�a�� �9��• 3�=�?��@ >�F������� >o���� $C4 �9��• 3�=�?��@ >�F������ �& >o���� '� 2�f? $C4 �9��
?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• 3>�?���� $�fF�� >�(�X!�� 2�#��� B�C• 3�������� >�(�X!�� B���� B�C • >o��� A�� �HE�I� >�(�X!�� L�\ 2�#��� B�C
3�����E |N�� 0( >�(�X!��• 3�����E A���� A�� >�(�X!�� ��P 2�#��� B�C• >�(�X!�� >o��� A�� >�(�X!�� >�C���� 2�#��� B�C
3�����E A���� 0(• 3���� D�G�N 2�#�C�@ '���M6 '������ '� � e��f? A�� B�C
��
º∏©àJ ±ƒ°S
• 0( >�?���� $�fF� >�(�X!�
• �������� >�(�X!��
0?���� A�G : ������ ������ ����� ��� ��!"�#�� $�%&' �&��(�� ���$'� )*+,�� -�./
e�X[ = Irrr _�C7 �FC 3Ir�I ���F� q@ Ir�� ���F� �?4��������� w�X?l 2��N&Ir�� ���F�Ir�I ���F�
2��� 0C���� $N���Wusr�j�s����8{� ����iIsr�~js�
>���9���uTsI�u�s�Y@t���jWs~�j�s~
'���� >���6�W~sI�j�sI����F� >���6� L9C�TisT�T�s~
?��%�� 0&��(�� 1���� 02 34�/5�� .�� 67�8 19 �?�7;'� 6��9 1�� <� 02* ?�.9'� 34�/5�� .�� 6��9 1�� <� 02 I
3 ���� Z�!E�� ������� D4l :4�!�� *
∞jô©J
=3+#>�* @A�; 02 .B�#�� 4�+>'� -C 1�DEB 0F 2A�G#��3Elements �[�FG +��� �(�X!�9� �?���� �G7
Dimension of a Matrix áaƒØ°üªdG áÑJQ
= �(�X!�� ��(�* �"H� ,�JML M"NB OP�* Q�,!�� @*�� +�R8 2A�G#�� S�T 5C��=U × � �"HB* �(�X!�� ���4 U�4+N/ VUW 3+#>'� 4+>* V�W @A�G�� 4+>
W T Ir i u =
3T × I ����� -C 0F 2A�G#��=3+#>'� 4+> M��/ @A�G�� 4+> XY*� �"H� 2A�G#�� .B$ 8�"H� :�fEt�
äÉaƒØ°üe »a äÉfÉ«ÑdG º«¶æJ
Organising Data Into Matrices1-7
��
]�^ 1�a�:09� ��� �(�X!� A� ���4 c��
j u Wi− T− I� r �
= T− IT W− = ��Irrsj
= q\
:A��3T × T ����� '� �(�X!�� :D��G& T� B�X[ T '� �(�X!�� .����
3T × � ����� '� �(�X!�� :D��G& T� �E� |[ '� � �(�X!�� .����3� × W ����� '� �(�X!�� :�E� ��G� B�X[ W '� q\ �(�X!�� .����
A�� .& 1��E:09� ��� �(�X!� A� ���4 c�� �
r j Wi rsj I− = ��r T ~−� = �r �rj− �
� rsu = q\
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� D��G7�@ 0���� 0?���� $C�� >�?��@ A/a�� �(�X!� c�� 3�G�Ck>��)�)��@ ����@�H�� �N�M� _��� .& '��� :�N�M�
3�\����
~r rrrir rrrur rrrjr rrrWr rrrTr rrrIr rrr�r rrr
r ���� >4��l
��@��� 1��� ��@ 0( >�F�� K�El �tH�Co� ����@�H�� �N�M� ���?- D��?
���?l �tH�Co
'�����
�
:A��3�tH�Co �& ���?l K���� A/a�� ��G A�� ,��� A/a�� �(�X!�� 0( |[ A� .& b�(
3$C�� '� �(�X!�� �[�FG J�F�C
���?l�tH�Co ����Wj rrrWr rrr
>4��lir rrruj rrr'������r rrr�r rrr
A�� .& 1��E3K�6& 1� �H��- X�P& d- 0�� >�?���� A���� �(�X!�� A���� xF��� |�� U /P� & I
3T × I ����� '� �(�X!� 0( ��@��� �(�X!�� �[�FG �@��� �G& � 3D��G7� B�X!9� �e?�FG LP
3q\ × �H���4 0�� �(�X!��� × q\ �H���4 0�� �(�X!�� '�@ w�X� U /P� q\
áaƒØ°üªdG ô°UÉæY õ«eôJ
1�7 |!� 0( `8� �!F�� �(�X!�� 0( , eta�( ,��H�( LN�� ����� |!� 0�N4 ��o�@ �(�X!�� 0( �!FG `& ���3]�e�?�M ����� eo�& |!�^ T� �����@ O��- ���? ���a� �����
= �� �� T� T� :���a� ����� 1�7 |!� 0( �!F�� �� �� �
� �
��
]T^ 1�a�
= � :�(�X!�� 0(�I�jW
:09� ��� �!FG A� ���N c�� IuITsj�r�W−
��� q\ �T� � II� &
:A��u = II� ∴ I ���� 0(� I |!� 0( L�� II� �!F�� &� = �T� ∴ � ���� 0(� T |!� 0( L�� �T� �!F�� �
�I = ��� ∴ � ���� 0(� � |!� 0( L�� ��� �!F�� q\
A�� .& 1��E 3� �(�X!�� '� IT� �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T
ájOƒª©dG ,á«≤aC’G ,á©HôªdG :äÉaƒØ°üªdG
Horizontal and Vertical Matrices Square^
¡ =3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F :��@��� �(�X!�� =Rectangular Matrix ��M"�C 2A�GC : 2A�G#�� S#�B ,��Z �+> �C 02*
¡ =Horizontal Matrix +��* [; -C �AHC 2A�GC 0F :���(7 �(�X!��¡ =Vertical Matrix +��* 4A#> -C �AHC 2A�GC 0F :������ �(�X!��¡ ?� X%C �(2�* /4A#> UAHB U� 2A�G#� -H#/ \F :�N�?� ��(
��
]W^ 1�a�:������ >�(�X!�� '� =t� |/F[
:á«°VÉjQ áeƒ∏©e L��\ 0�� �(�X!�� +��� 4�X[& �%�[�FG
���X[ �(�X!�Zero Matrix
. × r2 �����@ �H��- �����
= �j−r = �
�T
rsIrWiTI~
�j− W T� = q\= I−T�sW�I~j
:A��3��@�� �(�X!� ∴ T × T �(�X!� :
3����G �(�X!� � ∴ � × T �(�X!� : �3���(& �(�X!� q\ ∴ T × � �(�X!� : q\
3�9�M��� �(�X!� ∴ T × I �(�X!� : A�� .& 1��E
3]�^ 1�a�� 0( >�(�X!�� |/F[ W
Equal Matrices :ájhÉ°ùàªdG äÉaƒØ°üªdG
=]�N; ^H%��* /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT '�������� .��(�X!� UAHB=4 × `a .B��� -C 0F V4W �!B+#>� 4+>* ,V`aW �!2A�; 4+> 0"�� 2A�G#��
:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e LN��� ��H� '��!FG A� '��9� '��(�X!�� 0( O�X? .����� �H�X? ����� ��H�
3'��y�F�� '��!FG
��
]j^ 1�a�T−WrsIrsjI−
= � ,rsij−�j
�II− = 3� /�( ?.�������� � , .��(�X!�� A%
:A��3.�������� � , .��(�X!���( 0�����@� ,������� D�y�F��� ��%�[�FG� ,.��G� .� /X[ ��H� � , '� /A�
A�� .& 1��E3� /�( ?.�������� � ,_ .��(�X!�� A% j�−�rI = � , TW
rI− = _
=bY4�%#�� c\N� /*��"#�� b�2A�G#�� [/�%B �+d"�B U� �EH#/ ,Ue�*]u^ 1�a�
: ?�� d-W j − _I�I + �T T=W Ij
�~ + � T3� ,_ '� A� ���N �\��(
:A��W j − _I
�I + �T T=W Ij�~ + � T
3������� D�y�F��� ��%�[�FG .�( ,.�������� '��(�X!�� .& ��@�~ + � = �I + �T Ij = j − _I
u = �I Tr = _IT = � �j = _
T = � ,�j = _ :�% A��A�� .& 1��E
3� ,_ '� A� ���N �\��( j ~ + _�− T = j T~
�r − �W T ?�� d- & u3� ,_ '� A� ���N �\��( ��r− W �−� = �� − _ � + _ _T� ?�� d- �
�
äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL
Adding and Subtracting Matrices
2-7
º∏©àJ ±ƒ°S
• >�(�X!�� L�\• >�(�X!�� g�I• ��(�X!�� >o���� /AE
0?���� A�G:)*+,�� 02 b�CA�%#�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>� :�=���!E-
>�\4�9� 0@���� FC����
�F���{9�>��P����
��?-4��d��?-4��dIrrr~j~Tiu~IIrr�~i~jiW~j
= E& \9 02 $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� & �= E& \9 02 i���� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C )*+,�� -C +a*� �
=-�"E��� )jL i����* $A9g�� 7��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & I=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om
= 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� � :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e 0( D�y�F��� �[�F��
�[�F�� 0% >�(�X!�� 0( O�X? LP��� �H� 0��
3�(�X!� A�
i����* $A9g�� b��m�/��� b�a$+� 08��N�� F&A"#�� \cl#B 2A�GC �"9� & T=-�"E��� )jL
=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� .B$ �9Z� �
= ,� -���o��� 02 �!"."9 0"�� b�2A�G#��* )*'� )�o��� -> �"8�aT S�T �DE��8 & W=-�"E��� )jL i����* $A9g�� b�a$+� -��8��N�� -�M&A"#�� hA#,C \l#B l��p 2A�GC �"9�
=�!B+#>�* ,�!2A�;* , 2A�G#�� :-C \H� �X��AE> Om = 2A�G#�� ngF .B$ �9Z� �
=b�2A�G#�� O#,� (/�I r��G� �F��B U�#�� <�* �B�D�jC �+d"&� j
�
Adding and Subtracting Matrices äÉaƒØ°üªdG ìôWh ™ªL=�H�X? ����� -C ��AHB U� �,/ t , -�"2A�GC O#,�
=t , -�"2A�G#�� -C \9 .B$ �!� O#,�� 2A�GC =t , 02 M��� O�A#�� �#!� -/�GE> \9 O#,�t + = `a
. × 2 ����� '� � , . × 2 ����� '� 3. × 2 ����� '� q\ ∴
3_�� + _� = _�q\
]�^ 1�a�
= r I− �i j− T= �
� T−W− Ij �−= q\T− � T
�I u �− ?�� d- :'��& .- �\��(
q\ + � � + & 3c��� ��d�( ,�eF��� L�)� '�� $� d-�
:A��3I × T 0%� � ���4 `���� o T × I 0% ���4 .7 ,L�)� '��� o 3� + &
3T × I :�H�X? ����� ��H� '��(�X!�� .7 ,L�)� '��� 3q\ + �T− i W�� � − = T − r � + I− T + �
�I + i u + j− � − = q\ + 3T × I 0% q\ + ���4
A�� .& 1��E
�− T−W j−
i− � +
IW �I−j T−
�r �− :09� �� J��? �\�& �
�
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J ]I^ 1�a� cGo �& V@���� /A� +9G .��� ,�E� 2�� 4�� +9G �H�( >��(�F� K�)� 0��� ,����� /0C��#� �P��4 0( :�P����
3��E�h� w��6 ,�/�C��X� ,�E���� ,|����@ DS4���� ,������ :Y�#� ����7 0( �4��� .& Z�FM& Y�#� ����7 0( cGo /A� �H�9G A!E 0�� U��F� ���)� �\�& $M 0���� 1��)� '� ���� A�� �(�X!� .��
3>o�M�� K�E- 0( $H���(�F�
�P���� cGt�
����4 DS4���|����@
�E��C��C��( w��6��E�h�
1 /�7� �ju~�u� �~~~~�� �u~0?�a�� rTu~�u� I~r~Iu� I�r
���a�� rIWui~� I�u� rir� Iir
:A��:>�(�X!�� L�\ $M ,� × T >�(�X!� Y�6 c��
= ,
������� �ju� rTu� rIW
= �,
DS4����~�u~�uui~
= q\,
�E����� �~~� I~r� I�u
= ,
��C��X�~~�~Iu
� rir= q%
��E�h� w��6� �u~� I�r� Iir
� �u~� I�r� Iir
+ ~~�~Iu
� rir +
� �~~� I~r� I�u
+ ~�u~�uui~
+ � �ju� rTu� rIW
= q% + + q\ + � +
j I�ij �u~j TT~
= � �u~ + ~~� + � �~~ + ~�u + � �ju� I�r + ~Iu + � I~r + ~�u + � rTu
� Iir + � rir + � I�u + ui~ + � rIW =
3���a� cGt� �% ����7 *8% 0( ���X� cGt��( 0�����@�
A�� .& 1��E3F�( �H�X? ����� �H� ?�� d- o- >�(�X!�� L�)� .& L�M��� o d��� U /P� & I
:����[ ������ D4���� /.& >��Ml >�(�X!�� L�\ 2�#�C � T− I�� �ru W−
+ i− TI ur j
= i− TI ur j
+ T− I�� �ru W−
]T^ 1�a�= T I
�− W= �I− jr �−= q\W T
i I− ?�� d-
:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e ��fF� 0% − �(�X!��
3 �(�X!�9� 0��)�
3] −^ + , rI × I + , ]q\ + �^ + , q\ + ]� + , + � , � + :�\��(:A��
� i�− T = + � � i
�− T = � + j �ru � = W T
i I− + � i�− T = q\ + ]� +
j �ru � = I ~
i T− + T I�− W = ]q\ + �^ +
T I�− W = r r
r r + T I�− W = rI × I
+ r rr r = T− I−
� W− + T I�− W = ] −^ +
A�� .& 1��E3 + ]� + q\^ , � + q\ �\�& ,]T^ 1�a�� 0( T
�
äÉaƒØ°üªdG ™ªL ¢UGƒN
:.�( . × 2 ����� '� >�(�X!� q\ , � , .�� d-• ]wt{?o^ 1�XNl ��[�6 . × 2 ����� '� 0% � + • Commutative 1�@l ��[�6 + � = � + • Associative L��)�� ��[�6 Vq\ + �W + = q\ + V� + W• . × 2 ����� '� 0��)� ������ �!F�� 0% ���X!� �(�X!�� = r. × 2 + = + r. × 2 • 3]0��)� ��fF�^ 0��)� _����� ��[�6 r. × 2 = V −W +
äÉaƒØ°üªdG ìôW=0%#,�� wAH%#�� 2A�GC �;�L ��+d"&�8 b�2A�G#�� x�I -H#/
3]�−^ + = � − .�( ,�H�X? ����� � , '��(�X!�9� .�� d-= ���+8T 6��� b�2A�G#�� x�I ��#> ,0��"��8* − � ≠ � − :Uy2 �!��� .B��� �#!�* � ≠ U�9 �ZT :�fEt�
]W^ 1�a�T W �W I I− = � , W I T
r W �− = − � , � − �\�&
:A��:+��7 ����M�
]� −^ + = � − T− W− �−W− I− I + W I T
r W �− = ]T−^ + W ]W−^ + I ]�−^ + T]W−^ + r ]I−^ + W ]I^ + �− =
� I− IW− I � =
:��?�a� ����M�T W �W I I− − W I T
r W �− = � − T − W W − I � − TW − r I − W ]I−^ − �− =
�
� I− IW− I � =
W− I− T−r W− � + T W �
W I I− = W I Tr W �− − T W �
W I I− = − ��− I I−W I− �− = W − T I − W T − �
r − W W − I ]�−^ − I− = A�� .& 1��E
:09� ��� A� J��? �\�& Wr T W−
�r j u − i �− u~ � I− &
� T−W− I − j T−
�r �− � Solving Matrix Equations á«aƒØ°üªdG ä’OÉ©ªdG qqπM
=V��7"#��W CA�%C ��r �!B�2A�GC z+�T �4�%C 0F ��(�X!�� ������= �2A�G#�� bY4�%#�� \N� 3�*��#�� {�AL ��+d"&� �EH#/
=`a − t = `a − ,`a + t = `a + :Uy2 ,t = :U�9 �ZT �!��� .B��� �!� `a ,t , b�2A�GC <'
]j^ 1�a�:������ ��(�X!�� ������ AE
� r� ~ = � �
I T − _:A��
� r� ~ = � �
I T − _
������ 0(�I '� A�� � �I T �(�P�@ � �
I T + � r� ~ = � �
I T + � �I T − _
I ��� �� = _ :0�����@�
A�� .& 1��E:��E _ �\�& j
i �rW W− = r �−
j I − _
äÉaƒØ°üªdG Üô°V
Matrix Multiplication
3-7
º∏©àJ ±ƒ°S
• �G 0( �(�X!� ��P• 0C���� ��h�• >�(�X!�� ��P
0?���� A�G:)*+,�� 02 b����.�� �+d"&� =�� \�Cf OC \#>�
$�M� >������ ��\�I ��\�T ��\�
��\� '�MZ�{�
Isjrr4�F�
�sijr4�F�
Isrrr4�F�
>��\�� �G�G����jr�rrij
? Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* ,� Q�+7�� b�.a* :-#p �C �? >�.#�� b�.aA�� -#p �C & I
= 8�a�� 4�,/� )*+,�� 02 34AaA#�� b����.�� 6C+d"&� [�9 ]m* � = >�.C .a* \9 -#p \l#"� × � 2A�GC �"9� & T
= >�.#�� b�.aA�� 4+> \l#"� � × 2A�GC �"9� � ,�!��> 6�G� 0"�� b�2A�G#�� ��+d"&� b�Q��aT [G"� V�GE> ,4A#> ,[;W :b�#�H�� �+d"&� :�@���� q\
=b�.aA�� O�#a 1%M#�� M8 O�./ <g�� $�E/+��8 |�.#�� 4�,/�
Multiplying a Matrix by a Scalar OóY »a áaƒØ°üe Üô°V:\lC 2A�GC 02 0(�(� 4+> t�PB U� �EH#/
�� �− �� = � �
− �
Scalar Multiplication »°SÉ«≤dG Üô°†dG
=� ≠ } : } 0(�(� 4+> 02 2A�GC t�m ��#> AF 0&��(�� t�P��= } 2A�G#�� AF ~B�E��:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e
`���� � �(�X!�� ���43 �(�X!�� ���4 =} 02 -C �GE> \9 t�P8 } 2A�G#�� S�> \GN�
= /��; 2A�GC ~B�E�� UAH/ ,� = } U�9 �ZT
�
]�^ 1�a�= ,
W− T IT W j= �I � r
T �− I− ?�� d-�T − j $M 3 �T , j :�\��(
:A��Ir− �j �r�j Ir Ij = ]W−^ × j T × j I × j
T × j W × j j × j = j u T r� T− u− = I × T � × T r × T
T × T ]�−^ × T ]I−^ × T = �T Iu− �I �r
u IT T� = u T r� T− u− − Ir− �j �r
�j Ir Ij = �T − jA�� .& 1��E
:�\�& ,]�^ 1�a�� '� �� + � � − �� &
»°SÉ«≤dG Üô°†dG ¢UGƒN
:Uy2 =U��&��� U�4+> 4 ,} =U × � .B��� -C b�2A�GC � , t , U�9 �ZT• wtzl ��[�6 U × � .B��� -C 2A�GC : }• ��h9� L��)�� ��[�6 V 4W} = V4 }W• '���� '� L�S��� ��[�6 � } + } = V� + W}• 4���� '� L�S��� ��[�6 } � + } = }V� + W• �X[ 0( ��h� ��[�6 r = × �
»FGôKEG ]I^ 1�a� ���o 2�#�C^ ?��? A� '�M .���C $�( ,D��� |!?� D�� U�!�� ���� '� ��? A� '�M L(�� $�M� FM#� :2��M�
]1��)� 0( 4��C7���� $)E��{[ $)E
$C�� A�9N '��4�F� rsjrr4�F� rsTrr1������ ��!G4�F� rs�rr4�F� rsurr�)?��� ��!G4�F� rs~rr4�F� rsjrr
�
:A��3�sj 0( �!FG A� ��P
rsWjr rsijrrs�rr �sTjrrsijr �sIrr
= ]rsTrr^�sj ]rsjrr^�sj]rsurr^�sj ]rs�rr^�sj]rsjrr^�sj ]rs~rr^�sj
= rsTrr rsjrrrsurr rs�rrrsjrr rs~rr
× �sj
��!G '�M� ,4�F� rs�rr ,4�F� �sTjr 1������ ��!G '�M� ,4�F� rsWjr ,4�F� rsijr '�9� '�M U�!� B�C34�F� rsijr , 4�F� �sIrr �)?���
A�� .& 1��E 4��C7 ��X#� :O�9G c�� � e?tG- $�M�� cE�[ LP� 3$�M�� 0( ���� >����� !N�F� ,4��C7 L(4 ��@ I
3D���)� 4��C7�@ ���o LP 3%Ir ���F@
=b�2A�GC -#P"B bY4�%C \N� 0&��(�� t�P�� {�AL ��+d"&� -H#/
]T^ 1�a�3x�@�\- '� V��� $M , r �r
I W = W T� I− I + _W :������ AE
:A��r �rI W = W T
� I− I + _Wr �rI W = W × I T × I
� × I ]I−^ × I + _Wr �rI W = ~ u
I W− + _W~ uI W− − r �r
I W = _W~− Wr ~ = _W
I− �r I = ~− W
r ~ �W = _ :V���
r �rI W = W T
� I− I + _W
�
r �rI W =? W T
� I− I+ I− �r I W
r �rI W =? ~ u
I W− + ~− Wr ~
P r �rI W = r �r
I W A�� .& 1��E
:09� ��� ����� A� AE Tr I−W T + �I W
W− � = _I & ~ r �r
�r �~− ��− = �− r iW T− I + _T− �
Matrices Multiplying äÉaƒØ°üªdG Üô°V , -�"2A�GC 3$A; 02 b����.�� 6.B$ 1p M��� +.> ,+#�� ,�;�� -C \H� �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 Q�9g�� $�."L� <�a�
:��� �2�9�� >��P������ � �[�?
= �� �� ��E&�� �� O9� ��G
=3+� S�> 34�C \9 02 pjl�� tjM�� -C \9 �!E> t�a� 0"�� �>AmA#�� ��&'� 4+> \l#B 2A�G#��*W 1�C A�� >��P���� �\4 = �I 1�C A�� 2�9�� �\4
=-�B4�#�� -C \9 02 )�o��� a$4 0F � 2A�G#��*=� X%C -�B4�#�� 02 1!EC ���I \9 b�a$4 hA#,C 2�%C :tA�M#��
:A�� a$4 �� = � × �� + � × � = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 �;�� b�a$4 hA#,C a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 +#�� b�a$4 hA#,C
a$4 ��� = � × �� + � × �� = �A�%��* b��m�/��� 0B4�C 02 M��� +.> b�a$4 hA#,C�ur
= q\��r�jr
2A�GC 3$A; 02 ���!E�� ~B�AE�� �E."9 �ZT Ue�*
��
S�*'� 2A�G#�� -C c[; c\9 �;�E> t�m� ,-�"2A�GC t�m ��#%8 �A(B 0H� =� , -�"2A�G#�� t�m -C ~"E/ �gF*:0��"�� )�l#�� 02 �#9 t�P�� ~B�A� O#a� c1p ,t�m c\9 ~B�� +a*� = ���l�� 2A�G#�� -C 4A#> c\9 �;�E> 02
�ur��r�jr
= I × Ir + W × TrI × �j + W × WrI × Ij + W × Ij
= WI ×
Ir Tr�j Wrj Ij
= � × =\P2'� 0F +#�� a$4 UAHB 0��"��8*
]W^ 1�a�3� × J��? �\�&
r W� I− = � , T rW− �−
I � = ��E:A��
3��h� J��? L�\ $M ,�I� � I� ��P $M ,��� � �� ��P
? = T r
W− �−I �
r W� I−
− = VI−WVTW + VWWVrW 3D��G7� B�X!� 0N�@ L� �H�X? >�M#� 4 /�� 31 /�7 ����� 1 /�7 /|!� 0( �!F�� �% J��F�
u−? =
T rW− �−I �
r W� I−
? u− =
T rW− �−I �
r W� I−
� = VI−WVW−W + VWWV�−W = V�WVTW + VrWVrW u−
�− W?
= T r
W− �−I �
r W� I−
T u−? W =
T rW− �−I �
r W� I−
� = VI−WVIW + VWWV�W �− = V�WVW−W + VrWV�−W
��
u−�− W? r
= T r
W− �−I �
r W� I−
� = V�WVIW + VrWV�W :��h� J��?
T u−W− WI r
= r W� I−
T rW− �−I �
A�� .& 1��E3]W^ 1�a�� 0( A/9f�� ���� 0( A/9f�� /|!� ��h� /�� 0�� >Z�\l |[ & W
T T−r j r �−
W− T :��h� J��? �\�& � ?��h� �(�X!� ���4 �� ?�/�9[7 >�(�X!�� ���4 �� ,]W^ 1�a�� 0( q\
?�/�9[7 >�(�X!�� c��@ ��h� �(�X!� ���4 .4��� |�� :�N�F� ���X��
: äÉaƒØ°üªdG Üô°V
0F � × t�P�� 2A�GC �g�+E> ,4 × . .B��� -C 2A�GC 0F � 2A�G#��* . × 2 .B��� -C 2A�GC 0F 2A�G#��=4 × 2 .B��� -C 2A�GC
I × T
� �� �
2A�GC�� � � ��� � �� ��
t 2A�GC
.��G
W × T ��h� �(�X!� ��@&
.�X[
.�������
B�X[ TD��G& W �× I
= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB4 × 2 q\ = 4 × . � × . × 2
��
]j^ 1�a�r ~
j− I = � , T I~ �−r W = b�X@
3�( /��� ��z �& �( /��� × � ,� × :��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E3�( /��� ��P �(�X!� A� ���4 �\�&
:A�� × �
'�������� ��z�( /��� ��z × �
VI × IWVI × TW
� × .��������
I × T �H���4� �( /��� � ×
V� × TWVI × �W
A�� .& 1��Er �− r ~~ � j− I = � , I− W
W− j = :b�X@ j3�( /��� ��z �& �( /��� ×� ,� × ��h� J��? '� A� ?�� d- �� /�E &
3B /���� ��h� J��? �\�& � 3I × T ����� '� �(�X!� 0% � �(�X!�� ,T × I ����� '� �(�X!� 0% �(�X!�� .& b�X@ q\
3x�@�\- U /P� ?.�������� ×� ,� × A% OGóYC’G Üô°V ¢üFÉ°üN ¢†©H äÉaƒØ°üªdG Üô°†d
á©HôªdG äÉaƒØ°üªdG Üô°V ¢UGƒN
:Uy2 =� × � .B��� -C b�2A�GC `a , t , 6��9 �ZT• =� × � .B��� -C 2A�GC :� × • ��h9� L��)�� ��[�6 Vq\ × �W × = q\ × V� × W• L�S��� ��[�6 q\ × + � × = Vq\ + �W × • × q\ + × � = × Vq\ + �W• �X!� 0( ��h� ��[�6 r2 × 2 = r2 × 2 × = × r2 × 2
�
:ôcòJ �h� 1�a� �)�- 0X�� ��[ 2�G >��Ml �E�
3���fF�
=����@- ��� b�2A�G#�� t�m ��#> :�fEt�]�h�^ 1�a�
I jW i = � , T I
� W = ?J�F��� d�� 3 × � ,� × �\�&
:A���u T��I Ii = I j
W i × T I� W = � ×
�i �~Ij Tr = T I
� W × I jW i = × �
3����@- ��� >�(�X!�� ��P ��9�G ∴ × � ≠ � × Square Matrix áaƒØ°üªdG ™Hôe
=� 5C���8 �!��T 5C�/ × 2A�G#�� Uy2 , %8�C 2A�GC 6��9 �ZT====, × = � , × × = \l#��8* = 2A�G#�� O8�C ��(B*
]u^ 1�a�
= �− Ir � ?�� d-
T , I :�\�&:A��
I− T�− I = �− I
r � × �− Ir � = I
T− WI− T = �− I
r � × I− T�− I = × I = T
A�� .& 1��E3 T� , I� :�\�& 3 � I
W �− = � ?�� d- u
��
(äÉ°Sƒμ©ªdG) »Hô°†dG ô«¶ædGh IóMƒdG äÉaƒØ°üe
Identity and Inverse Matrices4-7
º∏©àJ ±ƒ°S
• ��h9� D�E�� �(�X!� • �(�X!�� ���• _�����^ 0@�h� ��fF�
�(�X!�9� ]0@�h�• ��(�X!�� ������ AE
30@�h� ��fF� 2�#�C�@
0?���� A�G:0�/ �C ~B�� +a*� �
r �� r × u j−
I W & u j−I W × r �
� r � r r �r � r� r r
× � W TI r I−T j �
q\
� W TI r I−T j �
× r r �r � r� r r
=) c*'� )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& I=�%c�AB -C � c(NB 1p ,0�/ �C ~B�� Oc�AB T
r r r �r r � rr � r r� r r r
× W I− T Ir T I �W � I− �−r T I j
:09� �� J��? �\�& Wj TI � × j− I
T �− � j− IT �− × j T
I � & �− j ��− r �r r �
× � r rr rsI− rsI� �− r
� r rr rsI− rsI� �− r
× �− j ��− r �r r �
q\
=V�W )�o��� -> �"8�aT 02 �F��B U�#�� <� [; :U��?& j?V�W ,V�W -���o��� S�T .�E��8 �B�8�aT F.B�B [�9 :�N�F� ���X�� u
��
Identity Matrix IóMƒdG áaƒØ°üe
=� �8 �!��T 5C�/* =t�P�� D�E�� �(�X!� S#�B ��; �;�E%�� �(8* ,� 0������ �F�M� �;�E> 0"�� %8�#�� 2A�G#��� � �� � �� � �
= × * , � �� � = � × � *
� �� � = * , `a &
4 t = U� ���8� �� � × t &
4 `a = * × = t &
4 `a = � × t + � × � � × t + � × �� × 4 + � × `a � × 4 + � × `a =
= t &4 `a = × * ��g9
= × * = * × :.& `&= ���l�� .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F � �
� � = * =U .B��� -C %8�#�� b�2A�G#�� 08�P�� +/�N#�� �GE%�� 0F U × U * C�> 3$AG8*
Multiplicative Inverse »Hô°†dG ô«¶ædG= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 0F _ Uy2 , * = _ × UAH/ ��N8 �!��� .B��� -C -�"%8�C -�"2A�GC w , 6��9 ZT
3 �− �8 �!��T 5C�/** = × �− = �− × � XZT
]�^ 1�a�3 T I
I � = �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% T− II �− = � .& �M&
:A��� �� � = � × + V−W × � V�−W × + � × �
� × � + V−W × � V�−W × � + � × � = − �� �− × �
� � = � × 3 q�� 0@�h� ��fF� 0% � ∴ � = � ×
3 � �(�X!�9� 0@�h� ��fF� 0% �(�X!�� .& 1��� '���:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e
�(�X!�9� 0@�h� ��fF� �(�X!�� � eh�& +���
3�− �C�����
A�� .& 1��E I I−
W− j q�� 0@�h� ��fF� 0% � I� Isj �(�X!�� .& �M& & �
3� q�� 0@�h� ��fF� 0% .& �M& ,]�^ 1�a�� 0( �
�
Determinant of a 2 × 2 Matrix á«fÉãdG áÑJôdG øe á©Hôe áaƒØ°üe Oóëe= �(�X!�� ��� ��(/* | | 5C���8 4+%�� �gF S�T 5C�/* ��� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 F.B�B
= ���l�� .B��� -C %8�#�� 2A�G#�� 4+NC S�> w$+�� �gF 02 �G"(E&
`a t − 4 � AF `a &4 t %8�#�� 2A�G#�� 4+NC
`a t − 4 � = `a &4 t = | | �"H�
D�XF�� �(�X!���@ ��G�� <*��/ �F4+NC 0"�� 2A�G#�� S#�B]I^ 1�a�
r __ r = q\ T− I
I− T = � W T−j− I = :������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�&
:A��i = I × W − ]j−^ × ]T−^ = W T−
j− I = | |
j = ]T^ × ]T−^ − ]I−^ × ]I^ = T− II− T = | � |
I_ = r − I_ = r __ r = | q\ |
A�� .& 1��E:������ >�(�X!�� '� A� ��� �\�& I
T �T− � − T = q\ q\ i ~
�r I = � � I WI W = &
2A�G#�� 6��9 �ZT �C ��"E"&� S�> 0��"�� $�."LY� }+>��/ @A& =Vb�&AH%CW 08�m ��D� %c8�#�� b�2A�G#�� c\H� ^��=+a* UT n4�,/T �EH#/ [�9* ,08�m ��D� �!� � × �
á«°UÉN
:��� �− 08�m ��D� �!� Uy2 , � ≠ `a t − 4 � U�9 �ZT t &4 `a = :U� ���8
t− � `a− �
| | = �− :á q«°VÉjQ áeƒ∏©e
�%��� 0�� �(�X!�� 0@�P ��f? �H� Y�� �X!�
3D�XF� �(�X!� +���� t− � `a− �
`a t − 4 � = �−
��
]T^ 1�a�3_ ���N �\�& D�XF� W _
u �I = �(�X!�� ?�� d-:A��
D�XF�� �(�X!�� ��� r = W _u �I = | |
���� F���� r = W~ − _uW~ = _u
~ = _A�� .& 1��E
3_ ���N �\�& ,D�XF� �r j_I W− = � �(�X!�� ?�� d- T
]W^ 1�a�3*�\�& ��)�l ���E 0( ?0@�P ]_����^ ��f? r �−
I− ~ = :�(�X!�9� A%:A��
�− 0@�P ��f? �H� ∴ r ≠ I I = ]~^]r^ − ]I−^]�−^ = q\ � − & r �−
rsj− W− = r I−�− ~− × �I = �−
A�� .& 1��E
3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� I �W T = � A% & W
3x�@�\- � /�( ?0@�P ��f? �H� ~ uW− T− = � A% �
��
]j^ 1�a�3*�\�& $M ,0@�P ]_����^ ��f? �H� 09� ��� �(�X!� `& /�E
� Tu I = . � I I−
W− j = 2 &:A��
I I−W− j = 2 &
I− = ]j^]I^ − ]W−^]I−^ = q\ � − & q\ � − & :c�E3 e�\�� .��� 2 q� ]_�����^ 0@�h� ��fF� .�( ,r ≠ q\ � − & :.- ��E
� I� Isj = I− W−
I− j− × �I− = �−2� Tu I = . �
r = ]I^]�^ − ]u^]T^ = q\ � − & q\ � − & :c�E 3�\�� ��z . _���� .�( ,r = q\ � − & :.- ��E
3�\�� ��z �−.A�� .& 1��E
3*�\�& $M ,]_����^ 0@�P ��f? �H� ������ >�(�X!�� '� �(�X!� `& /�E jIsT rsjisI T � W I
T � &
��
�N�F�?� ��X? �FGº∏©àJ ±ƒ°S
• '������ '� 2�f? AE '���M6
• ���� D�G�N
=bY4�%C ��D� <� \cl#B U� �2A�G#�� �4�%#�� -H#/��(�X!�� ������ >o��� 2�f?
��� = w
{ × � ��
� = {� + w�� = {� + w.
?68�Al�� ?b���7"#�� ?{ ,w \C�%C +,B -/� =b�2A�G#�� bY4�%C 02 ��DE�� 8�"9 0"(/�I U$�� �:�!#&� �!� t = h × \H��� S�> b�2A�G#�� �4�%C 02 2A�GC \9
� @�a� �(�X!� � >��{��� �(�X!� >t����� �(�X!��
�� = w{ × � �
� w{ × � �
� :t�P�� 2A�GC +a*� & I= �
�� 2A�G#�� /*��C �!�R8 t�P�� 2A�GC 8�"9 -H#/ � =bY4�%#�� ��D� \cl#B 2A�G#�� �4�%C U� [�9 x���
Solving a System :ΩɶædG πM= �Md�� bY4�%#�� -C ��DE�� \� S�> � X%/�& )AGN�� 1p ,bjC�%#�� 2A�G#� 08�P�� ��DE�� 4�,/T O�M"�B
Solving by Using Inverse Matrix :á©HôªdG áaƒØ°üª∏d »Hô°†dG ¢Sƒμ©ªdG ΩGóîà°SÉH πëdG -1
]�^ 1�a�3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ T = � + _
i = � − _. :2�fF� /AE:A��
3>�(�X!�� ����� L� 2�fF� c��]�^ T
i = _� × � �
�− �Ti = � , _
� = � , � ��− � = ��E
r ≠ I− = � × � − ]�−^ × � = � ��− � =| |
ø«à«£N ø«àdOÉ©e øe Ωɶf πM
Solving a System of Two Linear Equations5-7
��
�I �
I�I − �
I = �− �−
� �− �I− = �−
3�− 0( '���� �H\ '� ]�^ ������ 0(�I '� A� ��h@�
Ti
�I �
I�I − �
I = _
� +9G A!�?
jI− = _
� I− = � ,j = _ :0�����@�
A�� .& 1��E3�(�X!�9� 0@�h� ��fF� 2�#�C�@ i = �T + _j
j = �I + _T. :2�fF� /AE �
=Crammer’s Rule �C��9 3+>�� S#�B* ,b�4+N#�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� � XP/� -H#/ :ø«à«£N ø«àdOÉ©e πëd (äGOóëªdG) ôeGôc IóYÉb ΩGóîà°SG - 2
Using Crammer's Rule to Solve Two Linear Equations
:'���M6 '������ 2�f? A��) = { t + w � = { 4 + w `a
bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 4 `a = :�"H�
w bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* t 1 2 = w
{ bjC�%C 4A#%8 +��5�� 4A#%�� )�+."&� +%8 bjC�%#�� 2A�GC 4+NC AF* 12 q\ = {
V� ≠ U� U��8W � = � , _ = w Uy2
��
Cramer's Rule �C��9 3+>�(8 @�%B ngF*:U� D�j#�� OC
� X+��* Jj� -�"�4�%#�� Uy2 , r ≠ U�9 d- � \N��2 r ≠ _ , r = U�9 d- I
��G�� �/*��C w , -C \9 0"�� ��N�� ��%"� Y* -�"��N�� -�B�!8 0�"HE&*
]I^ 1�a�r =i + �j − _W
r = T + _u − �T. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C:A��
i − = �j − _W T − = �T + _u−.:��C���� ����M��@ 2�fF� eo�& c��?
�~ − = j− WT u− =
Tu − = j− i−T T− = _
jW − = i− WT− u− = �
I = Tu− �~− = _
= _
T = jW− �~− = �
= �
A�� .& 1��Eu− = �I + _T
r = i − �T − _W−. :2�fF� /A�� ���� D�G�N 2�#�C I
��
πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG
3 � = { + w�� = {� + w�. :��DE�� \� 0F <A"�#�� 02 M(E� V{ ,wW U��p�+���
= M(E�� ngF 0�p�+�T +a*�?�p�� ��( |��?c�� d���
=V{ ,wW �B�#�� �*5�� AF �R�#�� \� ,OI�("�� M(� 0�p�+�T 3Q���* �J����8 -�#�("�#�� 1&$ 0EEH#/
=� J/$*�m ^�� �gF -H�*=\N�� 02 b�2A�G#�� ��+d"&� 0EEH#/
=b�2A�GC �4�%C \H� 02 ��DE�� 8�"9 +�>R&
� = { + w�� = {� + w�.
�� = w
{ �� �
�4�%#�� 02�I t�m� @A& w{ 2A�G#�� 4�,/�
3 �� � 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� 02
− �� �− �
× � − � × � = �−
�� �
�−�− � = − �
� �− �− = =t�m� @A�2 08�P�� ��DE�� S�> 6�G� 0E�� �#8 ,Ue�* �−
�− � �� = w
{ �� � �−
�− �I × I � × I
��P& .& '��� o ��#> U' ,-�#��� !a -C t�m� U� �,/ ! b�9gB
= ���+8T 6��� b�2A�G#�� t�m�� �−
�− � = w{ �
� � �−�− �
:U� 0E%/ �gF =t�m� 1p ,b�2A�G#�� �4�%C 8�"9 +�>R&= = { ,� = w
� = � × + � × V�−W
� × V�−W + � × � = w{
V ,�W �#F OI�("�� M(� ��p�+�T��(�P- ������� = {� + w��
� = {� + w�. :��DE�� \� �#F <A"�#�� 02 M(� ��p�+�T �= M(E�� ngF 0�p�+�T 4�,/T* ��DE�� \N� b�2A�G#�� �+d"&�
� X+��C ��"%"& 0"�� \9��#�� �C I?)A�� ��DE�� -H/ 1� �ZT &
?)A�N�� -C M"EC ��r 4+> ��DE�� U�9 �ZT �
�
á©HÉ°ùdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe
>�(�X!� ��fF�� D�E��
0@�h�
$�fF� 0( >�?����>�(�X!�
L�\g�I�
>�(�X!�� ��P
>�(�X!��
AE '������ 2�f?
'���M6
>�(�X!��
�(�X!�� �����@���
>�(�X!��������
>�(�X!����@���
0C���� ��h�
�(�X!�� L@��
0��\ ��f?
0@�h� ��fF��(�X!�� ��� L�\ U��p
g�I� >�(�X!��
>o���� AE��(�X!�� ������ �!F��
0@�h�
���� D�G�N�(�X!�� ���4
D�y�F�� �[�FG
��
¢üî∏e
= : XjlC �"HB* 3+#>�* @A�; 02 4�+>'� M�2 �B�B ,\�M"�C \H� S�> 4�+>'� -C 1�DEB -> 3$�.> 2A�G#�� −=�#!�2 O��A�� 4A#%��* [G�� 0#�$ �Y+8 2A�G#�� 02 �GE> <� 4 c+N/ −
= /*��"C 3�_�E"#�� �#F�;�E> 6��9* ,�!��� V4�%8'�W .B��� �#!� 6��9 �ZT -�"/*��"C U�"2A�G#�� UAHB −=3�_�E"#�� �;�E%�� x�I �/�I -> b�2A�G#�� x�I � XP/� �EH#/* �#9 ,3�_�E"#�� �;�E%�� O#,8 O#,�� 2A�GC S�> \GNB −
= 2A�GC c\9 02 �!��� .B��� �!� 0"�� �;�E%�� 0F b�2A�G#�� 02 3�_�E"#�� �;�E%�� −= /��; 2A�GC S#�B $��;� �F�;�E> O�#a 0"�� 2A�G#�� −
. 2A�G#�� 0%#,�� ��DE�� 0F − 2A�G#�� − + t = t + :b�2A�G#�� O#a {�AL −
`a + Vt + W = V`a + tW + = r + = + r
r = V −W + =4+%�� �gF 02 2A�G#�� -C �GE> \9 t�P� ,0&��� 4+> 02 2A�GC t�m +E> −
= ���l�� 2A�G#�� 02 @A�G�� 4+%� � X/*��C S�*'� 2A�G#�� 02 3+#>'� 4+> U�9 �ZT , 2 c�%C t�P�� 2A�GC UAHB −= $ × �`a = $ × Ut × U × �
2A�G#�� -C 4A#> \9 �;�E> 02 S�*'� 2A�G#�� -C [; \9 �;�E> t�m� ,b�2A�G#�� t�m ��#%8 �A(B 0H� −=t�P�� ~B�A� O#a� 1p ,t�m \9 ~B�� +a*� = ���l��
=$ × � 0F t × 2A�G#�� .B$ Uy2 ,$ × U .B��� -C t , U × � .B��� -C 6��9 �ZT −V`a × tW × = `a × Vt × W :b�2A�G#�� t�m ���GL −
`a × + t × = V`a + tW × × `a + × t = × V`a + tW
=3+#>'� 4+> <*��/ @A�G�� 4+> �!�2 2A�GC 0F %8�#�� 2A�G#�� −=* �"HB* t�P�� 3+�A�� 2A�GC S#�B ,��G�� 0F �;�E%�� �(8* � 0F 0������ �F�M� �;�E> 0"�� U × U %8�#�� 2A�G#�� −
=��; �;�E%�� �(8* � 0������ �F�M� �;�E> %8�C 2A�GC 0F 3+�A�� 2A�GC −
��
:UAH/* �− �"HB , %8�#�� 2A�G#�� 08�P�� VwAH%#��W ��DE�� 2A�GC −= 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� S#�B* ,* = �− × ,* = × �−
t �4 `a = 6��9 �ZT* = 2A�G#�� 4+NC ��(/* | | 5C���8 M��T 5C�/* �4+NC� S#�/ 0(�(� 4+%8 %8�C 2A�GC \9 U�"(B −
`a t − 4� = �t`a4 = | | Uy2
� ≠ `a t − 4� ��� t− 4� `a− �
`a t − 4� = �−
=08�m ��D� �!� ^��* 34��EC 2A�G#�� S#�B =� = `a t − 4 � U�9�ZT , t �4 `a 2A�G#�� 02 −
=� X%C -�"�4�%#�� �(N/ �B�C �*f AF -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� −=V�C��9 3+>��W b�4+N#�� ��+d"&�8 *� 2A�G#�� 08�P�� ��DE�� ��+d"&�8 -�"�ML -�"�4�%C -C ��D� c\� -H#/ −
��
(2) äÉã∏ãªdG ÜÉ°ùM
Trigonometry (2)
pπÑ≤à°ùªdG oáLƒe :IóMƒdG ´hô°ûe
����� ����� � ���� ��� ��M�� ��� �� ������� !��M�� "� #$� %&' ()* F,-.�� �/0 �� 12�-3 :4 �5.�� ����� 6 �0��� �/7�� �.�� �2� �,�8 !9��;<�� �,�2�� ��M�� ��� �,�=8 �,>,' ?'�5�� �>5�'� ��@ ��,�A� �2�B�� C@ �D !",E�2M��
!;F� ��>��G� #;� .� ���<�� �B %�2�� ��3�M� "<� �,�* ��M�� "� H2I��� ��>��G� JK�;��L �,� ,?' %�-.�� NO �<� �3�-�� �/7�� �.�� �'�-� ��,�� ����� 9��0P Q73 R&�3 !�=�� ��� "� S0 �� 9.�� �2�� "� ��M�� ��2�8 !�/7�� �.�� ",� T�@ �U'D �023 V,E ��* � %=�� (FU3 !���2.��
!�'�-�� ��� W�8 ��F* �/7�� �.�� �'�E "� ��%�2�.�� X)8 &*�� ��M)� H��D ��I� Y������!�,$��;<�� ��M�� �,�28 C@ ;F� ��>��G� �,Z<�P ,�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� �2E ����� :K���A� [
!�,Z,� �U�E ��\ ,�3��.,)� T�� D : ]Y^�2)�� _:`,UM��� �2E �)a�D b
!Low Water Mean �c>�F.�� �,.�� F�2�� (.=]3 ,",B� H2�=� T2@ �,.�� 4>8�� &�B�� "� �F%,B� N��2� C@ d,�23 #7=3 D!N�2� #' C@ �/7�� �.�� �� � e�.F8 C��� ������ H�� ���@ � %�� !",B�2� C@ �)7=.�� ?�2)B.�� ��@�.�� �G �7�� "f,U ]3
CZg�� N�2.�� ��������� ���� �� �����
��� �:���� ��−��� ��:!"�� ���
��# !:���� ��−��# ��:$��� ���
� A� N�2.�� ��������� �����
��# ��:���� ����� !:�$�� ���
��� ��:!!�� ����# �:���� ���
"* V-�� !� h��� D hG�� �.��� �2<3 ��F* �/0 �� �U'D D �iD j�-3 ,�.��� k.5�� N��2.� �/7�� �.�� �lm�3 n!",B� 1�.� �;o ��� ��2�� ��G�� �/7�� �.�� ?G2-8 "f,U ]3 d,Z,� h�,g.8 &��� ,�/7�� �.�� �2� �.��� N�2� F���8
?�/7�� �.�� �'�E "� ���2�.�� ��M�� ?Ul Y�* �,=>8 "<.3 W,' q0!�/7�� %�.�� �'�E "� ��>���� � �� ���P "<.3 V,E �,O�A� ��<�� ()* `IF.�� sB� �0 D �
"<.3 SZD ���B8 #� !��M�� ��� n2,* 3�/� S,@ ",U8 � h�,i hG�� Q�']� ,;� �.� C��� j-�A� ()* � h/<8�� :�3����� t?#U��=.�� C@ �,$��;<�� ��M)� %C).* ��I� #,<58
IóMƒdG ¢ShQO
Cl��E�� H2�=.�� C@ ��E2�� ��$��J�3�$����L �,g)g.�� �� ��� J6L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��J[L �,g)g.�� �� ��� ",� ?��B��
6−u[−u_−u
IóMƒdGáæeÉãdG
��
IóMƒdGáæeÉãdG
(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG
• !�,g)g.�� Q=F�� Y������ �,>,' �.)B8• !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �,>,' �.)B8
?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe
• !��E2�� ��$�� K�B�8 K2�• C@ ;����=�� ��E2�� ��$�� ()* �M�F�� ?,l��EP �028 K2�
!�,g)g.�� �� ��� &,� �73P• ?G�B.�� #-� ��E �3 �/� �,g)g.�� �� ��� ",� ���B�� �028 K2�
!�,g)g.��• !�,g)g� �� � ()* 12�-8 �3�U0 ?��U* F,=U�� Y2�8 K2�• :",� ���B�� �028 K2�
!θ �3 �^ 1A θ[�0 ,θ[0 −!θ �3 �^ 1A θ[� θ[x −
!θ�3 �^ 1A θ[�� θ[�x −• ?��M�� �-i "��U8 �,g)g� y�� � ".c�8 ?��U* F=U8 K2�
!�,g)g�
á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG
?��oP − �,g)g.�� �� ��� ?��oP − �,g)g� �� � − ��E2�� ��$�� N���� − V�g�� N���� − CZg�� N���� − � A� N���� − �,g)g� ���� n2)��
!?��M�� − �F��� �3 �^ − N�����
Q,7�� ���� ()* JsinL Q,0 &�� `)I]D #IE z2O Y�* �7,�Z Jsin functionL �,.=%��� ��� ?90 !(M�2�� � ���� C@ C� JSanskritL �,�3�<=F� �.)' "� ������� �� !�82�� CFB8 JJivaL {|,0} JAraybhetaL {��3�D} N� �F;�� C@ hG D "<� �8 WIZ CFB8 �Z' !Y t6~ �F� �,��B�� �)�� (�P �)�Z ,��I��� &8 �;�5� C� JjibaL {U,0} &�� �-8 DL ��I�� CFB8 JjaibL {Q,0} �.)<� �.)<@ �O-�� ��2�� C@ �D !JW327��� �.)<� �@���� C� �,��B�� �)�� C@ Q,0
!JsinL 1�<>�� �8F�� #�Z �F* �2.0��.�� �0 JsinusL Q,0 �.)' %�D �,F,8��� (�P C��B�� �.)' "� JW327��� DL ��I�� hc3D CFB8 ,Q,0 JsinL �.)' ()* F)IE JsinusL (�P �2B8 C;@ JtangentL #x �.)' %�D Y* JThomas FinckL {XF,@ ��28}:&���� (�P �wF�� ;.;@ "<.3 C��� ,6tu_
n �
Y q0q�
C@ ��$��)� ��.� C� q0� �.,��=.�� �BM��� �2<,@ 6 = q0 Y = n Y ��mF� !q0 �M�F�� �@�* .' , q0� = q0�
6 = q0�q0 Y = q�x
{umbra versa} ��UB� h.3�� tangent ��E2�� ��$�� Y���=8 !���.�� #w�� CFB8
!�,g)g.�� �� ��� `)B�8 "3�.8 #E C@
∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG
��
1-8(ájôFGódG) á«ã∏ãªdG ∫GhódGh »KGóME’G iƒà°ùªdG »a IóMƒdG IôFGO
The Unit Circle in the Coordinate Plane and Trigonometric Functions (Circular Functions)
º∏©àJ ±ƒ°S
• ��E2�� ��$��• �,g)g.�� �M�F��• J�3�$����L �,g)g.�� �� ���• �,g)g.�� �� ��� ?��oP• �F��� �3 �^
CZ B8 #.* %&'� (M*� +,-./� 01�� 234�5 � +.M� 67� 8�I ; 2.<�; ����� �=.��� >3�?�� @A� BC (D=�/ (E��F ����� (G*H/ >3�?�� �BI�34J� K�?L��� BC ME3/N?��� ME��O�G�
�º�� D��� (P=�/ B����0�Q ,�15 �> (M*H�� BC 08�'� @S.�� BC5 2.<�3�� B<DH�� @GT�� @M*E
0(P�4 (�U >�3�?�� V�3S5 ?�> X�I�34Y ;ZEJ D/�3�?�� [H\�E B?�� #.M�� / 6��Q ,�1 ��� 3=��� #.M�� ]+ K34Y >3�?�� [
�(E.^_ ��L- %\` aG_ ��*�� ]+ b?-� �º�� = ,º�� ?= :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� _
�0$5 8�cL�� BC d�3=� �S ��*�� ]+ V�� (M*H�� X�I�34Y / �º�! D��� (E��F e/3�?L/ f_� X��M��� �.- D b
?$> 23E3Z�� D?��� B?�� 2.<�3�� aG_ > (M*H�� X�I�34Y M�S (�fN�� / �eH���� @A n
?> BC B<DH�� DNGA .�E B?��� B��*�� @A��� BC (E��,�� b�=� >�� b�= ����
;
��E 6
6 Y
°_~ = α
6
66−
6−
�
J6� ,
6�L
��E2�� ��$��
��E 6
6
66−
6−
Unit Circle IóMƒdG IôFGO
!��E �E� ��M� WIZ �2I , #iA� �M�Z �/'�� ��$�� C�The Triangular Point á«ã∏ãªdG á£≤ædG
�M�Z�,g)g�
Y C@ �;02� �3 �/� C$;F�� N)c�� NI�8 �M�Z C�
!��E2�� ��$�� N� C�,��� NO2��
� = $Q + $1 V- �iY F*C� �iY (�kGk/ (M*� 0Q ,15 (M*H�� V�\� :�wE��
:Ió«Øe áeƒ∏©e
K�-�� Y���=3 � ��* J�,l �>)3L θ CZZ2,��!�3 �^ �,� "* �,UB�)� �B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F 1�� a�Y ,/.H� θ ,/.�� >3�?L� l��
θ É¡°SÉ«b »à qdG ájhGõ∏d á«ã∏ãªdG Ö°ùædG�0�Q ,�15 > (M*H�� BC 234��� 2.<�; B<DH�� DNGA @M*E ,θ D��� B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��F mV� .�S
��
������ �� � ����� ����� �� ��� ���� ��
� θ
��
��
��� ,����
�
��−
�−
�� ��� �����!"� = θ #$ %& :��� '� (#)��* +, -�.!
/ = = �!"� 0"I ∵
�� = θ� � � /2 = /2/ = �� ��� ����
�!"� = θ #$ ∴
�� = θ� � � /3 = /3/ = �� ��� ����
�!"� = θ $ (45:�6 θ ����� �7����� 8'9� %"�! � # ��
�� = θ� �� = θ�� ≠ �� , ��
�� = θ� � ≠ �� , ���� = θ�
� ≠ �� , ��� = θ� � ≠ �� , �
�� = θ�
:á«°VÉjQ IóYÉ°ùe°;<
°><
22?
2 >F
��� ����º�� � ,º�� � ��� ������ ����� ���!"#
:$%���&"'(�� )*��� &+ º�� -"'� &�� .-��/�� .0��1�� 2"�3� ,������ ����� 2"�3
��I ���� � = � � ��5'+�67 � 85'�� &9';�� <�%/�� >?@ � A��/@ � 8� F(;3
�67 .0��1�� 2�� � 67 ��ºC� = �� � 67�
$#(/�� )?D�� ��I &9';�� &9'EF��� G?�/�� &+ �H� �I = 67� ∴
��J��� ��I �I = ºC� .0��1?�
K<�L�'+ .0�M3 8� CFI = 67 � ∴� 67 �
�
�−
�
�−
�
º��
CFI , �I :/7 � .M(9�� 'E���O
� CFI = º�� � , �I = º�� � ∴$%J � ���
�ºPQ � ,ºPQ � ��� 2E �ºPQ -"'� &"'(�� )*��� &+ .-��� .0��R 2"<� ,������ ����� >?@ ����H� )#��� &+ &�-9�� -S?* )(0 T &"'(�� )*��� &+ .-��� θ .0��R �H θ� ,θ� �U0V .0��1�� 2�� G?�� ���!"� 85/0
:Ió«Øe áeƒ∏©e
α � θ .0��1�� ��(3 ��9@ &�� .0��1�� �W(3 ��� �
��� � α � θ -"'�
"�
C-,O28 �g�~�t
~�t − ~�t
6
6
6−
6−Y°6[~−= θ
Jº6[~−L�0 = CF,=�� Cl��E��Jº6[~−L0 = 1�I�� Cl��E��
~�t −
!Jº6[~−L0 ,Jº6[~−L�0 �0 D ��E2�� ��$�� Y������:#-��
6 �2M�����$�� C$;F�� ;B)O NM�3 º6[~− ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �^ &���
!Y �M�F�� C@ ��E2��[ �2M���
�ED NO &l �3 �/)� C$;F�� N)c�� ()* �82�� `UMF3 V,-� �3 �/�� &$� hg)g� &���
~�t~�t − ~�t
6
6
6−
6−Y°6[~−= θ
CF,�� CF,l�l V)g.��
°�~~�t −
J?��I�� �2-.� h3^�2� ���� N)c�� �2<3 V,-�L ?F,=�� �2-� ()* S,B)O!Y V)g.�� "<,�
_ �2M���?��.� º�~ = J YL �D �EG
!V)g.�� C@ N)O #' �2I �0 D��$���� �M� WIZ �2I 1 =3 �82�� �2I 6 = Y �82�� �2I
�82�� �2I WIZ 1 =3 º_~ �3 �/)� #��.�� N)c�� �2I 6[ = �iA� N)c�� �2Ij�2vg,@ �3�wZ Y������ _F[ = Y �U'A� N)c�� �2I
!�U�� ",,l��E�� �<@ ,V�g�� N���� C@ N�8 �M�F�� �D .�!_F
[ − = Jº6[~−L0 , 6[ − = Jº6[~−L�0 ∴ ?F,=�� �2-� ()* �iA� N)c�� `UMF3#-8 �D � E
! π_b 0 , π_b �0 �0 D ,C-,O2��� �g.�� ��3�I h����=� [Q3��8
:",3�5* ",.�� n��A �8F�� h���� C���� � �7�� #.'D �U�E ��\ Y�����θ �3 �/�� �,�
�U=F��º[~ºb~ºu~º6_~º6�~º[[~º[t~º_6~
JsinθL θ0JcosθL θ�0JtanθL θx
"�
Circular Functions (Trigonometric Functions) (á«ã∏ãªdG) ájôFGódG ∫GhódG Z�p�5 b=���� Z�p� BC (E��,�� ]D� B<DH�� @GT�� q.O�� ,θ D��� (E��,� (�kGk��� (M*H�� B+ 0Q ,15> ��- �iY +]rs� (��� %\� :V�\E� Q ,1 M/ %- DN/ .�t?� B�?�S� 234��� 2.<�; aG_ .�t?� > VuC ,0(_L�� ��*_ V���3� v-N���
�w� ,�−x a�Y V��?H� Q ,1 o�4 Q ,1 ME.�t?��� M/ %\� 234�� (��� ,0π$ ,�x ∈ θ o�4 θ
:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e
2� Q02.�� �78G� − k'B.�� �78G� n��* ��� ��
!�*=���,g)g.�� �M�F�� −
"<.3 J� ,�L;F* �,UB���
!Jθ0 ,θ�0L q�
:(��?�� 0(E.<�3�� 8��3�� ��5 (�kGk��� 8��3�� 6E.N� @�M?L� ,>3*� �/:∞jô©J
:��@ π[ > θ ≥ ~ V,E θ ;�,� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��PJ�,g)g.�� �M�F)� 1�I�� Cl��E��L � = θ0 V,E θ0 = JθL� :Q,7�� ���� J6LJ�,g)g.�� �M�F)� CF,=�� Cl��E��L � = θ�0 V,E θ�0 = JθL� :Y.��� Q,0 ���� J[L
~ ≠ � , �� = θx V,E θx = JθL� :#w�� ���� J_L~ ≠ � , 6� = θ� V,E θ� = JθL� :NI��� ���� JbL~ ≠ � , 6� = θ�� V,E θ�� = JθL� :Y.��� NI� ���� JtL~ ≠ � , �� = θ�x V,E θ�x = JθL� :Y.��� #x ���� J�L
~�t
~�t~�t−
~�t−
J6− ,~L
J6 ,~L
J~ ,6−L J~ ,6L
0�F$ , 6$5
06[ , _F[ 50$F$ , $F$ 5
º��º�!
º��
�(&��� θ ��� yNP� (�kGk��� 8��3�� ��� ;ZEY (��DLS M\�E �,�
θ �3 �/��������
º���
º��π�
º�!π�
º��π�
º"�π$
º���π
º$��π�$
º���π$
θ0��$$F$�F$���−�θ�0��F$$F$
�$��−��θx��F���Fl m.N/ .�z�l m.N/ .�z�
"$
:BGE / (n4f/ M\�E :%\^�� M/� < θ?= ,� < θ= :VuC 8�'� @S.�� BC θ ��- �iY� > θ?= ,� < θ= :VuC B�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?=
� < θ=
� > θ?=� > θ=
� < θ?=� > θ=
� > θ?=� < θ=
8�'� @S.��
@S�.�� @S.��o�k�� @S.��
B�k�� @S.��
� > θ?= ,� > θ= :VuC o�k�� @S.�� BC θ ��- �iY� < θ?= ,� > θ= :VuC @S�.�� @S.�� BC θ ��- �iY
J[L �g�:C)3 .� #' C@ θ�0 ,θ0 ��oP � %�E
º_~t = θ q0 π�� = θ n º6_t = θ D
:#-��!CZg�� N���� C@ N�8 θ �D 1D º6u~ > θ > º�~ ∴ , º6_t = θ D
~ > θ �0 ,~ < θ 0 ∴
!V�g�� N���� C@ N�8 θ �D 1D π_[ > θ > π ∴ , π�
� = θ n~ > θ�0 , ~ > θ0 ∴
!N����� N���� C@ N�8 θ �D 1D º_�~ > θ > º[�~ ∴ , º_~t = θ q0~ < θ�0 , ~ > θ0 ∴
#-8 �D � E?θ�0 ��oP C� � !º[�~ > θ > º�~ �Z' ��P D _
?θ0 ��oP C� � !π > θ > �~ �Z' ��P n
Reference Angle OÉæ°SE’G ájhGR
�@S�.�� @S.�� �� o�k�� @S.�� �� B�k�� @S.�� BC ;�=�/ B<DH�� DNGA θ (E��,� (�kGk��� bLH�� ��� (C.N/ a�Y e��4� {?O�áeƒ∏©e
!>�D D�� ]3 α /����
�θ (E��,G� B<DH�� @GT��� XH�L�� ��O�S 2;3O/ ,α 2;4 (E��F a�Y (E��,�� ]+ ;H�Y M\�E
�>
:OÉæ°SE’G ájhGR ∞jô©J
�) 7� �@� �� �#� AB$� ,D�E �F$"�� ����� * 9)G� ����H�I 97'� �"J, �, �F$"�� ����� �� F9� ���� F.9K� �#� α ��%�� ����� �6
º�< > α > º< :%L� * 9)G� ����H α % 5 �ML�:* 9)G� ����H * ��G �N�#O�� IP J� Q@"! �7 #� 0 �RS�
θ
�−
�X
6�
�− �
�
α
θ
�
�−
�− �
�
α6�
X
6�
� Xθ
�−
�− �
�
α
�T �� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − º�Y� = ºα
�θ − π = �α
� �� ���� �� ��! θ ,U9Vº�Y� − ºθ = ºα
π − �θ = �α
����� ���� �� ��! θ ,U9Vºθ − ºC�� = ºα
�θ − πI = �α
�C� ���:&?0 /� $5� -"'� ��� � �9"V� .0��R 8Z'@ 2E ,&"'� )*� &+ .-��/�� 0��1�� 8� [F\ 2"<�
π��� 6� ºI�Q X º�IQ :$%��
&3��� )#��� &+ )(J º�IQ = θ ºθ − º�Y� = ºα �9"V� .0��R �'� ∴
º�IQ − º�Y� = ºQQ = ��−
�
�−
º�IQºQQ
ôcòJ
85/0 6� � X .-��/�� .0��1�� �6�� ,X�� 1���# -� 1��3 � 6�� ,&���#T� )?D�� X� G'�
�&�-9�� )?D��
"�
V�g�� N���� C@ N�8 º[6t = θ nº6u~ − θ = α �F��� �3 �^ �,� ∴
º6u~ − º[6t = º_t =
N����� N���� C@ N�8 π66� = θ q0
θ − π[ = α �F��� �3 �^ �,� ∴π66
� − π[ = π� =
#-8 �D � Eα
θ
6−
6− º�~ !θ �0 D !ºθ �3 �/)� ºα �F��� �3 �^ ,#��.�� #<5�� "%,U3 b
66−
6
6−
º[6tº_t
66−
6
6−
π66�π�
"!
(1) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG
Relations Between Trigonometric Functions (1)2-8
º∏©àJ ±ƒ°S
• �� ��� ",� ?��B�� θ �3� /)� �,g)g.�� ,θ − π ,θ− :3� /��
, θ − π[ , θ + ππ �[ + θ , θ + π[
• �,g)g� ?G�B� #E • �3�U0 ?��,UB8 F,=U8
�,g)g� �� � ()* 12�-8
CZ B8 #.*6
6
6−
6−
θ (P=�/ (D=�/ (E��F Mm�_ ,234��� 2.<�; aG_ D 6�8�'� @S.�� BC B<DH�� DNGA B��*�� @A��� BC
�θ 3=�� n :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0
�0θ−5?= ,0θ−5= ,θ?= ,θ = 1 (P=�/ (D=�/ (E��F @/ 6 BC X��M��� �.- [
�B�k�� @S.�� BC B<DH�� DNGA BN�Z�� 1�\N��� �DH/ %- M�?E��,� (�kGk��� 8��3�� ��� M�S (�fN�� 8�4 eH���� @A _
�K.r~��,��A� �,g)g.�� Q=F�� a_3�� θ D��� B?�� (E��,G� (�kGk��� bLH�� θ� ,θ?= ,θ= a�L�
� ≥ θ?= ≥ �−� ≥ θ= ≥ �−
∈ θ�
VsS e�G_
!θ− ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��J�− ,�LlY J� ,�LY o�4 XH�L�� ��O/ BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ lY (�kGk��� (M*H��
θ?= = 0θ−5?= V�\E�θ=− = 0θ−5=
:¿ƒfÉb
θ�0 = Jθ−L�0θ0− = Jθ−L0
!K %�B� θx �2<3 �D U�5� θx− = Jθ−Lx C����
ôcòJ C@ �<BZ� CFB8
!?F,=�� �2-�
θ
θ−
Jθ0 ,θ�0LY
JJθ−L0 ,Jθ−L�0LlY
"�
J6L �g�! c π_
u −m �0 �0 m@ , [F − [F[ = π_u �0 �' ��P D!Jº_�−L0 �0 m@ ,~�tu�u º_� 0 �' ��P n
!Jºbt−Lx �0 m@ ,6 = ºbt x �' ��P q0:#-��
! [F − [F[ = π_u �0 = c π_
u −m�0 D!~�tu�u − º_� 0− = Jº_�−L0 n
!6− = ºbt x− = Jºbt−Lx q0
#-8 �D � E:�' ��P #.'D 6
!!! = JY −L0 ��@ ~�_ = Y 0 D !!! = J� −L�0 ��@ ~�_u = � �0 n
!!! = J� −Lx ��@ _�6b = � x q0 !!! = � �0 ��@ 6b = J� −L�0 �
!Jθ − πL , θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��BC > (�kGk��� (M*HG� 1\N�� B+ l> (�kGk��� (M*H��
�X�;7�� ��O/J� ,�−LlY J� ,�LY o�4
θ?=− = 0θ − π5?= :V�\�Cθ= = 0θ − π5=
:¿ƒfÉb
θ�0− = Jθ − πL�0θ0 = Jθ − πL0
! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx− = Jθ − πLx C����
YlYJJθ − πL0 ,Jθ − πL�0L Jθ0 ,θ�0LY
θθ − π
ôcòJ
C@ �<BZ� CFB8 !?��I�� �2-�
"�
J[L �g��U�-�� ���� Y������ � ��
:�' ��P:Ió«Øe áeƒ∏©e
�3 �^ C� α �3 �/�� �Z' ��P:��@ θ �3 �/)� �F���
|θ0| = α0|θ�0| = α�0
|θx| = αx �F�P �3 �^ °�~ �3 �/�� : h�g.@
!°6[~ �3 �/)�|°6[~ �0| = °�~�0
!º6[~ �0 �0 D , 6[ = º�~ �0 D! π_b 0 �0 D , [F[ = πb 0 n!Jθ − πLx �0 D , _t = θx q0
:#-��! 6[ − = º�~ �0 − = Jº�~ − º6u~L�0 = º6[~ �0 D
![F[ = πb 0 = c πb − πm0 = π _b 0 n
! _t − = θx − = Jθ − πLx q0#-8 �D � E
:�' ��P !�U�-�� ���� Y������ � �� [!º6t~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~0 D
!J� − πL�0 �0 m@ , bt = ��0 n �π66
6[ x �0 m@ ,_F − [ = π6[ x q0
!Jθ + πL ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��
JJθ + πL0 ,Jθ + πL�0L lY
Jθ0 ,θ�0LY
θ + π θ �%&'� (M*� BC > (M*HG� 1\N�� B+ l> (M*H��
J�− ,�−LlY C@ �<BZ�#iA� �M�Z J� ,�LY o�4θ?=− = 0θ + π5?= :V�\�Cθ=− = 0θ + π5=
:¿ƒfÉb
θ�0− = Jθ + πL�0θ0− = Jθ + πL0
! h@ %�B� θx �2<3 �D U�o θx = Jθ + πLx C����
"�
J_L �g�:�' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��
!π�u x �0 m@ , [F + 6− = πu x n !º[6~ 0 �0 m@ , 6[ = º_~ 0 D
:#-��!6[ − = º_~ 0− = Jº_~ + º6u~L0 = º[6~ 0 D
.[F + 6− = πu x = cπu + πmx = π�u x n
#-8 �D � E!º[[~ �0 �0 m@ !~���� ºb~ �0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� _
:�i����
θ−θ
Jθ0 ,θ�0LY�>
$>
�>
> 00θ − π5= ,0θ − π5?=5�>
Jθ0 ,θ�0−L�>
00θ + π5= ,0θ + π5?=5$>
Jθ0− ,θ�0−L$>
00θ−5= ,0θ−5?=5�>
Jθ0− ,θ�0L�>
θ − π
θ + π
JbL �g�:�0 D ,�U�-�� ���� Y������ � ��
!π[_ x q0 !º[b~ �0 n !º6t~ 0 D:#-��
!6[ = º_~ 0 = Jº_~ − º6u~L0 = º6t~ 0 D!6[ − = º�~ �0− = Jº�~ + º6u~L�0 = º[b~ �0 n
._F − = π_ x − = cπ_ − πmx = π[_ x q0
#-8 �D � E!º[_� 0 �0 D �U�-�� ���� Y������ � �� !~�u[� ºt� 0 �' ��P b
""
�6�
[�
6�
[�
θ
lY
Yθ− π [
cθ − π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��?�i�� l> $Q� Δ > �1�Δ
:XPIJ 2.�H?��� �fA'� �SM� >3�?��θ= = cθ − π
$ m?=θ?= = cθ − π
$ m=�K.r'� >�� b�= ��LE �+�34Y b�= VuC ,M�?/??/ M�?E��F �' :e�F���
:¿ƒfÉb
θ�0 = cθ − π[m0θ0 = cθ − π[m�0
! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x = cθ − π[mx
cθ + π[m ,θ ",�3 �/)� �,g)g.�� Q=F��
θ
lYY
[�
6�
6� [
�θ + π[
?�i�� �V*SM?/ l> $Q � > �1� VkGk���?l> ,> M/ �%- X�I�34Y B+ /
?cθ + π$m= ,cθ + π$m?= M/ �%- 2�`Y /�θ?= = cθ + π$m= ,θ=− = cθ + π$m?= :�PI�
:¿ƒfÉb
θ�0 = cθ + π[m0θ0− = cθ + π[m�0
! h@ %�B� θ�x �2<3 �D U�o θ�x− = cθ + π[mx
���
Trigonometric Functions on ℝ ()* J�3�$����L �,g)g.�� �� ���:%k/ 2.?��� ]+ M/ (�<,= (_��Z/ aG_ �� 0π$ ,�x 2.?��� aG_ 0(�kGk���5 (E.<�3�� 8��3�� ��� V�� a?4 HE��
6E.N?�� 8Z/ aG_ 234�� 2��; %�\E B��*�� DNA� BC (D=���� (E��,G� B<DH�� @GT�� V� 1�� aG_ ��� ,cπ ,π$m �� cπ$ ,�@�0π$ ,�x Z θ /3H_ ��
?2��; M/ .k-� V���3�S θ (E��,G� B<DH�� @GTG� HO�� �iY �3OE �i/ M\��
�f- (D=�/ E��F D*C�.� l�� 0Q ,15 (�kGk��� D?M*� o�4 B��� @A� BC (D=�/ (E��F 1�� θ ��- �iY d�� H� M�P?E 0Q ,15 (�kGk��� (M*H�� D�� }�O& ;3_ q o�4 0π q$ + θ5 D����� eTE� B��� @A� BC DH/
�(�C\?/ E��F� ��� D�G_ �GM��!C��A� �,��� (.=3 �a@<�.�� 3� /)� Q�� �,v �,� �iD
º��� × $ − º�� ,º��� − º�� ,º��� × � + º�� ,º��� × $ + º�� ,º��� × � + º�� , º�� : efk�C
º�"�− º���− ,º���� ,º�!� ,º�"� ,º�� �º�� B��'� D��� B?�� (E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+
Y6
6
6−
6−
lY
θθ +π[
(E��,�� @/ (�C\?/ E��,� X��� B+ , π��−� , π!−� , π��� , π�� , π� :V� �-�π� B��'� D��� B?��
:BGE / {?H?�� M\�E �]\+�
:��@ h-,-i � h��* � �' ��Pθ0 = Jπ �[ + θL0
θ�0 = Jπ �[ + θL�0K %�B� θx V,E θx = Jπ � + θLx
���
:θ D��� (E��F �' eTE� (O�O& B+ (*SL�� M����*�� V� �;� Vf\^�� M�PE
Y
Q�=�� �78G� ��� �
Y
Q02.�� �78G� ��� �J6L Q3��8
:D��� B?�� (E��,�� d�C @*� �]�� @S.�� ;34� ����π��
� n º��! D
º�"�− � π��−� q0
J[L Q3��8:%�-� ,(P�O�� (��� >�3�?�� V�3S
���������������������� = ���������������� = 0º��� + º��5= = º�"�=������������������������ = ���������������� = ���������������� = º��!?=���������������� = ���������������� = 0����������������5� = _π��−� i�
��$
:V�\�C �+ 8Z��� �P?_S (E.<�3�� 8��3�� 6E.N� 2;_Y HH\�E �SL�� .N�� M/:∞jô©J
:��@ θ ;�,� C�,��� NO2�� C@ �;02� �3 �/� �,g)g.�� �M�F�� C� J� ,�L �Z' ��P ∈ θ ∀ � = θ0 6 ∈ θ ∀ � = θ�0 [
∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θx _ ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ� b ∈ θ V,E ~ ≠ � , 6� = θ�� t ∈ θ V,E ~ ≠ � , �� = θ�x �
JtL �g�:��2i F=�A ���� �UB��� F=�
!J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0:#-��
J� − º�~L0 + J� + º6u~L0 + J� + º�~L0 + � 0� �0 + � 0 − � �0 + � 0 =
� �0[ = #-8 �D � E
:��2i F=�A �,���� ?��,UB��� "� d�' F %=� tJπ� + θL�0 Dcθ − π[ −m�0 n
���
Solving Trigonometric Equations á«ã∏ãe ä’OÉ©e πM
�@S�.�� @S.�� BC @*� θ− (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ−5?= = θ?= V� 1�3�� �]+ BC ��GN�
�M�mGO�� ;�?_� [�G_ ?θ− �� θ ��L� (E��,�� ��- VY >,Z�� [H\�E %DC ,E��,�� K34J >�?�� b�= �C._ �iY M\��
θ�0 = � �0 :���B.�� #EJ ∈ �L π �[ + θ− = � D π �[ + θ = � 2� !N����� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Y.8 Q,0 �D �EG
J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E
~ = _F − � �0[ n 6[ = � �0 D:#-��
6[ = � �0 DJQ�� �,v �,� �iD ()* ��* �.�BZL π_ �0 = � �0
~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴
�$ ��−
�−
�
�
J ∈ �L π �[ + π_ − = � D π �[ + π_ = � ∴ ~ = _F − � �0[ n
_F[ = � �0 π� �0 = � �0
~ < � �0 N����� N���� C@ D � A� N���� C@ N�8 � ∴
J ∈ �L π �[ + π� − = � D π �[ + π� = � ∴ #-8 �D � E
!6 = � �0 [F : ���B.�� #E �
���
�B�k�� @S.�� BC @*� 0θ − π5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�0θ − π5= = θ= V� eTE� ��GN�
0 ∈ q5 π q$ + 0θ − π5 = 1 �� π q$ + θ = 1 : mVuC θ= = 1 = ��- �iY ,B�?�S�θ0 = � 0 ���B.�� #E
J ∈ �L , π �[ + Jθ − πL = � D π �[ + θ = � 2� !CZg�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� Q,0 �D �EG
J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E
� �
�
�−
�−
º�~º6[~
[F = � 0[ n _F[ = � 0 D:#-��
_F[ = � 0 Dπ_ 0 = � 0
~ < �0 !CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴
J ∈ �L π �[ + mπ_ − πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + π[_ = �
[F = � 0[ n[F[ = � 0
��−
�−
�
�
πb πb 0 = � 0 ∴ ~ < � 0
!CZg�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴
J ∈ �L π �[ + mπb − πm = � D π �[ + πb = � ∴ π �[ + π_b = �
#-8 �D � E!~ = 6 − � 0[ :���B.�� #E �
��!
�o�k�� @S.�� BC @*� 0π + θ5 (E��,�� VuC 8�'� @S.�� BC @*� θ (E��,�� ��- �iY�dL�� %n�� �D� π + θ ,θ V?E��,��
0π + θ5� = θ�J ∈ �L ,π � + θ = � 2� θx = � x ���B.�� #E
!V�g�� D � A� N���� C@ �3 �/�� N�8 ��F* hU02� �2<3 �3 �/�� #x �D �EG
JuL �g�! = � x :���B.�� #E
:#-�� = � x
π_π + π_ ~ < � x V,E π_ x = � x
!V�g�� N���� D � A� N���� C@ N�8 � ∴
J ∈ �L π �[ + mπ_ + πm = � D π �[ + π_ = � π �[ + πb_ = �
#-8 �D � E!6 = � x :���B.�� #E u
J�L �g�:",���B.�� "� d�' #E
cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D
cπb + �m0 = �[ 0 n
:#-��cπ_ − �m�0 = cπ� + �_m�0 D
J ∈ �L π �[ + cπ_ − �m − = π� + �_ D π �[ + π_ − � = π� + �_ π �[ + π� − π_ = �b D π �[ + π� − π_ − = �[
���
π �[ + π� = �b D π �[ + π[ − = �[ π � 6[ + π[b = � D π � + πb − = �
cπb + �m0 = �[ 0 nJ ∈ �L π �[ + cπb + �m − π = �[ D π �[ + πb + � = �[
π �[ + πb − π = � + �[ D π �[ + πb = � − �[ π �[ + π_b = �_ D π �[ + πb = � π � [_ + πb = � D π �[ + πb = �
#-8 �D � E:",���B.�� "� d�' #E �
� 0 = cπt + �$m0 n cπ_ + �m�0 = cπb − ��m�0 D
���
3-8(2) á«ã∏ãªdG ∫GhódG ø«H äÉbÓ©dG
Relations Between Trigonometric Functions (2)
º∏©àJ ±ƒ°S
• j�2vg,@ ?��M��• �,g)g� ?��*• ".c�8 ?��U* F,=U8
�,g)g� y�� �• sB� �-i �F���
�,g)g.�� ?��M�.��
CZ B8 #.*� (E��,�� �<� |= � ekGk/ ���� D 6
q0
n �(G*H/ e/3�?L/ 0|=5 ,0�5 3=�� n �� $?= + � $= ,� ?= ,� = :;ZEJ (P�4 (�U >3�?�� q0
�|= $?= + |= $= ,|= ?= ,|= = �' (E��,�� �<� '|= '� ' .rU oGk/ @/ |= ,� ,� X��M��� �.- [
�d�G_ �G74 / Mm�PE eH���� @A _�(�NS� �L�� (E��F θ ,dmG- 1�3�� �]+ BC
�(���'� (�kGk��� X*SM?��� XPIJ , (E��,�� �<� |= � oGk��� >�3�?�� M\�EQ3��8:%�-�
q0
nθ
���.���� = θ?= , ���
.���� = θ=
������ =
���.�������
.���� = θ=
��� = θ�
Basic Trigonometric Identities á«°SÉ°SC’G á«ã∏ãªdG äÉ≤HÉ£àªdG
٠ ≠ >*��� o�4 �θ� = θ?� , θ?=
θ= = θ?� , θ=θ?= = θ�q0
nh �θ= = θ?� , �
θ?= = θ�Pythagorian Identities çQƒZÉã«a äÉ≤HÉ£àe
: (E��,�� �<� |= � %S*��� %\^�� BCq0
nh θ
|=� = θ� , �|= � = θ?= , |=
|= � = θ=$0� )
$0|= �) + $0|= )$0|= �) = [
c�
|= �m + [c
|=|= �m = θ $?= + θ $=
J6L $0� ) + $0|= )$0|= �) =
BC (E��,�� �<� |= � ∵
���
j�2vg,@ �3�wZ $0|= �5 = $0� 5 + $0|= 5 ∴ ;3_ ��L� $0� 5 2.�t7�� XNS.���
@S.��� BC 2;�=���� [�]- � dNGA �]���|= � ,|= a�Y (PLH�S
|=
�
� = $0|= �5$0|= �5 = θ $?= + θ $= :aG_ %7O� 0�5 BC yE�N?�S�
j�2vg,@ ���M�� (.=8 6 = θ [�0 + θ [0
J6L �g�!π[ > θ > ~ , ~�b = θ�0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��
!θ0 �0 D D!θx ��F��� n
:#-��:j�2vg,@ ���M�� Y������ D
6 = θ [�0 + θ [0 6 = [J~�bL + θ [0
~�ub = [J~�bL − 6 = θ [0 !π[ > θ > ~ �A �2@�� ~��6� − θ0 D ~��6� θ0
![�[� ~��6�~�b θ0
θ�0 = θx n
#-8 �D � E!θx ,θ�0 �0 m@ π[ > θ > ~ , _t = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� 6
Relation Between tan θ, sec θ θÉb ,θÉX ø«H ábÓ©dG
:aG_ %7O� θ [?= aG_ ���zk�C (*SM?/ BC.I H�L� �iY� ≠ θ ?= o�4 6
θ [�0 = θ [0 θ [�0 + θ [�0
θ [�0θ [� = θ [x + 6
θ [� = θ [x + 6 ∴
��"
J[L �g�:á q«°VÉjQ áeƒ∏©e
~ < θ x �' ��P .;� θ�0 ,θ0 ∴
!;=>Z ��o��
,�U�-�� ���� Y������ � ��!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ�0 ,[F[ = θx �' ��P
:#-��:(� D ��3�I
[F[ = θx[F[ = θ0
θ�0J6L θ�0 [F[ = θ0 ∴
6 = θ [�0 + θ [0 ∴
j�2vg,@ ���M�� 6 = θ[�0 + [Jθ�0 [F[L ∴θ�0 [F[ q� θ0 "* � %2* 6 = θ [�0 + θ [�0u
6 = θ [�0� 6� = θ [�0 ∴
6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,�L 6_ = θ�0 ∴c6_ −m × [F[ = θ0 :()* #I-Z J6L "�
[F[−_ = θ0
:�,Zl ��3�Iθ [x + 6 = θ [�
[J[F[L + 6 = θ [�� = θ [�
_− = θ� D _ = θ� ∴_− = 6
θ�0 D _ = 6 θ�0 ∴
6_ − = θ�0 D J~ > θ�0 �A �O2@�� �.,� C� L 6_ = θ�0 ∴[F[−
_ = θ0 1D [F[ × 6−_ = θ0 SF� [F[ = θ0 θ�0 ∴
#-8 �D � E!θ�0 ,θ0 �0 m@ ~ > θ 0 , _b = θx �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � �� [
//<
�C� ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���#
�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , �IQ = θ� �\ �`O:$%��
θ� �<aO �0�%# �]3 :>�� .(0�I θ� θ� = θ�
� < θ� ,� < θ� �H � < θ� θ� = θ� ∴
θ I� = θ I� + � θ I� = I
c�IQ m + � ��cIQ = �PP + IQ
IQ = �PPIQ + � = θ I�
.*�+�� �CQ − = θ � �CQ = θ�Q�C = �
θ� = θ� θ� θ� = θ�
θ� × θ� = θ�Q�C = θ� ,�I�C = θ� c Q�C m × �IQ = θ�
���H� )#��� &+ )(J θ .0��1�� �H� �d�I = 6� ,dQ = X G'� .0��1�� 2�� 6� X Δ 2"�3 :.'3E .(0�IK<�L�'+ .0�M3 I�6� � + ?�X � = I�6� X�
?d��c = ?d�PP + ?dIQ = I�d�I� + ?�dQ� = I6� X d�C = 6� X
6�
X dQ
d�I
θ
, �I�C = d�Id�C = θ� Q�C = dQd�C = θ�
$%J � ���,.]"%�� .�^� ���!"� ���# C
�θ� ,θ� ���_+ � < θ� , IPe = θ� �\ �`O
���
Relation Between cot θ, csc θ θÉàb ,θÉàX ø«H ábÓ©dG
θ $?= θ $= + � = θ $?� + �
θ $?= θ $= + θ $=
θ $= = θ $?� + �
���5.�� Y�.�� θ $?= + θ $= θ $= = θ $?� + �
6 = θ [�0 + θ [0 θ $?� = � θ $= = θ $?� + �
θ[�� = θ [�x + 6 ∴
JbL �g�!θx ,θ�x �0 m@ ~ < θ�0 , _� = θ0 �' ��P ,�U�-�� ���� Y������ � ��
:#-��6
θ [0 = θ [�x + 6b�� = 6
�b�
= 6[c _
� m = θ [�x + 6
b~� = 6 − b�
� = θ [�xb~F
_ − = θ�x D b~F_ = θ�x
J�U02�L ;=>Z ��o�� .;� θ�0 ,θ0 ∴
b~F_ = θ�x C���� ~ < θ�x ∴
!~�b�b _b~F = 6
b~F_ = 6
θ �x = θx
!6 = θ [�0 + θ [0 :j�2vg,@ ���M�� Y������ b �g.�� #E "<.3 :�wE��!X�� � E !j�2vg,@ �3�wZ Y������ �3 �/�� &$� V)g� &�� D
#-8 �D � E,�U�-�� ���� Y������ � �� b
!θ0 �0 m@ ~ < θ�0 ,tu = θ�x �' ��P
��$
JtL �g�!�0 = �[�0 × �0 + �_0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD
:#-��J�[�0 + �[0L � 0 = �[�0 × �0 + �_0
6 = � [�0 + � [0 6 × � 0 = !�0 =
#-8 �D � E!�[�0 = �[�0 × �[0 + �b�0 :���M�.�� �-i �UlD t
J�L �g�٠ ≠ Y�.�� V,E !θ [� = J6 − θ�LJ6 + θ�L
θ [0 :�,���� ���M�.�� �-i �UlD:#-��
[n − [ = Jn − LJn + L 6 − θ [� θ [0 = J6 − θ�LJ6 + θ�L
θ [0 θ [� = θ [x + 6 θ [x
θ [0 = θ0θ�0 = θ x 6
θ [0 × θ [0θ [�0 =
6θ [�0 =
θ [� = #-8 �D � E
![ = Jθ [�x + θ [xL − Jθ [�� + θ [�L :���M�.�� �-i �UlD �
���
»FGôKEG J�L �g�~ ≠ θ0 �2<8 �D U�o !Jπ[ ,~L ∈ θ V,E ,θ�x = θ _�0
θ0 :���B.�� %#E:#-��
θ�x = θ _�0θ0
θ�0θ0 = θ _�0
θ0~ ≠ θ0 ∴
θ�0 = θ _�0 ∴~ = θ�0 − θ _�0
~ = J6 − θ [�0L θ�0j�2vg,@ ���M�� ~ = Jθ [0 −L θ�0
~ = θ[0 D ~ = θ�0�O2@�� ~ = θ0 D ~ = θ�0
!π_[ = θ D π[ = θ C� ~ = θ�0 `�-8 C��� Jπ[ ,~L ���>�� ()* θ &,�#-8 �D � E
Jπ[ ,~� ∈ � V,E ~ = � �0 − � �0 � 0[ :���B.�� %#E �
���
Y 6�[
�2���3�� VMG� b-� ,B+f��� (HE3/ BC�.rU eP-�� %*?� ������ (_L�� ��*_ V���; Z�� v\_ 2���3�� X��;
? �'� M_ VMG� ����� / :3�O/ 8�L�?�.-� �<@ W,'
�eMM�/ ���� l�� ,(E�3S
q0^ � ���
6�[
n
θ �2���3�� 6��� 3H_ VMG� @��/ (M*H�� %k��
0 �'� M_ ����p�5 .?/ ��$ = ; |=θ − π$ = V���3�� (E��F
; � = F �F (NM*�� 8�I ;ZEY mBG_� (E��,�� �<� � � oGk��� �(�kGk��� bLH�� M_ 234��� BC d?�GN� / >3�?�s�
��� = 0θ − π$5?=
�� = θ?= θ�0 × = n ∴ ; |= + |= � = ; � �(��*?L��� @M*�� Q��r >3�?�s�
�� − |=� = |= � M\�� ; |= + �� − |=� = ; �∴
� q0 + θ�0 × − = � n ��$ + 0θ?= − �5 = ; �
� �'� M_ VMG� ����� ;ZEJ V���3�� (E��F� 2���3�� .M� 67� 8�I (C.N/ mBG_ :�.-� e�F���`,UM8
DNH7E B?�� (E��,�� 1��� �?/� ! 2���3�� .M� 67� 8�I V- �iY �'� M_ VMG� ����� 3=�� ,f_� (�sL��� BC �º�� 2���3G� B��.�� ��O��� @/ VMG� 3N*/
�,@OP ��m=� ��� 3N*/ DNH7E B?�� (E��,�� 3=�� � �'� M_ .?/ ��! D�3_� @��.�� �?/� � +.M� 67� 8�I 2���; ��� b-�
�� e.?/ ���� ����� aG_ ��� V- �iY 2���3G� B��.�� ��O��� @/
πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG
��!
áæeÉãdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe
?��M��
?��U* F,=U8
?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�
J[L
?��B�� �,g)g.�� �� ��� ",�
J6L
n=EJ[L ?g)g.��
��$�� C@ ��E2��
Cl��E�� H2�=.�� �� ��,g)g�
?��oP�,g)g.�� �� ��� #E
�,g)g� ?G�B�
?��oP ���� n2)��
�,g)g�
F,=U8�3�U0 ?��,UB8
�3 �^�F���
���
¢üî∏e
��234��� 2.<�;� a�L� 234� 34�� +.M� 67� 8�I� %&'� (M*� +,-./ B?�� 2.<�3�� −��(�kGk��� (M*H��� a�L� 234��� 2.<�; @/ B��*�� @A��� BC (D=�/ (E��,� B<DH�� @GT�� @I*� (M*� −
(E��,G� B<DH�� @GT�� DNH7E B?�� α 2;O�� (E��,�� B+ B��� @A� BC B?�� 0|=� ,��5 (D=���� (E��,G� ;H�J� (E��F −�0º"� > α > º�5 �XH�L�� ��O/ @/ (D=����
� ≠ >*��� θ?=θ= = θ?� ; θ=
θ?= = θ� ; �θ= = θ?� ; �
θ?= = θ�
Q = θ= o�4 θ= = 0θ5; :b�Z�� (��; −1 = θ?= o�4 θ?= = 0θ5; :>�?�� b�= (��; −
� ≠ 1 ; Q1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :%n�� (��; −
� ≠ 1 ; �1 = θ� o�4 θ� = 0θ5; :@I*�� (��; −� ≠ Q ; �Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� @I� (��; −
� ≠ Q ; 1Q = θ?� o�4 θ?� = 0θ5; :>�?�� %� (��; −�(P=�/ (�kGk��� 8��3�� @��= 8�'� @S.�� BC −
�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ= B�k�� @S.�� BC −�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ?� ,θ� o�k�� @S.�� BC −
�(P�� 8��3�� (�*S� V?P=�/ θ� ,θ?= @S�.�� @S.�� BC −�DL�� (�G&'� (�kGk��� (��3�� 2�`Y B+ (�kGk/ (��; ��G*/ 2�`Y −
���
:(�kGk��� 8��3�� M�S (���'� X�fN�� −θ�− = 0θ−5� ;θ?= = 0θ−5?= ;θ=− = 0θ−5=
θ�− = 0θ − π5� ;θ?=− = 0θ − π5?= ;θ= = 0θ − π5= θ� = 0θ + π5� ; θ?=− = 0θ + π5?= ;θ=− = 0θ + π5=
θ= = cθ − π$m?= ;θ?= = cθ − π$m= θ=− = cθ + π$m?= ;θ?= = cθ + π$m=
}�O& ;3_ q o�4 θ?= = 0π q$ + θ5?= ;θ= = 0π q$ + θ5= ���zk�C (*SM?/ a�L� � = θ $?= + θ $=
� ≠ >*��� o�4 �θ $?= = θ $� + � = θ $�
� ≠ >*��� o�4 �θ $= = θ $?� + � = θ $?�
���
IóMƒdGá©°SÉàdGá q«∏«∏ëàdG á°Sóæ¡dG
Analytic GeometrymáØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe
�� ?������ � ���� �� ?������ ��� ������ �� ,�� � � �� � �!" ?�� �� � � �# :$%&'� ���(� ) �� �*�+-� .�� /���0� ��(�0� 123��� 4" ?���53 ��* %6 ������% ��* �7��(� �8� ��9 ?;�<�(��= >@� A�B�
C���9 ��D=E� ;@# %6 F��E� ���G� H@8� ��� 123��� 4�B���% ��(�0� U�MG� 4�=&� K�= ,$%&'� �@# .�� ���� FL5
C�5�� M��� H!�8� ;@# 4���G�0� K�=% �N����C����52� & &B� M� ����� ������ %6 ��� ����5� CO* P�� �� F%6 F�Q �� RGS �T3�U� :K��� V
C�B=�Q �W% � &���� �=� X��%6 :PY���� Z:[�BM�� F�Q ��D=6 \
1���0� 3�� 4�� C����% �9 F�5�� O�� �]�B� U�MG�* ��7��* _L�`� �=�� C������ ������� ���0� �� &+E� ��� �+%6 &0� ��9 a&S� ,1���= b c�� �76 d�&��� .�� C�=6&� ��U� .�� F�5�� ���% �(�E� ��U� .�� )e% e ��*
C�������� ��* F�5�� X&� �7��B� ��`�� ,����B=6 �B &< f�� )ee /&+6 �� �0U % 1� ��U� 4�&�6 �Q6 �� ��� g�( ���0� �� f�� \ee F�8� �76 d�&��� .��
:�B+% �T � _0�� Vhe ���� M���% $�B=E� �� P� 6 h FL5 ���= i ��� c89 �!"C� ����% �B &�� j�0�Q� ��* �Q�% $�B=6 �� �U*� ���� �]�B� �3��� k�9� 6
?1�3��� ��U� M� MI�(�� �` �!��% ?mi �����n ��� �] �!�� ��U� ;@# �� j ?� ����% �B &�� j�0�Q� ��* � _0�� ohe % � _��8 3 )\ ����� �U*� >%�0 �9 ��p� �� ���= �9 q+
�3��� k�9� C� ����% k��&� r�Q �� �����B�=% ������ ;@# 1��*�s " �� Ot=� CO����% F�Q �80� _L+� �%�Q 3 C� ���� j�0�Q� ��* ���B=E� O�53 ���� �]�B�
C��D=E� �� �*�+u ��8� v3���=2�% ��7��B� 1L�`�� �=� ����9% ����% �9 �53 �7��(� F�Q _L��� � _& &(� M< :& &(�� hIóMƒdG ¢ShQO
�T��Q-� w��0� ��M� ��0(���(�0�
FG� �����(�0�
FG� �3�����(�0�
�M(7 ��* ��B���(�0�%
v&N��� �3���
)−yV−ym n Z−ymjnZ−y\−yh−y
���
(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• C�T��Q-� w��0� .�� U�(8� M�� ��9 c���• Cz��{�`�� � &|7 [�BM� ����9 c���• C����*&�� �%@s�% �(�M� ��(� �+�� ��9 c���
?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• C���M(7 ��* ���0� �+�� K�=• C��(�0� ��M� F�I �+�� K�=• C��(�0� ��M( ���8� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=• ��(�0� ��M� ��0(� �M(7 1��T��Q" 3�U� K�=
CH��G� ��% �5��� ��• C��(�0� F5 ��� j�0U* P�(� K�=• CO��� K&��% O8� �M(7 K&�� ���8� ��(�0� F5 �=&* P�(� K�=• C� %�p� ��% ��(�0� ��� ��* ��L�� K&��� K�=• Cv������ %6 � Y���� 1��(�0� �3��� k��� K�=• ��� ������* ��(�0� FG� �3��� v��} K&��� K�=
C���M(7 %6 �M(7%• C��(�0�% �M(7 ��* ��B� K&��� K�=• C���3���% v&N��� K&��� K�=• C�������% v&N��� �3�� ����� v���� K&��� K�=• C�#&M� ��7 F�I% v&N��� p9&� �+�� K�=• Cv&N�� i�� �3��� k��� K�=• C>��0� �� ���&N�3 ��* ��L�� K&��� K�=
á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdG L�� − � %�p� �� − ��(�0� ��� − ���8� �M(7 − ��(�0�% �M(7 ��* ��B� − ���M(7 ��* ���0� − ��(�0� ��M(� F�I ��7 − v&N��� p9&� − v&N��� �3��� − v&N��� − ��(�0� FG� �3��� − � ������ ���(�0� L�� − �� Y���� ���(�0�
Cv&N��� i�� − v&N��� &M�
IóMƒdGá©°SÉàdG
�~����U�� �=�8��% 1��� 3mP)ohe − )hyon
�<� &� Descartes 1��� 3 O�8 � 3��� ��* F*� >@� �# ,�07&�� K�0����% ,�����U�� �=�8�� �8 ���76 �� �@#% �M(8�% �� 4 ~��� �T��Q-� P�|8� &��*� r�Q ��U�n ���I�(�� � ������ � ��U� O�M=��* >@�% ,m1�3��� ��U�% 1�8�0� w��0� �� �M(7 �9 �� &�B��� �� P��G�=�*% Cm� ,in ���(�(Q � 3��* cB` 46 1��� 3 $�M�=� ,�T��Q-� P�|8� � _&B�� ,�~ ����-� �=�8�� ]���5 �9 �U} 123��* 1��8U8�% 1��(�0� �� /&U�� ���� �M(8 1���0� �#��B���* � &B+
Cm� ,in��* ��L�� ��U� U%&'*
∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG
1��� 3 O�8 �
���
���8�7% &��7 �8�3 � �� �� U���� ��� �� ����� ���� ������ !��"
#$%��� �� �� U&��� '�(�!�) ���� )
#�*��� �� ���+���,- .� $� /0I !234 V
#52 6 .�� 7� �� 8" Z
����9�� '�(�!�:� �;2 .� - , .� $%�
#�;2 .� 52 ,63?<�=> �@� �
��−�−�−�−
�
�
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
�
�
�
�
��
��
��
��
��
��
�A�B�C�D
652
- 8
F 3G
5H
7
º∏©àJ ±ƒ°S
• ��* ���0� 3�s "���M(7
• 1��T��Q" 3�s " ��M� ���8�
��(�0�
Distance Between Two Points ø«à£≤f ø«H áaÉ°ùªdG
mV ,)n mV ,hn jmZ ,\−n 3
mV− ,\−n q+�−�−A−B−C− �−
�−A−B−C−
� � A B C��ABC
I�%�J #K��&�4 �LMN ���9�� "0O�P� �JQ�0� 6 ,"9��� R�) FMT��� �� #6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� .� �M&�P� ���9�� �(�!�:� U�M� ;�0I -VJ)
CF�I v�Q% \ = |) − h| = 6 /0I X-��� "0O�P� �JQ�0� �LM - 52 /0I -VJ) I�%�J ,;9 Y �&J�M��3
�(�!�:� .� 52 �M&�P� X-��� �(�!�:� U�M� I�@3 K��*4" �LMN #- �M&�P� X-���
CF�I v�Q% h = |mV−n − Z| = - 52 /0I
»KGóME’G iƒà°ùªdG
Coordinate Plane
1-9
���
�&�4 ��&�9� RP� �9�� K�Z , �[N 6 , K�Z ,�[N .��M&Y X4 ��N �J3�\�� �] ^P_� `�a3 b�Y�� �;P�_�> .%�J ,�*4" ��&�9� 34
#K$�&��� $%��� �� .�+� 0H#6 , .��M&��� .�� ��9��� -VJ: c"0d_�� �J�eY �!T�9Y
z��{�`�� � &|7 �K52 6N + �K52 N = �K6 N� ���� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[N = �K6 N
�=�=E� ���*&�� �@s� �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :¿ƒfÉb
�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF X39> K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N .��M&Y X4 .�� ��9���
# g=�� gL��� "hV�� ��=� iO> ���&�� iY� �@) jk) ,��+J�&> ��2) �+*O�� ��l� �ML> ���� .��M&Y .�� �&�!�� ��9��� 80Y&�� �MLJ
��
� A B
F
/C D�−�−
�−A−B−C−D−E−
m)n F�`�CmV− ,ZnF , mh− ,)n / ��* ���0� �+%6
Vm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0� :�U� Vmmh−n − V−n + Vm) − ZnF =
VmZn +VmVn F = F�I v�Q% Z�o ⋍ )ZF =
CF�I 1��Q% Z�o .��Q >%�0� F ,/ ��* ���0��U� 46 F%�Q
Cv&'� �� gp+ j&�6 ." ��*�+" j ]&� C m\ , �−n4 , m) ,V−nP ��* ���0� �+%6 )
)i
V�
)�m)� ,)in
mV� ,Vin
)i −Vi
)� − V�Vi
j
���
Midpoint ∞°üàæªdG á£≤f
)−)−V−
Z �
6V)
) V Z \ h o
\h
#6 m���� �M&Y � #n0�9��� �� 8�M&Y 6 , #6 � , � .��&�M�� .��LM R�) 6 �LM&�� �9&> � �M&���
:¿ƒfÉb
C �Z + �Z� = Z , �[ + �[
� = [ �� KZ ,[N� �H m������ �M&Y '�(�!�) 8o� ,K�Z ,�[N 6 ,K�Z ,�[N iY� �@)
)−)−
mh ,)−n q+
me ,Zn 3V−Z−
V−
ZV)
) V Z \ h o
\h mVn F�`�
Cme ,Zn 3 ,mh ,)−n q+ r�Q 3 q+ ���8� �M(7 �+%6 �*�(� ��'� �� a e + h
V , Z + )−V k = a �� + )�
V , �i + )iV k :�U�
ahV , VVk =
mV �h , )n = CmV�h , )n �# 3 q+ ���8� �M(7
)−)−m)− ,Z−n /
mV ,hn F
V−Z−V−
ZV)
) V Z \ h o
\h
�U� 46 F%�Q F / ���8� �M(7 �+%6 ,�*�(� ��'� �� V
CmV ,hn F ,m)− ,Z−n / r�Q
��A
me ,en me ,\en me ,ben
mho ,benmho ,\enmho ,en
»FGôKEG mZn F�`� c�<�� C�}��� �� �#L� �8 �� g�8* 1�9&'� w�Q" 13��6 v��3" k{&�% C��0�N� �5��� o �� 4�� 46 .�� �*�(� ����� v3�+�� v����7 �9 4��� 46 .�� g�� �������7 k�9&� �� �9&'�
:�#L� �8 �� �� �5��� ��*�6 �� v�Q�% ���0� .��?�������8� ����# k�9&� M��� k076 3�Q 6
?��8�* ���0� �� j:�U�
� &M(� MI�(� �M(7 .�� 4��� 46 ks ��0�� ��s .%E� v����8� 6 Cmho ,en ;mho ,\en ;me ,\en ;me ,en O=%�� >@� ��M�0�
k�9&� M��� 4�� �@ &M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7 a e + ho
V , e + \eV k �M(8� �8� v����8� ;@#
ks ���� ��s ��7�`� v����8� CmVb ,Ven �M(8� �8� >6O=%�� >@� ��M�0� � &M(� MI�(� �M(7 �8� 4��� 46
Cmho ,\en ;mho ,ben ;me ,ben ;me ,\enk�9&� M��� 4�� �@ C&M� �9 ���8� �# � &M(� MI�(� �M(7
me ,en me ,\en me ,ben
mho ,benmho ,\enmho ,en
a e + hoV , \e + be
V k �M(8� �8� ��7�`� v����8� CmVb ,oen �M(8� �8� >6
�������8� ��* ���0� j
)
))−)−
V−
V−
VZ
V Z
&�����9 V >%�0� �%�U� .�� F�I v�Q% �9
Vm)� − V�n + Vm)i − VinF :v���(� P�G�07 \e = Vm\en F = VmVb − Vbn + VmVe − oenF =
CF�I v�Q% \e 4��� K�= ���0� 46 >6 �U� 46 F%�Q
Fp8� M( % j�8+ ) ,X&S V M��� �� �=��� M(� Z M��� �T��Q-� w��0� .�� �]�� CF�S Z ,X&S Z ��5��5 Fp8� �� ���0� �+%6 �T ,��5 Fp8� M���% �=���
C�=��� ." CmV ,Z+n �8� F�S V ,X&S Z M��� :�|QL�
��B
�_�� ��8�� �LM&�� /0I !J\J #/0M�� �� P�T� .��LM R�) ;��9&> "VY !J�J ,�* �� ;�0I ��+�p �LM
#n�q��� �LM&�� /0I m�Y X39J � n�q��� /0I .� n�+%��#.��LM&�� .� j$� /0I !234
:�U� �(=( n�+%�� �LM&�� /0I 80%�� ,.�&�M�� .��9 R�) ;�9&�� n�q��� �LM&�� �J!� 84 r�� �� /0I �9&Y3 #�&�M�� �94 C R�) ��+�T�� �LM&�� �9&Y �Y4 ��LJ �hH �����3 ,.��9&�� !�4 /_�4
#�* �� RP� $�O�� �94 C R�) �* �� �+�T�� A : � �+9�� ��+�T�� �LM&�� ��9 �Y4 <�k
�* AD = �� × � = n�q��� �LM&�� /0I 80%���* CB = �� × A :n�+%�� �LM&�� /0I3
º∏©àJ ±ƒ°S
• ��M� ��0(� �5��� �� ��(�0�
C������ �B08*• ��M� ��0(�
H��G� �� ��(�0�C������ �B08*
Internal Division πNGódG øe º«°ù≤àdG -1>���� F�`�
# �;2 .� $p�!�� .� A:� �+9�� 6 ��9&> 60PM���3 KD ,��N 6 ,KB ,CN ^�O� ���&�9� �LM 6 .%��
)−)−
ZV)
) V Z \ h o � b y )e )) )V
\ho
m\ ,hn
mo ,)en j
m\ ,)en 3
Z:q+V
#��9&��� �M&Y '�(�!�) !234:�U�
��9&��� �M&Y �H KZ ,[N 52 .%��#��0PM���
#- �� �J3�\�� �] 6 - ^P_��� �*�YKB ,��N �H - '�(�!�) :�>l� <�=Y
- �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 � = - 6, �t� = � × �
C �H .Ju\V�� k0I 80%J,��>���� RP� �t� = � × A
C#KBt� ,��N �H - 6 ��9&> �M&Y 80%>3 �;2 .� A :� �+9�� ;��9&��3 C = - , � = C × �
C �H .Ju\V�� k0I 80%J��>���� RP� A = C × A
C#KB ,EN �H - ��9&> �M&Y 80%>3
#KBt� , EN 52 80%> I�h�3
2-9᪫≤à°ùe á©£b º«°ù≤J
Dividing Line Segment
��C
:áeÉY áØ°üHh
,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@):8o� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y iY�3 $p�!�� .� 8 :� �+9�� �;2 .� ;��9&> -��J3 K�Z ,�[N 6
�[ 8 + �[ �8 + � = [
�Z 8 + �Z �8 + � = Z
:v��� X!�;���� /_�P� KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y -w) .%�J3E = AC
C = C × A + �� × �A + � = [
Bt� = �BC = B × A + D × �
A + � = Z
6 KD ,��N KB ,CN
A � �+9��KZ ,[N 52 ��9&��� �M&Y
a B × A + D × �A + � , C × A + �� × �
A + � k =m \�b , � n =
+
$p�!�� .� ��9&���
m �Z 8 + �Z �8 + � , �[ 8 + �[ �
8 + � N 52
KZ ,[N
K�Z ,�[N j
q+�m�Z , �[ N j m�Z ,�[ N
P4K�Z ,�[N +
4
��D
mZ ,h−n m\− ,�n j)Z +
q+
j
)))−Z−h−
V−\−
Z h �
V
m)n F�`� Z:) �B08* ��+ �� j ��0(� �M(7 �+%t� Cm\− ,�n j ,mZ ,h−n 4�9 �!"
C�5��� ��` )� 4 + V� P
4 + P , )i 4 + Vi P4 + P j = m� ,in ��0(�� �M(7 :�U�
= h\ = Z × Z + m\−n × )
Z + ) = � ,V− = b−\ = mh−n × Z + � × )
Z + ) = i)�Vh
Cm)�Vh , V−n q+ :�# ��0(�� �M(7�U� 46 F%�Q
Cj ∈ q+ , j q+ = q+ V r�U* q+ �+%t� CmZ ,V−n j , m\− ,Zn 4�9 �!" )�V :) = j q+ : q+ :3�S�"�
C�*�+-� ���(�� �� [(U�� .�� ���0 O8�% �U� �� � _gp+ f� �=&� :�|QL�
mVn F�`�,my ,hn j , m\ ,Vn 4�9 �!"
V
V
\
\
o
o
b
b)e)V
m\ ,Vn
my ,hn j`
h�b
, Z)b j
q+
Ch:Z �B08* q+ �M(7 �� j ��+ �� �5��� �� j ��0(� 3�& % Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6
:�U� Z
h = j q+ q+ r�Q q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M�
:k��7 j ��+ �� �5��� �� ��0(�� v���� P��G�=�* C�5��� ��m\ ,Vn my ,hnj
h Z +
h�b = y × h + \ × Z
h + Z = � ; Z)b = h × h + V × Z
h + Z = i m h�
b , Z)b n q+ 4����
�U� 46 F%�QC q+V = j q+� :r�U* j .�� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm� ,\−n j , mZ− ,Vn ��� V
��E
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J mZn F�`� ��� O( �} Fp8� M( �8�* m\ ,hn �M(8� �8� 4�M�= Fp8� M(
�−�−�−A−B−
A��
� �52
8MP* /\��
-00�� �MO�
!;� /\��6
A B C D E �
BCD
CmZ− ,Vn j �M(8� �8� �M(8�* c�`� �!" 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 �+%6
Cme , VZ� n q+
Cv�Q�% ���(�=� .�� j , q+ , U�(8� 4t* � _�� :�U�
4�M�= Fp8� ��+ 4 : P ��0(�� �B07 46 d&�7C�5��� �� ��M� ��0(� P��� 4�7�(� P�G�07 , ��B� �B07 3�s -
a )� 4 + V� P4 + P , )i 4+ Vi P
4 + P k q+
a \ × 4 + mZ−n × P4 + P , 4 × h + P × V
4 + P k = a ٠ , VZ� k
m\ ,hn mZ− ,Vn j
P4 +
e = 4\ + PZ−4 + P :�U� w&56 �( &I VZ
� = 4h + P V4 + P ∴
e = 4 \ + PZ− 4 VZ + PVZ = 4 Zh + P)\4\ = PZ 4)V = Py ∴
���U� �Q6 �� �B08� 3�s �* g���92� �8� O76 �Q2 \Z = P
4 \Z = P
4 C4�M�= Fp8� ��+ �� Z : \ �# 3���� �MU� ." ��p8� L9 �� ��B� �B07 4��� ,�@*
C��� Fp8� ��+ �� \ : Z �# 3���� �MU�% ��p8� L9 ��* ��B� �B07 :�|QL�
�U� 46 F%�Q ��+ �� �5��� �� j �0( �#% ���% 4�M�= �p8* ��� ��(�0� .�� ��} Fp8� M( ,mZn F�`� �� Z
C��} Fp8� 1��T��Q" �+%6 Ch:\ �B08*
���
External Division êQÉîdG øe º«°ù≤àdG - 2
>���� F�`�,K� ,BN 6 , K� ,�N .%��
�−�−
A��
� � A B C D E � � ��
��
�� ��
BCDE��
K� ,�N
K� ,BN 6
KZ ,[N 52 #B:� �+9�� 52 �M&Y �� 6 �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> -��J3#52 '�(�!�) !234
:�U� 6 ∉ 52 , j ∈ 52 ^�� KZ ,[N 52 .%��
B:� = 52 :6 52� :A = 52 6 : 6 84 ��LJ �hH3
# �;2 .� $p�!�� .� � : A �+9�� 52 �9&> K� ,B N 6 84 X4
:84 !VY $p�!�� .� ��9&��� y!� z�+M�� � + [A
B = � × � + [ × A � + A = B
,C = [ ;��3 �D = � + [ A :84 !VY I�@ .�3� + ZA
B = � × � + Z A� + A = �
,�� = Z ;��3 A� = � + Z A :84 !VY I�@ .�3#x"T�� .� ��9&��� �M&Y �H3 K�� ,CN 52 84 X4
:áeÉY áØ°üHh
�0(� ��� m� ,in q+ �M(8� 4�� mV� ,Vin j , m)� ,)in c7�9 �!" )i 4 − Vi P
4 − P = i :�����T��Q" 4��� j ��+ �� P :4 �B08* H��G� �� j )� 4 − V� P
4 − P = �
:����9 �(*�0� ��0(�� �M(7 3�s " �� :�|QL�V� P − )� 4
P − 4 = � , Vi P − )i 4 P − 4 = i
mV ,)n m� ,in q+
Z) +
K�Z ,�[N
KZ ,[N 52K�Z ,�[N 6
� 8
K�Z ,�[N 6 K�Z ,�[N
4 P −
���
#6 �;2 .� X!�;���� /_��� RP� x"T�� .� ��9&��� y!� z�+M��
KZ ,[N 52 K� ,BN 6 K� ,�N � B −
C = � − �DA = � × � − B × B
� − B = [
�� = � − A�A = � × � − � × B
� − B = Z
# z�9�� $O�� �� {9 Y {�P� �P�� � 0H3 K�� ,CN 52
k ���# �;2 .� B :� �+9�� x"T�� .� 6 ��9&> �M&Y !234
#K� ,BN 6 , K� ,�N ^��
m\n F�`� CZ:V �B08* q+ �M(7 �� ��+ H��G� �� j ��0(� 3�& % ,m) ,V−n j , m\ ,)n 4�9 �!"
Cq+ �M(8� 1��T��Q" �+%6:�U�
m) ,V−n j m\ ,)nZ V −
C VZ = q+
j q+ r�Q H��G� �� q+ �M(8� 1��T��Q" � ,i ��� 3�s " j��M� :k��7 ��s H��G� �� ��0(�� v���� P��G�=�*
)e = )e−)− = \ × Z − ) × V
Z − V = � ;� = �−)− = ) × Z − mV−n × V
Z − V = i m)e ,�n q+ 4����
�U� 46 F%�QC b :Z �B08* j ��+ �� H��G� �� j �0(� ��� q+ �M(8� 1��T��Q" �+%6 Cm) ,Zn j , mV ,V−n ��� \
�A�
»FGôKEG mhn F�`� ���(�=� .�� &(�% f'�% d�E� 4��� K�0�� g�8T6 f'�% d�E� ��* ���0� C��*�(� v���� ��B� �9 v�Q�% &(�% d�E� ��* ���0�% �_B &(� �9 )\y oee eee
C�_B &(� �9 Zb\ eee ��M(� .�� &(� ��+ H��G� �� ��0(�� �B07 �+%6 6
Cd�E� �+�� r�Q f'�% &(� ��* ��}��� ��(�0� Cf'� �#% �}E� �M(7 ;p9&� �T��Q" w��0� @5t8 j
?d�E� 1��T��Q" �# �� ,m)e ,on 1��T��Q-� O ��U� ;@# �� &(� 4�9 �!":�U�
�9 Zb\ eee = &(�% d�E� ��* ���0� 6�9 )\y oee eee = f'�% d�E� ��* ���0�
)V\ o�h = Zb\ eee
)\y oee eee = �B08�:k��7 f'�% &(�% d�E� ." �B08�* H��G� �� ��0(�� j
me ,en m)e ,on \o�h )V
&(�f'�−
\o�h × o − e × )V\o�h − )V = i
o�e)h i \o�h × )e − e × )V
\o�h − )V = �)e�eVo �
m)e�eVo ,o�e)hn :�_B &(� �# d�E� 1��T��Q" 46 >6�U� 46 F%�Q
C &(�% f'� ��* ���0�d�E�% f'� ��* ���0� :��0(�� �B07 �+%6 ,mhn F�`� �� 6 h
?&(� 1��T��Q" �# �� Cm)) ,�n �# d�E� 1��T��Q" 46 �8<&��� �!" j
d�E�
&(�
f'�
:k��
d�E�
f'�
&(�
�9 )\y oee eee �9 Zb\ eee
�A�
( ) 3-9º«≤à°ùªdG §îdG π«e
Slope of a Straight Line
���8�7% &��7 �8�3#|�\��� !��� !�4 "9� FMT��� $_�J
?6 R�) .� �*4��� ��q��� � )?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�
?6 R�) .� �&�}� ��q��� � V?- R�) 52 .� ?52 R�) 6 .�
�&�}� ��q��� R�) �*4��� ��q��� �+9Y � Z?�LM $%�
#� ~9� ? g� >"� �_�}� �H �P��� X4 \
C
C
��
K"��}
�N �*4�
�� `�0
��
K"��}�N �&�}� `�0��
��
�C
�C
��
6
52-��
�C A�
º∏©àJ ±ƒ°S
• &���� F���• ��� 3�s "• ��(�0� ��� ��* ��L��
� %�p� ��%
Rate of Change ô«¨àdG ∫ó©e
�L���� &���� F��� ��9J #8 P�T� �j�q> k!L� �;� 52 6 ,6 ,�=�4 FMT��� �� .����%�� n!�) iM+>"� �@) gO�Oa �PJ � 80%J #"����*� 8���q�> .����� .�� �=L��
:8o� n�p}�Z `���� ��q���� �� ��q���
[ $&�9��� ��q���� �� ��q��� = ��q��� /!L�
m)n F�`�?O0�7 �# ������� ���� �� &���� F��� �# C&���� F��� �+%6 ;�736 F%�s� �� 1�7��B� P��G�=�*
:�U�P� E� 3��* ����� FB�&� ����� �� &����
P� E� 3�� �� &���� = &���� F���
)�h) = ��h − y
V − Z )�h) = o − ��h
) − V)�h
) = )e�h − )V\ − h )�h
) = y − )e�hZ − \
:á«°VÉjQ áeƒ∏©e
����9 ��* �7��(� �# F���C����G� i��� 1��Q�*
j�=�U� &�+t� ���9 P� E� 3��&�7�73 o )
&�7�73 ��h V&�7�73 y Z
&�7�73 )e�h \� _��8 3 )V h
�A�
)�h) �# ������� ���� �� &���� F���
C F%�s� 1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� ,����*%CF ]%E� P��� ��* P� �� ��8 3 )�h 3�3p� j�=�U� &�+t� ���9
�U� 46 F%�QC�7�`� P���% f��G� P��� � _��G�0� &���� F��� �+%6 6 )
1�7��* �9 �� O0�7 �# &���� F��� 46 �8� ������ P� E� �� �Q�% H%p &���� F��� 3�s " �# :���7 &���� j C��*�+" & ]0� ?F%�s�
&���� F��� 3�s - �7��B� �=&� P��G�=�K� P%�� ,�J}� -!�N �+>���� x�3Q}� 84 �Y�+�� �*��� .j�+J
#��&�9� Fp RP� y-020� K�N /_��� ��#�j�Mp �H /3!V�� 'Y��
#��q��� /!L� -VJ: �Y�+�� �*��� ��!T�*� .%�J #�=6&� "0O��� RP� `���� ��q���� .��L> ��J3 �&�}� "0O��� RP� $&�9��� ��q���� .��L> ��J
Finding The Slope π«ªdG OÉéjEG
��!T�*� �-VJ) .%�J ��&�9��� $�� 84 z+* � �� i*"-#�=L��
�=6&� &�����(�E� &���� = ���
� ��−�− � A B C� 1��Q% h���� ."
KV ,\ N
Kh ,)−N 1��Q% Z��=E� ." �
ABC $�&��� $%��� ��0��� ��&�9��� $�� g=_��
�=6&� &�����(�E� &���� = ���
h − Vm)−n − \ =
Z −h = C Z −h >%�0 ��(�0� FG� ���
:ôcòJ
�_B+�� 4�� 46 �� &���� F���C� _&�} %6 �_B�= %6
�� � A B C
BD�
����
K��J0%
�� "�J!�
�N � P%
��
�J}� -!�
�AA
#{P�� -VJ: ��&�9� Fp RP� .��M&Y ��!T�*� .%�J I�h� ,"9��� R�) �Y�+�� �*��� ��
:������ �q���� �!T�9Y (V� , Vi) 6 ,()� , )i) ^��, 6 $�� -VJ:
e ≠ )i − Vi , )� − V�)i − Vi = �=6&� &�����
�(�E� &����� = ���
�� 6 �M&�P� X-��� �(�!�:� Y4!� �@) , g=_�� #$���� -VJ) !�� .��M&��� '�(�!�) ���� �� !��L��� ��>���� y���� �VJ#�&��� �� 6 �M&�P� ���9�� �(�!�:� u!+�� �V�� F9+��
mVn F�`�Cm� ,hnj , m) ,V−n ���M(8�* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6
:�U� )� − V�
)i − Vi = ���
d ]�� ) − �mV−n − h =
F ]0* o� = C o
� >%�0 j ��(�0� FG� ���
�U� 46 F%�QCU�(8� �� H%Y ��* & >@� ��(�0� FG� ��� �+%6 V
mZ ,�−n4 , mZ ,\n P q+ mV− ,Zn/ , m\ ,)−nX j m� ,\n3 , mh ,Vnq+ 6
)i − Vi
()� , )i) ( V�
, Vi) )� − V�
j
�− E KE ,CN 6 K� ,�−N
K�−N− C
�AB
k+�� ��(�0� ���
�(�E� ��(�0� ��� � _&�} >%�0
�=6&� ��(�0���� O f�
k�= ��(�0� ���
mZn F�`�Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 46 cBT6 Cm�− ,)−n q+ , mV ,Vnj , m)− ,)n :U�(8� �T��Q-� w��0� �� @5t7
:�U�Z = m)−n − V
) − V = )� − V�)i − Vi = j ��� = )P
Z = o−V− = m)−n − �−
) − )− = )� − V�)i − Vi = q+ ��� = VP
Z = VP = )P 46 >6. �M(8� �� 4�9&�' ��8�% q+ �� j Cv�Q�% ���(�=� .�� q+ ,j , U�(8� 4���
�U� 46 F%�QCv�Q�% ���(�=� .�� mZ− ,Zn q+ , mh ,)−nj , m)− ,Vn U�(8� 46 cBT6 Z
� ��&�9��� �hH $��3 '��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� .�� �=L�� 84 ��h>.θ �� = P :�H
�AC
m\n F�`�C % j � %�p� �N�� r�`� �� j � %�p� �|* O7���% me ,V−n j , m\,en r�Q j ��� �+%6
%� ��−�−�−
�−A−B− � A B C
�%
�ABC
me ,V−n j
m\ ,en
:�U�)� − V�)i − Vi = ���
d ]�� e − \mV−n− e =
F ]0* \V = V =
V = j% , \ = % : j% r�`� ��V = \
V = %% j = j��
V = j ��� = j��
�U� 46 F%�QC)θ ��=��� ��� �+&�8� � %�p� ��% Vθ ��=��� ��� v3�U� � %�p� �|* O7���% 4 ��(�0� ��� �+%6 \
� ��−�−�−A−B− � A B C D E �
� )θ
Vθ
�ABC
me ,bn
m\ ,en 4
�AD
º«≤à°ùªdG §îdG ádOÉ©e
Equation of a Straight Line(Ü) 3-9
���8�7% &��7 �8�3#��&�9� FT� b�Y�� 8 + [ � = Z :��-L��� $�_� �>
���9�� "0O�P� gJQ�0� g��&�9� $_�> �H3 8 = Z �+�> ��&�9��� ��-L� 8o� � = � iY� �@)#K�&�4 ��&�9�N
#[ � = Z {��-L�3 $a}� �M&�� ��J ��&�9��� 8o� � = 8 iY� �@)
º∏©àJ ±ƒ°S
• FG� �3��� �*��9��(�0�
• �3�� ����� v������(�0�
• &����� F��� 3�s "
:�|QL�:���L� R�) �2O� .OY b�*4" ��� ��&�9� Fp ��-L� ���%� )
• CmPn ���• Cm)� ,)in ���% ��(�0� U�(7 �� �M(7
#m)i − inP = )� − � :��(�0� �3��� 4��� K$�� {� ��� ��&�9��� �hH3 N = [ �H �*4��� ��&�9��� ��-L� V
m)n F�`�Cm)− ,\n �M(8�* & % Z
V O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9�:�U�
� ����* m\ − in ZV = m)−n − �
o − i ZV = ) + �
F�0B��* � − i ZV = �
C� − i ZV = � :�3���
�U� 46 F%�Q�M(8�* & % V−
Z O��� >@� ��(�0� FG� �3��� k�9� )Cmh ,o−n
:ôcòJ e = � :�# 1�8�0� ��U� �3��� e = i :�# 1�3��� ��U� �3��� 1�8�0� ��U� U�(7 1��T��Q" ����*% ��U� U�(7 1��T��Q"% me ,in
Cm� ,en 1�3���
:á«°VÉjQ áeƒ∏©e F��* FB�& c ��7&���* v��&U� �+�3 F���
:��L��* m� p���=n � �D� �+��� :���*��9 �� % ZV + °P y
h = °K F5 �3��� �#% ZV + i
yh = �
yh = O��� ��(�0�
CZV + i)�b = � %6
�AE
mVn F�`�Cme ,V−nj , mZ ,)n ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� k�9�
:�U���� �+�7
e − ZmV−n − ) = )� − V�
)i − Vi = P) = Z
Z = Pm)i − inP = )� − � :�3���
�3��� �� � ����* m) − in ) = Z − �F�0B��* ) − i + Z = �
V + i = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = V + � − i %6 e = V − i − � :�# ��(�0� �3��� ����*%
�U� 46 F%�QCmV− ,Vn3 , m)− ,Zn q+ ���M(8�* & >@� ��(�0� �3��� �+%6 V
�;�P�� 6�� |>�� , b�*4" �H!�4 ���3 .J!�L�� 8��&�9��� 8� �@) �4 #{9 Y $���� .�JQ�0��3 .��*4" ��d .���&�9� X} y!�L���� '��&�9��� $�� 34 {L� �JQ�0���� '��&�9��� $�� -VJ) ��%��� '��&�9��� !�4 $�� ��P� �@) �����3 #�− X39J
#��&�9��� �hH RP� �M&Y ���L�� {��-L� -VJ) ��%�J I�h� ,{L� mZn F�`�
:�+%t� ,) + iV = � :F ��(�0� 4�9 �!"CmZ− ,Vn �M(8�* & >@�% F ��(�0� >Y��� q# ��(�0� �3��� 6
CmZ− ,\n �M(8�* & >@�% F ��(�0� .�� >3��� K ��(�0� �3��� j:�U�
F ��(�0� ��� = q# ��(�0� ��� , 4� Y���� q# ,F 4��(�0� 6V = q# ��(�0� ���
:��'� .�� k��� q# ��(�0� �3��� ,����*%m)i − inP = )� − �
�3��� �� � ����* mV − in V = mZ−n − �F�0B��* \ − iV + Z− = �
e = � + iV − � : q# �3��� ����*% � − iV = �C��(�0� �3�� ����� v���� �#% e = � − � − iV %6
:Ió«Øe áeƒ∏©e :�# ��(�0� �3�� ����� v����
e = q+ + � j + iC� _�� &��� 4� %�0 2 j , r�Q
�A�
)− = K ��(�0� ��� × F ��(�0� ��� 4������� 4��(�0� K , F j )− = K ��(�0� ��� × V )−
V = K ��(�0� ��� :K ��(�0� �3��� ����*%m)i − in P = )� − �:ôcòJ
j �# ��(�0� ��� 4�9 �!"O�� ������ ��(�0� ��� 4��
e ≠ j , r�Q j− �#
� ����* m\ −iN )−V = mZ−n − �
F�0B��* V + i )−V = Z + �
) − i )−V = �
) − i )−V = � :K ��(�0� �3���
�U� 46 F%�Q:�+%t� ,e = Z + i + �Z :/ ��(�0� 4�9 �!" Z
CmV ,Z−n �M(8�* & >@�% / ��(�0� >Y��� ��(�0� �3��� 6Cm\ ,)n �M(8�* & >@�% / ��(�0� .�� >3��� Y ��(�0� �3��� j
��q��� /!L� 8� �@o� 'Y�+�� .� .���0�V� .�� ��MT�� �=L�� ���0�� /3!2 �� 'Y�+�� �2h��� ��Mp ��-L� ���� .%�J#��� �# &���� F��� 80%J3 ��Mp �=� !20�� {9 Y 0H 'Y�+�� .� �������� x�3Q}� .��
m\n F�`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9�� ,1�+% �!" ?�<�� F%�s� �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �#
C1�7��B� ;@# F%�+ �`�:�U�
:.%E� v�MG�C��B�&� ��+%Y �9 ��* &���� F��� �+%6
)V = V
\ = \ − o ) + Z
)V = o − �
Z − h )
V = Zo = � − )e
h − )) )
V = P ����*% )V = &���� F���
C1�7��B� F%�+ �� H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " ��
� i\ )−o Z� h
)e ))
B
A�
�
D�
� i\ )−o Z� h
)e ))
�A�
:��7�`� v�MG�:�3��� �*��� �M(8�% ��� ���} P�G�=�
m)i − in P = )� − �C )
V q* P% m� ,hn q* m)� ,)in d�� mh − in )V = � − �
yV + i )
V = ��U� 46 F%�Q
?P�=&� 1�7��B� F%�+ �� ������ H�%YE� ��* ��M5 ��L� 3�s " �� �# \C1�7��B� ;@# F%�+ �`� 46 �� ��� ��MG� �3��� k�9� ,��L�� ��� 3�+% F�Q ��
»FGôKEG mhn F�`�CF�U� j�=�U� �� � ��MB� P��G�=� �8� 1���= 3�� i �2�* ��N�*&��� ���M� R��8� � � �D� �B08� ���� F%�s� ��B
min ��N�*&��� ���M� /L��=� 1���= 3��)VZm�n ��(B�� ���M� � �D� �B08�%be%oe%\e
C��(B�� ���M� � �D� �B08�% 1���0� 3�� ��* ��L�� H@8� 46 �� ��M5 �3��� k�9� 6?%h � ��MB� �� ��(B�� ���M� �B�� ���= �9 ��* j
:�U�e�V− = e�b − e�o
) − V = &���� F��� 6 c*�T &���� F��� 4���� e�V− = e�o − e�\
V − Z :�3��� P�G�07
��(�0� �3��� m)i − in P = )� − � � ����* mV − in e�V− = e�o − �
F�0B��* ) + ie�V− = � ) + ie�V− = � :�3��� j
) + ie�V− = e�eh k��7 � ����* e�eh = � e�eh − ) = ie�V
� i�− ))−Z− )−)− \h )y
�B�
e�yh = ie�V\��h = e�V ÷ e�yh = i
C�(��3 \h% 1���= \ �%&� ��* >6�U� 46 F%�Q
?%�e >%�0� � ��MB� �� ��(B�� ���M� � �D� �B08� 4��� �9 ���M� /L��=� 1���= 3�� �� ,mhn F�`� �� h:���� F%�s� ��B �9 O��� �(��� 4�Y%E� k0U* &���80�* �9&B7Y F &S 3�� �N��7 1g�+ o
mP�&+���9n i 4Y��V\h�)e m&���8=n � 3���b)))V�h)h�hVe
C��MG� �3��� k�9� j�s -� F�Q �� ?��M5 4��� 46 �� 3���% 4Y�� ��* ��L�� �#
�B�
º∏©àJ ±ƒ°S
• �M(7 ��* ��B� 3�s " ��(�0�%
���8�7% &��7 �8�3 ��9��� �hH !20> ���� y!�&��3 K�Z ,�[N ,K�Z ,�[N .��M&��� .�� ��9��� g&�* �J4"
:����� $%��� RP� /#�K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = /
#��&�9��� $�� �H � ^�� ,8 + [ � = Z y"0��� RP� �H ��&�9��� ��-L�3 RP� �M&��� .� ��0*���� �J-0�L�� ���&�9��� �LM&�� /0I 0H ^�� ��&�9�3 �M&Y .�� !L+�� !20Y G0* ["!�� �hH ��
!L+�� �hH !VY �%�3 ,��&�9���:y"0��� RP� ��&�9��� ��-L� ���� R�) �2O� .OY
# gL� � ��� 8J39J k 6 , ^�� ,� = 52 + Z 6 + [
F ��(�0�% m) � ,) in 3 �M(8� ��* K ��B� 4�� ,e = q+ + � j + i :F v���� .�� ��(�0� �3��� c7�9 �!"C |q+ + )� j + )i |
Vj + V F = K :�����* .M��
C� _&�} >%�0 ��8�* ��B�� F ��(�0� ." ��8� 3 �M(8� c7�9 �!" m)n F�`�
Cq# �M(8�% F ��(�0� ��* ��B� �+%6 ]�T ,\ − i Z = � :O�3��� >@� F ��(�0� ." ��8� 2 m) ,Vnq# �M(8� 46 cBT6:�U�
\ − iZ = � :�3��� �� m) ,Vn q* m� ,in �� � ����* \ − V × Z =? ) .�� ��U7
CF ��(�0� ." ��8� 2 q# V ≠ ) : v���� .�� F ��(�0� �3��� �*��9 ks F ��(�0� , q# ��* ��B� 3�s -
e = q+ + � j + i e = \ − � − iZ :F
\− = q+ )− = j Z = ) = )� V = )i
| q+ + )� j + )i | V j + V F = K ��B�
) )e F = |h − o|
)e F = |\ − ) − V × Z | V m)−n + VZ F =
:á¶MÓe F�I �# ��(�0� �� �M(7 ��* �� ���=&� � 3��� ��M(�
C��(�0� FG� .�� �M(8�
3 F
�M(8� ��* ���0� &��6 �# 3 CF ��(�0�%
4-9º«≤à°ùeh á£≤f ø«H ó©ÑdG
Distance Between a Point and a Straight Line
�B�
CF�I v�Q% )e F)e >%�0 ��B�
�U� 46 F%�QCmh ,Vn3 �M(8�% Z + i− = � :F ��(�0� ��* ��B� �+%6 )
mVn F�`�C� − i Z = �V :F ��(�0� ." mZ− ,\−n3 �M(8� �� ��B� �+%6
:�U� e = q+ + � j + i :v���� .�� F ��(�0� �3��� _2%6 k��7
e = � − �V − iZ :F�− = q+ V− = j Z =
Z− = )� \− = )i |q+ + )� j + )i |
Vj + V F = K ��B�
C)Z F = )Z)Z F = |)Z−|
\ + y F = |� − mZ−n V − m\−nZ| VmV−n + VmZn F = K
CF�I v�Q% )Z F >%�0 F ��(�0� ." 3 �M(8� �� ��B� 46 >6
�U� 46 F%�Q
# io + \
Z − = � :F ��(�0� ." m\− ,ZnU �M(8� �� ��B� �+%6 V
:á¶MÓe ��* ���0� c7�9 �!" >%�0� ��(�0�% �M(7 ��8� �M(8� 4��� � _&�}
C��(�0�
�BA
º∏©àJ ±ƒ°S
• v&N��� �3���• �3�� ����� v����
v&N���• v&N��� p9&� 3�s "
�#&M� ��7 F�I%• v&N��� i�� �3���• �� ���&N�3 ��* ��L��
>��0�
���8�7% &��7 �8�3 �� ,�*"!��� u�� �� y�]�- �*�> 84 '-"43 ,"��4 D ;�0I $+O�� .� �LM IJ!� 8� �@)
#I]=�Q `� �%� ?{PL > Xh��v&N��� � &�� ." �73�(�= �@#
i�( !L� RP� 80%> ���� X0�9��� �� U&��� ��0�V� �H v&N���#v&N��� p9&� R�9> ��0PL��� �M&���3 ,��0PL� �M&Y .�
v&N�3
p9&� # \���� {� \��J3 y�]�!�� �M m�Y /0I 0H i�_�� !L+��3
:v&N��� �3�� ��=��(� v���� �M(7 >6% v&N��� p9&� ��* ���0� 4�� �#&M� ��7 F�I% mq# ,3nP �#p9&� v&N�3 >E
C���M(7 ��* ���0� 4�7�� P��G�=�* �#3�s " �� v&N��� .�� m� ,inVm)� − V�n + Vm)i − VinF = ���0�
Vmq# − �n + Vm3 − inF = Vmq# − �n + Vm3 − in = V
:y"0��� RP� H�M m�Y /0I3 K5H ,-N H\��� ���� y�]�!�� ��-L� 80%> ,I�@ RP�3V = Vmq# − �n + Vm3 − in
# �M&�� m�Y /0I3 K5H ,-N� \����� ���0PL�� y�]�!�� ��-L�� ��*�&�� y"0��� �hH R j�9>3m)n F�`�
C1��Q% � �#&M� ��7 F�I% mV− ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�
�#p9&� mq# ,3n r�Q , V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���mV− ,Zn q* mq# ,3n �� � ����* \y = V �mV−n − �� + VmZ − in
\y = VmV + �n + VmZ − in �U� 46 F%�Q
C1��Q% h �#&M� ��7 F�I% mZ− ,hn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 )
mq# ,3nP
m� ,in
5-9IôFGódG ádOÉ©e
Equation of a Circle
�BB
)−
)
)
V
V
Z
Z
P
m\ ,Vn j
mV− ,\n
\
\
V−Z−
mVn F�`�Cm\ ,Vnj , mV− ,\n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6
:�U�j ���8� �# ���% v&N��� p9&� 1��T��Q" _2%6 �+�7
>6 a\ + V−V , V + \
V kP m) ,ZnP
, j V v&N��� &M� ��7 F�I �+�7
\e F )V = Vm\ − V−n + VmV − \nF )
V = F�I v�Q% )e F =
:v&N��� �3��� )e = Vm) − �n + VmZ − in
�U� 46 F%�QCmV− ,)nj , mo ,Z−n r�Q j �#&M� v&N�3 �3��� �+%6 V
� = �Z + �[ :y"0��� RP� ;��-L� 8o� ,$a}� �M&Y H\��� ���� y�]�!�� �M m�Y /0I 8� �@)mZn F�`�
C1��Q% \ �#&M� ��7 F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6:�U�
,1��Q% \ = = P 4�� ,v&N��� .�� m� ,in �`� �M(7 �8<&� �!" V = V� + Vi :�}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3���)
)
m� ,in
C�*��M� v&N��� �3��� )o = V� + Vi∴
�U� 46 F%�QC�= o �#&M� F�I% �}E� �M(7 �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 Z
�BC
á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£J m\n F�`� ,m\ ,ZnP �#p9&� v&N�3 ��S .�� ��#YE� �� ���s� c��Y , �( �Q ��
�8� ��� v&N��� �3��� k�9� Cp9&� �� 1��Q% \ ��B� v&#Y �9 4" r�U*
))
V
V
Z
Z
\ho�by
\
m\ ,Zn
h o
C��#YE� ���s� �����:�U�
V = Vmq# − �n + Vm3 − in :��=��(� v���� .�� v&N��� �3���)o = Vm\ − �n + VmZ − in
�U� 46 F%�QC1�3��� ��U� f�% m\ ,Zn �#p9&� ��� v&N��� �3��� �+%6 \
mhn F�`�Cv&N��� �=�� �T ,y = VmZ − �n + VmV + in :���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6
:�U� :v&N��� �3�� ��=��(� v����* v�M�� v&N��� �3��� �7��(*
V = Vmq# − �n + Vm3 − in
�−�−�−A−B−C−D−
A��
�
BCD
V− = 3 ' V = 3− :46 �s7Z = q# ' Z− = q#−
Z = ' y = V C1��Q% Z = v&N��� &M� ��7 F�I% mZ ,V−n v&N��� p9&�
�U� 46 F%�Q:���3��� ��� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �+%6 h
C\y = �� + �i 6 CZo = �mh + �n + �m\ − in j
�BD
IôFGódG ádOÉ©ªd áeÉ©dG IQƒ°üdG
� = �K5H − ZN + �K- − [N :������ y"0��� RP� ��%> H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� � = � − �5H + �- + Z 5H � − [ -� − �Z + �[ :������ y"0��� RP� $�OY I ��3
:��-L��� y"0a �+�> � − �5H + �- = 6 ; 5H �− = F ; - �− = / `�0�
c*��T j ,/ ,F r�Q , e = j + � / + i F + V� + Vim / −
V , F −V n �#p9&� ��� v&N��� �3�� ����� v���� .0�%
٠ < j\ − V/ + VF r�Q C )V = �#&M� ��7 F�I
:����� <�=Y3 y�]�- ��-L� �H � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :��L�� y"0���#Z ,[ �� ��Y_�� �2"!�� .� ��-L� ;Y) )
:Ió«Øe áeƒ∏©e� − �5H + �- = j
6 − �5H + �- = �
6 − �bF−
� l + �b /−
� l = �
6 − �FB + �/
B = K6 B − �F + �/N �
B = �
�� =
#�Z $�L� = �[ $�L� V#Z [ .���J Xh�� !O�� !20J k Z
mon F�`� e = )V − �y + io − V�Z + ViZ :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]��
:�U�Z .�� �0(�* e = \ − �Z + iV − V� + Vi
����� v���� .�� v&N�3 �3��� �#%\− = j ,Z = / ,V− = F
b ZV − ,)l = bF−
� , F−V l = p9&�
)V =
)V =
)V =
�BE
CF�I v�Q% )V = �#&M� ��7 F�I% b Z
V − ,)l �#p9&� v&N����U� 46 F%�Q
e = Ze − �\ − i)V − ��V + �iV :�3���* ��`� v&N��� &M� ��7 F�I% p9&� �]�� o
�|QL�e = j + � / + i F + V� + Vi :����� ����� v���� .�� �3��� �8 � 4�� ���8�
�7��(� 3&s* �3��� ;@# ��7��* O�`� �� ��&�� �88� C&��� M� j\ − V/ + VF
Cv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� 4�� e > j\ − V/ + VF ���8� )C�M(7 �`� �3��� 4�� e = j\ − V/ + VF ���8� VCv&N�3 �`� �3��� 4�� e < j\ − V/ + VF ���8� Z
m�n F�`�C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �#
e = )h\ − �h + iZ − V� + Vi 6
e = Ve + �� − i\ + V� + Vi je = Vh + �b + io − V� + Vi q+
:�U�e = )h
\ − �h + iZ − V� + Vi :�3��� 6) = V� ����� = Vi �����
)h−\ = j ,h = / ,Z− = F
e < \y = )h + Vh + y = a)h−\ k \− Vh + y = j\ − V/ + VF
Cv&N�3 �3��� �`� �3��� ∴ e < \y e = Ve + �� − i\ + V� + Vi :�3��� j
) = V� ����� = Vi ����� Ve = j ,�− = / ,\ = F
e > )h− = Ve × \ − \y + )o = j\ − V/ + VFCv&N�3 �3��� �`� 2 �3��� ∴
�B�
e = Vh + �b + io − V� + Vi �3��� q+) = V� ����� = Vi �����
Vh = j ,b = / ,o− = Fe = Vh × \ − o\ + Zo = j\ − V/ + VF
C�M(7 �`� �3��� ∴�U� 46 F%�Q
C& ]0� ?v&N�3 �3��� �`� �� �� �3��� �9 �# �e = )� + �� + i\ − V� + Vi 6
e = \ − �o − ih + V� + Vi je = V + �V − iV − V� + Vi q+
Tangent to a Circleo IôFGód ¢Sɪe ádOÉ©e
#[���� �M&Y !�� y�]�!�� [�� RP� X-0�� y�]�!�� �M m�Y 84 �� .�+>3 z+*#y�]�!�� [�� ��-L� -VJ) `�M�9Y ,��aT�� �hH ��!T�*�
�−�− ��−�−
�A−
A−
AB−
B−
B C
3A��
�
BCD
mbn F�`�:���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6
Cm) ,Zn i��� �M(7 �8� h = VmV − �n + Vm) − in:�U�
C v&N��� ." ��8� m) ,Zn �M(8�CmV ,)n% v&N��� p9&� 1��T��Q"
)V − = V − )
) − Z = )� − V�)i − Vi = % ���
v&N��� i�� .�� >3�� % i��� &M� ��7 )− = % ��� × i����� ∴
)− = m )V −n × i��P
V = i��P
�i��� &M� ��7
[���� �M&Yy�]�!�� [��
/
�B�
:�# m) ,Zn �M(8�* & % V O��� >@� % i�� �3���m)i − in P = )� − �
mZ − in V = ) − �o − iV = ) − �
h − iV = � i�� �3��� ∴
�U� 46 F%�QCm\ ,on �M(8� �8� Vh = �m) − �n + �mV − in ���3��� v&N�3 i�� �3��� �+%6 b
myn F�`� �+%6 �T ,e = Ve − �V + i\ − V� + Vi :���3��� ,% �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� 46 cBT6
C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���
:�U�e = Ve − �V + i\ − V� + Vi
Ve− = j , V = / ,\− = F r�Q v&N��� �3�� ����� v���� ��S .�� �3���m\− ,on �M(8� �� � ����*
Ve− m\−nV + mon\ − Vm\−n + Vmon e = Ve − b − V\ − )o + Zo =
Cv&N��� ." ��8� m\− ,on �M(8� ∴
6B − V/ + VFF )V = :�#&M� ��7 F�I ,m)− ,Vn % v&N��� p9&�
h = )eeF )V =
Z−\ = m)−n − \ −
V − o = �� − ���i − �i = P = % i��� &M� ��7 ���
�C�
�M(8� �8� i�� .�� >3�� �# % i��� &M� ��7 46 K&�7)− = 'P × P :i�� ��� 'P ���
\Z = 'P O8�% )− = 'P × Z−
\ >6m)i − in 'P = )� − � :�3��� @5t7mo − in \
Z = m\−n − � )V − i \
Z = �)V − i \
Z = � i�� �3��� ∴
�U� 46 F%�Q �+%6 �T ,e = )o − �b + io + V� + Vi :���3��� , % �#p9&� ��� v&N��� ." ��8� m) ,)n �M(8� 46 cBT6 y
C�M(8� ;@# �8� v&N��� ;@� i�� �3���
�C�
Intersection of Two Circles …ƒà°ùªdG »a ø«JôFGO ø«H ábÓ©dG
#- , 52 �� 8LI&�> (� ، 6N , (� ، N 8>�]�!�� ,$%��� ��#^P_��� ��J+�� �!T�9Y ,.�>�]�- .�� �=L�� �*�"!�
`0� -!OJ .�>�]�!�� X�M � �Y ��0I3 .�>�]�!�� X\��� .�� !L+�� �Y"&� 8):����� /3!V�� �� .j�+� 0H �� .�>�]�!��
�e�=� $%��� .�>�]�!�� .�� �=L�� .J�M&�� � �Y ��0I3 6 .�� �=L�� .� �qa4 .J\����� .�� !L+��
.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�#�;��� 7� �� .� �+�43
68>�]�!��
.��M&Y �� 8LI&�>.�� P�T� � + � > 6 > |� − � |
X39J .J\����� .�� !L+�� −.J�M&�� � �Y ��0I �0�V�
[���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −#y!��3 ��&�*� RP� �H
6 8>�]�!��b�2"p 8�*��� � + � = 6
X39J .J\����� .�� !L+�� −#.J�M&�� m�Y ��0I .�� 7� �� [���� �M&Y3 .�>�]�!�� �\��� −
#y!��3 ��&�*� RP� �H6 8>�]�!��
b�Pp�- 8�*��� |� − � | = 6
.� �+�4 .J\����� .�� !L+�� − X�M m�Y ��0I �0�V�
#.�>�]�!�� 6 8LI&�> k 8>�]�!��
K8>!�+��N � + � < 6
.� �qa4 .J\����� .�� !L+�� − #.J�M&�� � �Y ��0I .�� 7� �� 6
8LI&�> k 8>�]�!��K8�Pp�!��N |� − � | > 6
:áeƒ∏©e �8� �@�� m , n v&N��� :k��7 ���8�
C�#&M� ��7 % v&N��� p9&� 46:á«°VÉjQ áeƒ∏©e
r�`� �8 �B�� &�}6 M�< >6 F�I ,r�`� �9 �� � &5�� ������ ��I $�s� ��
C����I ��* X&�� �� &B96%
'52 + '6 > ' > |'52 − '6|
'6'52'
��
q+
j
3
≥HÉ°ùdG º∏©àdÉH §HôdG
���
πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG
:������� � �� � �������� ���� ����� ���� ��� ���� ��� �� !�"# $%& ' (
)�*�+,-. / 0�12� �3�M& 5"* 0�I �78 9�� ��:; <��� ��� ����2�� �%3 �"� �*�+ -� �1�
)��=>� ��2�� ���� ?� @A�2B � @�#�= � @��= � @&�B �� � ��C��
� D=
�
��−�−
�−
�−
D−
D−
E )<��2�� ��� �"� ��� !������ � �1� ��=(
?������� ��� �� � ��� ���:�GC27� � @MMH� IJ( $�.
, ���2�� L�B �� � �1M� MNO�� , ��2�� ���� = ?���. MNO�� 0�2B ��� � @�#�= � @�� �1M� E MNO��:?���� �78 �"#( ���
)<��2�� ��� ��=>� ��2�� ���� ?� E= ��C2�� ��()P�*�+,-. /Q 8�C�� �78 ��C2�� -C&(
)�R� �1� ��> !������ !�8�& S�H.(:���M���
�PE Q + �P =Q = �PE=Q , �� -��N�� E = V7W2�� �78 XY�Z�W�� ��[* S�H.G.�� + �� = �PE=Q
� = �PE=Q S �F = E=
��C2��8�C�� = ?���� !�8�& S�H.G.
-. �\\ × �F�*�+,-./ = S �F
�*�+,-. / = ?���� )�*�+ D] ⋍ ?����
:�3 �F �3�M& 5"*= P\ ,\Q= �3���� ��� !������ � �1�� = �^ + �_
��� �� �����)PY��>�� �MN�� 5"* 0�IQ ` = �P� − ^Q + �P� − _Q :� �12��� a���� b%2O� ,����� c��� Y�3d e�#
)a� �1�= ���f�� ����� �M& 5"* 0�I ��=G� ,-. �\ 2[O� ��2C� ������ e�g�� �OM#( �h�
�CA
á©°SÉàdG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe
w��0��T��Q-�
��� ��(�0� FG�
O�3���%
��B���(�0�% �M(7 ��*
�=�8�������U��
�3���v&N���
�3��� i�� .��v&N���
��0(���(�0� ��M�
v&N���
1��T��Q" �M(7
���8� ��M�
��(�0�
��� ��* ��L��� %�p� ��% ��(�0�
�M(7 ��* ��B���(�0� F5%
v���������
v������=��(�
��L�����&N�3 ��*
��0(� ��
�5��� ��0(�
��H��G�
&���� F���
�3���
��* ���0����M(7
�CB
¢üî∏e
#.��M&��� '�(�!�) .�� 7� P� �&PM��� ���&�� X39> '��9�� "0O� RP� 6 , .��M&Y .�� ��9��� −# �K�Z − �ZN + �K�[ − �[NF = 6 :K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N .��M&Y .�� �P]��� ��9��� −
�H 6 m���� �M&Y 8o� K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�O� ���&�9� �LM 6 iY� �@) −#a�Z + �Z
� , �[ + �[� k 52
:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� $p�!�� .� 6 ��9&> −
# �Z 8 + �Z �8 + � = Z , �[ 8 + �[ �
8 + � = [
:^�� ��9&��� �M&Y KZ ,[N 52 , 8 :� �+9�� �;2 .� x"T�� .� 6 ��9&> −
# �Z 8 − �Z �8 − � = Z , �[ 8 − �[ �
8 − � = [
# �*4��� ��q����&�}� ��q��� = ��&�9��� FT�� $�� −
:K�Z ,�[N6 ,K�Z ,�[N ^�� 6 $�� −#�[ ≠ �[ :84 U�� �Z − �Z
�[ − �[ = � #θ� = � :'��9�� "0O�� �20��� �V>k� `� ��&�9��� ;L��J ���� θ �J3�\�� $� X39J � ��&�9��� $�� −
#�%L��3 - 52 $�� X39J 6 $�� 8o� - 52�� 6 8� �@) −#�%L��3 �− X39J �;�P�� 6�� |>Y 8o� .J!�L�� - 52 , 6 Y� �@) −
# 8 + [ � = Z '�-��� "0O� .� �0M&��� u\V��3 K�N $���� ���0PL�� ��&�9��� FT�� ��-L� −:0H � = 52 + Z 6 + [ {��-L�3 K/N ��&�9��� RP� K�Z ,�[N � �M&��� .� /Q��� -0�L�� /0I −
# |52 + �Z 6 + �[ |�6 + � F
= G #� = �K5H − ZN + �K- − [N : H�M m�Y /0I3 K5H ,-N � H\��� ���� y�]�!�� ��-L� −
�CC
i��0( 6 ,F ,/ ^�� � = 6 + Z F + [ / + �Z + �[ :y�]�!�� ��-L�� ��L�� y"0��� −
� < 6B − �F + �/ ^�� 6B −�F + �/F �� = , `
F� − , /
� −j y�]�!�� \��� 8) ^��3
#^P_��� ��J+�� �!T�9Y .��LI&�� .�>�]�- .�� �=L�� �*�"!� −#�− = $�� × [���� $�� :�=L�� �!T�9Y y�]�- RP� �M&Y !�� [���� $�� -VJ: −
���
IóMƒdGIöTÉ©dG∫ɪàM’Gh AÉ°üME’G
Statistic and Probability
máØ«Xh oQÉ«àNG :IóMƒdG ´hô°ûe
������� ��� ����� ����� �� ?���� ����� �� ?����� !���" �� ?#�$��%� ����& #$"��'" ()*� +, :����'� #�-�� .?� ��,�/
?�0�1 2�%� 3�4 �5� ,�)�7� 89 � �'�; ��$� ���<4 #)=��>@��;� �� #'0� !��A� B��*� �� C7D E� � F5'G #��$� H���� ��'� �� I)�� ��J&�" ��5��� KL
H����M N�O� PQ��*� R)1 Excel S��T�" U�-7���� 9��V�� QJ-' ���WO #T/�Q� NXQ" !-�� KL :Y-0� Z H���9 ��J &-*� I)�� ��J&� RL ����� -%�� [�; ,����'� ��0 8���\� Y-0� KQ5 YQ� ��Q�\� ���&L #���4 �1
>�0D� �� �� N�"��� ��>#���; #] − PQ��; :U/�Q)� ^
:#$"��'� _:#���� #)=�\� �1 #"�A`� R)1 P�M� N%D
b>>> +'1 +"��� − 2��� − +,\� ��c ?2�M� @�)1 +V* E�� I)�'� �� � b>>> ,H��)�T ,U�$Ic ?�Q��� 89 2�M� @9�V E�� I)�'� �� P
b>>> ,H�%� ,P�$� ,�'���c ?2�M� @9�V E�� NMQ�'� ��e I)�'� �� fA b>>>> ,�g �0D ,�g�1Q���c ?2�M� h�J&� E�� I)�'� �� &
3 ��V'�� +J-) #*X�� #�-%" � ��9�� ����'� ����� H�QMJ ��� +V�� � ��� #"��4 R)1 P�M� � i�; :� ���� j>� g ���X k K�4 �kL (0��"��; #$A���� ��59\� �&��� R)1 (0$%D >��J&l��
IóMƒdG ¢ShQO
H�T���� +�)*�H��1�"�\�E���$'� Y��*Tl�-$� m�IU���'� ��'�;l�
.−.oZ−.o^−.o_−.oj−.o
���
��&�T p�-;� PQ��; 89 +M1 p�-; �MJ m����� KL �� �g�1��MO� � ��'M +'* q���O 89 �� � �J] !�')$� @���* ,E�QT +1��� 89>@��TQ5� �� +4 89 +)7� ��'�;� ����1l�"
P��� Hl�'�;� RL �QOQ) !�')$� Y-0 Q, +M1 p�-; ��'�;� K� E� r−.o :. �� 89 U�1 ��J KQ�)� RL . #���� �� 2 �M N'%� ���, K�4 �kL �5� >E�QT +1���
???E�QT +1��� #=' � ���'M� +'*� 8�� s ��QV� t$" 89 �� +M1 p�-; ��'�;� P��� #�1��MO� H�;�� 89 � ���<4 +�� #���� h�, �5� ..o>#Q,u'�
∂JÉeƒ∏©e ≈dEG ∞°VCG
(áÑ°ùàμªdG á≤HÉ°ùdG ±QÉ©ªdG) ¿B’G âfCG øjCG• +�<'� − �-'1\�" 8T��" +�<'� − �QV� 8T��" +�<'�c H�T���� v�1 w')$�
>b��x�-�" 8T��" +�<'� − UQM7�" 8T��" +�<'� − #$'%'� U����" 8T��"• FM7� − ��Q�'� − F��Q� − 8"��*� F�Q�'�c H�T���� 3O� w')$�
>bm���\�� m���• >#�T���� ��%�� w�-7���• b2������c + &���� � �'0� 2����� �0�9 KQ5 Hl�; 89 -$� m�I w��I
>bB�9�Q��c (0� ��e 2����� �0�9 KQ5 Hl�;�• >��'�;l� P��; w')$�• >Hl�'�;l� &�% ` P��%�� w�-7���
?º∏©àJ ±ƒ°S GPÉe• >��AQQ�5�� U�-7���"� � g ��A # �4�'� #1��� z� ��� P��;• >H�T���� +�)*� 89 z� ��'� h�, U�-7���• #M��Q" �0)�<'�� H�T���� 89 #�'7� &�-1\� +'%�� H��1�"�\� - -*�
>�,������ ���X��$� �k m�-�V�• >E���$'� Y��*Tl�" �0�M�1 ��J �� H�T���� w��� #���&• >#�x�V;`� H�T���� �����• >-$� �-�� U�-7���" +x��� +;• >+ &����� B�9�Q�� ��T�QM U�-7���" +x��� +;• >U���'� ��'�;l�
á«°SÉ°SC’G äÉë∏£°üªdGw���� − #�'7� &�-1\� +'%� − # �4�'� #1��� z� ��� − H�T���� +�)*�
-$� �-�� − � ���� − E���$'� Y��*Tl� − ���X��$� �k m�-�V� − H��1�"�\� −>U���'� ��'�;l� − #)���'� p�-;\� − B�9�Q�� − + &���� −
IóMƒdGIöTÉ©dG
���
º∏©àJ ±ƒ°S
• z� ��� &�% L # �4�'� #1���
U�-7���"� � g ��A ��AQQ�5��
• z� ��� U�-7��� 89 # �4�'� #1���
H�T���� +�)*�
8T��$� +'1���� �� ������ � �����I �� ��� ���!�"��# $�%�&�� '�I( )�!�� '*�+� ,�
��������-��������.�����������/��-��.��.�����-��/��������.�����.��-������������������������
�01M�� 3456 '�I7 8#�"9�� F;!��� <�=> ��;�9�� ��?� @�A!;� �
:á«°VÉjQ áeƒ∏©e
Q, b.ro ,.jj{ #=�� �4��.j|}j = .ro + .jj
Z
?$������� CDE� F�;�� �% :8��!�� '*�=�� G�H( P
#=��−���−���−���−���−������5��
#=�� �4��
?F�;�� I�J!K 8!�� �LM�� �% fA?��H7� N��O!�� I�J!K 8!�� �LM�� �% &
�01M�� 3456 $�%�P '�I7 8#�"9�� F;!��� �=!� N��O!��* $�LM�� QH��% @�A!;� f,?R�1K �S�% � f, '�5"�� 8T �=�!���* � '�5"�� 8T �=�!��� I�# UN�P �
Measure of Central Tendency ájõcôªdG áYõædG ¢ù«jÉ≤e V� W,� � ����* � �<�� ��* ����!!% @��( X�Y� ,MZ�� [K�*N '� �;�N< 3��\] �� �";5% *( �H^ ��% U( _��T� `�
?V��] a�!b cD�� dT �,Y% @�� � [K�*��� F;!%
äÉfÉ«ÑdG π«∏ëJ
Data Analysis
1-10
��.
Mean »HÉ°ùëdG §°SƒàªdG:IÉ«ëdÉH §HôdG
,{5 ,4 ,4 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,1} = x <�M�% ��g!% *S $����# '�h<>{xn; freqn}i ��# GO� $�N��O!�� <�� I��Y!� FREQ <�Y�� @��A!;�#
�F;!���* U�O"�� cN��Y��� j��9�4� 0�"�* ,{5 ;1 4 ; 2 ,3 ; 3 ,2 ; 2 ,1 ; 1} =SHIFT MODE kSETUPi kSTATi kONi4 1
MODE k1 −VARikSTATi3 1
SHIFTAC kVari kxikSTATi 3 21 =
SHIFTAC kVari kσ xikSTATi 3 21 =
1 = 2 = 3 = 4 = 5 =
1 = 2 = 3 = 4 = 2 =
1٫154700538 :U�O"�� cN��Y��� j��9�4� � F;!��� :lK����
345
345
321
STATx
FREQ
1
3
1.154700538
<���7� I% U m� 8#�"9�� F;!���:6 ,Un ,��� ,�n ,/n ,�n
Un +��� +�n + /n +�nU = n
Nn ن
� = Nن� =
8#�"9�� F;!��� <�=] ���O� �%�� XNp#* U��&�� @��A!;�# $�LT *S cN��OK '*�\ I%
:8��!��
(Iô°TÉѪdG á≤jô£dG) :¿ƒfÉb
K� KH +>>> + ^� ^H +Z� ZH + .� .HKH + >>> + ^H + ZH + .H = �
b�� �Hc ن. = �
�H ن
ر = ١
=
,� #=�� ���5� �H [�;,� #=�� �4�� ��
H�=�� &-1 K
b.c ��<�># QT�<� #);�'� 89 ����I ro f� U��AQ)�5�" K�/�\� 8��� ��-%� �i��
>P�M� !l�, K�/�\ 8"��*� F�Q�'� -A��#=��−jo−jj−ro−rj−|o−|j−�o
���5��_|.Z._..�^
���
:+*�b#���*� #�� U-7���c :8��� ��-%� � Q5� �5'
#=���� #=�� �4���H ���5���� �H−jojZ}j_Z.o−jjj|}j|_oZ}j−rorZ}j.Z|jo−rjr|}j._�_j−|o|Z}j..|�|}j−|j||}j�r�|}j−�o�Z}j^Z_|}j
ro = �H ٧
. = �_ojo = �� �H
٧
. = �
r|}j = _ojoro =
b���Hc ٧
. = �
�H ٧
. = �
= �
>� ����AQ)�4 r|}j Q, ����I ro K�/�\ 8"��*� F�Q�'� K� E�+*� K� ���;
>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� �&�� 89 ����I |o H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� .>H�A�-� h�0 8"��*� F�Q�'� -A��
#=��−Zo−^o−_o−jo−ro−|o−�o−�o���5��_�._.j.^�_^
>8"��*� F�Q�') � �� � #�� ��� #'�M &�% L� H�"��*� F���� �5' >bH�T���) ���5� ��4� +"�� E�� #=�� �4�� KQ5 K� ��*��'� ��c Y �g�X�9 ��M�� �JuT
���
Median §«°SƒdG
:Q, �g�/��� �� � g -1�V� #���'� (��� �� K &-$ F��Q�>� g &�9 K &-$� K�4 �kL (��� F�Q� E�� &-$� �
>�g�A�/ K &-$� K�4 �kL (��� 3V��� 89 � &-$) 8"��*� F�Q�'� P�'0����� ���)� ���'��� F�Q��� � g &�9 K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + K
Z �0����� 8�� #'��� Q, F��Q� K� E� >�g�A�/ K &-$� K�4 �kL &�-1\� �� . + KZ , KZ
���E��O� *( 'q���� r�=!��� N��O!��* ���p�� r�=!��� N��O!�� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� <�=] IO� bZc ��<�
># QT�<� #);�'� 89 ����I jj H���M ��QI\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �XQ >-1�V� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�
H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)
N'%�'� ���5��-1�V�
−.jo^−.jj|−.ro�−.rj.Z−.|o.o−.|j�−.�o_−.�jZ
:+*�
H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)
N'%�'� ���5��-1�V�
−.jo^.jj �� +M�^−.jj|.ro �� +M�.o−.ro�.rj �� +M�.�−.rj.Z.|o �� +M�^.−.|o.o.|j �� +M�_.−.|j�.�o �� +M�_�−.�o_.�j �� +M�j^−.�jZ.�o �� +M�jj
��/
�H Z = F��Q� 2����
Z|}j = jjZ = F��Q� 2����E��� F��Q� K� ��� +5�� ��
>.r�}j ��� ���
+*� K� ���; ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" U��AQ)�5�" ����I Zo K�/�\ F��Q� &�% ` 8��� H�T���� ��-A +'4� Z
>-1�V� N'%�'�
H�=�����5�� ��)$� &�-*� �� +M�#=�)
N'%�'� ���5��-1�V�
−jj^−ro_−rjj−|or−|jZ
rojo_o^oZ|}j
.r�}j F��Q�H�=�) ��)$� &�-*�
-1�V�
N'%�'
� ���5�
�
Zo
.jo .jj .ro .rj .|o .|j .�o .�j .�o
.oo
���
b^c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� N /Q� 8��� ��-%� �XQ
>�/��� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" F��Q� &�% ` ��-%� +'4�H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj−roo^o−|oo^Z−�ooZo−�oo.o
−.ooo^:+*�
H�=�����5���<4u9 #=�) RT&\� -*��/��� N'%�'� ���5��−jooj�<4u9 joo.oo−roo^o�<4u9 roo�j−|oo^Z�<4u9 |oorj−�ooZo�<4u9 �oo^^−�oo.o�<4u9 �oo.^
−.ooo^�<4u9 .ooo^
�/��� N
'%�'�
���5��
joo roo |oo �oo �oo .ooo ..oo
Zoo
_ojo
|jo R�Q; F��Q�H�=�) ��T-� &�-*�
ro�o
.oo
.Zo
jo = .ooZ = F��Q� 2���� >|jo ��� ��� E��� F��Q� K� ��� +5�� ��
��-
+*� K� ���;>�/��� N'%�'� ���5�� R�*�' 8T���� +�<'�� U�-7���" ����I Zj H�A�- F��Q� &�% ` 8��� ��-%� +'4� ^
#=�����5�� RT&\� -���<4u9 #=�)
N'%��� ���5���/���
−jZ−�j
−..�−._r−.|_
'q���� r�=!��� N��O!�� s�9���* ���p�� r�=!��� N��O!�� s�9��� 8������ G� �!�� @��A!;�# F�;�� ����&K ���P <�=] IO��� �Y%
b_c ��<�>��� -�" H�4��� �-;L 89 3�Q� #=' # �0�� 2����� 8��� ��-%� �XQ
&�% `� �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V� N'%�'� ���5�� ���� 8��� ��-%� +'4�>F��Q�
H�=��−joo−roo−|oo−�oo−�oo−.ooo���5��j^o^ZZo.o^
���
:+*�H�=�����5�� ��)$� &�-�� �� +M�
#=�) N'%��� ���5��
-1�V� #=�) RT&\� -��
�<4u9�/��� N'%��� ���5��
−joojroo �� +M�j�<4u9 joo.oo−roo^o|oo �� +M�^j�<4u9 roo�j−|oo^Z�oo �� +M�r|�<4u9 |oorj−�ooZo�oo �� +M��|�<4u9 �oo^^−�oo.o.ooo �� +M��|�<4u9 �oo.^
−.ooo^..oo �� +M�.oo�<4u9 .ooo^ N'%�'� ���5� R�*�� N� -1�V� N'%�'� ���5� R�*�� NI���
>U #M�T -�1 �/��� R)1 U #M��� �� UQ��'� &Q'$�
>��� ��� |jo &-$� 8M$ 8�9\� �Q*'�>��� ��� � ���� & |jo E��� F��Q�
joo
.oZo^o_ojoro|o�o�o
.oo
o roo |oo �oo |jo �oo .ooo ..oo
U
+*� K� ���; N'%�'� ���5�� ���� #A�& .oo R'�$� # �0�� [�; H��X� �� ����J� 89 ����I ro H�A�- 8��� ��-%� +'4� _
>F��Q� &�% ` � �$� �'0 8T���� +�<'�� U-7��� (� ,�/��� N'%�'� ���5��� -1�V�H�=��−-�−��−��−��−��−.����5��������/��
���
Mode ∫GƒæªdG>H�T���� � � ����5� �<4\� #'��� Q, ��Q���
bjc ��<�
:� �� � ��Q��� -A��j ,.o ,r ,j ,_ ,| ,� ,� ,j �
Z ,.| ,.r ,.j ,.. ,Zo ,.Z ,.. ,.� ,.Z P| ,| ,| ,| ,| fA
| , r ,j ,r ,j ,r ,j & :+*�
b� ����5� �<4\�c j = ��Q��� �.Z ,.. :Kl�Q�� -AQ P
��Q�� -AQ l fAr ,j :Kl�Q�� -AQ &
+*� K� ���;:� �� � ��Q��� -A�� j._ ,| ,r ,.Z ,j ,| �
.o ,| ,� ,.j ,.Z ,� ,� ,.j P. ,. ,. ,. ,. fA
_ , _ , ^ ,� ,� ,^ ,� ,^ &:á¶MÓe
�9 H�T���� � ���5� -AQ � �kL>�� ��Q�� -AQ
��Q�� �� �<4� -AQ K� �5' �>(��� #1Q'%�
:IÉ«ëdÉH §HôdG bCasio Classpad 300c #����� #�� U-7���
:#���� H�T���� ��Q��� F��� &��` � ,j ,j ,| ,. ,� ,^ ,| ,j ,r ,^ ,_ ,j ,^ ,Z
>bH����M�� #'x�M �c Statistics
��T�
�� ��\� NXQ�� � ���� K� �� -4u� ;list 1 U-7���>list 1
!��� � �0� YQ� ��,� ,��\� �4��� � Z +J&�>Z = �.{ �4 #D��� �� ����
>#'x��� � ���� NXQ�� �L ����T� EXE ������ �1 FWX� . #'x��� #*xl � #������ H�T���� (�M 2�4�
>list 1 � ���J&L (� 8�� H�T���� #9�4 #D��� �0��>��J&L +4 -$" EXEH�T���) 8�OQ� !�V;`� �1 �Q<$�
>8�OQ� !�V;`� �1 �QV*) (x�Q�� F � � Calc �1 ��T�One−Variable �1 ��T� �� -;�� �W�� N� +��$�T �*T
8�� #'x��� ����J� ���� Set Calculation ��9�T K�9>#)V� H�k H�T���� �1 EQ��
OK FWX� �g��O� ��9Q��� H�!�V;`� N��
:#D��� �1 �0���W��� ���the mean ���� F�Q��� >8�$� ,• • ,��\� #'���
b# ¡1 �/��� ^ �Lc _}�r| E� 73 H�T���� �Q'¢ E� ∑X =73:8�$� #�T�<� #'���
>.j H�T���� #1Q'¢ (�M &-1 K� 8�$� n=15 ��Q���� F��Q� �� +4 &��` +��\� �L @%�T
j E��� F��Q� 8�$ Med = 5j E��� ��Q��� 8�$ Mode = 5
���
:á©aGôdG ¿ƒfÉb ΩGóîà°SÉH …QGôμàdG ™jRƒà∏d ∫GƒæªdG OÉéjEG>���5� £4� �0)"�� 8�� #=�� 8,� #��Q��� #=�� &-*T
>/� ,�� 2��¤� �1 #��Q��� #=�) ����� #�;��� ����� #�"��� ¥�=�) ���5�� &-*T:KL [�*" +5�� � �4 #��Q��� #=�� (�� ��Q���
b� − Yc × Z� = � × .�#��Q��� #=�� �QI = Y
� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���>��Q��� P��� ¦#$9��� #� �M"§ Y�$ �� ��,
:���� +5�� �1 #$9��� KQT�� #�X� � #W�O NX� �5' �Y × Z�
Z� + .� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���
brc ��<� >����I jo -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�
> P�M� -�1 #�1Q��\� #���-� H�1�� &-$ ��Q��� -A��
#=��−^j−_o−_j−jo−jj���5��|Zo.jrZ
:+*�#$9��� KQT�M U�-7���"
_o = #��Q�'� #=�) RT&\� -*�j = #��Q�'� #=�� �QI :Y
| = #��Q�'� #=�) #�"��� #=�� ���5� :.�.j = #��Q�'� #=�) #�;�� #=�� ���5� :Z�
b� − Yc × Z� = � × .�b� − jc × .j = � × |
� .j − |j = � | |j = � ZZ
|jZZ = � ^}_. �
Y#��Q��� #=�� �QI
����� B"��� ���5��#��Q��� #=�)
����� B;�� ���5��#��Q��� #=�)
��Q��� �.�Z�
b� − Yc
��Q����
| = .�.j = Z�� − j
:Ió«Øe áeƒ∏©e:#$9��� KQT�M
>�01��k �QI × #������ = �01��k �QI × �Q��
#������ �Q�� ���k
#������ ���k�Q��
���
� + #��Q��� #=�) RT&\� -�� = ��Q���^}_. + _o ��Q���
_^}_. >��� ��� #��M& Zj� #1�� _^ P�M� -�1 �g�1Q��� #���-� H�1�� ��Q�� KQ5 �"�
+*� K� ���;>� �V7D Zo -�1 ������Q5� �-$' E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� r
U�-7���" ¨�7D\� !l�, -�1 ������Q5� �-$' ��Q�'� -A��>#$9��� KQT�� #�X� �� #W�V�
#=��−�t�-−�t��−�t��−�t-�−�t��−�t�.���5����-�-�
�LM��* X^��% �&#�"�� �LM��* '���� �LT ��u '1h I% cN��O!�� aN��� @��A!;�# �v����# '����� ����&K ���P <�w] IO��X^��% �&�1��
b|c ��<�>H������ �-;L � ��� -�" ¥��Q�� 2���� E���5�� N /Q�� ���� ��-�� ¥�
>¥��Q�� 2���� ��Q�� #�� ��� #'�M &��l E���5�� ©�-') ª���� +�<'�� U-7���#=��−Zoo−^oo−_oo−joo−roo−|oo
���5��jZ|^jZo.o^
:á q«ë°U áeƒ∏©e � ������Q5) 8$��M� �-$��
:w Q5� #�& � U-�CHOL >>> 3>10 5>20HDL>D >>> 1>04 1>68
��.
:+�� − joo 8, ����� #�;�� #=��� − ^oo 8, ������ #�"��� #=��� − _oo 8, #��Q��� #=�� K� ��-�� ¥�
���5��
#=��j
U
.o
.j
fAP
&ZoZj^o^j
o Zoo ^oo _oo joo roo |oo �ooU
8,� ��Q�') #�� ��� #'�M �1 +V*�9 >U #M��� � @$M� 8�9\� �Q*�� �1 � �&Q'1 (��T & P N� fA NI��� #M�T ��>� ���� & __j
+*� K� ���; #'�M &�% ` E���5�� ©�-'� U-7��� >U��AQ)�5�" � g QT�� � ���I ro K�/�\ E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� ��� |
>P�M� !l�, K�/�� ��Q�' #�� ���
#=��−ro−r_−r�−|Z−|r−�o���5��|.Z.�.o�j
���
8T��$� +'1:8� ��H �\N< /� s�xY�� ��E��� y�� $��z���� X<�% 8T 01M�� $�\N< {��H
,�� ,�� ,�- ,�� ,�� ,� ,. ,�� ,�� ,�-,�� ,�� ,�� ,�. ,�- ,. ,� ,� ,�
��� ,�/ ,� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�� ,�-����P s�<(* ���P s��( I�# |�M�� �\*( .
��v���pK $������� CD6 }�P [KN Z�$������� CDE� F�;�� �\*( ^
:I�*�"!% I��"P s�] $������� }�P F�;�� }"& _ {�p� cD�� F�;�� I% �g~( 86 8!�� }�&�� ���=�� s�<7� F�;�� �\*( �
�k�i '�5"�� 8T V��� {�p� cD�� F�;�� I% ��H( 86 8!�� }�&�� ���=�� s��7� F�;�� �\*( P
�k�i '�5"�� 8T V���:����!�� }�&�� � v���pK [KN j
�$������� s�xY�� ���&�� ,s��7� F�;�� ,F�;�� ,s�<7� F�;�� ,$������� ��gp�� ���&��
º∏©àJ ±ƒ°S
w���� z� ��� ��• �-'�• H��1�"�\�• �k m�-�V�
���X��$�
:ôcòJ
H�T���� �� #'��� Q, :F��Q� �0����� -$" 3V��'� 89 8�u� 8��
>�g�/��� �� � g -1�V�
4 �E�O�* F�;�� I� *( 8#�"9�� F;!��� I� $������� }�P �Y# *( 0�P I� X�OT ���MYK # �4�'� #1��� z� ��� U]��6N��!��* }�&�� CD6 rqK ��M�H �zK
�$������� 8T ��g!�� ��% k{!�!��i N��!�4� ���&% �pKX����!% $�<�M��� UOK �%��� � ����H UO* �EJY# I% �#N�&!% $������� $�<�M% UOK �%��� � ���g~ {!�!�� UO
� $������� CD6 }�P ���=K ��% �T�Y% 8T I�OK {!�!�� �;�N< ���6�T�8#�"9�� F;!��� �M� ��E�� $������� I% U�!��=% ���� U�H �S]
��E��# �% 8T � �%�="��* � �"��=K � H7� UOK 8#�"9�� F;!��� I% � H( ���P �EK����# }�P 8!�� ���=��� U�T������ �T�Y% 6 N��!�4� ���&% F"#(
>��WV� #'��� − R'�$� #'��� = �-'� ,���H GO�# ����� �QK �P 8!��* �T�M!��� ���&�� I�J! U( IO� cD��* $������� }�&� G%�O�� N��!�4� ����� �z
�$������� }�P N��!�� I� �LI�h X�OT 8MYK 8��!��#*
2-10äÉ«YÉHQC’G
Quartiles
���
b.c ��<�:#���� H�T���� (�� �-�� -A��
._ ,.. ,� ,r ,.Z ,.o ,� ,| �_| ,.� ,Zo ,.. ,.o ,.j ,.Z P
:+*�� = r − ._ = �-�� �
>(��� ����Tl � g-A � ���4 � �-� wM1� _| #9�M��� #'��� >^| = .o − _| = �-�� P+*� K� ���;
:#���� H�T���� (�� �-�� -A�� .j� ,_� ,_j ,_o ,j^ ,j| �
.Z_ ,.^Z ,.^o ,.Z� ,.|r ,.Zj P�8��#N7� ����* $����#N7� @�A!"� $������� }�P � �T�M!�� ���&�� I� lK���� ��O�� ���� G6�=!� 8O�
Quartiles n äÉ«YÉHQC’G
:l!�!"� �E�%* ��#N( - �] $������� }�P $����#N7� }"&K* ,Mp� �] $������� }�P F�;�� }"&�RT&\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% s�<7� �p��� F�;* 6* .� '*7� 8��#N7� �
�F��Q� s�"* $������� }�P F�;* 6* Z� �� �� 8��#N7� P��1\� 81�"�\� s�"* $������� }�P I% `�7� �p��� F�;* 6* ^� y�� �� 8��#N7� fA
��N − �N = 8��#N7� ���� &>"#�'³� &�-1\� +'¢" bR'�$� #'��� ,�1\� 81�"�\� ,F��Q� ,RT&\� 81�"�\� ,��WV� #'���c R'��
bZc ��<�>Zo.Z − Zo.. U-�� ��5 /��'�� 8� Q5� E��-� Sx��T ���� ��-�� ¥�
B ���#��&���w Q5� �$�#�����!��0��#'��4´��P����U����j._o^^ZjZ_ZZ.|._
>� g -1�V� (��� h�, 2�� �>�-�� #'�M -A�� P
>b81�"�\� �-��� �1\�� RT&\�c H��1�"�\�� F��Q� (�M -A�� fA>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� &
��/
:+��j. ,_o ,^^ ,Zj ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ �
b��4 �-�� K� µ;�Tc ^| = ._ − j. :�-�� P Z_}j = Zj + Z_
Z = b /� c F��Q� fA
j. ,_o ,^^ ,Zj , Z_}j = Z� ,Z_ ,ZZ ,.| ,._ :F��Q� N� H�T����Z_ ,ZZ ,.| ,._ :(��� F��� Q, RT&\� 81�"�\�
.�}j = ZZ + .|Z
= .�
j. ,_o ,^^ ,Zj :(��� F��� Q, �1\� 81�"�\�^r}j = _o + ^^
Z = ^�.| = .�}j − ^r}j = 81�"�\� �-��
bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c :#�'³� &�-1\� +'¢ &:���� +5�� �1 H�T���� (�M 2���� �5' :#�;��
j. ,_o ,^r}j = ^� ,^^ ,Zj ,Z_}j = Z� F��Q� ,Z_ ,ZZ ,.�}j = .� ,.| ,._
+*� K� ���;>Zo.. −Zo.o U-�� ��5 8� Q5� E��-� Sx��T 8��� ��-%� ��� Z
B ���#��&���w Q5� �$�#'��4!��0��´��#�����P����U����j._|^�^�.�.r._.Z
>H�T���� h�, (�� 81�"�\� �-��� H��1�"�\�� �-��� F��Q� -A�� �>"#�'³� &�-1\� +'¢" 2�4� P
Box Plot ¥hóæ°üdG §£îe 8��#N7� G � k|*��p��i cQH�% G�M!"% I% UO! 6* $������� }�&� �"��� <���7� G�� �p ���# G� � 6
s�xY�� ���&��* ��gp�� ���&�� U1 � ,!E+� I% ,!��&!"% ,!YMP* �N `�7� 8��#N7�* /N F�;��* �N s�<7��¥�X��$� dE��"�*
���
b^c ��<�>Sx���� i¶9 >¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (�¤ bZc ��<�� �� "#�'³� &�-1\� +'¢" U-7���
:+��bj. ,^r}j ,Z_}j ,.�}j ,._c : "#�'³� &�-1\� +'¢"
o .o Zo
bZ_}jc F��Q�Z�
b.�}jc RT&\� 81�"�\�.�
b^r}jc �1\� 81�"�\�^�
m�-�V� FM·
R'�$� #'�����WV� #'���
^o _o joj.
j.^r}jZ_}j.�}j._
._
^�Z�.�
F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� �� �WO� 8, RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" ��QV*�� #�M��� K� m�-�V� FM· ¥� >RT&\� 81�"�\� �L P�M� F��Q� K� E� >�1\� 81�"�\��
:k ����� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �1 -$���� RT&\� 81�"�\�� F��Q� ¥" �0�$" �L �<4� #� �M H�T���� (�M ����T� KL
¥" #1Q'¢� [�<�� ��\� �4��� ¥" ��\� #1Q'%�� �0��" �� � #"����� # -T\� �� ¥�1Q'¢ ���, K� 8�$ �¸ >�1\�>�J\�� N"��� �4���
>#9�M�� #'�M &QA� ¥� l m�-�V� FM· K� �4
+*� K� ���;
>Sx���� i¶9 >"bZc +� K� ���;" ���9 � �&QAQ�� H�T���) ¥�X��$� Ek m�-�V� FM· (��� ^
��-
>Sx���� #T���� ¥M�-�V ¥MM· (�� �5' b_c ��<�
:�g�"���� � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" R�\� #1Q'%'� +<'�> ^jo ,^�o ,jro ,j�o ,_�o ,_|o ,r�o ,jZo ,_jo ,|jo ,_Zo ,^.o
:�g�"�1 � �-)" .Z 89 85 ��\� �l�-�" U�$M� R)1 E�0�� ���'� Y��V� �-$� H�T��" #�T�<� #1Q'%'� +<'�>|ro,.�o ,..�o ,..oo ,�^o ,ZZo ,�oo ,�oo ,^|o ,|oo ,rjo ,.ojo
># -1�V� #� �M" H�T���� 2�� . +5 £4\� #'���� �WO\� #'��� �L #9�X`�" H�T���� �� #1Q'¢ +5 �1\�� RT&\� 81�"�\�� F��Q� -A�� Z
>H�T���� �� #1Q'¢>#�T�<�� ��\� ¥�1Q'%�� �� +5 � g -1�V� #����� H�T���� � ��-7��� ¥M�-�V ¥MM· (��� ^
>Sx���� i¶9 _:+*�
:E-1�V�� 2��¤� 2�*" ��\� #1Q'%�� .>|jo ,r�o ,j�o ,jro ,jZo ,_�o ,_|o ,_jo ,_Zo ,^�o ,^jo ,^.o
:E-1�V�� 2��¤� 2�*" #�T�<� #1Q'%��>..�o ,..oo ,.ojo ,�oo ,�^o ,�oo ,|ro ,|oo ,rjo ,^|o ,ZZo ,.�o
, _�o = _�o + _|oZ
= R�\� #1Q'%'� F��� ,^.o = ��WV� #'��� Z ,j|j = R)1\� 81�"�\� ,_oo = RT&\� 81�"�\�
>|jo = ���5� #'���, |�o = �oo + |ro
Z = #�T�<� #1Q'%'� F��� ,.�o = ��WV� #'��� ,�|j = R)1\� 81�"�\� , j.o = RT&\� 81�"�\�
>..�o = ���5� #'���
���
^..�oj.o �|j|�o.�o
^.o _oo _�o
.oo Zoo ^oo _oo joo roo |oo �oo �oo .ooo..oo .Zoo
j|j |jo
#�"���\� ��-�
#�"�$� ��-�
89 -1��� ���, K� h��$� �� #�"���\� ��-� +<' E�� m�-�V� �� �QI� #�"�$� ��-� +<' E�� m�-�V� _ RL P�M� F��Q� K� -%T #�"���\� ��-� 8�9 >U�$M� R)1 #�"���\� ��-�� #�"�$� ��-� ��" E�0�� Y��V'� � g �0D � ��l�& _jo RL P�M� U�$M� R)1 Y��V'� K� R)1 �- �'� R)1\� 81�"�\� �� -$"� Q,� RT&\� 81�"�\�
:E��� �-'� K\ #9�M�� � �'�M -AQ l @T� � �')1>__o = ^.o−|jo
#�"�$� H�$'�%'� K� 8�$ �'� RT&\� 81�"�\� �� R)1\� 81�"�\� RL P�M� F��Q� #�"�$� ��-� #1Q'%� 89 ��� K\ #�"�$� H�$'�%'� 89���4 H���� ���, K� � �� � -%T �5� ,�g �0D � ��l�& |�o R�Q; U�$M� R)1 � ���<4 B���
:E��� �-'�>#�"�$� ��-� 89 81�'�Al� H����� R)1 �- �� .ooo = .�o−..�o
+*� K� ���;:Sx���� i¶9� #���� H�T���� (�� ¥M�-�V ¥MM· (��� _
r ,.o ,� ,j ,_ ,� ,| �^� ,.� ,.| ,Zo ,.r ,.j ,.o ,.Z P
���
3-10…QÉ«©ªdG ±Gôëf’G
Standard Deviation
8T��$� +'1 ���Y�� �p�� k0i ��Y���* k i ��Y��� I% G��*7� 01I � $�\N< ��N�&% GpM�� }�Y% <�N(
��\N< /� s�xY�� ��E��� y����/ ,�. ,�� ,�� ,�- ,�� ,�/ ,�� : ��Y��� $�\N<
��� ,�� ,�� ,�- ,�- ,�� ,�/ ,�� :0 ��Y��� $�\N<. ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� n �\*( �
�0 ��Y��� 01I $�\N�� 8#�"9�� F;!��� � �\*( P ���=% c( N�& U( GpM�� }�Y% r�M!" G6 ؛� ،n }�P s�] � �<��!;� fA
?GJT7� 86 }EK�\N< 01M�� I%:I����!�� I��*�=�� G�H( &
(0) ��Y� ( ) ��Y� Z(¨ -
ر(ص ¨ -
رص ر
ص
..
.Z
.^
._
._
.j
.r
.|�Q'%��
Z(� - ر�) � -
رس ر
س
.o
.Z
.Z
.^
._
.j
.|
.��Q'%��
º∏©àJ ±ƒ°S
:w���� z� ��� ��• � ����• E���$'� Y��*Tl�
>u E���$'� Y��*Tl�� Zu � ���� 8,� w���� z� ��� �� ��J� H��D�� -��� ��, 89 ()$�� YQ�
Variance and Standard Deviation …QÉ«©ªdG ±Gôëf’Gh øjÉÑàdG
:U�T n 8#�"9�� �EM;!% y�� U �6<�� }�&�� I% ���=% نn , ��� ,
٣n ,
٢n ,
١n {��H �S]
- س)/ر (س
ن
ر = ١
ن = /u = I��!��
/uF = u = cN��Y��� j��9�4� V�%*
���
ن$ , ���� ,
٣$ ,
٢$ ,
١$ ;$����# }�P 86 Un ,��� ,
٣n ,
٢n ,
١n {��H �S]
:6 }�&�� CDE� I��!�� UO�T [�K�!�� s�� }�&�� CD6 N��OK 86 - س)/
ن(س
ن - س)/ + .... + ت
٢ (س
٢ - س)/ + ت
١(س
١ت
ن + ... + ت
٢ + ت
١ت
= /u
- س)/ر (س
ر ت
ن
ر = ١
ر ت
ن
ر = ١
=
F/(س - ر (س
ر ت
ن
ر = ١
ر ت
ن
ر = ١
= u = cN��Y��� j��9�4�*
b.c ��<�:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A��
Z ,| ,^ ,j ,� ,r ,_:+*�
: ���� F�Q��� �l�� -AQTj = ^j
| = Z + | + ^ + j + � + r + _| س =
:���� ��-�� KQ5T
�� #'��� ���� F�Q��� �1 Y��*Tl�� − س�
���� F�Q��� �1 Y��*Tl� N"��Zb س − ��c
_.−.r..�^�joo^Z−_|Z_Z^−�
Z� = �Q'%��
_ = Z�| =
- س)/ر (س
ن
ر = ١
ن = /u � ����
:á«°VÉjQ áeƒ∏©e - س) هي انحراف
ر (س
عن المتوسط الحسابي. Nn
المتوسط الحسابي:هو ناتج قسمة مجموع قيم البيانات على عدد هذه القيم.
���
_ = Zu � ����>Z = _F = u E���$�� Y��*Tl�
+*� K� ���;:H�T���� (�� E���$�� Y��*Tl�� � ���� -A�� .
Z ,_ ,r ,� ,| ,�
bZc ��<�#���*� #�� U�-7��� �5'
>���)�7� ��A��TL �� H�1���" #�x�"�04 ��"�V� | �'$ �QV�� H�1��� &-1 8��� ��-%� ��� b c ©��TL. ojo�.o. ooo. o^o�_o�ro�|o
bPc ©��TL. .^o|oo�|o�ro. ojo. .�o�|o
>bPc ©��T¹ ¨ 8"��*� F�Q�'�� b c ©��T¹ � 8"��*� F�Q�'� -A�� �>bPc ©��T`� F��� (� b c ©��T`� F��� -A�� P
>@��T Q, ��A��T`� 89 F��Q� K�� @��T Q, ��A��T`� 89 8"��*� F�Q�'� K� bPc ,b�c ������ 89 H�"��*� ����� fA?S����� �k�� >bPc ©��T`� 89 Zu E���$'� Y��*Tl�� b c ©��T`� 89 .u E���$'� Y��*Tl� -A��
?+�9\� Q, ©��TL E�:+*�
��o = �|o + �ro + �_o + . o^o + . ooo + �.o + . ojo| � س =
��o = �|o + . .�o + . ojo + �ro + �|o + |oo + . .^o| ص =
��.
. ojo ,. o^o ,. ooo ,�|o ,�ro ,�_o ,�.o :b c ©��TL P�|o = F��Q�
. .�o ,. .^o ,. ojo ,�|o ,�ro ,�|o ,|oo :bPc ©��TL�|o = F��Q�
fAر� #'���� −
ر�Zb� −
ر�c
. ojo|o_ �oo�.o|o−_ �oo
. oooZo_oo
. o^ojoZ joo�_o_o−. roo�roZo−_oo�|o.o−.oo
._ �oo = �Q'%��b c ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�
_j}�� ⋍ Z .._}Z�rF = ١u
ر¨¨ −
ر¨Zb¨ −
ر¨c
. .^o.joZZ joo|ooZ�o−|� _oo�|o.o−.oo�roZo−_oo
.ojo|o_ �oo
. .�oZoo_o ooo�|o..o−.Z .oo
.j� _oo = �Q'%��bPc ©��T`� � E���$�� Y��*Tl�
.jo}_^ ⋍ ZZ rZ�}j|F = ٢u
FZ(س - ر (س
ن
ر = ١
K = u
FZ(س - ر (س
ن
ر = ١
K = u
���
>��� ��� ١u^ E���
٢u K� µ;�T
>+�9\� 8, b c ©��T`� � #�x�"�05� ��"�V�� ����"� ��4 ���� F�Q��� �1 w���� bPc ©��T`� � ��+*� K� ���;
H�T���� �� ¥�1Q'¢ bPc ,b c �5� ZZo ,.� ,� ,.j ,| ,.o ,.Z :b c
.� ,.. ,� ,� ,.Z ,.� ,._ :bPc
?µ;�� �k�� >bPc (�� ¨ ���� F�Q���� b c (�� � ���� F�Q��� -A�� �?µ;�� �k�� >bPc #1Q'%�� (�M F��� (� ,b c #1Q'%�� (�M F��� -A�� P
+M� (��� E� >bPc #1Q'%�� (�� ٢u E���$�� Y��*Tl�� b c #1Q'%�� (��
١u E���$�� Y��*Tl� -A�� fA
>�"�AL ��� ? ���� �0M�Q�� �1 ������>#=�� �4�� 8,
ر� £�$T H�=9 �k E���5� ��-A � H�T��" (�� � ���� P��� :#�;��
b^c ��<�
>#A�& .oo R'�$� # �0�� [�; 8���-� U�$� # �0T K�*��� 89 ����I ro H�A�- E���5�� N /Q�� 8��� ��-%� �i��
bH�A�&c #=��−o−Zo−_o−ro−�o
���5��_r.rZ_.o
>H�T���� h�, (�� u E���$�� Y��*Tl�� Zu � ����� � ���� F�Q��� -A��
:áeƒ∏©e
@T� ���x�V;`� -�1 @�)1 Y��$�'� �� �')4 � ���WO E���$'� Y��*Tl� K�4 �')4 F�Q�'� RL P�M� H�T���� (�M w��� K�4 (�M w��� K�4 � ����4 K�4 �')4� ,8"��*�
>8"��*� F�Q�'� �1 � �-�$" H�T����
���
:+*�ro = ^ roo
ro ر = ت
ر س
ر� : ت��� F�Q���
ro = � ∴�H × Z(� - ��) Z(� - ��) (� - ��) �H �� ���5��
�H#=�� �4��
��#=��
.oooo Zjoo jo− _o _ .o −oj_oo �oo ^o− .�o r ^o −Zo.roo .oo .o− �oo .r jo −_oZ_oo .oo .o .r�o Z_ |o −ro�ooo �oo ^o �oo .o �o −�o
Z�_oo :�Q'%�� :�Q'%��^roo
:�Q'%��ro
_|^ .^ = Z� _oo
ro - س)Z تر = ر (س
ر ت
= � ����
_|^}^ = Zu = � ����Z.}|jr F_|^}^ = u :E���$�� Y��*Tl�
+*� K� ���;>bU��AQ)�5�" K/Q�c EQT�� 2�I .oo K�/�\ E���5�� N /Q�� ���� ��-�� i¥� ^
#=��−ro−r_−r�−|Z|r
���5��j.�_ZZ|�
>K�/�\� h�� u E���$�� Y��*Tl�� � ���� F�Q��� -A��
��/
b_c ��<�
�1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'¢ K�� r = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%� E���$�� Y��*Tl� K�4 �kL?H�T���� h�, (�M &-1 �9 ,j_o Q, ���� �0M�Q��
:+*�Zb� − ��c
ن
ر = ١
ن = Zu :�-1��� �JuT
j_oK = Zbrc :t Q$��"�
.j = j_o^r = K
>.j Q, H�T���� h�, (�M &-1+*� K� ���;
�0M�Q�� �1 (��� h�, H�9��*T� H�$"�� �Q'%�� ,_ = u Q, H�T��" �� (�M #1Q'%' E���$'� Y��*Tl� _>_�o Q, 8"��*�
?H�T���� h�, (�M &-1 �'9
���
4-10ó©dG ¥ôW
Methods of Counting
º∏©àJ ±ƒ°S
• U�-7���" +x��� +; -$� �-��
• U�-7���" +x��� +; B�9�Q�� �� + &���� ��T�QM
ºM���T� �5�T ��1&��Jh( V�� 8�� ��* ���( V�� '*7� �X���* X�% � �Y% <�� c�=� 8%�# ���h @&
�C��<( GO��� �x��?lK�� GH ���! }% �
�����P 8T ���Y�� 3�JT �~��� GH [!H� P?��O���� lK���� <�� �% fA
?�. c*�" I�6�x�� I<�Y�� ��=% UO y�9# � �Y% <�� c�=� 8%N� ��9�� GO�K 8!�� lK���� �% &�� �NMK � H( �Y�� |�I `� nN��� �D6 � j�Y!�; ���O�* ,�Y� ��H j�Y� ���H
�'d!�4� �;�N< ��� V�% ��M!"�;* ,rM&!�� �+� [�~ � 6 �Y�� (��%��EY��� *( 3���( [�K�K �� IO� 8!�� |�M�� *( ���� ���� <�� ��u [�M!K X�&Y�� *( �M�"��� G��"�� I% ��Y��
Counting Principle ó©dG CGóÑe CD6 U�Y�! ,�� �# (��� j;* ��6�Y# @&� j; 8!�� ���=�� [�K�K ��I I� �Y�� G��"% �Y# G9� U( IO�
��&�M��
ºFGƒ≤dG ≥jôW øY ó©dG b.c ��<�?�0�� Y�; E\ ���5� K�& �� & ,fA ,P ,� :Y���� ¥" �� �0� Q5� �5' 8�� Y���� #���� /Q��� &-1 ��
:+*�:b2��¤� 2�*" ��Q��c 2��� +5�" H��T�5�`�" #'x�M 2�4�
fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �b �l�� �cfA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & Pb �l�� PcP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAb �l�� fAcP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &b �l�� &c
>� ���� Z_ #"��4 �5' >#�T�5�L Z_ = r × _ -AQ +*� K� ���;
?¦�§ f" ���� �-� il� U�D �0�� Y�; E\ ���5� K�& �� ¦Y�QT§ Y��; �� �0� Q5� �5' 8�� /Q��� &-1 �� .
��-
��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� #�T���� ��%�� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S]
á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG bZc ��<� �-;�� �1 ����1 �u9�5� +4 ,�u9�5'4 ��Q�� �1 #'$I\� �� ¥1QT z��� !�)1 U-7��� ,K�Q��� �Q)� �1 #"�» �
?���5� �e �x�Q�� ��QT� wT�4 ��; � #�5'�� #�)�7�� H��5��� &-1 (4 >#�5¸ ��QT� #��� ��:+*�
>fA ,P ,� :����4 �x�Q�� �� #��<� ��QT\� ¥" �i�� ��%�� £1 B �I +4 >H��T�5�`� +4 � iXQ� ����� �L #�T���� ��%��
w� ���, K\� ,��x�� ���5¸ � �$"��� +<¼ ����� �L ¥'�� �� h�»l�" #�T����>#�5¸ H��5�� w� �� - KQ5�� � m�I
>r = Z × ^ :K� µ;l
+*� K� ���;>#04�9 �� H� Q); ,#'� �� '� �� ©�A& ,!��; �� #M)� :�� #��� !�-e #�A� (1�M�� -;� U-� Z
>#�5'�� H��AQ� &-1 !�M1` #�T���� ��%�� U-7��� $4��� CD6 G % � �X��H �6�� cN�+� $����O%>� ���� {��H '�� � ��� �� ������ X�=��� FM� @��A!;� ��p
��������� X�=��� `� �Y��# �E!\D�� {� 8!�� 0��� �&�I @�A!"KCounting Principle ó©dG CGóÑe: 86* U �6<�� ����!!% $����� X�� I% UO!K u ��H�% ����� ���� U�H �S]
:{��H �S]* Uu … ,٣u ,
٢u ,
١u
,�&�I ١N m# ��u U( IO�
١u
,�&�I ٢N m# ��u U( IO�
٢u
,�&�I UN m# ��u U( IO� نu
:86 U 3��\>� �� ��b U( IO� 8!�� |�M�� <�� U�T�نN × … ×
٢N ×
١N
�*�� $��% <�� ��u }! ,�EM�YK <�=�#* �نu , … ,
٢u ,
١u G����� <�9� U( 6 �Y�� (��% G��"% G� ¡�!M% U]
����"�� G� ��O��� |�M�� <�� `� 'p9�� <���7� CD6 0¢ W}£ I%* ,�E�% GH
�-"�P
P
P
fA
fA
fA
��
P �fA �� P
� fAP fA
fA P�
..
���
ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b^c ��<� �5' 8�� H�;Q)� &-1 (4 >U�M�� #��� �0$�� # -%"\� Y���� �� ¥9�*" K-�� �-;L � H������ H�;Q �-��
>C�J�¤� H�;Q �� E� � U�M�\� �� Y���� �� E\ ���5� -AQ l @T� v¤9� ?�0�)1 �QV��:+*�
#;Q)� (�J :u ��\� Y��� (�J :.u ª�<� Y��� (�J :Zu ��\� (M�� (�J :^u
:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_uju
#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:Z�Z|.o��
#;Q)� (�J m�I &-1=Z�×Z|×.o×�×�
#� �I j__ ^Zo =>#� -�� h�, � #;Q j__ ^Zo �1 �QV�� �5'
+*� K� ���;?E&�9 &�;�� (M� K�4 �kL �0�)1 �QV�� �5' 8�� H�;Q)� &-1 Q, �� ,b^c ��<�� H��M$� U-7��� ^
ó©dG CGóÑe ΩGóîà°SG b_c ��<� E� ¥" �&�$� &QA� U-1 v¤9� ?m���� ��� #�5'�� Sx���� &-1 Q, �� >E�A U .oo m��� � ¥�"���� #�T�� -AQ
># �0�� FJ �L (0�� g�4 +O� ¥�"����� Ku" ��)1 >¥�"����:+*�
>m���� !�½L 2��¤" ¥x�-$� #'x�M :u> �l�� m���� 80� E�� B"����� :.u
>m���� !�½L � ª�<� @����� E�� B"����� :Zu
Y�;\�U�M�\�
���
:�� - ��5,�H��)'$�:.uZu^u_ujuru|u�u
#�)'1 +4 ��5��l m�M� &-1:�|rj_^Z.u !��A` m�M� &-1=. × Z × ^ × _ × j × r × | × �
_o ^Zo = !� = >m���� ��� ���5¸ � �»�T _o ^Zo -AQ
+*� K� ���;>b�&�$� E� -AQ l @T� E�c #�)�7� H�M�� 89 # �0�� FJ RL �0$�'A w)O�� �%0) m��� 89 ��'A Zo ���D� _
?m���� ��0 #�5''� Sx���� &-1 Q, ��
Permutations πjOÉÑàdG !K Q, !��D\� �� K + &��� &-1 � �%��* �+ &����" s�" [�K��� �D6 G % �� ���!Y%* vdE% [�K��� U�H ,,&#�"�� ,�� �� �
#�x�A #1Q'%'" F&T }!¤ 3���7� G<��K r% G%�Y!K 8!�� �P��� I% ��Y�� ���� �* k-i '� �� � W,�% 6 dH bK P�¿�c������% � �MP% �!¥ k�i '� �� ����J!¦�� 3���7� I%
πjOÉÑàdG OóY OÉéjEG bjc ��<� ,z�x� 2x�T ,z�x� :2O��� #$"�\ ¨�7D� #$"�� ����J� K�- � ���-� 89 H��X� �� #�$'A �� � �Q�1 ^. K� v��9�
>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-; >m�-�V� ���� ,��� ����:+*�
#� �I ^. :z�x�� ����J�#� �I ^o :z�x�� 2x�T ����J�
#� �I Z� :��� ���� ����J�#� �I Z� :m�-�V� ���� ����J�
|jj .ro = Z� × Z� × ^o × ^. :Q, #$"�\� 2O��') ¨�7D\� ����J� �0" �5' 8�� m�M� &-1
+*� K� ���; >m�-�V) ������ ,��) ������ ,� ���x� ����J� K�- � >!���\� z)%� KQ)5� � �Q�1 Zo -AQ # ��7� H��$'%� �-;L 89 j
>2O��'� h�0 ����Jl� �0" �5' #� �I (4 & i-;
:ôcòJ
�� K P���� . × Z × × … × b. − Kc × K :Q, !K
. × Z × × _ × j = !j : ��<'9. = ��O P���� ���G� . = !o
���
Law of Permutations πjOÉÑàdG ¿ƒfÉb:6 X�% GH � N �E�% XSh�% #�)�7�� ���Y�� I% U G<��K <��
U ≥ N , + � U , N ,k� + N − Ui ��� k/ − Ui k� − UiU = ر'U
. = o�K j W�Y � = N �%��� k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − Ui × U =
ر'K :R�4
. × Z × ^ × >>> × b� − Kc. × Z × ^ × >>> × b� − Kc × k� + N − Ui × ��� × k/ − Ui × k� − UiU =
!U!kN − Ui =
¿ƒfÉb
� = ٠'K ,U ≥ N , + � U ,� y�� !U
!kN − Ui = ر'U
brc ��<�>����� ��QV" #����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A��
٣�K fA
٣�.. P
٤�r �:+*�
:R�\� #� �M� � !r
!Z = !r!b_ − rc =
٤�r
^ro = ^ × _ × j × r = . × Z × ^ × _ × j × r. × Z = :#�T�<� #� �M�
��� = � × - × � × � =٤'r
��o = � × .o × .. = !� × � × .o × ..!� = !..
!b^ −..c = ٣�.. P
bZ − Kcb. − KcK = !b ^ − Kc × bZ − Kc × b. − Kc × K!b^ − Kc = !K
!b^ − Kc = ٣�K fA
:IóYÉ°ùe ��;��� ��?� @��A!;� IO�
,G<��!�� <�� <�w>� nPr `� Fgz�
+��1 �
� m# (���
<���( -
}
���
+*� K� ���;#����� #�� U�-7��� K�-" + -�� +4 #'�M -A�� r
>����� ��QV" ٤�K fA
٤�.o P
٣�j �
b|c ��<�?�0�� E� ���5� U-1 ��; � k� #�"�$� # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� +5��� K� �5' 8�� H�)5� &-1 ��
:+*�>@��T wMQ� � � �9�; Z� �� Y��; j f + &���� &-1 &��L #u��� � PQ)M��
:IóYÉ°ùe #"��4 � (0� Y���� 2����
�1 3)�Á P��4 #')59 >H�)5�>2��4 #')4
Z_ × Zj × Zr × Z| × Z� = !Z�!Z^ = !Z�
!bj − Z�c = j�Z�
.. |�^ roo = # -%"\� �� #�)�· Y��; #�À �� #TQ5� #')4 .. |�^ roo -AQ
>#�"�$�+*� K� ���;
?(M� E� ���5� U-1 ��; � k� ��V� K�-" E¡$� U���� U�M�� �� U�M�� _ �� +5��� K� �5' 8�� &�-1\� &-1 �� |
Combinations ≥«aGƒàdG U I% ��O% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH UO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%���
�B�9�Q�� ["9� I9�T 2��¤� �1 &��1l� K�& k U ≥ Ni ¨��
b�c ��<�?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ,¨�7D� #��� �� #TQ5�� K�%)� &-1 ��
:+*�:����4 k� b.c ��<�� � �&QAQ�� )�4 #'x�M &�-1�" (M (� & , fA ,P ,� #$"�\� ¨�7D\� F( Â�
>b�0�� #��� ����Jl ���5¸ ������� Z_ = ^�_ ���, K� µ;lc
٤�r P��; m�I
6 shift nPr 4 = 3606! ÷ ( 6 - 4 )! 3606 × 5 × 4 × 3 360
��.
fA P �& P �P fA �& fA �P & �fA & �fA � P& � P� fA P& fA P� & PfA & PP � fA& � fA� P fA& P fA� & fAP & fAP � &fA � &� P &fA P &� fA &P fA &
>#'x��� � H��� r = !^ �0�� fA ,P ,� ¨�7D� #��� �� #TQ5� #��$� #�� K� µ;lfA P �P fA �fA � P� fA PP � fA� P fA
������� !^ �1 ����� ���5¸ ������� ^�_ f ���� K�%)� &�-1� ���L K�9 � �-;�� #1Q'¢ #��� H����¤� h�, +5��>#�� +5 � ��)�·
_ = !_!^!. = !_
!^ !b^ − _c = !_
!b^ − _c!^ = ^�_
!^ = K�%)� &-1
+*� K� ���;?¨�7D� #$"�� �� #1Q'¢ �� �0� Q5� �5' 8��� ¥V7D �� #TQ5�� K�%)� &-1 �� �
:©?�H �6<�w] IO� ¨�� U I% ��O% ���� ,# I% XN�!A��* ¨�� N I% �E�% GH U WO�� ��T�!�� <�� ,�%�� �Mp#*ن!
(ن - ر)! ر!لر =
U
ر! = ��T�!�� <��
≥«aGƒàdG ¿ƒfÉb :∞jô©J:U�T ,N ≤ U y�� U��\% U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S]
:6 3���7� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7� I% N I% �E�% GH ��O�� ��T�!�� <��ن!
(ن - ر)! ر! = kرن k
:$�x�1%� = k٠ن k j ª�Y¦ � = N �%��� k�i
� = kنن k k/i
:á¶MÓe I� ��Y!��
ر|U Q%��� @�A!"
���T�!�� <��
�.�
b�c ��<� >���1l .Z �� K iQ5� #)� ��4 B �9 K�4 �kL
�� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 �5' c B ��� ��, 8�1l ¥" �� ¥�1l #�À
? b�4���� +4 � 2$)� 21l E\:+*�
#�)�7�� m��� &-1 8,� k�/� k -AQT K� 2� ¥�1l j �� #TQ5��
>���1l .Z �� (,����J� �5' � ���nCr shift= 125792 #����� #�� U�-7��� -�1 |�Z = � × � × .o × .. × .Z
. × Z × ^ × _ × j = !.Z!bj − .Zc!j = k�/� k
>���1l .Z ¥" �� (,����J� (�� ¥�1l j �� KQ5� B �9 +4 ,� ��)�· � �� �9 |�Z -AQ +*� K� ���;
8�1l ¥" �� ���1l .. �� �0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� m��� &-1 �9 >���1l Zo �� K iQ5� U-M ��4 B �9 K�4 �kL �b�4�� E� � 2$)� 21l E\ �5' c ?B ��� ��,
U*< I% X^��% ٥|�/ ["u U( ��;��� $4?� I% ��Y�� r�M!"K
�E9z� I9�T «�S I% }���� `�* ���M;�� $�M�� ¡�J> XN*¢ X��H <���7� �E�T UOK 8!�� U���7� �Y# � ¬���"K �P �7 ��6
���� �* ���;��� ��?� @��A!;� U*< �#�\] 8MYK U( [Yp y�9# G % ��;��� $4?� �Y# ¬���"K 4 �P � v�\ X��O�� <���7�
�U��&�� ��MT � ١٠٠����ق
b.oc ��<�>� �*D�� j. ¥" �� ¥*D�� .o ����J� 2� ,#�"���� H�"�7�T� ¥*D��� �x�Q ����J� +A� ��
?�0� Q5� �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 ��:+*�
>.omj. &��` B�9�Q��" B)$�� #u�� h�, � �kL ,PQ)M� �e #*x�� ����J� !���� 2��¤� KL#����� #�� U�-7��� -�1 .Z ||| |.. �|o = !j.
!_. × !.o = .omj.
.Z ||| |.. �|o Q, #�5'�� #�)�7�� �x�Q)� &-1
8M�A�� @=E�� [�4 k�ij�E�� <�"% rT����� k/i
}"=�� ��g~ @=E�� [�4 k�i}"=�� cP @=E�� [�4 k-i
F;�� [�4 k�i
k�ik/i
k�ik-ik�i
= 51101}2777711870>1010 0 nCr
#���� H�QM³� U-7���:#����� #�� #M��Q" B�9�Q�� &��`
nCr= K�
�.�
+*� K� ���; .j �0�� +4 N��� H�9�; U�-7��l P�M) �x�Q &�-1L ��� �� Q'��� &��� ,8�IQ� 3*��� ��� � &�-1`� !���� .o
?��� �� h�� �,&�-1L �5' 8�� #�)�7�� �x�Q)� &-1 �9 ,����I ro Q, P�M� &-1 Ku" ��)1 >����I
b..c ��<�>#�; +4 � m�M� &-1 2�;�� � ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; � �¸ +4 �
>�!���� E&�T � � �Q�1 Zj ¥" �� Å ¥�� ,z�x� 2x�T ,z�x� ����J� �>#�x��e #�A� &�-1` #�; .Z �1 EQ�Æ z�4 �� �I�M" H��; j ����J� P
>� �-$�� Zj �Ç #9�e � ����I ZZ -1��� i¥� ��MM· ()$� NX� fA>+V�� #9�e � �0��)$�� �0�"��5 ����" .. �� #TQ5� # �$D �-�VM �� H��"� _ ����J� &
:+*�.^ �oo = ^�Zj >+ &��� ∴ ����Jl� � (0� 2��¤� �
|�Z = jm.Z >B�9�Q� ∴ ����Jl� � (0� �e 2��¤� PZ_.o × Z}j�jZ ZZ�Zj >+ &��� ∴ (0� 2��¤� fA
^^o = _m.. >B�9�Q� ∴ (0� �e 2��¤� &
+*� K� ���;
>� ���9Q� �� �� -�� i¥� ��<�� K�4 �kL �� & i-; ,� �� � ..>K]��� ���� #�"��� � #4���') ��$� 3V� �� P�I ^ ����J� �
>K]��� ���� #�"��� � #��<� ¥4����� �4��� P
�./
5-10
º∏©àJ ±ƒ°S
• +���'� p-*�• N"��� p-*�• U���'� ��'�;l�
ºM���T� �5�T ��1& U�&� �EE\*( ��( `� U W* ¦< ,$1�M!"% cq�!% GO� `� $�I1# I% ��%*��� ��Y� ���!K
�� �] k®��Ti �Mp�� I% ¡*�� �6<��?�6<�� �% ���O��� a�*q7� W,� �4*�\ U WH � .
?,*�"!% ,�PN I% �M�5�� lK���� <�� �% P ?� c*�" ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% ,,*�"!% �� �6dPN �I1# [9; }K Z
?� I% �g~( ,�P��� ��� UO U( 'd!�� �% �U�*�"!% �6dPN �I1# {�9; ^
���Q\ ���� 6 p-; GH �bYc #��$� !��9 s�"K 8!��* ��O��� lK���� ���� �T�Y�# �4*( }! ,������ �#�� GH �����Y�� 3�JT I%
:6 ���� 'd!�� U�T �E"M� NEx�� �~�T �¯ �#�=!�� lK�� r�° {��H �S]
��9�� lK�� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = b p-��c�
( ن (
ن (ف) = k i' :U( c(
��L% ��"� *( ��"� *( ±H *( c²� ±H XNp# 'd!�4� [!O
b.c ��<�� �%�� �� +5 EQ)$� @AQ� #�;�� 8, #"�%��� ¦� � ���� ¥'���� &�T E�%; 8��§ #�$ �
?#�5'�� S��Q�� &-1 ��� >#��$� !��9 2�4� ?S��T +4 3u� i(� �>�g�T��" #��$� !��9 +<� P
?¦_ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ : p-�� ���;� �� fA:+*�
>+ ∈ K , U >r ≥ K ≥ . ,r ≥ U ≥ . [�; bK ,Uc 2��� ©�/ �� S��T +4 3u� �,br ,.c , … ,bZ ,.c ,b. ,.c} = Y,br ,Zc , … ,bZ ,Zc ,b. ,Zc
⋮ {br ,rc , … ,bZ ,rc ,b. ,rc
•hô°ûªdG ∫ɪàM’G
Conditional Probability
�.�
>�0��T �Q0�� #O�9 �� S��Q�� h�, +4� >� �»�T ^r = r × r Q, S��Q�� &-1 ,-$� �-�� B��M�"�>#��$� !��� ª���� +�<'�� P
.. Z ^ _ j r
Z^_jr
��\� �%��
ª�<� �%��
>{bZ ,Zc ,b. ,^c ,b ,.c} :S��QT #��� �� p-�� 3u� fA.
.Z = ^^r = ( ن (
ن (ف) = b c �
+*� K� ���;?¦| E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦P§ p-�� ���;� �� � :b.c ��<�� � .
?¦.^ E��� �01Q'¢ � &-1 �Q0�§ :¦fA§ p-�� ���;� �� P ?¦�JÈ � �$"�� �É-;� � &-1 �Q0�§ :¦&§ p-�� ���;� �� fA
S��QT &-1 E��� �� �� �WO� ��x�& KQ5 �� p-; � S��Q�� &-1 U�T ,#��$� !��9 �� #�x�A #1Q'¢ Q, p-; E� U7*>�. ,o{ �¤�� �L 8'�� &-1 Q, , �� p-; �QM� ���;� U�T «�D� �#��$� !��9
Ée çó◊ ∫ɪàM’G ¢UGƒN
:U�T ³'�h ��* V!�% j ���� 3�JT � ��� IO��� ≥ k i' ≥� .
� ���*��� � ��-; R'� � o = b c� � �kL { } = K�4 �kL Z�� �-4�� � ��-; R'� � . = b c� � �kL Y = K�4 �kL ^
>. E��� #��$� !��9 � S��Q�� N�� Hl��;� �Q'¢ _
:Ió«Øe áeƒ∏©e E�%; 8�� #"�» � ,#��$� !��9
@��T Q, � � ���� ¥'���� &�T &�T �%; 8�� #"�» � #��$� !��9
>¥������ ¥���
�.-
bZc ��<�> ¦. Q, � �,��� � &-$� �Q'¢§ Q, p-�� ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» �
? p-�� �QM� ���;� �9:+*�
^r Q, #�5'�� S��Q�� &-1 K� ()$T+VÆ K� �5' l .^ �Q'%�� K�9 �%; +4 � r Q, &-1 £4� K� �"�
o = o^r = b c� � �kL ��O Q, p-�� � S��Q�� &-1 K�9 ����"
>+�*��� p-; Q, p-�� ��,�
+*� K� ���; �Q'¢ �1 �QV��§ P p-�� K�4 ,�0�� +5 EQ)$� @AQ� #�;��� � �$� � � ��� &�T E�%; 8�� #"�» � Z
?P p-�� �QM� ���;� �9 ,¦.^ �� �WO�
>���;l� &��` B�9�Q�� �� + &���� U-7��T Hl��� �� �<5� �b^c ��<�
>�g�x�Q�1 � �$� #�)$� �� ¥�$MM �J� Ê�T - � >#�lQ4Q��" NMM _ �0��" #$MM .Z �1 EQ�� �Q); #�)1 Ê�T �¤D�?#�lQ4Q��" ¥�$MM ���Ë K� ���;� �9
:+*�>2��¤� &��1� K�& #$MM .Z ¥" �� �Q); 8�$MM ����J� :#"�%��
>� �»�T rr = .. × .Z . × Z = Z�.Z
!Z = k.ZZ k = bYc K #"�%�� S��QT &-1 ∴
2��¤� &��1� K�& ,#�lQ4Q��" ¥�$MM ����J� : p-��>S��QT r = ^ × _
. × Z = k_Z k = b c K = p-�� S��QT &-1 ∴> .
.. = rrr = b c K
bYc K = b c� ∴
+*� K� ���;
?#�lQ4Q��" ���� �g�x�Q�1 �Q); 8�$MM ����J� ���;� �� ,b^c ��<�� � ^
:á¶MÓe
&��� �%; �QT �4� ( �kL>(���� @T� 8�$ ��09
�.�
Venn Diagram ø" §£îe
�$4��!�4� <�=]* G��"��� }ET s�� ������( ��;��E�� aS����� ���"K
(»FGôKEG ∫Éãe) ø" §£îe b_c ��<�>#X� ��" %rZ ,#���5� #M�T\�" P�M� �� %j_ (�0 # QT�<� ���-'� �-;L 89
>#X� ��" � �� � KQ'�0 #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� 3VT?#X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �� �
?#X� ��" (�0 l� ��'�;� �'9 ,#��-'� h�, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� P:+*�
����M�� +�M��'� +J�& (��T� b#��-'� P�I +4c #��$� !��9 +<' ���M��� ���7T �0X�1� H��M$'� 2����>#X� ��" KQ'�0 � �� P�M�� #���5� #M�T\�" KQ'�0 � �� P�M� +�<'� ���)J�-��
:8) �'4 # Q='� 2��� BI��'� h�, +J�& K i�-T%Z| = %j_ × o}j :#X� ��" ¥'�0��� #���5� #M�T\�" ¥'�0�� P�M� 3VT �'��� b!�¿³�c #)J�-��� #�M���
%Z| = %bZ| − j_c :�'��� !���V� #�M���%^j = %bZ| − rZc :�'��� !�M��� #�M���
#X� �%^j%Z|%Z|
%..
#���4 #M�T� %.. = %�b^j + Z| + Z|c − .oo{ :�'��� !����� #�M���>�Í FM· �!���" #)=�\� �1 #"�A`� K�� ���5'
%^j = #X� ��" F�9 KQ'�0 � �� P�M) # Q='� #���� �o}^� �� %^� = %.. + %Z| = #X� ��" 2�M� (�0 l� ��'�;� P
• o}^� = o}rZ − . :�J] +;+*� K� ���;
#W)�" � ���4 3V� ��, P�I �� %.� ��� � ,#�"�$� #W)�" #$�M� 2�4 �D�$� 3V� P�I �� %�_ ��� _>���W)�" ����4 P�M� �� %.j ��� � ,# ��)5T`�
,+V�� ��, P�I �� �g�x�Q�1 2�I ���J� ?F�9 # ��)5T`� #W)�" ����4 K���� �'� KQ5 K� ��'�;� �� �
?� �$� ���W)�" ����4 K���� l �'� 2�M� ��, KQ5 K� ��'�;� �� P
�.�
:É¡J’ɪàMGh çGóMC’G ≈∏Y äÉ«∏ª©dG
�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 , � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u�
�∅ = 0 ∩ c( ¨�� c( � �H�� µ �S] kIncompatiblei U��T��!% �¶ 0 , U�£���� � X<\�� ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� kcomplementi 6 ���� }�!%
:ÚKóM OÉ–’ ∫ɪàM’G IóYÉbk0 ∩ i' − k0i' + k i' = k0 ∪ i'
k0 ∪ i' − k0i' + k i' = k0 ∩ c' �E�%*: çó◊G ºªàŸ ∫ɪàM’G IóYÉb
k i' − � = k i':Ú«aÉæàe ÚKó◊ ∫ɪàM’G IóYÉb
�k0i' + k i' = k0 ∪ i' U�T j ���Y�� 3�JT I% ,�T��!% ,£�� 0 , U�H �S]
bjc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL
:�� g�4 -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}_ = bPc� ,o}| = b c� b c� Z bP ∪ c� .
:+*�kP ∩ i� − bPc� + b c� = bP ∪ c� .
>o}| = o}_ − o}_ + o}| = b c� − . = b c� Z
o}^ = o}| − . = +*� K� ���;
:�� g�4 -A�� o}r = bP ∪ c � ,o}j = bPc� ,o}^ = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL j bP ∩ c� �
bPc� P
�.�
brc ��<�:K�4� Y #��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL
>bP ∩ c� ,bPc� -A�� ,o}_ = bP ∩ c� ,o}� = bP ∪ c� ,o}Z = b c�:+*�
b c� − . = b c� o}� = o}Z − . = b c� − . = b c� kP ∩ i' − bPc� + b c� = bP ∪ c�
o}_ − bPc� + o}� = o}� o}_ + o}� − o}� = bPc�
o}j = bPc� − . = bPc�
o}j = o}j − . = o}r = o}_ − . = bP ∩ c� − . = bP ∩ c�
+*� K� ���; o}Z = bP ∩ c � ,o}r = bPc� ,o}j = b c� K�4� ,#��$� !��9 89 K��-; P , K�4 �kL r
>bP ∪ c� -A��
b|c ��<�:H������'� �-;L 89 ��)��$� ¨�7DÎ � �$ /Q� 8��� ©�&�'� ��-%� ���
z�%� #�0'�+A�������Q'%��2��IZ�.__Zv�¸ZoZ^ZZjZ
E��&L−8���ZZ^_jr�Q'%��|oZ�o^jo
> R����'� 89 ����1 � �V7D ^jo ��" �� �g�x�Q�1 C7D ����J� (�:#���� p�-;\� �� p-; +4 ���;� -A�� .
¦2��I C7��§ :fA ¦����� C7��§ :P ¦v�¸ C7��§ :
�.�
>b c� -A�� Z>��-�� U�-7���" bf,c� 2�;� , ¦2��I� ����� KQ5 C7��§ :p-�� f, �5� � ^
>b�c� 2�;� i(� ,¦2��I �� ����� KQ5 C7��§ :¦� §p-�� fA , P ¥�-�� � ��-7��� 2�4� P >bfA ∪ c� 2�;� _
:+*�: �0��� �0��T �Q0�� #O�9 �� #"�%�� S��QT K� 8�$ �g�x�Q�1 C7�� ����J� .
o}.Z = _Z^jo = bfAc� , o}� = Z�o
^jo = bPc� , o}|Z = ZjZ^jo = b c�
o}Z� = o}|Z − . = b c� − . = b c� Z � �»�T ._ @ - fA ∩ P = f, p-�� ��-�� 2�*" ,fA ∩ P p-�� ���;� 2�*T � ^
o}o_ = ._^jo = bfA ∩ Pc� = bf,c� :����"�
¥�9���� ¥�-; ��� fA , P KL [�; ,fA ∪ P p-�� ���;� 2�*T PbfA ∩ Pc� − bfAc� + bPc� = bfA ∪ Pc� = b�c�
o}�� = o}o_ − o}.Z + o}�o = o}�_ = o}.Z + o}|Z = bfAc� + b c� = bfA ∪ c� :� �kL K��9���� K��-; �É fA , _
+*� K� ���;
>o}j = bPc� ,o}_ = b c� [�; K��9���� P , K��-; �� - Y #��1 !��9 89 |>bP ∪ c� 2�;� �>bP ∪ c� 2�;� P
�..
Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMC’G �#�� � , �1 �T ��h?� k�P* @�� *(i �P* `� �£5 4 �¶��( k�P* @�� *(i �P* U�H �S] ,�&!"% U�£��� UO
�P* `� �£5 4 ��*7� ��%��� � XN~ NEZ� ���� U�T c�Y�� V\�� �x�1%* ,K�% ����Y% ���� 8%N ��� �������K����� K��-��9 «�D�* ,�&�I c�# ��h7� `� �£5K 4 ,!�%��� I% c( U7 ,����� �� ��%��� � XN~ NEZ� ����
:����!�� X���&�� @��A!;�# � �Y% ,£��� �P* 'd!�� <�w] ���O� V��T ,�&!"% ,£�� �<�M�� $4d!�4� }�Y� ��H �S]Multiplication principle of Independent Events á∏≤à°ùªdG çGóMCÓd Üô°†dG IóYÉb
:6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]k0i' × k i' = k0 ∩ i'
�V� �#�"�� �h?� <�Y�� I� v1&!"% UO l!� 8���� <�� GH �� ,� ,# r&K ������ <���( a�!�] �E�O� ��;��� $4?� }xY%
b�c ��<�>b+"��'� +5�� RL ��T�c � RL o �� #�x�Q�1 U�M�� ©��T` #�T���� #���*� #�� U�-7���" �-1�M � QM�" -';� U�M
?^ f � ��1��� 8T�<� (M�� KQ5 K�� �g�A�/ @�)1 +V; E�� ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� �'9:+��
¥)���� ¥�-�� K� E� >ª�<� S���� �1 ��� l ��\� S���� K�9 ,#�x�Q�1 U�M�\� K� �":�É�
>{� ,r ,_ ,Z ,o} = � ¦�g�A�/ KQ5 S���� (M��§ :�>{� ,r ,^} = U ¦^ f � ��1��� KQ5 S���� (M��§ :U
:P¿� �-1�M B��M� �5' � ,¥)���� ¥�-�� K\�o}.j = ^
.o × j.o = bUc� × b�c� = bU ∩ �c�
>o}.j Q, H��1��� �� 8T�<� (M��� �g�A�/ ��\� (M�� KQ5 K� ��'�;� :8���"�+*� K� ���;
>EQ)$� @AQ� #�;��� H��� p�� &Q�T #$MM 8�� -�1 #�x�Q�1 #"�%� 89 �?b¨ ,� ,¨c S���� KQ5 K� ��'�;� ��
• &�-1� #�& ��4� 8, ¦int§ #*�*O
• &�-1\� S��� 8, ¦rand§ >. ,��O ��" #�x�Q�$�
• 8M$� int b10 * randc >� ,��O ��" � �&�-1�
rand = o}�.| :��<�10 * rand = �}.|
int b10 * randc = �
/��
Dependent Event ™HÉàdG çóëdG��#�; ��9# CNEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO
á«fÉ«ÑdG Iôé°ûdG b�c ��<�
#�x�Q�1 #"�» � >z�4 � !�M�/ H��4 ^� !��Ð H��4 j �� - >��A�L K�-" ��Q�� �1 ¥��4 w�*�?¥����Ð ¥��4 �1 �QV�� ���;� ��
:+*�,¦ �l�� !��Ð ��4 2*�§ : K��-�� �5�
> ¦���T�� !��Ð ��4 2*�§ :P j� = b c�
> _| = bPc� ����"� H��4 | ���, z�5� �� F�9 !��РH��4 _ z�5� � �� - ��V ��\� ��5� �&�1L K�&
j._ = _
| × j� = bPc� × b c� = bK�����Ð K���4c�
+*� K� ���;>2�)�� #05�" 8M���� #�lQ4QD #05�" �0�� _ ,#$MM .Z �1 �Q); #�)1 EQ�� �
?2�)*� #05�" #$MM �J� (� ,�0)4�� #�lQ4QD #05�" #$MM �J� ��'�;� �'9
�-"�
!��Ð
!��Ð
!��Ð
!�M�/
!�M�/
!�M�/
j�
_|
j| ^
�
^|
Z|
/��
Conditional Probability •hô°ûªdG ∫ɪàM’G
�{� ,� ,- ,� ,/ ,�} = j ���Y�� 3�JT U�T V� c�Y�� V\�� �x�1%* X���* X�% <�� �=� 3�&�] �#�=K 8T�/ = �� = k iU
kjiU = k i' UO* {� ,� ,-} = U�T k� I% ��H( <�� NEZi ��9�� IO��{� ,- ,/} = 0 UO�T k8\*q <�� NEZi0 ���� IO��*
�/ = �� = k0iU
kjiU = k0i' 'd!�� 6 �% �h´ s�Y�# � ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!�� 6 dT ,rP* �P ���� U( ����� �S] :U?� '�"��
?� I% �H( UO U( U²# 8\*q <�� `� 'p��:�\� � I% ��H( 8\*q <�� s�� 'p9��* {� ,� ,-} = 6 ��=�� ���Y�� 3�JT GYw sMY�� U²�� U( R�1�
{� ,-} = ∩ 0/� 6 � I% ��H( UO U( U��# 8\*q <�� s�� 'p9�� '��!�� 8��!��#*
��9�� '��!�� (�& ¦* k |0i' [!O¦* k8I����i U*����� '��!�4�# s�" ��9�� �P* U��# 0 ��9�� �P* '��!��:����!�� X���&�� @��A!;�# k |0i' <�=] IO�* � U��# 0
•höûŸG ∫ɪàM’G IóYÉb
:K�9 p-�� �QMQ" � �I�¡� P p-�� �QM� K�4 �kL� ≠ k i ' y�� (P ∩ )�
( )� = b |Pc�b |Pc� × ( �4 �bP ∩ c = ل(�
/�/
b.oc ��<�>o}Z = bP ∩ c� ,o}r = bPc� ,o}^ = b c� [�; K��-; P , #�x�Q�1 #"�%� 89
bP| c � P b |Pc � � :#���� p�-;\� �� +4 ��'�;� -A��:+*�
� Z^ = o}Z
o}^ = kP � i�b c� = k |Pi� �
.^ = Z
r = o}Zo}r = kP � i�
kPi� = kP| i� P+*� K� ���;
>bP � c� -A�� >o}Z = b | Pc� ,o}^ = b c� K�4 �kL ,#�x�Q�1 #"�%� 89 .o
b..c ��<�>@ EQ)$� @AQ� µ;l� (���� &�T �%; (��A R��
>¦E&�9 &-1 �1 �QV��§ : p-�� ,¦j E��� �� �� £4� &-1 �1 �QV��§ :P p-�� 8'�Tb� g &�9 � �&-1 KQ5 K� U¡" j E��� �� �� £4� &-1 �Q0� ���;�c b |Pc� 2�;�
:+*�r = bYc K {r ,j ,_ ,^ ,Z ,.} = Y
^ = b c K {j ,^ ,.} = Z = bPc K {r ,j} = P
. = b � Pc K {j} = P � .Z = ^
r = b c� .r = bP � c�
� .^ = Z
r = .r
.Z
= kP � i�k i� = b |Pc�
+*� K� ���; &-1 R)1 �QV*�§ p-*�� ,¦8A�/ &-1 R)1 �QV*�§ P p-*� K�4 �kL ,(���� &�T �%; !��L #"�%� 89 ..
>b |Pc� 2�;�9 >¦8��
/��
πFÉ°ùªdG πëd ó°TôªdG
b.c ��<�:����!�� $������� Dh�� k�i
��� ,�/� ,��� ,.� ,�� ,�� ,�� ,-� ,/� ,�� :k i�� ,�/ ,�� ,. ,� ,� ,� ,- ,/ ,� :k0i
?k i ���=�� � $������� }�P I% k0i ���=�� $����# � }�&�� l!�!"� ��H ��k0i ���=�� }�&� Z
Zu I��!��* k i ���=�� }�&� Z.u I��!�� �\*( P
�٢u ,
١u ,# �P1Y�� l!�!;� fA
�$������� I% ,!��� }W�P ?@9�1� E�� ��?@�9�$� - �� E�� ��
�k0i ���=�� }�P* k i ���=�� }�P ,# F#����k0i ���=�� }�P I��K* k i ���=�� }�P I��K ,# �P1Y��
?#u�'� +;u� 3�4 }�P 86 k0i ���=�� }�P r�° U( R�1� k0i ���=�� � $������� }�P* k i ���=�� � $������� }�P �] �x���# k(i
��� `� �%"&% k i ���=��:,!��=�� }�P I% GO� �4*�\ U WO� k0i
k(i '*�\
�� = n ·�"�� F;!�� - س)/
ر(س
ن
ر = ١
ن = Z
.u
٦١٠ ١٧
�� = Z.u
١٧٦١ = Z.u
Nn ���&��n − Nn/kn − Nni����−� .�./���−/ ��.-���−� ��.��/�−�/.���−.���-..���/�.
���/��/.�/�-�/ /�.������ ./.
٦١٠ ١٧ = ��=��
/�-
k0i '*�\�t� = � ·�"�� F;!��
/(� - ر�)
ن
ر = ١
ن = Z
Zu
���t��� = Z
Zu
��t�� = ZZu
ZZu /k��i = Z
.u c( ZZu ��� = Z
.u )�!��#*٢u �� =
١u U( l!�!"� km\i
bZc ��<� X<=�� N��!h� rz* rM&�� CD6 3�g�> �8�&K G�h �E�T $�H²�� ���] �EY�pK 8!�� rM&�� I% %/ U( ����p�] �;�N< {�W�#
:©?�H V=��!� {��H*�G�h �E�T 8!�� rM&�� I% %.� U�H �S] N��!h4� 8g�
�G�h �E�T ��� 8!�� rM&�� I% %�t� U�H �S] N��!h4� 8g���H²�� CD6 � �Y�p% �YMP �v����� $Dh(
?X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �E�T UO U( 'd!�� �%:G��
���YM&�� 8g� X<+� N��!h�� :���� mh ,�G�h �E�T �YM&��� :���� � IO��
N� ���&��� − N�/k� − N�i��t�−�.t�./�t�−/�t�.-�t�−��t�.�/t�−�t/.��t�−�t�.��t��t-..�t�/t�.
��/t��t/.�/-t�//t�.���t��.t/.
���t� = ��=��
/��
$��MY�� G� �!� ����# X�=� };�� :k’hCG
G�h �E�T rM&�� I% %/��E�T G�h 4 %.� ∴
G�h �E�T rM&�� I% %.� N��!h4� 8g���E�g� 4 G�h �E�T rM&�� I% %/ ∴
�E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %�t� N��!h4� 8g��N��!h4� �E�g� 4 �E�T G�h 4 8!�� rM&�� I% %..t� ∴
ل(ع ∩ خـ)
ل(خـ) = kخـ |�i' :É k«fÉK
�,!��� � �% �YMP N��!h4� 8g� ,�������� X�=��� �] �x���# �kmhi' }£ ,kmhi' �\� G9�� � ��Jukmh ∩ �i' + kmh ∩ �i' = kmhi' ∴
�t�/-� = �t��� × �t.� + �t.� × �t�/ = �t.��� = �t�/-� − � = kmhi' ∴
�t���- = �t�/ × �t�/ = k mh∩�i'
�t���-� ⋍ �t���-�t.��� =
ل(ع ∩ خـ)
ل(خـ) = kخـ |�i'
�����&K �t���-� c*�" X<+� N��!h� �Eg� µ V�( �d�� G�h �YM&�� � UO U( 'd!��
#�9�XL #u�� ��H X�� �� s�� ��O�� l��!� $�EZ� �$��!����% ��� s�� �E�% GH c!9K G��"�� U#�p��# $��� �L�Y!� XQE=% ��´ .
:8����� ,��. ,/.� ,��� ,��� ,-�/ ,��� ,�// ,/.� ,/.� ,��� ,��� ,��� ,��� ,��� ,/.�
� �!�������# $��Y�� CD6 $�!9�� 8#�"9�� F;!��� �\*( � ?l!�!"K �S�% �cN��Y��� j��9�4� �\*( P
�-"�
�
�sg�
sg�
sg� 4 G�h �E�T
G�h �E�T ���
sg� 4
�t�/�t�/
�t..�
�t.�
�t.�
�t���خـ
خـ
خـ
خـ
/��
!�V;`�
+�)*�H�T����H��1�"�\�
Y��*Tl�E���$'�
m�I-$� ��'�;l�
U���'�
��'�;l�
!�V;`���'�;l��
F�Q�'�8"��*�
81�"�\�RT&\�
� ���� p-;N"�� p�-;\�#)���'� ��%��
#�T����+ &����
NI����&�*�l�('�'�
B�9�Q��
�-��-$�
�-'�
��'�;l�U���'�
81�"�\�R)1\�
Y��*Tl�E���$'�
�4�� U�-7���#=��
#�M��Q� #=�� #=��#��Q�'� �-'�
81�"�\� H��)'$�
p�-;\� R)1
F��Q���Q�'�
Iô°TÉ©dG IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£îe
/��
¢üî∏e:����p�>� $������� �~� �QH��� ��Q��� }�P @�A!"K −
Un U$ + ���� + /n /$ + �n �$U$ + ��� + /$ + �$ = n :}�&�� CD6 <�� `� $������� }�P ��� ��"P lK�� 6 ·�"�� F;!�� *
��v��q��K *( � v���pK }�&�� CD6 [�K�K �Y# �p!��� � ©�K 8!�� ���&�� 6 F�;�� *�$������� � � �N��OK � H7� k}�&��i ���&�� 6 '���� *
�·�"�� F;!�� <�w> �LM�� QH�% @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *:�YT���� U��P @�A!"� $�LT `� cN��O!�� rq!�� y�� $������� � *
j × /¬/¬ + �¬ + ������� �LM�� s�<7� ��� = '����
,������� �LM�� 'I = j U] y�� , ������� �LM�� X^��% �&#�"�� �LM�� N��OK = �¬
������� �LM�� X^��% �&�1�� �LM�� N��OK = /¬ �dE��H *( 'q���� r�=!�� s�9�% *( ���p�� r�=!�� s�9��# @��A!;�# F�;�� <�w] IO� *
��YT���� U��P @��A!;�# '���� <�w] IO� *�cN��O!�� aN��� @��A!;�# '���� <�w] IO� *
�$������� {!�K �;�N�� cN��Y�� j��9�4�* I��!��* ����* $����#N7� @�A!"� −�$������� I% ��gp�� ���&�� − $������� I% s�xY�� ���&�� = ���� *
�١N Q%���# j�Y* F�;�� I% �g~( $������� s�<7� }�&�� F�;* = s�<7� 8��#N7� *�٣N Q%���# j�Y* F�;�� I% �H( $������� `�7� }�&�� F�;* = `�7� 8��#N7� *
�٢N Q%���# $������� F�;�� j�Y *
�s�xY�� ���&�� ,٣N ,٢N ,١N ,��gp�� ���&�� :6 $������� � �"��� <���7� G�� *
�$������� }�P {!�K* �E��# d�T �P1Y��* ���� }�&�� rqK ��M�H ,!zN�Y�� cS |*��p�� FM� �z * - س)/
ر(س
ر ت
ن
ر = ١
ر ت
ن
ر = ١
= ٢u :X���&�� 0�"� I% ������ $������� I% ���&�� 6 I��!�� *
:X���&��# sMY* $������� CD¯ ·�"�� F;!�� I� $������� {!�K W,� cN��Y�� j��9�4� *
F/(س - ر (س
ر ت
ن
ر = ١
ر ت
ن
ر = ١
= u
����P {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �g~ �S]* ·�"�� F;!�� I� � ���Y#* � ���H {!�!�� UO cN��Y�� j��9�4� �H �S]�·�"�� F;!�� I%
/��
k١Ni s�<7� 8��#N7� − k
٣Ni `�7� 8��#N7� = 8��#N7� ���� *
��Y�� ��E% }�x�K � ���"K U( IO� �������� X�=��� U�T ,8MO d# � ��g~ $����O%>� <�� U�H �S] :#�T���� ��%�� −�kU 0*�%i !U 6 3���7� I% G<��K <�� �%�� ,G<��!��# s�" ����!Y%* vdE% [�K��� UO �%��� :+ &���� −
N �6<�� 3���( I% U WO�� G<��!�� <�� U�T ,U ≥ N y�9# ,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :+ &���� KQT�M −ن! (ن - ر)!
= ر'U :6 3���7� I% U ,# I% XSh���*
�� WO% ���� I% �6N��!h� IO� 8!��* ,¨�� N I% �E�% GH U WO��* ���Q+� $���=�� <�� <�w] ��K �%��� :B�9�Q�� −���T�!�� ["9� I9�T [�K��� I� �x��� <d!�� U*< ¨�� U I%
I% N I% �E�% GH �� WO�� ��T�!�� <�� U�T U ≥ N y�� ,,���; �� U�9�9~ U�<�� N ,U U�H �S] :B�9�Q�� KQT�M −ن! �
ر!(ن - ر)! = ر|U :6 V"M� {P�� � ���Y�� I% U ,# I% XN�!A��* 3���7�
��9�� 8T lK���� <�����Y�� 3�JT 8T lK���� <�� = k i' :6 ���� 'd!�� −
:�% ��� 'd!�4� ��h −:U�T j ³'�h ��* V!�% ���� 3�JT � ��� IO��
� ≥ k i' ≥ � −�G�9!"�� ���� s�" ,� = k i' U�T { } = U�H �S] −
��H5�� ���� s�" ,� = k i' U�T j = U�H �S] −�� c*�" ���Y�� 3�JT � lK���� $4d!�� ��� −
�0 ∩ m# V��] Q%�* � �Y% U´ � 0 �* � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� rI�&K −�0 ∪ m# V��] Q%�* 0 � *( � X<\�� lK���� I% ���! cD�� ���� 6 0 , ,£�� <�u� −
.∅ = 0 ∩ c( ¬��% lK�� d¹�� IO µ �S] U��T��!% �¶ 0 , U�£��� −� � X<\% ��* ���Y�� 3�JT � X<\�� lK���� GH I% ���! cD�� ���� 6* m# V��] Q%� ��� }�!% −
��h?� �*�� 'd!�� `� �£�K V� ��� �¶��( �*�� U�H �S] U1&!"% U�£�� UO :��&!"�� ����7� −:��&!"�� ����º� 0��� X���P −
k0i' × k i' = k0 ∩ i' :6 � �Y% ,£��� �P* 'd!�� U�T U1&!"% U�£�� 0 , U�H �S]��#�; ��9# ���� �D6 NEZ �£�! �%��� � �Y#�K ���� UO :N"��� p-�� −
:U*²�� 'd!�4� −�� ≠ k i' U( _�M�* 0 , ,£�� ���� IO��
(�&* k |0i' [!O* U*²�� 'd!�4� s�" ���� �P* U²# 0 ���� �P* 'd!���� U²# 0 ���� 'd!���
:U*²�� 'd!�4� X���P −k� ≠ k i'i ���� �P# ��I*²% 0 ���� �P* U�H �S]� k | 0i' × k i' = k0 ∩ i' , (ب ∩ )ل
( ل( = k |0i'
شركة مطابع الرسالة - الكويت
����������� ������ ����� ��� � ���� ����� � ����