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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Fen�menos de Transporte I
ENG 1011
Luís Fernando Figueira da Silva
E-mail: luisfer�esp.pu -rio.br
Departamento de Engenharia Me âni a
Pontifí ia Universidade Católi a do Rio de Janeiro
Março 2013
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Sumário
1
Introdução
Apli ações
Fen�menos de transporte
2
Estáti a dos Fluidos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
3
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Formas de trabalho
Forma �nal da equação de onservação de energia
4
Es oamento Vis oso em Dutos
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Transporte de quê?
1
Transporte de massa: m = ρ∀
2
Transporte de quantidade de movimento:
~M = m
~v
3
Transporte de energia: E = me
ρ: densidade
∀: volume
~v : velo idade
e: energia espe í� a
No urso de fen�menos de transporte as propriedades a ima serão
transportadas por meios �uidos
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
O que é um �uido?
É um material que está em um estado físi o tal que se deforma
ontinuamente sob a ação esforços anisotrópi os (tensões
isalhantes), por menor que sejam estes esforços.
Figura: Comparação entre um sólido e um �uido submetidos a esforço
isalhante entre duas pla as paralelas.
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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Onde se apli a a me âni a de �uidos?
O transporte de �uidos tem interação om todas as engenharias,
pois está presente nas seguintes atividades e on�mi as
Agri ultura, pe uária, produção �orestal, pes a e aqui ultura
Indústrias extrativas
Industrias de transformação
Eletri idade e gás
Água, esgoto, atividades de gestão de resíduos e
des ontaminação
Construção
Transporte, armazenamento e orreio
Alojamento e alimentação
Saúde humana e serviços so iais
Artes, ultura, esportes e re reação
. . . ou seja, em 10 dentre as 21 atividades e on�mi as do CNAE!
[fonte: http://www. nae.ibge.gov.br℄
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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Onde se apli a a me âni a de �uidos?
O transporte de �uidos tem interação om todas as engenharias,
pois está presente em
Atmosferas
planetárias
Meteorologia
Conforto térmi o
Biologia
Represas
Instalações industriais
Disperção de
poluentes
Transporte terrestre
Transporte aéreo
Tráfego
Bombas, ventiladores
Lubri� ação
En anamentos
Meteorologia
O eanogra�a
Esportes
. . .
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Exemplos
Jupiter
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Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Fen�menos de transporte
Se ara terizam por:
Transporte de alguma quantidade: massa, energia, quantidade
de movimento
Presença de uma força motriz
Tendên ia ao equilíbrio
Figura: Exemplo: estados ini ial e
�nal da mistura de dois orpos a
temperaturas diferentes.
Quantidade
transportada: energia
Força motriz:
diferença de
temperatura
Equilíbrio:
T
1
> T
∗ > T
2
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Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Fen�menos de transporte
O orrem através de meios (ex eção: radiação eletromagnéti a)
São afetados pelas ara terísti as dos meios (p. ex. meio
ondutor vs. isolante de alor)
Podem o orrer simultaneamente ou não (p. ex. evaporação:
opo d'água, ontrole térmi o do orpo humano)
Muitas vezes podem ser analisados separadamente
Obede em a leis físi as omuns, des ritas por equações
matemáti as similares (p. ex. lei de Fourier; lei de Fi k)
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Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Mais sobre meios
Sólidos ofere em resistên ia a deformação; apresentam deformação
�nita quando submetidos a esforços isalhantes
τ = Gγ
τ = F/A: tensão isalhante; G : módulo de elasti idade ; γ:deformação
Fluidos se deformam ontinuamente quando submetido a um esforço
isalhante
τ = µγ = µ (∂u/∂y )
Lei de Newton da vis osidade, γ: taxa de deformação; µ:vis osidade (propriedade do �uido)
Figura: Sólido vs. �uido (transferên ia de quantidade de movimento da
pla a para o �uido).
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Mais sobre �uidos
Líquidos a força oesiva entre as molé ulas é forte. Possui
superfí ie livre
Gases a força oesiva entre as molé ulas é fra a. O upam
todo o re ipiente
Compressíveis: quando há variação apre iável de volumes
devido à ompressão. Gases em geral se omportam assim.
In ompressíveis: quando a variação do volume é pequena
para grandes ompressões. A maioria dos líquidos se omporta
desta forma.
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Propriedades de �uidos
Matéria é formada por molé ulas em movimento, olidindo. As
propriedades da matéria estão rela ionadas om o
omportamento mole ular
1
Colisão om as paredes: pressão
2
O upação do espaço: densidade
3
Energia inéti a: temperatura
Entender o omportamento da matéria ne essitaria onsiderar
ada molé ula, onhe endo sua história, velo idade, a eleração
e modos de iterações. Isto é inviável sem um tratamento
estatísti o, devido ao elevado número de molé ulas.
Na maioria das apli ações da engenharia, desejamos estudar
uma quantidade de volume de �uido ontendo um grande
número de molé ulas: hipótese do ontínuo: admite-se que
os �uidos são meios ontínuos, esque endo-se da sua estrutura
mole ular.
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Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Hipótese do ontínuo
Num meio ontínuo a massa é distribuída ontinuamente no
espaço; pode ser de�nida a densidade:
ρ = lim
∆∀→0
∆m
∆∀
Figura: Densidade do �uido em um volume elementar ∆∀.
para efeito da hipótese do ontínuo, onsidera-se que quando
∆∀ = ∆∀′ então ∆∀ = 0
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Es oamento Vis oso em Dutos
Apli ações
Fen�menos de transporte
Hipótese do ontínuo
Falha quando as dimensões envolvidas forem da ordem do
aminho médio livre entre olisões mole ulares: 1, 6 10−5
m
nas CNTP. (o movimento de satélites deve ser des rito usando
a �Teoria Cinéti a dos Gases�).
Faz om que todas as propriedades dos �uidos sejam ampos:
ρ = ρ(~x , t), ~v = ~v(~x , t), e = e(~x , t)
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Propriedades importantes
Massa determinada quantidade de matéria. É medida
omparativamente om uma unidade padrão. Independe do
ampo
Força Segunda lei de Newton
~F = m
~a
de�ne a massa de um objeto sujeito à força
~F que adquire
a eleração~a
Peso
~P é a força que age sobre um objeto sujeito a um ampo de
a eleração gravita ional~g
~P = m
~g
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Propriedades importantes
Pressão: resultante da olisão das molé ulas om as paredes
do re ipiente p =∣
∣
∣
~F
∣
∣
∣/∣
∣
∣
~A
∣
∣
∣
Densidade: rela iona-se om a o upação do espaço pela
matéria ρ = m/∀
Densidade relativa: razão entre a densidade da substân ia e
a densidade da água d = ρ/ρH
2
O
Temperatura: T mede a energia inéti a das molé ulas
Con entração: razão entre a massa de um omponente, m
i
,
e a massa total da mistura w
i
= m
i
/m
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Apli ações
Fen�menos de transporte
Dimensões e unidades
Dimensões: expressam a nossa observação sobre uma
grandeza
Unidades: utilizadas para des rever uma dimensão
Dimenões Unidades (SI)
omprimento L m
tempo T s
massa M kg
temperatura θ K
velo idade L T
−1
m/s
a eleração L T
−2
m/s
2
força M L T
−2
N (kg m/s
2
)
energia, alor, trabalho M L
2
T
−2
J (N m)
potên ia M L
2
T
−3
W (J/s)
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Es oamento Vis oso em Dutos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Sumário
1
Introdução
Apli ações
Fen�menos de transporte
2
Estáti a dos Fluidos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
3
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Formas de trabalho
Forma �nal da equação de onservação de energia
4
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Introdução
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Estáti a dos �uidos
Um �uido é onsiderado estáti o quando as partí ulas não se
deformam, isto é, estão em repouso ou em movimento de
orpo rígido.
Como um �uido não suporta tensões isalhantes sem se
deformar, em um �uido estáti o só atuam tensões normais
(pressão). A pressão exer ida em um ponto é igual em todas
as direções.
O estudo de estáti a de �uidos é importante em diversas
apli ações, omo manometria, propriedades da atmosfera,
forças em sistemas hidráuli os e forças em orpos submersos.
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Es oamento Vis oso em Dutos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Considere a segunda lei de Newton:
∑
i
~F
i
= m~a, onde m é a
massa da par ela de �uido onsiderada
Num �uido estáti o,~a = 0 ⇒
∑
i
~F
i
= 0
Dois tipos de força atuam sobre �uido:
1
as de superfí ie,
~F
s
, devidas à pressão e
2
as de orpo,
~F
, asso iadas ao peso do �uido.
~F
s
+ ~F
= 0
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Considere um � ubo de �uido� elementar
Figura: Elemento de �uido utilizado para o balanço de forças.
Força de orpo:
~F
= m~g = ρd∀~g = ρdxdydz~g
Força de superfí ie, na direção x : [p(x)dydz − p(x + dx)dydz ]~ı
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Desenvolvendo a expressão de
~F
s
. . .
~F
s
= [p(x)dydz − p(x + dx)dydz ]~ı
+ [p(y)dxdz − p(y + dy)dxdz ]~
+ [p(z)dxdy − p(z + dz)dxdy ]~k
=1
dx
[p(x)dxdydz − p(x + dx)dxdydz ]~ı
+1
dy
[p(y)dxdydz − p(y + dy)dxdydz ]~
+1
dz
[p(z)dxdydz − p(z + dz)dxdydz ]~k
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Equações bási as da estáti a dos �uidos
ou seja . . .
~F
s
=−
{[
p(x + dx) − p(x)
dx
]
~ı
+
[
p(y + dy) − p(y)
dy
]
~
+
[
p(z + dz) − p(z)
dz
]
~k
}
dxdydz
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Equações bási as da estáti a dos �uidos
O que impli a em . . .
~F
s
= −
(
∂p
∂x~ı+
∂p
∂y~+
∂p
∂z~k
)
dxdydz = −∇pdxdydz
Do equilíbrio de forças:
~F
s
+ ~F
= 0 ⇒ −∇pdxdydz + ρdxdydz~g = 0
Temos a equação da estáti a dos �uidos:
−∂p
∂x+ ρg
x
= 0
−∇p + ρ~g = 0 ⇒ −∂p
∂y+ ρg
y
= 0
−∂p
∂z+ ρg
z
= 0
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Variação da pressão em um �uido estáti o
Fluido estáti o: superfí ie livre é sempre normal à a eleração lo al
(da gravidade).
Figura: Sistema de
oordenadas empregado.
g
x
= 0 ⇒∂p
∂x= 0
g
y
= 0 ⇒∂p
∂y= 0
g
z
= −g ⇒∂p
∂z= −ρg
dp = −ρgdz →
∫
p(z)
p
0
dp = −ρg
∫
z
0
dz → p(z) = p
0
− ρgz
(hipótese de �uido in ompressível: ρ = onstante)
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Variação da pressão em um �uido estáti o
Como a pressão no fundo geralmente não é onhe ida, tomar a
origem no fundo não é um pro edimento práti o. Normalmente, a
pressão na superfí ie do líquido é onhe ida (atmosféri a, p
atm
).
Figura: Mudança do
sistema de oordenadas.
dh = −dz → dp = ρgdh →
∫
p(h)
p
atm
dp = ρg
∫
h
0
dh →
p(h) = p
atm
+ ρgh
Diferença de pressão entre dois pontos em �uidos estáti os:
p
A
= p
atm
+ ρghA
p
B
= p
atm
+ ρghB
}
⇒ p
A
− p
B
= ρg(hA
− h
B
)
Pontos na mesma horizontal possuem a mesma pressão.
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Variação da pressão em um �uido estáti o
Porque a altura de líquido é a mesma em todos os re ipientes?
Figura: Posição da superfí ie em vasos omuni antes.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Manometria
Man�metro é um dispositivo para medir diferença de pressão entre
dois pontos.
Figura: Man�metro
em U.
p
B
= p
A
p
C
= p
atm
+ ρgH
Como os pontos B e C
estão em uma mesma
horizontal de um tre ho
ontínuo de �uido:
p
A
= p
atm
+ ρgHQuando as duas pernas do man�metro estão na mesma altura:
H = 0; pA
= p
atm
A pressão em relação a pressão atmosféri a é
denominada pressão manométri a p
A−man = p
A
− p
atm
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 1
Um man�metro possui um diâmetro interno uniforme D = 6, 35mm. O tubo em �U� é par ialmente preen hido om água. Em
seguida, um volume de 3,25 m
3
de óleo om densidade de
800 kg/m
3
é adi ionado no lado esquerdo, omo mostrado na
�gura. Cal ule a altura de equilíbrio H se ambas as pernas estão
abertas para a atmosfera.
Figura: Exemplo 1.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 2
Água es oa no interior dos tubos A e B . Óleo lubri� ante está na
parte superior do tubo e U invertido. Mer úrio está na parte inferior
dos dois tubos em U. Determine a diferença de pressão p
A
− p
B
.
Figura: Exemplo 2.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Forças em superfí ies submersas planas
Uma vez que não pode haver tensões isalhantes num �uido em
repouso, a força hidrostáti a sobre qualquer elemento da superfí ie
deve ser normal a ele.
Figura: Comporta submersa.
pressão lo al
p = p
0
+ ρg(D + y sin θ)
força elementar em dA:
d
~F = −~n(p − p
0
)dA
o sinal negativo indi a que a
força atua no sentido ontra a
superfí ie.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Forças em superfí ies submersas planas
A resultante das forças hidrostáti as que atuam no orpo é dada
pela integral da força em ada ponto.
Figura: Comporta
submersa.
Força resultante:
~F =
∫
d
~F
= −~nρg
∫
L
0
∫
W
0
(D + y sin θ)dxdy
= −~nρg
∫
W
0
dx
∫
L
0
(D + y sin θ) dy
ou
~F =
−~kρgWL
(
D + L sin θ2
)
≡ −~nF
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Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Forças em superfí ies submersas planas
O ponto de apli ação, y
∗, da força resultante, F
r
, deve ser tal que
o seu torque em relação a qualquer eixo seja igual ao torque da
força distribuida.
F
r
y
∗ =
∫
ydF
Figura: Torque da força distribuida sobre a omporta.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 1
A superfí ie in linada mostrada na �gura, arti ulada ao longo de A,
tem 5 m de largura. Determine a força resultante, F
r
, da água e do
ar sobre a superfí ie in linada.
Figura: Exemplo 3.5.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 2
A omporta é arti ulada em H e tem 3 metros de largura em um
plano normal ao diagrama mostrado. Cal ule a força requerida em
A para manter a omporta fe hada.
Figura: Exer i io 3.64.
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Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 3
Uma portinhola de a esso triangular deve ser providen iada na
lateral de uma forma ontendo on reto líquido. Determine a força
resultante que age sobre a portinhola e seu ponto de apli ação.
Figura: Exer i io 3.50.
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Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Empuxo
É a resultante das forças de pressão na direção verti al.
Figura: Cál ulo do empuxo.
dF
z
= d
~F
2
~k + d
~F
1
~k
= −p2
d
~A
2
~k − p
1
d
~A
1
~k
= (p2
− p
1
)dAz
= ρghdAz
= ρgd∀
F
z
=
∫
dF
z
= ρg∀; ∀ : volume submerso.
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Es oamento Vis oso em Dutos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 1
Determine as leituras das es alas A e B indi adas na �gura.
Despreze o peso do re ipiente. A ro ha possui uma massa de 15 kg
e volume de 0,001 m
3
. O volume de água no tanque é de 20 litros.
Figura: Ro ha submersa.
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Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exemplo 2
Em uma operação de derrubada de árvores, uma tora de madeira
�utua rio abaixo em direção a uma serraria. É uma ano se o, e o
leito do rio está tão baixo que, em alguns lo ais a profundidade é
de 60 m. Qual é o maior diâmetro da tora que pode ser
transportada desta forma? Considere uma distân ia mínima de
3 m entre o fundo do rio e a tora e uma densidade relativa de 0,8.
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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
Exer í ios re omendados para P1
Manometria: 3.23 3.26
Forças superfí ies submersas: 3.52 3.57 3.62 3.67
Formulação integral: 4.35 4.39 4.63 4.64
Os números se referem à 7a edição do livro-texto.
As páginas orrespondentes estão no site:
ombustao.usuarios.rd .pu -rio.br
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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Sumário
1
Introdução
Apli ações
Fen�menos de transporte
2
Estáti a dos Fluidos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
3
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Formas de trabalho
Forma �nal da equação de onservação de energia
4
Es oamento Vis oso em Dutos
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Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Es oamento de �uidos
O es oamento dos �uidos é determinado a partir do onhe imento
da velo idade em ada ponto do es oamento, isto é, a partir do
ampo de velo idade
Tipos de es oamento:
Regime permanente: ∂()/∂t = 0
Regime transiente: ∂()/∂t 6= 0
Es oamento uniforme: a velo idade é a mesma em qualquer
ponto do es oamento
Es oamento não uniforme: a velo idade varia de ponto para
ponto do es oamento
Figura: Es oamento uniforme e não uniforme.
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Introdução
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Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Tipos de es oamento
Es oamento laminar: movimento regular
Es oamento turbulento: apare em turbilhões no es oamento,
ausando um movimento de mistura. O turbilhamento provo a
um regime não permanente. Porém, o tempo ara terísti o de
�utuação turbulenta ≪ es ala de tempo do es oamento
Figura: Es oamento laminar, transição e turbulento.
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Introdução
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Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Tipos de es oamento
No es oamento laminar, eventuais perturbações são amorte idas e
desapare em (Fig. a).
Durante a transição, turbulên ia esporádi a surge (Fig. b).
Durante o regime turbulento, o es oamento �utua ontinuamente
(Fig. ).
Figura: Es oamento laminar, transição e turbulento.
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Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Es oamento turbulento
A análise estatísti a baseia-se no fato de que o es oamento
turbulento pode ser des rito por um valor médio u e mais uma
�utuação u
′(muitas vezes da ordem de 1 % a 10% de u)
Figura: Flutuação turbulenta de velo idade, u = u + u
′.
Para o engenheiro, muitas vezes é su� iente onhe er o
omportamento do valor médio.
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Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Experiên ia de Reynolds
O es oamento turbulento o orre a altas velo idades. A transição é
ara terizada pelo número de Reynolds, Re = ρVD/µ
Re < 2300: es oamento laminar
2300 < Re < 5000: transição
Re > 5000: es oamento turbulento
Figura: Es oamento laminar e turbulento em um tubo, mistura de um
orante.
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Con eitos fundamentais
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Leis de onservação em linguagem matemáti a
massa:
dM
dt
= 0 ⇒
d
dt
∫
∀(t)ρd∀ = 0
quantidade de movimento:
d
dt
∫
∀(t)
~V ρd∀ = ~
F
onde
~F é a soma de todas as
forças que agem sobre a
massa M ontida em ∀(t).
Figura: Representação de um
elemento de volume.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Leis de onservação em linguagem matemáti a
energia:
d
dt
∫
∀(t)
(
u +~V · ~V
2
)
ρd∀
= Q + W
u : energia interna, Q, W :
taxas de alor e trabalho.
2
a
lei da termodinâmi a:
d
dt
∫
∀(t)sρd∀ ≥
Q
T
s : entropia T : temperatura
Figura: Representação de um
elemento de volume.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Leis de onservação em linguagem matemáti a
observa-se que apare e sempre um termo na forma
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀
onde α é uma grandeza por unidade de volume
onservação de massa: α = ρ
onservação de quantidade de movimento linear: α = ρ~V
onservação de energia: α = ρ(
u +~V ·~V2
)
2
a
lei da termodinâmi a: α = ρs
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Cál ulo de
d
dt
∫
∀(t) α(t)d∀
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀ = lim
∆t→0
1
∆t
{
∫
∀(t+∆t)α(t +∆t)d∀ −
∫
∀(t)α(t)d∀
}
= lim
∆t→0
1
∆t
{(
∫
∀(t+∆t)α(t +∆t)d∀ −
∫
∀(t+∆t)α(t)d∀
)
+
(
∫
∀(t+∆t)α(t)d∀ −
∫
∀(t)α(t)d∀
)}
= lim
∆t→0
(
∫
∀(t+∆t)
α(t +∆t)− α(t)
∆t
d∀
)
+ lim
∆t→0
1
∆t
(
∫
∀(t+∆t)α(t)d∀ −
∫
∀(t)α(t)d∀
)
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Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Cál ulo de
d
dt
∫
∀(t) α(t)d∀
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀ =
∫
∀(t)
∂α
∂td∀
+ lim
∆t→0
1
∆t
(
∫
∀(t+∆t)−∀(t)α(t)d∀
)
ou
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀ =
∫
∀(t)
∂α
∂td∀+
∫
S(t)α(t)~V · ~n dA
Figura: Translação e
deformação do volume do
sistema.
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Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Teorema do transporte de Reynolds
A eq. a ima vale para qualquer massa �xa de volume ∀(t),in luindo as massas que, a ada instante, o upam um volume de
ontrole �xo no espaço VC :
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀ =
∫
VC
∂α
∂td∀+
∫
SC
α(t)~V ·~n dA
d
dt
∫
∀(t)α(t)d∀ =
d
dt
∫
VC
α(t)d∀+
∫
SC
α(t)~V ·~n dA Figura: Volume de ontrole
�xo no espaço.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Conservação de massa
dM
dt
= 0 ⇒d
dt
∫
∀(t)ρd∀ = 0
logo, do teorema do
transporte,
d
dt
∫
VC
ρd∀+
∫
SC
ρ~V ·~n dA = 0
Figura: Representação de
um elemento de volume.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Signi� ado físi o dos termos
Figura:
d
dt
∫
VC
ρd∀: Taxa de
variação om o tempo da
massa dentro do VC .
Figura:
~V · ~n dA: Volume
que sai por dA por unidade
de tempo.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Casos espe iais
es oamento permanente (
∂∂t
= 0):
d
dt
∫
VC
ρd∀ = 0 ⇒
∫
SC
ρ~V · ~n dA = 0
�uido in ompressível (ρ = onstante):
d
dt
∫
VC
ρd∀ = ρdVC
dt
= 0 ⇒
∫
SC
ρ~V · ~n dA = 0
e, omo ρ 6= 0,
∫
SC
~V · ~n dA = 0
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 1
Considere o es oamento ompressível e permanente através do
dispositivo mostrado. Determine o módulo da vazão volumétri a
através da abertura 3 e veri�que se o �uxo é para fora ou para
dentro do dispositivo.
Figura: Problema 4.22.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 2
Água es oa em regime permanente através de um tubo de
omprimento L e raio R = 75 mm. Cal ule a velo idade de entrada
uniforme U, se a distribuição de velo idade através da saída é dada
por
u = u
max
(
1−r
2
R
2
)
u
max
= 3m/s.
Figura: Problema 4.31.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 3
Um a umulador hidráuli o é projetado para reduzir as pulsações de
pressão no sistema hidráuli o de uma máquina operatriz. Para o
instante mostrado, determine a taxa à qual o a umulador ganha ou
pede óleo hidráuli o.
Figura: Problema 4.37.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Conservação da quantidade de movimento
d
dt
∫
∀(t)
~V ρd∀ = ~
F
S
+ ~F
B
~F
S
... forças de superfí ie,
i.e. forças que agem sobre
SC
~F
B
... forças de orpo, i.e.
forças que agem sobre a
massa em VC
Figura: Conservação da
quantidade de
movimento.
logo, do teorema do transporte,
F
S
F
B
d
dt
VC
V d
SC
V V n dA
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Equação da onservação da quantidade de movimento
no sist. de oordenadas artesianas em que
~V = u~ı+ v~+ w
~k ,
dir. x : F
Sx
+ F
Bx
= d
dt
∫
VC
uρd∀+∫
SC
uρ~V · ~n dA
dir. y : F
Sy
+ F
By
= d
dt
∫
VC
vρd∀+∫
SC
vρ~V · ~n dA
dir. z : F
Sz
+ F
Bz
= d
dt
∫
VC
wρd∀+∫
SC
wρ~V · ~n dA
Figura: Fluido que ruza a fronteira do VC .
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 1
Cal ule a força requerida para manter o tampão �xo na saída do
tubo de água. A vazão é 1,5 m
3
/s e a pressão a montante é
3,5 MPa.
Figura: Problema 4.60.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 2
Um jato de água saindo de um bo al esta ionário a 10 m/s
(A
j
= 10 m
2
) atinge uma pá de�etora ujo ângulo de urvatura é
θ = 40
o
, montada sobre um arrinho, onforme o mostrado.
Determine o valor de M requerido para manter o arrinho
esta ionário. Se o ângulo da pá, θ, for regulável, tra e um grá� o
da massa, M, ne essária para manter o arrinho esta ionário omo
uma função de θ, para 0 ≤ θ ≤ 180
o
.
Figura: Problema 4.62.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo 3
Água es oa em regime permanente através do bo al mostrado,
des arregando para a atmosfera. Cal ule a omponente horizontal
da força na junta �angeada. Indique se a junta está sob tração ou
ompressão.
Figura: Problema 4.74.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Conservação de energia em linguagem matemáti a
Q − W =dE
dt
Q =
∫
S(t)~q · ~n dA
~q: vetor �uxo de alor
E =
∫
∀(t)eρd∀
e ≡ u+ 1
2
~V · ~V ...energia total por
unidade de massa (u é a energia
interna por unidade de massa)
Figura: Elementos da equação de
onservação de energia.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
De omposição do termo W
W : trabalho por unidade de tempo (potên ia).
W = W
eixo
+ W
outros
+ W
B
+ W
S
W
eixo
trabalho que sai do VC por um eixo que atravessa SC
W
outros
outros trabalhos (devidos a forças elétri as,
magnéti as, et .)
W
B
trabalho asso iado às forças de orpo que sai do VC
W
S
trabalho asso iado às forças de superfí ie que sai do
VC
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Análise do termo W
B
W
B
= −
∫
M
~V · ~g dM
onde o sinal negativo é ne essário
pois de�nimos W > 0 quando sai
do VC .
es olhendo um sist. de
oordenadas tal que~g = −g~k e
~V = u~ı+ v~+ w
~k , temos
~V ·~g = −wg = −
dz
dt
g =d
dt
(−gz)Figura: Elementos da equação de
onservação de energia.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Análise do termo W
B
substituindo,
W
B
=d
dt
∫
M
gz dM =d
dt
∫
∀(t)ρgz d∀
do teorema do transporte de Reynolds,
W
B
=d
dt
∫
VC
ρgz d∀+
∫
SC
gzρ~V · ~n dA
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Análise do termo W
S
W
S
= −
∫
S(t)
~V ·~t dA
onde o sinal negativo é ne essário
pois de�nimos W > 0 quando sai
do VC .
De omposição de
~t:
~t = τ~s + σ~n
τ tensão isalhante
σ tensão normal
�uido newtoniano:
σ = −p + 2µdV
n
dx
n
Figura: Elementos da equação de
onservação de energia.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Análise do termo W
S
aproximação:
σ ≃ −p
i.e., despreza-se a tensão vis osa normal 2µdV
n
dx
n
logo,
W
S
= −
∫
SC
τ ~V ·~s dA+
∫
SC
p
~V · ~n dA
o primeiro termo é nulo sempre que
~V = ~
0 (paredes) ou quando
~V
é paralelo a~n (normal a
~s). Logo, sempre podemos es olher um
VC tal que este termo se anule.
Neste aso,
W
S
=
∫
SC
p
~V · ~n dA
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Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Forma �nal da equação de onservação de energia
Q − W
eixo
− W
outros
=
d
dt
∫
VC
(
u +~V · ~V
2
+ gz
)
ρd∀
+
∫
SC
(
u +p
ρ+
~V · ~V
2
+ gz
)
ρ~V · ~n dA
A entalpia h = u + p
ρapare e no integrando da integral de
superfí ie.
A energia interna ontida em um pedaço de massa atravessa a SC
por efeito da força de pressão, assim o trabalho a ela asso iado
também atravessa a SC .
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo
P 4.200 Uma bomba entrífuga, om diâmetro de 0,1 m nos tubos
de sução e des arga, forne e uma vazão de água de 0,02 m
3
/s. A
pressão na sução é de 0,2 m de Hg (vá uo) e a pressão
manométri a na des arga é de 240 kPa. As seções de entrada e de
saída da bomba estão na mesma elevação. A potên ia elétri a
medida no motor da bomba é de 6,5 kW. Determine a e� iên ia da
bomba.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Tubo de orrente
Um tubo de orrente é a região do es oamento delimitada por
linhas de orrente. A ada instante, o vetor velo idade é tangente a
uma linha de orrente.
No VC mostrado:
W
eixo
= W
outros
= 0
es oamento em regime
permanente: d/dt = 0
es oamento uniforme em 1 e
em 2
V
tubo de corrente
1
2
Figura: Representação de um tubo
de orrente.
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Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Tubo de orrente
Com estas hipóteses, a equação de energia torna-se:
(
u
1
+p
1
ρ1
+V
2
1
2
+ gz
1
)
(−ρ1
V
1
A
1
)
+
(
u
2
+p
2
ρ2
+V
2
2
2
+ gz
2
)
(ρ2
V
2
A
2
) = Q
Apli ando a onservação de massa
m = ρ1
V
1
A
1
= ρ2
V
2
A
2
temos:
m
[(
p
2
ρ2
+V
2
2
2
+ gz
2
)
−
(
p
1
ρ1
+V
2
1
2
+ gz
1
)]
= m
[
δQ
δm− (u
2
− u
1
)
]
om Q = δQδt
= δQδm
δmδt
= δQδmm
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Tubo de orrente
Pode ser mostrado (usando a segunda lei da termodinâmi a) que
em es oamento in ompressível e sem atrito,
δQ
δm= (u
2
− u
1
)
ou seja:
p
2
ρ+
V
2
2
2
+ gz
2
=p
1
ρ+
V
2
1
2
+ gz
1
A equação de energia reduz-se à equação de Bernoulli!
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Exemplo
P 6.39 Vo ê olo a a mão aberta para fora da janela de um
automóvel, numa posição perpendi ular ao es oamento de ar.
Considerando, por simpli idade, que a pressão do ar em toda a
superfí ie frontal da sua mão é a pressão de estagnação ( om
respeito ás oordenadas do automóvel), e que a pressão atmosféri a
age sobre o dorso da sua mão, estime a força líquida que vo ê sente
na mão quando o automóvel está a (a) 50 km/h e (b) 100 km/h.
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011
Introdução
Estáti a dos Fluidos
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Es oamento Vis oso em Dutos
Sumário
1
Introdução
Apli ações
Fen�menos de transporte
2
Estáti a dos Fluidos
Equações bási as da estáti a dos �uidos
Manometria
Forças em superfí ies submersas planas
Empuxo
3
Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral
Con eitos fundamentais
Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds
Conservação de massa
Conservação de quantidade de movimento linear
Conservação da energia
Formas de trabalho
Forma �nal da equação de onservação de energia
4
Es oamento Vis oso em Dutos
Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011