102

FEN VE MÜHENDİSLİKTE

MATEMATİK METOTLAR

4. KİTAP

DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ

DD I

103

İÇİNDEKİLER

I. TANIMLAR

A) Mertebe

B) Lineer DD 'ler

II. 1. MERTEBE

A) Ayrışabilir

B) Tam Diferansiyel

C) Çarpan Yoluyla Tam Diferansiyel

D) 1. Mertebe LDD

III. 2. MERTEBE LDD

A) Abel Formülü

B) Standart ve İnvaryant Biçimler

C) Sınıflandırma

D) Euler DD

E) Frobenius Metodu

F) 2 1 , , ; F x

G) 1 1 , ; F x

IV. MATRİSLERLE N. MERTEBE LDD

A) Sabit Katsayılı DD

B) Genel LDD

C) Başlangıç Şartı Problemlerinde Green Matrisi

D) Başlangıç Şartı Problemlerinde Green Fonksiyonu

E) Sınır Şartı Problemlerinde Green Fonksiyonu

F) 2. Mertebe LDD

G) Dyson Açılımı

H) Uygulama : KHGDD

EKLER VE NOTLAR

104

I. TANIMLAR

A) Mertebe

Bağımsız değişken x yanı sıra, bağımlı değişken y ve türevlerini içeren

; , , , , 0N

x y y y y benzeri denklemlere 'Diferansiyel Denklem' ( DD )

denir. DD 'in çözümü ise tüm türevlerin yok edilip, y x fonksiyonunun elde edilmesidir.

Türevlerin yok edilmesi temelde türevin ters işlemi olan integral ile sağlanır. Dolayısıyla

çözümde gerekli integral işlemi sayısı kadar keyfi sabit yer alır. Bunu da DD 'in içerdiği en

yüksek mertebe türev belirler ve

1 2 ; , , , , 0 ; , , , N

Nx y y y y y y x c c c olur.

Bir DD 'in 'Mertebe' si olan N : DD 'in içerdiği en yüksek türevin mertebesidir.

Uygulamalarda keyfiliğe yer olmadığı için N adet ek bilgi kullanılarak keyfi sabitler yok

edilir. , x a b aralığında geçerli bir 2. mertebe DD 'de , y a y a

bilgisi : 'Başlangıç Şartı' ; çözümün , a b gibi ayrı noktada davranışını içeren

, y a y b benzeri bilgiler ise : 'Sınır Şartı' olarak adlandırılır. Mesela serbest

düşüş DD 'i 2

2

d y tg

dt 'nin çözümü iki keyfi sabit içerir :

21

2y t g t A t B . Ancak bu çözüm 0 oy y ,

0

v 0 vo

t

dy

dt

başlangıç şartları kullanılarak, keyfi olmayan sabitler içeren

21 v

2o oy t g t t y biçimine dönüştürülür.

105

B) Lineer DD ’ler

1

1 11 ( )

N N

N oN N

d y d y dyF x F x F x y Q x

d x d x dx

biçiminde, y ve tüm

türevlerinin lineer olarak yer aldığı DD 'ler 'Lineer DD' (LDD) olarak adlandırılır.

Bu LDD 'de genellikten ayrılmadan 1NF x seçildiği görülmektedir. LDD 'ler

0Q x özel durumunda 'Homojen' , 0Q x genel durumunda ise

'İnhomojen' olurlar. (1) Homojen LDD çözümlerinin bir sabitle çarpılma durumunda gene

çözüm kalacakları ve iki çözümün toplamının da gene bir çözüm oluşturacağı kolayca görülür.

II. 1. MERTEBE DD

A) Ayrışabilir

En genel 1. mertebe ,dy

f x ydx

DD 'inin özel hali

m xdy

dx n y için önce

0m x dx n y dy sonra da m x dx n y dy C yazılarak

çözüme erişilir. 2 e 2 e 0 y ydyx x dx dy

dx

2 2 e yx C y n C x örneğinde olduğu gibi.

B) Tam Diferansiyel

,

,

M x ydy

dx N x y , , 0M x y dx N x y dy DD 'i eğer

, 0dF x y biçiminde bir tam diferansiyel eşitliği ise çözüm , F x y C

olacaktır. F F

dF dx dyx y

özdeşliğinin , , 0M x y dx N x y dy

106

ile karşılaştırılmasından önce , F F

M Nx y

, sonra da

2 2

F F M N

y x x y y x

şartı elde edilir.

N M

x y

şartını

sağlayan 0M dx N dy DD 'lerin çözümü

M dx N dy C ile verilir. Bu işlemde M dx integralinde

y 'ye , N dy integralinde ise x 'e sabitmiş gibi davranılması gerekir. Aynı terimin

iki ayrı kanaldan çözüme girmesini önlemek için yerine kullanılması önemlidir.

2 1 0x y dx x dy örneğinde M N

y x

şartı sağlandığı için

2 2 1 x y dx x dy C x y x y x y C

22

1

C xx y x y C y

x

çözümü elde edilir.

C) Çarpan Yoluyla Tam Diferansiyel

, , 0M x y dx N x y dy DD 'i M N

y x

şartı sağlanmadığı için tam

diferansiyel olmayabilir. Ancak bazı durumlarda DD 'in x ile çarpılması tamlığı

sağlar. Bu durumda

M N

y x

şartının sağlanması istenir.

x durumunda da bu M N d

Ny x dx

veya

1

d M Ndx

N y x

demektir. Dolayısıyla eğer

1

M N

N y x

sadece

x 'e bağlıysa, x bulunabilir. Bu durumda x 'Tamlık Çarpanı' olarak

107

adlandırılır ve DD kolayca çözülebilir. Bir diğer seçenek de tamlık çarpanı olarak y

kullanmak ve 1

d M N

dyM y x

denkleminde yer alan

1

M N

M y x

ifadesinin sadece y 'ye bağlı olmasını istemektir.

22 0x y y dx y x y dy DD 'i M N

y x

olduğu için tam

diferansiyel değildir ; öte yandan 1 2

M N x y

N y x y

ifadesi sadece x 'e

bağlı olmadığı için de x biçiminde bir tamlık çarpanı yoktur. Ancak

1 1

M N

M y x y

olduğu için bir y tamlık çarpanı

1

d dy

yy y

olarak bulunur. Bu da DD 'i , çözümün

2

1

C xy

x

olduğu bilinen 2 1 0x y dx x dy biçimine getirir.

D) 1. Mertebe LDD

En genel 1. mertebe LDD y P x y Q x olarak ifade edilir. Bunun

0P y Q dx dy biçiminde yazılması sonucu DD 'in tam diferansiyel

olmadığı, ancak 1

M N

P xN y x

sadece x 'e bağlı olduğu için

eP dxd

P dx x

gibi bir tamlık çarpanı ile tam diferansiyel hale

getirilebileceği anlaşılır.

e e P dx P dx

P y Q dx dy C ise

108

e e e P dx P dx P dx

y Q dx y C

e e P dx P dx

y Q dx C veya

e e e P dx P dx P dx

y C Q dx sonucuna ulaşılır. Bu sonucu,

homojen çözüm

eP dx

Hy cinsinden, H H

H

Qy c y y dx

y olarak

da ifade etmek mümkündür.

PROBLEMLER

P.II.1) i) 1 y x y x y ii) 2 1 ctn x y x y

ayrışabilir DD 'leri çözün.

P.II.2) i) 22 1 0x y dx x dy

ii) 2 1 2 1 0

2 3x y x y dx x x y dy

Tam Diferansiyel DD 'leri çözün.

P.II.3) i) 1 e tan 0 xy dx y dy

ii) sin 0y dx x n x x y dy

DD 'lerini bir çarpanla tam diferansiyel biçime getirip çözün.

109

P.II.4) i) 2 1 3 6 x y x y x

ii) 3 2 cos x y y x x

1. mertebe LDD ’leri çözün.

III. 2. MERTEBE LDD

A) Abel Formülü

1 0oy F x y F x y 2. mertebe LDD 'inin çözümü için temelde iki integral

işlemi gerekeceği açıktır. Bu da iki keyfi integral sabiti demektir. Öte yandan çözümlerin

önce keyfi katsayılarla çarpılıp sonra da toplanmalarının da bir çözüm olacağı görülmüştü.

Bu iki gözlemin birleştirilmesinden 1 1 2 2 y c y c y olması gerektiği ve

2. mertebe bir LDD 'in iki bağımsız çözümü olduğu anlaşılır. 'Abel Formülü' bu

çözümlerden birinin bilinmesi halinde ötekisinin elde edilmesini sağlar. Önem ve anlamı

ileride daha iyi anlaşılacak olan 'Wronskian' : 1 2 2 1 W x y y y y ifadesini ele alalım.

Bu ifadenin 12 2

1 1

y W

y yy y

biçiminde yazılmasından

1

1 1

, y W

P Qy y

olan bir 1. mertebe LDD elde edilir. Bunun çözümü olarak

da 11

1

exp exp y

P dx dx yy

kullanılarak 2 1 2

1

W

y y dxy

bulunur. Ancak 2y için W , W için de 2y gerektiği için formül bu haliyle bir

kısır döngü ifadesidir. Bu kısır döngüden W 'yi bağımsız bir yolla elde ederek çıkılır.

Wronskian’ın türevi alınarak : 1 2 2 1 W x y y y y elde edilir. Öte yandan

1 0 oy F y F y 1 1 1 1 oy F y F y ; 2 1 2 2 oy F y F y

kullanılarak 1 1 2 2 2 1 1 1 o oW x y F y F y y F y F y veya

110

1 1 2 2 1 1 W x F y y y y F W 1 exp W A F dx bulunur.

Böylece elde edilen 1

2 1 2

1

exp

F dxy y dx

y

'Abel Formülü' ile bir çözümü

bilinen 2. mertebe LDD 'lerin öteki çözümü kolayca elde edilir.

B) Standart ve İnvaryant Biçimler

En genel 2 1 oF x y F x y F x y Q x 2. mertebe LDD , kısaca

2 1 , , oF F F y Q biçiminde gösterilebilir. Genellikten ayrılmadan 2 1F x

seçilebileceği açıktır. 1 1 , , oF F y Q LDD 'in 'Standart Biçim' i olarak adlandırılır.

Bir dönüşümle 0oF x yapılabilse idi, tüm 2. mertebe LDD 'ler, v y

tanımıyla 1. mertebe LDD olur ve kolayca çözülebilirdi. Bu mümkün değildir, ancak

1 1F x olmasını sağlayan bir bağımlı değişken dönüşümü vardır. Bu dönüşüm çözüm

açısından bir kolaylık getirmese bile 2. mertebe LDD sınıflandırılmasında önemli bir adımdır.

2 y x u x x y u u y u u u

ifadelerinin standart biçimdeki homojen LDD ’e yerleştirilmesiyle

1 1 , , 0 oF F y 1 2 0ou u u F u u F u

1 1 1 , 2 , 0o

u u uF F F

u u u

elde edilir. (2) Bu noktada u fonksiyonu

12 0u

Fu

olacak şekilde, yani 1 exp

2u F dx olarak seçilirse,

d

dx

terimi kaybolur ve

2

1 11

2 2o o

F Fu uF F F

u u

olur. Böylece

1 exp 2

F dx y ve

2

1 1 2 2

o

F FI F

olmak üzere

1 1 , , 0 oF F y 1 , 0 , 0I dönüşümü sağlanır.

111

2

1 1( ) 2 2

o

F FI x F

'İnvaryant Fonksiyon' , 1 , 0 , 0I ise

'İnvaryant Biçim' olarak adlandırılır.

C) Sınıflandırma

İnvaryant biçime getirme işlemi sonucu her 2. mertebe LDD tek bir I x fonksiyonu

ile karakterize edilebilmektedir. Böylece 2. mertebe LDD sınıflandırması, tek bir I x

fonksiyonunun sınıflandırılmasına indirgenmektedir. Fonksiyonları sınıflandırmanın da en

kolay yolu, tekil noktalarını sayı, konum ve nitelik açısından incelemektir. x - ekseni

üzerindeki noktalar önce

* ) 1 ve o o oF x F x : Sonlu ox : Alelade Nokta

* ) 1 veya o o oF x F x ) : Sonsuz ox : Tekil Nokta

olarak ikiye ayrılır. Sonra da tekil noktalar

* ) 1

o

ox x

x x F x

Lim ve

2

o

o ox x

x x F x

Lim : Sonlu ox : Düzenli Tekil Nokta

* ) 1

o

ox x

x x F x

Lim veya

2

o

o ox x

x x F x

Lim : Sonsuz ox : Esaslı Tekil Nokta

olarak ikiye ayrılır. 1 ux

dönüşümü yapılıp 0u noktasının incelenmesi sonucu

x noktasının hemen hemen her zaman tekil olduğu görülür. Tekilliklerinin tümü

düzgün tekil nokta olan LDD 'ler 'Fuchs DD' i olarak adlandırılır. N düzgün noktalı

bir 2. mertebe Fuchs DD 'i

112

2

1 1 1

1 , , 0N N N

k k k

k k kk k k

A B Cy

x x x x x x

olarak yazılır, ancak

x noktasının düzenli olması için 1

0N

k

k

B

şartının sağlanması gerekir.

2. mertebe Fuchs denklemlerinin, tekilliklerinin sayı ve konumlarına göre sınıflandırılmaları

Sayı Konum Ad

1 -

2 0 , Euler

3 0 , 1 , Hipergeometrik DD ( HGDD )

3 0 , , Konfluent HGDD ( KHGDD )

tablosunda özetlenir. Adı geçen DD 'ler

Euler : 2 1 , , 0

A Cy

x x

HGDD : 2 1 1 , 1 , 0x x x F

KHGDD : 1 1 , , 0x x F

ifadeleriyle verilirler. HG ve KHG DD 'lerin çetrefil görünümleri çözümlerinin estetiği

açısından gereklidir. Bu çözümlerin biçimleri, 2 1F ve 1 1F sembollerine de açıklık

getirecektir. HG ve KHG DD 'lerin uygulama kapsamları çok geniştir :

2 2 1 , , 0nx x n T : Chebyshev I

2 1 , 2 , 1 0nx x n n P : Legendre

2 1 , 3 , 2 0nx x n n U : Chebyshev II denklemleri

2

1 , , 1 0m

nx m x n n m G Gegenbauer DD’inin, o da HGDD ’inin

özel halleridir. Öte yandan

113

2 2 2 , , 0x x x J : Bessel

2 2

, 2 , 1 0nx x x n n j : Küresel Bessel DD ’leri

ise KHGDD ’in özel halleridir.

D) Euler DD

2

2 2 0

d y A dy Cy

dx x dx x Euler DD 'inin 0x 'da düzenli bir tekil noktası

olduğu açıktır. 1 ux

dönüşümü sonucu

2

2 2

2 0

d Y A dY CY

du u du u

biçimini alan DD 'in 2 , 0A C özel hali dışında 0u , dolayısıyla

x 'da , düzenli bir tekil noktası olacaktır.

2

2 2 0

d y A dy Cy

dx x dx x

DD 'ine çözüm olarak, kuvvet fonksiyonu y x denenmesi sonucu elde edilen

1 0A C İndis Denklemi 'nin iki çözümü :

2

1,2

1 1

2 2

A AC

'Karakteristik Kuvvet' ler olarak adlandırılırlar.

21

2

AC

durumunda kökler reel olacağı için çözümler 1 2 : , y x x

ile

verilir.

21

2

AC

durumunda tek reel kök:

1

2

A

, çözümlerden birini

verirken, diğeri Abel formülü yardımıyla bulunur ve : , y x x n x olur.

21

2

AC

durumunda ise a i b gibi iki kompleks kök bulunur ve

a i b a i b a i b n xx x x x e

: cos , sin a ay x b n x x b n x sonucuna ulaşılır.

114

E) Frobenius Metodu

2 1 0oF y F y F y DD 'inin herhangi bir alelade veya düzenli tekil nokta

ox x etrafında çözüm yolu :

*)

1

2

o

ox x

F xA x x

F x Lim ,

2

2

o

o

ox x

F xB x x

F x Lim

tanımlarıyla DD 'i ox x noktası yakınında yerel bir Euler DD 'i biçimine sokmak,

*) Ortaya çıkan 1 0A B indis denkleminden 1 2 ,

karakteristik kuvvetleri bulmak,

*) Bunlardan uygun olan(lar)ını seçerek, global, yani bir sonraki tekil noktaya kadar geçerli

çözüm için, 'Fuchs Teoremi' gereği,

0

k

o k o

k

y x x x a x x

biçimini kabul etmek,

*) Yukarıdaki ifadeyi DD 'e yerleştirmek ve k indisini kaydırarak tüm ox x

ifadelerinin aynı kuvvete yükseltilmesini sağlamak,

*) Bazı terimleri açık yazarak tüm toplamları aynı alt sınırdan başlatmak,

*) ox x ifadeleri lineer bağımsız oldukları için katsayı toplamlarının sıfır olması

gereğinden hareketle, ka 'ları, önceki

ka 'lar cinsinden veren bağıntılar elde etmek,

olarak özetlenebilir. Bu yaklaşım 'Frobenius Metodu' olarak bilinir. Bir örnek olarak, basit

görünümüne rağmen çok zor bir DD olan y x y , Airy DD 'ini ele alalım.

1 0 , oF F x 0 0 , 1A C olur.

0 seçimiyle 0

k

k

k

y x a x

, 2

0

1 k

k

k

y x k k a x

115

olur ve DD 2 1

0 0

1 k k

k k

k k

k k a x a x

olarak yazılır. İlk toplamda

2k , ikinci toplamda ise 1k kaydırma işlemleriyle elde edilen

2 1

2 1

2 1 a x a x

eşitliğinde ilk toplamın 2 , 1 , 0

terimleri ayrı yazılarak 2 2 1

1

2 2 1 0a a a x

bulunur.

Bu da 2 0a ve

1

2 2 1

aa

bağıntılarını verir.

1 1 , 0oa a seçimiyle 3 6

1 1 6 180

x xy

1 0 , 1oa a seçimiyle de 4 7

2 12 504

x xy x

elde edilir. Airy fonksiyonları Ai x Bi xve bu iki serinin karışımları olarak

tanımlanırlar.

F) 2 1 , , ; F x

2 1 1 , 1 , 0x x x F HGDD 'in 0x yakınında

çözümünü ele alalım.

1

1

1

xF

x x

,

1

oFx x

, 0A C 0 , 1 bulunur. Daha basit olan 0

seçimiyle

0

k

k

k

y x a x

, 1

0

k

k

k

y x k a x

ve

2

0

1 k

k

k

y x k k a x

olur.

HGDD ise

116

1 1

0 0 0

1 1 k k k

k k k

k k k

k k a x k k a x k a x

0 0

1 0k k

k k

k k

k a x a x

olarak yazılır. İlk ve üçüncü toplamda

1k , diğerlerinde k yerleştirerek elde edilen

1 1

1 0 1

1 1 1 a x a x a x

0 0

1 0a x a x

toplamlar denkleminde 1

terimlerinden katkı gelmez. Terimleri katsayılara göre yeniden sıralayarak erişilen :

1

0

1 a x

0

a x

denklemi ise

1

1a a

bağıntısını verir.

1 0 1 1oy a başlangıç şartı kabul edilirse

2 1 1 1 ...

1 2 !

xy x x

ifadesine erişilir. Bu çözümde paylar 2 , paydalar 1 parametreye bağlı oldukları için

çözüm 2 1 , , ; y F x sembolü ile gösterilir. DD 'in ve dolayısıyla

çözümün ve açısından simetrik olduğu açıktır. veya 'nın negatif

tam sayı olma durumunda çözümün bir polinom olacağı da görülmektedir. İlk çözümün

sonsuz bir seri olduğu durumlarda, paydada çözümün karesi yer alan Abel formülünü

kullanmak pratik olmaz. İndis denkleminin diğer çözümü hatırlanarak

1

0

n

n

n

y x a x

ile yukarıdaki işlemler dizisi tekrar edilebilir. Ancak daha kestirme

yol 1 ( )y x f x çözümünü HGDD 'e takıp, bu sefer ( )f x için yeni bir HGDD

elde etmektir. Bundan

117

2 1 1 , 1 , 2 , f F x olduğu görülür ve çözümler

1 2 1 , , , y F x ve 1

2 2 1 1 , 1 , 2 , y x F x

olarak bulunur.

G) 1 1 , ; F x

0x y x y y KHGDD 'in 0x yakınında çözümünü ele alalım.

1 1 Fx

,

oF

x

, 0A C 0 , 1

bulunur. Daha basit olan 0 seçimiyle

0

k

k

k

y x a x

,

1

0

k

k

k

y x k a x

ve 2

0

1 k

k

k

y x k k a x

olur.

KHGDD ise

1 1

0 0 0 0

1 0k k k k

k k k k

k k k k

a k k x a k x a k x a x

olarak yazılır. İlk iki toplamda 1k , diğerlerinde k yerleştirerek elde

edilen

1 1

1 1 0 0

1 1 0a x a x a x a x

toplamlar denkleminde 1 terimlerinden katkı gelmez. Terimleri katsayılara göre

yeniden sıralayarak erişilen : 1

0 0

1 a x a x

denklemi ise

1 1

a a

bağıntısını verir.

1 0 1 1oy a başlangıç şartı kabul edilirse

118

2 1 1 + ...

1 2 !

xy x

ifadesine erişilir.

Bu çözümde paylar da, paydalar da 1 parametreye bağlı oldukları için çözüm

1 1 , ; y F x sembolü ile gösterilir. 'nın negatif tam sayı olma durumunda

çözümün bir polinom olacağı görülmektedir. HGDD ve KHGDD arasındaki ilişkiyi daha iyi

ortaya çıkartan diğer bir yaklaşım ise 0 , 1 , x düzenli tekil noktaları olan HGDD

diferansiyel operatörü :

2

2 1 1

d dx x x

dx dx

ifadesinde s x

dönüşümü yaparak 0 , , s düzenli tekil noktaları olan bir diferansiyel operatör :

2

2

2 1 1

s s d s d

ds ds

elde etmektir.

Bu aşamada limiti alınarak

2

1 12 , ; 0

d ds s F s

ds ds

KHGDD 'ine erişilir. (3)

2

2 1

1 1 , , , 1 ...

1 2 !

xF x x

çözümü ise , x s limitinde

2

1 1

1 , , 1 ...

1 2 !

sF x s

sonucunu verecektir.

KHGDD 'nin ikinci çözümü, standart yaklaşımlarla

1

2 1 1 1 , 2 , y x F x olarak bulunur.

119

PROBLEMLER

P.III.1) 2 2(1 ) 0n n nx T x T n T Chebyshev DD 'ini bir trigonometrik değişken

dönüşümü ile basitleştirip nT x çözümlerini elde edin. İlk 4 Chebyshev polinomunu

0 , 1 , 2 , 3 n trigonometrik özdeşlikler yardımıyla inşa edin.

P.III.2) Aşağıdaki DD 'lerin Wronskian 'larını hesaplayın.

i) Legendre : 2(1 ) 2 ( 1 ) 0x y x y y

ii) Bessel : 2 2 2 ( ) 0 x y x y x y

iii) KHG : ( ) 0x y x y y

iv) HG : (1 ) ( 1 ) 0x x y x y y

v) Genel Hermitsel : 0P y Q y

P.III.3) 2 1 0oF y F y F y 2. mertebe LDD 'inin

0G y H y biçiminde yazılabilmesi için 2 1 , , oF F F fonksiyonlarını

içeren tek bir şart oluşturun. Eğer bu şart sağlanmıyorsa LDD bir v x fonksiyonu ile

çarpılarak uygun biçime getirilebilir. Bu durumda v x fonksiyonunun sağladığı DD 'i

elde edin.

P.III.4) 2 2 0y y y DD ’inin ikinci çözümünü Abel formülü yardımıyla bulun.

120

P.III.5) 2

2

dI x

dx

invaryant diferansiyel operatörü

d d

f x g xdx dx

olarak çarpanlarına ayrılmak isteniyor. f x

fonksiyonunu g x cinsinden ifade ettikten sonra g x için I x içeren

1. mertebe, ancak lineer olmayan bir DD inşa edin.

P.III.6) 1

01 1

xy y y

x x

DD 'inin ilk çözümünü ay x

deneyerek bulun. İkinci çözümü Abel formülü ile elde edin.

P.III.7) 2 2 2 0o o ox j x j x j , sıfırıncı mertebe Küresel Bessel DD 'inin bir

çözümünün sin

( ) o

xj x

x olduğunu gösterin. İkinci çözüm on x 'i Abel

formülüyle bulun.

P.III.8) 21 2 0o ox P x P , sıfırıncı mertebe Legendre DD 'inin bir çözümünü

bulun. İkinci çözüm oQ x 'i Abel formülüyle elde edin.

P.III.9) 1 1 , , 0oF F y LDD 'inin Wronskian 'ı yW , aynı denklemin

invaryant biçimi : 1 , 0 , 0I 'ın Wronskian 'ı ise W olsun.

y S eşitliğinden yararlanarak 2 yW S W ifadesini bulun. 1W

oluşundan da yS W olduğunu gösterin.

121

P.III.10) 1

0 1

o

y yd

F Fy ydx

denkleminde

y x u x x 0

y u

y u u

bağımlı değişken dönüşümü

yaparak 1 1

0 1

2o

du u u

dx F F Fu u u

denklemini elde edin. İnvaryant biçim elde etmek için gerekeni yapıp I x : İnvaryant

fonksiyon ifadesini bulun.

P.III.11) Bir fonksiyonun Schwarzian 'ı 2

3

2

F FF

F F

S olarak tanımlanır.

a) Schwarzian 'ı sıfır olan en genel fonksiyonu bulun.

b) 1 2 , , ( ) 0I x invaryant DD 'in çözümleri olmak üzere

1

2

S ifadesini hesaplayın.

P.III.12) x 'un alelade bir nokta olduğu bir DD inşa edip, çözümlerini bulun.

P.III.13) 2 2 2 , , 0x x x J Bessel DD 'inin düzenli ve düzensiz tekil

noktalarını bulun.

P.III.14) 2. mertebe bir Fuchs DD 'inde x = 'un düzenli tekil nokta olabilmesi için

1

0N

k

k

B

olması gerektiğini gösterin.

122

P.III.15) HGDD 'in x = etrafında bir çözümünü bulun.

P.III.16)

22

21 , 2 , ( 1 ) 0

1m

mx x P

x

Genellenmiş Legendre

DD 'inin çözümünün, düzenli tekil noktaları yakınında davranışını bulun.

P.III.17) 2 2 1 , , ( ) 0nx x n T x Chebyshev DD 'inin 1x

noktasındaki indis denklemini yazın ve karakteristik kuvvetleri elde edin.

P.III.18) 3

6 0y y

x ve 2

6 0y y

x DD 'lerini Frobenius

metodu ile çözmeyi deneyin.

P.III.19) Küresel Bessel DD 'i 2 2 , 2 , 0ox x x j denklemini Frobenius metodu

ile çözerek oj x ifadesini bulun. Sonsuz toplamı basitleştirerek sonucu temel

fonksiyonlar cinsinden ifade edin.

P.III.20) 1 , 2 , 0n nx H Hermite DD 'i Frobenius metodu kullanarak çözün.

Polinom çözümler için n ne olmalıdır ? İlk dört Hermite polinomunu oluşturun.

123

P.III.21) 1 , 1 , noktalarında tekil olan Gegenbauer

2 1 , , 1 ( ) 0m

nx m x n n m G x DD 'inin ve 0 , 1 ,

noktalarında tekil olan 2 1 (1 ) , (1 ) , ( , , ; ) 0z z z F z

HGDD 'inin arasındaki ilişkiyi kurmak için 1 2 x z dönüşümü yaparak

2 1

1 ( ) , 1 , ,

2 2

m

n

xmG x F n n m

ilişkisini kurun. ( )m

nG x

fonksiyonlarının polinom olma şartını bulun. 1 ( ) ( )n nG x T x ,

2 ( ) ( )n nG x P x ,

3 ( ) ( )n nG x U x özel hallerinin ilk dört polinomunu inşa edin.

P.III.22) 21 , , 1 ( ) 0m

nx m x n n m G x Gegenbauer DD 'inin ve

2 1z (1 z ) , (1+ ) , F ( , , ; ) 0z z HGDD 'in invaryant

biçimlerini karşılaştırarak ( )

m

nG x 'leri HG fonksiyon olarak ifade edin.

P.III.23) 21 1d d

xdx dx

Legendre diferansiyel operatöründe 2 u x

bağımsız değişken dönüşümü yaparak elde edilen HGDD yardımıyla

2

2 2 11 1 ~ , , ;

2 2nP x F n n x

2

2 1 2 13 3 ~ , , ;

2 2nP x F n n x ifadelerini elde edin.

P.III.24) 2 2 2 , , 0x x x J Bessel ve

2 2

, 2 , 1 0nx x x n n j Küresel Bessel DD 'lerinin invaryant biçimlerini

karşılaştırarak J ve nj fonksiyonları arasındaki ilişkiyi bulun.

İpucu : Normalize edilmiş sonuç : 1

2

( )2

nn

j x J xx

124

P.III.25) 2 2 2 , , 0x x x J Bessel ve

1 1 , , ( , ; ) 0z z F z KHGDD 'in invaryant biçimlerini karşılaştırarak

1 11( ) ~ e , 2 1 , 2

2i xJ x x F i x

olduğunu gösterin. İpucu : Normalize

edilmiş sonuç :

1 1

1 1 exp , 2 1 ; 2 21 2

J x ix x F i x

P.III.26) 2 2

, 2 , 1 0nx x x n n j Küresel Bessel ve

1 1 , , ( , ; ) 0z z F z KHGDD 'in invaryant biçimlerini karşılaştırarak

1 1( ) ~ 1 , 2 2 ; 2 i x n

nj x e x F n n i x olduğunu gösterin.

İpucu : Normalize edilmiş sonuç :

1 1

1

12 exp 1 , 2 2 ; 2

3 22

n

nn

j x ix x F n n i xn

IV. MATRİSLERLE N. MERTEBE LDD

A) Sabit Katsayılı LDD

LDD 'ler ve matris cebiri arasındaki yakın ilişkiyi belirten, 5 6 0y y y gibi

basit bir örneğe eğilelim. 2. mertebe, sabit katsayılı, homojen olan bu örnek,

2 boyutlu bir y

Yy

vektörü tanımıyla, 0 1

6 5

A olmak üzere

d

Y Ydx

A biçiminde yazılabilir. Çözüm olarak ( : )xY e V V Sabit

125

denenirse karşımıza e x xV e V A veya V VA özdeğer

denklemi çıkacaktır. A matrisinin özdeğerleri ve onlara ait özvektörler

1 1

1 2

2V

; 2 2

1 3

3V

olarak bulunmasıyla, iki çözüm

2

2

1 2

1 e e

2 2 e

x

x

xY

;

3

3

2 3

1 e e

3 3 e

x

x

xY

olarak elde edilir. Çözümlerin yan yana dizilmesiyle elde edilen

2 3

2 3

e e

2 e 3 e

x x

x xx

F matrisi LDD 'in 'Temel Matrisi' olarak adlandırılır ve

dx x

dxF A F denklemini sağlar. Temel matrisin çok büyük teorik önemi ileride

görülecektir. Bu noktada sadece Det x F 'in Wronskian W x olduğu gözlenir.

İncelenen LDD 'in en genel çözümü xF 'in sağdan 1

2

c

Cc

keyfi sabit vektörü ile

çarpımından elde edilir ve

2 3

1 2

2 3

1 2

e e

2 e 3 e

x x

x x

y c c

y c c

olur.

B) Genel LDD

a x b aralığında geçerli, standart biçimdeki en genel N 'inci mertebe LDD :

1

1 1 0 ... N N

Ny F x y F x y F x y Q x

126

1

0 1 2 3 1

0 1 0 0 00

0 0 1 0 00

, , 0 0 0 1 0

n

n

y

yY Q x

QyF F F F F

P ,

tanımlarıyla x d

Y x Y x Q xdx

P biçiminde yazılabilir.

Homojen denklem x H H

dY x Y x

dx P 'in çözümü

HY : 'Homojen Çözüm' ;

inhomojen denklem x Q Q

dY x Y x Q x

dx P 'in çözümü ise

QY : 'Özel Çözüm' olmak üzere, 'Genel Çözüm' ün H QY Y Y olacağı,

x H H

dY x Y x

dx P

x Q Q

dY x Y x Q x

dx P

+____________________________________________

x H Q H Q

dY Y Y Y Q x

dx P

toplamından görülür. QY tek başına LDD 'i çözdüğüne göre HY 'e ne gerek olduğu

sorgulanabilir. Bunun cevabı: Çözümü başlangıç veya sınır şartlarına uydurabilmek için

gerekli keyfi sabitlerin, homojen çözüm HY içinde yer almasıdır. Böylece LDD 'i sağlayan

ancak esnekliği olmayan QY ; LDD 'i tek başına sağlamasa bile katıldığı çözümü

bozmayan HY 'e eklenerek hem geçerli, hem de esnek bir çözüm elde edilir.

HY ve QY 'nun elde edilmesi için homojen denklemi x x xd

dxF P F

biçiminde sağlayan ve çözüm vektörlerinin yan yana dizilmesinden oluşan bir temel matris

127

xF 'in varlığını kabul edelim. (4) x x xd

dxF P F denkleminin sağdan keyfi

sabit vektörü

1

2

N

c

cC

c

ile çarpımından x HY C F olduğu açıktır.

Daha zor olan QY için ise keyfi sabit vektörü C yerine değişken Z x vektörü

kullanılarak HY x Z x F yazılır. (5)

d

x Z x x x Z x Q xdx

F P F denkleminden önce

d

x Z x Q xdx

F , sonra da 1 Z x dx x Q x F elde edilir.

Belirsiz bir integral olarak ifade edilen genel çözüm :

1 Y x x C x dx x Q x F F F , önce

1 x

aY x x C x dx x Q x F F F

olarak, belirli integral görünümünde yazılır. Gerçi bu ifade, ilk ifadeden

1 a

x dx x Q x F F kadar farklıdır. Ancak bu fark, xF 'in sağdan bir sabit

vektörle çarpımına denktir. Genel çözümde zaten x CF terimi bulunduğu ve de

Keyfi Sabit Vektör + Sabit Vektör = Keyfi Sabit Vektör olduğu için bu fark önemsizdir.

x x için 1U x x ; x x için ise 0U x x olan

Heaviside basamak fonksiyonu kullanımıyla daha da belirli integral görünümüne sokulan

genel çözüm 1 b

aY x x C x dx x Q x U x x F F F olur.

'Green Matrisi' 1, x x x x U x x G F F tanımıyla

b

aY x x C dx x x Q x F G biçimini alan çözümde yer alan

integralin üst sınırı b olmakla beraber U x x teriminden dolayı gerçekte x

olduğu unutulmamalıdır.

128

C) Başlangıç Şartı Problemlerinde Green Matrisi

Y a başlangıç şartı verilen bir problemde, yukarıdaki çözüme x a yerleştirilerek

Y a a C F bulunur ve çözüm :

1 , b

aY x x a Y a dx x x Q x F F G olarak ifade edilir.

,

b

Qa

Y x dx x x Q x G çözümünü veren Green matrisinin teorik tanımı

, d

x x x x xdx

P G 1 olarak yapılır. Bu denklemin sağdan Q x

ile çarpılıp iki tarafın

b

adx integralinin alınması sonucu bulunan

     ,

b

a

dx dx x x Q x Q x

dx

P G denklemi

     ,

b

Qa

Y x dx x x Q x G olduğunu göstermektedir. Ancak bu teorik tanım

  ,x xG inşası için bir ipucu vermez. Öte yandan daha pratik

1, x x x x U x x G F F reçete tanım yardımıyla ,x xG kolayca

oluşturulabilir. Bu iki tanımın eşdeğer olduğunu görmek için

?

1 d

x x x U x x x xdx

P F F 1 veya

1 1 d d

x x U x x x x U x xdx dx

+F F F F

?

1 x x x U x x x x P F F 1 denklemi d

x xdx

P F 0

kullanılarak ?

1 x x x x x x F F 1 biçimine dönüşür. İlk bakışta

eşitlik yokmuş gibi görünmesine karşın x x ve x x durumlarının ayrı ayrı

incelenmesinden eşitlik ortaya çıkar.

129

D) Başlangıç Şartı Problemlerinde Green Fonksiyonu

     ,

b

Qa

Y x dx x x Q x G çözümü uygulamalar için gereğinden fazla bilgi

içermektedir. Aslında 1

Q Qy x Y x bilinirse QY x vektörünün tüm

elemanları türev alınarak elde edilebilir. Buna ek olarak Q x vektörünün çok basit

biçimi, yani

j Nj

Q x Q x olması sonucu

1 1 1 1

     ,      , N b b

Q j Nj Na aj

Y x dx x x Q x dx x x Q x

G G

veya 'Green Fonksiyonu' 1

,   , N

G x x x x G tanımıyla

,

b

Qa

y x dx G x x Q x bulunur.

Değişik mertebe LDD 'ler için Green fonksiyonları

1, x x x x U x x G F F reçetesiyle inşa edilir. 1N için

eP dx

Hy olmak üzere

( , ) H

H

y xG x x U x x

y x

olur. Daha yüksek

mertebeler için ise ,G x x iki determinantın oranı kere basamak fonksiyonu olarak

yazılabilir. Paydadaki determinantın W x olduğu, pay'daki determinantın ise en alt

satırı dışında W x 'e özdeş olduğu görülür. Mesela 2N için :

1 2

1 2

1 2

1 2

Det

,

Det

y x y x

y x y xG x x U x x

y x y x

y x y x

130

3N için ise

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Det

,

Det

y x y x y x

y x y x y x

y x y x y xG x x U x x

y x y x y x

y x y x y x

y x y x y x

elde edilir.

E) Sınır Şartı Problemlerinde Green Fonksiyonu

: , x a b aralığında geçerli bir 2 1 , , of f f y q DD 'i uygun bir

fonksiyonla çarpılarak 'Hermitsel' olarak adlandırılan 2 2 , , oF F F y Q

biçimine getirilebilir. Bu tip DD 'lerin Wronskian 'larının 2

1 ~ W x

F x oluşu

ileride yararlı olacaktır. İncelenen 2 2 , , oF F F y Q DD 'inin

1 1 2 2 Qy x c y x c y x y x çözümünün uç nokta değerleri :

y a ve y b verilmiş olsun. Bu bilgiyi kullanarak çözümde yer alan 1 2 , c c

keyfi sabitlerinin saptanması ve

,

b

Qa

y x G x x Q x dx ifadesinde

kullanılacak Green fonksiyonunun bulunması amaçlanır. ,G x x 'in sağladığı

2

2 22 , o

d dF x F x F x G x x x x

dx dx

denkleminin

-

x

xdx

integrali alınarak 0

2

, , 1

dG x x dG x xF x

dx dx

bağıntısı elde edilir. Bundan

,dG x x

dx

türevinin x x noktasında

2

1

F x değerinde bir sıçrama

yapacağı, dolayısıyla x x ve x x bölgeleri için iki ayrı ,G x x

131

ifadesi gerekeceği anlaşılır. Öte yandan ,dG x x

dx

türevinin tanımlı olabilmesi için

,G x x 'in sürekli olması gerektiği açıktır.

: ; : I x x II x x

İki ayrı bölgede geçerli Green fonksiyonlarını ,IG x x ve ,IIG x x olarak

adlandırır ve genel çözümü

1 1 2 2

, , x b

I IIa x

y x c y x c y x G x x Q x dx G x x Q x dx

olarak yazarsak

1 1 2 2

, b

IIa

y a c y a c y a G a x Q x dx

1 1 2 2

, b

Ia

y b c y b c y b G b x Q x dx

, ,I IIG x x G x x ;

2

, , 1

I II

x x

dG x x dG x x

dx dx F x

132

bağıntılarını elde ederiz. Uzun ve yorucu işlemlerden sonra erişilen sonuç

1 2

1 2

, v Det

v v

y u y uD u

y y

, 2 C F x W x

min , Sx x x ; sup , Lx x x

tanımlarıyla

, , ,

,

S LD x a D x bG x x

C D a b

, ,

, H

y a D x b y b D x ay x

D a b

formülleridir. Bu formüllerde kullanılan 1y ve 2y homojen çözümlerin bir ölçüde

keyfi oldukları, herhangi iki bağımsız karışımlarının da aynı işi göreceğinden hareketle

1y ve 2y için akılcı seçimler yapılırsa, yukarıdaki formüller önemli ölçüde basitleşir.

Mesela 1y ve 2y , 1 2 0y a y b olacak şekilde seçilebilirlerse formüller

1 2

, S Ly x y x

G x xC

ve

1 2

1 2

H

y b y ay x y x y x

y b y a

olarak sadeleşirler. Sınır şartları her zaman , y a y b olarak verilmez ;

, y a y b veya , y a y b veya , y a y b hatta en

genel , y a y a y b y b biçiminde sınır şartları da

benzer yaklaşımlarla sonuçlandırılır.

F) 2. Mertebe LDD

Uygulama alanı en geniş olan 2. mertebe 1 oy F x y F x y Q x

LDD ’inin çözümü için öncelikle iki homojen çözümden birini elde etmek gerekir. Bu

başarıldıktan sonra 1 exp W dx F ve 2 1 2

1

W

y y dxy

Abel formülleri

133

ile 2y bulunur. 1y ve 2y bilindiğine göre homojen çözüm

1 1 2 2 Hy c y c y ve Green fonksiyonu ,G x x biliniyor demektir.

= ,

b

Qa

y x dx G x x Q x formülü ile özel çözümün bulunması ile de işlem

tamamlanmış olur. Bu işlemler dizisi aşağıdaki biçimde özetlenebilir.

DE Q

W y1 G yQ

y2 yH y

Görüldüğü gibi her şey 1y 'in bulunmasına dayanmaktadır. 1y 'in elde edilmesi de bir

ölçüde sistematize edilebilir. 1 1 , , 0oF F y homojen LDD 'i

1 exp 2

Fy dx

bağımlı değişken dönüşümü yapılarak,

2

1 1 2 2

o

F FI F

tanımıyla, daha basit 1 , 0 , 0I invaryant

biçimde incelenebilir. Pratikte böyle bir uygulama olmamasına karşın ilke olarak bir

I x x tablosu :

134

I x x DD

-------------------------------------------------------------------------------------------

A exp Sabit Katsayılı

2A

x x

Euler

22

1 1

A B C

x x x x

2 1F HGDD

2

A B

Cx x

1 1F KHGDD

oluşturularak çözüm, bilinen ve tarih boyunca derinlemesine incelenmiş fonksiyonlarla

benzeştirilebilir. Bağımlı değişken dönüşümü yanı sıra, bağımsız değişken dönüşümüne de

dayanan çok güçlü bir metot, Ny x y LDD 'inin çözümü ile ilintili olarak bölümün

problemleri arasında yer almaktadır. (6)

G) Dyson Açılımı

Çoğu zaman bir LDD 'in tam ve kesin çözümüne ulaşılamaz. Böyle durumlarda yaklaşık

çözümlere razı olunur. Çözümü sonsuz bir seri olarak ifade edip, ilk birkaç terimle yetinmek

buna bir örnektir. Şimdiye kadar görülen konuların güzel bir özeti olan Dyson açılımı teorik

ve pratik yönden incelenmeye değer bir yaklaşımdır. a x b aralığında temel

matris için yazılan d

x x xdx

F P F denkleminin çözümünü 'Gelişim Matrisi'

,x aU yardımıyla , x x a a=F U F olarak yazalım. Gelişim matrislerinin :

, , , U U U , , U 1 ,

1

, ,

=U U özdeşliklerini sağladıkları açıktır.

135

, , , ,d d

x a a x x a a x a x x adx dx

U F P U F U P U

olduğu görülmektedir. Aslında 1, x a x aU F F olduğu için bu sonuç hiç de

şaşırtıcı değildir; öte yandan bu tanımın çözüme yönelik hiç bir yenilik getirmediği de

ortadadır. Bu metodun hayata geçebilmesi için incelenen probleme yakın bir problemin

önceden çözülmüş olması gerekir. Bununla kastedilen xP 'in 1 + o x xP P

olarak yazılabilmesi ve , ,o o o

dx a x x a

dxU P U denkleminin, çözümü

bilinen bir problem olmasıdır. Böylece 1 + ox x xP P P oluşundan

1, , ,ox a x a x aU U U varsayımı yapılır.

1 1 , x x a P U0 1 ve , , oa a a a U U 1

oluşundan da 1 , a a U 1 olması gerektiği görülür.

1 1 1, , , , o o o

dx a x a x x x a x a

dx U U P P U U denklemi

, ,o o o

dx a x x a

dxU P U özdeşliği kullanılarak önce

1 1 1, , , ,o o

dx a x a x x a x a

dxU U P U U sonra da

1

1 1 , , , o

dx a x a x x a

dx

U U P U biçimine girer. Bu denklemde

x x dönüşümü yapıldıktan sonra

x

adx integrali alınarak

1 1

, , ,x x x

ox a a

d x a dx a x x x a

U U P U bulunur. 1 , a a U 1

özdeşliği kullanılarak da

1 1

, , ,x

oa

x a dx a x x x a U U P U1

bulunur. Bu eşitliğin soldan ,o x aU ile çarpımından ise

1

, , , ,x

o oa

x a x a dx x x x x a U U U P U denklemine erişilir. Bu da

136

ile gösterilermek üzere

diyagram denklemini verir ifade edilir. Gerek diyagram, gerek de integral denklemlerinin

açılımı aynı sonucu verir :

veya

1

, , , , x

o oa

x a x a dx x x x x a U U U P U

1 1

, , , x x

o oa a

dx dx x x x x x x x a

U P U P U

137

Değişkenlerin a x x x x olarak sıralı olması dikkat

çekicidir. LDD çözümlerinde gelişim matrisi kullanılması, QED hesaplarında yer alan

'Feynman Diyagramları' na giden yolda ilk adımdır. ( 7 , 8 )

H) Uygulama : KHGDD

0x y x y y KHGDD , önce standart biçime sokulup, sonra da matris

kullanımıyla

0 1

1

y yd

y ydxx x

olarak yazılır.

Bu noktada verilmesi gereken önemli karar 0 1

1

x

x x

P matrisinin

o xP ve 1 xP olarak nasıl ayrıştırılacağıdır. Fuchs teoremi uyarınca o xP

Euler DD 'ini verecek, yani 1 2 , o

A CF x F x

x x olacak şekilde bir

seçim yapmak gerekir. Dolayısıyla 0 1

0

o x

x

P olarak seçilince,

1

0 0

1x

x

P olur. 0 1

0

o x

x

P

11

0 1 o

xx

x

F bulunduktan sonra , o x aU gelişim matrisini

oluşturmadan önce bir basitleştirme yerinde olur. , x aU gelişim matrisinden sadece

1 1 , , F x çözümüne yönelebilmek için işlemin sonucunu sağdan 1

0

vektörü

ile çarpmak gerekir. Buna eşdeğer olarak en baştan 1 0

,0 0 0

ox

U almak

daha kestirme bir yaklaşımdır. Bu durumda

138

1 0,0 ,0 , ,0

x

o o ox x dx x x x x U U U P U

1 1 0 0

, , ,0 x x

o o odx dx x x x x x x x

U P U P U

denkleminde gittikçe daha fazla terim hesaplayarak, sırasıyla

0 1 0

0 0x

U , I

1 0

0

x

x

U

U(II) x =

2

II

11 0

1 2

1 0

1

xx

x

x

U bulunur.

Dyson açılımının ardışık terimleri karşılaştırılarak 1

1

1n n

na a

n n

bağıntısını

doğrudan elde etmek de mümkündür.

PROBLEMLER

P.IV.1) 1 d

dx

= FP F olduğunu gösterip, çözümleri

i) tan , x n x , ii) , x n x iii) , expx x

olan 2. mertebe LDD 'ler inşa edin.

139

P.IV.2) Matris metotları ile çözün :

i) 2 y y x , ii) 2 y y y x

iii) 3 2 y y y x , iv) 1

yx

v)

22

2 sin ( )

dA t

dt

P.IV.3) Sabit katsayılı LDD 'ler için ( , ) ( )G x x G x x olduğunu gösterin.

P.IV.4) Determinant türevlerinin satır-satır alınma reçetesini kullanarak, 2. mertebe

LDD 'ler için 1

( ) eF dx

W x formülünü N 'inci mertebe LDD 'lere genelleştirin.

P.IV.5) Determinant türevlerinin satır-satır alınma reçetesini kullanarak, ( , )G x x 'in iki

determinantın oranı kere basamak fonksiyonu olarak ifade edildiği durumlarda

Diferansiyel

Operatör

( , ) ( )G x x x x sağladığını gösterin.

P.IV.6) d

x x xdx

F P F DD 'inden yola çıkarak 1 xF matrisinin sağladığı

DD 'i bulun.

P.IV.7) y x y Airy DD 'ini Dyson açılımı yoluyla çözün.

140

P.IV.8) En genel 2 1 , , of f f y q DD 'ini 2 2 , , oF F F y Q hermitsel

biçime sokmak için nasıl bir H x fonksiyonu ile çarpmak gerektiğini bulun.

P.IV.9) 1 1 , , 0oF F y LDD 'inin Green fonksiyonu , yG x x , aynı

denklemin invaryant biçimi : 1 , 0 , 0I ’ın Green fonksiyonu ise ,G x x

olsun.

, ,

y

y

y

W xG x x G x x

W x

denklemini elde edin.

P.IV.10) Bağımsız değişkeni G olan bir KHGDD ele alın. Aslında G G x ,

ancak şimdilik bunu göz ardı edin.

i) Denklemi standart biçime getirin,

ii) Denklemi invaryant biçime getirin,

iii) 1

d d

dG G x dx

özdeşliğini kullanarak, bağımsız değişkeni x 'e dönüştürün,

( Bu yeni denklem invaryant, hatta standart biçimde olmayacaktır )

iv) Bu yeni DD 'i standart biçime getirin,

v) Yeni DD 'i invaryant biçime getirin, sonuç 'Genelleştirilmiş KHGDD ’in İnvaryant Biçimi' :

2 2 2 2 2

2 2

1 3

2 4 2 4 2 4

G G G G GI G

G G G G

olmak üzere

2

1 1

exp 2

1 , 0 , , , 0

GG

I G F GG

elde edilir.

141

vi) Bu denklemi Ny x y ile karşılaştırıp, , ve G x için akılcı

seçimler yaparak, DD 'in iki çözümünün

2 2

2 21 1 1

2 4 4 4 exp , ,

2 2 4 2 2

N NN N

y x x F xN N N N

ve

2 2

2 22 1 1

2 4 exp , ,

2 2 4 2 2

N NN N

y x F xN N N N

olduklarını

bulun,

vii)

1 1

1 ~ e , 2 1 , 2

2

i zJ z z F i z

oluşundan bu ifadelerin

y 1,2

21

2 21,2 1

2

2

2

N

N

iy x x

NJ

sonucuna denk olduğunu gösterin.

EKLER VE NOTLAR

(1) Dikkat edilmesi gereken bir nokta : , y

y f x y gx

biçimindeki 'Homojen

Katsayılı DD 'lerin de bazen kısaca 'Homojen DD' olarak adlandırılması karışıklığa sebep

olabilir.

(2) u x fonksiyonu ileride

1

u x

x olarak tekrar karşımıza çıkacaktır.

(3) İki düzenli tekil noktanın üst üste gelmesi sonucu, x 'da oluşan nokta düzensiz

bir tekil noktaya dönüşür.

142

(4) Notices of the AMS , April 2002 , sayfa 430 .

(5) Bu yaklaşım İngilizce'de 'Variation of Parameters' olarak adlandırılır. Yapılan işlemi

'Sabitlerin Değişkenleştirilmesi' daha iyi tanımlardı.

(6) Problem P.IV.10 .

(7) QED : Kuantum Elektrodinamiği. Elektrik yüklü parçacıkların fotonlar aracılığıyla

etkileşmelerini inceleyen, modern fiziğin en başarılı teorisi.

(8) Kuantum fiziğinin saçılma teorisinde karşımıza çıkan 'Born Serisi' ve 'Zamana Bağlı

Tedirgeme' metotları da diğer bazı ara adımlardır.