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ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
UFBA – Universidade Federal da Bahia
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e em regime estacionário
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Método Alternativo
Pela lei de Fourier
rdTq Adr
2r
dTq 4 rdr
Como q é constante e independente de r
r T2 s2r r
2 2r T1 s1
q q drdr dT dT44 r r
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Considerando constante e integrandor T r2 s2 2 Tr r s2
T2 s1rr T 11 s1
q dr q 1dT T4 4 rr
rs2 s1
2 1
q 1 1 T T4 r r
rs1 s2
1 2
q 1 1 T T4 r r
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Logo
s1 s2r
1 2
T Tq
1 1 14 r r
então t,cond1 2
1 1 1R4 r r
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Cilindro
1 ,2
cond conv
T Tq
R R
2 1cond
ln(r / r )R2 L
conv2 2
1R2 r Lh
1 ,2
2 1
2 2
T Tq ln(r / r ) 1
2 L 2 r Lh
r1r2
T1 T2, h2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
O ponto de máximo é encontrado derivando-se q em relação a r2 e igualando a zero, ou seja:
1 ,22 22 2 2 22 1 2 2
2 L T Tdq 1 k 0dr r h rln(r / r ) /(h r )
2c2
krh
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Comportamento das resistências de condução e convecção
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamentoEXERCÍCIO
Determinado processo industrial apresenta uma grande quantidade de tubos para condução de vapor, onde a temperatura externa destes tubos mantém-se aproximadamente a 150oC. Com o objetivo de aproveitar sobras de material e ainda reduzir a perda de calor, um dos engenheiros da empresa sugeriu que fosse colocado sobre a tubulação uma sobra de isolante térmico com as seguintes características, k=0,4W/moC e espessura igual a 5mm. Sabendo-se que o raio externo da tubulação é de 15mm, que o coeficiente de convecção externo é de h=20W/m2 oC e que a temperatura ambiente é de 25oC, responda:a) O que se pode concluir em relação a sugestão do engenheiro? b) Você apoiaria a sugestão? Justifique. c) Se a espessura do isolamento fosse de 10mm você apoiaria a sugestão? Justifique.
3.3. Condução de calor com geração de energia térmica
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Equação da condução de calor
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
2
2d T q 0dx
Integrando a 1a vez
1d dT q dT qdx dx 0 x C 0dx dx dx
Ts1 Ts2
+L
q
-Lx
T(x)
0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Integrando a 2a vez
1dT qdx xdx C dx 0dx
21 2
qxT C x C 02
21 2
qxT C x C2
(3.7)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Aplicando as condições de contorno
2s1 1 2
q( L)T C ( L) C2
Ts1 Ts2
+L
q
-Lx
T(x)
0
em x = -L, T =Ts1
22 1 s1
qLC C L T2
2s2 1 2
qLT C L C2
em x = +L, T =Ts2
(3.8)
(3.9)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
(3.8) em (3.9)2 2
s2 1 1 s1qL qLT C L C L T2 2
s2 1 s1T 2C L T
s1 s21
T TC2L
(3.10)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
(3.10) em (3.8)
(3.11)
2s1 s2
2 s1T TqLC T
2 2
22 1 s1
qLC C L T2
2s1 s2
2T TqLC
2 2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
(3.10) e (3.11) em (3.7)
(3.12)
2 2s1 s2 s1 s2T T T Tqx qLT x
2 2L 2 2
21 2
qxT C x C2
2 2s2 s1 s1 s2
2T T T TqL x xT 1
2 2 L 2L
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Substituindo (3.12) na lei de Fourier
(3.13)
2s2 s1 s2 s1
2T T T TqL 2x qxq A A
2L 2L2 L
dTq Adx
2 2s2 s1 s1 s2
2T T T Td qL x xq A 1
dx 2 2 L 2L
s2 s1T Tq Axq A
2L
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Condições de Contorno
Assimétricas
Condições de Contorno
Simétricas
Superfície adiabática
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.2. Parede cilíndrica, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
Distribuição de temperatura
Taxa de transferência de calor
2 2 222 2 1 2
s2 s2 s12 2 2 12 2
qr r qr r ln(r / r)T(r) T 1 1 (T T )4 4 ln(r / r )r r
2 22 2 1
s2 s122 1 2
2 Lk qr rq(r) q Lr 1 (T T )ln(r / r ) 4 r
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.3. Parede esférica, sistema unidimensional, estacionário, com geração de calor uniforme e constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
Distribuição de temperatura
Taxa de transferência de calor
2 2 222 2 1 2
s2 s2 s12 2 1 22 2
qr r qr r 1/ r 1/ rT(r) T 1 1 (T T )6 6 1/ r 1/ rr r
2 22 1
s2 s123 2
1 2
qr r4 1 (T T )6 rq4 rq(r)
3 (1 / r ) (1 / r )
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Aplicação principal:
Aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e um fluido adjacente através do aumento da área da superfície onde ocorre a convecção.
Exemplos de aplicação
- Cabeçotes de motocicletas - Condensadores e evaporadores - Radiador de carro - Dissipador de calor de processador de computador - ...........
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor em uma parede plana
(a) Superfície sem aletas (b) Superfície aletada
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
(a) Aleta plana com seção transversal uniforme(b) Aleta plana com seção transversal não-uniforme(c) Aleta anular(d) Aleta piniforme
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
Aplicando a lei da conservação de energia
acu ent sai gE E E E
Atr(x)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
mas
acu ent sai gE E E E 0 0
ent saiE E
x x dx convq q dq
Atr
dAs
dqconvqx
qx+dxdx
x dx x xdq q (q )dx
dx
x x x convdq q (q )dx dqdx
x convd (q )dx dq 0
dx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
x convd (q )dx dq 0
dx
mas ex trdTq Adx
logo
tr sd dT( A )dx hdA (T T ) 0
dx dx
conv sdq hdA (T T )
str
dAd dT( A ) h (T T ) 0dx dx dx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
para constante
str
dAd dT( A ) h (T T ) 0dx dx dx
str
dAd dT h(A ) (T T ) 0dx dx dx
ou ainda2
tr str 2
dA dAdT d T hA (T T ) 0dx dx dxdx
2tr s
2 tr tr
dA dAd T 1 dT h (T T ) 0A dx dx A dxdx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
2tr s
2 tr tr
dA dAd T 1 dT h (T T ) 0A dx dx A dxdx
Considerando a área de seção transversal uniforme, resulta:2
s2 tr
dAd T h (T T ) 0A dxdx
mas As = P.x onde P é o perímetro, logo
2
2 tr
d T h P (T T ) 0Adx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme2
2 tr
d T h P (T T ) 0Adx
Simplificando a equação pela definição de
T(x) T
Substituindo2
2 tr
d h P 0Adx
ou
22
2d m 0dx
onde 2
tr
h PmA
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
A solução da equação tem a forma:
mx mx1 2(x) C e C e
Para se determinar as constantes C1 e C2 é necessário especificar as condições de contorno
Condução de contorno na base da aleta
- Temperatura especificada
Condição de contorno no topo da aleta - Perda de calor por convecção - Perda desprezível de calor - Temperatura especificada - Aleta longa T T e L 0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.1. Temperatura especificada na base da aleta e perda de calor por convecção no topo
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
b
coshm(L x) (h / m )senhm(L x)coshmL (h / m )senhmL
a tr bsenhmL (h / m )coshmLq h P AcoshmL (h / m )senhmL
ondetr
h PmA
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.2. Temperatura especificada na base da aleta e perda de calor desprezível no topo
b
coshm(L x)coshmL
a tr bq h P A tanhmL
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
ondetr
h PmA
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.3. Temperatura especificada na base da aleta e temperatura especificada no topo
L b
b
( / )senhmx senhm(L x)senhmL
L ba tr b
coshmL /q h P AsenhmL
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
ondetr
h PmA
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.4. Temperatura especificada na base da aleta e aleta muito longa
m x
be
a tr bq h P A
● Distribuição de Temperatura
● Calor Transferido
ondetr
h PmA
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Um bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, tem uma de suas extremidades mantida a 120oC. A superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a 25oC com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 110W/(m2K). Determinar :
1) A temperatura em x=0,05m, admitindo comprimento infinito da aleta e a respectiva perda de calor no bastão.
2) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para que o calor transferido, considerando aleta com perda de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Uma barra de aço com diâmetro D=2cm, comprimento L=25cm e condutividade térmica k=50W/(moC) está exposta ao ar ambiente a T∞=20oC com um coeficiente de transferência de calor h=64W/(m2oC). Se uma de suas extremidades for mantida a uma temperatura de 120oC, Determine:
a) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando transferência de calor no topo.
b) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando transferência de calor desprezível no topo.
c) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra considerando aleta muito longa