DEFINICIÓN DE SUCESIÓN

Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro)

de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente

infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse

con una serie matemática, que es la suma de los términos de una

sucesión.

Es una función estrictamente ordenada cuyo dominio pertenece a los

números naturales.

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de

mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

an+1 > an

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que

el anterior.

an+1 < an

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

an = an+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto

número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un

número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los

términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K‘

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K',

que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k‘

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

APLICACIONES DE SUCESIONES EN LA VIDA COTIDIANA

Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para

demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy

conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más

inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.

GRAFICA DE SUCESIONES

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una

asociación f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial)

de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se

denomina la variable independiente; y un objeto

genérico b del dominio B es la variable

dependiente. También se les llama valores de

entrada y de salida, respectivamente. Esta

definición es precisa, aunque en matemáticas se

utiliza una definición formal más rigurosa, que

construye las funciones como un objetoconcreto.

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro

conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del

dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman

el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal

manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

TIPO DE FUNCIONES

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función

constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de

los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que

es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa

la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal

es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta

ascendente.

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente

de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre

hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina

por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = x2 representa una parábola que

abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es

que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

En muchos casos las funciones que modelan un proceso tecnológico son

conocidas y basta con aplicarlas para obtener, por ejemplo, el valor de una

determinada variable en el proceso. En otros casos es necesario, partiendo del

conocimiento general de las características físicas de un sistema, determinar el

modelo matemático que lo rige o sea hallar la función que nos permita hallar

variables de interés para el control o seguimiento del proceso o sistema en

cuestión.

Se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar

las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas,

Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de

las que depende.

GRAFICAS