04/10/2015 TD 2 :Les nombres complexes

MPSI:20152016

Exercice 1

Soit ] pi, pi[.Calculer en fonction de le module et un argument de

1 i1 + cos+ i sin.

Exercice 2

Dans les questions suivantes , a, b et c dsignent des nombres complexes de module 1.

1. On pose z1 =a+ ba b et z2 =

a+ b1 ab . Prouver que z1 et z2 sont des imaginaires purs. On note un argument de a et un argument de b. Calculer z1 et z2 en fonction de et de 2. Comparer les modules de a+ b+ c et ab+ bc+ ca.

3. Montrer que

c+ abc (a+ b)a b est un imaginaire pur.

Exercice 3

Soit n un entier naturel superieur ou gal 2 et = e2ipi/n .

1. Montrer que, pour tout complexe z ,n1k=1

(z k) = n1

s=0zs .

2. En dduire que

n1k=1

sinkpi

n=

n

2n1.

Exercice 4

Dans le plan ane euclidien rapport un repre orthonormal

(O,~i,~j

)on considre un triangle ABC en A. On

choisira l'origine O en A,B appartenant l'axe (O,~i) C appartenant l'axe (O,~j) ; c sera l'axe de B,ib l'axe deC .

1. En crivant sous forme complexe l'galit vectorielle

~AC = ~AB + ~BC et en galant partie relle et partieimaginaire, montrer les relations classiques dans le triangle rctangle

b = a sin B ; c = a cos B ; b = c tan B

.

2. Conclure en nonant les thormes dmontrs.

Exercice 5

On considre la suite de terme gnral

Sn =1n

(12

+nk=1

cos kx

)o x R . Dterminer la limite de Sn en fonction de x .Exercice 6

1. Montrer que toute droite du plan a pour quation complexe : az + az = b avec a C , b R.2. Soient a, b, c C , a , b non tous deux nuls . Discuter la nature de E = {z C tq az + bz = c}.

Exercice 7

Soient a, b, c C distincts et A,B et C leurs images rspectives. Montrer que les propositions suivantes sont quiva-lentes :

1. ABC est un triangle quilatral.

2. j ou j2 est racine de az2 + bz + c = 03. a2 + b2 + c2 = ab+ ac+ bc

Exercice 8

Montrer que , pour tout nombre complexe z de module dirent de 1 et tout entier naturel n , on a :1 zn+11 z 1 |z|n+11 |z|1

Exercice 9

Determiner tous les z C dont les racines cubiques z1, z2, z3 verient l'quation : z1 z2 = 1z3

Exercice 10

Soit z C et n un entier naturel non nul . Montrer que :nk=0

zk

k!(

1 +z

n

)n nk=0

|z|kk!(

1 +|z|n

)nExercice 11

Soit (k)0kn1 les racines n-imes de l'unit .

Calculer

n1k=0

k ,

n1k=0

pk o p Z ,n1k=0

(1 + k

)net

n1k=0

n1p=k

(kp

)k+p

Exercice 12

Rsoudre dans C les quations suivantes :1. 2z2 (1 + 5i) z 2 (1 i) = 02. z2 2iz 1 + 2i = 03. iz2 + iz + 1 = 04. z3 (2 + i) z2 + 2 (1 + i) z 2i = 05. z3 (5 3i) z2 + (6 11i) z + 2 + 16i = 0 (on cherchera une racine imaginaire)6. (z2 + 1)2n = (z i)2n , (n N)7. z5 = z + z8. 27(z 1)6 + (z + 1)6 = 0Exercice 13

Pour n N et R, calculer les sommes :Sn =

nk=n

eik ;nk=0

cos k ;nk=0

sin k ;nk=0

cos2 k ;nk=0

sin2 k ;nk=0

cos kcosk ;

nk=0

sin ksink ; Vn =

nk=0

(nk

)cos (+ k) (, ) R2

Exercice 14

Soit P (z) =nk=0

akzkun polynme coecients complexes de degr n . On considre M R+ tel que :

z U , |P (z)| M 1. On pose = e

2ipin+1.

Pour k Z , calculer : Sk =nk=0

kj .

2. En utilisant les P(j), avec 0 j n , montrer que : |a0| M .Exercice 15

Soit f la fonction qui un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z) =z2

z 2i .1. Dterminer le domaine de dnition D de f .

2. a. Dterminer les racines carres complexe de 8 6i .b. En dduire tous les antcdents de 1 + i par f .3. Soit h un complexe. Discuter suivant les valeurs de h le nombre d'antcdents de h par f .

4. Dterminer l'image f(D) de D par f . La fonction f est-elle une application surjective de D dans C ?5. f est elle injective de D dans C ?Soit g l'application dnie sur D valeurs dans C et telle que :

z D, g(z) = |z 2i|2 z2

z 2i + z3

6. Soit z un complexe appartenant D de partie relle x et de partie imaginaire y. Trouver la partie relle et lapartie imaginaire de g(z).7. Sachant que g(z) est un imaginair pur , dterminer une relation entre x et y .

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