2011年度 電磁波工学 28

平面波の反射と屈折

入射角･･･入射波の方向と境界面の法線方向がなす角：qｉ 入射面･･･入射波の方向と境界面の法線方向を含む平面

［定義］

(3.3)sincos

2coscos

u

(3)

uzx ii

ii

qq

q

q uzx

iiuizix

uzx

uuuu 方向単位ベクトルは，

• TE波（直交偏波）・・・電界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。

• TM波（平行偏波）・・・磁界が入射面に垂直なy成分のみを持つ平面波。

すなわち，電界はxz面（入射面）内にある。

注＆復） 基準は入射面。偏波は電界の振動方向。

［ TE波（直交偏波） ］

電界はy方向成分のみで表される。

1) 電磁界の比は界インピーダンスh0； （|Ey/Hz|＝±h0） 2) 電界方向(y方向)と波の伝搬方向(u方向）の双方に垂直

な方向はu及びy方向ベクトルの外積方向（ｕ軸からy

軸へ右ねじを回して進む方向）

)1(expˆ jkuE i yEi

方向の単位ベクトルは，

は入射波を表す。上付きの

ui

yiEiH

u

u

i

u

i

i

)2(exp1

jkuE i

hh

← 座標変換

z

y

領域I：(1) e1, m1

領域II：(2) e2, m2

qi qr

qt

u v

w

TM E

yH

HyE TE

x

k1

qi

izz kk qsin: 111 k

ix

x

kk qcos

:

11

1

ku

+z

+x

222111 :,: meme kIIkI での波数領域での波数領域

2011年度 電磁波工学 29

入射波を既知とし，反射波と透過波を未知数を含む形で仮定し，境界条件を適用して未知数を求める。

y方向には構造の変化が無いので と置くと次式を得る。 0

y

)4(02

02

2

2

2

yEk

zx２次元ヘルムホルツ方程式

　)5()()(, zZxXzxEy

)exp(')exp('),exp()exp(

0,0

z

011

XZ

0,

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

22

0

2

02

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zjkBzjkAZxjkBxjkAX

Zkz

ZXk

x

X

x

kkz

Z

Zx

X

X

kkk

XZkz

ZX

x

XZ

z

ZX

z

E

x

XZ

x

E

zzxx

zx

zx

zx

yy

る。の一般解は次の様になこの２つの微分方程式

様になる。程式に分割すると次のに関する２つの微分方およびこの式を，

となる。

と置くと，で割り，ここで，両辺を

となる。より，

と置き，変数分離法で解を求める。

ここで， ・・・+x方向に進む波動， xjkA xexp ・・・－x方向に進む波動 xjkB xexp

・・・+z方向に進む波動， zjkA zexp' ・・・－z方向に進む波動 zjkB zexp'

あとは，入射波，反射波，透過波の伝搬方向に合わせて，上記の解の組合せを選択すればよい。

2011年度 電磁波工学 30

１）入射波は，－x及び＋z方向へ伝搬する。

２）反射波は，＋x及び＋z方向へ伝搬する。

３）透過波は，－x及び＋z方向へ伝搬する。

)8(I

)7(sinexpexp

)7(cosexpexp)7(sinexpcosexp,

)6(sinexpexp

)6(cosexpexp)6(sinexpcosexp,

]I[

11

11

11

11

11

11

r

y

i

y

I

y

rz

r

rx

r

rr

r

y

r

y

iz

i

ix

i

ii

i

y

i

y

EEE

bzjkzjkZ

axjkxjkXzjkxjkEzxE

bzjkzjkZ

axjkxjkXzjkxjkEzxE

での総合電界は，領域

領域

q

qqq

q

qqq

xjkB xexp zjkA zexp'

xjkA xexp zjkA zexp'

xjkB xexp zjkA zexp' zx kkw zx kkv zx kku

座標変換を用いてu, v, wをx, y, zに変換すると，次式が得られる。

)10(II

)9(sinexpexp

)9(cosexpexp)9(sinexpcosexp,

]II[

22

22

22

t

y

II

y

tz

t

tx

t

ii

t

y

t

y

EE

bzjkzjkZ

axjkxjkXzjkxjkEzxE

での総合電界は，領域

領域

q

qqq

r

1k

i

1k

x1k

z1k

x1k

z1k t

2k

x2k

z2k

入射 反射 透過

u v w

2011年度 電磁波工学

ここで，式(11)がz=－∞とz=∞で成立するには，同式のz依存性がなくならねばならないので，

exp( )の項が等しくなるように必要がある。（位相整合）

)15(sincosexpˆˆ1

)14(sincosexpˆ

)13(0

)12(

00

00

00

zkxkjE

zkxkjE

EEEE

ii

i

r

r

ii

ir

riri

ri

qqhh

qq

qq

yiEiH

yE

vv

る。波は下記のように書け以上の条件より，反射

（位相整合条件）

に等しい。波と反射波の位相が常※）境界面上では入射

従って，総合電磁界は，以下のようになる。

)17(sinexpcoscoscosˆcossinsinˆ2

)16(sinexpcossin2ˆ

000

0

00

zjkxkxkjE

zjkxkjE

iiiii

iri

ii

iri

qqqqqh

qq

zxHHH

yEEE

x一定でz変化のみ・・・位相定数k0sinqiの平面波 → 進行波

z一定でx変化のみ･･･極大点，ゼロ点の位置が時間に依存しない。 → 定在波

［ TM波（平行偏波） ］ TE波の場合と同様に解析できる。

練習１．TM波の場合について，式(16)及び(17)に対応する総合電磁界を求めよ。

･･･ 式(11)からexp( )の項を消去出来る。

)11(00sinexpsinexp 00 xatzjkEzjkE r

r

i

i qq

← 電界振幅は逆位相

31

z y

x

u

u

z

x

ui

qi

v

0

H

yE

EyH

完全導体

［ 領域IIが完全導体の場合TE波（直交偏波） ］

完全導体中では電磁波は存在できないので，領域IIの総合電界EII=0となる。式(8)と式(10)および境界条件より，

境界面（x=0面）で電界の接線成分（ｙ成分）が等しいと置くと次式を得る。

2011年度 電磁波工学

［ TM波（平行偏波） ］

zjkxjkH

ujkH

iii

i

qq sincosexp

)'1(exp

00

0

y

yHi

zjkxjkH

ujkH

ii

i

i

qqh

hh

sincosexp

)'2(exp

000

000

u

uu

ii

iy

iyiHΕ z

y

x

u

u

z

x

ui

qi

v

0

H

yE

EyH

完全導体

磁界方向(y方向)と波動の伝搬方向(u方向）の双方に垂直な方向はy及び u方向ベクトルの外積方向（y軸からu軸へ右ねじを回して進む方向）

)'7(sinexpcosexp,

)'6(sinexpcosexp,

00

00

zjkxjkHzxH

zjkxjkHzxH

rrry

ry

iiiy

iy

qq

qq

また，TE波の場合と同様にヘルムホルツ方程式より，

さらに，反射波の磁界成分は，その伝搬方向を考慮して次の様に仮定する。

ここで，TE波の場合とは異なり，式(2)の方法に従って入射波(同様の方法で反射波)の電界ベクトルを計算すると次式をえる。

)'8(sincosexpcossin

sincosexp

000

000

zjkxjkH

zjkxjkH

iiii

i

ii

i

qqqqh

qqh

zx

iyΕ u

i

)'9(sincosexpcossin

sincosexp

000

000

zjkxjkH

zjkxjkH

rrrr

r

rr

r

qqqqh

qqh

zx

iyΕ v

r

32

2011年度 電磁波工学

x=0面での電界の接線成分はzベクトル方向であるので，電界のz成分はx=0の時０とならなければならない。

]sincosexpcossincosexpcosˆ

sincosexpsinsincosexpsinˆ[

0000

00000

zjkxjkHzjkxjkH

zjkxjkHzjkxjkH

rrr

r

iii

i

rrr

r

iii

i

qqqqqq

qqqqqqh

z

x

ΕΕΕri

ここで，総合電界は入射および反射電界の和であるので次式のようになる。

)'10(0]sinexpcossinexpcos[,0 000 zjkHzjkHzΕ rrr

iii

z qqqqh

位相整合条件より，exp( )を等しくとると，

)'11(sinsin 00 riri zjkzjk qqqq

となり，残りの式は次式となり，入射反射磁界定数が求まる。

)'12((11)'0coscos rir

ri

i HHHH より，式qq

よって，総合電磁界は次式で求まる。［磁界については式(6)’及び(7)’より］

)'15(sinexpcossincosˆcoscossinˆ2

sinexp]cosexpcosexpcosˆ

cosexpcosexpsinˆ[

0000

000

000

zjkxkjxkH

zjkxjkxjkH

xjkxjkH

iiiii

i

iiii

i

iii

i

qqqqqh

qqqq

qqqh

zx

z

x

ΕΕΕri

)'16(sinexpcoscos2 00 zjkxkH iii qq yHHH

ri

33

2011年度 電磁波工学

２種類媒質の平面境界における反射と屈折

z

y

x

領域I：(1) e1, m1

領域II：(2) e2, m2

qi qr

qt

uv

w

完全導体の場合と同様に，境界面(x=0)の領域I及びII側の電界の

接線成分は領域Iでは入射波と反射波，領域IIでは透過波が存在し，

その重ね合わせとして次式のようになる。

)19(0sinexp:II

)18(0sinexpsinexp:I

2

11

xatzjkE

xatzjkEzjkE

t

t

r

r

i

i

q

qq

領域

領域

境界条件より，式(18)と(19)が等しいとした次式が，zが（-∞，∞）で

等しくなるにはexp（ ）の中身が等しくならねばならない。

（位相整合の条件）

)23(sinsin,

(21)

)22(,

)21(sinsinsin

)20(sinexpsinexpsinexp

21

022

011

222111

211

211

tiri

tri

t

t

r

r

i

i

nn

knk

knkkk

kkk

zjkEzjkEzjkE

qqqq

meme

qqq

qqq

　より次式が成り立つ。また，式

境界条件より，

を定義すると，※屈折率 )24(:000

me

me iiii

k

kn

式(21)はスネルの法則に一致する。

［境界条件］

が境界面で連続法線成分

接線成分

BD

HE

,

,

EyまたはEz

H

yE

34

∴上付き添え字のi, r及びtは，それぞれ入射，反射，透過波の

成分であることを示す。

2011年度 電磁波工学

［ TE波（直交偏波） ］

入射（Ei, Hi)，反射（Er, Hr)及び透過（Et, Ht)波の電磁界は次式で表される。

過係数反射係数，（振幅）透は，それぞれ（振幅）

透過波

反射波

入射波

TRori

zkxkjTEzkxkjTE

zkxkjTE

zkxkjREzkxkjRE

zkxkjRE

zkxkjEzkxkjE

zkxkjE

i

ii

tttt

i

tt

it

tt

it

iiii

i

ii

ir

ii

ir

iiii

i

ii

ii

ii

ii

,),30(21,

)29(sincosexpcosˆsinˆ1

sincosexpˆˆ1

)28(sincosexpˆ

][

)27(sincosexpcosˆsinˆ1

sincosexpˆˆ1

)26(sincosexpˆ

][

)25(sincosexpcosˆsinˆ1

sincosexpˆˆ1

)24(sincosexpˆ

][

22

2

22

2

22

11

1

11

1

11

11

1

11

1

11

e

mh

qqqqh

qqh

qq

qqqqh

qqh

qq

qqqqh

qqh

qq

zxywH

yE

zxyvH

yE

zxyuH

yE

No.23の式(3)から

(3.3)の変換参照

)33(sinˆcosˆˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

)32(sinˆcosˆˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

)31(sinˆcosˆˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

tititi

tt

iiiiii

ii

iiiiii

ii

qqqqqq

qq

qqqqqq

qq

qqqqqq

qq

xzyzyxyzxyw

zxw

xzyzyxyzxyv

zxv

xzyzyxyzxyu

zxu

外積A×Bの方向・・・Aベクトル

からBベクトルの方向に右ねじ

を回したときに進む方向

A

B

A×B 35

2011年度 電磁波工学

x=0面での境界条件より，x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分（電界はy成分，磁界はz成分） が等しいとして ，次式が得られる。

)36(sinexpsinexpsinexp

)35(sinexpcos1

sinexpcossinexpcos1

211

2

2

1

1

1

1

zjkTzjkRzjk

zjkTzjkR

zjk

tii

ttiiii

qqq

qqh

qqh

qqh

式(20)の位相整合条件を適用するとexp（ ）の項は打ち消し合い，次のようになる。

)38(1

)37(cos1

cos11

21

TR

TR ti

qh

qh

式(37)と(38)を連立して解くことにより，TE入射波の場合反射係数，透過係数は下記のように求まる。

)40(coscos

cos2

)39(coscos

coscos

12

2

12

12

ti

iTE

ti

tiTE

T

R

qhqh

qh

qhqh

qhqh

)34(,

)33(,

),(II),(I

t

II

t

II

ri

I

ri

I

IIIIII

HHEE

HHHEEE

HEHE

は，次式で表される。内での電磁界及び領域内での電磁界領域

z y

x

w

z

qi

v

0

H

yE

36

2011年度 電磁波工学

［ TM波（平行偏波） ］

入射（Ei, Hi)，反射（Er, Hr)， ，透過波（Et, Ht)，の電磁界は次式で表される。

No.28の式(3)から

(3.3)の変換参照

過係数反射係数，（振幅）透は，それぞれ（振幅）

透過波

反射波

入射波

TRori

zkxkjH

zkxkjHzkxkjH

zkxkjH

zkxkjHzkxkjH

zkxkjH

zkxkjHzkxkjH

i

ii

tt

tt

tttt

t

tt

tt

ii

rr

iiii

r

rr

rr

ii

ii

iiii

i

ii

ii

,,)"30(21,

)"29(sincosexpˆ

)"28(sincosexpcosˆsinˆsincosexpˆˆ

][

)"27(sincosexpˆ

)"26(sincosexpcosˆsinˆsincosexpˆˆ

][

)"25(sincosexpˆ

)"24(sincosexpcosˆsinˆsincosexpˆˆ

][

22

222222

11

111111

11

111111

e

mh

qq

qqqqhqqh

qq

qqqqhqqh

qq

qqqqhqqh

yH

zxwyE

yH

zxvyE

yH

zxuyE

)"33(sinˆcosˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

)"32(sinˆcosˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

)"31(sinˆcosˆsinˆˆcosˆˆsinˆcosˆˆˆˆ

sinˆcosˆˆ

tttiti

ti

iiiiii

ii

iiiiii

ii

qqqqqq

qq

qqqqqq

qq

qqqqqq

qq

xzzyxyzxywy

zxw

xzzyxyzxyvy

zxv

xzzyxyzxyuy

zxu

37

2011年度 電磁波工学

x=0面での境界条件より，x=0と置いて各領域側での電磁界の接線成分（電界はz成分，磁界はy成分） が等しいとして ，次式が得られる。

)"41(cos

cos1

)"40(1

)"37("(36)

)"39(

)"38(cos

cos,

][

)"37(

)"36(coscoscos

sinsinsin

sinexpsinexpsinexp

sinexpcossinexpcossinexpcos

2

1

1

2

1

1

211

211

211

221111

TR

TR

H

HT

H

H

H

HR

TR

HHH

HHH

kkk

zjkHzjkHzjkH

zjkHzjkHzjkH

t

i

ri

i

i

t

t

i

r

i

r

tri

t

t

r

r

i

i

tri

t

t

r

r

i

i

tt

t

rr

r

ii

i

qh

qh

qq

qh

qh

h

h

qhqhqh

qqq

qqq

qqhqqhqqh

は次のようになる。およびを用いれば，式

とし，

の定義と

よりここで，位相整合条件

式(40)”および(41)”を連立させて解くと次式が得られる。

)42(coscos

cos2

)41(coscos

coscos

12

2

12

12

it

tTM

it

itTM

T

R

qhqh

qh

qhqh

qhqh

)"35(,

)"34(,

),(II),(I

t

II

t

II

ri

I

ri

I

IIIIII

HHEE

HHHEEE

HEHE

は，次式で表される。内での電磁界及び領域内での電磁界領域

z y

x

w

z

qi

v

0

E

yH

38

2011年度 電磁波工学

ここで， を用いて，qtを消去すればTM(平行偏波)入射の場合にのみ反射係数が0

となる入射角が存在する。

)43(1

,1

,,,

0

0

2

2

0

0

1

1

0

2

00

022

0

1

00

011

2

02

1

01

e

mh

e

mh

e

e

me

me

e

e

me

me

e

mh

e

mh

nn

nn

各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数 → RTE=0あるいは RTM=0となるための条件（無反射条件）

)44(coscos0coscos

0

2112 titi

TE

nn

R

qqqhqh

の為には，

)45(coscos0coscos

0

2112 itit

TM

nn

R

qqqhqh

の為には，

)'46(sinsin 21 ti nn qq スネルの法則

境界が存在しない。102

1

n

nRTE

][)46(tan01

21 ブルースター角

n

nR i

TM q

ブルースター角でTE波(直交偏波)およびTM波(平行偏波)が入射した場合，TE波のみが反射される。→［偏光角］ ※）無反射はTM偏波のみで存在するので偏波が分離される事に由来する。

また，TM(平行偏波)入射の場合について，式(46)’と(45)をかけ合わせると，反射係数が0となる場合の入射角と透過角の関係が求まる。

)74(2

0sincos20sincossincos

qq

qqqqqqqq

ti

titittii

式(39)及び(41)より

［分子］=0

TE入射では無反射状態は存在しない!!

tinn

qq sin1

sin1

12

「重要」

)'46(sinsin 21 ti nn qq スネルの法則

39

2011年度 電磁波工学

負

各媒質の透磁率はm0に等しく，誘電率は実数である → RTE=1， RTM=1となるための条件（全反射条件）

式(39)および(41)の形の類似性に着目 → jBA

jBA

:複素数 の絶対値は1である。

反射係数が上記の形になる場合の条件を求めれば，その絶対値は１となる。→cos qtが純虚数になれば良い！

・スネルの法則(46)’より

なので，純虚数になる条件は以下のように求まる。

)48(sin1cos

2

2

1

it

n

nqq

でなければならない。，すなわちなので，

る。，すなわち全反射となの時，反射係数がとして，

臨界角　　

121

2

1

21

1

2

11sin

1

)50(][sin

)49(sin

nnn

n

n

n

n

n

i

ci

c

i

q

qq

q

q

][sin,

][tan

1

21cc12

1

21

臨界角　　　　　　　　

全反射条件：

ブルースター角　　　　　波（平行偏波）入射　

無反射条件：

n

nnn

n

nTM

i

i

qqq

q

全反射時の透過波電界（TE波；直交偏波の場合）

zjkxn

nkET

zkxkjET

tiiTE

ttiTEt

qq

qq

sinexp1sinexpˆ

sincosexpˆ

2

2

2

12

22

y

yE

エバネッセント波

（平方根の中身が）＜０

指数関数的に減衰

式(27)より

122

22

BA

BA

jBA

jBA

jBA

jBA

40

2011年度 電磁波工学

)53(0 HE mj

領域IIが良導体（sが十分大きい時）の場合のMaxwellの方程式（m2=m0）

Ei

EEEE

EE

iH

HH

E

s

esesese

mm

伝導電流は

)52(

)51(

2222

00

jjtt

jt

式(51)の両辺の回転(rot)をとって次式が得られる。

式(53)の右辺に式(52)を代入し，ベクトル恒等式を用いると次の様な波動方程式が得られる。

。位電流は無視できる為項で，良導体中では変の第２項は変位電流の※）式(55)

)55(

)54(

002

2

0

2

2

20

2

smmesm

esm

jjk

ij

0EE

波動方程式(54)の一般解（ベクトルの成分）は次のように書ける。

)57(2

)56(expsinexpexpsinexp]exp[

0

11

sm

qq

xzjkxjAzjkxjA ii

上式は領域ＩＩ中で-x方向に減衰定数で減衰する関数である。特に電磁界が1/eまで減衰する

深さ方向距離，すなわちx=1となる距離を表皮深さ（Skin Depth)と呼ぶ。

　となる。表皮深さ

より，

)58(2

d;

12

0

0

sm

sm

xx

AAA2

ベクトル恒等式

No.12より

0s

02

0

2 EE k一般の波動方程式：

下方向はｘは負の方向なので，金属内に入ると減衰

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2011年度 電磁波工学

課 題

１．携帯電話の電波(1.8GHz)が空気中から比誘電率er=3.0の媒質へ30°の角度

で入射する。電磁波の電界が入射面内にある場合と磁界が入射面内にある場

合について，それぞれ，反射係数を求めなさい。また，それぞれの入射波が何

偏波であるかを答えなさい。

２．周波数が5GHzの電波に対する銅の表皮の深さ（表皮厚さ）を求めなさい。

※）導電率は教科書の付録にある。

jjeej

ejj

jj

j

12

1

4sin

4cos

2sin

2cos

42

2

誘電率はe=ere0

偏波の基準は何に対する何の方向？？

Eは入射面に垂直

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2011年度 電磁波工学

ベクトル公式

)60(

)59(

ベクトル三重積

BACCABCBA

ABBA

方向となる。はとすると磁界の方向電界の方向を波の伝搬方向を

書ける。を用いれば次のようにまたの関係式

できる。いると次のように変形のベクトル三重積を用式

の関係を用いた。式

との外積をとると，の両辺左から式

またなので，およびまた

但し，

は次のようになる。考えて式とすると，方向のみを電界の方向を波の伝搬方向を

波の伝搬方向流れル･･･エネルギーのポインティングベクト

yuhyu

hyu

yyhyyu

yyhhyyyu

hyyyhyyu

y

yyhyyuyhyuhyu

hyu

yu

HES

ˆˆˆˆ,ˆ

)66(ˆˆˆ

1ˆˆ0ˆˆˆˆ(63)

)56(ˆˆˆˆˆˆˆˆ

(60)

)46((59)ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆ(62)

)63(1ˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆ,1ˆˆˆ

)26(ˆˆˆ

(61)ˆ,ˆ

)61(

電界・磁界と波の伝搬方向について［補足］

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