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“gβ ∫σλ″ 惚■ 7
第7章 付 帯条 件付 き変分 F・l題 ― 等周問題 ―
前章では,定積分の形で与えら薇る汎関数を, ある境界条件の下で,停 留値にする関数を求めることを考えて
きた。本章では, こ薇以タトの条件が,定積分の形で付けカロえら薇る場合を考える。
このような付帯条件付 き変分 F・l題 として最も典型的なものは,所調 "手周問題 ",ヌFち "周 囲の長さが一定の
閉曲練の中で, その囲む面積が最大のものをネめよ !"と 云 うF・l題であろう.本章では, この様なF・l題 の取 り扱
い方について説明 しよう.
§7.1 等周 F・3題
汎 関数 J[ッ ]
¨ "¨ ¨¨ "¨ …… ……… ………… ………… ………… …… 0(7。 1)
00。・・・・・・ 0・・・・ 00。・ 0000● ●●00・・ 0,Ce。 。ooooo00000000● ●●●(7。 2)
κ [ッ ]の 値 が,
F(χ ,ッ ,y′ )グχ
G(χ ,y,ソ′)ごχ
た
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・・ 0(7。 3)
付帯条件 を満足す るような ッ=ッ (χ )の うちで, J[ッ ]を停留にす
の長 さが 一定の閉曲錬の うちで, その囲む面積が最大のものを求
ので, この名が太:こ った。
励o m η 』 の・ o 助
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と置いたものである。えに,
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・。・ (7.9)
(7.10)
z4_PPJliθごル「αttθ“αガcs/ar E“ gJ″θθだ
“g′ f
δy′ =ザ与δツであることを用いて,
ると,
グ1醤
:)δy ごχ
変分 δッ(χ )は ,
狩 ¨ 為‐こ,
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¨ ¨ ¨ ●0"¨ ¨ "¨ ¨ "¨ ¨ ¨ "¨ ¨“
¨ ¨ ¨ ¨ "¨ … … … … … … … 0(7el l)
ら,第 1項 は消失し,
る
る
め
立
こ
付
つ
る
式
鴻 働林 獄」鷲従動的
§7.2 多くの関数が ある場合 の 等 周 問 題
本節では,前章 6.4節で述べた多関数に対す る変分 Fpl題 に,付 帯条件 を付与 した場合について考 え
る.
ここで も,(6。 58)式と同様, ′を独立変数 と して, 2つ の未知 関数 χ=χ (′ )と y=ッ (′ )に よる汎関数
J[χ ,ッ ]
ヽ
―
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プ
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〓・ツ
α・ツ。χ
・
ッ
χF
r
i
ノ′
〓J[χ ,ッ ]
●●●0● ●●●00000000● 00● ●●●00● ●●●●●●●●●(7.15)
………………………………・・¨……………………………σ。16)
仁し,■ =g手
ヽ
―
>
―
ノ
ツ
y
(6.59)式 と同様な境界条件
χ(″ 1)=χ l,ッ (″ 1)=χ(′ 2)=χ 2,y(″2)=
付帯条件
を ,
と ,
■F“
"““
″oRI‐イ フ
‐Nagαsαtt r“ sガ放″qル句ηEedSCJθ“εθ
均ηJliaご Mattθ ttαtts/ar E″gれθιガ暉βr Cλ″″∴7
κ[χ ,ッ ]一 ′ =0
仁 し, κ [χ ,y]= G(′ ,χ ,y,光 ,夕 )ごノ
の下で停留にするFpl題 を解いてみ
●●●●●00● ●0● ●00●・ 0。・・●●●0●・ 00・(7.17)
ril月
ょ
前節と同様,ラグラングユの未定乗数をλとすると,上 のFpl題 は,
り 鷹 助
なる汎関数 ″[χ ,ッ ]を ,停留にするに解χ(″ ),y(″ )を 求めるFpl題 に帰着さ薇る。
さて,(7.18)式 の第 1変分 δ〃は,
δttr=δ J十 九δttr十(κ [ッ ]一 ′
)δλ
=δ J tt λ δκ ¨¨¨…………………………………………………………………………。(7.19)
によって求め得 る。 ここに, δλを困数に持つ第 3項は,(7.17)式 の付帯条件により消失 した.式 中の
第 1変 分 δJ,δκは,(6。 61)式 と同様な計算により,
δ〃 = 優:δχ+霧:δツ+優
:δ光+醤
;δタ ル +λ I:δχ+新:δッ+I:δ・
+鶴;あ ル
静 ∵ 話
2語等ぃ等路警 … ゅ
き,¨厳高夏″F」「 息襲IIttIIギ
のように得 られ,(7.16)式 の境界条件を満たす為に,変分 δχ(′ ),δッ(′ )は ,
糊 翼:認糊翼 … 笏を満足するように選ばれるから,(7。 22)式 の第 1項 は消失し,
を得 る.こ こに,(7。 18)の 汎関数 ″ [χ ,y]の 停 留条件は,
δ″ =0 "¨ ・¨o""¨・""¨ "¨・・ ・¨¨……・ ・¨¨"● ● ¨¨ 0・・0・・・● ●(7.25)
であるか ら,任意の変分 δχ(′ ),δ ッ(′ )に対 して成立す る為には, やは り(6.67)式 の Fを F*で置き換
えた形 として,結局 ″ [χ ,y]の 停留条件は,
Wagasα■liル sガ加″o/zttη ttedscJθ ″εθ _5θ ‐ ■5“ra″
“″θRI
ヽ■Jliθ ごMaヵθ“αガcs/aF E“ gJ″ιθガ4g β ∫C力cP″∴7
●●●●●0● ●●000● ●●●●0000● ●0● ●●000● ●0● ●●●00000000●(7。 26)
*=F十九G
として得 らよる.こ のように2つ の未井関数がある場合の付帯条件付 きの変分問題 も,ラ ク゛ラングユの未
定乗数を導入することにより, 6.4節 の付帯条件無 しの変分問題と全 く同様な取 り扱いができること
が分かり,前節と同様な状況である.
【ク1題 7.1】
月の長さ′を持 ち,全 く交又 しない千面曲錬の内,面積を最大にする山錬を求めよ.
[解]こ の千面曲象が,
ヽ――ノ
ヽ――ノ
F
*〆一概 *〆
一り し,
訂剣剤「>川J洲「 仁
一
一
〆丁〆下
0
0
一一
〓
χ =χ (″ )
ッ =ッ (′ )
… … 閉
のように, χ,ッ 共に媒介変数 ′を介 してハラメター表示さ薇たとする。 ここに, χ(′ ),y(″ )は ′の逹統微
分可能な関数と考える。また,曲錬はFtlじ ているから,
鋼朝冨耽である.
まず,準備 として, このようなハラメター表示 さ薇た閉曲錬の面積 Sを 求めることを考 えよう.
そこで, 4.2節 で準ぃたがウスの/Ak式 を思いた こそう。
“
。1の式において,器 =1と 置けば,F(χ ,ッ )=ッ となるか ら,閉 山錬 εで囲ま薇た額裁 D内 の面
積 Sは,
S=五 グχの 一 三ガ χ ……… … … … … … …・… … … … … … … ……σ。2勁
のように,Ftl曲 線 θに沿ったχに関する線積分によって求め得る.こ こに,積分路 εの回り向きは,
正の反時計口りとする。 一方,“.14)式において,器 =1と 置けば,F(χ ,y)=χ となるから,同
じく'脅
オ奇Sは,
S=五 グχごy=lχ グy¨・… … … … … … … … … … … … … … … …・σ。3oのように, ッに関する繰績分によって も求め得 る.よ って,σ。29),σ .30)両 式の相加平均を取った形
式で,
S=告1(χ
の 一ツ山 )… … … … …… … … … … … … …… く7鋤を得 る.こ こに, χ,ッ が(7。 27)式 のように媒介変数 ″を介t表記 され薇ば,
劣 :;窮}…
… … … … … … … … … … 暉 幼
であるから,(7。 31)式 を″に関する積分に書き直せば,面積 Sの ハラメター表記として,
S=ウ″ レ ター
川夕 =告
茸 弓 閉 務 … … … … … … O勁を得 る.
以上の準備計算を踏また,(7。 27)式 のFtl曲 錬の面積を表わす汎関数 J[χ ,ッ ]は ,
れ 月 =茸 印 ,尋 ∴ガ 務 =告茸 い
一月
夕 … … … … … C釣であり, その曲錬の周長が ′で規定さ薇ているから,付帯条件としては
,
Nagasα″r“s″″た。/4″〕″θごSClia“εθ ‐51‐ rむ
“費フ′π
“10RI
初 JJθご″「αttθ″αガcs/ar E"glinθθガ“gβ「 C力
`7″几7
κレ,月 =I:G← 9X9y'″ )務 =φ 編→2+(グガ2
=Irプノ+夕 2務=′ …………………………………く7勁
の11[i:β.:∫β.馳IIl√
しく72節の糊Fpltに化ならなヽ
0000・ 000。・・・・・・●●●●●0● 0● ●・ 0・・・●●●●●0000(7。 36)
Fkttχ ,y,■ ,夕 )=券 (χターガ)十λ占2+夕2… … … …… … … … … σ.3η
となる。ここに, λはラク゛ラングユの未定乗数である。従って, F*に 対するオイラーの方程式は,(7.26)式 に
より, χ,ッ そ薇ぞ薇に関して,
1三二 _二1旦
三二
)=:一ザ:(一 考
十 九7可戸|1可戸
=)=°
1三二 一岳
1111)=一芸
一競「
1き
+λ y〒寺可戸
)=0
のように得 られる。ここに,
87
ヽ
―
‐
‐
>
∫
―
―
プ
拒 …であることを考慮 して,(7.38)式 を変形す薇ば,
携(ツ
ーλv/ヵ
2+夕 2)=°。・・・・・ 0・ 0・ 0● ●●●●●●●●・・・・ 000● 00● ●●●o● ●Oo● 0● ●●●●●●C(7。 40)
携(χ
+λザ
となる.そ れぞれを, ノに関して 1階積分することにより,
ッー人
χ+λ
を得 る。 この 2つ の式 を逹 立 させ, λ を消去 す 薇ば ,
y~ε 2 χ
χ―σl ッ
となaこの微ll場… … … … … … … … … oo
∫レー%)の 一∫←一負)み ∵……………………∵……………00のよ うに, χとッについて変数分離 の形で積分す ることに よ り,
°・°:・・°°°°00000● ●o● ●●●●ooOoo● ●●●●●●●●●●0(7。44)
を得,(7。 41)式 を代入て未定定数 ε3を ためると,
偽=ノ =ノ …∵… … …… … … … ………60
となる.こ の ことか ら,(7。黎 )式 は ,
= ε2
(θ l,θ 2:任 意 定 数 )
= σl
(χ_負
)2+(ッ ーσ2)2=λ2
Nagasa■liル sだ滋″oJ均りJligご SCル“θ
・・ (7。 46)
‐52・ 7b“ra″″』りθFr
AttPJliaご Mcttθ
“αttcsル
「E“gゴ″θθだ″gβ r Cλ″惚■7
と言 くことができ, この曲錬は, ヤ′むを (ε ぃ c2)有する半径 λの円を表わす。 こ薇を,媒介変数 rを
用いて表記すると,
‖ …
となるから,(7.35)式 の付帯条件に入薇戻すことにより,
′ =∫fπ
y(一 九 sh″ )2+て 九 COS″ )2α ″=λ∬
πysh2″ 十 COζ
2″
ク
=λ∬πグにλ
[″ ]:π =2πλ・…………………………………………(7.48)
を得 る.こ れにより,ラグラングユの未定乗数 λは,
λ =券 …… … … … … … … … … … … … … … … … …σ4動
のように定まり,円 周 ′から円の半径 λを求めたことに相当する。
以上の結果より,最終的に求める変分Fpl通 の解は,
(χ_偽
)2+(y_ε 2)2=(券 )2… … … … … … … … … … … … ・σ50であることが分か り,周 長 ′の問曲錬で,面積 を最大にす る曲錬 は,半径
ザトの円で あ ることを示 し
ている.
■ zra“
“
IoRINcrSα″動屁sだ″“″qノzttη″′ごSclig″ε″ ‐53‐