Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
2
-2
-4
-6
y
5 x
ε2
ε1
∆
Γ
Β
Α
O
Μ
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 21 – 23 A΄ Οµάδας
1.
Να λύσετε το σύστηµα x y 4
x y 2
− =+ =
i) αλγεβρικά ii) γραφικά
Λύση
i)
x y 4
x y 2
− =+ =
⇔ x 4 y
x y 2
= ++ =
⇔
x 4 y
4 y y 2
= ++ + =
⇔
x 4 y
2y 2
= +
=− ⇔
x 4 y
y 1
= +
=− ⇔ x 4 1
y 1
= −
=− ⇔ x 3
y 1
==−
ii) x – y = 4 ⇔ y = x – 4 παριστάνει ευθεία 1ε
Για x = 0 ⇒ y = – 4 Σηµείο Α(0, – 4) Για y = 0 ⇒ x = 4 Σηµείο B(4, 0) x + y = 2 ⇔ y = – x + 2 παριστάνει ευθεία 2ε
Για x = 0 ⇒ y = 2 Σηµείο Γ(0, 2) Για y = 0 ⇒ x = 2 Σηµείο ∆(2, 0) Η γραφική λύση του συστήµατος είναι το σηµείο τοµής Μ των ευθειών 1ε , 2ε
2
2. Να λύσετε τα συστήµατα
i)
x y
7 8x y 45
=+ =
ii)
x 1 y 23 4
4x 3y 8
− − =
+ =
Λύση
i)
x y7 8
x y 45
=+ =
⇔
7yx
8x y 45
=+ =
7yx
87y
y 458
= + =
7yx
87y 8y 360
=
+ =
7yx
815y 360
=
=
⇔
7 24x
8y 24
⋅ =
=
⇔ x 21y 24
==
ii)
x 1 y 23 4
4x 3y 8
− − =
+ =
⇔ 4x 4 3y 6
4x 3y 8
− = −
+ =
4x 3y 2
4x 3y 8
− =−
+ =
( )( ) 8x 6
6y 10
+ =− =
⇔
3x
45
y 3
= =
3
3. Να λύσετε τα συστήµατα
i)
2y 1x 5 2 02 7
y 6x 6 83 2
+ − + + =
−+ − =
ii)
y 22x 1 43 4
x yx 3 32 3
+ − = −
−+ − =
Λύση
i)
2y 1x 5 2 02 7
y 6x 6 83 2
+ − + + =
−+ − =
⇔ 7x 35 4y 2 28 0
2x 12 3y 18 48
− + + + =
+ − + = ⇔
7x 4y 5
2x 3y 18
+ =
− = (1)
D = 7 4
2 3− = –21 – 8 = –29 xD =
5 4
18 3− = –15 – 72 = –87
yD = 7 5
2 18 = 126 – 10 =116
(1) ⇔ (x, y) = yx DD
, D D
= ( )87 116, 29 29−− −
= ( )3, 4−
ii)
y 22x 1 43 4
x yx 3 32 3
+ − = −
−+ − =
⇔ 8x 4 48 3y 6
3x 9 18 2x 2y
− = − −
+ − = − ⇔
8x 3y 46
x 2y 9
+ =
+ = (1)
D = 8 3
1 2 = 16 – 3 = 13 xD =
46 3
9 2 = 92 – 27 = 65
yD = 8 46
1 9 = 72 – 46 = 26
(1) ⇔ (x, y) = yx DD
, D D
= ( )65 26, 13 13
= ( )5, 2
4
4. Να λύσετε τα συστήµατα
i) x 3y 3
x y 23
− = − = −
ii) 2 y x 2
1 x y 1 02
= +
− + =
Λύση
i)
x 3y 3
x y 23
− = − = −
⇔ x 3y 3
x 3y 6
= +
− = −
x 3y 3
3y 3 3y 6
= +
+ − = − ⇔
x 3y 3
3 6
= += −
αδύνατο
ii)
2 y x 2
1 x y 1 02
= +
− + =
⇔ 2 y x 2
x 2y 2 0
= +
− + =
2 y x 2
x 2y 2
= +
= −
2 y 2 y 2 2
x 2y 2
= − +
= − ⇔
0 0
x 2y 2
=
= − ⇔ x = 2y – 2
Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις , τις (x, y) = (2y – 2 , y) µε y∈ℝ
5
5. Να λύσετε τα συστήµατα µε τη µέθοδο των οριζουσών
i) 2x y 7
3x 5y 4
+ =
− = ii)
2 y 3x 8
x 3y 1 0
= −
+ + =
Λύση
i)
D = 2 1
3 5− = –10 – 3 = –13 xD =
7 1
4 5− = –35 – 4 = –39
yD = 2 7
3 4 = 8 – 21 = –13
(x, y) = yx DD
, D D
= ( )39 13, 13 13− −− −
= (3, 1)
ii) 2 y 3x 8
x 3y 1 0
= −
+ + = ⇔
3x 2 y 8
x 3y 1
− + = −
+ = −
D = 3 2
1 3
− = –9 – 2 = –11 xD =
8 2
1 3
−
− = –24 + 2 = –22
yD = 3 8
1 1
− −
− = 3 + 8 = 11
(x, y) = yx DD
, D D
= ( )22 11, 11 11−− −
= (2, –1)
6
6. Να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω συστηµάτων, χωρίς να τα λύσετε.
i) 2x 5y 4
6x 7 y 100
− =
+ = ii)
2x 3y 40
4x 6y 80
− =
− = iii)
3x y 11
9x 3y 2
+ =− − =
Λύση
i)
D = 2 5
6 7
− = 14 + 30 = 44 ≠ 0 , άρα το σύστηµα έχει µία µόνο λύση
ii)
D = 2 3
4 6
−
− = –12 + 12 = 0 , άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις
xD = 40 3
80 6
−
− = –240 + 240 = 0, yD =
2 40
4 80 = 160 – 160 = 0
Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις
iii)
D = 3 1
9 3− − = –9 + 9 = 0
xD = 11 1
2 3− = –33 – 2 = –35 ≠ 0 yD =
3 11
9 2− = 6 + 99 = 105 ≠ 0
Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο
7
7. Να λύσετε τα συστήµατα
i) ( 3 1)x 2y 2
x ( 3 1)y 1 3
− + = −+ + = − −
ii) ( 3 1)x 4y 71 x ( 3 1)y 12
+ + =
+ − =
Λύση i)
3 1 2D1 3 1
−=+
= 3 – 1 – 2 = 0
xD = 2 2
1 3 3 1−
− − + = – 2 ( 3 + 1 ) – 2 (– 1 – 3 ) = – 2 ( 3 + 1 – 1 – 3 )
= – 2⋅0 = 0
yD = 3 1 21 1 3
− −− −
= ( 3 – 1 ) (– 1 – 3 ) + 2
= – (3 – 1 ) ( 1 + 3 ) +2
= – (3 – 1) + 2 = – 2 + 2 = 0
Άρα τo σύστηµα έχει άπειρες λύσεις
Το σύστηµα ⇔ x + ( 3 + 1) y = – 1 – 3
x = – ( 1 + 3 ) – ( 3 + 1) y
x = – ( 1 + 3 ) (1 + y)
Άρα (x, y) = ( )( )( )1 3 1 y , y− + + , y∈ℝ
ii)
D = 3+1 4
1 3 1
2−
= 3 – 1 – 2 = 0
xD =
7 4
1 3 1− = 7 3 – 7 – 4 = 7 3 – 11 ≠ 0
Άρα το σύστηµα είναι αδύνατο
8
8. Να λύσετε τα συστήµατα
i) 3x 2y 112x 5y 2 35x+y 2ω=33
− −ω=− − ω=
−
ii) 5x y 3 4x 3y 2
3x 2y+2ω=2
− + ω=− +ω=
−
iii)
yx 2 3
23x
+y 52
5x+3y 2ω=16
+ − ω=
+ω=
−
Λύση i)
( )
( )( )
3x 2y 11 12x 5y 2 3 25x+y 2ω=33 3
− −ω=
− − ω= −
(3) (2)⇔−
3x 2y 112x 5y 2 3
3x+6y=30
− − =ω− − ω=
3x 2y 112x 5y 2 3
x+2y=10
− − =ω− − ω=
3x 2y 11
2x 5y 2 3x=10 2y
ω= − −− − ω=
−
3(10 2y) 2y 11
2(10 2y) 5y 2 3x=10 2y
ω= − − −− − − ω=
−
30 6y 2y 11
20 4y 5y 2 3x=10 2y
ω= − − −− − − ω=
−
19 8y
9y 2 17x=10 2y
ω= −− − ω=− −
19 8y
9y 2(19 8y) 17x=10 2y
ω= −+ − =
−
19 8y
9y 38 16y 17x=10 2y
ω= −+ − =
−
19 8y
7y 21x=10 2y
ω= −− =− −
9
19 8.3y 3
x=10 2.3
ω= −=
− ⇔
5y 3x = 4
ω = −=
ii)
5x y 3 4x 3y 2
3x 2y+2ω=2
− + ω=− +ω=
−
⇔ 5x y 3 4x 2 3y
3x 2y+2ω=2
− + ω== + −ω
−
5(2 3y ) y 3 4
x 2 3y3(2+3y ω) 2y+2ω=2
+ −ω − + ω== + −ω
− −
10 15y 5 y 3 4
x 2 3y6+9y 3ω 2y+2ω=2
+ − ω− + ω== + −ω
− −
14y 2 6x 2 3y7y ω 4
− ω=−= + −ω
− =−
7y 3x 2 3y7y 4
−ω=−= + −ω
−ω=−
⇔ 7y 3x 2 3y
3 4
−ω=−= + −ω
− = − αδύνατο
iii)
yx 2 3
23x
+y 52
5x+3y 2ω=16
+ − ω=
+ω=
−
⇔ 2x y 4 6
3x+2y 2 105x+3y 2ω=16
+ − ω=+ ω=
−
y 6 2x 4
3x+2y 2 105x+3y 2ω=16
= − + ω+ ω=
−
y 6 2x 4
3x+2(6 2x 4 ) 2 105x+3(6 2x+4ω) 2ω=16
= − + ω− + ω + ω=
− −
y 6 2x 4
3x+12 4x 8 2 105x+18 6x+12ω 2ω=16
= − + ω− + ω+ ω=
− −
y 6 2x 4
x 10 2x+10ω= 2
= − + ω− + ω=−− −
10
y 6 2x 4
x 10 2
= − + ω
= ω+
y 6 2(10 2) 4
x 10 2
= − ω+ + ω
= ω+
y 6 20 4 4
x 10 2
= − ω− + ω
= ω+ ⇔
y 2 16
x 10 2
= − ω
= ω+
Άρα (x, y, ω) = (10ω + 2, 2 – 16ω, ω) µε ω∈ℝ
11
y
x
ε2ε1
1
2O 1
2
4
-1
B΄ Οµάδας 1. i) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1ε και 2ε του διπλανού σχήµατος ii) Ποιο σύστηµα ορίζουν οι 1ε και 2ε και ποια είναι η λύση του συστήµατος;
Λύση i) Έστω
1ε :
1 1y x= α +β
Το σηµείο ( ) 14,0 ∈ε ⇔ 1 10 4= α ⋅ +β
1 14β = − α (1) Το σηµείο ( ) 10,2 ∈ε ⇔ 1 12 0 + β=α ⋅ ⇔ 1 2β =
H (1) ⇔ 12 4= − α ⇔ 112
α = −
Άρα 1ε :
1y x 2
2= − + ⇔ 2y = – x + 4 ⇔ x + 2y = 4
Οµοίως βρίσκουµε 2ε : x – y = 1
ii)
Το σύστηµα : x 2y 4
x y 1
+ =
− = Η λύση : (x, y) = (2, 1)
2. Ένα ξενοδοχείο έχει 26 δωµάτια, άλλα δίκλινα και άλλα τρίκλινα και συνολικά 68
κρεβάτια . Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωµάτια;
Λύση
Έστω x το πλήθος των δίκλινων και y το πλήθος των τρίκλινων δωµατίων.
Τότε x y 26
2x 3y 68
+ =
+ = ⇔
y 26 x
2x 3y 68
= −
+ =
y 26 x
2x 3(26 x ) 68
= −
+ − =
y 26 x
2x 78 3x 68
= −
+ − =
y 26 x
x 10
= −− = −
⇔ y 26 x
x 10
= −
= ⇔
y 16
x 10
=
=
12
3. Σε έναν αγώνα το παιδικό εισιτήριο κοστίζει 1,5 € και το εισιτήριο ενός ενήλικα 4 €. Τον αγώνα παρακολούθησαν 2200 άτοµα και εισπράχτηκαν 5050 €. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι ενήλικες που παρακολούθησαν τον αγώνα.
Λύση
Έστω x το πλήθος των παιδιών και y το πλήθος των ενηλίκων.
Τότε x y 2200
1,5x 4 y 5050
+ =
+ = ⇔
y 2200 x
1,5x 4 y 5050
= −
+ =
y 2200 x
1,5x 4(2200 x ) 5050
= −
+ − =
y 2200 x
1,5x 8800 4x 5050
= −
+ − =
y 2200 x
2,5x 3750
= −− = −
y 2200 x
x 1500
= −
= ⇔
y 700
x 1500
=
=
13
4. Η αντίσταση R ενός σύρµατος ως συνάρτηση της θερµοκρασίας Τα µπορεί να βρεθεί µε τον τύπο R = αΤ+β . Αν στους 20ο C η αντίσταση ήταν 0,4 Ω και στους 80ο C ήταν 0,5 Ω, να βρείτε τα α, β. Λύση Η εξίσωση R = αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 20, R = 0,4 ⇒ 0,4 = α.20+β (1) Η εξίσωση R = αΤ+β επαληθεύεται για Τ = 80, R = 0,5 ⇒ 0,5 = α.80 +β (2)
Σύστηµα των (1), (2). 20α + β = 0,4
80α + β = 0,5
⇔ ( )20α + β = 0,4
: 60α = 0,1
−
20α + β = 0,4
1α = 600
20α + β = 0,4
1α = 600
120 + β = 0,4
6001α =
600
4 1 =
10 301α =
600
β −
⇔ 11β = 301α =
600
14
5. Ένας χηµικός έχει δύο διαλύµατα υδροχλωρικού οξέως, το πρώτο έχει περιεκτικό- τητα 50% σε υδροχλωρικό οξύ και το δεύτερο έχει περιεκτικότητα 80% σε υδρο-χλωρικό οξύ . Ποια ποσότητα από κάθε διάλυµα πρέπει να αναµείξει ώστε να πάρει 100 ml διάλυµα περιεκτικότητας 68% σε υδροχλωρικό οξύ ; Λύση Έστω x, y οι ζητούµενες ποσότητες , αντίστοιχα
Από το πρώτο παίρνει x 50100
υδρ. οξύ και από το δεύτερο y 80100
Το νέο διάλυµα θα περιέχει x 50100
+ y 80100
υδρ.οξύ (1)
Η συνολική ποσότητα του νέου διαλύµατος είναι x + y = 100 και θέλουµε να είναι
περιεκτικότητας 68% σε υδρ.οξύ . Άρα θα περιέχει 100 68100
υδρ.οξύ (2)
Από τις (1), (2) ⇒ x 50100
+ y 80100
= 100 68100
50x + 80y = 6800
5x + 8y = 680
x y 100
5x 8y 680
+ =
+ = ⇔
y 100 x
5x 8y 680
= −
+ =
y 100 x
5x 8(100 x ) 680
= −
+ − =
y 100 x
5x 800 8x 680
= −
+ − =
y 100 x
3x 120
= −
=
y 100 x
x 40
= −
= ⇔
y 60
x 40
=
=
15
6. ∆ίνονται οι ευθείες 1ε : 2x + 4y = 3 και 2ε : x + 2y = α , α∈ℝ . i) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των 1ε και 2ε . ii) Υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται; iii) Για ποιες τιµές της παραµέτρου α οι ευθείες είναι παράλληλες; Λύση i)
2x + 4y = 3 ⇔ 4y = –2x + 3 ⇔ y = –24
x + 34
, άρα 1λ = –24
= –12
x + 2y = α ⇔ 2y = –x + α ⇔ y = –12
x + 2α , άρα 2λ = –1
2
ii) Επειδή για κάθε α∈ℝ είναι 1λ = 2λ , οι ευθείες συµπίπτουν ή είναι παράλληλες . Άρα δεν υπάρχουν τιµές της παραµέτρου α για τις οποίες οι ευθείες τέµνονται. iii)
Πρέπει 2α ≠ 3
4 ⇔ 4α≠ 6 ⇔ α≠ 3
2
16
7. Να βρείτε , για τις διάφορες τιµές του α∈ℝ , τα κοινά σηµεία των ευθειών : i) 1ε : αx + y = 2α και 2ε : x + αy = 1
ii) 1ε : αx – y = α και 2ε : x + αy = 1
Λύση
i)
Σύστηµα των 1ε , 2ε : 2x y
x y 1
α + = α
+α =
D = α 1
1 α = 2α – 1 = (α – 1)(α + 1)
xD = 2α 1
1 α = 3α – 1 = (α – 1)( 2α + α + 1)
yD = 2α α
1 1 = α – 2α = – α(α – 1)
• Όταν D≠ 0, δηλαδή όταν (α – 1)(α + 1) ≠ 0 α – 1 ≠ 0 και α + 1≠ 0 α≠ 1 και α≠ –1,
τότε το σύστηµα έχει τη µοναδική λύση (x, y) = yx DD
, D D
= 2 1,
1 1 α +α + −α α + α +
Άρα οι 1ε , 2ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το 2 1,
1 1 α +α + −α α + α +
• Όταν D = 0, δηλαδή όταν (α – 1)(α + 1) = 0 α – 1 = 0 ή α + 1= 0 α = 1 ή α = –1, τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.
1) Για α = 1, το σύστηµα γίνεται x y 1
x y 1
+ =
+ = ⇔ x + y = 1 .
Οπότε οι 1ε , 2ε έχουν όλα τα σηµεία κοινά. (συµπίπτουν)
2) Για α = –1, το σύστηµα γίνεται x y 1
x y 1
− + =
− = ⇔
x y 1
x y 1
− = −
− =
x y 1
1 1
− = −− =
αδύνατο
Οπότε οι 1ε , 2ε δεν έχουν κοινό σηµείο, άρα είναι παράλληλες
17
ii)
Σύστηµα των 1ε , 2ε : x y
x y 1
α − = α
+α =
D = α 1
1 α
− = 2α + 1 ≠ 0 για κάθε α∈ℝ .
Οπότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση για κάθε α∈ℝ τη (x, y) = yx DD
, D D
(1)
xD = α 1
1 α
− = 2α + 1 , yD =
α α
1 1 = α – α = 0
(1) ⇒ (x, y) = 2
2 2
1 0, 1 1
α + α + α +
= (1, 0).
Άρα 1ε , 2ε έχουν µοναδικό κοινό σηµείο το (1, 0) για κάθε α∈ℝ .
18
8. Να λύσετε τα συστήµατα :
i) ( )
( )1 x 2y 1
4x 1 y 2
λ− − =
− λ+ =− , λ∈ℝ ii)
( )( )2 x 5y 5
x 2 y 5
µ− + =
+ µ+ = , µ∈ℝ
Λύση
i)
D = ( )
1 24 +1λ− −
− λ = ( )2 2 21 8 1 8 9− λ − + = −λ + + = − λ
xD =
( )1 22 +1
−− − λ
= 1 4 5−λ − − = −λ −
yD = 1 14 2λ−
− = ( )2 1 4 2 2 4 2 2− λ − − = − λ + − = − λ −
D = 0 ⇔ 29 0−λ = ⇔ 2 9λ = ⇔ 3 λ = ή 3 λ = − • Όταν 3 λ ≠ και 3 λ ≠ − δηλαδή όταν D 0≠ , τότε το σύστηµα έχει
µοναδική λύση την xD
xD
= = 2
5
9
−λ −−λ
, y
2
D 2 2y
D 9
− λ −= =
−λ
• Όταν 3 λ = ή 3 λ = − δηλαδή όταν D 0= , τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.
. αν µεν 3λ = , το σύστηµα γίνεται
( )
( )3 1 x 2y 1
4x 3 1 y 2
− − =
− + =− ⇔
2x 2y 1
4x 4y 2
− =
− =− ⇔
2x 2y 1
2x 2y 1
− =
− =−⇒ 1 = –1
το σύστηµα είναι αδύνατο
. αν δε 3λ = − , το σύστηµα γίνεται
( )
( )3 1 x 2y 1
4x 3 1 y 2
− − − =
− − + =− ⇔
4x 2y 1
4x 2y 2
− − =
+ =− ⇔
4x 2y 1
4x 2y 2
+ =−
+ =− ⇒ –1 = –2
το σύστηµα είναι πάλι αδύνατο.
19
ii)
D = 2 5
1 2
µ−µ+
= 2µ – 4 – 5 = 2µ – 9 = (µ – 3) (µ + 3)
xD = 5 5
5 2µ+ = 5µ + 10 – 25 = 5µ – 15 = 5(µ – 3)
yD = 2 5
1 5
µ− = 5µ – 10 – 5 = 5µ – 15 = 5(µ – 3)
D = 0 ⇔ 2µ – 9 = 0 2µ = 9 µ = 3 ή µ = – 3 • Όταν 3 µ ≠ και 3 µ ≠ − δηλαδή όταν D 0≠ , τότε το σύστηµα έχει
µοναδική λύση την xD
xD
= = 5( 3)( 3)( 3)
µ −µ − µ +
= 53µ +
yD
yD
= = 5( 3)( 3)( 3)
µ −µ − µ +
= 53µ +
• Όταν 3µ = ή 3 µ = − δηλαδή όταν D 0= , τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή αόριστο.
. αν µεν µ = 3, το σύστηµα γίνεται
( )
( )3 2 x 5y 5
x 3 2 y 5
− + =
+ + = ⇔
x 5y 5
x 5y 5
+ =+ =
⇔ x + 5y = 5 ⇔ x = 5 – 5y
το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις τις (x, y) = (5 – 5y, y) µε y∈ℝ
. αν δε 3µ = − , το σύστηµα γίνεται
( )
( )3 2 x 5y 5
x 3 2 y 5
− − + =
+ − + = ⇔
5x 5y 5
x y 5
− + =
− =
x y 1
x y 5
− + =
− =
x y 1
x y 5
− =−
− = ⇒ – 1 = 5 αδύνατο
20
y
zz
xy
x
O3
O2O1
z
y
x
ΖΕ
∆ ΓΒ
Α
9. Οι κύκλοι του διπλανού σχήµατος εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ισχύει 1Ο 2Ο = 6 ,
1Ο 3Ο = 5 και 2Ο 3Ο = 7. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τριών κύκλων. Λύση
Έστω x, y, z οι ακτίνες των κύκλων. Τότε x + y = 6 (1) y + z = 7 (2) z + x = 5 (3)
(1) + (2) + (3) ⇒ 2x + 2y + 2z = 18 ⇒ x + y + z = 9 (4)
(4) – (1) ⇒ z = 3
(4) – (2) ⇒ x = 2
(4) – (3) ⇒ y = 4 10. Στο διπλανό σχήµα έχουµε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τον εγγεγραµµένο του κύκλο που εφάπτεται των πλευρών στα σηµεία ∆, Ε και Ζ. Να υπολογίσετε τα τµήµατα ΑΖ = x, Β∆ = y και ΓΕ = z , συναρτήσει των πλευρών α , β και γ.
Λύση
Είναι Β∆ = ΒΖ = y, Γ∆ = ΓΕ = z, ΑΕ = ΑΖ = x
( )
( )( )
x + y = γ 1y + z = α 2z + x = β 3
(1) + (2) + (3) ⇒ 2x + 2y + 2z = α +β+ γ ⇒ x + y + z = 12
(α +β+ γ ) (4)
(4) – (1) ⇒ z = 12
(α +β+ γ ) −γ = 12
(α + β – γ)
(4) – (2) ⇒ x = 12
(α +β+ γ )−α = 12
(β + γ – α)
(4) – (3) ⇒ y = 12
(α +β+ γ ) −β = 12
(α + γ – β)
21
11. Ένας χηµικός έχει τρία διαλύµατα από το ίδιο οξύ. Το πρώτο περιέχει 50% οξύ , το δεύτερο 10% οξύ και το τρίτο 30% οξύ. Ο χηµικός θέλει να παρασκευάσει 52 lit διάλυµα περιεκτικότητας 32% σε οξύ , χρησιµοποιώντας και τα τρία διαλύµατα και µάλιστα η ποσότητα του πρώτου διαλύµατος να είναι διπλάσια από την ποσότητα του τρίτου διαλύµατος. Να βρείτε πόσα λίτρα από κάθε διάλυµα θα χρησιµοποιήσει. Λύση
Έστω ότι θα χρησιµοποιήσει x lit από το 1ο , y lit από το 2ο και z lit από το 3ο . Τότε x + y + z = 52 (1) και x = 2z (2) Το νέο διάλυµα θα περιέχει x 50
100 + y 10
100 + z 30
100 lit οξύ = 52 32
100 ⇔
50x + 10y + 30z = 1664 (3)
(1), (2), (3) :
x y z 52
x 2z
50x 10y 30z 1664
+ + =
= + + =
⇔
2z y z 52
x 2z
50 2z 10y 30z 1664
+ + =
= ⋅ + + =
y 52 3z
x 2z
130z 10y 1664
= −
= + =
y 52 3z
x 2z
130z 10(52 3z) 1664
= −
= + − =
y 52 3z
x 2z
130z 520 30z 1664
= −
= + − =
y 52 3z
x 2z
100z 1144
= −
= =
y 52 3z
x 2z
z 11,44
= −
= =
y 52 3 11,44
x 22,88
z 11,44
= − ⋅
= =
⇔
y 17,68
x 22,88
z 11,44
=
= =
22
y
x
y = f(x)
K(2, -1)
3
O
y
x
y = g(x)
O
K(1, 4)
-1
y
x
y = h(x)
O
4
2 4
12. Στα παρακάτω σχήµατα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών τριωνύµων , δηλαδή συναρτήσεων της µορφής y = α 2x + βx + γ. Να βρείτε τα τριώνυµα αυτά. Λύση
•
f (0) 3
22
f (2) 1
= β− = α
= −
⇔ 2
3
4
2 2 1
γ =β = − αα ⋅ +β⋅ + γ = −
3
4
4 8 3 1
γ =β = − α α − α + = −
3
4
1
γ =β = − αα =
⇔
3
4
1
γ =β = −α =
Άρα f(x) =x2 – 4x + 3
•
g ( 1) 0
12
g(1) 4
− = β− = α
=
⇔
2
2
( 1) ( 1) 0
2
1 1 4
α − +β − + γ =β = − αα ⋅ +β⋅ + γ =
0
2
4
α −β+ γ =β = − αα +β+ γ =
2 0
2
2 4
α + α + γ =β = − αα − α + γ =
3
2
3 4
γ = − αβ = − α−α − α =
23
3
2
1
γ = − αβ = − αα = −
⇔
3
2
1
γ =β =α = −
Άρα g(x) = –x2 + 2x + 3
•
h (0) 4
h (2) 0
h (4) 0
=
= =
⇔ 2
2
4
2 2 0
4 4 0
γ =α ⋅ +β⋅ + γ =α ⋅ +β⋅ + γ =
4
4 2 4 0
16 4 4 0
γ =α + β+ =
α + β+ =
4
2 4 4
4 1 0
γ =β = − α −
α +β+ =
4
2 2
4 1 0
γ =β = − α − α +β+ =
4
2 2
4 2 2 1 0
γ =β = − α − α − α − + =
4
2 2
2 1
γ =β = − α − α =
4
1 2
2 1
γ =β = − − α =
⇔
4
3
0,5
γ =β = −α =
Άρα h(x) = 0,5x2– 3x + 4