データ構造とアルゴリズム第14回

知能情報学メジャー和⽥俊和

6アルゴリズムの設計⼿法6.1分割統治法6.2グリーディ法6.3動的計画法6.4分枝限定法

6.1 分割統治法•⼤きな問題を幾つかの⼩さな問題に分割して解き，最後にそれらの結果を統合して，元の問題の解を得るという⽅法．divideandconquerとも⾔う．•クイックソートやマージソートがその例である

6.1.1 分割統治法の時間計算量• ⼤きさ𝑛の問題の時間計算量を𝑓(𝑛)とする．• この問題を⼤きさ𝑛/𝑚の𝑐個の問題に分けて解く．このとき，次式が成り⽴つ．

𝑓 𝑛 = 𝑐𝑓𝑛𝑚 + 𝑔 𝑛 ,

ただし，𝑔(𝑛)は問題の分割・統合に要する計算量．𝑛 = 𝑚,と仮定すると，𝑓 𝑛 = 𝑐-𝑓

𝑛𝑚- + 𝑐𝑔

𝑛𝑚 + 𝑔 𝑛

= 𝑐,𝑓𝑛𝑚, +.𝑐/𝑔

𝑛𝑚/

,01

/23

= 𝑐,𝑓 1 +.𝑐/𝑔𝑛𝑚/

,01

/23𝑓(1) = 𝑎,𝑘 = log: 𝑛,𝑔(𝑛) = 𝑏𝑛と仮定して

𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛<=>? @ + 𝑏𝑛 .𝑐𝑚

/<=>? A01

/23

マージソートやクイックソートでは𝑐 = 2,𝑚 = 2で， 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 log- 𝑛

6.1.22進数の積• 𝑋, 𝑌を𝑛桁の2進数とする．• 𝑋 = 𝑥A012A01 +⋯+ 𝑥323,𝑌 = 𝑦A012A01 +⋯+ 𝑦323

𝑋×𝑌 = ..𝑥/𝑦I2/JIA01

I23

A01

/23

, 𝑂(𝑛-)

• 𝑋 = 𝛼12A/- + 𝛼-,𝑌 = 𝛽12A/- + 𝛽-𝑋×𝑌 = 𝛼12A/- + 𝛼- × 𝛽12A/- + 𝛽-= 𝛼1𝛽12A + 𝛼1𝛽- + 𝛼-𝛽1 2A/- + 𝛼-𝛽-

= 𝛼1𝛽12A + 𝛼1 + 𝛼- 𝛽1 + 𝛽- − 𝛼1𝛽1 − 𝛼-𝛽- 2A/- + 𝛼-𝛽-• すなわち，𝛼1𝛽1，𝛼-𝛽-， 𝛼1 + 𝛼- 𝛽1 + 𝛽- のn/2桁の2進数同⼠の積３つとそれらの加減算，および2Aおよび2A/-との積があれば計算できる．• 結果的に𝑂 𝑛<=>P Q = 𝑂(𝑛1.ST)となる．

6.1.2 2進数の積

6.2 グリーディー法• 貪欲法とも呼ばれる．• 100円，50円，10円硬貨で260円を⽀払う際に硬貨の枚数を最⼩化するには，最初できる限り100円硬貨を，次に出来るだけ50円硬貨を使い，残りを10円で⽀払う．こうすれば，硬貨の枚数は4枚で最⼩化される．これがグリーディー法である．• 80円，50円，10円の切⼿の場合は260円をこの⽅法で求めると80x3+10x2となり，合計5枚になる．ところが，実際には80x2+50x2で5枚は最⼩ではない事が分かる．• グリーディー法は，必ずしも最適解をもたらさない．

6.2.2最短路問題•重み付きグラフの上の2点間を結ぶ経路のうちで経路上の重みの総和が最⼩になる経路を「最短路」と呼ぶ．•始点だけを決め，各頂点への最短路を求めるアルゴリズムがダイクストラのアルゴリズム

Edsger Wybe Dijkstra

6.2.2最短路問題• 最初，全頂点は距離が確定していない集合𝑈に属している．• 始点𝑣Wと各頂点𝑣/間の距離を𝑑/とする． 𝑑W = 0，その他は𝑑/ =∞としておく．

① 𝑈の中から最短距離を持つ頂点𝑣[を選ぶ． 𝑣[までの距離は確定

① 𝑣[を𝑈から取り除く．② 𝑣[と1つの辺でつながっている頂点𝑣/について，𝑑/と𝑣[経由で𝑣/に達する距離を⽐べ，⼩さい⽅を新たな𝑑/の値とする．

6.2.2最短路問題

6.2.2最短路問題

グラフの物理データ構造：隣接⾏列

6.2.2最短路問題

6.2.2最短路問題•リスト6.2のダイクストラのアルゴリズムは，頂点数を𝑛としたとき𝑂(𝑛-)である．•グラフのデータ構造を⼯夫することによって，この時間計算量は𝑂(𝑚 log 𝑛)まで減らせることが知られている．但し，𝑚は辺の個数である．