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モデル 日次リターンと 同時モデル化 大森裕浩 ・渡部敏明 統計関連学会連合大会 東京大学大学院経済学研究科 一橋大学経済研究所

モデル 日次リターンと 同時モデル化gcoe.ier.hit-u.ac.jp/information/schedule/pdf/Omori-Watanabe201209… · モデル −5 0 0.1 0.2 (a) Density (log χ 1 2) True KSC

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�������� ���� �� �������モデル�日次リターンと�������� �������の

同時モデル化�

大森裕浩�・渡部敏明�

統計関連学会連合大会����年 �月 ��日

�東京大学大学院経済学研究科�一橋大学経済研究所

� � ��

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はじめに

ボラティリティの推定法

� 過去のリターンから�� ��

�� ���� � �渡部� ����� �������� ��� ������ �����

����� �� ���� ����� ����� ��� ��������� ����

!� � �渡部� ����

�� �"� �#�$�%�&%�� ����� ��� ��������� ����

� オプション価格から�� ' (�

�� )*(� �� �(+ �,���- ��� #���� ���.� �����山口� �����杉原� ����� */$�&�0� �� ���� ����

� � ��

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はじめに

��

� 以下� � � �を第 � � �日の最終時点� � を第 � 日の最終時点とする�

� 第 � 日の日中の �個のリターン

���������� ��������� � � � � ��

�が与えられているとすると�第 � 日の日次��は次のように計算される�

��� ���

���

���������

� � ��

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はじめに

� 資産価格の対数値 ����が拡散過程

����� � ������ � ��������

に従っているものとすると�第 � 日の真のボラティリティは次のように定義される�

��

� �

� �

���

�������

� � � �とすると� ��� は��

� に確率収束する�

������

��� � ��

� � ��

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はじめに

��の問題点

�� �ノイズ� ���1�&$ ��/�2��非同期取引等� ���3����� 4� ��� )�2$����5 ����� �%�3��� !�� ) ノイズを考慮した �の計算法

��� 最適な時間間隔の選択 �������� � ������ ��

����� ����� ��� �� �������� ����� ��� �

��� !"# �$��� � %�� &�� $�#' ������ ������ ��

������� � ����� ����� �����

�(� ��� )�� ��'��� ��'��#'**�+ ����� �� �,� ��� � ���-�

�.� 比較 ���� � ������� �� /��� ��� � 01��� ��

2��1�� �����

�� ���������� �����

� ���&�� ��� 4/��� ����.�� �

� � ��

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はじめに

日次リターンと��の同時モデル化� なぜ同時モデル化が必要か�

� ) ノイズや6��1������- %�/�&によって�に生じるバイアスの調整�

� リターンの式とボラティリティの式のパラメータの同時推定 ��段階推定7 ���� ��� 4�/����� �����渡部・佐々木� ���8 �

� �������� ��

� #�$�%�&%�� ����� ��� �������� �����

� 9����: ��� ;��&;�� �����

� <��3��� ��� 2%���% �����

� �������� �����

� ���&��� �/��- ��� %�$ �����

� �������� �����

� #�$�/2%�16�-����� ����� � � ��

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��モデル

�������

� �� 日次リターン

� � 真のボラティリティの対数値

��モデル

�� � �!�������� �

��� � �� ��� � �� � �� ����

��

�� � ����� � � �

�� ��

�� ��

��

� ��

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��モデル

��を用いたベイズ推定

� � ��� ��� � ��� � � ��������� � �������

� 以下の ��""� ������により事後分布 � �� からサンプリングできる�

�� �� � を初期化�

�� ����� �� �� �� � からサンプリング�

�� ���� ����� �� � からサンプリング�

!� ���� ��� �� �� � からサンプリング�

�� ���� � からサンプリング�

.� �に戻る�

� ��

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��モデル

�� � からのサンプリング#�$ ��������%� ������

� ,�2=/���� >��&�� ��� �&&� ������ ����

� �� ������ ����� �� � �� � �� � � � � ��からサンプリング�

� �は自己相関が高いので �ボラティリティ・クラスタリング �この方法は非効率�

#�$ �!���� ������

� <��� %�3%��� ��� �%�� ����� � ����� �� ��� �����

� ���� � �� � �� � � � � ��からサンプリング�

� �モデルを以下の非ガウス線形状態空間モデルで表す�

������ � �� � ������ �

���� � �� ���� � �� � �

� ������ �の分布を混合正規分布で近似�

� � ��

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��モデル

#&$ �����%� ������ #'��() ������$

� %�3%��� ��� >��� ����� � �������� ��� ����� ����� �

����� ��� �������� �����

� ���� � � � � ���をいくつかのブロックに分けて� �つのブロックを一度にサンプリングする�

� ������ � � � � �������を一つのブロックとすると�

������ � � � � ��������� � ������� ��から直接サンプリングする代わりに� 誤差項 �� � � � � � ����を�� � � � � � ������� � ������� � からサンプリングする�

� ブロックは毎回確率的に選択する �&��2%�&��2 $���& �

�� � ��

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��モデル� ����� �� ��

*�� �������� ��� ���" #�++,$-��� � ������� �の分布を混合正規分で近似�

����� � ������

�� ����� ��� � �

� �

.���� ���"� �������� ��� �)�/�� #�001$- � 0のモデルに拡張�

�� �� � � ��� � ����� �!����� ���� �

��� � ����

ただし� Æ � ���� � 0� � ���� � 0�� ���� � ���の同時確率密度を以下で近似�

����� � � ��� �� ���

���

�� ������ ��� �

� �

� ���� ����� �?3������� � ������ ������ �

��� � �����

�� � ��

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��モデル� ����� �� ��

� � ��

�� �� ��

� ��

� ����8�� ����8�� �����8. ������� ��.����

� ������. ��!���� ������� ������� ��.����

! ���!�.� ���!.�� ���8�8� ���!��! ��.����

� ����8�� �����88 ����8�� ���.��� ��.�8��

. ������. ����.��! ��8�8�� �����.! ��.���8

8 ������� �������� ����.�! ���!��� ��.8..�

� ������� �!��8��� ��.��8� �����.� ��8����

� ���..�� �.�..��8 ��.���� ��!��.� ��8����

� ����.�. ���8�!�� ���8.�� ��8�!�� �����8!

�� ������. ����8.��� ��!!!�� ��.���� ���.���

�� � ��

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��モデル� ����� �� ��

−5 0

0.1

0.2

(a) Density (log χ12)

True KSC

OCSN

−5 0

0.00

0.01(b) Deviance from true density

KSC

−5 0

0.00

0.01(c) Deviance from true density

OCSN

*�-/��7 ��- ���の確率分布を混合正規分布により近似

� 混合正規分布の成分 �� を潜在変数とする� �� を所与とすれば�線形ガウス状態空間表現� �������� *���� 2���� #�� 3��� #�++�$$� ���������

�������を利用� 効率性が非常に高い推定方法

�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

.��� ��� 4�����"� #�00,$ ��5�

�� ��� ������ �� � ������

をいくつかのブロックに分割�� 条件付き事後分布を線形ガウス状態空間モデルから得られる事後分布で近似し、そのモードを求める

&� 誤差項 � � ������ � � � ���

�をサンプリングし、�は��(����%�に求める

条件付事後密度関数-

���� � � � ������������������ ��� � � � � �����

�������

�� � ��� ���������������

����� � �� � ��

���� � � � ����������� ��� � � � � �����

���������

�� � ��� ���������������

����� � �� � ��

�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

� � ���� � � � �����������の条件付確率密度関数の対数値は定数項を除いて

���� � � � ������������������ ��� � � � � �����

���

���������

����� � � �

ただし

� �

��

������� �� � �

�������� � ������

������ ������� � �������

� �� � �のとき

������� ���

� �� � �のとき

�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

� を近似するために以下を求める

� � ������� � � � �������

���� �

���

��� � � � � �� � � � � � ���

�� � ���

��

�� ���

�� � � � � �� � � � � � ���

�� � ���

��

�� �����

�� � � � � �� � � � � � ������� � �

� � ���

��

� ��

��

��������������������������

���� � ����

� � � � �

���� ���� � ����

� � � �

� ���� ����

� � ����

���� � �

� � �� � � � �

���

� � � � � ���� ����

���������������������������

�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

� をモード ��で展開

��� ���� � � � ����������� � � � �������� �� � � � � � �����

(���� � �

���������

����� � �� � �

��

�����������

�� � ���

��

��� � �����

� ��

��� � ���

� (���� � �

���������

����� � �� � ������ � ����

������ � ����� ����� � ����

� (����� ��� ���� � � � � ���������� � � � �������� ��� � � � � �����

ただし ��� � ��� � ��� は �� ��� ��� をそのモードで評価�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

逆行列の計算の次元を落とすために以下を計算

� ���� � �����

� �� � ��� � ���������

�� �� � � � � � �� � � � � � ��

� �� - �� のコレスキー分解 ��� � ����� �

補助変数 ��� � ��� � ���� �� �� � � � � � � ���を定義� ただし

��� � ��� � ������ ����

����� ������ � ������

�� � ��� � ������������� ����� � ������

とすると線形ガウス状態空間表現が得られる。

� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

線形ガウス状態空間表現

��� � ���� �����

���� � ��� � ����

�� � ���� � ����� � ��0� ��

ただし

�� � �� ������ ����

�� � ������ ����

��� ����

��

�� � �� � ��

このモデルに基づく誤差項の事後分布を��における提案分布とすることができる。

�� � ��

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��モデル� ������ �� �� ��

��を更新

近似のための線形ガウス状態空間表現を更新

5�����"��(�

�������

*����

6�����

���������

�������

新しい �を提案

�� � ��

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������ ��モデル

�������

� �� 日次リターン� � 真のボラティリティの対数値� �� ��の対数値

�������� �� ����

�� � �!�������� �

��� � �� ��� � �� � �� �

�� � � � � � �� ��������������

��

��

����������� � � ����� � � �

������������ �� 0

�� ��

� 0

0 0 ��

����������� �

�� � ��

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������ ��モデル

��を用いたベイズ推定

� � ��� ��� � �� �� ��� � � ��� � �������� � �������

� 以下のサンプリングを繰り返すことにより�事後分布� �� からサンプリングする�

�� �� � を初期化�

�� ����� �� �� �� �� �� � からサンプリング�

�� ��� ���� �� �� �� �� � からサンプリング�

!� ���� ��� �� �� �� �� � からサンプリング�

�� ���� ��� �� �� � �� �� �� � からサンプリング�

.� � ��� ��� �� �� � �� �� �� � からサンプリング�

8� ���� � からサンプリング�

�� �に戻る�

� 7�)������� .��� ��� 4�����"� #�00+$�

�� � ��

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������ ��モデルの拡張

一般化双曲型非対称 � 分布

� �� � ��0� ��

� � � ������� ����

� �� と � が互いに独立�

� �� � !� � � ���� � ��

� このとき� �� � � ��� �� ��� の分布を一般化双曲型

#��$非対称 � 分布と呼ぶ�

� � � 0- � 分布

� � � 0� � � � # � � �$- 標準正規分布

� �� � �!��������� � � ��� �

� ���

�� 8����� #�+++$�増田 #�00�$� ��� ��� ��99 #�00:$�中島・大森 #�0�0$� �)�/�� ��� .��� #�0��$�

�� � ��

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������ ��モデルの拡張

��非対称 � 分布の密度関数の例

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

0.2

0.4 (i) ν=10

β=0 β=−1 β=−2

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

0.2

0.4 (ii) β=−2

ν=15 ν=10 ν=5

�� � ��

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������ ��モデルの拡張

��を用いたベイズ推定� � ��� ��� � �� �� ��� � � ��� � �������

� � ��������

� � � ������

� 以下のサンプリングを繰り返すことにより�事後分布� � �� からサンプリングする�

�� �� �� ��� ��

�� ����� �� �� �� �� �� �� � からサンプリング�

�� ���� ����� �� �� �� �� �� � からサンプリング�

!� ���� ��� �� �� �� �� �� � からサンプリング�

�� ���� ��� �� �� � �� �� �� �� � からサンプリング�

.� � ��� ��� �� �� � �� �� �� �� � からサンプリング�

8� ���� �� � からサンプリング�

�� ���� �� � からサンプリング�

�� �に戻る�

� 7�)������� .��� ��� 4�����"� #�0��$��� � ��

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ボラティリティの予測� ���� ��

� 以下のステップを加えることにより� � � �日のボラティリティやリターンをサンプリングできる�

�� ������� �� �� � � ������� ��

����からサンプリング�

ただし�

���� ��� ���� � ��

� ������ �?3������������ � ��� �?3�������

��

������ � �����

��

��� ���� � ������ ���からサンプリング�

���� ������� ����� ���� � �������� ���

����からサンプリング�

ただし�

����� � ����� � ��� �?3��������

���

���� ���� �?3�������

�:� ������� ���� � ��� � ������ ����からサンプリング�

�� � ��

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ボラティリティの予測� ���� ��

ボラティリティの予測

� ;��!������� �はサンプリングされた �!������の値の標本平均として計算できる�

���

� 8������ � ���������� � � ��

;�

� ;������� � ;���������� � ���������� ���

� 山井・吉羽 #�00�$

� � ��

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ボラティリティの予測� ���� ��

���の計算法

� ������ はサンプリングされた ����の値の �����(������

として求められる�

;�の計算法

� ;�������はサンプリングされた ����の中で���� � ���������を満たすサンプルの標本平均として求められる�

� � ��

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実証分析

7�)������� .��� ��� 4�����"� #�0��$

� ��<��� #�=8 >00 �!(������������ 9���$

� �00�?�?�@�00,?,?�+�

� �分ごとの日中リターンを用いて��と�*

#'������99� ������ �� ���� �00,� �00+$を計算�

� 夜間は無視�

� 予測期間� 4�0 :��������5 3�����7 ���.@�@��A���8@��@���

� ��-% :��������5 3�����7 ����@�@!A����@�@���

�� � ��

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実証分析

パラメータの推定結果�������� ��モデル #��非対称 � 分布� �*$

サンプル期間- �00�?�?�@�00>?�?�0

サンプルサイズ- ��000

��� ����%� +>AB +>AC �5 D��9�

� 0�+1>+ 0�00:> 0�+:�+ 0�+,,E 0��&, ���:

�� 0��:E& 0�001> 0��>0E 0��1+: 0�,�� +�>>

�0�&,>0 0�0>�+ �0�E,:E �0��,0� 0�0E� ����:

� �0��:>� 0���+� �0�>++� 0��1E� 0�:+E &��+

� 0�>:E1 0�:E:0 �0�1+0� ��,&00 0�&1> �0E�>&

� �E��&0� >��&:0 �>�E&E> &>�EE&, 0��E, ��>�,>

� 0�0��1 0�0>0+ �0�0,00 0���,E 0�,&E >+�00

� 0��::� 0�00,E 0��>0> 0��,&E 0�1:> E�0,

�� � ��

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実証分析

パラメータの推定結果�������� ��モデル #��非対称 � 分布� �*$

サンプル期間- �00�?�?�@�00>?�?�0

サンプルサイズ- ��000

��� ����%� +>AB +>AC �5 D��9�

� 0�+1�: 0�00:+ 0�+>1E 0�+,E, 0�>>0 ���+

�� 0��1:� 0�00,> 0��:0� 0��+&+ 0�01� ,�>:

�0�E&>0 0�0>E� �0�>&:� �0�&�&0 0�>>� ���:&

� 0�00>: 0��+0& �0�&1�� 0�&,�� 0�&>: &�E>

� 0��&0, 0�&��: �0�E+E1 0�1EE, 0�1&0 ���+1

� �1���+& E�+&+0 �,��E0� &1�++�1 0�01E >��::

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実証分析

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��� 0�00�� 0�0�+1 0�0E,,

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����)� �� 0�00:E 0�0E0& 0�01��

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実証分析

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実証分析

���の尤度比検定� ��� %��������に対する仮定

� </3��2 ����. 7 独立� �%��&��BB��&�� ����� 7 マルコフ過程� �%����BB��&�� ��� >�������� ����� 7 持続時間 ��/������

がワイブル分布もしくは C�-�� ��� /&&��� ����� の�?3�������� �/����-��&&�:� 2���������� �/������ �C�9

モデルに従う�

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実証分析

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実証分析

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実証分析

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実証分析

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��� 0�0�E+�� 0���11 0�0�>+��

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����)� �� 0�1�:+ 0�+,1� 0�1&,E

���� �� 0�0:��� 0�1&&� 0�E00�

���� �� 0��0+> 0�E+�E 0�&+>1

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実証分析

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実証分析

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実証分析

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� ���� � Æ���� � $���となる時点の集合�

� #� � ����の時点の数�

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実証分析

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����)� �� 0�0&: 0�0�1 0�0&E

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���� �� 0�01� 0�0>, 0�0E&

����)� �� 0�0,E 0�0:, 0�0E+

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実証分析

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���� %��������< ������$

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����)� �� 0���1 0�0++ 0��&&

�� � ��

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今後の課題

�� ボラティリティの長期記憶性

������� � � � � ������� �� � � �� � � � � ��

�� � � � � � �� � � � �� � � � � ��

�� � ����� � �� ���� � �� � �� � � � �� � � � � � � ��

� 実証分析における ����������の長期記憶性もモデルに導入 �������� ���� ��� .��� #�0��$

� ��6D�過程を ��表現、�表現を用いて線形正規状態空間モデルで表現

� .���� ���"� �������� ��� �)�/�� #�001$に基づき、������� �を混合正規分布で近似� �!���� ������で推定

�� � ��

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今後の課題

�� 多変量 ��モデルへの拡張

� � � �!��������� �

� � � �� �� � �� �

���� � � �� � ��� ��� � � �

� � � � ���� � � �はアダマール積�

� 非負定符号の対称行列の対数を用いる�

� 行列指数 ��モデル #D�������� .��� ��� ���� #�0��$$

の拡張�

� コレスキー ��モデルの拡張も検討�

�� � ��

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今後の拡張

&� �������� ������"���� %��������<� �%��&���&�� ��� >����&$�D ����� � )�����& ��� :�� 9�D$

����� �高橋 �����

� 一日を �個の区間に分ける�

� 各区間には �個の価格が観測されるものとする�

� �����

7 � 日の �番目の区間の最高値�

� �����

7 � 日の �番目の区間の最安値�

� ����;�� ���-�1��&�� :��������57

���� ��

��

��

���

��� ����� � �� �������

� ) ノイズ7 �%��&���&��� >����&$�D ��� ������ �����

� � � �とすると� �� � � ������ � が有限の時� �� は解析的に求まらない�

� ��は�の増加関数なので� �� � � �����とすると� �

は下方バイアスを持つ��� � ��

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今後の拡張

E� �������� �����モデルとの比較� ���&��� �/��- ��� %�$ ����� � �������� �����

�� � �?3�������

�� � �� ���� � �����

�� � � � � ����

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コンファレンスのお知らせ

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日程- �0��年 ��月 �:日(金)@�,日(日)会場- 広島経済大学立町キャンパス �&�号教室海外からの報告者-

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詳細・参加申し込み- 一橋大学経済研究所もしくは一橋大学グローバル�.;プログラム「社会科学の高度統計・実証分析拠点構築」のホームページ

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参考文献

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参考文献

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参考文献

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参考文献

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参考文献

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参考文献

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