フーリエ級数

瀬尾和哉

再配布禁止

フーリエさん

むかーし、むかし、ある所にフーリエさんがいました。

ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者

様々な関数（波形）は，sinやcosの和で表すことができる。

フーリエ級数 様々な関数（波形）はsinやcosの和

𝒇 𝒕 =𝒂𝟎𝟐+

𝒏=𝟏

∞

𝒂𝒏 cos 𝒌𝒕 + 𝒃𝒏 sin 𝒌𝒕

冗談はよしこさん。全然違う！

t

f(t)

矩形波を三角関数で近似? 様々な関数（波形）はsinやcosの和

𝒇 𝒕 =𝒂𝟎𝟐+

𝒌=𝟏

∞

𝒂𝒌 cos 𝒌𝒕 + 𝒃𝒌 sin 𝒌𝒕

例えば、矩形波は

𝒇 𝒕 = sin 𝒕 +𝟏

𝟑sin 𝟑𝒕 +

𝟏

𝟓sin 𝟓𝒕 + ⋯

= +

t

f(t) ?

なんか、近づいてね？

何が嬉しいか?

音： 私の声が耳に届いていますか？ 音は、波。空気の疎密が音波としてイヤードラム（鼓膜）を振動させます。鼓膜は、数Paを検知。very sensitive instrumentsです。

波の周波数成分＆強度を知る⇒ 人間が制御可能

共振周波数を除去⇒

MSBS

CCD line sensorsmeasure the model’s position

modelhave permanent magnets

External coil systemscreate magnetic fields

inside the test section

基底ベクトル⇒基底関数

イメージをつかむためにベクトルの話。

x軸方向の単位ベクトル：ex

y軸方向の単位ベクトル：ey

内積： ex ・ ey =0

⇒直交⇒共通の成分がない⇒これらのベクトルを使えば平面上の全ての点を表現できるex ・ ey：基底ベクトル、という。

基底ベクトル⇒基底関数

A・ exの内積をとると、⇒ ベクトルAのex方向の成分を取り出せる

基底ベクトルとの内積をとる⇒ その方向成分を取り出せる

ベクトルAを基底ベクトルにより書くと、A=Axex + Ayey

もしかして、基底ベクトルのようなイメージで、基底関数（もしかして、sin, cos）なるものがあれば、基底関数を使って全ての関数を表せる? ⇒ フーリエ級数?

関数の内積関数を無次元のベクトルとしてみよう。内積は、

書き直すと、

関数同士が直交⚫ 内積＝0

⚫ 互いに共通な成分を持たない。

いきなり（団子）、関数が直交と言われると、わからない.

が、ベクトルのイメージから来ています。内積が0 ⇒ 関数同士が直交、です。

三角関数同士は直交か?

例えば、sin xとsin 2x

内積が0 ⇒ 関数同士が直交

積分区間：－∞～∞になっていますが、sin xは、周期が2πの周期関数です。sin2xは、周期が半分：πの周期関数です。同じ波形の繰り返しです。

内積を計算したいだけ（0かな?）なので、積分区間を：－π～πに変更。

三角関数同士は直交か? 内積が0 ⇒ 関数同士が直交

∴sin xとsin 2xは直交、共通成分無し

p.154

ここで定理13.1

フーリエ級数 様々な関数（波形）はsinやcosの和

akやbkは振幅、各成分の強度。akやbkをどう求めるか?

三角関数同士は直交⇒各三角関数の和で任意の関数を表現可能

再び、イメージをつかむために2次元ベクトルA・ exの内積 ⇒ ベクトルAのex方向の成分を取り出せる基底ベクトルとの内積をとる ⇒ その方向成分を取り出せる

フーリエ係数

基底関数を×?

復習：ベクトルの話

フーリエ係数を取り出す

よって、

基底関数との内積をとる。例として、a1

一般に

本日のまとめ

三角関数を重ね合わせれば様々な関数を表現できる

今後、2つ確認しよう。⚫ 三角関数だけで様々な関数の基底は揃ったのか？

（三角関数の完全性）⚫ フーリエ級数は元の関数に「収束」するのか？

（フーリエの定理）

らしい。たまたま?

フーリエ係数

基底関数を×?

復習：ベクトルの話

基底ベクトルとの内積をとる ⇒その方向成分を取り出せる

a0 基底ベクトルとの内積をとる ⇒その方向成分を取り出せる

基底ベクトルとの内積をとる ⇒その方向成分を取り出せる

න−𝝅

𝝅

𝒇 𝒙 ∙ 𝟏𝒅𝒙 =𝟏

𝟐𝒂𝟎න

−𝝅

𝝅

𝟏𝒅𝒙 + 𝟎 + 𝟎 +⋯

න−𝝅

𝝅

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =𝟏

𝟐𝒂𝟎 ∙ 𝟐𝝅

𝒂𝟎 =𝟏

𝝅න−𝝅

𝝅

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 p.122

収束定理フーリエ級数は元の関数に一致（収束）するか?フーリエ級数のN項分

三角波の場合

N：大 ⇒ 元のf(x)に近いN：∞ ⇒ 元のf(x) ?

っぽくは見える。

収束定理

を証明したい。フーリエで任意関数を表現可能。

代入して、

これら3式を代入

収束定理

SN(x)

共通部をくくり出して、

加法定理よりSN(x)

収束定理y – x = z

y = x + z

dy = dz

y : ‐π ~ π

z : ‐π – x ~ π – x

(∵ z = y - x)

SN(x)

収束定理

SN(x)

SN(x)

ディリクレ核

ディリクレ核：DN(z)

ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805年2月13日 - 1859年5月5日）はドイツの数学者

DN(z)

SN(x)

N=1 5 100 周期的デルタ関数

ディリクレ核DN(x)に2 sin

1

2𝑥 をかけると、 例題13.1

ディリクレ核

加法定理

例題13.1

2 sin1

2𝑥 DN(x)

sin −1

2𝑥

= −sin1

2𝑥

収束定理DN(z)

収束定理

DN(x)部分をcosの形に一瞬戻して、

収束定理

赤以外は、全部0

＝1 1/π・ディリクレ核の積分：1

DN(x)

収束定理

∵1/π・ディリクレ核の積分：1

収束定理

収束定理

収束定理←0になるのかな？

赤線をまとめて

←変数はzのみ

収束定理←0になるのかな？

書き方のみの問題だが、z→xでかく。

＝

N→∞で、上式は0になる?

リーマン・ルベーグの一例

N=1 5 20

y=x・sin(1.5x) y= x・sin(5.5x) y=x・sin(20.5x)

N → ∞ ⇒ 上下の面積は等しい、つまり積分値は0らしい

←0になる？

例として、g(x)=x

リーマン・ルベーグの定理

←0になるのかな？

←0になるのかな？

もう少しすっきりさせましょう。N→∞で、上式→0を証明するためには、⚫ 係数：1/πは関係ない。⚫ 積分区間もこれまでの流れから―π～πになっているが、

N→∞では任意の区間：a～bとする。⚫ sin（ ）のカッコ内1/2も無視できるすっきりさせると、以下の式を証明したい。

リーマン・ルベーグの定理

←0になるのかな？

これをリーマン・ルベーグの定理：任意の関数×sin(Nx)の積分がN → ∞で0に収束する。元々、

変形していくと、

←0になるのかな？

結局、フーリエ級数は任意の関数を表現可能 ⇔ リーマン・ルベーグの定理を証明

リーマン・ルベーグの定理の証明

←これを証明したい

書き方のみの問題：g(x)をf(x)と書く。

部分積分（77頁、定理8.5）をする。定理8.5

න𝑓 𝑥 g′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 g 𝑥 − න𝑓′ 𝑥 g 𝑥 𝑑𝑥

今、𝑔′ 𝑥 = sin 𝑁𝑥

←これを証明したい

リーマン・ルベーグの定理の証明g′ 𝑥 = sin 𝑁𝑥

g 𝑥 = −1

𝑁cos 𝑁𝑥

න𝑓 𝑥 g′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 g 𝑥 − න𝑓′ 𝑥 g 𝑥 𝑑𝑥

各項には 1/N という係数がかかっているので，N → ∞ で0

リーマン・ルベーグの定理の証明

以上、定理証明終了。もっと厳密には、f(x)やf’(x)が無限大にならない、という条件が必要。その条件とは⚫ 区分的に連続：各不連続点で片側極限値が存在する⚫ 区分的に滑らか：連続区間の両端で 微分係数が発散しない

リーマン・ルベーグの定理の意味

フーリエ級数を求める式と同じ形（122頁）。

つまり、周波数N→∞ならば、bn→0 （126頁、定理13.3）

sin や cos 関数の周波数が無限大のとき，任意関数のフーリエ係数は0

まとめリーマン・ルベーグの定理が成立⇒

フーリエ級数の収束性：フーリエ級数はどんな関数にも収束するの？

回答：Yes.厳密には、区分的なめらかな関数ならば収束する

フーリエ級数の有限和

任意の周期へ周期：2π ⇒ 2Lへ

sin 𝑘 ∙ 𝑥 & cos 𝑘 ∙ 𝑥

sin 𝑘 ∙𝜋

𝐿𝑥 & cos 𝑘 ∙

𝜋

𝐿𝑥

sin 𝑘 ∙𝜋

𝐿(−𝐿) ～ sin 𝑘 ∙

𝜋

𝐿(𝐿)

sin 𝑘 ∙ (−𝜋) ～ sin 𝑘 ∙ (𝜋)

任意の周期へ周期：2Lのフーリエ級数：

復習：周期2πのフーリエ係数 周期2Lのフーリエ係数

kx → k(πx)/L