グレブナー基底大好き bo徒になろう

グレブナー基底大好き bot＠ groebner basis

2016/09/18

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グレブナー基底の概略

グレブナー基底の応用

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グレブナー基底大好き botとは

グレブナー基底が大好きな bot

2015年 9月 20日より Twitter で誕生

多項式環の精霊ぶなっしーという設定

語尾にぶながつく特徴的な話し方

「ぶなつい」でグレブナー基底についてわかりやすく解説

「ぶな本」を Kindle で売っている

最近では小説も書いている

p進大好き botとは仲良し

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グレブナー基底とは

定義 (グレブナー基底)

多項式環 K [x1, . . . , xn]のイデアル I に対して，有限集合 G ⊂ I の先頭項から生成されるイデアルが，I の先頭項から生成されるイデアルに一致しているとき，G を I のグレブナー基底と呼ぶ. すなわち，

G ⊂ I がグレブナー基底 ⇔def⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(G )⟩.

ざっくり言うと

多項式の集合 {f1, . . . , fr}に対して，それをすごい性質のいいものに変えた多項式の集合 {f ′1 , . . . , f ′s }のこと

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グレブナー基底の具体例

問題 (連立方程式)

連立方程式 {x + y − 3 = 0

x − y − 1 = 0

の解は？

{x + y − 3 = 0

x − y − 1 = 0←→ I = ⟨x + y − 3, x − y − 1⟩

⇓グレブナー基底

x = 2, y = 1←→ G = {x − 2, y − 1}

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グレブナー基底の歴史

1965年にオーストリア出身のブルーノ・ブッフベルガーによって発見される

博士論文で発表され，敬意を込めて彼の指導教官であるグレブナーから，「グレブナー基底」と名付けられた

1980年代に数式処理ソフト Macaulay などに実装され，可換環論や代数幾何の計算に貢献することで脚光を浴びる

今や，Mathematica や GAP，Risa/Asir，Sage など多くの数式処理ソフトに組み込まれていて，他にも代数統計や微分方程式論，整数計画問題など様々な分野で応用されている

ざっくり言うと

グレブナー基底はコンピュータで計算できる，数学にすごく役に立つツール

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グレブナー基底を理解するには，多項式環を理解することが必要

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多項式の割り算

問題

x3 + x2 + 1を x2 + 1で割ったときの商と余りは？

x + 1

x2 + 1

)x3 + x2 + 1

x3 + xx2 − x + 1x2 + 1

−x

x3 + x2 + 1 = (x + 1)商

(x2 + 1) + (−x)余り

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一変数と二変数の違い

一変数：単項式の順序が，１個しかない1, x , x2, x3, . . .

二変数：どう順序を入れればいいのか分からないx > y or y > x ？x2 > y or y > x2 ？x2 > xy or xy > x2 ？

問題

x2y を x − xy で割ったときの商と余りは？

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xy + xy 2 + xy 3 + xy 4 + · · ·

x − xy

)x2y

x2y − x2y 2

x2y 2

x2y 2 − x2y 3

x2y 3

x2y 3 − x2y 4

x2y 4

x2y 4 − x2y 5

x2y 5

. . .

うまく順序を決めなければ，割り算が終わらない！10 / 54

単項式順序

定義

多項式環 K [x1, . . . , xn]xα := xα1

1 · · · xαnn , α = (α1, . . . , αn) (Ex. x1x

22 = x (1,2)，n = 2)

単項式の間の順序 >が単項式順序とは，次の３つを満たすとき1 全順序である2 xα > xβ =⇒ xαxγ > xβxγ

3 整列順序である

ざっくり言うと

割り算するのに，いい感じの順序

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1.全順序

定義 (全順序)

順序 >が全順序とは，任意の xα，xβ に対し，

xα > xβ

xα = xβ

xα < xβ

のいずれかが成り立つこと

ざっくり言うと

x3 + xy +1のように，多項式の項が大きいものから順番に並べられるということ

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2.順番の保存

定義 (順番の保存)

順序 >が，任意の xα，xβ，xγ に対し，

xα > xβ =⇒ xαxγ > xβxγ

が成り立つとき積の順番を保存するという. ここで，

xαxγ = xα1+γ11 · · · xαn+γn

n , xβxγ = xβ1+γ11 · · · xβn+γn

n

ざっくり言うと

例えば，x > y =⇒ xy > y2

つまり，x3 + xy + 1に，y をかけても，項の順番は変わらず，x3y + xy2 + y と書けるということ

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3.整列順序

定義 (整列順序)

順序 >が整列順序とは，単項式の無限列

xα1 > xα2 > xα3 > xα4 > · · ·

対して，必ずある nが存在して，

xαn = xαn+1 = xαn+2 = · · ·

となる時をいう

ざっくり言うと

無限に小さくすることはできないということ

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単項式順序の例

例 (辞書式順序)

多項式環 K [x , y ]順序 >を

xayb > xcyd ⇔def

{a > c または

a = c かつ b ≥ d

ざっくり言うと

x の数が多い方が強い

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辞書式順序

>を辞書式順序とする

x > y

x > y2

x > y3

x < xy

x2 > xy

x > 1

y > 1

x2 > xy2

x3y3 > x3y2

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辞書式順序での割り算

x − xy → −xy + x

−x

−xy + x

)x2y

x2y − x2

x2

よって，

x2y = (−x)商

(−xy + x) + (x2)余り

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辞書式順序での割り算

x − xy → −xy + x ⇦並べられる (1.全順序)

−x

−xy + x

)x2y

x2y − x2⇦順番が変わらない (2.積の保存)x2⇦無限に続かない（3.整列順序）

よって，

x2y = (−x)商

(−xy + x) + (x2)余り

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命題

辞書式順序は単項式順序

証明.

次の３つを示せばいい1 全順序である2 xayb > xcyd =⇒ xa+eyb+f > xc+eyd+f

3 整列順序である

簡単なので割愛する

ちなみに

n変数でも同様に辞書式順序は定義できるまた，単項式順序は他にもたくさん（無限に）存在する

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n変数の辞書式順序

例 (辞書式順序)

多項式環 K [x1, . . . , xn]xα := xα1

1 · · · xαnn , α = (α1, . . . , αn)

xβ := xβ11 · · · x

βnn , β = (β1, . . . , βn)

順序 >を

xα > xβ ⇔def

α1 > β1または

α1 = β1かつα2 ≥ β2または

α1 = β1かつα2 = β2かつα3 ≥ β3または...

α1 = β1かつα2 = β2かつα3 = β3かつ · · ·αn ≥ βn

ざっくり言うと

x1, x2, . . .の順に数が多い方が強い

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先頭項 LT

定義 (先頭項 LT)

>を単項式順序とするf を多項式とするf の項の中で，>で比べて最も大きい項を先頭項と呼び LT(f )で表す

例 (先頭項 LT)

>を辞書式順序とするf = 3x2y + xy + 2y2 + 1とすると，LT(f ) = 3x2yg = xy − 2xy2 + x とすると，g = −2xy2 + xy + x なので，LT(g) = −2xy2

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イデアル

定義

f1, . . . , fs ∈ K [x1, . . . , xn]とする

⟨f1, . . . , fs⟩ := {Σsi=1hi fi |hi ∈ K [x1, . . . , xn]}

を f1, . . . , fs から生成されるイデアルと呼ぶまた，{f1, . . . , fs}を基底と呼ぶ

定義

単項式順序 >を１つ決めるI をイデアル ⟨f1, . . . , fs⟩とする

⟨LT(I )⟩ := ⟨LT(f ) |f ∈ I ⟩

を I の先頭項から生成されるイデアルと呼ぶ

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注意

I = ⟨f1, . . . , fs⟩とした時，一般に

⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(f1), . . . , LT(fs)⟩

例

>を辞書式順序とするf1 = x + y , f2 = x − y とし，I = ⟨f1, f2⟩とすると，

⟨LT (f1), LT (f2)⟩ = ⟨x , x⟩ = ⟨x⟩

しかし，I = ⟨x + y , x − y⟩ = ⟨x , y⟩なので，

⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(f ) |f ∈ ⟨x , y⟩⟩ = ⟨x , y⟩

よって，⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(f1), . . . , LT(fs)⟩

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実は

⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(f1), . . . , LT(fs)⟩

の等号が成立するとき，I の基底 {f1, . . . , fs}はグレブナー基底

定義 (グレブナー基底)

多項式環 K [x1, . . . , xn]のイデアル I に対して，有限集合 G ⊂ I の先頭項から生成されるイデアルが，I の先頭項から生成されるイデアルに一致しているとき，G を I のグレブナー基底と呼ぶ. すなわち，

G ⊂ I がグレブナー基底 ⇔def⟨LT(I )⟩ = ⟨LT(G )⟩.

例

I = ⟨x + y , x − y⟩ = ⟨x , y⟩とすると，{x , y}は I のグレブナー基底だが，{x + y , x − y}は I のグレブナー基底ではない

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グレブナー基底の存在性

定理

任意のイデアルと単項式順序に対し，グレブナー基底は存在する

証明.

LT(f)は単項式なので，⟨LT(I )⟩は単項式から生成されるよって，ディクソンの補題より，⟨LT(I )⟩に基底 LT(G )が取れるこの G はグレブナー基底の条件を満たすので，OK

事実 (ディクソンの補題)

単項式から生成されるイデアルは有限生成

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グレブナー基底の計算アルゴリズム

定理 (ブッフベルガー)

グレブナー基底は有限回操作で計算可能である

証明 (概略).

I = ⟨f1, . . . , fs⟩の基底 {f1, . . . , fs}に I の他の多項式を足していく例えば，fi と fj の先頭項同士が打ち消しあってできる多項式S(fi , fj)を考えれば，これは新しい先頭項を持つ可能性がある(f1 = x + y , f2 = x − y なら，S(f1, f2) = (x + y)− (x − y) = 2y)これをすべてのペア fi , fj に対して行い，どんどん足していけば，ディクソンの補題から，単項式イデアルは有限生成なので，いつかは新しい先頭項が作れなくなるそのとき，それはグレブナー基底になっている

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グレブナー基底の概略

グレブナー基底の応用

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消去理論

定理 (消去定理)

I ⊂ K [x1, . . . , xn]をイデアル，>を x1 > · · · > xn なる辞書式順序，G を I のグレブナー基底とする. このとき，任意の 0 ≤ j ≤ n − 1に対して，

G ∩ K [xj+1, . . . , xn]

は I ∩ K [xj+1, . . . , xn]のグレブナー基底

証明.

⟨LT (G ∩ K [xj+1, . . . , xn])⟩ ⊂ ⟨LT (I ∩ K [x , y , z ])⟩は明らかなので，逆の包含を示す. LT (f ) ∈ LT (I ∩ K [xj+1, . . . , xn])に対して，G はI のグレブナー基底より LT (f )を割り切るLT (g) ∈ K [xj+1, . . . , xn]，g ∈ G が存在. ここで，>は辞書式順序なので，g ∈ K [xj+1, . . . , xn]である. よって，LT (f ) ∈ ⟨LT (G ∩ K [xj+1, . . . , xn])⟩が言えた.

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消去理論

例

I = ⟨x2 − 2, y2 − 3, z − x − y⟩ ⊂ Q[x1, . . . , xn]の辞書式順序でのグレブナー基底をコンピュータで計算するとG = {2x − z3 + 9z , 2y + z3 − 11z , z4 − 10z2 + 1}つまり，⟨LT (I )⟩ = ⟨LT (G )⟩ = ⟨x , y , z4⟩こ zこで，

G ∩Q[x , y , z ] = {2x − z3 + 9z , 2y + z3 − 11z , z4 − 10z2 + 1}G ∩Q[y , z ] = {2y + z3 − 11z , z4 − 10z2 + 1}

G ∩Q[z ] = {z4 − 10z2 + 1}

であり，消去定理から，

I ∩Q[z ] = ⟨z4 − 10z2 + 1⟩

が分かる29 / 54

実は

消去理論使えば，連立方程式が解ける

証明. f1 = 0...

fs = 0

を連立方程式とする. このとき，I = ⟨f1, . . . , fs⟩のグレブナー基底を G = {g1, . . . , gr}とすると，I = ⟨G ⟩であるので，

g1 = 0...

gr = 0

は上の連立方程式と同じ解を持つ. 後は消去理論から OK

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連立方程式と消去理論

例

{x + y − 3 = 0

x − y − 1 = 0

I = {x + y − 3, x − y − 1}のグレブナー基底は G = {x − 2, y − 1}よって， {

x − 2 = 0

y − 1 = 0

となって，x = 2, y = 1で解けた

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連立方程式と消去理論

例

{x2 + y2 − 5 = 0

xy + y2 − 6 = 0

I = {x2 + y2 − 5, xy + y2 − 6}のグレブナー基底はG = {6x + 2y3 − 11y , 2y4 − 17y2 + 36}よって，{

6x + 2y3 − 11y = 0

2y4 − 17y2 + 36 = 0

となって，2y4 − 17y2 +36 = (y +2)(y − 2)(y + 3√2)(y − 3√

2) = 0

から y = ±2,± 3√2を第一式に代入して解けば，

(x , y) = (1, 2), (−1,−2), ( 1√2,3√2), (− 1√

2,− 3√

2)

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計算の仕方

例

WolframAlpha(https://www.wolframalpha.com/)で

GroebnerBasis[{多項式 }, {変数 }]

を入力. 例えば，

GroebnerBasis[{x2 + y2 − 5, x ∗ y + y2 − 6}, {x , y}]

と入力すれば

{2y4 − 17y2 + 36, 6x + 2y3 − 11y}

と出てくる皆さんも，実際に好きな連立方程式を解いてみるぶなっ！！

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不動点

命題

ϕ : Kn → K n を多項式写像とする. つまり，ある多項式f1, . . . , fn ∈ K [x1, . . . , xn]があって，

ϕ(a1, . . . , an) = (f1(a1, . . . , an), . . . , fn(a1, . . . , an))

と書ける. このとき，ϕの不動点，つまり，ϕ(a) = aなる点は，連立方程式

f1(x1, . . . , xn) = x1...

fn(x1, . . . , xn) = xn

で求まる. つまり，イデアルJ = ⟨f1 − x1, . . . , fn − xn⟩ ⊂ K [x1, . . . , xn]のグレブナー基底を計算すれば良い.

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不動点

命題

多項式写像を ϕ : R2 → R2

ϕ(x , y) = (x2 − y , y2 − x)

とする. この ϕの不動点は，

J = ⟨x2 − y − x , y2 − x − y⟩ ⊂ K [x , y ]

のグレブナー基底を計算すれば，

GroebnerBasis[{x2 − y − x ,−x + y2 − y}, {x , y}]

{y4 − 2y3, x − y2 + y}

よって，不動点は(0, 0), (2, 2)

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イデアルの共通部分

命題

イデアル I , J ⊂ K [x1, . . . , xn]に対し，新しい変数 t を用いて，

H = I · t + J · (1− t) ⊂ K [t, x1, . . . , xn]

とすると，I ∩ J = H ∩ K [x1, . . . , xn]

が成り立つ. つまり，イデアルの共通部分はグレブナー基底で計算できる.

証明.

f ∈ I ∩ J ⊂ K [x1, . . . , xn]に対し，f = f · t + f · (1− t) ∈ H なので，f ∈ H ∩ K [x1, . . . , xn]. よって，I ∩ J = H ⊂ K [x1, . . . , xn]. 逆に，f ∈ H ∩K [x1, . . . , xn]なら，f = a · t + b · (1− t)(a ∈ I , b ∈ J)であるが，f は t に無関係なので，t に 0や 1を代入しても f は変わらず，f = a = b ∈ I ∩ J が言える.

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イデアルの共通部分

例

I = ⟨x + y , y2 − 1⟩, J = ⟨x − 1⟩ ⊂ Q[x , y ]のとき，見た目ではI ∩ J は分からないが，H = I · t + J · (1− t)から t を消去すれば，つまり，

GroebnerBasis[{t ∗ (x + y), t ∗ (y2− 1), (1− t) ∗ (x − 1)}, {t, x , y}]

を計算すれば，

{xy − x − y + 1, x2 − 1, ty + t + x − 1, tx − t − x + 1}

が出てきて，このうち，t が関係ない部分は，

{xy − x − y + 1, x2 − 1}

よって，

⟨x + y , y2 − 1⟩ ∩ ⟨x − 1⟩ = ⟨(x − 1)(y − 1), x2 − 1⟩37 / 54

最大公約元 gcd

命題

f , g ∈ K [x1, . . . , xn]と I = ⟨f ⟩, J = ⟨g⟩に対して，

I ∩ J = ⟨ fg

gcd(f , g)⟩

が成り立つ.

証明.fg

gcd(f ,g) = lcm(f , g)であり，lcm(f , g)は f , g で割れる最小の多項

式なので，等号は明らか.

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最大公約元 gcd

例

I = ⟨(x + y)(x − y)⟩, J = ⟨(x + y)2⟩ ⊂ Q[x , y ]のとき，見た目ではI ∩ J を計算すると，

GroebnerBasis[{t ∗ (x + y), t ∗ (y2− 1), (1− t) ∗ (x − 1)}, {t, x , y}]

を計算すれば，

{x3 + x2y − xy2 − y3, 2txy + 2ty2 − x2 − 2xy − y2, tx2 − ty2}

が出てきて，よって，

lcm((x + y)(x − y)), (x + y)2) = x3 + x2y − xy2 − y3

で，gcd((x + y)(x − y), (x + y)2) = x + y

が計算できた39 / 54

陰関数表示

定理

Kn の曲線 C がパラメータ t1, . . . , ts でパラメータ付けられているとする. つまり，ある多項式 g1, . . . , gn ⊂ K [t1, . . . , ts ]が存在して，曲線の座標 (x1, . . . , xn)は

x1 = g1(t1, . . . , ts)

...

xn = gn(t1, . . . , ts)

と書ける. このとき，I = ⟨x1 − g1(t1, . . . , ts), . . . , xn − gn(t1, . . . , ts)⟩とすれば，

J = I ∩ K [x1, . . . , xn]

は，C の陰関数表示，つまり，V (J)は C を含む最小の代数多様体.ただし，K は無限体とする.

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陰関数表示

例

R2 の曲線 C が

x = t

y = t2

でパラメータ表示されているとすると，I = ⟨x − t, y − t2⟩ のグレブナー基底は，

{x2 − y , t − x}

よって，J = I ∩ R[x , y ] = ⟨x2 − y⟩

であり，C の陰関数表示は，

y = x2

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陰関数表示

例

R2 の曲線 C が

x =1− t2

1 + t2

y =2t

1 + t2

でパラメータ表示されているとすると，I = ⟨(1 + t2)x − (1− t2), (1 + t2)y − 2t⟩ のグレブナー基底は，

{x2 + y2 − 1, ty + x − 1, tx + t − y}

よって，J = I ∩ R[x , y ] = ⟨x2 + y2 − 1⟩

であり，C の陰関数表示は，

x2 + y2 = 1

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ヒルベルト多項式

命題

I ⊂ K [x1, . . . , xn]イデアル.K [x1, . . . , xn]≤s := {f |tdeg(f ) ≤ s}, I≤s := I ∩ K [x1, . . . , xn]≤s

ヒルベルト多項式 HPaI (s) := dimK (K [x1, . . . , xn]≤s/(I≤s)

（ただし，s は十分大きい）このとき，

HPaI (s) = HPa

⟨LT (I )⟩(s)

が成り立つ. つまり，I のグレブナー基底 G に対し，

HPaI (s) = HPa

⟨LT (G)⟩(s)

ただし，単項式順序は，次数付とする. （射影空間のヒルベルト多項式の場合，単項式順序はなんでも良い）

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ヒルベルト多項式

例

I = ⟨x2 − y , x3 − z⟩ ⊂ R[x , y , z ]I の次数付辞書式順序でのグレブナー基底は，

GroebnerBasis[{x2 − y , x3 − z}, {x , y , z},MonomialOrder− > DegreeReverseLexicographic]

と入力すると，{y2 − xz , xy − z , x2 − y}

と出るので，LT (G ) = {x2, xy , y2}

でヒルベルト多項式 HPa⟨LT (G)⟩(s) = 3s + 1から，

HPaI (s) = HPa

⟨LT (G)⟩(s) = 3s + 1

よって，dim(V (I )) = deg(HPaI (V )) = 1.

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ヒルベルトの零点定理

定理

I ⊂ C[x1, . . . , xn] = C[X ]:イデアルに対し，V (I ) := {a ∈ C|f (a) = 0, ∀f ∈ I}，I (V ) := {f ∈ C[X ]|f (a) = 0, ∀a ∈ V }√I = {g ∈ C[X ]|gn ∈ I , ∃n ∈ N} とすると，

I (V ) =√I

が成り立つ. さらに，

f ∈√I ⇐⇒ 1 ∈ (I + (1− tf ))

⇐⇒ (I + (1− tf ))のグレブナー基底は {1}

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ヒルベルトの零点定理

定理 (三角形の重心定理)

三角形の各辺の中点と，向かい合う頂点を結んだ直線は，一点で交わる. つまり，重心は存在する.

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状態 幾何の世界 多項式の世界

仮定

f1 = a · x2 − 1 = 0 (x2 = 0)

f2 = x1 − 2x3 = 0 (中点 D)

f3 = x2 − 2x4 = 0 (中点 D)

f4 = (1 + x1)− 2x5 = 0 (中点 E)

f5 = x2 − 2x6 = 0 (中点 E)

f6 = x5x8 − x6x7 = 0 (線分 AME)

f7 = (x3 − 1)x8 − x4(x7 − 1) = 0 (線分 DMC)

結論 g = (2x1 − 1)x8 − x2(2x7 − 1) = 0 (線分 BMF)

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証明.

三角形の重心定理⇐⇒ (f1 = · · · f7 = 0 =⇒ g = 0)⇐⇒ g ∈

√⟨f1, · · · , f7⟩

⇐⇒ (⟨f1, · · · , f7⟩+ (1− tg))のグレブナー基底は {1}

がヒルベルトの零点定理から成り立つので，

⟨a · x2 − 1, x1 − 2x3x2 − 2x4, (1 + x1)− 2x5, x2 − 2x6, x5x8 − x6x7,

(x3 − 1)x8 − x4(x7 − 1), 1− t((2x1 − 1)x8 − x2(2x7 − 1))⟩

のグレブナー基底を計算すればいい. 実際，計算すると，{1}なので，C2 において，三角形の重心定理が成り立つ. よって，R2 においても三角形の重心定理は成り立つ.

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ちなみに

この方法では、C上の幾何の定理しか完全に証明できない。しかし、R上でも解けるアルゴリズムが存在する。それは、

定理 (タルスキー)

実閉体（実数体）上のすべての一階述語論理式は，限量記号（∀,∃）のない等価な論理式に変形できる（これを QE（限量記号消去）するという）. しかも、これはアルゴリズムが存在して計算できる.

というもので，つまり，実数体でも幾何の問題は証明できるということ. 現在では，そのアルゴリズムは実装，実用化されていて，国立情報学研究所の「ロボットは東大に入れるか。」プロジェクトでは，大学の入試問題を解くのに応用されている. ちなみに，CGS-QEという包括的グレブナー基底系という，グレブナー基底を利用したものもある.

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まとめ

単項式順序は割り算ができるための順序

割り算ができると，グレブナー基底が求められる

グレブナー基底はイデアルの本質的な情報を持つ基底

グレブナー基底で連立方程式が解ける

グレブナー基底で，可換環論や代数幾何の種々の演算ができる

他にも，統計や D加群などに応用される

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計算機代数

ちなみに

グレブナー基底を研究する分野には計算機代数がある.計算機代数とは，Computer Algebra の訳語で，グレブナー基底の生みの親であるブッフベルガーさんがその名を付けたと言われる.計算機代数では，グレブナー基底の計算量やアルゴリズムの改良など，実用的にコンピュータで計算できるかどうかも重視される.従来の数値計算との違いは，正確に代数的な演算をコンピュータで計算することで，数学的構造を明らかにする点である.例えば，因数分解のアルゴリズムにおいて，方程式の近似的な根ではなく，数学的に正確な根が計算機代数では求められる.すなわち，コンピュータ上での数学の実現を目指す分野であり，数学とコンピュータの融合分野といえる.

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まとめ

グレブナー基底とはイデアルの DNA

by グレブナー基底大好き bot

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参考文献

D. Cox, J. Little, and D. O’Shea,IDEALS , VARIETIES , AND ALGORITHMS . UndergraduateTexts in Mathematics. Springer Science+Business Media, NewYork, third edition, 2006. An Introduction to ComputationalAlgebraic Geometry and Commutative Algebra.

D.コックス, J.リトル, D. オシー, 『グレブナ基底と代数多様体入門（上・下）』 （落合啓之ほか訳）, 丸善出版, 2000年

JST CREST 日比チーム編, 『グレブナー道場』, 共立出版,2012年

丸山正樹, 『グレブナー基底とその応用』, 共立出版, 2006年

大阿久俊則, 『D加群と計算数学』, 朝倉書店, 2002年

野呂正行, 『計算機代数入門』, 2005年,http://www.math.kobe-u.ac.jp/Asir/ca.pdf

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Thomas Becker, Volker Weispfenning, Grobner Bases,Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York,1993. A Computational Approach to Commutative Algebra.

穴井宏和, 横山和弘, 『QEの計算アルゴリズムとその応用』,東京大学出版会, 2011年

ぶなぶなくん，『５分で分かるグレブナー基底』，Amazon，Kindle，2015年

ぶなぶなくん，『グレブナー基底と初等幾何の定理の自動証明』，Amazon，Kindle，2016年

『グレブナー基底大好き botさん の togetter まとめ』http://togetter.com/id/groebner basis

グレブナー基底大好き bot，『最近、妹がグレブナー基底に興味を持ち始めたのだが。』，カクヨム，https://kakuyomu.jp/works/1177354054880542193

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