1

デリバティブのプライシング②

2014年4月23日

白川 正樹

みずほフィナンシャルグループ寄付講座

「金融機関のリスクマネジメント」 第3回

2

【目次】

1. デリバティブのリスク管理とは？

2. オプション・プライスの特徴

3. ダイナミック・ヘッジによるリスク制御とグリークス

4. 複製ポートフォリオ再考

5. スタティック・ヘッジによるリスク制御の概要

6. 基礎知識の確認と演習問題

3

1. デリバティブのリスク管理とは？

4

金融機関

顧

客

オプション料

コール売却

オプション満期の金融機関の最終損益

損益

K0

−

+オプション料

損失限度がない

金融機関にとって、コール・オプションを 売った場合のリスクは何？

株価

1-1. なぜリスク管理が必要か？

金融機関（主体）が顧客に株式コール・オプションを売ったとする

5

1-2. デリバティブの時価評価

時価評価とはなにか？

デリバティブの価値（価格）を約定時の簿価ではなく、文字通り時価（その時点で市場で売買した場合の価格）で評価すること

時価評価の必要性

デリバティブの価値は、原資産価格やボラティリティ等の市場変動に応じて時々刻々と変化する

仮に、時価評価を行わずにデリバティブ満期が到来すると、満期時点で思わぬ大きな損失が発生している可能性もある

そのために、時価評価を行い、適切にその時々の損益（時価）を認識することが、デリバティブのリスク管理にとっては極めて重要

6

1-3. デリバティブのリスク管理手法

リスク計測 デリバティブ取引の保有ポジション（売買の量）のリスク量を計測 グリークス（リスク感応度）の算出 Value at Risk（バリュー・アット・リスク）の計測 損益シミュレーションの実施 等々

リスク制御 反対ポジションの「複製ポートフォリオ」を構築し、リスクを相殺 ダイナミック・ヘッジ（動的な複製ポートフォリオの構築） スタティック・ヘッジ（静的な複製ポートフォリオの構築） 等々

7

2. オプション・プライスの特徴

8

ブラック=ショールズ・モデル )(tS ：時点t の株価

σ

：標準正規分布に従う確率変数 X

−+−−= XtTtTtSTS σσ )(

21exp)()( 2

コール・オプションのプライシング公式

)()()(),,),(;( −+ Φ−Φ= dKdtSKTtStC σ

ただし、

tTtTKtSd

−−±

=± σσ ))(2/()/)(ln( 2

：株価のボラティリティ

注） 簡単化のために今回の講義では金利はゼロとする

)( ⋅Φ ：標準正規分布の分布関数

),,,;( ⋅⋅⋅⋅tC ：時点 t のコールの価格関数

T

K

：オプション満期

：行使価格

2-1. ブラック・ショールズ・モデルとオプション・プライシング公式

9

2-2. コール・オプション・プライスの特徴把握のためのポイント

オプション・プライシング公式のインプット項目

インプット項目は、株価 S (t), 時点 t, オプション満期 T, 行使価格 K, ボラティリティσの5つ（金利は0としているので除く）

時点 t と満期 T は、満期までの残存期間 T-t として扱われる。 残存期間 T-t をひとつのインプットとして考えると、インプット項目は4つ

行使価格 K はオプション契約当初に決定される それ以外の3つのインプット項目は時々刻々と変化していく

オプション・プライス（時価）の特徴を調べよう

株価 S (t) が変化すると、オプション・プライスはどう変化するか？

残存期間 T-t が変化すると、オプション・プライスはどう変化するか？

ボラティリティσが変化すると、オプション・プライスはどう変化するか？

10

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

5

10

15

20

25

30

35

40

Stock Price　S(t)

Cal

l Opt

ion P

rice

T-t=0T-t=0.25(3m)T-t=0.5(6m)T-t=1(1y)

100=K

2-3. 残存期間の変化とオプション・プライス

11

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

5

10

15

20

25

30

35

40

Stock Price S(t)

Cal

l Opt

ion P

rice

Volatility=5%Volatility=20%Volatility=30%

100=K

2-4. ボラティリティの変化とオプション・プライス

12

3. ダイナミック・ヘッジによるリスク制御とグリークス

13

60 70 80 90 100 110 120 130 140-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Stock Price S(t)

Cal

l Opt

ion P

rice

Buy PayoffSell PayoffBuy PriceSell PriceNet

（ヘッジ取引の例）

コール・オプションの売りポジションをヘッジするためには、同じコール・オプションを買えば、その価格変動を完全に相殺できる

最も簡単に反対ポジションの ペイオフを複製する方法 （Back-to-Back 取引）

実務上、何が問題か？

100=K

3-1. ヘッジとは？

デリバティブのリスク・ヘッジは、市場変動（株価およびそのボラティリティの変化）に 対するデリバティブの価格（時価）変動を抑える取引によって実行される

14

60 70 80 90 100 110 120 130 140-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Stock Price S(t)

Cal

l Opt

ion P

rice

Buy PriceSell Price

105)0( =S

)0()0(

SC∆∆

接線の傾き：

（デルタ・ヘッジ）

時点0で左図の接線の傾き分だけ株式を買っていれば、その瞬間はコール・オプションの売りポジションを相殺できる。

すなわち、この瞬間のコールの売りポジションは、接線の傾き分の株式の売りポジションを持っていることに等しい 100=K

3-2. ダイナミック・ヘッジ（デルタ・ヘッジ）の原理

15

60 70 80 90 100 110 120 130 140-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Stock Price S(t)

Cal

l Opt

ion P

rice

Buy PriceSell Price

105)0( =S

)()(

1

1

tStC

∆∆

接線の傾き：

（デルタ・ヘッジ）

次の瞬間（時点 ）、株価が95円に下落したら、今度は左図の接線の傾き分だけ株式を買い持ちするように取引をすれば、その瞬間はコール・オプションの売りポジションを相殺できる。

これを満期まで繰り返すことで、常にコール・オプションの売りポジションが相殺できる

95)( 1 =tS

1t

3-2. ダイナミック・ヘッジ（デルタ・ヘッジ）の原理（続き）

16

現在 半年後

),( 11uu yx

1年後（満期）

uuC

ddC

duud CC =),( 00 yx

),( 11dd yx

)(,

)(,

)0()0(

110 SdCx

SuCx

SCx dduu

∆∆

=∆∆

=∆∆

=

x

y

：株式の保有量

：預金の保有量

二期間二項モデル

デルタ

3-3. ダイナミック・ヘッジと動的な複製ポートフォリオ

ダイナミック・ヘッジ（デルタ・ヘッジ）は、前回講義で解説した動的な複製ポートフォリオを構築していることに他ならない

17

( ){ } ( ) ( ) ( )∫ ∆+=−T

tdStCKTS0

00,max

)()()(:)( +Φ=

∂∂

=∆ dtStCt

動的複製ポートフォリオ

注意）今回、金利をゼロとしているので 預金の動的ポートフォリオはない

コールのペイオフ オプション料

株式の動的ポートフォリオ

ただし、デルタは株価の一階偏微分 である

株式の動的ポートフォリオは、ヘッジ操作の期間中、外部からの資金流入・流出がなく、ポートフォリオの価値変化は株価 S(t) の変化のみから生ずる（これを「資金自己調達的」というが、詳

しくは、例えば、蓑谷千凰彦 著「よくわかるブラック・ショールズモデル」を参照のこと）

これは、初期のオプション料だけのお金からコールのペイオフを複製できることを意味している

3-4. ブラック=ショールズ・モデルにおけるダイナミック・ヘッジ

18

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Stock Price S(t)

Delta

T-t=0.25(3m)T-t=0.5(6m)T-t=1(1y)

100=K

3-5. デルタ

19

グリークス（リスク感応度）とは？

デルタは、株価が微小変化したときにオプション価格（時価）が変動する割合を表す指標と解釈することができる

同様に、ボラティリティが微小変化したときにオプション価格が変動する割合をベガと呼ぶ（ボラティリティに関する一階偏微分）

また、株価が微小変化したときのデルタの変動する割合をガンマと呼ぶ （株価に関する二階偏微分）

こうした指標をグリークス（リスク感応度）と呼び、実務ではグリークスを計測することで市場変動に対するオプション価格の変動を把握する

3-6. グリークス（リスク感応度）によるリスクの把握

)()()(:)(Vega +−=∂∂

= dtTtStCt φσ

)()(1

)()(

)()(:)( 2

2

+−=

∂∂

=∂∆∂

=Γ dtTtStS

tCtStt φ

σ

ベガ

ガンマ

20

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

5

10

15

20

25

30

35

40

Stock Price S(t)

Vega

T-t=0.25(3m)T-t=0.5(6m)T-t=1(1y)

100=K

3-7. ベガ

21

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Stock Price S(t)

Gam

ma

T-t=0.25(3m)T-t=0.5(6m)T-t=1(1y)

100=K

3-8. ガンマ

22

+∆∆∂∂

∂+∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ σσ

σσ

σσ

StS

tCtCStStCtCS

tStCtC

)()()()(

21)(

)()(

21)(

)()()(

22

2

22

2

2

オプション・プライスのテーラー展開

株価 に関する一次近似

株価に関する二次近似

ボラティリティに関する一次近似

SttC ∆∆≈∆ )()(

2))((21)()( StSttC ∆Γ+∆∆≈∆

σ∆≈∆ )(Vega)( ttC

3-9. テーラー展開とグリークス

23

4. 複製ポートフォリオ再考

24

4-1. プライシングとヘッジの関係

オプション・プライシングでは、株式と預金のポートフォリオによって、満期のペイオフを複製できることが理論的根拠となっていた

一方、リスク制御手法のひとつであるダイナミック・ヘッジも、上のプライシングの原理と全く同じことを行っているに過ぎない（ヘッジと複製は同義）

すなわち、プライシングもヘッジも、複製ポートフォリオによってオプションのペイオフ（キャッシュ・フロー）を再現することがデリバティブ理論の本質であるといえる

株式と預金の動的ポートフォリオ（Dynamic Portfolio）の他に、デリバティブのペイオフを複製できる方法はないか？

なぜ、これまでコール・オプションのみを考えてきたのか？（デリバティブ理論において、なぜコール・オプションは特別な存在なのか？）

素朴な疑問

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以前のデリバティブ市場と伝統的な複製手法 最近のデリバティブ市場と新しい複製手法

複製（ヘッジ）ツール 複製（ヘッジ）ツール

複製（ヘッジ）対象 複製（ヘッジ）対象

株式 預金

デリバティブ（コール）

流動性高

流動性低

預金 株式 コール プット

流動性高

流動性低

デリバティブ（エキゾティック等）

4-2. デリバティブ市場の発展とヘッジ手法の高度化

実際のデリバティブ市場では、相対的に流動性の高い金融商品を使って、

流動性の低いデリバティブを複製するのが基本的な考えとなっている

26

KTSTSKKTS −=−−− )(}0,)(max{}0,)(max{

プット・コール・パリティ

：時点 t のプット価格

KtStPtC −=− )()()(

満期のペイオフ 価格の関係式

)(tP

無裁定条件

プット・コール・パリティは、コール、株式、預金の3つでプット・オプションを複製する公式 とみることができる

)()()( tPKtStC =+−

この等号は常に成り立ち、左辺のポートフォリオは組み替える必要がない すなわち、動的ポートフォリオではなく、静的ポートフォリオであることに注意

4-3. コールからプットを複製

次の関係式が成り立ち、これをプット・コール・パリティと呼ぶ

27

① 低い行使価格 K のコールを1単位買う

② 高い行使価格 L のコールを1単位買う

③ 中間の行使価格 M = (K + L)÷2 のコールを2単位売る （バタフライ） バタフライのペイオフ

-25

-15

-5

5

15

25

50 70 90 110 130 150

満期時点の原資産価格（円）

満期時点のペイオフ（円）

(S-K)+　1単位買い (S-L)+　1単位買い (S-M)+　2単位売り バタフライのペイオフ

|| ||

＝

4-4. コールから単位ペイオフを持つデリバティブを複製

28

行使価格 、 のバタフライをn単位購入して、極限n→∞をとる

バタフライの極限値

-1

0

1

2

50 70 90 110 130 150

満期時点の原資産価格（円）

満期時点のペイオフ（円）

(S-K)+　n単位買い (S-L)+　n単位買い (S-M)+　2n単位売り バタフライのペイオフ

M =100

ペイオフ 1円

nMKn /1−= nMLn /1+=

4-4. コールから単位ペイオフを持つデリバティブを複製（続き：その１）

29

4-4. コールから単位ペイオフを持つデリバティブを複製（続き：その２）

バタフライ（両端の行使価格のコール1単位買い、中間の行使価格のコール2単位売り）の極限を考えることで、株価が満期時点である特定の価格（前例では、中間の行使価格 M）をとったときのみ1円支払う（それ以外は0円）デリバティブを複製できた

このデリバティブを、Arrow-Debreu証券と呼ぶ

Arrow-Debreu証券の価格は、無裁定条件の原則から、バタフライ・スプレッドの極限の価格に等しい

Arrow-Debreu証券を組み合わるポートフォリオによって、任意のペイオフを複製することが可能になる

Arrow-Debreu証券は、コール・オプションから生成されていたので、コー

ル・オプションが自由に取引できれば、任意のペイオフを複製できることになる

さらに、その複製ポートフォリオは静的ポートフォリオであることに注目

30

5. スタティック・ヘッジによるリスク制御の概要

31

5-1. スタティック・ヘッジとは？

ダイナミック・ヘッジでは、各時点の株価に応じて、デルタを調整する必要があり、株価は絶え間なく変動するので、トレーダーは忙しく取引をしなければならない

スタティック・ヘッジでは、ヘッジ開始時点でペイオフを複製するヘッジ・ポートフォリオを組成したら、その後はポートフォリオの組み換えをする必要がない

多くのスタティック・ヘッジ手法では、コール（プット）・オプションが用いられるが、 これは先程示したように、コール・オプションによってArrow-Debreu証券が構成できることが理論的根拠となっている

実際、様々なデリバティブに対してスタティック・ヘッジ（コール／プット・オプションによるペイオフの静的複製）が可能であるが、それを実現するためにはデリバティブ理論に基づく洞察力や想像力が必要

以下では、理論の詳細はふれずに、幾つかのスタティック・ヘッジの例を示す

32

長期のコール・オプションを当初より時点τで売却すると決めていたら、その時点でキャッシュ・フロー（ペイオフ）が生じる

コール･オプションの現在価値（概念図）

0

10

20

30

40

50

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

原資産価格

オプション現

在価

値

初期時点

売却時点τ

満期時点T

5-2. 短期オプションによる長期オプションの複製

33

コール･オプション価格関数の複製

0

10

20

30

40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

原資産価格（単位：円）

期中

の現

在価

値

3static 5static 10static コール･オプション（ヘッジ対象）

5-2. 短期オプションによる長期オプションの複製（続き：その１）

時点τの売却キャッシュ・フロー（ペイオフ）を満期τの短期コール・オプションで複製

34

複製対象の長期オプションの現在価値グラフ

50

100

150

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5-10

0

10

20

30

40

50

Stock PriceTime

Pre

sent

Valu

e

5-2. 短期オプションによる長期オプションの複製（続き：その２）

50

100

150

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Stock PriceTime

Err

or

長期オプションを短期オプションによって複製した場合の複製誤差

35

6. 基礎知識の確認と演習問題

36

6-1. 基礎知識の確認

次のキーワードの意味を確認しなさい

グリークス（デルタ、ベガ、ガンマ）

デルタ・ヘッジ

複製ポートフォリオ

Arrow-Debreu 証券

37

6-2. 計算問題

コール･オプションのデルタが 0.5、ベガが 20、ガンマが 0.04 のとき、 次の場合のコール・オプション価格の変化額を求めなさい

株価が 1円上昇したときのオプション価格の変化額（一次近似）

株価が 1円上昇したときのオプション価格の変化額（二次近似）

ボラティリティが 1%上昇したときのオプション価格の変化額（一次近似）

38

株価に関するオプション変化額の一次近似： 円 株価に関するオプション変化額の二次近似： 円 (一次近似) (二次近似)

ボラティリティに関するオプション変化額の一次近似： 円

6-2. （解答）

52.0)1(04.02115.0))((

21)()( 22 +=××+×=∆Γ+∆∆≈∆ StSttC

5.015.0)()( +=×=∆∆≈∆ SttC

2.001.020)(Vega)( +=×=∆≈∆ σttC

39

6-3. 論述問題

主なヘッジ手法である、ダイナミックヘッジ、スタティックヘッジ、 Back-to-Back 取引の違いを、株式コールオプションのヘッジを例に挙げて述べよ。

（解答例）

【ダイナミックヘッジ】 オプションの原資産とキャッシュでオプションペイオフを複製する手法。株式現物とキャッシュを組み合わせ、常にオプションのデルタ量だけ株式を保有し続け、満期のペイオフを複製する。

【スタティックヘッジ】 オプション満期のペイオフを、初期時点に別商品を組み合わせ、満期まで調整取引を行わないのがスタティックヘッジである。株式コールオプションの買いの場合、プット・コール・パリティの関係を利用し、プットオプション（買い）、株式（買い）、キャッシュ（売り）を組み合わせて初期ポジションを構築する。

【Back-to-Back 取引】 スタティックヘッジのうち、保有するデリバティブと全く同

じ商品を反対売買する取引。保有するコールオプションと全く同じ商品を別の取引先と反対売買することで、満期ペイオフを相殺する。

40

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