バネ振り子龍谷大学 理工学部

数理情報学科

T130090 森山 彪史

指導教員 池田 勉

バネ振り子とは

•振り子の紐にバネを使った振り子である。

研究内容

• バネ振り子は適当な初期値を与えると不規則な動きをする。

研究内容

• 規則的で単純な動きをするような初期角度 とバネ定数 の関係を調べる。

k

研究手順

• バネ振り子の運動方程式を導出する。

• 一階常微分方程式系に直して数値計算をして近似解を求める。

• バネ振り子の動きを調べる。

バネ振り子の運動方程式

運動エネルギー

ポテンシャルエネルギー

y

x

sin

cos

x

y

2

0

1

2U mgy k

2 21

2T m x y

sin cos

cos sin

x

y

L T U ラグラジアン

0

0

d L L

dt

d L L

dt

0 cos

sin 2

kl g

m

g

m

0 :

:

:

:

:

k

y

g

dxx

dt

自然長

振り子の紐の長さ

バネ定数

軸の負の方向と のなす角

重力加速度

バネ振り子の運動方程式

0 1

2

1 0 3 2 0 0

2 3

1 3 23

0

cos

2 sin

x x

kx x x g x x

m

x x

x x g xx

x

0 1 2 3x x x x とおいて一階常微分方程式系に変換した

変換した方程式をルンゲクッタ法を使って数値計算した

0 cos

sin 2

kg

m

g

バネ振り子

• 自然長で静かにおもりを離した時の動きを調べる。

• 適当な初期値を与えると不規則な動きをする。

x

y

x

y

0

5

30

1

0.1

k

m

　　バネ定数　

　　初期角度　

　　　自然長　

おもりの質量　

0

10

30

1

0.1

k

m

　　バネ定数　

　　初期角度　

　　　自然長　

おもりの質量　

バネ振り子

• 自然長でおもりを静かに離したときにちょうど同じ位置に戻ってくるときの初期角度 とバネ定数 の関係を調べた。

• 初期角度 を固定してバネ定数 を求めることから始めた。

k

k

バネ振り子

• おもりを離したときにちょうど同じ位置に戻ってくるバネ定数 を二分法で求める。

x

y

k

2k1k

バネ振り子

• 1度から179度までの初期角度 に対応するバネ定数 を調べる。

k

k

バネ振り子• おもりの軌跡

x

30

60

90

120 y

1.407116

2.036084

1.909434

0.779585

k

k

k

k

30 60

90

120

セクションマップ• バネ振り子が 軸を左から右へよぎる点を求める。

• 横軸を 、縦軸を としてセクションマップを描く。

x

y

0y

1y

y

0y 1y

セクションマップ

1y

1y

1y1y

1y

0y

0y

0y

0y

0y

初期角度を30度に固定した。バネ定数 を単純な動きをするときから少し変化させた。

k

セクションマップ• 同様にいくつかの初期角度 を固定してバネ定数 を少し変化させた。

0y

1y

0y 0y

0y

1y1y

1y

15

90 60

k

45

セクションマップの拡大

15 45

90 60

0y

0y0y

0y

1y1y

1y 1y

まとめ

• 初期角度に応じてバネ定数 を変化させると規則的で単純な動きをする場合がある。

• 単純な動きをするとき初期角度によってバネ振り子の動きが大きく変わった。

k

140 75