Embed Size (px)
Citation preview
Структуры биалгебр Мальцева на простой нелиевой алгебреМальцева.
М.Е. Гончаров[email protected]
Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Биалгебры Ли — это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которыхявляется 1-коциклом. Биалгебры Ли были введены Дринфельдом [1] для изучениярешений классического уравнения Янга — Бакстера. В работах [2, 3] дано определениебиалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр.В частности, были определены ассоциативные и йордановы Д-биалгебры, а такжерассмотрен ассоциативный аналог уравнения Янга — Бакстера и ассоциативные Д-биалгебры, связанные с решениями этого уравнения. Класс йордановых Д-биалгебр,связанный с йордановым аналогом уравнения Янга — Бакстера, был определен в [4], гдебыло доказано, что всякая конечномерная йорданова Д-биалгебра, которая полупроста какалгебра, принадлежит этому классу. В работе [5] изучались альтернативные Д-биалгебрыи их связь с альтернативным уравнением Янга-Бакстера. В частности, были описаны всеструктуры альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли — Диксона.
Определение. Пара (A, ∆), где A — векторное пространство над F , а ∆ : A 7→ A ⊗A — линейное отображение, называется коалгеброй. При этом отображение ∆ называетсякоумножением.
Для элемента a ∈ A будем использовать обозначение ∆(a) =∑
a(1) ⊗ a(2).На пространстве A∗ определим умножение, полагая 〈fg, a〉 =
∑a
〈f, a(1)〉〈g, a(2)〉, где
f, g ∈ A∗, a ∈ A и ∆(a) =∑
a(1) ⊗ a(2). Полученная алгебра называется дуальной алгебройкоалгебры (A, ∆).
Дуальная алгебра A∗ коалгебры (A, ∆) задаёт бимодульное действие на A, котороеопределяется следующим образом f a =
∑a(1)〈f, a(2)〉 и a f =
∑〈f, a(1)〉a(2), гдеf ∈ A∗ и ∆(a) =
∑a(1) ⊗ a(2).
Пусть теперь A — произвольная алгебра, на которой задано коумножение ∆ иA∗ — дуальная алгебра коалгебры (A, ∆). Алгебра A задаёт бимодульное действие напространстве A∗, определенное формулами
〈f a, b〉 = 〈f, ab〉 и 〈b f, a〉 = 〈f, ab〉.
Рассмотрим пространство D(A) = A⊕ A∗ и зададим на нём умножение, полагая
(a + f) ∗ (b + g) = (ab + f b + a g) + (fg + f b + a g).
Тогда D(A) является обычной алгеброй над полем F , а A и A∗ — подалгебры в D(A).Алгебру D(A) будем называть дублем Дринфельда.
0Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования "Развитие научного потенциала высшейшколы"(проект 2.1.1.419), гранта РФФИ 09-01-00157-A, Совета по грантам Президента РФ для поддержкимолодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1),интеграционного проекта СО РАН 97, ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационнойРоссии” на 2009-2013 гг. (гос. контракты 02.740.11.0429, 02.740.11.5191), Лаврентьевского гранта дляколлективов молодых учёных СО РАН, постановление Президиума СО РАН 43 от 04.02.2010, а такжестипендии Независимого Московского университета.
1
Определение. Пусть M — произвольное многообразие F–алгебр и A — алгебра изM , на которой дополнительно задано коумножение ∆. Тогда пару (A, ∆) будем называтьM-биалгеброй по Дринфельду, если алгебра D(A) принадлежит многообразию M .
Данная работа посвящена биалгебрам Мальцева.Определение. Антикоммутативная алгебра M называется алгеброй Мальцева, если
для любых x, y, t ∈ M выполняется
J(x, y, xt) = J(x, y, t)x,
где J(x, y, z) = (xy)z + (yz)x + (zx)y — якобиан элементов x, y, z.Пусть M — алгебра Мальцева. В работе [6] изучались биалгебры Мальцева. В
частности, были найдены необходимые и достаточные условия, при которых пара (M, ∆)является биалгеброй Мальцева.
Пусть r =∑i
ai ⊗ bi ∈ M ⊗M такой, что τ(r) = −r, где τ(a ⊗ b) = b ⊗ a — морфизм
перестановки. Определим линейное отображение ∆r(a) =∑i
aia⊗bi−ai⊗abi. Доказываетсяследующая
Теорема 1. Пара (M, ∆r) является биалгеброй Мальцева тогда и только тогда, когдадля любых a, b ∈ M :
(CM(r)(1⊗ b⊗ 1))(1⊗ a⊗ 1)− CM(r)(ab⊗ 1⊗ 1)− (CM(r)(1⊗ 1⊗ a))(1⊗ 1⊗ b) =
= CM(r)(b⊗ 1⊗ a)− CM(r)(a⊗ b⊗ 1),
гдеCM(r) =
∑ij
aiaj ⊗ bi ⊗ bj − ai ⊗ ajbi ⊗ bj + ai ⊗ aj ⊗ bibj = 0. (1)
Уравнение (1) является мальцевским аналогом классического уравнения Янга-Бакстера.В данной работе также описываются структуры биалгебры Мальцева на простой
нелиевой алгебре Мальцева M(характеристика поля не равна 2,3). В M можно выбратьбазис h, x, x′, y, y′, z, z′ с таблицей умножения(выписаны тока ненулевые произведения)
[h, x] = 2x, [h, y] = 2y, [h, z] = 2z,
[h, x′] = −2x′, [h, y′] = −2y′, [h, z′] = −2z′,
[x, x′] = [y, y′] = [z, z′] = h,
[x, y] = 2z′, [y, z] = 2x′, [z, x] = 2y′,
[x′, y′] = −2z, [y′, z′] = −2x, [z′, x′] = −2y.
Для этой цели необходимо рассмотреть два случая - во-первых случай, когда радикалR дубля Дринфельда D(M) отличен от нуля, и во-вторых случай, когда D(M) являетсяполупростой алгеброй.
В первом случае структуры биалгебр Мальцева описываются с помощью следующихутверждений:
Теорема 2. Пусть пара (M, ∆) — биалгебра Мальцева, причем радикал R дубляДринфельда D(M) отличен от нуля. Тогда существует такой элемент r из (id−τ)(M⊗M),что CM(r) = 0 и ∆ = ∆r. Обратно, любое антисимметричное решение уравнение (1) задаетструктуру биалгебры Мальцева, причем радикал R дубля Дринфельда D(M) отличен отнуля.
2
Предложение 1. Антисимметричные решения уравнения (1) находятся во взаимно-однозначном соответствии с парой (B,ω), где B — подалгебра в M , а ω — невырожденнаякососимметрическая билинейная форма, удовлетворяющая
ω([x, y], z) + ω([y, z], x) + ω([z, x], y) = 0
для любых x, y, z ∈ B. В этом случае форму ω будем называть симплектической, а пару(B, ω) —- симплектической подалгеброй.
Теорема 3. Пусть (B, ω) — симплектическая подалгебра в M . Тогда имеет место одиниз следующих вариантов:
1. B изоморфна двухмерной абелевой алгебре Ли.2. B двухмерной неабелевой алгебре Ли.В этом случае симплектической будет любая невырожденная кососимметрическая
билинейная форма.3. B изоморфна алгебре M(4) — наименьшей нелиевой алгебре Мальцева. В качестве
базиса в M(4) можно взять элементы h, x, y′, z. Симплектической в этом случае будетлюбая невырожденная кососимметрическая билинейная форма, удовлетворяющая
ω(y′, h) = 2ω(x, z).
В случае, кода дубль Дринфельда D(M) является полупростой алгеброй, следующаятеорема описывает структуры биалгебры Мальцева на M .
Теорема 2. Пусть радикал D(M) является полупростой алгеброй. Тогда D(M) =M1 ⊕ M2, где M1 и M2 изоморфны M . При этом существует r ∈ M ⊗ M такой, чтоτ(r) 6= −r, CM(r) = 0 и ∆ = ∆r.
Обратно, любое решение r уравнения(1), для которого выполнено τ(r) 6= −r, задаетструктуру биалгебры Мальцева на M , причем дубль Дринфельда D(M) в этом случаебудет полупростой алгеброй.
При этом, если r — решение уравнения (1), для которого τ(r) 6= −r, то в M можно таквыбрать базис h, x, x′, y, y′, z, z′, что
r =1
4h⊗h+α12(h⊗x−x⊗h)+α15(h⊗y′−y′⊗h)+α16(h⊗z−z⊗h)+x⊗x′+α25(x⊗y′−y′⊗x)+
+α26(x⊗ z − z ⊗ x) + y′ ⊗ y + α56(y′ ⊗ z − z ⊗ y′) + z ⊗ z′ (2)
и при этом выполняется условие2α15 + α26 = 0. (3)
Обратно, элемент вида (2), удовлетворяющий условию (3), будет решением уравнения (1).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Дринфельд В. Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли игеометрический смысл классических уравнений Янга — Бакстера.// ДАН СССР, 268,N 2, 1983, 285–287.
[2] Желябин В. Н. Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли.// Алгебра илогика т.1,36(1997), 3–25.
3
[3] Желябин В. Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли//Сибирский математический журнал, 39, 2(1998), 299–308.
[4] Желябин В.Н. Об одном классе йордановых Д-биалгебр.// Алгебра и анализт.11(1999), вып. 4, 64–94.
[5] Гончаров М.Е. Классическое уравнение Янга — Бакстера на альтернативныхалгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли —Диксона.// Сибирский математический журнал 48 5(2007), 1009-1025.
[6] Vershinin V.V. On Poisson-Malcev structures.// Acta Applicandae Mathematicae 75(2003)281-292.
4
Abstracts of The International Workshop ”Algorithmic problems in group theory and related areas”
July, 27 - August, 7, 2010, Novosibirsk, Russia .
On Thompson’s conjecture for some simple groups with
connected prime graph
Neda Ahanjideh
Department of Mathematics, Shahrekord University, Shahrekord, Iran
Email: [email protected]
Let G be a finite group and Z(G) be its center. For x ∈ G, clG(x) denotes the conjugacy
class in G containing x and CG(x) denotes the centralizer of x in G. We will use N(G) to
mean n : G has a conjugacy class of size n. For an integer z > 1, we denote by π(z) the
set of prime divisors of z. The prime graph GK(G) of a group G is the graph with vertex set
π(G) where two distinct primes r and s are joined by an edge (we write (r, s) ∈ GK(G)) if
G contains an element of order rs. A list of all finite simple groups with disconnected prime
graph is obtained in [5] and [7].
This talk concerns the following open conjecture of J. G. Thompson which is Problem
12.38 in the Kourovka notebook [4]:
Thompson’s Conjecture: Let G be a finite group with Z(G) = 1. If S is a non-abelian
finite simple group satisfying that N(G) = N(S), then G ∼= S.
This conjecture was posed in 1988, which is appeared in a communication letter. This
conjecture has received some attention in existing literature. The most important published
contributions to date can be found in a paper of Chen [2] and, a subsequent paper by Daraf-
sheh [3] and the references quoted in that paper. All results arising from those papers are
about the finite simple groups with disconnected prime graph. Vasiliev [6] has proved that
1
Thompson’s conjecture holds true for L4(4) and A10, which have the connected prime graph.
In [1], it was shown that some non-abelian simple groups of Lie type An with connected prime
graph satisfy in Thompson’s conjecture. But Thompson’s conjecture remains open for other
finite simple groups with connected prime graph. The approach to Thompson’s conjecture
for finite simple groups with disconnected prime graph can be seen to fail for finite simple
groups with connected prime graph.
In this talk, we consider the validity of Thompson’s conjecture for some finite simple
groups with connected prime graph.
References
[1] N. Ahanjideh, On Thompson’s conjecture for some simple groups with connected prime
graph, Submitted.
[2] G. Chen, On Thompson’s conjecture, J. Algebra, 185 (1996) 184-193.
[3] M.R. Darafsheh, Groups with the same non-commuting graph, Discrete applied mathe-
matics, 157 (2009) 833-837.
[4] E. I. Khukhro and V. D. Mazurov, Unsolved problems in group theory: The Kourovka
Notebook, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 16th edition, 2006.
[5] A. S. Kondrat ev, Prime graph components of finite simple groups, Math. USSRSb., 67
(1) (1990) 235-247.
[6] A. V. Vasiliev, On Thompson’s conjecture, Sib. Elektron. Mat. Izv. 6 (2009), 457-464.
[7] J. S. Willams, Prime graph components of finite groups, J. Algebra, 69 (2) (1981)
487-513.
2
Automorphisms of Direct Product of Monogenic
Semigroups and Monoids
Karim AhmadidelirMathematics Department, Faculty of Basic Sciences
Islamic Azad University - Tabriz Branch
Tabriz, Iran
The International Workshop: Algorithmic problems in group theory and related areas
Novosibirsk- Russia, July, 27 - August, 7, 2010
Abstract
This talk investigates the automorphism group of monogenic semi-groups (or monoids) to find its relationship with the automorphism groupof cyclic groups. Then by considering a presentation for direct productof monogenic semigroups verifies the relationship between the automor-phism group of that and the automorphism group of the group presentedby their semigroup presentations. This study gives us some explicit for-mulas for computing the order of automorphism groups of these algebraicstructures.
AMS subject Classification 2010: 20G40, 20M15, 20B25, 20H30, 20M99
Keyword and phrases: Automorphism groups of algebraic structures,Monogenic semigroups and monoids.
References
[1] Ayik H., Campbell C. M. and O’connor J. J., On the efficiency of thedirect products of monogenic monoids, Algebra Colloquium, 14:2, (2007),279-284.
[2] Campbell C. M., Robertson E. F., Ruskuc N. and Thomas R. M., Semi-group and group presentations, Bull. London Math. Soc., 27, (1995), 46-50.
[3] Hillar C. J. and Rhea D. L., Automorphisms of finite abelian groups, Amer.Math. Monthly, 114(10), (2007), 917-922.
[4] Levi I. and Wood G. R., On automorphisms of transformation semigroup,Semigroup Forum, 48, (1994), 63-70.
[5] Sullivan R. P., Automorphisms of transformation semigroup, J. AustralianMath. Soc., 20, (1975), 77-84.
1
ЧИСЛО ПОДГРУПП КОНЕЧНОГО ИНДЕКСА ВГРУППАХ БАУМСЛАГА–СОЛИТЕРА1
Ф. А. ДудкинНовосибирский государственный университет
Группы Баумслага–Солитера BS(p, q) задаются двумяпорождающими элементами a, t и одним определяющим соотношениемt−1apt = aq, где параметры p, q – ненулевые целые числа.
В случае, когда параметры p и q взаимно просты, Гелман [1] нашелточную формулу числа подгрупп индекса n в группе BS(p, q).
В данной работе формула Гелмана обобщена для произвольныхпараметров dp и dq, где p, q – взаимно просты, а d – натуральное число.Обозначим через b1, b2, . . . , bτ(b) – все натуральные делители числа b, ачерез π(r) – множество простых делителей числа r. При фиксированныхнатуральных числах k1, k2, . . . , kτ(b) обозначим через−→v вектор, в которомчисла bi присутствуют ki раз для всех i.
Теорема. Число подгрупп индекса n в группе BS(dp, dq) равно
∑
n=srll⊥pq,d=rb
π(r)⊆π(l),l⊥b
∑
(k1,k2,...,kτ(b))k1b1+···+kτ(b)bτ(b)=s
(1
lr
)P ki
· n lrs T (r−→v )
k1! . . . kτ(b)! bk11 . . . b
kτ(b)
τ(b)
.
Здесь T (−→v ) — число подстановок y из Sn, для которых подгруппа〈x, y〉 группы Sn транзитивна (x – фиксированная подстановка,последовательность длин независимых циклов которой совпадает свектором −→v ). В работе указана рекурсивная формула подсчета T (−→v )для произвольного вектора −→v .
1. E. Gelman, Subgroup growth of Baumslag-Solitar groups, J. GroupTheory, 8, N 6(2005), 801-806.
Научный руководитель — канд. физ.-мат. наук, проф.В.А. Чуркин
1Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП Рособразования "Развитиенаучного потенциала высшей школы"(проект 2.1.1.419), Совета по грантамПрезидента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-3669.2010.1) иподдержана грантом РФФИ 10-0-00391.
Ãðóïïà öåíòðàëüíûõ åäèíèö öåëî÷èñëåííîãî ãðóïïîâîãî êîëüöà çíàêîïåðåìåííîé
ãðóïïû A14
Àëååâ Ð.Æ., Êàðãàïîëîâ À.Â., Øàáàðøèíà À.À.
Ðàíåå ãðóïïû öåíòðàëüíûõ åäèíèö öåëî÷èñëåííûõ ãðóïïîâûõ êîëåö çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïï An,äëÿ n < 7 áûëè îïèñàííû â ðàáîòå [1].  ðàáîòå [2] Ôåððàç íàøåë, ÷òî ðàíã rn ãðóïïû öåíòðàëüíûõåäèíèö öåëî÷èñëåííûõ ãðóïïîâûõ êîëåö çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïû An ðàâåí 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà n ∈ 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12.  ðàáîòå [3] äîêàçàíî, ÷òî ðàíã rn ðàâåí 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàn ∈ 5, 6, 10, 11, 13, 16, 17, 21, 25.  ðàáîòå [4] ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ ãðóïïû öåíòðàëüíûõ åäèíèö öå-ëî÷èñëåííûõ ãðóïïîâûõ êîëåö çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïï â ñëó÷àÿõ êîãäà n ∈ 10, 11, 13, 16, 17, 21, 25. Âñîâîêóïíîñòè ñ [1] òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíî ïîëíîå îïèñàíèå ãðóïï öåíòðàëüíûõ åäèíèö öåëî÷èñëåí-íûõ ãðóïïîâûõ êîëåö çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïï èìåþùèõ ðàíã 1.  äàííîé ðàáîòå èäåò èññëåäîâàíèåñàìîãî ïåðâîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ðàíã > 1, à èìåííî n = 14, â ýòîì ñëó÷àå ðàíã ãðóïïû öåíòðàëüíûõåäèíèö öåëî÷èñëåííîãî ãðóïïîâîãî êîëüöà ãðóïïû A14 ðàâåí 3. Áîëåå òî÷íî, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà. U(Z(ZA14)) = 〈−1〉 ×⟨u20(1 + ω13)
3360⟩×
⟨u57(1 + ω33)
860⟩×⟨u59(1 + ω5)
2016⟩.
Çäåñü u20 - ëîêàëüíàÿ åäèíèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ õàðàêòåðó ãðóïïû A14 ñòåïåíè 4752, u57 -ëîêàëüíàÿ åäèíèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ õàðàêòåðó ãðóïïû A14 ñòåïåíè 29952, u59 - ëîêàëüíàÿ åäèíèöà,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ õàðàêòåðó ãðóïïû A14 ñòåïåíè 34320, ω13 = 1+√13
2 , ω33 = 1+√33
2 , ω5 = 1+√5
2 .
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]. Aleev R.Z. Higman's central unit theory, units of integral group rings of nite cyclic groups andFibonacci numbers. Intern. J. of Algebra and Comp., 4 (1994), N. 3, 309-358.
[2]. Ferraz R. A. Simple components and central units in group rings. J. of Algebra, 279 (2004), N. 1,191-203.
[3]. Àëååâ Ð. Æ., Ñîêîëîâ Â. Â. Ãðóïïû öåíòðàëüíûõ åäèíèö öåëî÷èñëåííûõ ãðóïïîâûõ êîëåöçíàêî- ïåðåìåííûõ ãðóïï. Òåçèñû ñîîáùåíèé ñåäüìîé Ìåæäóíàðîäíîé øêîëû-êîíôåðåíöèè,ïîñâÿùåííîé 60-òè ëåòèþ À. Ñ. Êîíäðàòüåâà. èçä-âî ÞÓðÃÓ, ×åëÿáèíñê, 2008, 14-15.
[4]. Àëååâ Ð. Æ., Ñîêîëîâ Â. Â. Î ãðóïïàõ öåíòðàëüíûõ åäèíèö öåëî÷èñëåííûõ ãðóïïîâûõ êîëåöçíàêîïåðåìåííûõ ãðóïï. Òðóäû èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, 15 (2009), N. 2.
НОВЫЕ ПРИМЕРЫ НЕТРИВИАЛЬНЫХδ−СУПЕРДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ 1
И. Б. КайгородовНовосибирский государственный университет
В работах В. Т. Филиппова было введено понятие δ-дифференци-рования, то есть такого линейного отображения φ алгебры A, что дляфиксированного элемента δ из основного поля верно
φ(xy) = δ(φ(x)y + xφ(y)).
Он рассматривал δ-дифференцирования первичных лиевых, альтерна-тивных и мальцевских нелиевых алгебр. В дальнейшем, изучением δ-дифференцирований занимались И. Б. Кайгородов и П. Зусманович.Также в их работах было введено понятие δ-супердифференцированиясупералгебры. Под δ-супердифференцированием φ супералгебры A ав-торы понимают однородный элемент Z2-градуированного пространстваэндоморфизмов супералгебры A c условием
φ(xy) = δ(φ(x)y + (−1)p(φ)p(x)xφ(y)).
И. Б. Кайгородов описал δ-(супер)дифференцирования простых конеч-номерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем харак-теристики нуль. Эти результаты получили частичное обобщение в рабо-те П. Зусмановича, где он рассматривал δ-(супер)дифференцированияпервичных супералгебр Ли.
В данной работе дается описание δ-(супер)дифференцирований по-лупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраическизамкнутым полем характеристики отличной от 2. Результатом работыявляется следующая
1Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования "Развитие научногопотенциала высшей школы"(проект 2.1.1.419), гранта РФФИ 09-01-00157-A, Сове-та по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ве-дущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП “Научныеи научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 гг. (гос. кон-тракты 02.740.11.0429, 02.740.11.5191), интеграционного проекта СО РАН 97,Лаврентьевского гранта для коллективов молодых учёных СО РАН, постановлениеПрезидиума СО РАН 43 от 04.02.2010.
1
Теорема. Пусть полупростая конечномерная йорданова суперал-
гебра J над алгебраически замкнутым полем характеристики p 6=2 имеет нетривиальное δ-дифференцирование или δ-супердиффе-
ренцирование. Тогда p > 2, δ = 12 , и супералгебра J представима в
виде J =⊕s
i=1(Ji1 ⊕ · · · ⊕ Jiri + Ki · 1) ⊕ J1 ⊕ · · · ⊕ Jt, где для неко-
торого i верно, что Ji является либо супералгеброй векторного типа
J(B(m,n), D), либо супералгеброй V1/2(Z,D).Супералгебра векторного типа J(Γ, D). Пусть Γ — унитальная
ассоциативная суперкоммутативная супералгебра с ненулевым четнымдифференцированием D. Положим J(Γ, D) = Γ ⊕ Γx. Операция умно-жения · в J(Γ, D) определяется по правилам
a·b = ab, a·bx = (ab)x, ax·b = (−1)p(b)(ab)x, ax·bx = (−1)p(b)(D(a)b−aD(b)),
где a, b однородные элемены из Γ и ab — произведение в Γ.Лемма 1. Пусть φ — нетривиальное δ-(супер)дифференцирование
супералгебры J(Γ, D), тогда δ = 12 и φ(y) = z · y для фиксированного
z ∈ Γ0 ∪ Γ1.
Супералгебра V1/2(Z,D). Пусть Z — ассоциативно-коммутативнаяF -алгебра с единицей e и дифференцированием D : Z → Z, удовлетво-ряющая двум условиям
i) Z не имеет собственных D-инвариантных идеалов,ii) D обнуляет только элементы вида Fe.
Рассмотрим Zx как изоморфную копию алгебры Z. Определим навекторном пространстве V (Z,D) = Z + Zx структуру супералгебры.Положим A = Z и M = Zx — соответственно четная и нечетная части.Умножение · зададим следующим образом
a · b = ab, a · bx =1
2(ab)x, ax · bx = D(a)b − aD(b),
для произвольных элементов a, b ∈ Z. Полученную супералгебру будемобозначать как V1/2(Z,D).
Лемма 2. Пусть φ — нетривиальное δ-дифференцирование супер-
алгебры V1/2(Z,D), тогда δ = 12 и φ(y) = (1+ p(y))z · y для фиксирован-
ного z ∈ A \ Fe.Лемма 3. Пусть φ — нетривиальное нечетное δ-супердиффе-
ренцирование супералгебры V1/2(Z,D), тогда δ = 12 и φ(A) = 0, φ(ax) =
az для фиксированного z ∈ A.
2
О СВОБОДНЫХ ПОДГРУППАХ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЙУНИТРЕУГОЛЬНОЙ ГРУППЫ МАТРИЦ
Е. Н. Конышева
Рассматривается группа, G(C) =гр(AC , BC), порожденная двумя матрицамииз UT∞(Z), построенными по матрице C следующим образом:
AC = diag(C,C, . . .), BC = diag(1, C, C, . . .).
В работе [1] было показано, что группаG(t12(1)) свободная ранга 2. В предыдущейработе автора [2] были взяты трансвекции из UT3(Z) и доказано, что группыG(t12(a)), G(t23(a)) не свободны. В настоящей работе рассмотрены матрицы изматрицы из UT3(Z):
C1 =
1 0 a0 1 c0 0 1
и C2 =
1 a c0 1 00 0 1
где a · c 6= 0
Теорема 1. Каждая из групп G(Ci), i = 1, 2 является свободной ранга 2.Далее рассмотрели более общий случай, матрицы из UTnZ, где n > 0 ∈ Z :
C1n =
1 0 . . . . . . 0 a10 1 ∗ ∗ ∗ a2...
. . . ∗ ∗...
1 an−10 . . . 0 1
и C2n =
1 a1 a2 . . . . . . an−10 1 ∗ ∗ ∗ 0...
. . . ∗ ∗...
∗1 0
0 . . . 0 1
Теорема 2. Для любого n ∈ Z: каждая из групп G(Cin), i = 1, 2 является
свободной ранга 2.
(1) W. Holubowski Free subgroups of infinite unitriangular matrices // Itern. J.of Algebra and Computation, Vol. 13, No. 1 (2003) 81-86.
(2) Е.Н.Конышева Двупорожденные подгруппы бесконечной унитреугольнойгруппы // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции"Студент и научно-технический прогресс Новосибирск (2009), с.73-74.
ММФ НГУ, НовосибирскE-mail address: [email protected]
1
ДОЛЯ МАТРИЦ С ВЕЩЕСТВЕННЫМ СПЕКТРОМ ВСИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ
А. С. КривоноговНовосибирский государственный университет
Из работы [1] вытекает, что доля матриц с вещественным спектром в
алгебре всех матриц Mn(R) равна 1/2n(n−1)
4 . В данной работе аналогичнаязадача решается для симплектической алгебры Ли
sp2n(R) = X ∈ M2n(R) | X⊤J + JX = 0,
где J =
(
0 −II 0
)
, I — единичная матрица порядка n.
Пусть ‖X‖2 — стандартная евклидова 2-норма на M2n(R), B2n(r) =X ∈ sp2n(R) | ‖X‖2 6 r — евклидов шар радиуса r с центром в нулев алгебре Ли sp2n(R) и R2n(r) = X ∈ sp2n(R) | Spec(X) ⊂ R, ‖X‖2 6 r —множество матриц с вещественным спектром из шара B2n(r). Число
P2n = limr→∞
volR2n(r)
volB2n(r)
считаем по определению долей матриц с вещественным спектром в алгебреЛи sp2n(R).
Теорема.
P2n =
(
n2+n2
)
!
n−1∏
k=1
kn−k
·1
2n
2 −1· In,
где
In =
∫
· · ·
∫
x1+···+xn61
x1>···>xn>0
∏
16i<j6n
(xi − xj)dx1 . . . dxn.
Доказательство теоремы основано на подсчете якобиана параметриза-ции множества R2n(r), связанной с аналогом теоремы Шура для матриц изsp2n(R), а также вычислении объема максимальной компактной подгруппыгруппы Ли Sp2n(R).
При любом данном n интеграл In можно вычислить точно. Результа-
ты вычислений позволяют предположить, что P2n = 1/2n2−22 при n > 2.
Гипотеза проверена при n 6 7.
1. A. Edelman, The probability that a random real Gaussian matrix has kreal eigenvalues, related distributions, and the circular law // J.MultivariateAnal., 1997, vol. 60, p. 203–232
1
Научный руководитель — к.ф.-м.н., проф. НГУ В.А. Чуркин
2
On the conjugacy problem in a group F/N1 ∩N2.
O.V. Kulikova
(Moscow)
Let F = F (A) be a free group generated by a finite alphabet A. Let N1 (respectively N2)be the normal closure of a finite non-empty symmetrized set R1 (respectively R2) of cyclicallyreduced words of F .
If two words u and v of F present equal elements both in F/N1 and in F/N2, they do soin F/N1 ∩N2. It is natural to ask whether u and v present conjugate elements in F/N1 ∩N2,if u and v do so both in F/N1 and in F/N2? Evidently the answer is negative (the simplestexample is F = F (a, b, c), R1 = a±1, R2 = b±1, u = c2ba, v = cbca).
The aim of this work is to find out under what conditions on R1 and R2, the solvability ofthe conjugacy problem in F/N1 ∩N2 follows from that in F/N1 and F/N2. Here the conjugacyproblem is understood in the following way: for a group G = F/N , decide whether or not wordsu and v from F present cojugate elements in G, and in the case of the affirmative answer findh ∈ F such that u = h−1vh in G.
It is well known (see Theorem 7.6 [1]) that if Ri satisfies the small cancellation conditionC(6), then the conjugacy problem is solvable in Gi = F/Ni. The main result of the presentpaper is the following
Theorem 1 Let R1∪R2 be a set satisfying the small cancellation condition C(6) and G = 〈A |R1 ∪R2〉 be an atorical presentation. Then the conjugacy problem is solvable in F/N1 ∩N2.
It is well known that the condition C(7) is sufficient for atoricity (the proof of this fact issimilar to one of Theorem 13.3 [2]). Therefore we have:
Corollary 1 Let R1 ∪ R2 be a set satisfying the small cancellation condition C(7). Then theconjugacy problem is solvable in F/N1 ∩N2.
References
[1] R.S.Lindon and P.E.Schupp, Combinatorial group theory, Springer-Verlag, Berlin - Hei-delberg - NewYork, 1977.
[2] A.Yu. Ol’shanskii, Geometry of defining relations in groups, Moscow, ”Nauka”, 1989 (inRussian).
Bauman [email protected]
1
Î ÊÂÀÇÈÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈßÕ ËÅÂÈ
Â.Â. Ëîäåéùèêîâà
Àëòàéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. È.È. Ïîëçóíîâà, Áàðíàóë
Äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà M ãðóïï îáîçíà÷èì ÷åðåç L(M) êëàññ âñåõ ãðóïï G, â êîòîðûõ íîð-ìàëüíîå çàìûêàíèå (x)G ëþáîãî ýëåìåíòà x èç G ïðèíàäëåæèò M. Êëàññ L(M) áóäåì íàçûâàòüêëàññîì Ëåâè, ïîðîæäåííûì M.
Ïóñòü Nc ìíîãîîáðàçèå íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï ñòóïåíè ≤ c, Nc,∞ êâàçèìíîãîîáðàçèå íèëü-ïîòåíòíûõ ãðóïï áåç êðó÷åíèÿ ñòóïåíè ≤ c, Nc,p ìíîãîîáðàçèå íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï ñòóïå-íè ≤ c è ýêñïîíåíòû p, Fn(M) ñâîáîäíàÿ ãðóïïà â êâàçèìíîãîîáðàçèè M ðàíãà n, qK êâàçèìíîãîîáðàçèå, ïîðîæäåííîå êëàññîì ãðóïï K.
Ðàññìîòðèì ãðóïïû, èìåþùèå ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ â N2: Hp = ãð(x, y | [x, y]p = 1),Hps = ãð(x, y | [x, y]p = xp
s= yp
s= 1), s ∈ N, p ïðîñòîå ÷èñëî. Íàáîð qHps , qHp, qF2(N2), qH22
p 6= 2, p ïðîñòîå ÷èñëî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé ñïèñîê êâàçèìíîãîîáðàçèé íèëüïîòåíòíûõãðóïï, âñå ñîáñòâåííûå ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèÿ êîòîðûõ ñîäåðæàò ëèøü àáåëåâû ãðóïïû. Öåëüþðàáîòû ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå êëàññîâ Ëåâè, ïîðîæäåííûõ ýòèìè êâàçèìíîãîîáðàçèÿìè.
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Îïèñàíèå êëàññà L(qF2(N2))
Òåîðåìà 1. [1] Ïóñòü N îäíî èç ñëåäóþùèõ êâàçèìíîãîîáðàçèé: N2,∞, N2,p (p ïðîñòîå,p 6= 2) è ïóñòü K ïðîèçâîëüíûé êëàññ ãðóïï èç N , ñîäåðæàùèé íåàáåëåâó ãðóïïó. Ïðåäïîëî-æèì, ÷òî âî âñÿêîé ãðóïïå èç K öåíòðàëèçàòîð ëþáîãî ýëåìåíòà, íå ïðèíàäëåæàùåãî öåíòðóýòîé ãðóïïû, ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ïîäãðóïïîé. Òîãäà
1) åñëè N = N2,∞, òî L(qK) = N3,∞ è2) åñëè N = N2,p (p ïðîñòîå ÷èñëî, p 6= 2), òî L(qK) = N3,p.
Îïèñàíèå êëàññà L(qHp)
Çàôèêñèðóåì ïðîñòîå ÷èñëî p, p 6= 2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N p êâàçèìíîãîîáðàçèå, çàäàííîå â N2
ñëåäóþùèì áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ôîðìóë:
(∀x)(∀y)([x, y]p = 1), (1)
(∀x)(∀y)(xp = 1→ [x, y] = 1), (2)
(∀x)(xq = 1→ x = 1), (3)
(∀x)(xp2 = 1→ xp = 1), (4)
ãäå q ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò p.ÏóñòüMp êâàçèìíîãîîáðàçèå, çàäàâàåìîå â N3 òîæäåñòâàìè (3), (4) è ñëåäóþùèìè ôîðìó-
ëàìè:
(∀x)(∀y)([x, y, x]p = 1), (5) (∀x)(∀y)(xp = 1→ [x, y, x] = 1), (6)
(∀x)(∀x1)...(∀xn)(xpδ =n∏i=1
[x, xi]pεi →
n∏i=1
[x, xi, x]εi = 1), (7)
ãäå q ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò p, εi ∈ −1; 1, i = 1, ..., n, δ è n ïðîáåãàþòìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü K ïðîèçâîëüíûé êëàññ ãðóïï èç N p, ñîäåðæàùèé íåàáåëåâó ãðóïïó.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âñÿêîé ãðóïïå èç K öåíòðàëèçàòîð ëþáîãî ýëåìåíòà, íå ïðèíàäëåæàùåãîöåíòðó ýòîé ãðóïïû, ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ïîäãðóïïîé. Òîãäà L(qK) =Mp.
Îïèñàíèå êëàññà L(qHps)
Çàôèêñèðóåì ïðîñòîå ÷èñëî p, p 6= 2, è íàòóðàëüíîå ÷èñëî s, s ≥ 2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N ps
êâàçèìíîãîîáðàçèå, çàäàííîå â N2 ñëåäóþùèì áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ôîðìóë:
1
(∀x)(∀y)([x, y]p = 1), (8) (∀x)(xps = 1), (9)
(∀x)(∀y1) . . . (∀yn)(∀z1) . . . (∀zn)(∀u)(xpm
=n∏i=1
[yi, zi]→ [x, u] = 1), (10)
(∀x)(∀y1) . . . (∀yn)(∀z1) . . . (∀zn)(xpm
=n∏i=1
[yi, zi]→ xpm
= 1), (11)
ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, m = 1, . . . , s− 1.ÏóñòüMps êâàçèìíîãîîáðàçèå, çàäàâàåìîå â N3 òîæäåñòâîì (9) è ôîðìóëàìè:
(∀x)(∀y)([x, y, x]p = 1), (12)
(∀x)(∀y1) . . . (∀yn)(∀u)(xpm
=n∏i=1
[x, yi, x]→ [x, u, x] = 1), (13)
(∀x)(∀x1) . . . (∀xn)(∀y1) . . . (∀yn)((xpδn∏i=1
[x, xi]εi)p
m
=n∏i=1
[x, yi, x]→n∏i=1
[x, xi, x]εi = 1), (14)
(∀x)(∀x1) . . . (∀xn)(∀y1) . . . (∀yn)((xpδn∏i=1
[x, xi]εi)p
m
=n∏i=1
[x, yi, x]→n∏i=1
[x, yi, x] = 1), (15)
ãäå εi (i = 1, . . . , n), δ è n ïðîáåãàþò ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, m = 1, . . . , s− 1.Òåîðåìà 3. Ïóñòü K ïðîèçâîëüíûé êëàññ ãðóïï èç N ps, ñîäåðæàùèé íåàáåëåâó ãðóïïó.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âî âñÿêîé ãðóïïå èç K öåíòðàëèçàòîð ëþáîãî ýëåìåíòà, íå ïðèíàäëåæàùåãîöåíòðó ýòîé ãðóïïû, ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ïîäãðóïïîé. Òîãäà L(qK) =Mps.
Êâàçèìíîãîîáðàçèÿ Ëåâè ýêñïîíåíòû 2n
Çàôèêñèðóåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, n ≥ 2. Ïóñòü R2n ìíîãîîáðàçèå ãðóïï, çàäàííîå â N2
ôîðìóëàìè
(∀x)(∀y)([x, y]2 = 1), (16) (∀x)(x2n = 1). (17)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç R êâàçèìíîãîîáðàçèå ãðóïï, çàäàííîå â R2n êâàçèòîæäåñòâîì
(∀x)(∀y)(x2n−1
= 1→ [x, y] = 1). (18)
Òåîðåìà 4. Êëàññ L(R) ñîâïàäàåò ñ ìíîãîîáðàçèåì R2n.Ñëåäñòâèå. Ìíîæåñòâî êâàçèìíîãîîáðàçèé K èç R4 òàêèõ, ÷òî L(K) = R4, êîíòèíóàëüíî.Òåîðåìà 5. Ñóùåñòâóåò êëàññ K èç R8 òàêîé, ÷òî âî âñÿêîé ãðóïïå èç K öåíòðàëèçàòîð
ëþáîãî ýëåìåíòà, íå ïðèíàäëåæàùåãî öåíòðó ýòîé ãðóïïû, àáåëåâà ïîäãðóïïà, íî êëàññ L(qK)íå ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûì ñòóïåíè ≤ 2.
ÏóñòüM ìíîãîîáðàçèå ãðóïï, çàäàííîå â N2 òîæäåñòâîì (∀x)(x8 = 1).Òåîðåìà 6. Ñóùåñòâóåò êëàññ K èç M òàêîé, ÷òî âî âñÿêîé ãðóïïå èç K öåíòðàëèçàòîð
ëþáîãî ýëåìåíòà, íå ïðèíàäëåæàùåãî öåíòðó ýòîé ãðóïïû, àáåëåâà ïîäãðóïïà, íî êëàññ L(qK)ñîäåðæèò íèëüïîòåíòíóþ ãðóïïó ñòóïåíè 4.
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê
1. Ëîäåéùèêîâà Â.Â. Î êâàçèìíîãîîáðàçèÿõ Ëåâè, ïîðîæäåííûõ íèëüïîòåíòíûìè ãðóïïàìè //Èçâåñòèÿ ÀëòÃÓ. 2009. 1. Ñ. 2629.
2
Local finiteness conditions
A. S. Mamontov 1
The work is dedicated to the review of some recent results on periodicalgroups with elements of small orders. These are the groups, which mayturn out to be locally finite. And conditions which may guarantee the localfiniteness of the corresponding groups are provided.
First example of such conditions may be obtained from the followingtheorem (received in a joint work with A.A. Maximenko):
Theorem 1. If a group G is generated by a conjugacy class of order 3-elements whose every pair generates a subgroup that is isomorphic to one ofthe following groups Z3, A4, A5, Sl2(3), or SL2(5), then G is locally-finite.
Moreover, it is possible to give more details on the structure of G in thiscase.
Let’s also consider the notion of spectrum ω(G), widely used in finitegroups to represent the set of element orders in (periodical) group G. Thereis an interesting question: which ω(G) may guarantee the local finiteness ofthe corresponding group G?
One of the recent results obtained in joint work with V. D. Mazurov is
Theorem 2. If G is a group, such that ω(G) = 1, 2, 3, 5, 6, then G isa soluble locally finite group and one of the following is true:
1. G is an extension of an elementary abelian 5-group by a cyclic groupof order 6;
2. G is an extension of a nilpotent 3-group of class 3 by a dihedral groupof order 10;
3. G is an extension of a direct product of a nilpotent 3-group of class 3and an elementary abelian 2-group by a group of order 5.
1Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования «Развитие научногопотенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419), гранта РФФИ 10-0-00391, Советапо грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-3669.2010.1), интеграционного проекта СО РАН 97, Лаврентьевского гранта дляколлективов молодых учёных СО РАН, постановление Президиума СО РАН 43 от04.02.2010, а также стипендии Независимого Московского университета.
1
Also the following result on groups of period 12 seems to be interestingand providing good insight on the structure of groups of period 12.
Statement. Let G be a group of period 12. If G is an extension of 2-group by an element z of order 3 and G acts on a vector space over the fieldGF (3) in such a way that every element of order 3 acts quadratically, then[O2(G), z] is nilpotent of class not greater than 2.
Conditions in the statement are natural due to Hall-Higman theorem.
2
О ПОДГРУППАХ ПРОСТЫХ Dπ-ГРУПП
Манзаева Н. Ч.Научные руководители Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин
НГУ
Пусть π — некоторое множество простых чисел. Через π′ обозначим мно-жество всех простых чисел, не лежащих в π. Для конечной группы G черезπ(G) обозначим множество простых делителей |G|.
Определение 1. Группа G, для которой π(G) ⊆ π, называется π-группой.
Определение 2. π- подгруппа H группы G называется π-холловой под-группой, если π(|G : H |) ⊆ π
′.
Определение 3. Будем говорить, что группа G обладает свойством Eπ
(или, короче, G ∈ Eπ), если в G имеется π-холлова подгруппа. Если приэтом любые две π-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, чтогруппа G обладает свойством Cπ (G ∈ Cπ). Если, к тому же, любая π-подгруппа группы G содержится в некоторой π-холловой подгруппе, тобудем говорить, что G обладает свойством Dπ (G ∈ Dπ). Группу со свой-ством Eπ (Cπ, Dπ) будем называть также Eπ- (соответственно, Cπ-, Dπ-) группой.
Рассматриваются следующие гипотезы:
Гипотеза 1. Если G ∈ Dπ и H — π-холлова подгруппа группы G, то любаяподгруппа M группы G, содержащая H, обладает свойством Dπ.
Гипотеза 2. Если G ∈ Dπ, то любая Eπ-погруппа M группы G обладаетсвойством Dπ.
Заметим, что гипотеза 1 является частным случаем гипотезы 2. Можносформулировать ещё более общую гипотезу:
Гипотеза 3. Если G ∈ Dπ, то любая погруппа M группы G обладаетсвойством Dπ.
Однако, существует пример, показывающий, что гипотеза 3 неверна.Действительно, рассмотрим группу GL4(16), которая обладает свойствомD3,5 и содержит подгруппу M , изоморфную S5. С другой стороны, из-вестно, что S5 не является E3,5-группой, и, следовательно, M ≃ S5 необладает свойством D3,5.
Основными результатами являются следующие теоремы:
Теорема 1. (mod CFSG) Если G — контрпример наименьшего порядка клюбой из гипотез 1, 2, то G — простая конечная группа.
Теорема 2. Пусть G — либо знакопеременная группа An, n ≥ 5, либо однаиз спорадических простых групп, обладающая свойством Dπ. Тогда любаяподгруппа M группы G является Dπ-группой.
Таким образом, контрпример минимального порядка к гипотезам 1, 2,должен быть группой лиева типа.
1
Ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ êëàññèôèêàöèè
ìàêñèìàëüíûõ ïîä ãðóïï íå÷åòíîãî èíäåêñà â
êîíå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïïàõ.∗
Í. Â. Ìàñëîâà
 1980 ãîäó áûëà çàâåðøåíà êëàññèôèêàöèÿ êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïï. Ïîñëå ýòî-ãî îäíîé èç íàèáîëåå âàæíûõ çàäà÷ òåîðèè êîíå÷íûõ ãðóïï ñòàëî èçó÷åíèå ïîäãðóï-ïîâîé ñòðóêòóðû ïðîñòûõ ãðóïï, â ÷àñòíîñòè, èçó÷åíèå èõ ìàêñèìàëüíûõ ïîäãðóïï.Íà îñíîâå óïîìÿíóòîé êëàññèôèêàöèè Ì. Àøáàõåð â [1] îïèñàë ñåìåéñòâî åñòåñòâåí-íûõ ãåîìåòðè÷åñêè îïðåäåëåííûõ ïîäãðóïï êîíå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï,êîòîðîå áûëî ðàçáèòî èì íà âîñåìü êëàññîâ Ci (1 ≤ i ≤ 8), íàçûâàåìûõ òåïåðü êëàñ-ñàìè Àøáàõåðà. Ïîçæå Ì. Ëèáåêîì è ß. Ñàêñëîì [2] è íåçàâèñèìî Â. Êàíòîðîì [3]áûë ïîëó÷åí îäèí èç ñàìûõ ñèëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ïîñëåäíèõ ëåò â òåîðèè êîíå÷íûõãðóïï ïîäñòàíîâîê, à èìåííî, äàíà êëàññèôèêàöèÿ êîíå÷íûõ ïðèìèòèâíûõ ãðóïïïîäñòàíîâîê íå÷åòíîé ñòåïåíè.  ÷àñòíîñòè, â îáåèõ óêàçàííûõ ðàáîòàõ áûëè ïðåä-ñòàâëåíû ñïèñêè ïîäãðóïï êîíå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï, êîòîðûå ìîãóòÿâëÿòüñÿ ìàêñèìàëüíûìè ïîäãðóïïàìè íå÷åòíîãî èíäåêñà.
Îäíàêî â ðàáîòàõ [2, 3] íå îïðåäåëåíî, êàêèå èç óêàçàííûõ ïîäãðóïï â òî÷íîñòèÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè íå÷åòíîãî èíäåêñà, òàê ÷òî çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ìàêñè-ìàëüíûõ ïîäãðóïï íå÷åòíîãî èíäåêñà êîíå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï îñòà-âàëàñü íåçàâåðøåííîé. Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà àâòîðîì â [6].
Ïóñòü q íàòóðàëüíàÿ ñòåïåíü ïðîñòîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà è G îäíà èç êîíå÷-íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï ñëåäóþùèõ òèïîâ: PSLn(q), PSUn(q), PSpn(q) äëÿ÷åòíîãî n, PΩn(q) äëÿ íå÷åòíîãî n è PΩε
n(q) äëÿ ÷åòíîãî n, ãäå ε ∈ +,−. Áóäåìîáîçíà÷àòü ÷åðåç V åñòåñòâåííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n íàä ïîëåìF ñ îïðåäåëåííîé íà íåì ñîîòâåòñòâóþùåé áèëèíåéíîé èëè êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé,àññîöèèðîâàííîå ñ ãðóïïîé G, ãäå F = Fq äëÿ ëèíåéíûõ, ñèìïëåêòè÷åñêèõ è îðòîãî-íàëüíûõ ãðóïï è F = Fq2 äëÿ óíèòàðíûõ ãðóïï.  ñëó÷àå ãðóïïû PΩε
n(q) äëÿ ÷åòíîãîn ïàðàìåòð ε íàçûâàåòñÿ çíàêîì ýòîé ãðóïïû è ñîîòâåòñòâóþùåãî åé âåêòîðíîãî ïðî-ñòðàíñòâà V è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç sign(V).
Öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ êîìïüþòåðíàÿ ðåàëèçàöèÿ êëàññèôèêàöèè [6].Àâòîðîì íàïèñàíà ïðîãðàììà íà ÿçûêå Delphy, êîòîðàÿ äëÿ çàäàííîé êîíå÷íîé ïðî-ñòîé êëàññè÷åñêîé ãðóïïû G âûäàåò ñïèñîê åå ìàêñèìàëüíûõ ïîäãðóïï íå÷åòíîãîèíäåêñà. Ââîäíûìè äàííûìè äëÿ ïðîãðàììû ÿâëÿþòñÿ:
1) òèï ãðóïïû íàòóðàëüíîå ÷èñëî (äëÿ PSLn(q) 1, äëÿ PSUn(q) 2, äëÿ
∗Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòîì ÐÔÔÈ 10-01-00324 è ãðàíòîì ÓðÎ ÐÀÍ äëÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ
80 çà 2010 ãîä.
1
PSpn(q) 3, äëÿ PΩn(q) 4, äëÿ PΩεn(q) 5);
2) ñòåïåíü n íàòóðàëüíîå ÷èñëî èç îòðåçêà [2, 32767];
3) õàðàêòåðèñòèêà p ïîëÿ F ïðîñòîå íå÷åòíîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå 32767(ýòî ÷èñëî ïðè ââîäå ïðîâåðÿåòñÿ íà ïðîñòîòó, è åñëè îíî îêàçûâàåòñÿ íåïðîñòûì,ïðîãðàììà ñîîáùàåò îá ýòîì);
4) ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ F íàä ñâîèì ïðîñòûì ïîäïîëåì íàòóðàëüíîå÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå 32767;
5) çíàê ãðóïïû è ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâà V (â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîéãðóïïû ÷åòíîé ñòåïåíè) ÷èñëî 1 èëè -1.
Ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ïðîãðàììû ÿâëÿåòñÿ òåêñòîâûé ôàéë, ïðèãîäíûé äëÿòðàíñëÿöèè â LaTex è ñîäåðæàùèé ñïèñîê ìàêñèìàëüíûõ ïîäãðóïï íå÷åòíîãî èíäåê-ñà çàäàííîé êîíå÷íîé ïðîñòîé êëàññè÷åñêîé ãðóïïû. Òàêèì îáðàçîì, ñïèñîê ìàêñè-ìàëüíûõ ïîäãðóïï íå÷åòíîãî èíäåêñà êîíå÷íîé ïðîñòîé êëàññè÷åêîé ãðóïïû ìîæíîïîëó÷èòü, îïåðèðóÿ ñ ïÿòüþ åå àðèôìåòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Õîðîøî èçâåñòíû ñëåäóþùèå èçîìîðôèçìû êîíå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõãðóïï ìàëûõ ñòåïåíåé: PSL2(q) ∼= PSU2(q) ∼= PSp2(q) ∼= Ω3(q), PSL4(q) ∼= PΩ+
6 (q),PSU4(q) ∼= PΩ−6 (q), PSp4(q) ∼= PΩ5(q). Êëàññèôèêàöèÿ [6] ïîëó÷åíà äëÿ ãðóïïPSL2(q), PSL4(q), PSU4(q), PSp4(q). Ñîîòâåòñòâåííî èìåííî ýòè ãðóïïû çàëîæåíûâ ïðîãðàììó.
 ðàìêàõ äàííîé ïðîãðàììû íà ââîäíûå äàííûå íàêëàäûâàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿ,÷òî ñâÿçàíî ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà çíà÷åíèÿ öåëûõ ÷èñåë òèïà Integer. Èñïîëüçóÿ âîç-ìîæíîñòè íîâûõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ýòèõ îãðàíè÷åíèé ëåãêî èçáåæàòü.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Aschbacher M. On the maximal subgroups of the nite classical groups // Invent.Math. 1984. V. 76 P. 469514.
[2] Liebeck M.W., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree // J. LondonMath. Soc (2). 1985. V. 31, 2. P. 250264.
[3] Kantor W.M. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to thenite projective planes // J. Algebra. 1987. V. 106, 1. P. 1545.
[4] Kleidman P.,Liebeck M., The subgroup structure of the nite classical groups Cambridge.: Cambridge University Press, 1990.
[5] Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of nitegroups Oxford.: Clarendon Press, 1985.
[6] Ìàñëîâà Í.Â. Êëàññèôèêàöèÿ ìàêñèìàëüíûõ ïîäãðóïï íå÷åòíîãî èíäåêñà â êî-íå÷íûõ ïðîñòûõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïïàõ // Òðóäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõà-íèêè ÓðÎ ÐÀÍ, 2008. Ò. 14, 4. Ñ. 100118
2
Î ñòàòóñå çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïû
Í. Â. Ìàñëîâà, Í. Þ. Îäèíöîâà
[email protected], [email protected]
Ïîëóãðóïïó óäîáíî çàäàâàòü åå ïîðîæäàþùèì ìíîæåñòâîì. Êðîìå ìîùíîñòèïîðîæäàþùåãî ìíîæåñòâà âàæíîé åãî îöåíêîé ÿâëÿåòñÿ äèàìåòð. Äëÿ ïðîèçâîëüíî-ãî ìíîæåñòâà X ïîëóãðóïïû W ÷åðåç 〈X〉 áóäåì îáîçíà÷àòü ïîäïîëóãðóïïó, ïîðîæ-äåííóþ X. Åñëè 〈X〉 = W , òî íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k òàêîå, ÷òî ëþáîéýëåìåíò W ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íå áîëåå, ÷åì k ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X,íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì ∆(X) ïîðîæäàþùåãî ìíîæåñòâà X. Äèàìåòð ïîçâîëÿåò îöå-íèòü, íàñêîëüêî ñëîæíî âûðàçèòü ýëåìåíòû ïîëóãðóïïû ÷åðåç äàííîå ïîðîæäàþùååìíîæåñòâî.
Ñëåäóÿ [1], ñòàòóñîì Stat(W ) ïîëóãðóïïû W íàçîâåì âåëè÷èíó
Stat(W ) = minW=〈X〉
|X| ·∆(X).
Ñòàòóñ ïîëóãðóïïû ïîçâîëÿåò îöåíèòü, íàñêîëüêî õîðîøåå ïîðîæäàþùåå ìíîæå-ñòâî ìîæåò áûòü âûáðàíî äëÿ íåå.
Èçó÷åíèå äèàìåòðà è ñòàòóñà àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì èìååò ãëóáîêèå ÷èñòî àë-ãåáðàè÷åñêèå êîðíè (ñì. [2] [5]). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èíòåðåñ ê ýòèì ÷èñëîâûì õà-ðàêòåðèñòèêàì îáóñëîâëåí íåêîòîðûìè ïðèíöèïèàëüíî âàæíûìè ïðîáëåìàìè áèîèí-ôîðìàòèêè (ñì., íàïðèìåð [6, 7]) è ïðîåêòèðîâàíèÿ àðõèòåêòóðû ìíîãîïðîöåññîðíûõñèñòåì (ñì., íàïðèìåð, [8]).
 ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå èìåþò âåðõíèå îöåíêè äèàìåòðîâ è ñòàòóñîâêîíå÷íûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ïîëóãðóïï, êîíå÷íûõ ñèììåòðè÷åñêèõ è çíàêîïåðåìåííûõãðóïï.
 ðÿäå ðàáîò áûëà ïîëó÷åíà êâàäðàòè÷íàÿ âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ ñòàòóñà ñèììåò-ðè÷åñêîé ãðóïïû Sn (ñì., íàïðèìåð [1, 8]). Çàòåì â [9] ýòà îöåíêà óëó÷øåíà äî
Stat(Sn) ≤ O(n · log2n).
 [10] óêàçàíà âåðõíÿÿ îöåíêà ñòàòóñà ñèììåòðè÷åñêîé ïîëóãðóïïû Pn:
Stat(Pn) ≤ O(n · log2n).
Öåëü äàííîé ðàáîòû äîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäêè âåðõíèõ îöåíîê ñòàòóñîâ ñèììåò-ðè÷åñêîé ïîëóãðóïïû, ñèììåòðè÷åñêîé è çíàêîïåðåìåííîé ãðóïï ñîâïàäàþò.
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà. Äëÿ çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïû An íàä n-ýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì ñó-ùåñòâóåò êîíå÷íîå ïîðîæäàþùåå ìíîæåñòâî X òàêîå, ÷òî |X| ≤ A2
8 è ∆(X) ≤O(n · log2n).
Ñëåäñòâèå. Stat(An) ≤ O(n · log2n).
1
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Cherubini A., Howie J., Piochi B., Rank and status in semigroup theory
[2] Cherley J., On complementary sets of group elements // Arch.Math.35, 1980. P.313-318.
[3] Nathanson M.B., On a problem of Rohbach for nite groups // J.Number Theory.no.41, 1992. P.69-76.
[4] Jia X.-D., Thin bases for nite abelian groups // J.Number Theory. no. 36, 1990.P.254-256.
[5] Jia X.-D ., Thin bases for nite nilpotent groups // J.Number Theory. no. 41, 1992.P.303-313.
[6] Shamir R., Algorithms in molecular biology: Lecture notes, 2001.http://www.math.tau.ac.il/rshamir/algmb
[7] Meidanis J., Walter M.E.M.T., Dias Z., A lower bound on the reversal andtransposition diameter // Relatorio Tecnico IC-00-16. 2000
[8] Lati S., Srimani P.K , A new xed degree regular network for parallel processing //Proceeding of the Eighth IEEE Symposium on Parallel and Distributed Proceeding.Los Alamitos, California, 1996. P.152-159.
[9] Popov V.Yu., Status of the symmetric group // International algebraic conference.Ekaterinburg, Ural, August 29 - September 3, 2005. University Publisher, 2005. P.91-92.
[10] Îäèíöîâà Í.Þ., Ïîïîâ Â.Þ., Î äèàìåòðå ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû // Òåç. òðå-òüåé ìåæä. êîíô. "Èíôîðìàöèîííî-ìàòåìàòè÷åñêèå òåõíîëîãèè â ýêîíîìèêå,òåõíèêå è îáðàçîâàíèè"
2
On some generic properties of the nite dimensionalnilpotent class 2 Lie algebras
Maria Milentyeva
Denote by N2 the set of all nite dimensional nilpotent class 2 Lie algebras over analgebraically closed eld K .
Consider a Lie algebra L ∈ N2 . Let S be the commutator subalgebra [ L; L ],z 1 ; : : : ; z t a basis of S , and V a complementary subspace to S of dimension n , i.e.L = V ⊕ S . Then the product of two elements x = x + x and y = y + y of L withx; y ∈ V and x; y ∈ S has the form
[x; y ] = ' 1 (x; y )z 1 + · · · + ' t (x; y )z t (1)
for some t-tuple of alternating bilinear forms = ( L ) = ( ' 1 ; : : : ; ' t ) on V .On the other hand, given vector spaces S and V over K , a basis z 1 ; : : : ; z t of S ,
and a t-tuple = ( ' 1 ; : : : ; ' t ) of alternating bilinear forms on V , one can dene theproduct of two elements of L = L () = V ⊕ S by (1). Obviously, L () ∈ N2 and S isa central subalgebra of L ( ).
It is easy to show that the alternating bilinear forms of t-tuple (L ) correspondingto L ∈ N2 are linearly independent. And conversely, if the forms of t-tuple (L )are linearly independent and L ( ) = V ⊕ S is a corresponding Lie algebra, thenS = [ L ( ) ; L ( )].
Now denote by B tn the set of all t-tuples of alternating bi-
linear forms on an n -dimensional linear space V over K . PutM n;t = (' 1 : · · · : ' t ) ∈ P(B t
n ) | ' 1 ; : : : ; ' t are lineary independent : M n;t is aZariski-open subset of the projective space P(B t
n ).
Denition 1. We say that a generic Lie algebras L ∈ N2 with dim L= [L; L ] = n anddim[ L; L ] = t has a property A if the set of point of M n;t corresponding to the algebraswithout the property A contains in some proper Zariski-closed subset.
Since M n;t is irreducible, the dimension of any its closed subset is strictly less thanthe dimension of M n;t .
Theorem 1. Any Lie algebra L ∈ N2 with dim L= [L; L ] = n and dim[ L; L ] = t > 1 con-tains an abelian subalgebra of dimension s = [ 2n+ t2 +3 t
t+2 ]. A generic Lie algebra L ∈ N2
with dim L= [L; L ] = n and dim[ L; L ] = t > 1 doesn't have any abelian subalgebra ofdimension s + 1 .
1
Denition 2. Denote by |A(n )| the number of integers t such that a generic Lie algebraL ∈ N2 with dim L= [L; L ] = n and dim[ L; L ] = t has a property A
(1 6 t 6 n (n−1)
2
).
We say that A is a generic property of N2 if |A(n )|n (n−1)
2
→ 1 as n →∞.
Theorem 2. The following properties of N2 are generic:
1) A generic Lie algebra L ∈ N2 cannot be homomorphically mapped onto any non-abelian Lie algebra of a given dimension N ;
2) The center of a generic Lie algebra L ∈ N2 coincides with [L; L ].
2
О тензорных произведениях неприводимых представленийконечных почти простых групп
Поляков С.В. Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.
Лауреат Нобелевской премии по физике Ю. Вигнер ввел важный класс групп. Груп-па G называется просто приводимой (SR группой), если тензорное произведение любыхдвух ее неприводимых представлений разлагается в сумму неприводимых представленийгруппы с кратностями, не превосходящими единицы, а любой элемент группы сопряженсо своим обратным.
Некоторое время было мало что известно о строении SR-групп. Соответствующий во-прос поставлен в [4, стр. 250-251]. С.П. Струнковым была сформулирована гипотеза отом, что SR-группы разрешимы (задача 11.94 из Коуровской тетради). Эта задача быларешена Л.С. Казариным, В.В. Янишевским и Е.И. Чанковым [5],[6]. Ими было также до-казано, что для разрешимости группы G достаточно и условия, что тензорные квадратыпредставлений имеют в своем разложении по неприводимым представлениям кратности,не превосходящие единицы (ASR-группы).
Возникает вопрос, как устроены конечные группы, у которых тензорные квадратынеприводимых представлений имеют небольшие кратности.
Определение 1. Конечная группа G называется SMm-группой1, если тензорный квад-рат любого неприводимого представления разлагается в сумму неприводимых представ-лений группы G с кратностями, не превосходящими m.
В работе полностью классифицированы все конечные простые SM2-группы. Оказалось,что все они содержатся среди групп L2(q) и их групп автоморфизмов. Более точно, дока-заны теоремы:
Теорема 1. Среди конечных простых неабелевых групп к SM2-группам относятся толь-ко группы L2(q), q = 2t, t > 2.
Теорема 2. Если G — конечная почти простая группа, принадлежащая классу SM2-групп, то L2(q) 6 G 6 PΓL2(q), для подходящих q. PGL2(q) — SM2-группа.
Доказательство теоремы 1 опирается на несколько лемм, в которых получены нера-венства, связывающие порядок SMm-группы, ее классовое число и степени неприводимыххарактеров. Если G — конечная SMm-группа, k(G) — ее классовое число, а χ ∈ Irr(G), то:
1) χ(1) 6 mk(G) 2) |G| 6 m2k(G)3 3) χ(1) 6 mk(G)−m, если G — неразрешима.С их помощью удалось оценить число m(G) показывающее, для каких r 6 m, G не
является SMr-группой. Для некоторых почти простых групп были получены точные зна-чения числа m в системе компьютерной алгебры GAP . Ниже приведены эти результаты.
Классические простые группы лиева типаm(Ln(q)) = m(Un(q)) = q(n−1)(n−2)/2/2 > 2, для 2 < n 6 6.m(Ln(q)) = m(Un(q)) = (qn/2−1/6)n−1 > 307, если n > 6.При n > 2 ни одна из почти простых групп для Ln(q) и Un(q) не является SM2-группой.m(Bn(q)) = m(Cn(q)) > 2, m(Aut(Bn(q))) = m(Aut(Cn(q))) > 2.
m(Dn(q)) = m(2Dn(q)) = (qn−1/6)n−1 > 2, m(Aut(Dn(q))) = m(Aut(2Dn(q))) = p9t
24t·63 > 3.
Исключительные простые группы лиева типаm(E6(q)) = q30/66 > 23014, m(Aut(E6(p
t)) > p30t/67t > 3835,
1 от Square multiplicity
1
m(2E6(q)) = q30/66 > 23014, m(Aut(2E6(pt)) > p30t/67t > 3835,
m(E7(q)) = q56/67 > 2, 57 · 1011, m(Aut(E7(pt))) > p56t−8/37t > 1, 28 · 1011,
m(E8(q)) = q112/68 > 3, 09 · 1027, m(Aut(E8(pt))) > p112t/68t > 3, 09 · 1027,
m(G2(q)) = q4/36 > 2, m(Aut(G2(pt))) > p4t/36t > 3,
m(2B2(22n+1)) > 22n+4/9 > 113, m(Aut(2B2(2
2n+1))) > 22n+4/9(2n+ 1) > 5,m(F4(q)) = q20/64 > 809, m(Aut(F4(p
t))) > p20t/64t > 809,m(3D4(q)) > q8/3 > 117, m(Aut(3D4(p
t))) > p8t/9t > 28,m(2G2(3
2n+1)) > 34n+3/4 > 546, m(Aut(2G2(32n+1))) > 34n+3/4(2n+ 1) > 20,
m(2F4(22n+1)) > 220n+12/7 > 6 · 108, m(Aut(2F4(2
2n+1))) > 220n+12/7(2n+ 1) > 2 · 108.
Спорадические группыM11∼= Aut(M11) — SM21, M12 — SM56, Aut(M12) — SM28, M22 — SM128, Aut(M22) — SM193,
M23∼= Aut(M23) — SM813, M24
∼= Aut(M24) — SM4576, J1∼= Aut(J1) — SM52, J2 — SM64,
Aut(J2) — SM75, J3 — SM579, Aut(J3) — SM576, J4∼= Aut(J4) — SM328524821,
Co1∼= Aut(Co1) — SM40380308, Co2
∼= Aut(Co2) — SM217302, Co3∼= Aut(Co3) — SM33436,
Fi22 — SM314914, Aut(Fi22) — SM157588, Fi23∼= Aut(Fi23) — SM42665245, Fi′24 — SM30229634167,
Aut(Fi′24) — SM27596421160, Suz — SM34364, Aut(Suz) — SM17199, He — SM3102,Aut(He) — SM1551, HS — SM737, Aut(HS) — SM371, McL — SM1251, Aut(McL) — SM5004,HN — SM743301, Aut(HN) — SM371658, Th ∼= Aut(Th) — SM76031447,B ∼= Aut(B) — SM1090623755084670, M ∼= Aut(M) — SM21458051228477513179513856, O′N — SM27808,Aut(O′N) — SM13904, Ru ∼= Aut(Ru) — SM11482, Ly ∼= Aut(Ly) — SM6916215.
Знакопеременные группыA5∼= L2(4) — SM2, A6 — SM3, A7 — SM17, A8 — SM16, A9 — SM55, A9 — SM99-группа.Для 10 < n < 30 можно использовать оценку: m(An) = χ0(1)/(k(An) − 1) > 77, где
χ0— характер максимальной степени группы An. Выпишем эту оценку в виде неравенства:m(An) > 2(5 log2 n−24)/30+7/15. Как несложно вычислить, m(An) > 2 при n > 29.Единственной почти простой группой для An будет группа Sn, за исключеним случаяn = 6, поэтому можно использовать оценку: m(Sn) > m(An)/2 > 2n(5 log2 n−24)/30−8/15.Как несложно увидеть m(Sn) > 2 при n > 33. Для 10 < n 6 33 оценим число m(Sn):m(Sn) > χ0(1)/k(Sn) = χ0(1)/p(n) > 41, где χ0 ∈ Irr(An) — характер максимальной степе-ни, а p(n) = k(Sn) — количество разбиений числа n.
Пусть 4 < n 6 10. Aut(A5) ∼= S5∼= PGL2(5) — SM2, S7 — SM7, S8 — SM17, S9 — SM28,
S10 — SM117-группа. Aut(A6) ∼= PΓL2(9) — SM4. Остальными почти простыми группамидля A6 будут группы: M10 — SM5, S6 — SM5, PGL2(9) — SM4-группа.
Список литературы1. Gorenstein, D. Finite groups / D. Gorenstein. — N.Y.: Harper and Row, 1968.2. Conway, J.H. Curtis, R.T. Norton, S.P. Parker, R.A. Wilson, R.A. Atlas of Finite Groups.Oxford: Clarendon Press, 1985. http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/3. Macdonald, I.G. Numbers of conjugacy classes in some finite classical groups / I.G. Macdonald.// Bull. Austral. Math. Soc., 1981. Vol. 23, 1. p. 23-48.4. Кострикин, А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры / А.И. Ко-стрикин. — М.: Физ.-мат. лит., 2000.5. Казарин, Л.С. Янишевский, В.В. О конечных просто приводимых группах / Л.С. Ка-зарин. Янишевский В.В. // Алгебра и анализ. 2007. т. 19, 6. С. 86-116.6. Казарин, Л.С. Чанков, Е.И. Конечные просто приводимые группы разрешимы / Л.С.Казарин. Чанков, Е.И. // Математический сборник. 2010. т. 201, 5. С. 27-40.
2
REPRESENTATION THEORY OF POLYADIC GROUPS
M. SHAHRYARI AND W. DUDEK
A non-empty set G together with an n-ary operation f : Gn → G is calledan n-ary group if the operation f is associative and for all x0, x1, . . . , xn ∈ Gand fixed i ∈ 1, . . . , n, there exists an element z ∈ G such that
f(xi−11 , z, xni+1) = x0.
Suppose that (G, f) is an n-ary group and A is a non-empty set. Wesay that (G, f) acts on A if for all x ∈ G and a ∈ A corresponds a uniqueelement x.a ∈ A such that
(i) f(xn1 ).a = x1.(x2.(x3. . . . .(xn.a)) . . .) for all x1, . . . , xn ∈ G,(ii) for all a ∈ A, there exists x ∈ G such that x.a = a,
(iii) the map a 7→ x.a is a bijection for all x ∈ G.
Suppose that an n-ary group G acts on a vector space V and we have
(1) x.(λv + u) = λx.v + x.u,(2) ∃p ∈ G ∀v ∈ V : p.v = v.
Then we call (V, p), or simply V, a G-module.The main aim of this article is to investigate the properties of these mod-
ules, with a special focus on ternary groups (the case n = 3). Note that, thisis not the first attempt to study representations of n-ary groups, however,our method seems to be the most natural generalization of the notion ofrepresentation from binary to n-ary groups.
Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Uni-versity of Tabriz, Tabriz, Iran
Institute of Mathematics and Computer Science, Wroc law University ofTechnology, Wybrzeze Wyspianskiego 27, 50-370 Wroc law, Poland
Date: June 29, 2010.MSC(2010): 20N15
Keywords: Polyadic groups, Representations, Retract of n-ary groups, Covering groups.
1
