FH D Fachhochschule Düsseldorf Maschinenbau und Verfahrenstechnik Strömungstechnische Grundbegriffe Frank Kameier Strömungsmechanik, HdT Essen, 05./06.03.2007

FH DFachhochschule DüsseldorfMaschinenbau und Verfahrenstechnik

Strömungstechnische Grundbegriffe

Frank Kameier Strömungsmechanik, HdT Essen, 05./06.03.2007

Professor Dr.-Ing. Frank Kameier

• Gleichungen zur Berechnung von Strömungen • Bewegungsgleichung • inkompressible und kompressible Strömungen • laminare und turbulente Strömungen • stationäre und instationäre Strömungen • Reibungseinfluss



Auftrieb und Bernoulli-Gleichung

Quelle: WDR, Quarks, 6/1999, http://www.quarks.de/fliegen2/00.htm

prinzip.AVI



Bernoulli-Gleichung

1-dimensionale Stromfadentheorie

mechanische Energiebilanz

.constKp

zg2

c2

gültig nur für

inkompressible Medien

stationäre Strömungen

reibungsfreie Strömungen

im Schwerefeld der Erde

2

2

s

m2

2

s

m2

2

s

m



Beispiel: Prandtlsches Staurohr

2

cp

2

cp 222

211

0

31 ppp

121

pp2c

2 =Staupunkt (c=0)



Stromlinienkrümmung - radiale Druckgleichung

Quelle: WDR, Quarks, 6/1999, http://www.quarks.de/fliegen2/00.htm

r

p

p

p

R

c

r

p 2

prinzip.AVI



Berechnung von Strömungen

Gleichungen

Unbekannte

Axiome

Gültigkeit

Differentialgleichungen



• Massenerhaltung

• Impulserhaltung

• Erhaltung des Drehimpulses

• Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik).



Kontinuitätsgleichung - Massenerhaltungssatz 0cdivDt

D

0z

c

y

c

x

c

t321

0x

c

xc

t i

i

ii

0cxt i

i

0z

c

y

c

x

c

tzyx

0z

w

y

v

x

u

t

w

v

u

c

c

c

c

3

2

1

)t,x(cc

)t,x(

Strömungsgeschwindigkeit

Dichte

TRp

ideale Gasgleichung



lokale und konvektive Beschleunigung - Ableitungen nach der Zeit

.constxt

x,tft

tfdt

d

.constTeilchenDt

Dx,tf

Dt

D

cgradct

c

Dt

cD

lokale Beschleunigung konvektive Beschleunigung

substantielle Beschleunigung

= nicht linear



konvektive Beschleunigung

21 21

lokale Beschleunigung

t

c i

j

ij x

cc

nicht linear



einseitige Verengung

Incomp_fluid_element.mpg

Multi-Media Fluid Mechanics, Cambridge 2000



Gleichungen zur Berechnung von Strömungen

Axiom materiell materiell (physikalisch) nur für die Herleitung

differentiell (inkompressibel) auswendig

Stromfaden (stationär) auswendig

Massen- erhaltung

Die zeitliche Änderung der Masse in einem

materiellen Volumen ist null.

d

dtx t

V

( , )dV~ 0

0cdiv

0AcAc 111222

Impuls- erhaltung

Die zeitliche Änderung des Impulses in einem materiellen Volumen ist gleich den von aussen angreifenden Kräften.

d

dtcdV f dV dA

V

~ cpgradf

Dt

cD .constK

pzg

2

c2

Energie- erhaltung

Die zeitliche Änderung der Energie in einem

materiellen Volumen ist gleich der durch die

äußeren Kräfte zugeführten Leistung.

AdqdVwdAc

dVfcdV2

cu

dt

d

V~

2

h

cgz const

2

2.

spezifische Enthalpie dh=cp dT [m^2/s^2]

Energie =Arbeit = [J]=[Nm]=[Ws]=[kg m^2/s^2]

spezifisch = auf die Masse bezogen



Kompressible Strömungen1

1

21

1

00 Ma2

11

T

T

aus den Isentropenbeziehungen,

vgl. Schade/Kunz (1989)

kompressibel_inkompressibel081102_lösung.xls

kappa 1.4 LuftT 293 °CR 287 J/Kg Ka 343 m/s Schallgeschwindigkeit

[m/s] [km/h] [kg/m^3] [kg/m^3] [%]c_ms c_kmh Ma rho_0 rho rho_0-rho/rho

10 36 0.03 1.2 1.199 0.030 108 0.09 1.2 1.195 0.450 180 0.15 1.2 1.187 1.1

100 360 0.29 1.2 1.151 4.3150 540 0.44 1.2 1.093 9.8

1

1

21

1

00 M a2

11

T

T



Temperaturerhöhung in Folge einer Druckänderung (kompressible Strömung, Ventilator)

isentrope_temperaturerhoehung160403.xls

1. Berechnen Sie die isentrope Temperaturerhöhung bei einer Druckänderung von1000 Pa2000 Pa5000 Pa10000 Pa.

isentrope Relation T2=T1((p1/p2) (̂(kappa-1)/kappa))[°C] [°C]

p_0 delta_p T_0 delta_T100000 1000 20 0.83459708100000 2000 20 1.66331247100000 5000 20 4.11514074100000 10000 20 8.09259493

(T_0+273,15)/((p_0/(delta_p+p_0)) (̂(1,4-1)/1,4))-T_0-273,15



laminare und turbulente Strömung (Reynoldscher Farbfadenversuch)

Quelle: Liggett, Caughey, Fluid Mechanics - An Interactive Text, ASME 1998

laminar

periodisch(instabil)

turbulent

Re<2000

(bis zu 40000)

Re2300

Re>2300

Reynolds.AVI



laminare und turbulente Strömung (Reynoldscher Farbfadenversuch)

Quelle: Liggett, Caughey, Fluid Mechanics - An Interactive Text, ASME 1998



Reynoldszahl

Dc

Rec = charakteristische GeschwindigkeitD= charakteristischer Durchmesser = kinematische Zähigkeit

laminares und turbulentes Rohrströmungsprofil

-0.5 0 0.50

0.5

1

1.5

2

U~r1/7

U~r2



Übergang – laminar / turbulent Re 3000

Re2320_110403.xls



laminares und turbulentes Rohrströmungsprofil

0

5

10

15

20

25

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

r [m]

c [m

/s]

laminar

1/6 Potenz

1/7 Potenz

1/8 Potenz

1/9 Potenz

1/10 Potenz

laminar 1/6 Pot. 1/7 Pot. 1/8 Pot. 1/9 Pot. 1/10 Pot.c_mittel 10 15,49 15,96 16,32 16,61 16,85 [m/s]c_max/c_mittel 2 1,29 1,25 1,23 1,20 1,19Radius_c_mittel 0,177 0,196 0,199 0,201 0,203 0,205 [m]relativer Radius 0,707 0,784 0,794 0,804 0,812 0,820

rohrströmungsprofile070403.xls



Rohrströmungsprofile bei konstantem Volumenstrom



F lu idene rg ie -m asch inen

W ass er-tu rb in en

P u m p en V en tila to ren W in d k ra ft-an lag en

h yd rau lis ch e S trö m u n g s m as ch in en

in kom p ress ib le S trö m u n g enM a< 0 .3

in L u ft c< 1 0 0 m /sin W ass er p < 1 0 0 b ar, T< 5 0 °C

H och d ru ck -verd ic h te r

D am p f- u n d G as -tu rb in en

th e rm is c h e S trö m u n g s m as c h in en

k om p res s ib le S trö m u n g enM a> 0 .3

in L u ft c> 1 0 0 m /sin W ass er p > 1 0 0 b ar, T> 5 0 °C

s trö m en d e F lu id e

Klassifizierung von Strömungsmaschinen

Kompressible und inkompresible Strömungen



Reibungsbehaftete Strömungen - Grenzschichtgedanke

<< L

cpgradfDt

cD

pgradfDt

cD

Navier-Stokes-Gl.

Eulersche Bewegungsgl.



Schematische Darstellung einer Plattengrenzschicht, Korschelt/Lackmann (1995).

Laminare und turbulente Grenzschichten



Grenzschicht – Variation der Viskosität

Quelle: Multi-Media Fluid Mechanics, Cambridge 2000

(z.B. Luft)

(z.B. Wasser)

2_03015.mpg



Grenzschicht


2_02005.mpg



Grenzschicht


2_01005.mpg



Grenzschicht


1_02032.mpg



laminare und turbulente Grenzschicht (Kugel)


baseballcombo.mpg spehredragcombo2.mpg



Strömungstechnik - anschaulich



Strömungstechnik - anschaulich

Moin, P., Kim, J., Modellieren von Turbulenz, Spektrum der Wissenschaft Dossier Software, 2/1999



Kalkül wird aufwendig für die Berechnung mehrdimensionaler instationärer Strömungen

mitAbhängigkeit

der Geschwindigkeit c

vont, x, y

0t

Zylinder2.AVI



Wirbelschleppen - instationäre und turbulente Strömungen

Quellen: WDR, Quarks, 6/1999, http://www.quarks.de/fliegen2/00.htmM.Schober, http://obiwan.pi.tu-berlin.de/M.Schober/wjallcases/acoustic.mpeg

martin_schober_akustische_beeinfluss.mpe



t [s]

b[V]

T

0

dt)t(bT

1:b

bbb Momentanwert=Mittelwert + Schwankungsgröße [ V ] [VDC] [VAC]

Instationäre Aerodynamik zeitliche Schwankungsgrößen



zeitliche Schwankungsgrößen

bbb

0ba

0bA

0b

0b2

allgemeine Rechenregeln



Beispiel: Prandtlsches Staurohr in turbulenter Strömung

2

cp

2

cp 222

211

ccc ppp

0

31 ppp 2

112

1 cpp

2c



Reynoldsgleichung

Impulssatz für inkompressible newtonsche Fluide(Navier-Stokes-Gleichung) cpgradf

Dt

cD

ccc ppp Mittelwerte und Schwankungsgrößen

2j

i2

2j

i2

iii

j

ij

j

ij

j

ij

j

ij

ii

x

c

x

c

x

p1

x

p1f

x

cc

x

cc

x

cc

x

cc

t

c

t

c



Reynoldsgleichung

„turbulente“ Zähigkeit Turbulenzmodelle etc.

zeitliche Mittelung der Gleichung

2j

i2

2j

i2

iii

j

ij

j

ij

j

ij

j

ij

ii

x

c

x

c

x

p1

x

p1f

x

cc

x

cc

x

cc

x

cc

t

c

t

c

0 0 0 0 0

2j

i2

ii

j

ij

j

ij

i

x

c

x

p1f

x

cc

x

cc

t

c

Konti-Gl. und Produktregel rückwärts

nicht lineare partielle Differentialgleichung mit Orts- und Zeitabhängigkeit



Wie viele Gleichungen stehen zur Berechnung von inkompressiblen 3-D Strömungen zur Verfügung, welche physikalischen Axiome stecken hinter diesen Gleichungen und welches sind die unbekannten Größen?

Feedback

Druck (Skalar) Geschwindigkeit (Vektor) = 4 Unbekannte

Navier-Stokes-Gleichung (Impulserhaltung) = 3 GleichungenKontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) = 1 Gleichung

Kompressibel: Temperatur (Enthalpie) = 1 weitere UnbekannteEnergieerhaltung (1. Hauptsatz der = 1 Gleichung Thermodynamik)



Gültigkeiten der Gleichungen:

Navier-Stokes-Gleichung: - newtonsche Fluide- 3-D-Strömungen- stationäre oder instationäre Strömungen- inkompressible oder (kompressible) Fluide- reibungsbehaftete (oder reibungsfreie, s. Eulersche Bewegungsgleichung) Fluide

cpgradfDt

cD

pgradfDt

cD

Eulersche Bewegungsgleichung: - newtonsche Fluide- stationäre oder instationäre Strömungen- 3-D-Strömungen- inkompressible oder kompressible Fluide- reibungsfreie Fluide



22

22

11

21 zg

p

2

czg

p

2

c

Bernoulli-Gleichung: - newtonsche Fluide- stationäre Strömungen- inkompressible Fluide- reibungsfreie Fluide- für einen Stromfaden (1-D-Strömung)

Kontiniutätsgleichung: - stationäre Strömungen- inkompressible oder kompressible Fluide- reibungsbehaftete oder reibungsfreie Fluide- für einen Stromfaden (1-D-Strömung) 2211

21

222111

VV

mm

AcAc



D i e N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g :

cpgradfDt

cD

Rei

bung

ster

m

O b e r f l ä c h e n k r ä f t e

Vol

umen

kraf

t

Trä

ghei

tste

rn /

Impu

lsän

deru

ng

N a v i e r - S t o k e s - G l e i c h u n g

E u l e r s c h e B e w e g u n g s g l e i c h u n g

g

0

0

f



Veraltetes Berechnungskonzept

Vgl. Schönung, 1990



Literatur

Brüning, Dreifert, Grünewald, Raabe, Yogeshwar: Faszination Fliegenhttp://www.quarks.de/fliegen2/00.htm

Kameier: Vorlesungsskript Strömungsmaschinen, FH Düsseldorf 1999,http://ifs.muv.fh-duesseldorf.de

Kameier, Reinartz: Vorlesungsskript Strömungsakustik, FH Düsseldorf 2001http://ifs.muv.fh-duesseldorf.de

Liggett, Caughey: Fluid Mechanics - an interactive text, Reston, Va. : ASCE Press, 1998

Homsy, George M.: Multi-media fluid mechanics, Cambridge University Press, 2000

Schade,Kunz: Strömungslehre, de Gruyter, 1989

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