Fibrado Cotangente y La Forma de Liouville Cochabamba Bolivia

7/21/2019 Fibrado Cotangente y La Forma de Liouville Cochabamba Bolivia

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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville

Samuel Tomas M.

Universidad Mayor de San Simon, UMSSVIII Jornadas Matematicas

noviembre 2012

Samuel Tomas M. Universidad Mayor de San Simon, UMSS VIII Jornadas Matematicas


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Teorema

El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una

estructura natural de una variedad symplectic

1 Que es una Variedad Diferencial

2 Que es una forma diferencial

3 Que es una variedad Symplectic

4

Que es un Fibrado Cotangente



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Teorema






4




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Teorema






4


Samuel Tomas M. Universidad Mayor de San Simon, UMSS VIII Jornadas MatematicasFibrado Cotangente y Forma de Liouville

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Teorema






4



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Teorema






4



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Prueba

1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α

2

Sea π : T ∗

X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX

Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX

donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido

αη(v) = η(dπη(v))

4 por mostrar que α es suave

5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas

sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn

coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces

6

α p(v) = ξ ((dπ p)v)


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Prueba


2

Sea π : T ∗









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Prueba


2

Sea π : T ∗









6



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Prueba


2

Sea π : T ∗









6



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Prueba


2

Sea π : T ∗









6



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Prueba


2

Sea π : T ∗









6



Fib d t t f d Li ill

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Fibrado cotangente y forma de LiouvilleResumen

Prueba

1

α p = (

n

i=1

ξ idxi)dπ =

n

i=1

ξ id(xioπ)

2 abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces

α =

ξ idxi

por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave.

notese que dα =

dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y

cerrada asi ω = −dα

y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente

T ∗X .


Fib d t t f d Li ill

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Fibrado cotangente y forma de LiouvilleResumen

Prueba

1

α p = (

n

i=1

ξ idxi)dπ =

n

i=1

ξ id(xioπ)

2 abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces

α =

ξ idxi

por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave.

notese que dα =

dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y

cerrada asi ω = −dα

y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente

T ∗X .


symplectic manifold

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symplectic manifold

Definición

Una variedad symplectic es un par (M, ω) donde M es una

variedad suave, y ω es una form symplectic

vamos a definir lo que es una variedad, y una form symplectic


symplectic manifold

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symplectic manifold

Definición

Una variedad symplectic es un par (M, ω) donde M es una

variedad suave, y ω es una form symplectic

vamos a definir lo que es una variedad, y una form symplectic


Variedades diferenciales

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Definición

Una variedad diferenciable de clase C ∞

es un par (M,

), que consiste en un espacio topológico M y una estructura diferenciable

de clase C ∞

Figure : skdjksdjnksjd



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Definición


es un par (M,


de clase C ∞




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Definición


es un par (M,


de clase C ∞



estructura diferenciable

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Definición

Una carta o sistema de coordenadas m-dimensional en M es un par

(U, ϕ), donde U ⊂ M es un conjunto abierto y ϕ : U −→ m es

un homeomorfismo de U sobre el subconjunto abierto ϕ(U ) ⊂ m

Definición

Un atlas m−dimensional de clase C r, r ≥ 1 sobre un espacio

topológico M es una colección A = {(U i, ϕi) : i ∈ Λ} de cartas de

M , Donde Λ conjunto de indices tales que:



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Definición

Una carta o sistema de coordenadas m-dimensional en M es un par

(U, ϕ), donde U ⊂ M es un conjunto abierto y ϕ : U −→ m es

un homeomorfismo de U sobre el subconjunto abierto ϕ(U ) ⊂ m

Definición

Un atlas m−dimensional de clase C r, r ≥ 1 sobre un espacio

topológico M es una colección A = {(U i, ϕi) : i ∈ Λ} de cartas de

M , Donde Λ conjunto de indices tales que:



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1 M = ∪i∈ΛU i2 Si U i ∩ U j = ∅,entonces el cambio de coordenadas

ϕ j ◦ ϕ−1i : ϕi(U i ∩ U j) ⊂ n −→ ϕ j(U i ∩ U j) ⊂ m

es un difeomorfismo de C r entre los abiertos ϕi(U i ∩ U j) y

ϕ j(U i ∩ U j) de n




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1 M = ∪i∈ΛU i2 Si U i ∩ U j = ∅,entonces el cambio de coordenadas

ϕ j ◦ ϕ−1i : ϕi(U i ∩ U j) ⊂ n −→ ϕ j(U i ∩ U j) ⊂ m

es un difeomorfismo de C r entre los abiertos ϕi(U i ∩ U j) y

ϕ j(U i ∩ U j) de n



formas diferenciales

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o as d e e c a es

Teorema

Una k−form diferencial en

n

k ≥ 1 es una aplicación ω que acada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde

w( p) =

i1<i2...<inai1 ...ik( p)(dxi1 ∧ ... ∧ dxik)

Definición

una forma symplectic es una 2− form, cerrada y no degenerate.

entonces una 2− form es una aplicación tal que

ω =

i<j ai,jdxi ∧ dx j Se dira que es una 2− form cerrada, si la

derivada exterior de ω es cero es decir dω = 0

Definición

Sea V un espacio vectorial, sea ω ∈ Λ2V ∗ es no degenerate, si para

cada v ∈ V ω(u, v) = 0 pata todo u ∈ V entonces v = 0



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Teorema


n


w( p) =


Definición



ω =



Definición





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Teorema


n


w( p) =


Definición



ω =



Definición





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Teorema

Una k−

form diferencial en

n

k ≥ 1 es una aplicación

ω que a

cada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde

w( p) =


Definición



ω =



Definición




Fibrado Cotangente y forma de Liouville

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g y

Definición

El fibrado tangente de una variedad es la union disjunta de todos

los espacios tangentes T M = p∈M T pM

Figure : fibrado tangente

DefiniciónSe llama espacio cotangente a M en un punto p ∈ M , al espacio

vectorial T ∗ p M dual del espacio tangente T pM

T ∗ p M = {ω : T pM → | ω, lineal}



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Definición

El fibrado tangente de una variedad es la union disjunta de todos

los espacios tangentes T M = p∈M T pM

Figure : fibrado tangente

DefiniciónSe llama espacio cotangente a M en un punto p ∈ M , al espacio

vectorial T ∗ p M dual del espacio tangente T pM

T ∗ p M = {ω : T pM → | ω, lineal}



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Tenemos proyeccion natural

Figure : proyección natural

Definición

El Fibrado Cotangente es (T ∗M , π , M ) donde T ∗M = p∈M T ∗ p M

y π es la proyección natural de T ∗M en M y M una variedad

Y ahora hayque dotar de una estructura de variedad diferencial que

es justamente la demostración del teorema a analizar.Samuel Tomas M. Universidad Mayor de San Simon, UMSS VIII Jornadas MatematicasFibrado Cotangente y Forma de Liouville

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2

Sea π : T ∗










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2

Sea π : T ∗










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2

Sea π : T ∗










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2

Sea π : T ∗










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2

Sea π : T ∗










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α p = (

n

i=1

ξ idxi)dπ =

n

i=1

ξ id(xioπ)

abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces

α =

ξ idxi

por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave. notese

que dα =

dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y cerrada asi

ω = −dα

y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente T ∗X .


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Eso es todo


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