情報数学（第12回）

グラフ理論⼊⾨

先週の復習離散グラフのその諸概念・無向グラフ、有向グラフ、多重グラフ、重みつきグラフ・部分グラフ、同型グラフ・節点の次数・径路、⼩道、順路、閉路と単純閉路・無向グラフの連結性、節点間の距離、グラフの直径・切断点と橋・有向グラフの強連結と弱連結・完全グラフ、正則グラフ、2部グラフ、

完全2部グラフ、無向⽊・補グラフ、⾃⼰補グラフ・グラフの隣接⾏列

まずは、⼩⼿調べ教科書p.165■演習問題10

次のことを証明せよ1. 無向グラフで、すべての節点の次数の和は、辺の数の2倍に

等しい∵ 各辺は2つの節点を結んでおり、辺⼀つにつきそれら2つ

の節点の次数として1ずつ数えられることになるため

2. 無向グラフで、奇節点の数は偶数個（0個を含む）である∵ 1.よりすべての節点の次数の和が偶数になるため

3. 有向グラフにおいて、すべての節点の⼊次数の総和は出次数の総和と等しい

∵ 各辺は1つの始節点と1つの終節点をもち、辺⼀つについて始節点の出次数1、終節点の⼊次数1として数えられるため

Wikipediaより

ケーニヒスベルクを流れるプレーゲル川には、市の中⼼地で⼤聖堂の建っている中州クナイプホーフ島ともう⼀つの⼤きな中洲があり、それらを中⼼に両岸へ以下のように7つの橋が架かっている。この7つの橋を各1度ずつ通って、元の場所に戻ってくることができるかどうか? ただし、同じ橋を2度以上通ってはならない。

ケーニヒスベルクの橋

多重無向グラフによるモデル化

オイラーグラフ教科書p. 161■オイラーグラフ

連結（多重）無向グラフで、すべての辺を通る⼩道を周遊可能⼩道といい、そのような⼩道を持つグラフを周遊可能グラフという。特に、周遊可能⼩道が閉路になっている場合、オイラー閉路（Euler circuit）といい、そのような閉路を持つグラフをオイラーグラフ（Euler graph）という。

オイラーの定理連結（多重）無向グラフ は、すべての節点が偶節点

（次数が偶数）であるときかつそのときのみ、 オイラーグラフである。

⼀筆書き

1回だけ

必要⼗分条件

オイラーの定理の必要性の証明

をオイラーグラフとし，そのオイラー閉路を とする

任意の節点 を考える。はオイラー閉路なので、 中の辺をそれぞれ1回ずつ含んでい

るので、 に接続された辺もそれぞれ に1回ずつ含まれるので、 に現れる に接続された辺の数は の次数に⼀致する。

は閉路なので、 中で に⼊る辺の数と、 から出る辺の数は等しく、それらの和、すなわち に現れる に接続された辺の数は偶数となる。

必要性： オイラーグラフ ⇒ すべてが節点の次数が偶数

教科書p. 162■オイラーの定理の証明

以下によりオイラー閉路を（再帰的に）構成できる(1) ⼩道の閉路 を構成 「次数が偶数」なので、どの節点か

ら出発しても必ず閉路は⾒つかる(2) がすべての辺を通るならば終了(3) そうでなければ から を除いたグラフ 1もすべてが節点

の次数が偶数で、 と は少なくとも⼀つの節点 を共有(4) 1中の を含む⼩道の閉路 ’をみつけ、 とつなげたものを

新たな として(2)へ

⼗分性：すべてが節点の次数が偶数 ⇒ オイラーグラフ

1

教科書p. 162■オイラーの定理の証明

オイラーの定理の⼗分性の証明

’

オイラー閉路の再帰的構成例教科書p. 162■オイラーの定理の証明

オイラー閉路の再帰的構成例教科書p. 162■オイラーの定理の証明

オイラー閉路の再帰的構成例教科書p. 162■オイラーの定理の証明

オイラー閉路の再帰的構成例教科書p. 162■オイラーの定理の証明

クイズ教科書p. 161■オイラーグラフ

有向グラフの場合、オイラーグラフである（すべての有向辺を通る有向⼩道としての閉路をもつ）ための条件はどうなるか

p.165 演習12でした

周遊可能グラフ教科書p. 161■オイラーグラフ

（多重）無向グラフ が周遊可能グラフであるための必要⼗分条件は、 が連結で、奇節点が2個以下（0または2）であることである。

奇節点が⼀筆書きの始点と終点

ハミルトングラフ教科書p. 163■ハミルトン閉路

（多重）無向グラフで、すべての節点を通る順路の閉路をハミルトン閉路（Hamilton circuit）といい、そのような閉路を持つグラフをハミルトングラフ（Hamilton graph）という

ハミルトングラフ ⾮ハミルトングラフ

与えられたグラフがハミルトングラフかどうかを判定する効率的なアルゴリズムは存在しないと考えられている

であることの確認は容易で無い

平⾯グラフ教科書p. 163■まとめ？

平⾯上に⼆つの辺が交差することなく描画することができるグラフを平⾯グラフ（planar graph）という。

平⾯グラフ ⾮平⾯グラフ,

平⾯グラフ教科書p. 163■まとめ？

平⾯上に⼆つの辺が交差することなく描画することができるグラフを平⾯グラフ（planar graph）という。

平⾯グラフ ⾮平⾯グラフ,

であることの証明は?

平⾯グラフ教科書p. 163■まとめ？

・残りの5本は五⾓形の内側か外側・外側、内側とも交差せずには

最⼤2本しか引けない

・残りの3本は六⾓形の内側か外側・外側、内側とも交差せずには

最⼤1本しか引けない

の⾮平⾯性

, の⾮平⾯性

から辺を1つ除去すると平⾯グラフ

, から辺を1つ除去すると平⾯グラフ

平⾯グラフ教科書p. 163■まとめ？

平⾯上に⼆つの辺が交差することなく描画することができるグラフを平⾯グラフ（planar graph）という。

平⾯グラフ ⾮平⾯グラフすべての⾮平⾯グラフは もしくは , と本質的に同様な構造を持つ部分グラフを持つ

,

無向⽊

A

B

C

D E F

H

G

C

D E

分岐節点（次数2以上）

端点（次数1）A

B

F

H

G

教科書p. 170■⽊

無向⽊の定義4種, が⽊であるとは

(A) 中の任意の2節点間に順路（径路）がただ⼀つ存在する

(B) は連結かつ無閉路

(C) は連結かつ 1

(D) は無閉路かつ 1

教科書p. 170側注

無向⽊の定義4種の同値性⇒ : 任意の2節点間に順路がただ⼀つ存在⇒連結∧無閉路

(連結∧無閉路) 連結 ∨ 無閉路 （ドモルガン）

が連結でないとすると、順路の存在しない節点対が存在することとなり、が閉路を持つとすると、2つ以上の順路をもつ節点対が存在す

ることとなり、いずれの場合も、任意の2節点間に順路がただ⼀つ存在することに反する。

Q.E.D.

教科書p. 170側注

対偶「 ⇒ 」を⽰すことを考える

無向⽊の定義4種の同値性（続き）(B)⇒(C): , が連結、無閉路 ⇒ 1

| | 1のとき ∅なので成⽴| ′| なる任意の連結無閉路なグラフ ′ ′, ′ について、

′ 1が成り⽴つとする1なる連結無閉路なグラフ , を考える

には閉路がないので最⻑順路の始点（ とする）の次数は1から とそれに接続する(唯⼀の)辺を除いた ’ , を考え

ると、 ′は連結無閉路かつ 、さらに、帰納法の仮定より1なので、

1 1となる以上より任意の節点数 について題意が成⽴する。

Q.E.D.

数（⾃然数）の話になるので数学的帰納法を使うことを考える

教科書p. 170側注

無向⽊の定義4種の同値性（続き）(C)⇒(D): 1かつ連結⇒無閉路

, が 1かつ連結で閉路をもつと仮定する（背理法の仮定）

このとき、 中の閉路上の辺を⼀つ除去した , は連結であり、 2である

同様の操作を , が無閉路になるまで続けると（ 1）は連結無閉路で 1 となる

直前に⽰した「連結無閉路⇒ 1」に反する

すなわち当初の仮定が誤っており、 , が 1かつ連結であれば、 は閉路を持たない Q.E.D.

背理法による証明

教科書p. 170側注

無向⽊の定義4種の同値性（続き）(D)⇒(A): , が無閉路かつ 1なら、

任意の節点間に順路がちょうど⼀つ

ある2つの節点間に順路がない、すなわち が⾮連結と仮定する（背理法の仮定）

このとき は （ 2）個の連結成分 1, … , , に

分割でき、 , はそれぞれ , 1 の直和になる既に⽰した「(B)⇒(C)」より 1であることと ,

がそれぞれ , の直和であることより、 2ということになり、 1という前提に⽭盾する

すなわち、ある2つの節点間に順路がないとの仮定が誤りでのすべての節点間にちょうど⼀つ順路が存在することになる

Q.E.D

(remark) は閉路を持たないので、任意の節点間の順路は⾼々⼀つ(0か1)

教科書p. 170側注

全域⽊教科書p. 175■グラフの探索と探索⽊

連結グラフ , の部分グラフ ′, が のすべての節点を含む（すなわち ）⽊であるとき、 は

の全域⽊（spanning tree）であるという

, , ′

最⼩全域⽊とクルスカルのアルゴリズム教科書p. 178■最適探索

重み付き連結グラフの全域⽊で、構成する辺の重みの和が最⼩のものを最⼩全域⽊（minimum spanning tree）という

, , ′

中の辺を重みの⼩さい順に、閉路ができない範囲で ′ に加えていき、全域⽊が得られたら、それが最⼩全域⽊

1

66

12

4

1

2

5 4

263

2

4

1 11

4

22

3

貪欲法

今⽇のまとめ・オイラーグラフとオイラーの定理

無向グラフ：すべての節点が偶節点ならオイラーグラフ有向グラフ：すべての節点が⼊次数＝出次数

・ハミルトングラフ判定が容易ではない

・平⾯グラフと , は⾮平⾯グラフ

・無向⽊の定義4種と、それらの同値性「任意の2節点間に順路（径路）がただ⼀つ存在」「連結」、「無閉路」、「 1」のうち任意の⼆つ

・全域⽊、最⼩全域⽊とクルスカルのアルゴリズム（貪欲法）