FICHA Nº1 EXP-LOG

8/6/2019 FICHA N1 EXP-LOG

1/21

FICHA N 5 PG. 1FUNO EXPONENCIAL E LOGARITMICA

EQUAES EXPONENCIAIS

1 Resolve , em R , as seguintes equaes :

a) 9 x = 1x3 +

b) 3 1x4 + = x2

c) 2 1x+ =2

1

d) 8 2x

= 4 1x+

e) 2 x2x = 64

f) 4 x - 3 . 2 x = 4

g) 0,0002 = 1x210

2

h) 3 x + 45 . 3 x = 14

i) 3 1x+ - 9 x = 0

j) 2 1x2 + = 16

k) 32x1 =

81

1

l) 2 3204 1x3x =+ ++

m) 9x+ 3 = 32x+5

n) ex + 4e-x 5 = 0

o) 4x. 5x-1 = 1600

p) ( 43-x)2-x = 1

q) 2x+2 = 0,52x-1

r) 3x + 31-x = 4

s) 23x+2 + 3 . 26x+2 = 16

t) e2x = e4

u) e2x 2 . ex+1 + e2 = 0

v) e2x (e+1) ex + e = 0

w) 2x = 16

x)x2

3

1

= 27

y) 32x = 81

z)x

5

1

= 125


2/21


aa) 82x-1 = 4x . 128

bb) 1 + 4ex = 0

cc) ex 5 + e-x = 0

dd) e2x 6 . ex + 5 = 0

ee) ex e-x = 8

ff) 5 x + 1 = 5 3x + 6

gg) 9 . 3x = 729

hh) 0.5 x + 1 = 2 x + 3

ii)16

1= 2 1 x

jj) 4 x 6 . 2x + 5 = 0

kk) 3 x + 3 x + 1 4 = 0

ll) 2 x 5 . 2- x + 4 . 2- 3x = 0

mm) 5 x + 5 1 x = 6

nn) 2 |x + 1| . 16 = 4 x + 2

INEQUAES EXPONENCIAIS

2 - Resolve , em R , as seguintes inequaes :

a) x

3

1

< 9

b) 0,25 0,5 x

c) 2 1x+ + 8 . 2 x < 17

d) x . 10x + 5 . 10x > 0

e) 35x < 320

f)5x

2

1+

2020 218

j) 4x + 2x+1 + 2x 2 > 0

k)|1x|

3

1+

|1x2|

3

1

. 23

l) e x 19 + 30 e- x 0


3/21


n) 0.5 x + 3 > 0.5 x 1

0.5 x 5 0.5 x 2

LOGARITMOS

3 Calcula sem recorrer calculadora :

a) log 5 5 + 3 log 4 0,25

b)2

2log 32

c) 37log22 3

d) ln (2e) + 3 ln (e2 ) + ln (0,5)

e))100000(log

)001,0(log)1000(log

10

1010

f) log 24 . log 42

4 Representa na forma log a2 cada uma das expresses :

a) 3 + log 32

b) log )3(log)15( 24

c)3

)5(log2 2

d) )81(log 3

5 Calcula :

a) log 4 16 + log 3 1 + log 8 (1/8)

b) log 4 + log 3 243 + log 216 6

c) log 8 + log 1/3 (1/9) + log 4 2

EQUAES LOGARITMICAS

6 Resolve , em R , as seguintes equaes :

a) log 2 (2x) = 4

b) log x (36) = 2

c) log x-1 4 = 2


4/21


d) (ex 4e-x ) [ ln (2x 3) ] = 0

e) ln (9x 3) = ln (3x 1) + ln (x2 6)

f) log 2 (2x -1) = 8

g) log 5 (x2 ) = 6

h) ln (2x 1) = ln 6

i) log x (7) = 5log 5 log x (x3 ) + 6log (36) + 3log

3

1

j) ex . ln x 3 ex ln x + 3 = 0

k)3

1log (x2 4) 3

1log (x 2) = -1

l) log x + 1 ( 1x 2 + ) =

m) log 2 (x + 1) + log 2 (x 1) = 3

n) x log 3 (1 + x) = x

o) 2 ln (x) + ln (x 2)2 = 0

p) 2 ln x = ln 2 + ln (2+ 2 ) + ln (2+ 22+ ) + ln ( 2 - 22+ )

q) ln (x2 1) = ln (4x 1) - 2 ln 2

r) ln [ (3x 1) . ex ] = x + ln (x + 1)

s) ln (x5) =2

5

t) log 27 (3) = x

u) 2 log 2 + log (x2 1) log (4x 1) = 0

v) 2 log 10 x log 10 16 = log 10

2

x

w) (x2 3) . ln (3x) = 0

x) 2 + ln e2x = 0

y) ln (x e) + ln (x 4e) = ln 4 + 2

z) 2 log (x + 3) = log (1 3x)

aa) log 5 (25 x +6) = x + 1

bb) log x 10 - log x 100 = 3

cc) log 4)3x(2 =

dd) log 0)4x(log)x2( 233 =+

INEQUAES LOGARITMICAS

7 Resolve as seguintes inequaes :


5/21


a) log xlog3)1x2( 22 >

b) 2ln)xx2ln( 2 0

d) 221log (1 x)

21log (x + 3)

e) 2 ln (x 1) ln (x + 1) 0

f) log 2 x + log 4 x < log 2 (2x2)

g) ( log3 x)2 log 3 x - 2 0

h) 2 . log 2 (3 x) < log 2 (x + 1) + log 2 (x 2)

i) log 1/3 (16 x2) > log 1/3 (x2 2)

j) log 2 log |x| log (x)k) 2 log (x + 3) = log (1 3x)

l) 2 log x log (x + 3) < log (x + 5)

m) log (2e x) + 2 log (x + e) 3 + 2 log 2

n) log 2 (x + 1) log 2 (4x + 1) 0

o) log 3 (x - 2) > 1 + log 3 (x + 3)

p) log 4 (x + 5) > log 2 (2x + 1)

q) xlog 2 4 < 0

r) e x 2 0ln x 1

s) log x 19 < -xlog

30

ESTUDO DUMA FUNO

8 Caracteriza a inversa , se existir :

a) f (x) = 21 x

b) g (x) = 1 + log (x 3)

c) h (x) = - 3 . 2 x

9 Calcula o domnio, contradomnio, zeros e funo inversa das seguintes funes :

a) a (x) = -1 + e1 2x

b) b (x) = 3 3e3x

c) e (x) = 2 2e1 x


6/21


d) f (x) = -2 + 32x 1

e) g (x) = 2 + log 3 (x + 1)

f) h(x) = log 2 (9 x2)

g) i (x) = 2 3x + 5

h) j (x) = 3/2 log (x + 1)

i) k (x) = 1 log (4x 1)

j) l (x) = 1 + e4x4

k) m (x) = log 2 (9x2 6x +1)

l) n (x) = log (3 x2)

m) o (x) = 2 + log (x 3)

n) p (x) = 2 log 5 (x 3)

o) q (x) = ex + 4

p) r (x) = 3 log (x + 2)

q) s (x) = - log (2x 1)

r) t (x) = 1 2e2 x

s) u (x) = 1 + 22 3x

t) v (x) = log (log x)

u) w (x) = log (4x2 4x + 1)

PROBLEMAS

10 O modelo Count uma frmula usada para predizer a altura de uma criana

em idade pr-escolar. Sendo h(x) a altura (em cm) de uma criana de idade x

(em anos), com x 6, ento h(x) pode ser aproximada por

h(x) = 70,228 + 5,104x + 9,222 ln x

a) Prev a altura e a taxa de crescimento quando uma criana atinge os 3

anos de idade

b) Para que idade mxima a taxa de crescimento da criana ?


7/21


11 A propagao de uma doena infecciosa numa certa escola dada pela

expresso :

P (t) =t3

e1

100

+

onde P (t) o nmero de estudantes infectados e t o nmero de dias

contados aps os estudantes terem estado em contacto com outros

infectados

a) Estima o nmero inicial de estudantes infectados

b) A longo prazo quantos alunos iro contrair a doena ?

c) Quantos dias sero necessrios para 99 estudantes estarem infectados ?

d) Qual foi o dia em que aumentou mais o nmero de infectados ? Qual foi esse aumento ?

12 Num lago onde no existam trutas foi lanada determinada quantidade de

peixes com um ano de idade. O nmero de trutas vivas aps t anos dado

por

N = 5000 . e- 0,1t

a) Quantas trutas foram lanadas no lago ?

b) Ao fim de quantos anos existiro 3000 trutas no lago ?

c) Se o modelo continuar a poder aplicar-se, qual o nmero de trutas passados muitos anos ?

13 Os veterinrios usampentobarbitolde sdio para anestesiar animais. Supe

que a dose d (em mg) necessria para anestesiar um cachorro de 20 kg

durante t horas dada por : d (t) = 600 . 2 t/4

a) Qual a dose necessria para anestesiar um cachorro com o peso indicado

durante 90 minutos?

b) Durante quanto tempo fica anestesiado um cachorro de 20 kg se lhe fr

aplicada uma dosagem de 0,9 g ?

14 A magnitude M de um tremor de terra que ocorra a 100 Km de um

sismgrafo dada por :

M = 3 + log a sendo a a amplitude mxima , em mm do registo do

aparelho

a) Qual o significado da constante 3 ?


8/21


b) Qual a magnitude de um tremor de terra que provoca um registo de 10 mm de amplitude ?

c) Qual a amplitude do grfico desenhado pelo sismgrafo sabendo que o sismo tem magnitude 6 ?

d) Se a amplitude de um registo numa cidade A fr 10 vezes maior do que a da cidade B, o que

poderemos afirmar sobre a relao entre as magnitudes dos sismos em cada uma das cidades?

15 A propagao de uma certa doena segue um crescimento exponencial dado

pela expresso:

N (t) = e 0,77 t + 6

em que N representa o nmero de pessoas contaminadas e t o nmero de

anos decorridos desde o incio de 1983, incio da contagem.

a) Determina o nmero de pessoas que estaram contaminadas no incio de

1980 e o que previsvel registar-se no comeo de 1996, supondo que

este modelo continua vlido.

b) Determina o ano e o ms em que, pela primeira vez, o nmero de casos

ultrapassa mil milhes

16 O nmero N (t) de bactrias dado pela funo N (t ) = 2000 . e 0,02 t (t 0),

em que t representa o tempo decorrido, sendo 2000 a populao inicial de

bactrias.

a) Indica um valor aproximado , a menos de uma unidade, da taxa de

variao mdia de N no intervalo [1,2]

b) Determina, recorrendo definio , N (1) e indica o seu valor com

aproximao s unidades

c) Prova que N (t) sempre positiva. Utiliza este facto para provar que N

injectiva e determina uma expresso da funo inversad) Determina o instante t , com aproximao dcima de segundo, em que

a populao de bactrias o dobro da populao inicial

17 Para uma populao de elefantes , o peso P (t) em kg e a idade t em anos

podem ser aproximados pela funo

P (t) = 325 ( 2 e- 0,075 t ) 3

a) Indica um valor aproximado do peso e da taxa de crescimento de um

elefante recm-nascido


9/21


b) Estima a idade em anos e meses e a taxa de crescimento de um elefante

adulto cujo peso 1300 kg

c) Determina e interpreta lim P (t)

t+

d) Mostra que a taxa de crescimento desta espcie mxima entre os 5 e os

6 anos

18 Para certo elemento radioactivo , a massa N (gramas) existente ao fim de t horas :

N = 10 e- 0,028 t

a) Calcula com aproximao s dcimas de grama, a massa inicial , a massa ao

fim de 10 horas e ao fim de 50 horas

b) Quanto tempo leva este elemento a reduzir-se a metade ? (semi-vida)

19 - O preo de fbrica (em escudos) de certo artigo depende do nmero q de

encomendas , segundo a lei :

p = log10 ( 10 + q/2)

Qual ser o preo para uma encomenda de 1500 unidades ?

20 - A massa de carbono 14 por grama de carbono num fssil com t anos dada

por : M(t) = 10- 6

2t/5500

a) Sendo M = 5 x 10-10 qual a idade do fssil ?

b) Exprime t em funo de M

21 A evoluo prevista para a populao duma cidade dada por

P = 125000 . (1,12)t/20

em que t o nmero de anos decorridos aps o final de 1995

a) Qual a populao no fim de 1995 ?

b) Qual a populao prevista para o final de 2010 ?

22 O nmero de rvores num bosque cresceu segundo a lei, com t em anos :

y = 600

1 + e- o,5t

a) Quantas rvores exista no incio da contagem ?

a

b b) Para que valor de t comea a travar o crescimento ?

23 - Um elemento radioactivo desintegra-se segundo a lei N = 200 e- 0,062T

( T em dias ; N em mg)


10/21


a) Qual a massa no incio da contagem ?

b) Qual a taxa de variao instantnea para T = 0 ?

c c) Prova que o grfico desta funo tem a concavidade voltada para cima

e tem s uma assmptota

24 - O nmero de pinheiros em certo pinhal cresceu segundo a lei :

C(t) = 40 . 1,2t/3 ( t em anos )

a) Quantos pinheiros hava no incio da contagem ? E 6 anos depois ?

(Aproximar s unidades)

b) Quantos pinheiros hava 3 anos antes do incio da contagem ?

(Aproximar s unidades)

c) Ao fim de quantos trinios duplica o nmero de rvores ?

d) Compara as taxas de variao instantneas nos pontos t=1 e t=9

e) Exprime t em funo de C

25 Injectou-se no instante t = 0 , uma substncia no sangue de um animal. No instante

t (t > 0 e em segundos) a concentrao C dada por : C ( t ) = 8 ( e- t e- 2t )

a) Calcula, com aproximao s centsimas, os instantes para os quais o valor da concentrao

igual a 7/8

b) Calcula lim C ( t ) e interpreta o resultado obtido

x

+

c) Mostra que C ( t) = 8 ( 2 et )e2t

26 A massa vegetal Mv de uma floresta , varia com o tempo e pode ser dada por

Mv ( t ) = 3 te .

Toma-se para unidade de massa vegetal a que exista no incio de 1900 , incio da

contagem do tempo (t = 0) e para unidade de tempo o sculo

a) Calcula a massa vegetal existente no incio de 1500 e a previsvel para o comeo do ano 2050

b) Em que ano a massa vegetal dupla da que exista no incio de 1900 ?

c) Determina a velocidade de crescimento de Mv no incio de 1996

d) Considera a funo Q tal que Q ( t ) = Mv ( t )T

d1) Em que instante Q minima ?

d2) Justifica a seguinte afirmao : O grfico de Q admite apenas duas

assmptotas

27 A intensidade I , em decibis, de um som audvel pode ser dada por :

I = 170 + 10log10 P , onde P o valor da potncia , em certa unidade , do som

emitido


11/21


a) Sabe-se que um som com intensidade superior a 100 decibis prejudicial sade. Conclui , a

partir da, a partir de que potncia, que devem ser utilizados meios de proteco auditiva

b) Dois sons de potncias P e P1 , so emitidos por uma mesma fonte. Sabendo que , a intensidadedo primeiro dupla da do segundo, mostra que P = 1017

(P1)2

c) Sendo I : P 170 + 10 log10 P ;

c1) Calcula +Plim

P

)P(Ie investiga se o grfico de I admite assmptotas noverticais

c2) Justifica que no pode haver um valor Po tal que I(Po) = I(Po)

28 A semidurao de um medicamento de 4 horas, o que significa que se fr tomada

uma dose do em t = 0 quando t = 4, existe no sangue2

d o. A funo

d ( t ) = k . e- t , em que e k so nmeros reais dados permite-nos conhecer a

quantidade de medicamento ( em mg ) existente no sangue , decorridas t horas aps

a sua tomada

a) Determina os valores de k e

b) Determina o nmero real a tal que d ( t ) = doat / 4

c) Qual a quantidade de medicamento existente no sangue ao fim de 3 horas , e de 6 horas, se

do=250 ?

d) Admite-se que, com menos de 100 mg de medicamento no sangue, este j no

faz efeito. Sabendo que uma pessoa tomou dois comprimidos de 250 mg com

um intervalo de 3 horas, e que o medicamento passa imediatamente para o

sangue, determina quantas horas esta pessoa estar sob o efeito do medicamento.

29 Para obter o povoamento de coelhos em certa regio, libertaram-se nela alguns

casais desta espcie. Sabe-se que os coelhos se reproduzem de acordo com a lei :

C ( t ) = k a t ( k , a positivos)

Sendo C ( t ) o nmero de coelhos existentes t meses aps o incio do povoamento

a) Supe que k = 10 e a = 1,2

a1) Quantos coelho foram libertados naquela regio ?

a2) Quando o nmero de coelhos ultrapassar 1000 , pode gerar-se desequilbrio

na cadeia alimentar ; Ao fim de quantos meses ocorrer tal possibilidade ?

a3) Indica um valor aproximado a menos de 0.01 da velocidade de crescimento

do nmero de coelhos 5 meses aps o incio do povoamento

b) Supe agora que no eram conhecidas k e a, mas apenas o resultado de duas contagens :

- ao fim de um ano do incio do povoamento contaram-se 163 coelhos e, passados mais seis

meses, contaram-se 787 coelhos.

Determina os valores de a e de k


12/21


30 O nmero de mosquitos existentes numa dada regio dado por uma lei do tipo

N (t) = No t01,0e onde t expresso em dias

a) Calcula o nmero de mosquitos que exista inicialmente, sabendo que 30 dias depois

hava 400 000 mosquitos

b) Calcula o intervalo de tempo que decorre at o nmero de mosquitos atingir o triplo

do seu nmero inicial

c) Calcula a taxa de variao mdia da funo no intervalo [15, 30] e explique o

significado deste valor no contexto da situao apresentada

d) Mostra que o nmero de mosquitos aumenta diariamente cerca de 1% (sugesto :

compara N(t+1) e N(t)

31 Na escala de Richter o grau de intensidade (magnitude) de um sismo dado por :

M = 0,42 log E 4,3 onde E representa energia(em erg) e M magnitude

a) Qual a magnitude de um sismo em que a energia desenvolvida foi de 2 x 1024 erg?

b) Um sismo de magnitude 6, que energia desenvolve ?

c) Exprime E em funo de M

d) Prova que)1M(E

)M(E

+= 0,004 . Em relao ao exercicio, que significado tem 0,004?

32 As dimenses da altura e do dimetro do tronco de uma determinada espcie de rvores

desde que so plantadas seguem os seguintes modelos matemticos :

Altura : H(t) = 1,5 + log3 (t+1)

Dimetro : D(t) = 0,2 x t08,02 com H(t) e D(t) em metros e t em anos

a) Quando as rvores so plantadas, quais as dimenses da altura e do dimetro dp

tronco?

b) Quanto tempo necessrio esperar para que o dimetro do tronco seja de 80 cm?

c) Uma das rvores foi cortada com 3,5 m de altura. Qual o valor do dimetro do tronco?

Apresenta o resultada com 2 casas decimais.

33 A propagao de uma certa doena segue um crescimento exponencial dado pela funo

N(t) = 63t

e+ em que N representa o nmero de pessoas contaminadas e t o nmero de

anos decorridos desde o comeo de 1983, inicio da contagem do tempo.

a) Determina o nmero de pessoas contaminadas no inicio de 1980 e o que ser

previsvel registar no incio de 2005, supondo que o modelo continuar a manter-se

b) Escreve t em funo de N e determina o ms e o ano em que , pela primeira vez, o nmero

de casos ultrapassa mil milhes


13/21


c) Determina)t(N

)1t(N +e justifica que o nmero de pessoas contaminadas aumenta cerca de

40% por ano

34 O planeta Altair III est situado a 16 anos-luz da Terra. O perodo diurno do planeta dura

cerca de 10 horas e o clima horrvel. Num tipico dia em Altair III, a variao da

temperatura pode ser traduzida pela relao

T(t) = 15 + (10t t2) t2,0e 0 t 10 em que T representa a temperatura em C

e t o tempo em horas

a) Mostra que T(t) = (10 0,2t2) t2,0e

b) Recorrendo exclusivamente a processos analticos, determina o instante em que mxima a

temperatura no planeta Altair III. Indica entre que valores varia a temperatura no planeta,

aproximando os valores s unidadesc) Vrios cientistas defendem que certo tipo de plantas terrestres podem sobreviver em Altair III .

Essas plantas sobrevivem se a temperatura se mantiver abaixo dos 60C pelo menos 4 horas por

dia e durantes perodos mnimos de 90 minutos consecutivos. Atendendo s caractersticas das

plantas, concordas com os cientistas ? Fundamenta a tua resposta.

35 A propagao de uma doena altamente contagiosa numa cidade com cerca de milho de

habitantes dada pela expresso D(t) = t2e2002

2000+

onde D(t) o nmero de doentes

infectados e t o nmero de meses contados aps os habitantes terem estado em contacto com

outros infectados.

a) Estima o nmero inicial de doentes infectados

b) A longo prazo, quantos habitantes iro contrair a doena ?

c) Seis meses aps o incio da propagao da doena , o presidente de Cmara falou pela

televiso para a populao em pnico. Entre outras coisas afirmou Hoje esto cerca de 100

pessoas infectas, ... estamos a tomar medidas para combater este flagelo...daqui a um ano

cerca de 0,1% da populao estar infectada, mas , a partir dessa data, nem mais um

habitante da nossa querida cidade ser infectado.Numa pequena composio, no mximo, 10 linhas, faz um comentrio ao discurso do

presidente de Cmara.

36 Um paraquedista salta de um helicptero. Ao fim de algum tempo o pra-quedas abre.

Admite que a distncia (em metros) a que o paraquedista se encontra do solo, t segundos

aps a abertura do pra-quedas, dada por :

d1(t) = 840 6t + 5 t3,0e

a) Sabendo que no momento em que o paraquedista salta do helicptero este se

encontra a 1500 m do solo, determina a distncia percorrida em queda livre pelo


14/21


paraquedista (desde que salta at que o pra-quedas abre)

b) Justifica a afirmao : Ao fim de um minuto o paraquedista est definitivamente

abaixo dos 500 m

c) Outro paraquedista salta de um avio e abre o pra-quedas ao mesmo tempo que o

primeiro, sendo a sua distncia ao solo (em metros) t segundos aps a abertura do

pra-quedas dada por d2(t) = 835 6t + 300 t3,0e

Existe algum instante em que os dois paraquedistas se encontram mesma

distncia do solo ?

37 Um insecto mordeu o Rui provocando-lhe uma infeco. Como o problema se agravou, o

Rui deu entrada no hospital s 10 horas e a sua temperatura em C , a partir desse instante,

evoluiu segundo o modelo : T (t) = 30 + 2 ln (t 2 + 3) t com T em C e t em horas

a) Qual a temperatura do Rui quando deu entrada no hospital ?

b) Explica como evoluiu a temperatura desde que deu entrada no hospital at s 13 horas

c) O Rui teve alta quando a emperatura atingiu 37C. Mostra que tal aconteceu entre as 21 e as

22 horas

38 Numa experincia laboratorial para obter cloreto de sdio (sal de cozinha) , colocou-se numa

tina uma certa quantidade de gua do mar e exps-se a uma finte de calor. Em cada instante

t a quantidade de gua existente na tina dada pela expresso

Q(t) = 103 x log

+1t

10; Q em ml e t em horas

a) Ao fim de quanto tempo se verifica que 75% da gua , inicialmente colocada na tina,

tenha passado ao estado gasoso ? Resposta em horas e minutos

b) A experincia termina quando a gua se evaporar na totalidade. Quanto tempo

durou a experincia ?

c) Considera a funo E definida por E(t) = 1000 Q(t). No contexto da situao, diz o

significado da funo E(t)

ESTUDO DE UMA FUNO39 Considera a funo f , real de varivel real, definida por :

f : ] 0 , + [ R

x 2 x 2 + ln x

x

a) Calcula lim f (x) e lim f (x)

i. x0+ x+

b) Mostra que a funo tem pelo menos um zero real

c) Mostra que a funo sempre crescented) Mostra que a recta de equao y = 2x 2 assmptota do grfico de f


15/21


e) Mostra que o grfico representativo da funo dada tem um ponto em que a tangente

curva nesse ponto paralela assmptota y = 2x 2

40 Considera a funo : f (x) = ex

x

a) Determina o seu domnio

b) Verifica se a funo intersecta os eixos coordenados

c) Indica os possveis pontos de descontinuidade e assmptotas

d) Determina as coordenadas dos pontos mximos e/ou mnimos e intervalos de monotonia

e) Indica se a funo tem pontos de inflexo e estuda as concavidades

f) Calcula

0x

)x(flime

+0x

)x(flim

g) Esboa o grfico de f (x)

41 Desenha o respectivo grfico , aps efectuar o clculo do domnio, das assmptotas,

intervalos de monotonia, mximos e mnimos, sentido da concavidade e pontos de

inflexo das funes definidas por :

a) f (x) =2x4e

b) g (x) = | x | . 22x

e

c) h (x) = 1x1x

e +

d) i (x) = 1 + ln x1

x1

+

42 Considera no universo R, a funo definida por : g (x) = ln (2e x 1)

a) Mostra que o domnio da funo g ] ln 2 , + [

b) Estuda o sentido da concavidade do grfico de g

c) Investiga se o grfico de g admite assmptotas

d) Esboa o grfico de g

43 Seja g a funo real de varivel real definida por : g (x) = x 1 + e - x/2

a) Indica os intervalos de monotonia da funo e extremos

b) Prova que o grfico da funo admite s uma assmptota oblqua quando x+

c) Prova que a funo tem um zero no intervalo ] 3, -2 [ e determina-o com aproximao s

dcimas

44 Considera a funo real de varivel real representada por :

t ln t , t > 0


16/21


g (t) =

0 , t = 0

a) Prova que g contnua

b) Mostra que o grfico de g no tem assmptotasc) Estuda a monotonia da funo e determina os extremos , se existirem

d) Esboa o grfico de g

45 De uma certa funo f : R R sabe-se que :

- f (1) = 0

- a sua derivada f definida por f (x) = 1 + ln x

x

a) Escreve uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa

x = 1

b) Poder concluir-se que f contnua para x = 1 ? Justifica

c) Mostra que f (x) = 2x

xlne estuda a funo quanto ao sentido das concavidades

46 Considera a funo f definida por f (x) = 2e-x 3

a) Determina, caso existam, as equaes das assmptotas do grfico de f

b) A partir do grfico da curva y = ex , explica como obtens o grfico de f (x). Traa um esboo

do grfico de f

c) Escreve a equao reduzida da recta AB , sendo A o ponto de interseco do grfico de f

com o eixo das abcissas e B o ponto de interseco com o eixo das ordenadas.

d) Caracteriza a funo f1 , funo inversa de f

47 Considera a funo f , real de varivel real , definida por

1x

)1x2ln(

, x > 1

f (x) = -1 , x [0, 1]

x

e1 x, x < 0

Estuda a continuidade da funo f nos pontos de abcissas x = 1 e x = 0

48 So dadas as seguintes funes :

f (x) = log 3 (x2 1)

g (x) =

5x

1log

x

1log

6

1

6

1


17/21


h (x) =

++x

x1logxlog

21

21

a) Indica o domnio de cada funo

b) Resolve as condies :

b1) f (x) < 1log7log 37 +

b2) g (x) > 6log6

b3) h (x) < 2

b4) f (x) )x(h

31 2log

49 Considera as funes f e g definidas por :

=)(xfx

2

e

x+ x x3xlog)x(g

2+=

a) Mostra que a recta de equao y = 2x uma assmptota do grfico de f

b) Determina as assmptotas do grfico de g

c) Mostra que a equao g (x) = possvel em

2

3,1

50 Considera a f.r.v.r. definida por f (x) = lnx

1

a) Determina o domnio, a funo derivada e o domnio desta

b) Escreve a equao da recta tangente ao grfico e que paralela recta de equao

y = -3

1x+ 5

51 Considera a f.r.v.r. definida por f (x) = x1

e

a) Estuda a funo referindo-te a :

- dominio

- assmptotas

- extremos relativos

- pontos de inflexo

b) Define g (x) , uma extenso de f (x) de modo que g (x) seja contnua esquerda de zero

c) Averigua qual o ponto em que a funo dada decresce mais rapidamente

52 Dada a f.r.v.r. definida por g (x) = | ln [(x+1)(x+2)] |

a) Determina :


18/21


- dominio

- assimptotas verticais

- extremos

- pontos de inflexo

b) Determina uma equao da recta tangente e da recta normal ao grfico de g no ponto de

abcissa x = 0

53 Estuda a funo f (x) =x1

ex

quanto a :

- dominio

- assmptotas


54 Estuda a funo g (x) = | ln (4-x2) | quanto a :

- dominio

- assmptotas


LIMITES

55 Mostra que :

a)0x

lim

x5

1ex3

=5

3

b)0x

lim

x

eex4x2

= -2

c)2x

lim

2x

1e 2x

= 1

56 Calcula os seguintes limites :

a)0x

lim x3

1e x2

b)0x

lim x

ee x2x3

c)0x

lim x

ee bxax , a > b

d) xlim

xx

xx

ee

ee

+


19/21


e) 0xlim x3

ee 22x +

f) 0xlim 23

x3

xx

xxe

+

g) 0x

lim

+

1e

xe

x

x

h) +0xlim

x1

e1

1

+

i) +xlim

1e.x x

2

j) 0xlim

x2

ee x8x2

57 Levanta as seguintes indeterminaes :

a)

3

xln

3xlim

3x

b))1wln(3

w10lim

0w +

c))4xln(

5xlim

5x

d))1x2ln(

xlim

2

0x +

e)xlnx

1lim

0x +

f))1xln(

1elim

x

0x +

g)x3

)1xln(lim

0x

+

h) 21x xln

1xlim

i)2x

lim 1xln

2x

j) 3xlim )2x(ln

9x2

k) 1xlim

1x)x1(

)2xln(

+

+


20/21


l) 21x

lim 2x4

)x2ln(

m) 1x

lim

)2x()2x(

)1xln(22

+

n) 0xlim )x1ln(

1ex

+

o)0x

lim x3

)x1ln(5+

p)0x

lim x

)x1ln( +

q)1x

lim 1x

xln

r) 0xlim x

)x31ln( +

s) 1x

lim

1x

xln

2

t) xlim

1x

)xln(

2

3

u) 3xlim )2x(ln

9x2

v) +xlim ( )( )xln)2xln(x +

w) 1x

lim 2x2

xln

x)0x

lim )x41(ln

1ex3

+

58 Justifica que :

(a) lim 1 e x = - 1

x0 x

(b) lim (x . e x ) = 0

x-

(c) lim x = 0

x+ e 2x e x

(d) lim e 2x e x = 1

x0 ex + 1 e e

59 Calcula os seguintes limites :


21/21


a)0x

lim

x

1e x3

b)0x

lim

x

ee 1x +

c)0x

lim

x

1ex

2x

d)1x

lim

1x

1e 2x2

e) +xlim

x2e

xe

x2

x

+

+

f) xlim x

1 xe

DERIVADAS

60 Calcula y sendo

a) y = ln (3x2 1)

b) y = x . ln 2 x

c) y = 2log x3

d) y = 5xe +

e) y = x32

f) y = 2x . xcose

g) y = (2x+1) x2e

h) y = ln 3 5 1x +

Documents

FICHA Nº1 EXP-LOG