Vacabulaire et hypothe`ses de la theorie des probabilites

1. Experience aleatoire - notion devenement

Une experience aleatoire, par exemple le jet dun de, se caracterise par les deux faits suivants :

(1) Nous ne pouvons pas predire avec certitude le resultat.

(2) Mais il est possible de determiner lensemble de toutes les issues possibles.

Lensemble des issues possibles sappelle l ensemble fondamental de lexperience (aleatoire) et estgeneralement note . Tout sous ensemble de sappelle un evenement

Un exemple : on jette un de = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Lensemble {2, 4, 6} est levenement La face du de est paire.

Exercice. Considerons lexperience qui consiste a` lancer successivement deux des. Comment peut-on definir lensemble fondamental ? Specifier les ensembles qui caracterisent les evenements suivants :

A : La somme des points est egale a` six. B : La somme des points est paire. C : La somme des points est strictement inferieure a` six

Vocabulaire. sappelle levenement impossible et levenement certain. Un evenement qui se reduit a` un element sappelle un evenement simple. {6} pour le lance de de par

exemple. On dit que B est levenement contraire de A si B = A, cest a` dire si A B = et si A B = . Deux evenements A et B sont dits incompatibles si A B = . Resultat pair/impair pour le lance de de

par exemple. On dit quun evenement A implique un evenement B si A B. On dit que les evenements A1, A2, , An sont mutuellement exclusifs sils sont incompatibles deux a`

deux. On dit que A1, A2, , An forment un syste`me complet devenements sils sont mutuellement exclusifs

et si

nk=1

Ak =

2. Hypothe`ses de la theorie des probabilites

Supposons quon realise un grand nombre N de fois une meme experience aleatoire, si na est le nombre de foisquun evenement A se realise, on postule :

limN

naN

= p(A)

Le nombre p(A) correspond a` la probabilite que levenement A se realise.

Hypothe`ses. (Axiomes de la theorie des probabilites) Pour tout evenement A, 0 P (A) 1. P () = 0 et P () = 1 (evenement impossible, evenement certain). A et B etant deux evenements, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

Exercice.Montrer les egalites suivantes et les illustrer par des exemples concrets :

a) P (A) = 1 P (A).b) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C).c) Si A1, A2, , An forment un syste`me complet devenements, alors pour tout evenement A :

P (A) = P (A A1) + P (A A2) + + P (A An).

Probabilites conditionnelles et denombrement

3. Probabilites conditionnelles

Intuitivement, lorsque deux evenements A et B sont independants, on peut ecrire P (A B) = P (A) P (B).Lexercice suivant illustre cela :

Exercice.

a) Considerons le cas du lance de deux des. Supposons que A soit un evenement relatif au premier de et B unevenement relatif au second. Pourquoi a-t-on necessairement P (A B) = P (A) P (B).

b) Montrer a` laide dun contre exemple quen general P (A B) 6= P (A) P (B) .

Definition.

A etant un evenement, lapplication PA qui a` tout evenement B associe le nombreP (A B)P (A)

sappelle la proba-

bilite conditionnelle sachant A.On peut ainsi toujours ecrire P (A B) = P (A) PA(B).

Theore`me. Lapplication PA est une probabilite (elle en verifie les axiomes).

Exercice. (Exemple 1 : Cibles)Deux joueurs J1 et J2 tirent sur une cible. Nous supposons que J1 atteint la cible 9 fois sur 10 et J2 6 fois sur 10. J2joue 2 fois sur 3.

a) Quelle est la probabilite que la cible soit atteinte ?

b) Lun des joueurs atteint la cible. Quelle est la probabilite que ce soit J2 ?

Exercice. (Exemple 2 : Depistage)Une maladie affecte une personne sur mille. On dispose d ?un test qui detecte cette maladie chez 99% des patientsmalades et qui donne un resultat faussement positif chez 0.2% des personnes saines testees. Une personne est controleepositive. Quelle est la probabilite pour quelle soit reellement malade ?

4. Denombrements

Tre`s souvent, pour calculer des probabilites nous avons besoin de faire appel aux methodes de denombrements.

Theore`me. (Theore`me des arrangements)

Parmi n objets distincts {O1, , On)} il existe APn = n (n 1) (n p + 1) = n!(n p)! manie`res de

construire une liste ordonnee (Oi1, , Oip).

On dit quil y a Apn arrangements de p elements parmi n. Un arrangement de n elements parmi n sappelle unepermutation.

Exercice : Dans une course opposant 8 athle`tes, quel est le nombre de podiums possibles ?

Theore`me. (Theore`me des combinaisons)

Un ensemble a` n elements admet Cpn =Apnp!

=n!

p!(n p)! sous ensembles a` p elements (0 p n).

Exercice : On souhaite elire un comite de 6 membres parmi 15 hommes et 12 femmes. Madame A refuse de siegeravec monsieur B.

a) Combien de comites peuvent etre constitues dans ces conditions ?

b) Denombrer ceux de ces comites dont madame A fait partie.

Proprietes. (Proprietes des combinaisons)Etablir les proprietes suivantes :

Cpn = Cnpn et C

pn = C

pn1 + C

p1n1 (formule de Pascal)

Exercice. On choisit 5 cartes dans un jeu de 32. Combien y-a-t-il de resultats comprenant :

a) Exactement deux valets ?

b) Aucun as ?

c) Au moins 3 dames ?

d) 2 tre`fles et 3 carreaux ?

e) Deux cartes dune couleur et troisde lautre ?

f) Au moins un roi ?

g) 3 piques et 2 rois ?

5. Variables aleatoires.

5.1. Quest-ce quune variable aleatoire ?Apre`s avoir realise une experience, on ne sinteresse bien souvent qua` une certaine fonction definie sur lensemble

des issues possibles et non pas aux elements de lensemble . Par exemple, un joueur de loto ne sinteresse pas auxdetails des tirages possibles mais seulement a` la probabilite quil a davoir m bons numeros (m entre 0 et 6).

Definition. Une variable aleatoire X est une fonction de lensemble fondamental a` valeurs dans R. X : 7 R.

Exercice. Un exemple : deux desOn lance deux des, on additionne les points des deux faces. On note X la variable aleatoire representant le resultat.

a) Quel est lensemble des possibilites ?

b) Preciser la definition de la fonction X.

c) Pour chacune des valeurs possibles x de X, quelle est la probabilite dobtenir x ?

On appelle support dune variable aleatoire X lensemble des valeurs possibles de X, cest a` dire X(). Parexemple dans le cas precedent, X() = {2, 3, , 12}.

Notation : Si X est une variable aleatoire et x un reel, on note {X = x} levenement X1({x}) (un sous ensemble de ).5.2. Loi de probabilite dune variable aleatoire.

Definition. La loi de probabilite PX qui a` toute valeur x du support de X associe la probabilite P (X = x)sappelle la loi de probabilite de la variable X.

Par exemple dans le cas des deux des, la loi de probabilite PX associee a` la variable aleatoire X (somme des deuxdes) est definie par le tableau suivant :

5.3. Esperance et variance. Tre`s souvent le support dune variable aleatoire se repartit de part et dautre dune valeur

moyenne. Pour estimer la position centrale et la largeur de ce support, on utilise souvent les notions de moyenne (ou esperance)

et de variance :

Definition. lesperance mathematique (ou moyenne) dune variable aleatoire X est definie par :

E(X) =

nk=1

xkP (X = xk)

la variance de la variable aleatoire X est definie par :

V ar(X) = E[(X E(X))2] = n

k=1

[xk E(X)]2 P (X = xk)

lecart type est la racine carree de la variance : (X) =V ar(X).

Exercice.On lance deux des, X represente la somme des deux faces. Calculer la moyenne, la variance et lecart type de X.

Soient et deux reels, X et Y deux variables aleatoires definies sur un meme espace fondamental :

Proprietes.

E(aX + b) = aE(X) + b E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

V ar(X) = E(X2) E(X)2 V ar(X + ) = 2V ar(X)

Exercice. une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On choisit au hasard et sans remise les boules une a` une

jusqua` obtention dune boule rouge. Soit X le nombre de tirages necessaires. determiner la loi de probabilite deX ainsi que son esperance et son ecart type.

Meme question pour la situation suivante : on lance simultanement deux des equilibres et on note X le maximumdes deux chiffres obtenus.

6. independance de variables aleatoires

6.1. Notion dindependance.

Definition.On dit de deux variables aleatoires X et Y definies sur un meme ensemble fondamental quelles sont

independantes si pour tout couple (x, y) X() Y (), la loi conjointe (x, y) 7 P (X = x, Y = y) verifie :P (X = x, Y = y) = P ({X = x} {Y = y}) = P (X = x)P (Y = y).

Exercice. Un exempleOn dispose de deux boules et de trois botes A, B et C. Il y a une chance sur trois pour quune boule donnee soit

placee dans une bote donnee. X est definie comme Le nombre de boules dans A ; Y comme le nombre de botesvides. Exprimer, sous la forme dun tableau, la probabilite conjointe des variables X et Y . verifier quelles ne sontpas independantes.

Le theore`me suivant joue un role central :

Theore`me.Si X et Y sont deux variables ndependantes, alors E(XY ) = E(X)E(Y ) et V ar(X+Y ) = V ar(X) +V ar(Y )

Remarque. De manie`re generale : V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2 (E(XY ) E(X)E(Y )).Le nombre Cov(X,Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) sappelle la covariance des variables aleatoires X et Y .6.2. Applications.

6.2.1. Regression lineaire et methode des moindres carres.Les notions de variance et de covariance apparaissent joliment lorsquon recherche la droite qui represente le

mieux un nuage de s points (xi, yi) (obtenus par exemple experimentalement).

Definition. Droite des moindre carresOn dit que la droite dequation y = ax+ b est celle qui represente le mieux le nuage (xi, yi) si les coefficients

a et b sont ceux qui minimisent la somme des carres : 1in

(yi axi b)2

Theore`me.

En posant E(x) =1

nixi et E(y) =

1

niyi, les coefficients a et b de la droite des moindres carres sont egaux a` :

a =cov(x, y)

var(x)et b = E(y) aE(x) avec cov(x, y) = 1

ni(xi E(x))(yi E(y)) et V ar(x) = 1

ni

(xi E(x))2.

Definition.On appelle coefficient de correlation lineaire le nombre

(x, y) =Cov(x, y)V ar(x)V ar(y)

Theore`me. Un coefficient de correlation lineaire est toujours compris entre 1 et 1 et la droite des moindrescarres sera de qualite dautant meilleure quil sera proche de 1 ou de 1.